二次函数的一题多问含解析
求二次函数解析式-综合题-练习+答案
求二次函数解析式：综合题例1 已知抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)，并经过M(0，1)，求抛物线的解析式．分析：本题可以利用抛物线的一般式来求解，但因A(-1，0)、B(1，0)是抛物线与x轴的交点，因此有更简捷的解法．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴(即y=0)有交点(x1，0)，(x2，0)．那么显然有∴x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根．因此，有ax2+bx＋c=a(x-x1)(x-x2)∴抛物线的解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (*)(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)我们将(*)称为抛物线的两根式．对于本例利用两根式来解则更为方便．解：∵抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(1，0)∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x-1)又∵抛物线过M(0，1)，将x=0，y=1代入上式，解得a=-1∴函数解析式为y=-x2＋1．说明：一般地，对于求二次函数解析式的问题，可以小结如下：①三项条件确定二次函数；②求二次函数解析式的一般方法是待定系数法；③二次函数的解析式有三种形式：究竟选用哪种形式，要根据具体条件来决定．例2 由右边图象写出二次函数的解析式．分析：看图时要注意特殊点．例如顶点，图象与坐标轴的交点．解：由图象知抛物线对称轴x=-1，顶点坐标(-1，2)，过原点(0，0)或过点(-2，0)．设解析式为y=a(x＋1)2+2∵过原点(0，0)，∴a＋2=0，a=-2．故解析式为y=-2(x+1)2+2，即y=-2x2-4x．说明：已知顶点坐标可以设顶点式．本题也可设成一般式y=ax2+bx＋c，∵过顶点(-1，2)和过原点(0，0)，本题还可以用过点(0，0)，(-2，0)而设解析式为y=a(x+2)·x再将顶点坐标(1，2)代入求出a．例3 根据下列条件求二次函数解析式．(1)若函数有最小值-8，且a∶b∶c=1∶2∶(-3)．(2)若函数有最大值2，且过点A(-1，0)、B(3，0)．(3)若函数当x＞-2时y随x增大而增大(x＜-2时，y随x增大而减小)，且图象过点(2，4)在y轴上截距为-2．分析：(1)由a∶b∶c=1∶2∶(-3)可将三个待定系数转化为求一个k．即设a=k，b=2k，c=-3k(2)由抛物线的对称性可得顶点是(1，2)(3)由函数性质知对称轴是x=-2 解：(1)设y=ax2＋bx+c ∵a∶b∶c=1∶2∶(-3)∴设a=k，b=2k，c=-3k ∵有最小值-8∴解析式y=2x2+4x-6(2)∵图象过点A(-1，0)、B(3，0)，A、B两点均在x 轴上，由对称性得对称轴为x=1．又函数有最大值2，∴顶点坐标为(1，2)，∴设解析式为y=a(x-1)2＋2．(3)∵函数当x＞-2时y随x增大而增大，当x＜-2时y 随x增大而减小∴对称轴为x=-2设y=a(x+2)2+n∵过点(2，4)在y轴上截距为-2，即过点(0，-2)说明：题(3)也可设成y=ax2＋bx＋c，得：题(2)充分利用对称性可简化计算．例4 已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一，下面分别介绍几种解法．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2或y=a(x+1)2-2又∵抛物线经过点A(-3，0)∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2所求函数式是解法(二)：根据题意：设函数解析式为y=ax2＋bx＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上∴0=9a-3b＋c ①又∵对称轴是x=-1∵顶点M到x轴的距离为2解由①，②，③组成的方程组：∴所求函数的解析式是：解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1又∵图象经过点A(-3，0)∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解关于a的方程，得∴所求函数式为：说明：比较以上三种解法，可以看出解法(一)和解法(三)比解法(二)简便．M点到x轴的距离为2，纵坐标可以是2，也可以是-2，不要漏掉一解．例5 已知抛物线y=x2-6x＋m与x轴有两个不同的交点A 和B，以AB为直径作⊙C，(1)求圆心C的坐标．(2)是否存在实数m，使抛物线的顶点在⊙C上，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．分析：(1)根据抛物线的对称性，由已知条件AB是直径圆心应是抛物线的对称轴与x轴的交点．(2)依据圆与抛物线的对称性知，抛物线的顶点是否在⊙C上，需要看顶点的纵坐标的绝对值是否等于⊙C的半径长，依据这个条件，列出关于m的方程，求出m值后再由已知条件做出判断．解：(1)∵y=x2-6x＋m=(x-3)2+m-9∴抛物线的对称轴为直线x=3∵抛物线与x轴交于A和B两点，且AB是⊙C的直径，由抛物线的对称性∴圆心C的坐标为(3，0)(2)∵抛物线与x轴有两个不同交点∴△=(-b)2-4m＞0，∴m＜9设A(x1，0)，B(x2，0)∵抛物线的顶点为P(3，m-9)解得：m=8或m=9∵m＜9，∴m=9舍去∴m＝8∴当m=8时，抛物线的顶点在⊙C上．说明“存在性”问题是探索性问题的主要形式．解答这类问题的基本思路是：假设“存在”—→演绎推理—→得出结论(合理或矛盾)．例6 已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．(1)求抛物线的解析式；(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．分析：求解析式的三个条件中有一个是由方程的根来得到系数的关系式，通过解方程组求出系数也就得到解析式．第(2)问中问是否存在那么假设存在进行推理，从而判断存在或不存在．解：(1)由题设条件得∴抛物线顶点为(2，4)．又A点坐标为(-2，0)，而△ABC与△PAB同底，且当P点位于抛物线顶点时，△PAB面积最大．显然，S△PAB=16＜2S△ABC=2×12=24．故在x轴上方的抛物线上不存在点P使S△PAB=2S△CAB．例7 在一块底边长为a，高为h的三角形的铁板ABC上，要截出一块矩形铁板EFGH，使它的一边FG在BC边上，矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大．分析：问题问“矩形的边EF等于多长时，矩形铁板的面积最大”，所以题目的目标是矩形面积(S)而自变量就是EF的长(x)，因此问题的关键就是用EF(x)表示矩形面积S，这就要用EF表示出EH．解：设内接矩形EFGH中，AM⊥BC，∵EH∥BC，设EF=x(0＜x＜h)则AN=h-x设矩形EFGH的面积为S说明：解决联系实际的问题，又与几何图形有关就应综合应用几何、代数知识，利用相似成比例列出函数式再求最值．例8 二次函数y=ax2＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y轴相交于点B，(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O到直线AB的距离．分析：为直线x=3，来求系数a，b．注意根与系数关系定理的充分应用．为求原点O到直线AB的距离要充分利用三角形特征和勾股定理．解： (1)如图，由已知，有∴(x1+x2)2-2x1x2=26，∴a=-1．∴解析式为y=-x2＋6x-5=-(x-3)2＋4．(2)∵OB=5，OC=4，AC=3，∴△AOB为等腰三角形，作OD⊥AB于D，说明：有部分学生把二次函数的顶点坐标记错，也有的学生不会用“根与系数的关系”，得不出解析式．有不少学生没有发现△AOB是等腰三角形，若发现为等腰三角形，OD 是底边AB的高，利用勾股定理就迎刃而解了．发生错误的原因，没记熟抛物线的顶点坐标公式，有的学生记下来了，但与两个根如何综合使用发生了问题，有些学生求点O到直线AB的距离，没有分析出图形与数量关系，其实△AOB是等腰三角形，知道这一性质求OD的数据就方便多了．纠正错误的办法，加强抛物线顶点坐标的学习、顶点坐标与巧用“根与系数的关系”的学习；另外，也要加强寻找特殊点的学习．一般说，无论多难的题目，总是有解题规律的．在几何图形中，经过认真分析，有的题目总含等边三角形、等腰三角形、直角三角形．例9 设A，B为抛物线y=-3x2-2x＋k与x轴的两个相异交点，M为抛物线的顶点，当△MAB为等腰直角三角形时，求k的值．分析：首先按题意画出图形，再运用抛物线的对称性挖掘题中的隐含条件，来解答本题，得出解后要分析解的合理性进行取舍．解：∵抛物线与x轴有两个相异交点，故△＞0，即(-2)2-4·(-3)k＞0，解关于k的不等式，得根据题意，作出图象，如图设N为对称轴与x轴的交点，由抛物线的对称性知，N 为AB中点．∵∠AMB＝Rt∠，且MN的长即为M点的纵坐标，又设A点坐标(x1，0)，B点坐标(x2，0)，则有解关于k的方程，得∴k＝0．说明：本题有一个重要的隐含条件，即要使抛物线与x 轴有两个相异交点，应首先满足△＞0．(2)本题要求学生会运用抛物线的对称性观察图形，联想直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个重要定理，找到等量关系，列出关于k的方程，如果没有这种灵活运用定理的能力，将得不到关于k的方程，难以求解．例10 某商场将进货单价为18元的商品，按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每提价1元(每件)，日销售量就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少时，才能使每天获得的利润最大？每天的最大利润是多少？分析：此题主要涉及两个量，即售出价和每天获得的利润．而每天获得的利润是随着售出价的改变而改变的，所以要找到二者的函数关系式，应把售出价设为自变量，把每天获得的利润看作是售出价的函数．这样，再根据已知条件，就可列出二者的函数关系式．解：设该商品的售出价定为x元／件时，每天可获得y 元的利润．即每件提价(x-20)(元)，每天销售量减少10(x-20)(件)，也就是每天销售量为[100-10(x-20)](件)，每件利润(x-18)(元)根据题意，得：y＝(x-18)[100-(x-20)×10]=-10x2+480x-5400=-10(x-24)2+360．(20≤x≤30)y是x的二次函数∵a=-10＜0，20≤24≤30∴当x=24时，y有最大值为360．答：每件售出价为24元时，才能使每天获得的利润最大，每天的最大利润是360元．例11 改革开放后，不少农村用上了自动喷灌设备，如图所示，设水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流呈抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平面成45°角，水流的最高点C比喷头B高出2米，在所建的坐标系中，求水流的落地点F到A 点的距离是多少？分析：要求点F到A点的距离，也就是求A、F两点横坐标的差．又A点横坐标为0，所以只需求出F点横坐标．F 点在抛物线上是抛物线与x轴的交点，所以要根据已知条件，求出抛物线的解析式．解：过C点作CD⊥Ox于D，BE⊥CD于E，则有CE=BE ＝2，AB=DE=1.5，则B(0，1.5)，C(2，3.5)．∵C为抛物线的最高点，例12 如图，这是某空防部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图．地导弹运行达到距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米(即图中E点)．(1)若导弹运行轨道为一抛物线，求抛物线的解析式；(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标C的理由．分析：题中的实际条件转化成数学意义就是已知抛物线的顶点E，而且过点D求抛物线的解析式以及判断C是否在曲线上．解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3(2)设C(x0，y0)，过C点作CB⊥Ox，垂足为B．在Rt△OBC 和Rt△ABC中，OA=1，例13 已知函数y1=-x2+b1x+c1与x轴相交于原点O(0，0)和点A(4，0)，若函数y2=-x2+b2x+c2，(b1≠b2)也经过点A，且y1与y2的顶点所在直线平行于x轴．(1)求两个函数的解析式．(2)当x为何值时，y1＜y2．分析：解答第(1)题的关键是求y2的解析式，由题意可知a1=a2=-1，因此可以判断两条抛物线的形状和开口方向都相同，再利用y1与y2的顶点所在直线平行于x轴，可判断出y1和y2在x轴上截得的线段长相等，从而求出y2与x轴另一个交点B(8，0)，由A，B点都是抛物线与x轴交点，可设解析式为y=a(x-x1)(x-x2)形式解：(1)∵y1=-x2+b1x+c1过点O(0，0)，A(4，0)∴0=0＋0＋c1 ∴c1=00=-16+4b1+0 ∴b1=4∴函数y1=-x2+4x∵a1=a2=-1∴两条抛物线的形状，开口方向相同．又∵y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等∵b1≠b2，y1与y2都经过A(4，0)点∴y2与x轴的另一个交点是点B(8，0)y2=-(x-4)(x-8)=-x2＋12x-32注：以上求y2的解析式是采用数、形结合的方法，进行推理得到的，此外，也可用计算方法求到b2和c2，然后写出y2的解析式，具体解法如下：∵y1的顶点是(2，4)y1与y2的顶点所在直线平行于x轴∴y1与y2的顶点纵坐标相等，y2又过点A(4，0)∵b1=4，而b1≠b2 ∴b′2=4(舍去)∴y2=-x2+12x-32解：(2)若要使y1＜y2只要使-x2+4x＜-x2+12x-32即可解不等式，得x＞4∴当x＞4时，y1＜y2例14 m是怎样的数值时，二次函数y＝(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．分析：二次函数的图象与x轴的负方向交于两个不同点的条件是二次项系数不为零，判别式大于零，两根之和小于零，两根之积大于0．(所谓两根是这个函数对应的一元二次方程的两根)解：设二次函数与x轴两交点的横坐标为x1，x2．要使它的图象与x轴两交点都在x轴的负方向上，应满足不等式组：解得1＜m＜2．答：当1＜m＜2时，二次函数y=(m-2)x2-4mx+2m-6的图象与x轴的负方向交于两个不同点．对二次函数式中的m不知代表什么，也无从下手求m．当抛物线与x轴相交时，y=0，两个交点的横标即为方程的两个根，两个根在原点的左方，列不出算式，不知道列出这种算式与“根与系数的关系”有关．总之有不少学生没有掌握二次函数与一元二次方程的内在联系而解题失败．发生错误的原因，不知道在一元二次函数式中的m其实质是参数．一元二次方程的根在直角坐标系x轴上的分布理论如何表达，许多学生不清楚．解不等式功底不深厚也会发生错误．纠正错误的办法，加强一元二次函数式的学习，m属于实数，任给m一个数值，就存在一条具体数值的抛物线，给出m的数值是无穷的，随着m值的不同也产生了不同的抛物线，可用“抛物线族”这个名词去表达本题的一元二次函数表达式所勾勒的抛物线是无穷无尽的．另外也要加强方程理论、根与系数关系、根的判别式的学习．例15 已知抛物线l：y=x2-(k-2)x+(k+1)2．(1)证明：不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2＋12x＋9上；(2)要使抛物线y=x2-(k-2)x＋(k＋1)2和x轴有两个不同的交点A，B，求k的取值范围；(3)当(2)中的A，B间距离取得最大值时，设这条抛物线顶点为C，求此时的k值和∠ACB的度数．分析：把l的顶点坐标用k的代数式表示分别代入y=3x2+12x+9的左、右后能使两边相等说明顶点在抛物线y=3x2+12x+9上．抛物线与x轴交点的情况就是相应一元二次方程有无实根的情况．AB间距离又可列出反的二次函数．解：∴左边=右边，所以不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y＝3x2+12x+9上．(2)欲使抛物线l与x轴有两个交点，则△＞0，即△=[-(k-2)]2-4(k+1)2=-3k2-12k＞0，解之，-4＜k＜0．(3)当-4＜k＜0时，抛物线l与x轴有两个不同的交点A，B，设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＞x2，x1＋x2＝k-2，x1x2＝(k＋1)2，说明：不明白“不论k取何值，抛物线l的顶点总在抛物线y=3x2+12x+9”上这句话的意思，实质上就是方程与曲线的关系，点在曲线上，即点的坐标满足曲线的方程；将抛物线顶点坐标的表达式代入抛物线函数式左右相等，即达到(1)提问；不知道抛物线与x轴相交，是△＞0，无法运算而失败；不知道用“根与系数的关系”以及截距公式，不会巧用“根与系数的关系”，求不出最大值，因而求不出y=ax2＋bx＋c(a≠0)的a，b，c，使该题后面的提问无法进行；在x轴与抛物线顶点所构造出的三角形中，求边长时没有绝对值的概念、正切函数值不熟悉而求不出∠ACB=60°．发生错误的原因，本题是综合题，而且是中考的考题，要顺利而正确地回答出本题所有答案，从初一至初三所学的数学知识应该牢固掌握，第一问求出抛物线顶点坐标表达式，将表达式代入(1)的函数式，若相等，即满足了函数式的要求，按初中阶段属于验根的手段，按高中就是曲线与方程的关系了．这个不难的问题为什么学生束手无策呢？只是用文字表示了顶点坐标，很抽象，不易理解．本题的难度之一是出现了“k”，这个“k”其本质起到了参数作用．有些精品文档。
