2.6 矩阵的逆和求法
矩阵的逆
定理2.4.3 矩阵A可逆的充要条件是 0，且当A可逆时， A 1 1 A A, A 其中A为矩阵A的伴随矩阵.
推论2.4.4 若AB E 或BA E , 则B A1 .
推论2.4.5 设A可逆，则A
1
1 . A
注：逆矩阵的运算性质
1 若A可逆, 则A
1
亦可逆 且 A ,
A 1 .
1 1
A.
2 若A可 逆, 数 0, 则A可 逆, 且
A1
1
3 若A, B为 同 阶 方 阵 且 均 可 逆 AB亦 可 逆, 且 ,则
( AB)1 B1 A1
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1 推广
一、概念的引入
1 当数a 0时， a 1, a 1 其中， 为a的倒数. a
1 0 0 0 1 0 矩阵 AB BA E 0 0 1
二、逆矩阵的概念和性质
n 定义2.4.1 对于n阶方阵A，如果存在 阶方阵B， 使得 AB BA E , 则称矩阵A可逆，并称 为A的逆矩阵. B
1 1 l 1 1 1
Pl1 Pl1 P11 E A1 , 1
Pl 1 Pl 1 P11 A E 1
Pl 1 Pl 1 P11 A Pl 1 Pl 1 P11 E 1 1
E A1
即对 n 2n 矩阵( A E ) 施行初等行变换， 当把 A 变成 E 时，原来的 就变成A1 . E
6 4 2 由于 A 3 6 5 , 2 2 2 6 4 1 3 2 2 1 1 1 A A 3 6 5 3 2 3 5 2 . 2 A 2 2 2 1 1 1
第三章 矩阵的逆
唯一性： 是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 唯一性：若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一 是可逆矩阵 的逆矩阵唯一 证明： 证明： 设B、C都是 的逆矩阵，则 都是A的逆矩阵 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = E ,
AC = CA = E
⇒ B = EB = (CA) B = C ( AB) = CE = C.
逆矩阵的求法二： 逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
A11 ∗ A12 A = M A1n A21 A22 M A2 n L L M L An1 An 2 , M Ann
(1)
A
−1
1 ∗ = A , A
其中 A * 为A的伴随矩阵。 的伴随矩阵。 的伴随矩阵
2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
a = 0, 2a + c = 1, b = −1, 2b + d = 0, ⇒ ⇒ c = 1, − a = 0, d = 2. − b = 1,
又因为
BA AB 2 1 0 − 1 0 − 1 2 1 1 0 , = = − 1 0 1 2 1 2 − 1 0 0 1
所以
0 − 1 A = . 1 2
−1
0 A 例： 设n阶矩阵 及s阶矩阵 都可逆，求 阶矩阵A及 阶矩阵 都可逆， 阶矩阵B都可逆 阶矩阵 . B O X 11 X 12 解：设所求逆矩阵为 , X 21 X 22
∴ A 存在
−1
A
−1
A∗ = A
0 0 0 0 2⋅ 3⋅ 4⋅ 5 1⋅ 3⋅ 4⋅ 5 0 0 0 0 1 = 0 0 1⋅ 2⋅ 4⋅ 5 0 0 5! 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 5 0 0 0 0 0 0 1⋅ 2⋅ 3⋅ 4
高等数学第四章课件-矩阵的逆
( AB ) B −1 = EB −1 ,
例1 判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆 . ⎛ 1 2 3⎞ (1) A = ⎜ 2 2 1 ⎟ ⎜ 3 4 3⎟ ⎝ ⎠ 1 2 3 −1 ∴ A 存在. 解: ∵ A = 2 2 1 = 2 ≠ 0, 3 4 3 2 1 2 1 2 2 A11 = = 2, A12 = − = −3, A13 = = 2, 3 3 3 4 4 3 同理可得, A21 = 6, A22 = −6, A23 = 2,
2 A − 3 A − 10 E = 0 相矛盾. 这与
所以, A + 2 E 与 A − 5 E 不同时可逆.
