立体几何中的向量方法-平行与垂直

3.2 立体几何中的向量方法

3.2.1 平行与垂直关系

【基础知识在线】

知识点一空间的方向向量与平面的法向量★★★

考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量

利用方向向量与法向量表示空间角

利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系

知识点二线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★

考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系

知识点三线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★

考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系

【解密重点·难点·疑点】

问题一：空间的方向向量与平面的法向量

1. 空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A以及一个定方向确定．点A是直线l上一点，向量a表示直线l的方向，这个向量a叫做直线的方向向量.

⊥l，取直线l的方向向量a，则向量a称为平面α的法向量.

2. 直线α

(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量.

(2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法

（1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可.

(2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅,00n b n a 得⎩⎨⎧=++=++,

00

321321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中

的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量.

4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 :

设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=⇔⇔ 即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l 即：两直线垂直⇔两直线的方向向量垂直． 线面平行：;0//=⋅⇔⊥⇔u a u a l α 即：直线与平面平行

直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外．

线面垂直：;,//R k u k a u a l ∈=⇔⇔⊥α 即：直线与平面垂直

直线的方向向量与平面的法向量共线

直线的方向向量与平面内

两条不共线直线的方向向量都垂直．

面面平行：;,////R k v k u v u ∈=⇔⇔βα 即：两平面平行⇔两平面的法向量共线． 面面垂直：.0=⋅⇔⊥⇔⊥v u v u βα

即：两平面垂直两平面的法向量垂直．

问题二：空间中线线、线面、面面平行的向量坐标表示

1. 设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b a a a ==，则 线线平行：().,,////212121R k kc c kb b ka a b k a b a m l ∈===⇔=⇔⇔

2. 设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b =， 线面平行：.00//212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔c c b b a a l α

3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b a a a ==，

面面平行：().,,,////212121R k kc c kb b ka a v k u v u ∈===⇔=⇔⇔βα

问题三：空间中线线、线面、面面垂直的向量表示

1.设直线m l ,的方向向量分别为()()321321,,,,,b b b a a a ==，则 线线垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a m l

2.设直线l 的方向向量分别为(),,,321a a a a =平面α的法向量分别为()321,,b b b u =， 线面垂直：().,,,//212121R k kc c kb b ka a u k a u a l ∈===⇔=⇔⇔⊥α

3.平面βα,的法向量分别为()()321321,,,,,b b b a a a ==， 面面垂直：.00212121=++⇔=⋅⇔⊥⇔⊥c c b b a a βα

【点拨思维·方法技巧】 一．求平面的法向量

例1已知平面α经过三点()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，试求平面α的一个法向量． 【思维分析】先求出,,AC AB ，设出平面α的法向量为()z y x u ,,=，结合向量垂直时数量积为零的性质，联立方程组解题. [解析]()()()0,2,3,1,0,2,3,2,1--C B A ，

()(),3,4,2,4,2,1-=--=∴AC AB ，

设平面α的法向量为()z y x u ,,=，

依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0

AC u AB u ，

即⎩⎨

⎧=--=--0

3420

42z y x z y x ，解得⎩⎨⎧==02z y x .

令2,1==x y 则.

∴平面α的一个法向量为()0,1,2=u ． 【评析】

用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，设出平面的法向量,列出方程组，求出的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，取其中一组解(非零向量)即可．

变式训练１．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是DC BB ,1的中点，求证：AE

是平面F D A 11的法向量. 证明