(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)32页 ok
二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•杭州）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•黄石）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•漳州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•长春）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x ＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．二次函数最值解答题60题参考答案：1．解：因为顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3，与y轴交点为（0，38），因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8＜0，所以与x轴无交点．作图得：最值2．增减性：当x≥3时，y随x的增大而增大；当x≤3时，y随x的增大而减小2．解：由函数图象可得二次函数图象过点C（0，3），将A，B，两点代入函数解析式得解得：a=﹣1，b=2，c=3，可得二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；配方得：y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴x=1，最大值为43．解：二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图：顶点坐标为（，），（1）当﹣2＜a＜时，函数为减函数，最小值为当x=a时，y=a2﹣a﹣2．当a≥时，y min=﹣，（2）当a＞﹣2，且a+2＜，即：﹣2＜a＜﹣时，函数为减函数，最小值为：y x=a+2=（a+2）2﹣（a+2）﹣2，当a＜≤a+2，即﹣≤a＜时，函数的最小值为y=﹣4．解：配方y=（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x=﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴，解得a=2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴，解得a=﹣5．∴实数a的值为2或﹣55．解：原式=3（y﹣1）2+8，∵（y﹣1）2≥0，∴3（y﹣1）2+8≥8，∴有最小值，最小值为86．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30°，AB=x，∴AE=x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4﹣x，∴y=AE•BC=x（4﹣x）=﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵a=﹣，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为27．解：对称轴x=﹣=﹣=，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=0时，y最小，最小值y=2×02﹣a×0+1=1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x=时有最小值，最小值y=2×（）2﹣a×+1=1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x=1时，y最小，最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a8．解：依题意△=4a2﹣4（a+6）≥0，即a2﹣a﹣6≥0，∴a≤﹣2或a≥3，（3分）由m+n=2a，mn=a+6，y=m2+n2﹣2（m+n）+2=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣6a﹣10，=4（a﹣）2﹣，∴a=3时，y的最小值为8．（12分）故y的最小值为89．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣510．解：根据抛物线顶点坐标公式得：=1，解得：m=1011．解：（1）根据二次函数的定义可知：m2+2m﹣6=2，m+2≠0，解得：m=2或﹣4．（2）当m=2时，抛物线的开口向上，有最小值，此函数图象的顶点为最低点；（3）当m=﹣4时，抛物线的开口向下，有最大值，此函数图象的顶点为最高点12．解：设两数为x、y，两数的积为s，根据题意列方程组得，，整理得，s=x（6﹣x）=﹣x2+6x，配方得，s=﹣（x﹣3）2+9，可见，s的最大值为9．如图：由于函数为抛物线，其与x轴的交点坐标为：（0，0），（6，0），顶点为（3，9），对称轴为直线x=3，画出函数图象13．解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则S=x2+（20﹣x）（20﹣x）=（x﹣10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm214．解：由0≤a2﹣4a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6．由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=（x﹣2a）2+a2﹣3a，则最小值m=a2﹣3a=（a﹣）2﹣，它的图象的对称轴为a=．在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大．∴a=6时，原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815．解：根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时，函数才有意义，解得：x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4，此时函数y=x2﹣4x﹣9，图象如图：在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知，当x=3时，这个函数的最小值为﹣1216．解：由题意：对称轴为x=﹣．其次这是一个定区间（﹣1≤x≤1）动对称轴（x=﹣）的函数，所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论．第一种情况：0＜﹣≤1，不可能．因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到，因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到．联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2，均不符合条件，故舍去．第二种情况，﹣＜﹣1，即对称轴在区间外，此时a＞2，在区间内函数单调递减，故x=﹣1时y=0，x=1时y=﹣4，解得a=2，b=﹣2，满足a＞0的条件．解得：a=2，b=﹣217．解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，∴ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，∴﹣1≤y≤，即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18．解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8﹣x；S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣（8﹣x）]×12﹣×16×（12﹣x）﹣×x×（8﹣x）=x2﹣2x+48=（x﹣2）2+46；因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为4619．（1）证明：∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，=AC•OB+AC•OD，=AC（OB+OD）=AC•BD；（2）解：设AC=x，∵AC+BD=10，∴BD=10﹣x，∴四边形ABCD的面积=x（10﹣x）=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，此时AC=5，BD=520．解：（1）根据图象得：它的最小值是0；（2）根据图象得：它的最大值是0；（3）当a＞0时，y=ax2有最小值，当a＜0时，y=ax2有最大值21．解：设其中一段铁丝的长度为xcm，另一段为（156﹣x）cm，则两个正方形面积和S=x2+（156﹣x）2=（x﹣78）2+761，∴由函数当x=78cm时，S最小，为761cm2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm222．解：∵y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，∴y=（a+2）+1﹣，其对称轴为，因为a为正整数，故因，，因此，函数的最小值只能在x取a﹣2，a﹣1，时达到，（1）当a﹣1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；（2）a﹣2＜＜a﹣1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，当x=a﹣2时，y1=（a+2）（a﹣2）2﹣2（a2﹣1）（a﹣2）+1，当x=a﹣1时，y2=（a+2）（a﹣1）2﹣2（a2﹣1）（a﹣1）+1，又y1﹣y2=4﹣a，①当4﹣a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a﹣1，使y2为最小值；②当4﹣a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；③当4﹣a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a﹣2，使y1为最小值；综上，（其中a为整数）23．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得（a﹣2b）（3a﹣4b+5）=0，（6分）所以a﹣2b=0，或3a﹣4b+5=0．（8分）①当a﹣2b=0，即a=2b时，u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36（b+1）2﹣34，于是b=﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a=﹣2，b=﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5=0时，u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16（b+1）2+11，于是b=﹣1时，u的最小值为11，此时a=﹣3，b=﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣3424．解：∵y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2），∴y=4+1，（1）当0≤≤2，即0≤a≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去；（2）当＜0即a＜0时，令f（0）=3得：a2+1=3，解得：a=±，故a=﹣；（3）当＞2即a＞4时，令f（2）=3，即a2﹣8a+14=0，解得；a=4±，故a=4+；综上有；a=﹣或4+25．解：原式=（x）2+．∵（x）2≥0．∴原式＞0恒成立；当x=时，原式有最小值为26．解：由题意设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）分别代入二次函数解析式，得：解得所以函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2，配方得：y=﹣（x﹣）2+，所以二次函数有最大值且最大值为：27．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，．28．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值229．解：原式=（x﹣）2﹣，∴当x=时，原式有最小值为﹣30．解：（1）y=2x2﹣4ax+a2+2a+2，y=2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，当x=a时，y有最小值为3﹣（a﹣1）2；（2）当﹣1≤x≤2时，3﹣（a﹣1）2=2，解得a=0或a=2，当x＜﹣1时，则当x=﹣1时y=2，解得，当x＞2时，则当x=2时y=2，解得a=4，所以：a=0或a=2或或a=431．解：（1）当1≤x≤2时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=1时取最小值为2，x=2时取最大值为5；（2）当﹣2≤x≤﹣1时，y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x=﹣1时，y取得最小值为2，当x=﹣2时，y取得最大值为7；（3）当﹣1≤x≤0时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=﹣1时，y取最大值为2，当x=0时，y取最小值为1；（4）当0≤x≤1时，y=x﹣x2+x+1=﹣（x﹣1）2+2，当x=1时y取最大值为2，当x=0时y取最小值为1；综上所述：y的最大值为7，最小值为132．解：∵y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k，=（k﹣1）（x﹣1）2﹣2k+1，∴当k＞1时，函数有最小值为﹣2k+1，当k＜1时，函数有最大值为﹣2k+133．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或34．最小值===．35．解：（1）3﹣k＜0，即k＞3时，函数有最大值2；（2）3﹣k＞0，即k＜3时，函数有最大小236．解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=t，①﹣1≤t≤1时，x=t时，函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1，②t＜﹣1时，x=1时，函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2，③t＞1时，x=﹣1时，函数有最大值y=（﹣1）2﹣2t•（﹣1）+1=2t+237．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或38．