例2’’ 设方阵 A 满足 A2 − 3 A − 10 E = 0, 若 A ≠ 5 E , 证明: A + 2 E 不可逆. 证： （反证法） 假设A+2E可逆,
−1 2 ( A + 2 E ) ( A − 3 A − 10 E ) = 0 则 −1 即( A + 2 E ) ( A + 2 E )( A − 5 E ) = 0
⎛ A1 (3) 设 A1 , A2 是 n1 , n2 级可逆矩阵, A = ⎜ ⎝ A3 解: 因为 A1 , A2可逆
0⎞ ⎟. A2 ⎠
A1 ∴| A |= A3
0 =| A1 || A2 |≠ 0. A2
故A可逆. ⎛ X 11 −1 设A =⎜ ⎝ X 21 ⎛ A1 则 ⎜ ⎝ A3
⇒ B = 6( A − E ) .
−1 −1
B = 6( A − E )
−1
−1
⎡⎛ 2 ⎜ ⎢ = 6 ⎜0 ⎢ ⎜0 ⎢ ⎣⎝
0 4 0
ห้องสมุดไป่ตู้
第三节 逆矩阵
A21 A22 A2 n
An 1 An 2 * , 称 A 为 A 的伴随矩阵。 Ann
2012-6-16
定理2.3
A 0 A 可逆，且 A
1
A
*
A
其中
A 为 A 的伴随矩阵。
*
2012-6-16
证明
AA
1
A 显然 A 0， 有意义。 A
0 A 0 0 0 I A
AA
1
A 1 1 0 * AA A A 0
2012-6-16
定理2.4 定理2.5 定义2.13
若 若
2012-6-16
A可逆
A 0.
A不可逆 A 0 .
3 0 1 1 2 2 5 3
1
3 A 5
1 2
3 B 0 1
1 2 3
2 5 A A
*
1 ，从而 3
X BA
1
1 1 10 3 13
A 21 A A 22 A A 23 A
A 31 A A 32 A A 33 A
2012-6-16
8 5 1
29 18 3
A11 A 11 A 7 12 A 1 A13 A
* 1
2012-6-16
四、小结与思考
逆矩阵的概念及运算性质.
逆矩阵 A 1 存在 A 0 . 逆矩阵的计算方法
1 待定系数法 ;
2 利用公式 A 1
大学线性代数-逆矩阵
1
2
3
同理可求得
A21 3 , A22 0 , A23 1 , A31 1 , A32 4 , A33 3.
二：逆矩阵的求法
A 11 A 21 A 31 A 1 1 A A 12 A 22 A 32 A A A A A 13 23 33
例题：求如下矩阵的伴随矩阵。
1)
解： 1)
a b A c d ,
A11 A* A 12
2)
1 0 0 A 1 1 1 , 1 2 3
2)
A11 A* A12 A 13
A21 d b c a A22 0 0 A21 A31 1 1 A22 A32 2 3 2 1 A23 A33 1
B C A 1 .
说明2：并不是所有的矩阵都有逆矩阵？ 设矩阵A有逆矩阵B 则 AB=BA=E 取行列式有：| AB|=|A||B|=|E|=1 结论：若矩阵A的存在逆矩阵则
A 0
非奇异矩阵：
若n阶矩阵A的行列式 A 0；则称矩阵 A是非奇异的
否则称A为奇异的。 性质：所有的可逆矩阵都是非奇异矩阵. 问题：非奇异矩阵是不是可逆矩阵?
