AAS,SAS,ASA,SSS的证明
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
三角形的证明基础概念
第一章三角形的证明
全等三角形
1.判定方法
SSS SAS ASA AAS HL(Rt△)
2.性质
全等三角形对应角相等，对应边相等。
等腰三角形（轴对称图形）
1.判定方法
①有两个边长相等的三角形是等腰三角形（定义）
②等角对等边（有两个角相等的三角形是等腰三角形）
2.性质
①等边对等角
②三线合一（顶角的角平分线，底边上的中线，底边上的高线）
等边三角形（特殊的等腰三角形）
1.判定
①三条边都相等是三角形是等边三角形（定义）
②三个角都是相等的三角形是等边三角形
③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形
2.性质
①三条边都相等
②三个内角都相等，等于60°；
直角三角形
1.判定
①有一个角是直角的三角形是直角三角形（定义）
②有两锐角互余的三角形是直角三角形
③如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
2.性质
①直角三角形中30°所对直角边等于斜边的一半；
②直角三角形的两锐角互余
③直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）
线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
2.到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
3.三角形的三条边的垂直平分线相交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等；这个点叫做三角形的外心
角平分线
1.角平分线上的点到角两边的距离相等；
2.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
2.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等；
这一点叫三角形的内心。
全等三角形判定(ASA和AAS)
D
或∠A=∠D （AAS）
E
或 AC=DF （SAS）
知识梳理: 三角形全等判定方法3
有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全
等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。
用符号语言表达为：
在△ABC和△DEF中
A
D
∠A=∠D （已知 ）
AB=DE（已知 ）
∠B=∠E（已知 ）
A_B_=_A__’__C_ （ 已知 ）
∠_B__=_∠__C__ （ 已知 ）
∴△A_B_E__≌△A_’__C_D（ ASA）
B
ED C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
AD B EC F
证明：∵ BE=CF(已知)
∴BC=EF(等式性质)
∵ AB∥DE AC∥DF (已知)
∵∠1＝ ∴∠1＋ 即∠BAC＝
∠DAE 在△ABC和△ADC 中
C＝E（已知） BAC＝DAE（已证
∴
）
△ABC≌△ADE （AAS）
AB＝AD（已知）
5、在△ABC中，AB=AC，
A
AD是边∠BBACC上的的角中平线分，线证。明： ∠求B证A：D=BD∠C＝ACDD
B
DC
证明：∵AD是B∠CB边AC上的的角中平线分线（已知）
C
F
A
BD
E
例1 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？
A 证明: 在△ABE与△ACD中
D
E
∠B=∠C （已知） AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角）
B
三角形全等的证明
三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。
证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。
以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。
1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。
即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。
然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。
由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。
即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。
根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。
即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。
根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
全等三角形的证明过程
全等三角形的证明过程引言：全等三角形是几何学中的基本概念之一，它意味着两个三角形的所有对应边长和对应角度完全相等。
全等三角形的证明过程可以通过多种方法展示，其中包括SSS（边边边）法、SAS（边角边）法、ASA（角边角）法、AAS（角角边）法和HL（斜边直角边）法等。
本文将重点介绍这些方法的证明过程，以帮助读者更好地理解全等三角形的概念和性质。
一、SSS法（边边边法）：SSS法是最直接和简单的证明方法之一。
它要求两个三角形的所有三条边分别相等，即边边边相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，BC = EF，AC = DF。