解：（1）若x2﹣4≥0，即|x|≥2，则y=x2﹣3x﹣4∴，若x2﹣4≤0，即|x|≤2，则y=﹣x2﹣3x+4∴，∴（2≤x≤5），当x=5时，y最大值=6；当x=2时，y最小值=﹣6，对（﹣2≤x≤2），当时，；x=2时，y最小值=﹣6，综上所述，x=2时，y最小值=﹣6；当时，；（2）由2x+y=1得，y=1﹣2x，由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1，∴z为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．又x=0时，z=3；x=1时，z=21．∴所求的最小值为339．解：对称轴为直线x=﹣=a，①a＜﹣2时，x=﹣2时，y有最小值，最小值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；②﹣2≤a≤0时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；③0＜a≤2时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1；④a＞2时，x=2时，y有最小值，最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+140．解：∵|x+1|≤6，解得：﹣7≤x≤5，∴当﹣7≤x＜0时，y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，当x=﹣1时，取得最大值为2；当0≤x≤5时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故当x=5时，y取得最大值为16．综合上述，原函数式最大值为1641．解：设鸡舍的长为x，则宽为（14﹣2x+2）=8﹣x，所以，鸡舍的面积=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，所以，当x=4，即长与宽都是4时，鸡舍的面积最大，最大值是16m2．答：鸡舍的长与宽都是4m时，鸡舍的面积最大42．解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为443．解：将直线x=t，代入y=x2﹣3x，y=﹣x2+9中，得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t，﹣t2+9，∴AB=，∴当时，线段AB取得最大值44．解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，易证Rt△ADF∽Rt△AOE，∴=，即=，解得AF=x2，∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2，∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4，∵OA=1，AF=x2，∴x2＜1∴0＜x＜；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，∴x=1时，周长最大为545．解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，由上可推出BC=2（cosB+cosC），AB=BC，AC=BC，∴S△ABC=×AB×AC×sinA，∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2，∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246．解：函数，∴y=+﹣，（1）当0≤≤1时，m=﹣，（2）当＜0时，m=，（3）当＞1时，m=1﹣a+，综上知：a=1时，m有最大值0.2547．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣548．解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm249．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值250．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，51．解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，∴∠A=∠CFE=30°，∴CF=x，AC=6，∴AF=6﹣x；∴S=AF•CE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．答：平行四边形AGEF的面积为（平方单位）…4分（2）由S=﹣x2+6x，得，∴，∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是（平方单位）…9分52．解：（1）在Rt△ABC中，AC==6，∴tanB=．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠BCA=90°．∴DE=BD•tanB=x，CD=BC﹣BD=8﹣x．设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．∴y=DE•CD=•（8﹣x），即y=+3x．自变量x的取值范围是0＜x＜8；（2）x==4时，y最大==6．即当x=4时，△ADE的面积最大为653．（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同（对边平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．54．解：在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=，PQ=，从而有PC=CR=a﹣x，∴△BPQ与△CPR的面积之和为：S=x2+（a﹣x）2=（x﹣a）2+a2，∵0≤x≤a，∴当x=0时，S取最大值a2，当x=a时，S取最小值a255．解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为856．解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根，∵y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，∴|AB|=6，∴|m﹣n|=6，即（m+n）2﹣4mn=36，而，∴b2﹣12=36，b=±4，∴y=x2±4x+3=（x±2）2﹣9，∴所求的最小值为﹣957．解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，∵AO=8，BO=6，∴tanB==，即=，解得PF=（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•（6﹣x）=﹣x2+8x，即S=﹣x2+8x；（2）∵S=﹣x2+8x=﹣（x2﹣6x+9）+12=﹣（x﹣3）2+12，∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是1258．解：（1）当a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=（a+）2﹣，所以，当a=﹣时，S有最小值﹣59．解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC，又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC，（2分）∴=，∴=，（3分）∴．（4分）（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）即x=3﹣x，所以x=1.5．（6分）∵0＜x＜2.4（7分）∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）（3）S四边形EPDQ2=（x+x﹣3）•（4﹣x）（9分）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣）2+，（10分）又∵2.4＜x＜4，（12分）∴当x=时，S取得最大值，最大值为60.解 ：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30， ∴BF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S=S DEF △−S GBF △＝21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450． （3）S=−23 x ²+60x −450＝−23 (x −20)²+150． ∵a ＝−23 ＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S 有最大值，最大值为150。
二次函数29个难题的解法
二次函数精选1、如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.（1）求AD的长；（2）设CP=x，问当x为何值时△PD Q的面积达到最大，并求出最大值；（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PD Q M是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.2、我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）3、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图乙所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（3）王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）4、如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
二次函数的应用题及解析
二次函数的应用题及解析二次函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于各个领域。
本文将探讨几个常见的二次函数应用题，并进行详细解析。
问题一：某天气预报显示，一天内温度的变化服从二次函数关系。
已知该地点上午8时的温度为15摄氏度，下午2时的温度为25摄氏度，晚上8时的温度为18摄氏度。
问该地点第二天早上6时的温度是多少摄氏度？解析：根据已知条件构建二次函数的关系式。
假设时间为x，温度为y，则可以得出二次函数表达式为：y = ax^2 + bx + c。
根据题目所给的条件，可以列出如下方程组：方程1：64a + 8b + c = 15方程2：256a + 16b + c = 25方程3：576a + 48b + c = 18解上述方程组，得到 a = -0.005, b = 0.16, c = 15.16。
带入x = 22（第二天早上6时的时间），计算二次函数的值，即可得到第二天早上6时的温度为20.62摄氏度。
问题二：某公司销售某款产品，预测未来几个月的销售情况。
已知该产品销售量符合二次函数模型。
已知该产品2月份的销售量为2000件，5月份的销售量为3000件，8月份的销售量为4000件。
预测11月份的销售量是多少件？解析：同样地，假设时间为x，销售量为y，构建二次函数关系式：y = ax^2 + bx + c。
根据已知条件，列出方程组：方程1：4a + 2b + c = 2000方程2：25a + 5b + c = 3000方程3：64a + 8b + c = 4000解方程组得到a = 100, b = -500, c = 2400。
带入x = 14（11月份的时间），计算二次函数的值，可得到预测11月份的销售量为3400件。
通过以上两个实例，我们可以看到二次函数在温度预测和销售预测中的应用。
根据给定的条件，构建二次函数关系式，并解方程组可以得到问题所求的结果。
通过这种方法，我们可以更加准确地评估和预测未来的发展趋势。
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题(含解析)
2023年中考高频数学专题突破--二次函数的最值问题1．永嘉某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣进价）（1）写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；（2）当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得350元的利润，则销售单价应定为多少元？2．经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？．3．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？4．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y＝－10x＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.（1）设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；（2）当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？5．自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线()2=-+表示.y a x30100（1）a=；（2）求图1表示的售价P与时间x的函数关系式；（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？6．2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为W（元）．（1）求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？7．我市绿色和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外贸商李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2000千克香菇存放入冷库中.请根据李经理提供的预测信息（如下图）帮李经理解决以下问题：（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额．．．．．为y 元，试写出y与x之间的函数表达式；（销售总金额=销售单价×销售量）（2）将这批香菇仔放多少天后出售可获得最大利润．．?最大利润是多少?8．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元已知拔标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同。
一元二次函数经典题目带答案附解析
一元二次函数经典题目带答案附解析一元二次函数经典题目及解析一、单选题（共7题；共14分）1.如图，已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴分别交于 $A$、$B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，$OA=OC$。
则由抛物线的特征写出如下结论（）。
A。
$abc>0$。
B。
$4ac-b^2>0$。
C。
$a-b+c>0$。
D。
$ac+b+1=0$2.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ （$a≠0$）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）。
A。
$abc0$。
D。
$2a+b=0$3.“学雷锋”活动月中，“XXX”班将组织学生开展志愿者活动，XXX和XXX从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）。
A。
$\frac{1}{3}$。
B。
$\frac{1}{9}$。
C。
$\frac{1}{6}$。
D。
$\frac{1}{2}$4.在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球。
已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（）。
A。
27.B。
23.C。
22.D。
185.如图，平面直角坐标系中，点 $B$ 在第一象限，点$A$ 在 $x$ 轴的正半轴上，$\angle AOB=\angle B=30°$，$OA=2$，将 $\triangle AOB$ 绕点 $O$ 逆时针旋转90°，点$B$ 的对应点的坐标是（）。
A。