问题：计算 AA* 与 A*A 的积。
一：逆矩阵的概念与性质
a11 a12 a1n A 11 A 21 A n1 a a22 a2n A 12 A 22 A n2 21 AA a A a A a A 11 12 12 1n A 1n 11 a a a A A A 2 a A nn 1n nn a n1A n a 2nA A
矩阵逆矩阵的求法
矩阵逆矩阵的求法One 、矩阵的逆的定义矩阵的逆，又叫做逆矩阵，是指一个方阵在乘积中具有反作用的转换矩阵，它被定义为：存在一个转换矩阵A，使得它和定矩阵相乘等于单位矩阵I，且称A为定矩阵的逆，标记为A⁻¹。
其定义如下：ªA⁻¹A=AA⁻¹=I了解到矩阵逆的定义后，很容易想到，如果有一种新的矩阵，它可以被乘以一个矩阵就得到一个单位矩阵的话，那么这个新的矩阵就是这个矩阵的逆，这个新的矩阵称为全逆矩阵。
全逆矩阵的求法是将单位矩阵放入原始矩阵的右边，然后将单位矩阵的列进行相应的变换，直到变换出等价行阶梯型矩阵。
最后，再将此行阶梯型矩阵变换回与原始矩阵有相同行列数的矩阵，这就是原始矩阵的逆矩阵了。
2、矩阵的逆求法：使用秩当矩阵的行数和列数不相等时，使用全逆矩阵求解矩阵逆比较困难，通常可以使用矩阵的秩来求解矩阵逆。
准确地说，该方法是求解方程Ax=b求解矩阵A的逆矩阵A⁻¹。
方法是，先求出该方程的秩r，如果r=m，m指的是A的行数，则A为可逆矩阵，否则A为不可逆矩阵，而其逆矩阵为不存在状态。
此后可采用Gauss-Jordan方法来求出A的逆矩阵A⁻¹。
三、矩阵的逆的求解实例下面通过一个实例来详细地介绍矩阵逆的求解方法：我们现在考虑如下矩阵A：A =\begin{pmatrix}2 & -1 & 3\\1 & -1 & 0\\1 & 4 & 2\end{pmatrix}首先，我们应求出A的逆A⁻¹：来证明A的矩阵逆的求解结果的正确性，我们将A和A⁻¹相乘：从结果可以看出，A和A⁻¹相乘得到结果是单位矩阵，说明经过求解，A的矩阵是正确的。
2.6 矩阵的初等变换
Amn (aij )mn :
D
Ir O(mr
)r
Or(nr )
O(mr )(nr )
2 1 2 3 例2 将矩阵 A 4 1 3 5 化为标准形.
2 0 1 2
例3 将下列矩阵化为标准形
1 0 1
A
2
1
0
3 2 5
定义 如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B 等价关系的性质： （1）自反性： A ~ A; （2）对称性： if A ~ B , B ~ A； （3）传递性： if A ~ B , B ~ C A ~ C.
a1n
a2n M amn
Im (i(k))A
a11 L
M
kai1 L
M
am1 L
a1n
M
kain M
(ri
)
amn
a11 L
AIn(i(k ))
M
am1 L
ka1i L M
kami L (ci )
a1n M amn
a11 L AIn(i, j(k )) M am1 L
a1i L M ami L (ci )
Im (i, j(k))A
a11
L
M
ai1 ka j1 L M
a j1
L
M
am1
L
a1 j ka1i L
M
amj kami L (cj )
a1n
M
ain
a jn
(ri
)
M
a jn
(
rj
)
amn
a1n
M amn
推论 如果A为n阶可逆矩阵，则矩阵A可经过有限次的
用初等变换求逆矩阵
所以
例2. 设
问B是否可逆？
解法1.
若可逆，求其逆阵 B –1。
可见B不可逆
不可能化为 单位阵
解法2. 利用 “A可逆 A ”
二两行相同 ！
B不可逆
01
例3. 求解
02
解: 原方程变形为
可见 A – E 可逆, 且
注: 若要求
思考: 设 A, B 可逆, 如何解矩阵方程 AXB=C ?
用初等变换法求 AX = B 的解 X =A–1B : 作业 P64. 25(1), （2）
内容小结
§2.6 用初等变换求逆矩阵
一. 用初等变换法求逆矩阵 及解矩阵方程
定理1：设A是n阶方阵，则如下的命题等价：
A是可逆的 ；
A~E，E是n阶单位矩阵；
存在n阶初等矩阵
A可经过有限次初等变换化为E.
证明1 （1）→（2）易证明(见书上证明)
→（3）
因为A ~ E，
再由矩阵
那么，把E变为A的初等变换
上式表明: 若
, 则 A 可逆, 且 X 即为
AX = B 的解 X = A–1B.
特别, 若
即如何求 X = A–1B ?
给定n 阶可逆方阵 A 及 n×s 阶矩阵 B, 如何解 AX = B ?
