AAS,SAS,ASA,SSS的证明

A
O
D
C
在ABO 和ADO中， AB = AD (已知），∠BAO = ∠DAO (已证）， AO= AO (公共边） ∴ ABO ≌ ADO（SAS）， ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等） 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义） ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义）.
前面的知识你忘记了吗？
让我们一起来 复习一下吧
（3种） 我们学过几种三角形的全等判定呢？
边角边公理 角边角公理
角角边公理
边角边公理（SAS）
有两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等
小结
角边角公理（ASA）
有两个角和它们的夹边对 应相等的两个三角形全等
小结
角角边公理（AAS）
有两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等
A
C
OC = OD（已知）
EB
O
F
B
D
AE = BF（已知）.
∴ CE = DF
AC = BD(已证),
∠A = ∠B ( 已证 ),
∴ AEC ≌ BFD（ASA）
练 习 二
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD. 求证：AC⊥BD. B 分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD， 证明： 在ABC 和ADC中，
这就要证明 ABO ≌ ADO，它已经具备了 AB = AD (已知）， = CD（已知）， CB 两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证 AC = AC (公共边） ∠BAO= ∠DAO，为了证明这一点，还需证明 ∴ ABC ≌ ADC（SSS）， ABC ≌ ADC. (全等三角形的对应角相等） ∴ ∠BAO = ∠DAO
课堂练习
练习三 练习二 练习一
练 习 三
已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，且AE = BF. 求证：CE=DF. 证明：在AOC 和BOD中， ∵ AC∥DB, ∴∠A = ∠B ( 两直线平等，内错角相等 ). 又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等） ∠A = ∠B ( 已证 ), ∴ AC = BD 在AEC 和BFD中， ∴ AOC ≌ BOD（AAS）
已知：ABC的顶点和 DBC的顶点A 和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC 和DB相交于点O. 求证：OA =OD. 证明： 在ABC和DCB中， AB =DC(已知)，AC = DB (已知)， BC = CB (公共边)， ∴ ABC ≌ DCB（SSS） ∴∠A = ∠D (全等三角形的对应角相等).
练习一
在AOB 和DOC中，
∠AOB = ∠DOC (对顶角) ∠A = ∠D (已证)
AB =DC (已知) ∴ AOB ≌ DOC（AAS）
∴ OA =OD.
继再 续接 学再 习厉 新， 知让 识我 吧们
课 堂 小 结
边角边公理 角边角公理 角角边公理
边边边公理
江苏省阜宁县明达中学
高为轩
´
A´ B´
边边边（SSS）公理
有三边对应相等的 两个三角形全等
学个新知识
小结Biblioteka 1如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC 中点D的支架。 求证：AD⊥BC 证明： 在ABD 和ACD中， AB = AC, AD = AD (公共边）， DB = DC (D是中点）， ∴ ABD ≌ ACD（SSS）， ∴∠1= ∠2 (全等三角形的对应角相等).
小结
画全等三角形的另一个方法
如右上图，已知任意ABC，画一个 A´B´C´, 使A´B´=AB, A´C´=AC, B´C´ =BC.
画法：1、画线段A´B´=AB, 如右下图
C
A
B
2、分别以 A´、B´为圆心，AC、BC为半径 画弧，两弧相交于点C´ .
3、连结A´C´、 B´C´ 得 A´B´C´. 剪下 A´B´C´放在ABC上， 可以看到 A´B´C´ ≌ ABC，由此可以得到判定两 个三角形全等的又一个公理. C
1 ∴ ∠1 = ∠BDC = 90° (平角定义) 2
∴ AD⊥BC（垂直定义）
例2
已知：如图，AB=DC，AD=BC.
求证： ∠A= ∠C. 提示：要证明∠A= ∠C，可设法使它 证明： 连结BD 们分别在两个三角形中，为此，只要 在BAD 和DCB中， 连结BD即可
AB = CD AD = CB BD = DB (公共边) ∴ BAD ≌ DCB（SSS）， ∴∠A = ∠C (全等三角形的对应角相等).