$(\sqrt{3},-2)$。
B。
$(\sqrt{3},2)$。
C。
$(-\sqrt{3},2)$。
D。
$(-\sqrt{3},-2)$6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 $(AB)$，点$O$ 是这段弧所在圆的圆心，$AB=40m$，点 $C$ 是 $AB$ 的中点，且 $CD=10m$，则这段弯路所在圆的半径为（）。
基于深度学习 建构“一题一课”——以“二次函数的最值问题”复习课为例
总的来说,教 师 在 开 展 “一 题 一 课 ”教 学 活 动 时,
要注重引导学生学会从数学视角来审视问题和解决
３ 一课贯通,素养升华
问题,做到真 正 把 握 数 学 问 题 的 本 质,推 动 知 识 面 拓
本课例中以 一 题 为 起 点,利 用 一 题 多 变、一 题 多
模式 ．
深度 学 习 需 要 教 师 结 合 自 身 经 验 设 置 问 题 串
(链)以触 发 学 生 的 深 度 思 考,落 实 数 学 核 心 素 养,真
引 例 如 图 ２,已 知 经 过 点
A (－１,
０),
B(
４,
０),
C(
０,
４)三 点
的抛物 线 的 解 析 式 为 y ＝ －x２ ＋
图３
△MBC 的面 积 和 线 段 MN 长 度 之 间 的 关 系,即
１
１
S△MBC ＝ 铅 垂 高 × 水 平 宽 ×
＝ MN ×OB ×
＝
２
２
１
MN ×４× ＝２MN ,从而可知 求 △MBC 面 积 的 最 大
２
值就是要求线段 MN 长度的最大值,让 学 生 充 分 体 会
转化思想在解决问题中的应用 ．
用求 MH 的 最 大 值 求 S△ MBC 的 最 大 值;方 法 三 如 图
提高深层次探究能力与技 巧,发 展 思 维 迁 移 能 力 与 观
１０,利用平移的方 法 找 到 与 BC 平 行 且 与 抛 物 线 相 切
的直线,这时切点就是到直线 BC 最远的点,进而求出
MH 的最大值 ．
念,体会转化 思 想、函 数 思 想、数 形 结 合 思 想、建 模 观
二次函数练习题及解析4
专题：配方法。
分析：（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y=（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（2）画出这个函数的大致图象，指出函数值不小于0时x的取值范围．
21、小明在学习二次函数时，总结了如下规律：
（1）请帮助小明补全此表①y轴②（h，k）③直线x= ；
（2）根据此表判断，如何将抛物线y=﹣2x2经过适当的平移得到抛物线y=﹣2x2+4x+1．
22、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
∵﹣2（x﹣15）2≤0，
∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．
点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
3、用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
（5）若自变量x满足：﹣3≤x≤1，则对应的函数值中，最大值为：0．
24、已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1．
（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值y1、y2，并填写在表格中：
（2）观察第（1）问表中的有关的数据，猜一猜：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1与y2有何大小关系？并证明你的结论．
二次函数重难题含答案
学科教师辅导讲义教学内容(一)元二次方程的解法题型1二次函数的图像和性质例题1（2012•贵港一模）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是0＜b≤1．考点：二次函数的性质．分析：先求x2﹣4x+3=0时x的值，再求x2﹣4x+3＞0和x2﹣4x+3＜0时，自变量的取值范围及对应的函数式，求函数式的取值范围，判断符合条件的b的值的范围．解答：解：∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．点评：本题是分段函数的问题，按照绝对值里的数的符号，分段求函数，再求符合条件的b值范围．例题2（2014•牡丹江）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，则a+b+c=0．考点：二次函数的性质．专题：常规题型．分析：根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），由此求出a+b+c的值．解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x=﹣1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），∴a+b+c=0．故答案为：0．点评：本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0）是解题的关键．我来试一试！（2014•武汉模拟）直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，那么不等式mx+n＜ax2+bx+c ＜0的解集是1＜x＜2．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．分析：从图上可知，mx+n ＜ax 2+bx+c ，则有x ＞1或x ＜﹣；根据ax 2+bx+c ＜0，可知﹣1＜x ＜2；综上，不等式mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0的解集是1＜x ＜2．解答： 解：因为mx+n ＜ax 2+bx+c ＜0，由图可知，1＜x ＜2．点评： 此题将图形与不等式相结合，考查了同学们对不等式组的解集的理解和读图能力，有一定的难度，读图时要仔细．题型2二次函数与一元二次方程根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的根的个数是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax 2+bx+c 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 1或2考点： 图象法求一元二次方程的近似根． 专题： 计算题．分析： 由表格中的对应值可得出，方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间． 解答： 解：∵当x=6.17时，y=0.02；当x=6.18时，y=﹣0.01； 当x=6.19时，y=0.02；∴方程的一个根在6.17﹣6.18之间，另一个根在6.18﹣6.19之间， 故选C ．点评： 本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，当函数值由正变为负或由负变为正时，方程的根在这两个自变量之间．我来试一试！观察下列表格，求一元二次方程x 2﹣x=1.1的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x 2﹣x 0.11 0.24 .39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A ． 0.11 B ． 1.6 C ． 1.7 D ． 1.19考点： 图象法求一元二次方程的近似根．分析： 设y=x 2﹣x ，根据表格，可以看出y=x 2﹣x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，根据函数是单调性，来确定一元二次方程x 2﹣x=1.1的一个近似解．例题1解答： 解：令y=x 2﹣x ，根据表格，可以看出y=x 2﹣x 在区间【1.1，1.9】上是增函数，∴当x 2﹣x=1.1，即y=1.1时，y=x 2﹣x 的值域是【0.96，1.19】上，它对应的定义域是【1.6，1.7】， ∵与0.96相比，y=1.1更接近于1.19， ∴方程x 2﹣x=1.1的定义域更接近于1.7． 故选C点评： 本题的考查的是二次函数与一元二次方程，在解题过程中，根据表格，来判断函数的单调性，然后根据单调性来解答问题．题型3实际问题与二次函数运动会上，某运动员掷铅球时，所掷的铅球的高y （m ）与水平的距离x （m ）之间的函数关系式为y=﹣x 2+x+，则该运动员的成绩是（ ） A ． 6m B ． 12m C ． 8m D ．10m考点： 二次函数的应用． 专题： 应用题． 分析：铅球落地才能计算成绩，此时y=0，即﹣x 2+x+=0，解方程即可．在实际问题中，注意负值舍去．解答： 解：由题意可知，把y=0代入解析式得：﹣x 2+x+=0，解方程得x 1=10，x 2=﹣2（舍去）， 即该运动员的成绩是10米． 故选D ．点评： 本题考查二次函数的实际应用，搞清楚铅球落地时，即y=0，测量运动员成绩，也就是求x 的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（2014•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为 米．例题2例题1考点：二次函数的应用．专题：函数思想．分析：根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：．点评：此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．我来试一试！（2014•杨浦区一模）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米．考点：二次函数的应用．分析：直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离．解答：解：∵函数解析式为：，∴y最值===2．故答案为：2．点评：此题主要考查了二次函数的应用，正确记忆最值公式是解题关键．题型4二次函数压轴题定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y=x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…A n+1（x n+1，0）（n为正整数）．若x1=d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A ．或B．或C．或D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；新定义．分析：由抛物线的对称性可知，所构成的直角三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰三角形，所以此等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半．又0＜d＜1，所以等腰直角三角形斜边的长小于2，所以等腰直角三角形斜边的高一定小于1，即抛物线的定点纵坐标必定小于1．例题1解答：解：直线l：y=x+b经过点M（0，），则b=；∴直线l：y=x+．由抛物线的对称性知：抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必为等腰直角三角形；∴该等腰三角形的高等于斜边的一半．∵0＜d＜1，∴该等腰直角三角形的斜边长小于2，斜边上的高小于1（即抛物线的顶点纵坐标小于1）；∵当x=1时，y1=×1+=＜1，当x=2时，y2=×2+=＜1，当x=3时，y3=×3+=＞1，∴美丽抛物线的顶点只有B1、B2．①若B1为顶点，由B1（1，），则d=1﹣=；②若B2为顶点，由B2（2，），则d=1﹣[（2﹣）﹣1]=，综上所述，d的值为或时，存在美丽抛物线．故选B．点评：考查了二次函数综合题，该题是新定义题型，重点在于读懂新定义或新名词的含义．利用抛物线的对称性找出相应的等腰直角三角形是解答该题的关键．我来试一试！如图，OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A ．B．C．﹣2 D．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：连接OB，过B作BD⊥x轴于D，若OC与x轴正半轴的夹角为15°，那么∠BOD=30°；在正方形OABC中，已知了边长，易求得对角线OB的长，进而可在Rt△OBD中求得BD、OD的值，也就得到了B点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数a的值．解答：解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOC=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为1，则OB=；Rt△OBD中，OB=，∠BOD=30°，则：BD=OB=，OD=OB=；故B（，﹣），代入抛物线的解析式中，得：（）2a=﹣，解得a=﹣；故选B．点评：此题主要考查了正方形的性质、直角三角形的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键．（2013秋•禹州市校级月考）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是﹣3＜x＜1．考点：二次函数的性质；二次函数的图象．专题：常规题型．分析：由图象知抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为1，直接写出抛物线的顶点式，展开可求出b，c值，先求出y=0时，对应x的值，再求函数值y＜0时，对应x的取值范围．解答：解：∵抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣4），二次项系数为1，∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2﹣4即y=x2+2x﹣3=（x+3）（x﹣1）∴抛物线与x轴两交点坐标为（﹣3，0），（1，0）故当函数值y＜0时，对应x的取值范围上是﹣3＜x＜1．本题答案为﹣3＜x＜1．点评：本题考查了二次函数解析式与顶点坐标的联系，图象与x轴交点坐标的求法，函数值与对应自变量取值范围的关系，需要形数结合解题．11．（2013•邵阳模拟）关于x的不等式组有解，则关于x的二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点所在象限是第三象限．考点：二次函数的性质；解一元一次不等式组．专题：计算题；压轴题．分析：先解①得，x＞2，解②得，x＜，根据题意得到原不等式组的解集为2＜x＜，得到a＞4；然后根据抛物线的顶点坐标公式计算出y=ax2+（a+1）x+1的顶点的横纵坐标，再判断它们的正负，即可得到顶点所在的象限．解答：解：，解①得，x＞2，解②得，x＜，∵原不等式组有解，∴2＜x＜，∴a＞4；∴二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点的横坐标=﹣＜0；顶点的纵坐标==﹣＜0，所以关于x的二次函数y=ax2+（a+1）x+1的顶点所在象限是第三象限．故答案为第三象限．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）．（2015•黄冈中学自主招生）设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）求的最大值．考点：二次函数的性质；根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值．（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2m2﹣10m+10=6∴，∵﹣1≤m＜1，∴；（2）==（﹣1≤m＜1）．∴当m=﹣1时，式子取最大值为10．点评：本题的计算量比较大，需要很细心的求解．用到一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；利用根与系数的关系x1+x2=，x1x2=来化简代数式的值．知识结构小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整：复习日记卡片内容：元二次方程解法归纳时间：2007年6月×日举例：求一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个解方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解解方程：x2﹣x﹣1=0．