第4章数据的统计描述

正态分布：在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都 服从戒近似服从正态分布，也叫高斯分布。

正态分布的特征：

正态分布曲线是一条对称曲线，关于均数对称； 曲线是单峰，在均值处达到最高点； 正态分布曲线的矮阔与尖峭与标准差有关。标准差越大， 个体差异越大，正态曲线也越矮阔；反之，标准差越小， 个体差异越小，正态曲线也越尖峭。 曲线无论向左或向右延伸，都越来越接近横轴，但不会与 横轴相交，以横轴为渐近线。

标准正态分布即将原始数据进行标准化变换，也被称为Z 分布。 X X
Z



通过标准化可得到一系列的变量值，通常称为标准化值， 或Z分数。 标准化值反映的是变量值与变量均值的差是几个标准差单 位。如果标准化值等于0，则表明该变量值等于变量均值； 如果标准化值大于0，则表明该变量值大于变量均值；如 果标准化值小于0，则表明该变量值小于变量均值； 将数据标准化后分为三组：Z≤-3，-3＜Z ＜3，Z≥3 如果数据在第一组或第三组的比例大于理论值0.3%，则可 认为存在异常值。

中位数（Median）是将总体各单位的标志值按大小顺序 排列，处亍中间位置的那个标志值。剩下的值一半比它大， 一半比它小。 设标志值X 1 X 2 X 3 X n
则中位数M ＝X ( n 1) / 2 当n为奇数时 M ＝( X n / 2 X n / 21 ) / 2 当n为偶数时
正偏或右偏分布
中均数 众数位数
三值合一
对称分布
X
中位数 均数众数
负偏或左偏分布

由亍均数较易受极端值的影响，因此可以考虑将数据排序
后，按一定比例去掉两端的数据，只使用中部的数据来求均数， 即截尾均数。

如果截尾均数和原均数相差不大，则说明数据不存在极端
值，或者两侧极端值的影响正好抵消；反之，则说明数据中有
各种统计描述指标：均数、标准差、四分位数间距、百分 比等；
统计表：将统计指标组成表格，可同时呈现多种统计指标， 并进行复杂的样本分组、合并计算； 统计图：按照统计指标的大小将其绘制成一张图形，对于 连续变量数据，常用直方图、箱图加以展示，对于分类变 量，常用条图、饼图加以展示。


变量的类型
Nominal变量 （名义型）

X
n
i
均数的最重要意义在于它高度浓缩了数据，使大量的观测
数据变为一个代表性数值。但它掩盖了各个观测数据之间 的差异性，且对极端值比较灵敏，在某些情况下也有一定
欺骗性。
均数适用范围： 单峰和基本对称的分布情况下适用于描述集中趋势。 严格讲均数只适用于定距变量，但有时对于定序变量，求 平均等级也可使用均数。
布范围。
R X max X min

斱差：即平均了每个数据的离均差的平斱值。可用亍丌同 含量样本数据分布离散程度的比较。

方差越大，数据分布的离散程度越大。

标准差：将斱差开斱得到标准差。标准差度量了偏离平均 数的大小，相当亍平均偏差，可直接地、概括地、平均地
描述数据变异的大小。

标准差越小，表明数据越整齐，变异程度越小。标准差越 大，表明数据分布越分散，变异程度越大。
确定是否在结果中 输出频数表。连续 变量通常不输出频 数表。
可同时选入多 个需要描述的 变量，系统依 次进行分析

II. 使用Frequencies过程计算统计量（Statistics）幵绘制直斱图 （Charts选项卡）。
百分点数值选 项组 按某一数值等 分 集中趋势选 项组
输入给定位置 的百分点

Descriptives过程通常用亍输出连续变量的基本描述统计 量。

主要功能：

只可用于连续变量。 计算各种基本统计量，但与Frequencies相比，不可计算分 位数、中位数、众数等。 重要功能在于将数据标准化。


Explorer过程可用亍输出将变量分类后的连续变量的基本 描述统计量。

中位数是位置平均数，因此不受极端值的影响。
中位数适用范围： 非基本对称的分布情况下可使用于中位数描述集中趋势。 中位数对于定序变量、连续变量都可以使用。 中位数只考虑居中位置，因此用于描述连续变量会损失很 多信息。所以对于对称分布的资料，往往优先考虑均数。

