第02章：力的投影 力矩和力偶

r r r r r r r F = Fx + Fy + Fz = Xi + Yj + Zk
下面证明合力投影定理。
z
r Fz
γ
r r r r r FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi r r r r r r r Fi = Fix + Fiy + Fiz = X i i + Yi j + Z i k r r r r r r r FR = FRx + FRy + FRz = Xi + Yj + Zk
r i = x Fx r j y Fy r k v v v z = ( yFz − zF y ) i + ( zF x − xFz ) j + ( xF y − yF x ) k Fz
v v 力对点O的矩 M O ( F )在
三个坐标轴上的投影为
r r ⎡ M o ( F ) ⎤ = yFz − zFy ⎣ ⎦x r r ⎡ M o ( F ) ⎤ = zFx − xFz ⎣ ⎦y
∑M = 0
解得
M 1 − FA ⋅ r sin θ = 0
FO = FA = 8kN
取杆BC为研究对象，画受力图.
∑M = 0
解得
' FA ⋅
r − M2 = 0 sin θ
M 2 = 8kN ⋅ m
FB = FA = 8kN
四、空间力系里力偶矩以矢量表示,力偶矩矢
F1 = F2 = F1′ = F2′
r Fx
x
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
三. 力在空间直角坐标轴上的投影 力沿空间直角坐标轴的分解 平面坐标系里讲力的分解画平行四边形、矩形, 空间坐标系里讲力的分解则应画平行六面体、长方体。
r r r r F = Fx + Fy + Fz
X = F cos α = Fx
z
4. 只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
=
=
5. 只要保持力偶矩不变，力偶可从 其所在平面移至另一与此平面平行的 任一平面，对刚体的作用效果不变.
定位矢量 滑移矢量 自由矢量（滑移，平移） 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩矢相等的力偶等效
r r r M = rBA × F
r r r r r r r r r r r M o ( F , F ′) = M o ( F ′) + M o ( F ′) = rA × F + rB × F ′
r r 因 F ′ = −F
r r r r r r r M o ( F , F ′) = (rA − rB ) × F = M
r r r r r r Xi + Yj + Zk = ∑ X i i + Yi j + Z i k r r r = ∑ ( X i ) i + ∑ (Yi ) j + ∑ (Z i ) k
r FA
r o β r Fx α Fy
(
)
x
y
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
r r r r r r Xi + Yj + Zk = ∑ X i i + Yi j + Z i k r r r = ∑ ( X i ) i + ∑ (Yi ) j + ∑ (Z i ) k
§2.4
二.力偶和力偶矩
1.力偶
力偶理论
由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 r r (F , F ′ ) 力系称为力偶，记作
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂 两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
1 M = ± F ⋅ d = ±2 ⋅ ⋅ F ⋅ d = ±2 S∆ABC 2
理论力学
第二章 力的投影 力矩和力偶
大连理工大学 土木水利学院 工程力学教研室
第二章 力的投影 力矩和力偶
§ 2-1 力在轴上的投影 合力投影定理 § 2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐 标轴的分解 § 2-3 力矩 合力矩定理 § 2-4 力偶理论
第二章 力的投影 力矩和力偶
§2-1
力在轴上的投影 合力投影定理
r r r r r r r r r ×FR = r ×F +r ×Fn 1 +r ×F 2 +L
即
r r r r M O (FR ) = ∑ M O (Fi )
平面力系里合力矩定理：合力对某一点之矩等于各分力对该 点之矩的代数和。 空间力系里合力矩定理：合力对某一点之矩等于各分力对该 点之矩的矢量和。 对轴的合力矩定理：合力对某轴之矩等于各分力对该轴之矩 的代数和。
M = Mi ∑ i =1
n
= ∑M
i
平面力偶系平衡的充要条件 M = 0，有如下平衡方程
∑
wk.baidu.com
M
i
= 0
例2-8 已知：M 1 = M
2
= 10 N ⋅ m , M 3 = 20 N ⋅ m , l = 200 mm ;
求： 光滑螺柱AB所受水平力. 解：由力偶只能由力偶平衡的性质， 其受力图为
∑M = 0
五. 空间力偶系的合成与平衡条件
r r M = ∑ Mi
M x = ∑ M ix , M y = ∑ M iy , M z = ∑ M iz
合力偶矩矢的大小和方向余弦
∑ M ix cosθ = M
M x = (∑ M ix ) 2 + (∑ M iy ) 2 + (∑ M iz ) 2
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
FRx = X = ∑ ( X i ) FRy = Y = ∑ (Yi )
2 2
若为平面力系
合力大小 合力方向
FR = X + Y =
X ∑ Xi cos α = = FR FR
(∑ X ) + (∑ Y )
2 i i
2
§2.3 力对点之矩 合力矩定理
FAl − M 1 − M 2 − M 3 = 0
解得
M1 + M 2 + M 3 F A = FB = = 200 N l
o M = 2 kN ⋅ m , OA = r = 0 . 5 m , θ = 30 ; 例2-9 已知 1
求：平衡时 M 2 及铰链O，B处的约束力. 解：取轮为研究对象,由力偶只能由力偶平衡的性质画受力图.
r r MO2 (F , F ′) = F ′ ⋅ (d + x2 ) − F ⋅ x2 = F 'd = Fd
4.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且 可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用 效果不变.