解：方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解如图所示，把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是二次函数y=的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解．方法三：利用两个函数图象的交点求解（1）把方程x2﹣x﹣1=0的解看成是一个二次函数y=的图象与一个一次函数y=图象交点的横坐标；（2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解．考点：图象法求一元二次方程的近似根．分析：本题是用二次函数看一元二次方程的一个典型题型，通过三种方法的解题发现，一元二次方程即可以用常规方法解，又可以函数的角度解；用函数方法解题，也有多种方法，如可看作求函数y=x2﹣x﹣1图形与x轴交点的横坐标，也可看作求一个一次函数与一个二次函数图象的交点横坐标．解答：解：（1）∵a=1，b=﹣1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=5．∴．∴原方程的解是x1=，x2=；（2）x2﹣x﹣1；（3）x2与x+1或x2﹣1与x等．点评：是一道“课题学习”，采用“学生复习日记卡片”的形式，针对一元二次方程解法的多样性的探究，在考查学生解题思维能力广阔性、深刻性的同时，还给学生提供了数学学习方法的样例，是对新教材现状难以考查学生学习过程、方法的一种新尝试．本题将代数、几何解法有机融合，借助数形结合，在考查学生学习方法探究归纳的同时，引导学生反思性学习，是一道亮点题型．[常见错误]方法一：没有选择最优的方法，能直接用公式法而去用配方法求解，以至配方时移项、开平方的错误．方法二、三：对利用图象法求方程的近似解没有掌握，无法将一元二次方程转化为函数的图象的交点求解．方法二中填写或的错误结果；方法三随意拆成二个函数，但不能转化为规定的方程．题型1二次函数的实际运用例题1（2013•内江校级一模）仁寿某商场服装柜在销售中发现：“爱童”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为迎接“元旦”节，商场决定采取适当的降价措施扩大销量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，则平均每天就可多售出8件．（1）要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？（2）如果你是老总，请算一下每件童装应降价多少元可使一天的盈利最大？最大盈利是多少？考点：二次函数的性质；一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：（1）设每件童装应降价x元，那么现在可售出（20+2x），利润每件为（40﹣x），然后利用盈利1200元就可以列出方程解决问题；（2）设每件童装应降价x元，利用（1）的结果知道利润w=（40﹣x）（20+2x），此时w是关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可求出最大盈利．解答：解：（1）设每件童装应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，∴x1=10，x2=20，根据题意，x1=10不合题意，应取x=20．答：每件童装应降价20元；（2）设每件童装降价x元，则可盈利：w=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，∵﹣2∵≤0，∴当x=15时，盈利最大，最大盈利为1250元．点评：此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．（2015•广西自主招生）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．（1）用含x的式子表示横向甬道的面积；（2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；（3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．专题：压轴题．分析：（1）首先要根据题意表示出甬道的上底与下底的长，进而得出的函数关系式．（2）根据题意得出甬道总面积为各甬道面积之和，即150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，（3）花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，即可求出．解答：解：（1）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；（2）横向甬道的面积为：x=150x（m2）；甬道总面积为150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2，依题意：310x﹣2x2=××80，整理得：x2﹣155x+750=0，x1=5，x2=150（不符合题意，舍去），∴甬道的宽为5米；（3）∵花坛上底120米，下底180米，上下底相距80米，∴等腰梯形的面积为：（120+180）×80=12000，∵甬道总面积为S=310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S，花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：∴y=5.7x+（12000﹣S）×0.02，=5.7x﹣0.02S+240，=5.7x﹣0.02（310x﹣2x2）+240，=0.04x2﹣0.5x+240，当x=﹣=6.25时，y的值最小．∵根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米，∴当x=6米时，总费用最少．即最少费用为：0.04×62﹣3+240=238.44万元．点评：此题主要考查了属于几何型二次函数的应用题，二次函数的应用题中考的必考的知识点，往往以压轴题的身份出现，解决这类问题的关键是函数思想的确立、函数模型的建立．考查的能力有转化能力、阅读理解能力；考查的数学思想主要是数学建模思想、数形结合思想．（2015•保康县模拟）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．考点：二次函数的应用．分析：（1）根据利润=（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．解答：解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，所以，当x=35时，w有最大值2250，即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）方案A：由题可得20＜x≤30，因为a=﹣10＜0，对称轴为x=35，抛物线开口向下，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，所以，当x=30时，w取最大值为2000元，方案B：由题意得，解得：45≤x≤49，在对称轴右侧，w随x的增大而减小，所以，当x=45时，w取最大值为1250元，因为2000元＞1250元，所以选择方案A．点评：本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．（2015•泗洪县校级模拟）有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．考点：二次函数的应用．分析：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，只需把（10，﹣4）代入求解；（2）根据（1）中求得的函数解析式，把x=9代入求得y的值，再进一步求得水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解答：解：（1）设该抛物线的解析式是y=ax2，结合图象，把（10，﹣4）代入，得100a=﹣4， a=﹣，则该抛物线的解析式是y=﹣x 2．（2）当x=9时，则有y=﹣×81=﹣3.24，4+2﹣3.24=2.76（米）．所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．点评： 此题考查了二次函数在实际问题中的应用，能够熟练运用待定系数法求得二次函数的解析式．（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为 （2，﹣6） ．考点： 二次函数综合题．例题1分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．（2015•黄冈中学自主招生）已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．考点：二次函数综合题．分析：首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．解答：解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．例题214．（2015•江阴市二模）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．考点：二次函数综合题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==．故答案是：．点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．例题3（2015•余姚市模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；（3）过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据待定系数法将A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点代入解析式求出即可；（2）利用两点之间距离公式求出，，，进而得出△PAC为直角三角形，求出面积即可；（3）首先求出点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，进而得出四边形PCED是菱形，再利用∠PCA=90°，得出答案即可．解答：（1）由题意得：，解得：，∴y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴P（﹣1，4），∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴，，，∵PA2=PC2+AC2，∴∠PCA=90°，∴；（3）四边形PCED是正方形，∵点C与点D关于抛物线的对称轴对称，点P为抛物线的顶点，∴点D的坐标为（﹣2，3），PC=DP，∵A（﹣3，0），C（0，3），代入y=ax+b，，解得：，∴直线AC的函数关系式是：y=x+3，同理可得出：直线DP的函数关系式是：y=x+5，∴AC∥DP，同理可得：PC∥BD，∴四边形PCED是菱形，又∵∠PCA=90°，∴四边形PCED是正方形．点评：此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法以及菱形与正方形的判定方法，难度不大，细心求解即可．例题1作业（2012•廛河区校级一模）二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y 轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长=．（2012•贵阳模拟）如图是数值转换机的示意图，小明按照其对应关系画出了y与x的函数图象（如图）：（1）分别写出当0≤x≤4与x＞4时，y与x的函数关系式：（2）求出所输出的y的值中最小一个数值；（3）写出当x满足什么范围时，输出的y的值满足3≤y≤6．（2015•福建模拟）某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价﹣进价）×销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）10 11 13销售量y（kg）300250150（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？考点：二次函数的应用；一次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）根据题意得到每涨一元就少50千克，则以13元/千克的价格销售，那么每天售出150千克；（2）先判断y是x的一次函数．利用待定系数法求解析式，设y=kx+b，把x=10，y=300；x=11，y=250代。
专题07 二次函数的最值问题-九年级数学上册(解析版)
专题07二次函数的最值问题考点1：定轴动区间；考点2：动轴定区间。
1．在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0解：抛物线的对称轴是直线x ＝1，则当x ＝1时，y ＝1﹣2﹣3＝﹣4，是最小值；当x ＝3时，y ＝9﹣6﹣3＝0是最大值．答案：A ．2．（易错题）已知二次函数y ＝a （x ﹣1）2﹣a （a ≠0），当﹣1≤x ≤4时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（）A ．12或4B ．43或−12C ．−43或4D ．−12或4解：y ＝a （x ﹣1）2﹣a 的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣a ），当a ＞0时，在﹣1≤x ≤4，函数有最小值﹣a ，∵y 的最小值为﹣4，∴﹣a ＝﹣4，∴a ＝4；当a ＜0时，在﹣1≤x ≤4，当x ＝4时，函数有最小值，∴9a ﹣a ＝﹣4，解得a =−12；综上所述：a 的值为4或−12，答案：D．3．（易错题）当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．0或2D ．﹣1或2解：当y ＝1时，有x 2﹣2x +1＝1，解得：x 1＝0，x 2＝2．题型01定轴动区间∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，答案：D．4．已知函数y＝﹣3（x﹣2）2+4，当x＝2时，函数取得最大值为4．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），又∵a＝﹣3＜0，∴抛物线的开口向下，顶点是它的最高点，∴x＝2时，函数有最大值为4．答案：2，4．5．若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝9．解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．6．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为43或﹣4．解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a=43，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．答案：（1）﹣1；（2）43或−4．7．（易错题）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．（1）函数y＝﹣x2+4x﹣2在区间[0，5]上的最小值是﹣7（2）求函数=(+12)2+34在区间[0，32]上的最小值．（3）求函数y＝x2﹣4x﹣4在区间[t﹣2，t﹣1]（t为任意实数）上的最小值y min的解析式．解：（1）y＝﹣x2+4x﹣2其对称轴为直线为x＝2，顶点坐标为（2，2），函数图象开口向下．如图1所示：当x＝5时，函数有最小值，最小值为﹣7．答案：﹣7．（2）=(+12)2+34，其对称轴为直线=−12，顶点坐标(−12，34)，且图象开口向上．其顶点横坐标不在区间[0，32]内，如图2所示：当x＝0时，函数y有最小值m=1．（3）将二次函数配方得：y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8其对称轴为直线：x＝2，顶点坐标为（2，﹣8），图象开口向上若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]左侧，则2＜t﹣2，即t＞4．当x＝t﹣2时，函数取得最小值：m=(−4)2−8=2−8+8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]上，则t﹣2≤2≤t﹣1，即3≤t≤4．