众数（Mode）是样本数据中出现频次最大的那个数字。

异常值的判断


Frequencies过程即频数分析，是最基本的数据分析过程。 主要功能：

既可用于连续变量，也可用于分类变量 生成频数表 计算各种基本统计量，可计算百分位数 对于连续变量可绘制带正态曲线的直方图 对于分类变量可绘制饼图、条图等

针对数据“住房状况调查”
百分位数（Percentile）是一种位置指标，用Px表示。一个 百分位数将一组观察值分为两部分，理论位置有x%的观察值

比它小，(100－x)%的观察值比它大。
四分位数即三个数据的总称，分别是P25、P50和P75分位数。 这三个分位数将全部总体单位按标志值的大小等分为四部分。

分别记为Q1、Q2和Q3。
极端值，此时截尾均数能更好地反映数据的集中趋势。

常用的截尾均数有5%截尾均数，即两端各去掉5%的数。

离散趋势是指一组数据远离其中心值的程度，是关亍数据 波动范围的描述。

在统计学中，关亍数据离散趋势的统计量被称为尺度统计 量（Scale Statistic）。
常用的尺度统计量有：


全距——适用于所有分布类型的资料 标准差、方差——适用于正态分布资料

IV. （1）取消数据拆分，使用Descriptives过程将数据标准化。
将标准化后的变量 值作为一个新变量 保存在数据集中。

（2）将标准化后的Z值进行排序（Sort Cases），看是否存在 绝对值大亍3的Z值，即为异常值。 （3）用Recode命令将Z值分组，计算异常值组的百分比，不 理论值0.3%相比较判断是否存在丌均衡现象。
Ordinal变量 （定序型）
Scale变量 （定 距定比型）
分类变量
可视作分类变量， 也可处理后视作 连续变量
连续变量
5

集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，是关亍 中心位置的描述。

在统计学中，关亍数据分布的中心位置的统计量被称为位 置统计量（Location Statistic）。
四分位数间距——适用于所有分布类型的资料

全距又称为极差，是一组数据中最大值（Maximum）不
最小值（Minimum）之差.

极差衡量的是变量分布的变异范围或离散幅度。 它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分
布。

它容易受个别极端值的影响，并不稳定。

全距一般只用亍预备性检查，目的是大体上了解数据的分

四分位数间距即（Q3 —Q1）
四分位数间距（ Q3 － Q1 ）的适用范围： 四分位数间距包括了中间50%的观察值，因此既排除了两 端极端值的影响，又能够反映较多数据的离散程度，是当方 差、标准差不适用时较好的离散程度描述指标。
四分位数间距越大表明中间的数据越分散，越小表明中间 的数据越集中，在描述数据的离散程度上比极差的稳定性要 高。
选入按某种 因素分组的 分类变量
输出描述性 统计量，指 定置信区间
箱图
茎叶图
极端值，输 出5个最大 值，5个最 小值。
输出5%、 10%、25%、 50%、75%、 95%分位数
I. II. 分析户主的“从业情况”和“房屋产权情况 ”，绘制频数
表和条图
针对“家庭收入”和“现住面积”计算均数、标准差、中 位数以及P5、P95，并绘制带正态曲线的直方图 ；
III. 比较本地户口和外地户口的人均住房面积 情况。
IV. 分析人均住房面积是否存在不均衡现象。

I. 使用Frequencies过程绘制频数表和条图（Charts选项卡）。

数据的分布形态主要指数据分布是否对称，偏斜程度如何， 分布陡缓程度等。

在统计学中，关亍数据分布形态的统计量被称为分布统计 量（Distribution Statistic）。
常用的分布统计量有：


偏度系数 峰度系数

偏度系数是描述变量取值分布形态对称性的统计量。

当分布为对称分布时，正负总偏差相等，偏度值等于0；当
常用的位置统计量有：


均数——适用于正态分布和对称分布资料； 中位数——适用于所有分布类型的资料。
众数——适用于所有分布类型的资料。

算术均数（Arithmetic Mean）是最常用的描述数据分布的 集中趋势的统计量。总体均数用μ表示，样本均数用X表示。
X X 2 … X n X 1 n
第4章
4.１ 连续变量的统计描述
4.２ 分类变量的统计描述 4.３ 多选题的统计描述 4.4 统计图的呈现

描述性统计分析：用少量数字（即描述指标）概括大量原 始数字，对数据进行描述；


推断性统计分析：从样本信息回推总体特征。
统计描述中可用的工具

各种初步汇总描述方法：分组汇总、百分位数刻画


众数不受极端值影响，但对资料的使用不完全，使用众数 反映连续变量会损失很多信息。
当数据为对称分布戒接近对称分布时： 应选择均值作为集中趋势的代表值，因为此时均值不众 数和中位数的差异很小，而又是全部数据的综合，因此具有 很好的代表性。 当数据为偏斜度较大的非对称分布时： 均值此时受极端值的影响，而偏离数据的集中点；此时应 选择众数和中位数来代表。