步骤2：由于AB = DE，BC = EF，AC = DF，所以三角形ABC和三角形DEF的三条边分别相等。
步骤3：根据边边边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
二、SAS法（边角边法）：SAS法是另一种常用的证明方法，它要求两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，即边角边相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF。
步骤2：由于AB = DE，∠BAC = ∠EDF，BC = EF，所以三角形ABC的两条边和夹角分别等于三角形DEF的两条边和夹角。
步骤3：根据边角边相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
三、ASA法（角边角法）：ASA法要求两个三角形的两个角和它们之间的边分别相等，即角边角相等。
具体证明过程如下：步骤1：已知两个三角形ABC和DEF，其中∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF。
步骤2：由于∠BAC = ∠EDF，AC = DF，∠ABC = ∠DEF，所以三角形ABC的两个角和边分别等于三角形DEF的两个角和边。
步骤3：根据角边角相等的定义，可以得出结论：三角形ABC全等于三角形DEF。
sas sss asa aas hl定理
SAS， SSS， ASA， AAS，和HL定理是几何学和三角学中的重要概念，有助于我们证明三角形的一致。
Congruence是指两种或两种以上几何形状在形状和大小上完全相同的想法。
这些定理提供了一套条件，我们可以据此确定两个三角形相互一致。
SAS （Side—Angle—Side）（英语）。
定理指出，如果一个三角形的两边和包含的角与两个边和另一个三角形的包含的角一致，那么三角形是一致的。
特别安全局（Side—Side）定理指出，如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边一致，那么三角形就是一致的。
ASA （Angle— Side— Angle）（英语）。
定理指出，如果两个角和一个三角形的内含面与两个角和另一个三角形的内含面一致，那么三角形是一致的。
AAS （Angle— Angle— Side）（英语）。
定理指出，如果两个角和一个三角形的非包含边与两个角和另一个三角形的非包含边一致，那么三角形是一致的。
高尔夫球队（Hypotenuse—Leg）定理专门用来证明右角三角形的一致性。
它指出，如果一个右角三角形的下垂和一条腿与下垂和另一个右角三角形的一条腿一致，那么三角形是一致的。
使用这些定理的一个现实世界的例子就是建筑和工程。
在设计和建造桥梁等结构时，建筑师和工程师需要确保结构的各个组成部分相互一致，并完美地组合在一起。
他们使用SAS，SSS，ASA，AAS，和HL 定理来准确测量和构建结构的组件，以确保稳定和安全。
SAS、SSS、ASA、AAS和HL定理是几何学和三角学中证明三角形一致的必要工具。
它们在建筑和工程等领域有实际的应用，在这些领域，测量和建筑的精确性和准确性至关重要。
理解这些定理可以让我们应用几何原理来解决现实世界的问题，并创造坚固可靠的结构。
全等三角形sss sas asa aas几何语言
全等三角形是几何学中的一个概念，它指的是两个三角形的形状和大小完全相同。
全等三角形有以下几种常见的证明方法：
1. SSS（Side-Side-Side）：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等。
用几何语言表示，可以写作：如果三角形ABC和三角形DEF的三条边AB=DE，AC=DF，BC=EF，那么这两个三角形全等。
2. SAS（Side-Angle-Side）：如果两个三角形的两条边和它们之间的夹角分别相等，那么这两个三角形全等。
用几何语言表示，可以写作：如果三角形ABC和三角形DEF的两条边AB=DE，AC=DF，并且角BAC=角EDF，那么这两个三角形全等。
3. ASAS（Angle-Side-Angle）：如果两个三角形的两个角和它们所夹的边分别相等，那么这两个三角形全等。
用几何语言表示，可以写作：如果三角形ABC和三角形DEF的两个角BAC=角EDF，并且边AB=DE，AC=DF，那么这两个三角形全等。
4. AAS（Angle-Angle-Side）：如果两个三角形的两个角和它们所夹的一条边分别相等，那么这两个三角形全等。
用几何语言表示，可以写作：如果三角形ABC和三角形DEF的两个角BAC=角EDF，并且边BC=EF，那么这两个三角形全等。
以上就是全等三角形的四种常见证明方法，分别对应着SSS、SAS、ASA和AAS。
在证明全等三角形时，可以根据题目所给的条件选择合适的方法进行证明。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
三角形的全等证明
三角形的全等证明在几何学中，全等是两个图形之间的一个重要概念。
当两个图形的所有对应边和对应角相等时，我们可以说这两个图形是全等的。
在本文中，我们将重点讨论三角形的全等证明。
一、全等三角形的定义全等三角形是指具有相同对应边和相同对应角的两个三角形。
对应边是指两个三角形的对应边长相等，对应角是指两个三角形的对应角度相等。
全等三角形的证明有多种方法，接下来我们将介绍其中的几种常用的证明方法。
二、SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的所有三条边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.AC=DF3.BC=EF4.AB=DE5.根据SSS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