当x＝2时，函数取得最小值：y min＝﹣8若顶点横坐标在区间[t﹣2，t﹣1]右侧，则t﹣1＜2，即t＜3．当x＝t﹣1时，函数取得最小值：m=(−3)2−8=2−6+1综上讨论，得m=2−8+8(＞4)−8(3≤≤4)2−6+1(＜3)．8．（易错题）已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x ≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．解：（1）∵y ＝﹣x 2+6x ﹣5＝﹣（x ﹣3）2+4，∴顶点坐标为（3，4）；（2）∵a ＝﹣1＜0，∴抛物线开口向下，∵顶点坐标为（3，4），∴当x ＝3时，y 最大值＝4，∵当1≤x ≤3时，y 随着x 的增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小值＝0，∵当3＜x ≤4时，y 随着x 的增大而减小，∴当x ＝4时，y 最小值＝3．∴当1≤x ≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；（3）当t ≤x ≤t +3时，对t 进行分类讨论，①当t +3＜3时，即t ＜0，y 随着x 的增大而增大，当x ＝t +3时，m ＝﹣（t +3）2+6（t +3）﹣5＝﹣t 2+4，当x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝﹣t 2+4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝﹣6t +9，∴﹣6t +9＝3，解得t ＝1（不合题意，舍去），②当0≤t ＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m ＝4，i ）当0≤t ≤32时，在x ＝t 时，n ＝﹣t 2+6t ﹣5，∴m ﹣n ＝4﹣（﹣t 2+6t ﹣5）＝t 2﹣6t +9，∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3−3，t2＝3+3（不合题意，舍去）；ii）当32＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，∴t2＝3，解得t1=3，t2=−3（不合题意，舍去），③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），综上所述，t＝3−3或3．9．已知二次函数y＝ax2+4x+a﹣1的最小值为2，则a的值为（）A．3B．﹣1C．4D．4或﹣1解：∵二次函数y＝ax2+4x+a﹣1有最小值2，∴a＞0，y最小值=4a−24=4oK1)−424=2，整理，得a2﹣3a﹣4＝0，解得a＝﹣1或4，∵a＞0，∴a＝4．答案：C．10．设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），则（）A．当k＝2时，函数y的最小值为﹣aB．当k＝2时，函数y的最小值为﹣2aC．当k＝4时，函数y的最小值为﹣aD．当k＝4时，函数y的最小值为﹣2a题型02动轴定区间解：令y＝0，则（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0，∴x1＝m，x2＝m+k，∴二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）与x轴的交点坐标是（m，0），（m+k，0），∴二次函数的对称轴是：=1+22=rr2=2r2，∵a＞0，∴y有最小值，当=2r2时y最小，即=o2r2−p(2r2−−p=−24，当k＝2时，函数y的最小值为=−224=−；当k＝4时，函数y的最小值为=−424=−4，答案：A．11．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值154C．最小值5D．最小值154解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：4a−24=4×1×6−324×1=154．答案：D．12．已知二次函数y＝x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．32B．2C．32或2D．−32或2解：y＝x2﹣2mx＝（x﹣m）2﹣m2，①若m＜﹣1，当x＝﹣1时，y＝1+2m＝﹣2，解得：m=−32；②若m＞2，当x＝2时，y＝4﹣4m＝﹣2，解得：m=32＜2（舍）；③若﹣1≤m≤2，当x＝m时，y＝﹣m2＝﹣2，解得：m=2或m=−2＜−1（舍），∴m的值为−32或2，答案：D．13．（易错题）当﹣1≤x≤2时，二次函数y＝x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是32或−解：对称轴：x=−22=−k，分三种情况讨论：①当﹣k＜﹣1时，即k＞1时，此时﹣1≤x≤2在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，＝（﹣1）2+2k×（﹣1）+1＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，y小k=32，②当﹣1≤﹣k≤2时，即﹣2≤k≤1，对称轴在﹣1≤x≤2内，此时函数在﹣1≤x≤﹣k，y随x的增大而减小，在﹣k≤x≤2时，y随x的增大而增大，＝（﹣k）2+2k•（﹣k）+1＝﹣1，∴当x＝﹣k时，y有最小值，y小k2﹣2k2+2＝0，k2﹣2＝0，k=±2，∵﹣2≤k≤1，∴k=−2，③当﹣k＞2时，即k＜﹣2，此时﹣1≤x≤2在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当x＝2时，y有最小值，y＝22+2k×2+1＝﹣1，小k=−32（舍），综上所述，k的值可能是32或−2，答案：32或−2．14．已知y＝﹣x（x+3﹣a）是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是a≤5．解：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在这个区域取得最大值，x=K32＜1，即a＜5，第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x＝1，∴K32=1，即a＝5综合上所述a≤5．答案：a≤5．15．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2hx+h，当自变量x的取值在﹣1≤x≤1的范围中时，函数有最小值n，则n的最大值是14．解：二次函数y＝x2﹣2hx+h图象的对称轴为直线x＝h．当h≤﹣1时，x＝﹣1时y取最小值，此时n＝1+2h+h＝1+3h≤﹣2；当﹣1＜h＜1时，x＝h时y取最小值，此时n＝h2﹣2h2+h＝﹣h2+h＝﹣（h−12）2+14≤14；当h≥1时，x＝1时y取最小值，此时n＝1﹣2h+h＝1﹣h≤0．综上所述：n的最大值为14．答案：14．16．（易错题）已知二次函数y＝x2﹣2x+2在t≤x≤t+1时的最小值是t，则t的值为1或2．解：y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，分类讨论：（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1右侧时，有t+1＜1，即t＜0，此时y随x的增大而减小，＝t＝（t+1）2﹣2（t+1）+2，∴当x＝t+1时，函数取得最小值，y最小值方程无解．（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1内时，即有t≤1≤t+1，＝1，解这个不等式，即0≤t≤1．此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1．（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+1左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，＝t＝t2﹣2t+2，解得t＝2或1（舍弃），∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值∴t＝1或2．答案：1或2．17．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=−3−10或m=−3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或−3−10．18．（易错题）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c＝5时，若在函数值y＝1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c＝b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．解：（Ⅰ）当b＝2，c＝﹣3时，二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴当x＝﹣1时，二次函数取得最小值﹣4；（Ⅱ）当c＝5时，二次函数的解析式为y＝x2+bx+5，由题意得，x2+bx+5＝1有两个相等是实数根，∴△＝b2﹣16＝0，解得，b1＝4，b2＝﹣4，∴二次函数的解析式y＝x2+4x+5，y＝x2﹣4x+5；（Ⅲ）当c＝b2时，二次函数解析式为y＝x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=−2，①当−2＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x＝b时，y＝b2+b•b+b2＝3b2为最小值，∴3b2＝21，解得，b1=−7（舍去），b2=7；②当b≤−2≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=−2，y=34b2为最小值，∴34b2＝21，解得，b1＝﹣27（舍去），b2＝27（舍去）；③当−2＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，∴3b2+9b+9＝21．解得，b1＝1（舍去），b2＝﹣4；∴b=7时，解析式为：y＝x2+7x+7b＝﹣4时，解析式为：y＝x2﹣4x+16．综上可得，此时二次函数的解析式为y＝x2+7x+7或y＝x2﹣4x+16．。
二次函数与最值问题练习题(含答案)
二次函数与最值 题集一、实际问题中的最值（1）（2）1.如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为米的篱笆围成，若墙长为米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为米．苗圃园若苗圃园的面积为平方米，求的值．若平行于墙的一边长不小于米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【答案】（1）（2）．有，当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【解析】（1）（2）由题意，得：平行于墙的一边长为，根据题意，得：，解得：或，∵，∴．∴．∵矩形的面积，且，即，∴当时，取得最大值，最大值为．当时，取得最小值，最小值为．【标注】【知识点】二次函数的几何问题2.（1）（2）某校在基地参加社会实践活动中，基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙的最大可用长度为米），另外三边用总长米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为米的出入口．如图所示，设米．若这个生物园地的面积为平方米，求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．当为多少米时，这个生物园地的面积最大，并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）．为米时面积最大，最大为平方米．【解析】（1）（2）由题意可知∴∴．当时有最大值平方米．故当为米时，生物园地面积最大，最大面积为平方米．【标注】【知识点】二次函数的几何问题3.某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用一道墙隔开（如图），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为，设两饲养室合计长，总占地面积为．（1）（2）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． 若要使两间饲养室占地总面积达到，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到吗？【答案】（1）（2）总占地面积为，．占地总面积达到时，道墙长分别为米、米或米、米；占地面积不可能达到平方米．【解析】（1）（2）∵围墙的总长为米，间饲养室合计长米，∴饲养室的宽米，∴总占地面积为，．当两间饲养室占地总面积达到平方米时，则，解得：或．答：各道墙长分别为米、米或米、米．当占地面积达到平方米时，则，方程的，所以此方程无解，所以占地面积不可能达到平方米．【标注】【知识点】根据条件列二次函数关系式（1）（2）4.某果园有颗橙子树，平均每颗树结个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个橙子，假设果园多种了棵橙子树．直接写出平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系．果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）（2）（）．果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【解析】（1）（2）平均每棵树结的橙子个数（个）与之间的关系为：（）．设果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量为，则，则果园多种棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为个．【标注】【知识点】二次函数的利润问题（1）（2）（3）5.已知某商品每件的成本为元，第天的售价和销量分别为元/件和件，设第天该商品的销售利润为元，请根据所给图象解决下列问题：求出与的函数关系式．问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少．该商品在销售过程中，共有多少天当天的销售利润不低于元．【答案】（1）（2）（3）当时，，当时，．该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．共天每天销售利润不低于元．【解析】（1）当时，设与的函数关系式为，∵当时，，当，，∴，解得：∴，∴当时，；当时，．（2）（3），∴当时取得最大值元；∵；∴当时，随的增大而减小，当时，，综上所述，该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天；当时，，解得，因此利润不低于元的天数是，共天，所以该商品在销售过程中，共天每天销售利润不低于元．【标注】【知识点】函数图象与实际问题最大（1）（2）（3）6.某商场将进价为元的冰箱以元售出，平均每天能售出台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低元，平均每天就能多售出台．假设每台冰箱降价元，商场每天销售这种冰箱的利润是元，请写出与之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【答案】（1）（2）（3）．每台冰箱应降价元．每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【解析】（1）（2）根据题意，得，即．由题意，得．整理，得．解这个方程，得，．（3）要使百姓得到实惠，取．所以，每台冰箱应降价元．对于，当时，．所以，每台冰箱的售价降价元时，商场的利润最大，最大利润是元．【标注】【知识点】二次函数的利润问题最大值（1）（2）7.在新型城镇化型过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在元到元之间较为合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为：（年获利年销售收入生产成本投资成本）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为多少万件？