左侧的意义： 对A、B 作相 同的行变换
即有
2
1
，试用初等变换法求
解：
例1：设
,即有：
等价的对称性，
有 E ~ A 。
所对应的初等矩阵为
，所以
一、等价定理
，由
有
由于
仍是初等矩阵，上式说明对A
实施有限次初等行变换可化为E， 列的情形类似可得。
初等变换
a3 b3 c3
a4 b4 c4
c1 c2 = b1 b2 a a 1 2
c3 b3 a3
c4 b4 a4
这相当于把A的第 ， 行互换 行互换； 这相当于把 的第1，3行互换； 的第
AP(1，3)= ，
a1 a2 b1 b2 c c 1 2
初等矩阵具有下列性质： 初等矩阵具有下列性质： (1) 初等矩阵都是可逆的． 初等矩阵都是可逆的． |I(i，j)|= –1≠0 ， |I(i(k))|=k≠0 这是因为
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 1 I (i , j ) = ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 1 ⋱ 1
矩阵
3 0 1 1 − 1 2 A = 1 − 1 2 → 3 0 1 = A1 0 1 1 0 1 1
I 3 (1,2) 表示交换 I 3 的第一行和第二行所得
的第一种初等矩阵，则有 的第一种初等矩阵，
0 1 0 3 0 1 1 − 1 2 I 3 (1,2) A = 1 0 0 1 − 1 2 = 3 0 1 = A1 0 0 1 0 1 1 0 1 1
即对A施以某种初等列变换得到的矩阵， 即对 施以某种初等列变换得到的矩阵， 施以某种初等列变换得到的矩阵 等于用同种的初等矩阵右乘A。 等于用同种的初等矩阵右乘 。
A
行初等变换
B1
B2
行初等变换
P1 A = B1
列初等变换
P1 AQ1 = B1Q1 = B2
B3
列初等变换
P2 P1 AQ1 = P2 B1Q1 = P2 B2 = B3
线性代数2a
设 A aij
mn
b1 x1 ，X ， x b n m
则 AX
a11 x1 a1n xn b1 表示线性方程组 am1 x1 amn xn bm
线性代数
n
阶方阵， k 为数，则
（1） AT A
（2） kA k n A （3） AB A B
A 2 ，求 2 A 例6 设 A 为3阶矩阵，
例7 设 A, B 同为 n 阶方阵，如果 AB O ，证明: A 0 或 B 0
2.3
方阵的逆矩阵
一、可逆矩阵和逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵B ，使得
a11 a12 a21 a22 A a m1 a m 2
a1n a2 n amn
a11 a 12 T A a1n
a21 am1 a22 am 2 a2 n amn
（5）若 A可逆，则 A1 A
1
例2 A 为 n 阶可逆矩阵，A 为 A 的伴随矩阵，证明：
A A
*
n 1
A 可逆， 例3 设 n 阶矩阵A 满足A2 3 A I 0 ，试证：
并求 A1 。若条件改为 A2 3 A 2I 0 ，结论是否成立？
A I 可逆，并求 A I 。 又已知条件不变，试证：
k 个A
并且有： Ak Al Ak l
A
k
l
Akl
但是，若 A 、 B 均为 n 阶方阵：
AB
k
Ak B k
定义6 设变量 x 的 m次多项式为
逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
1) 如果方阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的， A的逆用A-1来表示；
2） 可逆矩阵一定是方阵，并且其逆矩阵为同阶方阵； 3) A与B互为可逆矩阵，即A-1=B,同时B-1=A.
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第二章 矩阵的代数运算
2.6.1 逆矩阵定义及性质
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
定义 对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=In
则称矩阵A是可逆的，并且方阵B称为A的逆矩阵或逆阵.
线性代数
逆矩阵
例 A diag(a1, a2 ,L an )其中 ai 0 (i 1, 2,..., n) 求A的逆？
线性代数
逆矩阵性质
性质1
如果n阶方阵A可逆，则其转置矩阵AT也可逆，并且
AT
1
A1
T
.
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质2
（i）若A可逆，并且有AB =O(或者BA=O) 则B =O;
（ii）若A可逆，并且有AB =AC(或者BA=CA) 则B=C;
线性代数
逆矩阵性质
性质3
若A和B均为n阶可逆方阵，则其乘积矩阵AB也可逆，
线性代数初步：矩阵的逆及其求法
逆矩阵的概念
定义2
由 n 阶方阵 A的行列式各个元素 aij 的代数余子式 Aij 所构成的矩阵
显然，
A11 A21 An1
矩阵的
A*
A12
A22
An
2
，称为矩阶阵子个式A。共的有伴随矩阵.