三、SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的两边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.AB=DE3.∠BAC=∠EDF4.BC=EF5.根据SAS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
四、ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的两个角和边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.∠BAC=∠EDF3.AB=DE4.∠ABC=∠DEF5.根据ASA全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
五、AAS全等定理AAS全等定理是指当两个三角形的两个角和对边角分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.∠ABC=∠DEF3.∠ACB=∠DFE4.BC=EF5.根据AAS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
六、RHS全等定理RHS全等定理是指当两个三角形的斜边和两个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
具体证明步骤如下：1.已知：∆ABC≅∆DEF2.BC=EF3.AB=DE4.∠BAC=∠EDF5.根据RHS全等定理，可以得出∆ABC≅∆DEF。
通过以上几种全等定理，我们可以根据给定的条件来判断两个三角形之间是否全等。
全等三角形的证明过程
全等三角形的证明过程全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
证明两个三角形全等的方法主要有以下几种：SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA （角边角）、AAS（角角边）和HL（斜边和直角边）。
一、SSS（边边边）法SSS法是通过已知两个三角形的三边分别相等来证明两个三角形全等。
具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：AB=XY，BC=YZ，AC=XZ证明过程：1. 画出△ABC和△XYZ，假设AB=XY，BC=YZ，AC=XZ；2. 分别连接AC和XZ，假设它们的交点为点O；3. 根据三角形的性质，△ABC和△XYZ的内角和相等，即∠ABC=∠XYZ，∠ACB=∠XZY；4. 根据三角形内角和为180°的性质，可得∠BAC=∠YXZ；5. 由∠BAC=∠YXZ，可得△ABC≌△XYZ，即两个三角形全等。
二、SAS（边角边）法SAS法是通过已知两个三角形的两边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。
具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：AB=XY，∠BAC=∠YXZ，BC=YZ1. 画出△ABC和△XYZ，假设AB=XY，∠BAC=∠YXZ，BC=YZ；2. 根据SAS法则，如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。
三、ASA（角边角）法ASA法是通过已知两个三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。
具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：∠BAC=∠YXZ，AC=XZ，∠ACB=∠XZY证明过程：1. 画出△ABC和△XYZ，假设∠BAC=∠YXZ，AC=XZ，∠ACB=∠XZY；2. 根据ASA法则，如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。
四、AAS（角角边）法AAS法是通过已知两个三角形的两个角和一条边分别相等来证明两个三角形全等。
具体证明过程如下：已知：△ABC≌△XYZ证明：∠BAC=∠YXZ，∠ACB=∠XZY，AB=XY1. 画出△ABC和△XYZ，假设∠BAC=∠YXZ，∠ACB=∠XZY，AB=XY；2. 根据AAS法则，如果两个三角形的两个角和一条边分别相等，则两个三角形全等；3. 可以得出结论：△ABC≌△XYZ。
全等三角形的判定(SSS、SAS、AAS、ASA)
∴△ABC≌△BAD（ ）
教学设计（师）
课堂笔记（生）
教后
反思
八年级数学（上）册第2课时教学稿
课题
三角形全等的判定（SSS）
课型
新授
授课人
何秋丽
授课时间
第周第讲学稿
教学
目标
1.知识目标：三角形全等的“边边边”的条件．
2.能力目标：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、 归纳获得数学结论的过程．
3.情感目标：培养学生的自我探索精神。
重点
难点
重点：三角形全等的“边边边”的条件
求证：△ABD≌△ACD．
三、练习巩固
3.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,求证：∠ A=∠ C.
难点：三角形全等的“边边边”的条件
自学、导学材料
一、自主预习：
1．自学课本11Βιβλιοθήκη 2三角形全等的判定第6页至第8页。
2.你学到了哪些知识？
3. 你还有那些疑惑 ？
二、合作探究
1.已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？想象一下全班同学画出得图形都全等吗？
2.如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．
你能说明AB∥CD，AD∥BC吗？
5、如图, CE=DE，EA=EB，CA=DB，求证：△ABC≌△BAD.