=
=
=
=
=
=
=
三.平面力偶系的合成和平衡条件
已知：M 1 , M 2 , L M n ;
r F
α A b a
X = F cos α
⎧> 0 0o ≤ α < 90o ⎪ o = = 0 90 α ⎨ ⎪< 0 90o < α ≤ 180o ⎩
x
第二章 力的投影 力矩和力偶
三. 合力投影定理 当有合力的情况下，即 则有
r r r r r FR = F1 + F2 + L+ Fn = ∑ Fi
[
v v M o (F )
]
z
= xF y − yF x
四.力对轴的矩
衡量绕该轴的转动效应
h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴 的矩为零.
r r Mz (F) = Mo(Fxy ) =±Fxy ⋅ h
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转动为正，反之为负。
二、合力矩定理
以一个特例：汇交力系来说明。 r r s r FR = F1 + F2 + L + Fn
一. 力在平面上的投影
矢量
r F = AB
r F
A A’
T T
B
r F ′ = A′ B′
B’
第二章 力的投影 力矩和力偶
二. 力在轴上的投影
r F = AB
代数量
r F
A a B α
B
线段ab的长度冠以正负号，表 示力在x轴上的投影。 设力与x轴的夹角为α，则力在 力在x轴上的投影（X）为：
x
b
乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位Nm或kNm。
§2.3 力对点之矩 合力矩定理
二、合力矩定理
以一个特例：汇交力系来证明。
r r r r r r r r r ×FR = r ×F +r ×Fn 1 +r ×F 2 +L
即
r r r r M O (FR ) = ∑ M O (Fi )
r F A r φ r A’ Fy y Fxy
r o Fx
Z = F cos γ X = Fxy cos φ = F sin γ cos φ Y = Fxy sin φ = F sin γ sin φ
x
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解 r r r 若 i , j , k 为沿x、y、z轴正向的单位常矢量，则
r r r r MO(F) =r ×F
r r r r 为什么用 MO(F) =r ×F 可以表达出力矩三要素？
r r r r 大小： M O F = r × F = r ⋅ F ⋅ sin α = r ⋅ sin α ⋅ F = h ⋅ F
作用面：OAB平面 转动方向：右手螺旋法则
( )
α
o
r r r r r r r r F = Fx i + Fy j + Fz k 因为 r = xi + yj + zk r r r r r r r r r r 则 MO (F ) = (r × F ) = ( xi + yj + zk ) × (Fxi + Fy j + Fz k )
(
)
FRx = X = ∑ ( X i )
所以
FRy = Y = ∑ (Yi )
FRz = Z = ∑ (Z i )
合力大小 FR =
X +Y + Z =
2 2 2
(∑ X ) + (∑ Y ) + (∑ Z )
2 2 i i i
2
Yi X ∑ Xi Y Z ∑ Zi ∑ = , cos β = = , cos γ = = 合力方向 cos α = FR FR FR FR FR FR
r Fz
γ
Y = F cos β = Fy Z = F cos γ = Fz
r F A
r o β r Fx α Fy
x
y
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
已知α、β、γ，
z
r Fz
γ
X = F cos α
Y = F cos β Z = F cos γ
已知γ、φ，则采用二次投影法
r r s r FR = F1 + F2 + L + Fn
合力矩定理：合力对某一点之矩等于各分力对该点之矩的代 数和。 该定理对任何有合力的情况下都成立。
§2.3 力对点之矩 合力矩定理
三、空间力系里力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 转动方向 (3)作用面：力矩作用面.
X = X1 + X 2 + L + X n = ∑ X i
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
一. 力在平面任意坐标轴上的投影 力沿平面任意坐标轴的分解
r F1 r F2
r FR
y
Y
r Fy
β α
X
r F
r Fx
r r r F = Fx + Fy
r r r F1 + F2 = FR
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 转动方向； （3） 作用面：力偶作用面。
力偶矩矢
r r r M=rBA×F
力偶的性质
1.力偶不能合成为一个力，或者说不能用一个力来等效，也 不能用一个力来平衡. 2. 力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . 3. 力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。 力偶矩
一、力对点之矩（力矩） 衡量转动效应 B A
力矩作用面，O称为矩心， O到力的作用线的垂直距离h 称为力臂 两个要素： 1.大小：力F与力臂的乘积 2. 转动方向 r M 0 F = ± F ⋅ h = ± 2 S ∆ OAB r r r r M0 F = r×F
( ) ( )
力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶不能合成为一个力，或者说不能用一个力来等效，也 不能用一个力来平衡.
2.力偶在任意坐标轴上的投影等于零.
3.力偶对任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而改变.
M = F ⋅d
r r r r M O1 (F , F ′) = M O1 (F ) + M O1 (F ′) = F ⋅ (d + x1 ) − F ⋅ x1 = Fd
x
X = F cos α ≠ Fx
Y = F cos β ≠ Fy
§2-2 力在直角坐标轴上的投影 力沿直角坐标轴的分解
二. 力在平面直角坐标轴上的投影 力沿平面直角坐标轴的分解
r r r F = Fx + Fy
X = F cos α = Fx
y
r F y β Y r F
α α
X
Y = F cos β = F sin α = Fy