2 1 1
解 A 0 1 2 -9 0 , 故 A-1 存在.
1 2 2
又因为
A11
(1)2
1 2
2
6 2
;
A12
(1)3
0 1
2 2
2
;
A13
(1)4
0 1
1
2 -1 ;
A21
(1)3
1 2
-1 0
-2
;
A22
(1)4
2 1
-1 -3
-2
;
A23
(1)5
2 1
1 -3
2;
A31
(1)4
线性代数初步
矩阵的逆及其求法
知识点讲解
1.逆矩阵的定义 2.逆矩阵的求法
问题导入
在数的运算中，数 a 0 ，存在唯一的一个数 a1 ，使 a1 a 1
一元或函a数，a但1在自1然.科对学于和工矩程阵两 A ，是否也存在类似的计算？
逆矩阵的概念
定义1
对于n 阶方阵 A ，若存在一个n 阶显矩方然阵，的阵 B,使得AB BA E，则称 A
（2）对 ( AE) 进行行初等变换，初等变换将A化为单位矩阵 E 时， 若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。 E 就变成了 A，1 即 ( A E) 行初等变换（E A1）.
矩阵的逆求法
矩阵的逆求法
矩阵逆是矩阵计算中的常用技术，是矩阵变换的一种基本操作，主要用于求出该矩阵
的逆矩阵。
由于矩阵的正交性以及矩阵乘法的结合律，矩阵的逆矩阵以及矩阵完全正交化
都有直观的应用。
因此，求矩阵逆是矩阵计算的一个重要方面，也是矩阵变换技术的基础。
矩阵逆的求法主要有两种：一种是采用行列式的展开求法，另一种是直接变换矩阵求法。
前者解决的是矩阵的低维逆问题，后者解决的是矩阵的高维逆问题。
行列式展开求法是采用行列式的展开式，其中的行列式的展开可用神秘乘子法来进行
求解。
由于行列式的展开方式可以采用正负号分别乘以多少，不断遍历即可得出结果，所
以需要经过循环多次矩阵运算才能求出结果。
直接变换矩阵求法，即先将矩阵展开为增广矩阵，然后求解其解析模式。
增广矩阵可
以采用元素消元法来进行求解。
即将要求方程中的系数矩阵与右边所求的结果矩阵相加、
减合成增广矩阵。
然后将增广矩阵行对消元的步骤，由于矩阵的加减法是结合律的，因此
可以由行对消元进行采取。
此外，矩阵的乘法同样具有联合律，也可以相乘变换解题的步骤。
最后，把所求的结果矩阵乘以增广矩阵，即可得出矩阵的逆。
以上就是关于矩阵的逆求法的介绍，因为矩阵运算常常被用作对线性系统进行数值诊断，因此，求矩阵逆在矩阵计算中有着重要的意义。
由于有两种求法可以求取矩阵的逆，
在实际应用的时候可以根据问题的特殊性，采用不同的求法来有效地解决矩阵运算问题。
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法
矩阵的逆的求法主要有以下几种方法：
1.利用定义求逆矩阵：如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得
AB=BA=E，其中E为单位矩阵。
利用这个定义，可以通过特定的算法计算出矩阵A的逆矩阵B。
2.初等变换法：对于元素为具体数字的矩阵，可以利用初等行变换化为单位
矩阵的方法来求逆矩阵。
如果A可逆，则A可通过初等行变换化为单位矩阵I，即存在初等矩阵使（1）式成立。
同时，用右乘上式两端，得到（2）式。
比较（1）、（2）两式，可以看到当A通过初等行变换化为单位处阵的同时，对单位矩阵I作同样的初等行变换，就化为A的逆矩阵。
这种方法在实际应用中比较简单。
3.伴随阵法：如果A是n阶可逆矩阵，那么A的伴随矩阵A也是可逆的，且
(A)-1=A*/|A|。
利用这个公式可以方便地计算出A的逆矩阵。
4.恒等变形法：利用恒等式的变形规律来求逆矩阵。
例如，利用行列式的性
质和展开定理，可以计算出矩阵的行列式值，从而得到逆矩阵。
需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的矩阵和问题，因此在选择方法时应根据具体情况进行选择。
同时，在实际应用中还需注意计算的精度和稳定性等问题。
矩阵的逆
证明： 令
A P 1 B ，
. 秩（A） 秩（B）
秩（A） 秩（B） 秩（PA ） .