证明∵CE=DE， EA=EB. CA=DB
∴
∴ 在△ABC和△BAD.中，
证明全等的五种方法
证明全等的五种方法全等是几何中的一个重要概念，指的是两个图形在形状和大小上完全相同。
在证明两个图形全等时，通常可以使用以下五种方法：SAS、ASA、SSS、AAS和HL。
下面将分别介绍这五种方法的原理和应用。
1. SAS（边-角-边）SAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，AC=DF，且∠BAC=∠EDF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
2. ASA（角-边-角）ASA也是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
3. SSS（边-边-边）SSS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，AB=DE，BC=EF，且AC=DF，则可以得出三角形A BC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
4. AAS（角-角-边）AAS是三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个三角形的两个角和非夹边的对边的夹角分别相等，则这两个三角形全等。
具体地，如果在两个三角形ABC和DEF中，∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，且BC=EF，则可以得出三角形ABC≌DEF。
这种方法常用于证明两个三角形全等的情况。
5. HL（斜边-斜边-直角边）HL是直角三角形全等的一个重要准则，它表示如果两个直角三角形的一条斜边和直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
具体地，如果在两个直角三角形ABC和DEF中，AB=DE，且∠BAC=∠EDF，则可以得出直角三角形ABC≌DEF。
判定三角形全等的四种方法
判定三角形全等的四种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，而判定三角形之间是否全等是几何学中常见的问题。
在几何学中，全等是指两个或多个图形的全部对应部分都相等。
判定三角形全等的方法有很多种，其中常用的有四种，分别是SSS、SAS、ASA和AAS。
一、SSS（边边边）方法SSS方法是指通过三角形的三条边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的边长分别为a、b、c和x、y、z，如果a=x、b=y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
二、SAS（边角边）方法SAS方法是指通过三角形的两边和夹角的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的边长分别为a、b，夹角为C，和x、y，夹角为Z，如果a=x、b=y、C=Z，则可以判定这两个三角形全等。
三、ASA（角边角）方法ASA方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
四、AAS（角角边）方法AAS方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
通过以上四种方法，我们可以判定两个三角形是否全等。
在实际应用中，判定三角形全等可以帮助我们解决一些几何问题，例如计算图形的面积、判断图形的相似性等。
在学习几何学时，掌握这些方法是非常重要的。
除了以上四种方法，还有一些其他方法可以用来判定三角形全等，例如HL方法、RHS方法等。
三角形的证明
全等三角形的证法
1：（SSS或“边边边”）证明三条边相等的两个三角形全等
在两个三角形中，若三条边相等，则这两个三角形全等。
几何语言：在三角形中因为ab=AB, ac=AC, bc=BC 所以三角形abc全等于三角形ABC
2. (SAS或“边角边”) 证明有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等
在两个三角形中，若有两条边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。
几何语言：在三角形中因为ab=AB，bc=BC, ∠b=∠B，则三角形abc全等于三角形ABC
3. (ASA或“角边角”) 证明有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
在两个三角形中，若有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠B,ab=AB, 则三角形abc全等于三角形ABC
4. (AAS或“角角边”) 证明有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
在两个三角形中，若两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等
几何语言：在三角形中∠a=∠A,∠b=∠Bac=AC则三角形abc全等于三角形ABC
5. (HL或“斜边，直角边”) 证明斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
在两个直角三角形中，若斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等
几何语言：在三角形中因为ab=AB 直角c=直角C 则三角形abc全等于三角形ABC
所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形.
提醒：在证明的图中可能出现，两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角相等
两直线平行，对顶角相等
通常在混合题，混合图，等等。
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形是指具有相同形状但是大小不同的三角形。
在几何学中，全等三角形是一种非常重要的概念，它们具有许多重要的性质和特征。
在本文中，我们将介绍全等三角形的判定方法，并给出五种不同的证明方式。
我们来回顾一下全等三角形的定义。
两个三角形如果它们的对应的三边和对应的三个角分别相等，则这两个三角形是全等的。
换句话说，如果三角形ABC和三角形DEF满足以下条件：AB=DE, AC=DF, BC=EF，并且∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F,那么我们可以说三角形ABC 全等于三角形DEF。
现在，让我们来看一下全等三角形的判定方法及其证明：1. SSS法则SSS法则是说如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明：设三角形ABC和三角形DEF满足AB=DE, AC=DF,BC=EF。
我们需要证明∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F。
根据余弦定理，我们可以得到：cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bccos D = (e^2 + f^2 - d^2) / 2ef由于AB=DE, AC=DF, BC=EF，则有：b = e,c = f, a = d带入余弦定理的公式中，得：cos A = cos Dcos B = cos Ecos C = cos F由于余弦函数是单调递减的，所以当两个角的余弦值相等时，这两个角必然相等。
根据余弦函数的性质，我们可以得出∠A=∠D,∠B=∠E, ∠C=∠F。
从而证明了SSS法则。
根据正弦定理，我们可以得到：sin C / sin F = a / d根据辅助线法，我们可以构造AE || BF，连接CE。
则有∠AEC = ∠B, ∠EFC = ∠C。
由于∠A=∠D, AB=DE，根据AAS法则，我们可以得到三角形AEC 全等于三角形BFC。
我们介绍了全等三角形的判定方法及其五种不同的证明方式。
三角形全等的判定AAS-八年级数学上册课件(沪科版)
探究新知 通过之前学习，我们知道，SAS，ASA，SSS 都可以作为判
断两个三角形全等的条件. 那么请同学们想一想， 在三角形的 六个基本元素中选择三个元素对应相等，除了配成 SAS，ASA， SSS，还可以配成哪些形式呢？
(1) AAA —— 三个角 分别相等 (2) SSA —— 两边 和 其中一边的对角 分别相等 (3) AAS —— 两角 和 其中一角的对边 分别相等
探究新知
ㄨ (1) AAA —— 三个角 分别相等
(2) SSA —— 两边 和 其中一边的对角 分别相等 (3) AAS —— 两角 和 其中一角的对边 分别相等
想一想，满足上面三组条件中任意一组的两个三角形，是 全等三角形吗？
提第示(1：)组肯中定的一条个件结不论能，判需断要两推个理三、角验形证全；等. 否定一个结论， 只要举出一个反例即可.