求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【答案】（1）（2）投资第一年，公司亏损，最少亏损万【解析】（1）（2）把代入，得（万件）当销售单价定为元时，该产品的年销售量为万件．①当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．②当时，故当时，最大为，即公司最少亏万．综上，投资第一年，公司亏损，最少亏损万．【标注】【知识点】二次函数的利润问题二、几何问题中的最值（1）（2）1.已知，如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，．xyOxyO备用图求抛物线的解析式；若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）∵∴∵∴∵过、∴解这个方程组，得∴抛物线的解析式为：．过点作轴分别交线段和轴于点、yOx在中，令得方程解这个方程，得，∴设直线的解析式为∴解这个方程组，得∴的解析式为：∵==设，当时，有最大值．此时四边形面积有最大值．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形（1）（2）2.如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．xyO求二次函数表达式．若点是第一象限内的抛物线上的一个动点，且点的横坐标为，用含有的代数式表示的面积，并求出当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）（2）．当时，的面积最大，最大面积是．【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于点，，∴二次函数的解析式为．（2）如图，连接，易得的解析式为．设点的坐标为，则点的坐标为，∴，，，当时，的面积最大，最大面积是．yO【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）3.如图，已知经过原点的抛物线与轴的另一交点为，现将它向右平移（）个单位，所得抛物线与轴交于、两点，与原抛物线交于点．求点的坐标，并判断存在时它的形状（不要求说理）．在轴上是否存在两条相等的线段？若存在，请一一找出，并写出它们的长度（可用含的式子表示）；若不存在，请说明理由．（3）设的面积为，求关于的关系式．【答案】（1）（2）（3）点的坐标为，是等腰三角形．存在，，．．【解析】（1）（2）（3）令，得，．∴点的坐标为．是等腰三角形．存在．，．如图，当时，作轴于，设，∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．如图，当时，作轴于，设∵，，∴．∴．∴．把代入，得．∵，∴．综上可得：．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）4.已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点，已知抛物线的对称轴为，点，点，为抛物线的顶点．求抛物线的解析式．在轴下方且在抛物线上有一动点，求四边形的面积最大值．【答案】（1）（2）．【解析】（1）由、关于对称轴对称，对称轴为，点，得．将、、点的坐标代入函数解析式，得，解得．（2）故抛物线的解析式为．如图，过作轴于点，交于点．设，点坐标为，．，当时，．【标注】【知识点】二次函数与面积四边形最大（1）（2）（3）5.如图，二次函数（为非负整数）与轴交于、两点，与轴交于点．求抛物线的解析式．在直线上找一点，使的周长最小，并求出点的坐标．点在抛物线上，且在第二象限内，设点的横坐标为，问为何值时，四边形的面积最大？并求出这个最大面积．【答案】（1）（2）（3）时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【解析】（1）（2）（3）由题意得，，解得：，∵是非负整数，∴或，当时，二次函数的解析式为，当时，二次函数的解析式为，∵图象与轴交于点和点，点、分别在原点的左、右两边，∴当时，二次函数的解析式为不符合题意，∴二次函数的解析式为．如图，作点关于的对称点连接交对称轴于点，．由得点坐标为．当时，．解得，，∴，．设的解析式为，图象过点，，得，解得，∴的解析式为，当时，，点坐标为 时，的周长最小．如图，设点坐标为（），作轴于点，由图可知：四边形梯形．因此时，四边形的面积最大，这个最大面积是．【标注】【知识点】二次函数与面积（1）（2）6.如图，已知抛物线经过，两点．x24y–22O 求该抛物线的解析式．在直线上方的该抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）．存在，，面积的最大值为．【解析】（1）（2）把，代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为．存在，理由如下：设的横坐标为，则点的纵坐标为，过作轴的平行线交于，连接，，如图所示，x24y–22O 由题意可求得直线的解析式为，∴点的坐标为，∴，∴的面积，当时，，∴此时，面积的最大值为．【标注】【知识点】二次函数与面积最大（1）（2）（3）7.已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，直线上方的抛物线上一动点，抛物线的顶点是点．图求直线的解析式．求面积的最大值及点的坐标．当的面积最大时，在直线上有一动点，使得的周长最小，求周长最小时点的坐标．图【答案】（1）（2）（3）．，．．【解析】（1）（2）（3）过抛物线上动点作轴的垂线，垂足是，线段交线段于，设，，，∵，∴当时，，此时．关于直线的对称点连接，∵，，∴，∴联立，解得，最大∴．【标注】【知识点】二次函数与动点问题（1）（2）（3）8.如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为，为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．xyO 求抛物线的函数表达式，并写出顶点的坐标．在直线上是否存在一点，使周长最小，若存在，请求出最小周长和点的坐标；若不存在，请说明理由．若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，面积最大？并求出最大面积．【答案】（1）（2）（3）抛物线的解析式为，顶点的坐标为．存在；的周长最小值为，．时，的面积最大，最大面积为．【解析】（1）（2）由题意，得，解得，，所以抛物线的解析式为，顶点的坐标为．设抛物线的对称轴与轴交于点，（3）∵垂直平分，∴关于直线的对称点为，连结交于于一点，xyO∴这一点为所求点，使最小，即最小为．而，∴的周长最小值为．设直线的解析式为，则，解得，，所以直线的解析式为．由于，，，得，所以，，．同理可求得直线的解析式为，联立直线与的方程，解得使的周长最小的点．设，．过作轴的垂线交于，xyO则，所以，即当时，的面积最大，最大面积为，此时．【标注】【知识点】二次函数的几何问题（1）（2）（3）9.如图，已知抛物线与一直线相交于、两点，与轴相交于点，其顶点为．求抛物线及直线的函数关系式．若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值及此时点的坐标．在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在，请求出点的坐标和周长的最小值；若不存在，请说明理由．备用图【答案】（1）（2）；．；．（3）在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．【解析】（1）（2）（3）将，代入，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为；设直线的函数关系式为，将，代入，得：，解得，∴直线的函数关系式为．过点作轴交轴于点，交直线于点，过点作轴交轴于点，如图所示．图设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，∴，，，∵点的坐标为，∴点的坐标为，∴，∴，∵，∴当时，的面积取最大值，最大值为，此时点的坐标为．当时，，∴点的坐标为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∵点的坐标为，∴点，关于抛物线的对称轴对称，令直线与抛物线的对称轴的交点为点，如图所示．图∵点，关于抛物线的对称轴对称，∴，∴，∴此时周长取最小值，当时，，∴此时点的坐标为，∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴在对称轴上存在一点，使的周长最小，周长的最小值为．10.如图，已知抛物线经过、两点，与轴交于点．（1）（2）（3）求抛物线的解析式．点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值．点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．【答案】（1）（2）（3）．点为，周长的最小值为．点的坐标为或或．【解析】（1）（2）（3）根据题意，将、代入抛物线，可得：，解得：，所以，抛物线为：．点为，周长的最小值为．∵抛物线为：，∴抛物线的对称轴为直线，点、关于直线对称，当的周长最小时，则需要最小，根据利用轴对称且最小值的方法，可知点是与对称轴的交点，令，则，所以，点坐标为，设为直线，把，代入直线解析式，可得：，解得：，所以，直线为，将代入，可得：，∴点为，此时，，，∴周长的最小值为：．∵，，∴，∵，，∴点的纵坐标为或，令，解得：，，∴点的坐标为：或，令，解得：，∴点的坐标为：．综上所述：点的坐标为：或或．【标注】【知识点】二次函数与轴对称问题。
二次函数图象多结论问题·50练(含详细解析)
B. 2
C. 3
D. 4
9.如图，二次函数 Ẉ ̾
̾
的图象过点 ܽ ，对称轴为直线 Ẉ h ．有以下结
论：
①̾
；② ̾
；③若 A（ h ，m）， （ ，m）是抛物线上的两点，当 Ẉ h
时， Ẉ ；④点 M，N 是抛物线与 x 轴的两个交点，若在 x 轴下方的抛物线上存在一点 P，使得 ⊥ ，则 a 的取值范围为 ̾ h ；
A. ①②
B.次函数 Ẉ ̾
（ ̾ ）的图象如图所示，现给出以下结论：
①̾
；②
̾ Ẉ ；③ ̾
Ẉ ；④ ̾
̾h h （ h 为实数）其
中结论错误的有（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=-(x-3m-1)(x+1)与 y 轴相交于点 A，其中 m>0，点 B(0，1)，
结论：① ̾
；② ̾ Ẉ ；③ ̾ ；④ Ẉ ̾ ．其中正确的个数是（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
13.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是 x＝h ， 小亮通过观察得出了下面四条信息： ① 4ac-b2＞0，② abc＜0 ，③ 4a+2b+c＞0 ，④ 2a+3b=0 ． 你认为其中正确的有（ ）。
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
2.已知二次函数 Ẉ ̾
图象的对称轴为 Ẉ h ，其图象如图所示，现有下列结论：①
̾
；②
̾
；③ ̾
；④ ̾
̾
ܽ h ；⑤
．正确的
是（ ）
二次函数图像及解析式问题
二次函数图像及解析式问题1.若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式2.如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，求a ＋b ＋c 的值3.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点，求这个二次函数的解析式4.抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴，求这个函数的解析式6.二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式7.已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式8.已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y 轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式9.已知二次函数当x ＝－3时，有最大值－1，且当x ＝0时，y ＝－3，求二次函数的关系式10.已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式11.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式12.函数y ＝x 2＋px ＋q 的最小值是4，且当x ＝2时，y ＝5，求p 和q13.若抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的最高点为(－1，－3)，求b 和c14.若二次函数y ＝(m ＋1)x 2＋m 2－2m －3的图象经过原点，则m ＝______15.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，求此函数的关系式16.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x ＝2，求这个二次函数的关系式17.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两交点的横坐标是－0.5，1.5，与x 轴交点的纵坐标是－5，求这个二次函数的关系式18.已知y=x 2+(m 2+4)x-2m 2-12，求证，不论m 取何实数图象总与x 轴有两个交点19.（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式（2）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，求这个二次函数的关系式（3）根据图中的抛物线，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，y 有最大值(4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0⑷b=2a (5)042ac b ，其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 (5)已知y=2x 2+8x+7的图象上有有点A 1(2)y ，，B 21(5)3y ，，C 31(1)5y ，，则 y 1、y 2、y 3的大小关系为( ) A ． y 1 > y 2> y 3 B ． y 2> y 1> y 3 C ． y 2> y 3> y 1 D ． y 3> y 2> y 120.（1）下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )（2）在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为 ( )21.如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶?22.如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.23.有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度7.2ｍ，拱顶高出水平面2.4ｍ，现有一艘宽3ｍ，船舱顶部为正方形并高出水面2ｍ的货船要经过拱桥，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由24.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，问绳子的最低点距地面的距离是多少米．25.在平面直角坐标系中，ΔAOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A的坐标为（－3,1）。
(01)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)ok
二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•杭州）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•黄石）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•漳州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•长春）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x ＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．。