另一个等式可以同样地证明。
AB BA E ，
则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵， A 的逆矩阵记作 A1 。 注：
1 2 3
可逆矩阵 A 的逆矩阵是唯一的； 可逆矩阵 A 的逆矩阵 A1 也是可逆矩阵，且 A1 A ；
1
单位矩阵 E 可逆，且 E E 。
1
逆矩阵的唯一性
1、伴随矩阵法。在上述已给出证明且加以例题进行说明； 2、行初等变换法。 下面就对第二种求法进行介绍。 如果矩阵 A 经过若干次行初等变换可以化为单位矩阵 E ， 每进行一次行初等 变换相当于在矩阵 A 的左侧乘以一个初等矩阵。 若将这些初等矩阵依次记为 P 1, P 2, P 3 , P r ，即有 P r P 3P 2P 1A E 。
这就是说，解 X A1B 是唯一的。用 A1 的公式 A1 是克拉默法则中给出的公式。 2、可逆矩阵与矩阵乘积的秩的联系。 定理 2
1 * A 代入，乘出来就 d
A 是一个 s n 矩阵，如果 P是s s可逆矩阵，Q是n n可逆矩阵，
那么
秩（A） 秩（PA ） 秩（AQ）
矩阵的逆“生活”
14 数本一班 也和复数一样有逆运算呢？ 1421103315 郑慧侠 我们都知道矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算。那么矩阵的乘法是否
一、矩阵的定义
1 为 a 的倒数，称 a 为 a 的逆。在矩阵的运算中，单位阵 E 相当于数的乘法运算中的 1，那么, 对于
在数的运算中，当 a 0 时， a a 1 a 1 a 1 ，其中 a 1 矩阵 A ，如果存在一个矩阵 A1 ，使得 A A1 A1 A E ，则矩阵 A1 称为 A 的 可逆矩阵。 定义 1 对于 n 阶矩阵 A ，如果有一个 n 阶矩阵 B ，使得
矩阵求逆的几种方法总结（C++）
矩阵求逆的⼏种⽅法总结（C++）矩阵求逆运算有多种算法：1. 伴随矩阵的思想，分别算出其伴随矩阵和⾏列式，再算出逆矩阵；2. LU分解法（若选主元即为LUP分解法: Ax = b ==> PAx = Pb ==>LUx = Pb ==> Ly = Pb ==> Ux = y，每步重新选主元），它有两种不同的实现；A-1=(LU)-1=U-1L-1，将A分解为LU后，对L和U分别求逆，再相乘；通过解线程⽅程组Ax=b的⽅式求逆矩阵。
b分别取单位阵的各个列向量，所得到的解向量x就是逆矩阵的各个列向量，拼成逆矩阵即可。
下⾯是这两种⽅法的c++代码实现，所有代码均利⽤常规数据集验证过。
⽂内程序旨在实现求逆运算核⼼思想，某些异常检测的功能就未实现（如矩阵维数检测、矩阵奇异等）。
注意：⽂中A阵均为⽅阵。
伴随矩阵法C++程序：1 #include <iostream>2 #include <ctime> //⽤于产⽣随机数据的种⼦34#define N 3 //测试矩阵维数定义56//按第⼀⾏展开计算|A|7double getA(double arcs[N][N],int n)8 {9if(n==1)10 {11return arcs[0][0];12 }13double ans = 0;14double temp[N][N]={0.0};15int i,j,k;16for(i=0;i<n;i++)17 {18for(j=0;j<n-1;j++)19 {20for(k=0;k<n-1;k++)21 {22 temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];2324 }25 }26double t = getA(temp,n-1);27if(i%2==0)28 {29 ans += arcs[0][i]*t;30 }31else32 {33 ans -= arcs[0][i]*t;34 }35 }36return ans;37 }3839//计算每⼀⾏每⼀列的每个元素所对应的余⼦式，组成A*40void getAStart(double arcs[N][N],int n,double ans[N][N])41 {42if(n==1)43 {44 ans[0][0] = 1;45return;46 }47int i,j,k,t;48double temp[N][N];49for(i=0;i<n;i++)50 {51for(j=0;j<n;j++)52 {53for(k=0;k<n-1;k++)54 {55for(t=0;t<n-1;t++)56 {57 temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];58 }59 }606162 ans[j][i] = getA(temp,n-1); //此处顺便进⾏了转置63if((i+j)%2 == 1)64 {65 ans[j][i] = - ans[j][i];66 }67 }68 }69 }7071//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
矩阵的逆及其求法
充分性．设 A 0 , 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
10
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
•A是满秩矩阵 A是非奇异矩阵 A可逆 A 0
11
逆矩阵的求法一：伴随矩阵法
例 2.15 设
1 2
A
3
4
,
判断 A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵 .
解
因为
1 A
2 4 6 2 0 , 故 A 可逆，且
34
A1
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
逆矩阵的问题。
代数方程 a x b 的解 x a1b
问矩阵方程 AX B 的解是否为 X A1B ? 若可以，那么 A1 的含义是什么呢？
3
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作B A1 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A B ,
求
A+B
.
2 1 3
解 由于 AB = A + B ，于是 ( A – E ) B = A ,
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
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第二章
矩阵逆及其求法
一、逆矩阵的概念
二、方阵可逆的判别定理
三、逆矩阵的基本性质
四、用矩阵的初等变换求逆矩阵
1
线性方程组的矩阵表示法
设 A (aij )mn X (xi )n1 B (bi )m1
a11x1 a12x2 a1n xn b1
n 元线性方程组 a21x1 a22x2 a2n xn b2
8
( A E)1 1 ( A2 A E) 8
31
例14若 A3 A 2E 0 ，判别 A 及 ( A 2E) 可逆，
并求其逆。
解 (1)
A( A2 E) 2E ,
A2 E
A
E,
A 可逆 且 A1 1 (E A2 ) 2
2
(2) A2 ( A 2E) 2A( A 2E) 3( A 2E) 8E 0
1 2
4 1
2 1
n
1 0
0 2n
An 11
2 4
1 0
0 2n
1 2
4 1
2 1
2 2n 2 2n1
22nn111
21
二、逆矩阵求解方法二——初等变换法 初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
0 2 8 3 0 1 0 0 12 7 2 1
23
1 ~ 0
0
0 1 0
1 2 12
1 2 7
0 1 2
0 0 1
~
1 0 0
0 1 0
1 2 1
1
2 7
12
0
1
1 6
0 0 112
1 0 1 1
0 0
~ 0 0
1
1 0
0
0 1
0
56
2 3
1 6
7 12
1 6
112
5 12
(4) ( AT )1 ( A1 )T .
证明 只证 (3) 和 (4) .
(3) (AB)(B-1A-1) = A(BB-1)A-1 =AEA-1 =AA-1
= E. (4) AT(A-1)T = (A-1A)T = (E)T = E,
6
矩阵可逆的条件： a11 a12 L a1n
定义
设 矩阵
A
a21 M
a22 M
L
a2n
M
an1 an2 L ann
中元素 aij 的代数余子式 Aij ，
A11
A*
A12 M
A21 L A22 L M
A1n A2n L
An1
An2
M
Ann
称为 A 的伴随矩阵.
7
例 2.16 求二阶方阵
A
a11 a21
a12
a22
的伴随矩阵.
又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵 . 例 设 A 1 1, B 1 2 1 2,
1 1 1 2 1 2 因为 AB = BA = E . 所以 B 是 A 的一个逆矩阵。
4
若方阵 A 可逆，则其逆矩阵唯一 .
证明 设 B 和 C 都是 A 的逆矩阵，则由定义 有 AB = BA = E，AC = CA = E， B = BE = B( AC ) = ( BA )C = EC = C .