但 △ABC 和 △ABD 不全等.
B
C
D
探究新知
ㄨ (1) AAA —— 三个角 分别相等 ㄨ (2) SSA —— 两边 和 其中一边的对角 分别相等
√ (3) AAS —— 两角 和 其中一角的对边 分别相等
想一想，满足上面三组条件中任意一组的两个三角形，是 全等三角形吗？
第(3)组 中的条件 能判断 两个三角形全等. 理由：
又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠BDE=∠C
在 △AEC 和 △BDE 中 ∠A=∠B (已知)
∵ ∠C＝BDE (已证)
AE=BE (已知) ∴ △AEC≌△BED (AAS)
5、如图，点 A，B，D，E 在同一直线上，AD＝EB，BC∥ DF，
∠C＝∠F . 求证：AC＝EF.
C
证明：∵ AD＝EB
∴ AD-EF=EB-EF (等式性质) A
全等三角形证明sss,sas
全等三角形 知识梳理一、知识网络⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪→⇒⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL二、基础知识梳理 （一）、基本概念1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。
同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。
（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（二）灵活运用定理1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。
2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
（1）已知条件中有两角对应相等，可找：①夹边相等（ASA ）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)判定定理1: 简单的表示为：SSS数学语言：在△ABC 和△A 'B '' 中AC=A 'C ' （已知） BC=B 'C ' （已知）AB=A 'B ' （已知） ∴△ABC ≌△A 'B ''（SSS ）1、若AB=CD,AC=DB ，可以判定哪两个三角形全等？请证明。
全等三角形的四种判定方法
全等三角形的四种判定方法
1.SSS判定法（边-边-边）：
SSS判定法是通过比较两个三角形的边长来判断它们是否全等。
当三
个边的长度完全相等时，两个三角形就是全等的。
这是最直观的方法，也
是最易判定的方法之一
2.SAS判定法（边-角-边）：
SAS判定法是通过比较两个三角形的边长和夹角来判断它们是否全等。
当两个三角形的一对相邻边和它们之间的夹角相等时，这两个三角形就是
全等的。
3.ASA判定法（角-边-角）：
ASA判定法是通过比较两个三角形的两个角度和它们之间的夹边来判
断它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和它们之间的夹边相等时，这
两个三角形就是全等的。
4.AAS判定法（角-角-边）：
AAS判定法是通过比较两个三角形的两个角度和一个非夹角边来判断
它们是否全等。
当两个三角形的两个角度和一个非夹角边相等时，这两个
三角形就是全等的。
这些判定方法都基于三角形的重要性质：对于两个全等的三角形，它
们的对应边长相等，对应角度相等。
因此，通过比较两个三角形的边长和
角度可以判断它们是否全等。
在实际应用中，这些判定方法可以用来解决各种问题，比如计算三角形的面积、寻找相似三角形等。
此外，全等三角形的概念也是其他几何学概念的基础，比如正方形和正五边形都是全等三角形的特殊情况。
综上所述，全等三角形的判定方法有四种：SSS、SAS、ASA和AAS。
通过比较边长和角度的相等性可以确定两个三角形是否全等。
这些方法在解决几何问题中非常有用，并且为其他几何学概念的理解提供了基础。
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A
O
D
C
在ABO 和ADO中， AB = AD (已知），∠BAO = ∠DAO (已证）， AO= AO (公共边） ∴ ABO ≌ ADO（SAS）， ∴ ∠AOB = ∠AOD (全等三角形的对应角相等） 又∵∠AOB + ∠AOD =180°(邻补角定义） ∴ ∠AOB = ∠AOD= 90°. ∴AC⊥BD(垂直定义）.
前面的知识你忘记了吗？
让我们一起来 复习一下吧
（3种） 我们学过几种三角形的全等判定呢？
边角边公理 角边角公理
角角边公理
边角边公理（SAS）
有两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等
小结
角边角公理（ASA）
有两个角和它们的夹边对 应相等的两个三角形全等
小结
角角边公理（AAS）
有两角和其中一角的对边对 应相等的两个三角形全等
A
C
OC = OD（已知）
EB
O
F
B
D
AE = BF（已知）.
∴ CE = DF
AC = BD(已证),
∠A = ∠B ( 已证 ),
∴ AEC ≌ BFD（ASA）
练 习 二
如右图， 已知：AB=AD，CB=CD. 求证：AC⊥BD. B 分析：欲证AC⊥BD，只需证∠AOB= ∠AOD， 证明： 在ABC 和ADC中，
这就要证明 ABO ≌ ADO，它已经具备了 AB = AD (已知）， = CD（已知）， CB 两个条件： AB=AD，OA=AO,所以只需证 AC = AC (公共边） ∠BAO= ∠DAO，为了证明这一点，还需证明 ∴ ABC ≌ ADC（SSS）， ABC ≌ ADC. (全等三角形的对应角相等） ∴ ∠BAO = ∠DAO
课堂练习
练习三 练习二 练习一
练 习 三
已知：如右图，AB、CD相交于点O，AC∥DB,OC = OD, E、F为 AB上两点，且AE = BF. 求证：CE=DF. 证明：在AOC 和BOD中， ∵ AC∥DB, ∴∠A = ∠B ( 两直线平等，内错角相等 ). 又∵ ∠AOC = ∠BOD（对顶角相等） ∠A = ∠B ( 已证 ), ∴ AC = BD 在AEC 和BFD中， ∴ AOC ≌ BOD（AAS）
已知：ABC的顶点和 DBC的顶点A 和D在BC的同旁, AB =DC, AC = DB, AC 和DB相交于点O. 求证：OA =OD. 证明： 在ABC和DCB中， AB =DC(已知)，AC = DB (已知)， BC = CB (公共边)， ∴ ABC ≌ DCB（SSS） ∴∠A = ∠D (全等三角形的对应角相等).
练习一
在AOB 和DOC中，
∠AOB = ∠DOC (对顶角) ∠A = ∠D (已证)
AB =DC (已知) ∴ AOB ≌ DOC（AAS）
∴ OA =OD.
继再 续接 学再 习厉 新， 知让 识我 吧们
课 堂 小 结
边角边公理 角边角公理 角角边公理
边边边公理
江苏省阜宁县明达中学
高为轩
´
A´ B´
边边边（SSS）公理
有三边对应相等的 两个三角形全等
学个新知识
小结Biblioteka 1如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC 中点D的支架。 求证：AD⊥BC 证明： 在ABD 和ACD中， AB = AC, AD = AD (公共边）， DB = DC (D是中点）， ∴ ABD ≌ ACD（SSS）， ∴∠1= ∠2 (全等三角形的对应角相等).
小结
画全等三角形的另一个方法
如右上图，已知任意ABC，画一个 A´B´C´, 使A´B´=AB, A´C´=AC, B´C´ =BC.
画法：1、画线段A´B´=AB, 如右下图
C
A
B
2、分别以 A´、B´为圆心，AC、BC为半径 画弧，两弧相交于点C´ .
3、连结A´C´、 B´C´ 得 A´B´C´. 剪下 A´B´C´放在ABC上， 可以看到 A´B´C´ ≌ ABC，由此可以得到判定两 个三角形全等的又一个公理. C
1 ∴ ∠1 = ∠BDC = 90° (平角定义) 2
∴ AD⊥BC（垂直定义）
例2
已知：如图，AB=DC，AD=BC.
求证： ∠A= ∠C. 提示：要证明∠A= ∠C，可设法使它 证明： 连结BD 们分别在两个三角形中，为此，只要 在BAD 和DCB中， 连结BD即可
AB = CD AD = CB BD = DB (公共边) ∴ BAD ≌ DCB（SSS）， ∴∠A = ∠C (全等三角形的对应角相等).