3 解 由于 AA A E , 故 A A A1 ,于是
3 A1 1 A 3 A1 1 A A1
3
3
3A1 A1
2A1 23 A1
23
1 A
8. 3
20
例6
设P 11
42 ，
1 0
0 2
，AP
P，求An
解：
A PP1
An PP1PP1PP1 PP1PP1
Pn P1
P 1
22
23
A13 3
2, 4
A21 4
6, 3
15
13
12
2
A22 3 3 6 , A23 3 4 2 , A31 2
13
12
A32 2
1 5 , A33 2
2 , 2
于是
2 6 4
A1
1 A
A
1 2
3 2
6 2
5 2
,
2 6 4 2 9
x
1 2
3 2
(A2 2A 3E)( A 2E) 8E
1 ( A2 2A 3E)( A 2E) E
(
A
8 2E)
可逆，
且
(A
2 E ) 1
1
(
A2
2
A
3E)
8
32
例15
设A,B分别是m阶,
n阶可逆矩阵，D
A C
A0
0 B
，求
D 1
。
解 D
AB
D
CB 0，D可逆，设
D 1
X X
11 21
X X
所以逆矩阵唯一.
➢单位矩阵的逆为其本身。
➢对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）
1
2
O
0 1
1 1
1 2
O
0
.
0
n
0
1 n
5
方阵的可逆满足性质：
(1) ( A1 )1 A;
(2) (kA)1 1 A1 (k 0) ; k
(3) A、B 均是同阶可逆阵，则 ( AB)1 B1 A1 ;
s
4、 秩（A）= 秩( Ai ) i 1
A11
5、Ai 可逆时，则A可逆，且
A1
A21
As1
34
： 定理4 方阵A可逆的充分必要条件是它能表示
成一些初等矩阵的乘积： A p1 p2 ps
定理5 设A，B是 m n 矩阵，则以下三个条件等价 （1） A与B等价； (2) R( A) R(B)
A1
1 A
A*
1 2
4 3
2
1
2 3 2
1
1 2
.
12
推论 若方阵 A、B 有 AB = E，则 A、B 均可逆. 证明 因为
AB A B E 1 , 故
A 0, B 0, 于是 A、B 均可逆 .
13
x1 2 x2 3 x3 2 ,
例 2.17
求解线性方程组
2
x1
M
an1 A11 L ann A1n L
a11 An1 L a1n Ann
M
.
an1 An1 L ann Ann
由第一章行列式展开定理及其推论知
A
AA*
0
A O
0
A
E.
A
类似有 A A A E.
9
定理2. 2 矩阵 A 可逆充分必要条件是 A 0 .
且当 A 0 时，A1 1 A* . A
1
am1x1 am2x2 amn xn bm
a11
a21
am1
a12 a22 am2
a1n a2n amn
mn
x1 xxn2
b1 b2 bm
AX B
（2）
2
则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，
而后者即求 AX B 中未知矩阵X的问题。这需要用到
6 2
5 2
1 4
10 3
.
3 4 ,
1
16
利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量 个数等于方程个数的一种方法 ( 第一章给出了行列式 法 ) ，但对于 n 较大时，两种方法都不适用 .我们将 在余下的章节讨论第三种方法 .
17
2 1 1
例 2.18
设
A
2
6
4
,
AB
A1 2X A E BA，
，
A1 2X BA ， X 1 ( A1 BA) 2
AE
0 1
1 1
2 4
1 0 0 1 0 0 7 0 1 0 0 1 0 5
5 4
2 2
2 1 3 0 0 1 0 0 1 3 2 1
28
X 1 ( A1 BA) 2
7 5 2
0 1 2
2 1 6 , 4
14
方法二 ( 逆阵法 ) 因为方程可写成矩阵形式 Ax = b，其中
1 2 3 2 x1
A
2
2
1
,
b
1
,
x
x2
.
3 4 3
4
x3
由于 A 2 0 , 故 A 可逆，因此 x A1b ,
其中
21
21
A11 4
2, 3
A12 3
3 , 3
所以
(A
E )1
1 2
(
A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6
B
1 2
4 8
1 0 1
1 2
2
2
3 2
1 6 114源自3 81 2
4 8
1 2 1
1
2
.
5
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
19
例 2.19 设 A 为 3 阶矩阵，且 A 3 , 求 3 A1 1 A .
A 1
5
4
2
，
BA 1
1
4
，
3 2 1
2 1 3
7 2 3 0 X 3 3 2 3