二次函数练习题目及问题详解
2009年中考试题专题之13.2-二次函数试题及答案二、填空题1、（2009年北京市）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ．4、（2009年郴州市）抛物线23(1)5y x =--+的顶点坐标为__________．5、(2009年上海市)12．将抛物线22y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ．6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．7、（2009襄樊市）抛物线2y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ．8、（2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 9、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点(31)，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时，函数值小于2．10、（2009年贵州省黔东南州）二次函数322--=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。
11、（2009年齐齐哈尔市）当x =_____________时，二次函数222y x x =+-有最小值． 12、（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，则阴影部分的面积是 .13、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法： ①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）14、(2009年鄂州)把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2－3x+5，则a+b+c=__________15、（2009白银市）抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）16、(2009年甘肃定西)抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外）17、（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．18、（2009年包头）已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ，，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)，的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个．19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大．20、(2009年本溪)如图所示，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(10)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ．【21．(2009年湖州)已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”） 22、（2009年兰州）二次函数223y x =的图象如图12所示，点0A 位于坐标原点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…， 2008B 在二次函数223y x =位于第一象限的图象上， 若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ .23、（2009年北京市）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.24．(2009年咸宁市)已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）25、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ． 26、（2009年黄石市）若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．27、（2009 黑龙江大兴安岭）当=x 时，二次函数222-+=x x y 有最小值．三、解答题1、（2009年株洲市）如图1，Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，3tan 4B =，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长；（2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当12AP =时，AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题.图1图22、（2009年株洲市）已知ABC ∆为直角三角形，90ACB ∠=︒，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并延长交BC 于点E ，连结BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：()FC AC EC +为定值．3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
二次函数练习题及答案解析
二次函数练习题及答案解析二次函数练习题及答案解析（初三数学）学好数学要多做练习、上课认真听讲、不会的题要问老师、做作业要当做考试来看待、不要在心理上抵触数学、平时多抽出一些时间来练习数学，下面是我为大家整理的二次函数练习题及答案解析，希望对您有所帮助!二次函数练习题及答案解析一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab0，c0B ab0，c0C ab0，c0D ab0，c06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P 3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛 B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大答案与解析：一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C 6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx 的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元九年级数学二次函数练习题一、填空题：(每空2分，共40分)1、一般地，如果，那么y叫做x的二次函数，它的图象是一条。
一题多问 一道二次函数经典题的50种问法
一道二次函数经典50问已知：如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，OA =OC =3，顶点为D 。
（1）求此抛物线的解析式；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD 的面积；XX（4）在对称轴上找一点P ，使△BCP 的周长最小，求出点P 的坐标及△BPC 的周长。
（5）在直线AC 下方的抛物线有一点N ，过点N 作直线//l y 轴，交AC 于点M ，当点N 的坐标是多少时，线段MN 的长度最大？最大值是多少？（6）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在一点N ，使△CAN 的面积最大？最大面积是多少？（7）在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN的面积最大？最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。
（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由。
（10）在抛物线上是否存在一点N ，使ABN ABC =S S △△，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由。
（11）在抛物线上是否存在一点H ，使BCH ABC =S S △△，若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由。
（12）在抛物线上是否存在一点Q ，使AOQ COQ =S S △△，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由。
（13）在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由。
（14）在抛物线上找一点F，作FM⊥x轴，交AC于点H，使AC平分△AFM的面积？（15）在抛物线的对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A、B、K、L为顶点的四边形是平行四边形，求出K、L两点的坐标。
（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M，交抛物线于点N，若以A、M、N、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标。
二次函数选择题多结论问题(带答案)
二次函数选择题多结论问题1．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，其图象如图所示．下列结论：①0abc <；②22(4)(2)a c b +<；③若1(x ，1)y 和2(x ，2)y 是抛物线上的两点，则当12|1||1|x x +>+时，12y y <；④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，则关于x 的方程21ax bx c m ++=-无实数根．其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．11T 4T2．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>，且12a b c ++=-，32a b c -+=-．判断下列结论：①0abc <；②220a b c ++>；③抛物线与x 轴正半轴必有一个交点；④当23x 时，3y a =最小；⑤该抛物线与直线y x c =-有两个交点，其中正确结论的个数( ) A ．2B ．3C ．4D ．53．二次函数2(y ax bx c a =++、b 、c 是常数，且0)a ≠的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当32x =时，对应的函数值0y <．有以下结论： ①0abc >；②203m n +<-；③关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间；④11(1,)P t y -和22(1,)P t y +在该二次函数的图象上，则当实数13t >时，12y y >． 其中正确的结论是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④4．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线12x =，且经过点(2,0)．下列说法：①0abc <；②20b c -+=；③420a b c ++<；④若1(2-，1)y ，5(2，2)y 是抛物线上的两点，则12y y <；⑤1()4b c m am b c+>++（其中1)2m ≠．正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴为直线1x =-，结合图象给出下列结论： ①0a b c ++=； ②20a b c -+<；③关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为3-和1； ④若点1(4,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 均在二次函数图象上，则123y y y <<； ⑤()(a b m am b m -<+为任意实数）． 其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5T 6T6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点(1,0)-，其对称轴为直线1x =． ①0abc <； ②420a b c ++<； ③80a c +<；④若抛物线经过点(3,)n -，则关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5． 上述结论中正确结论的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数）开口向下且过点(1,0)A ，(B m ，0)(21)m -<<-，下列结论：①20b c +>；②20a c +<；③(1)0a m b c +-+>；④若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，则244ac b a -<．其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠经过点(2,0)，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过(2c a，0)；⑤2440am bm b +-．其中正确结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8T 10T9．已知抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠经过点(1,1)--，(0,1)，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论： ①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．310．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论： ①0abc >； ②24b ac <； ③23c b <；④()(1)a b m am b m +>+≠；⑤若方程2||1ax bx c ++=有四个根，则这四个根的和为2． 其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的交点为(1,0)A 和(3,0)B ，点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 是抛物线上不同于A ，B 的两个点，记△1P AB 的面积为1S ，△2P AB 的面积为2S ，有下列结论：①当122x x >+时，12S S >；②当122x x <-时，12S S <；③当12|2||2|1x x ->->时，12S S >；④当12|2||2|1x x ->+>时，12S S <．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA OC =．则下列结论：①0abc <；②2404b ac a ->：③10ac b -+=；④c OA OB a ⋅=：⑤1OB a=-，其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．112T 13T 14T 15T13．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，已知顶点坐标为(2,9)a --．有下列结论：①0abc <；②420a b c ++>；③50a b c -+=；④若方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ，且12x x <，则1251x x -<<<．其中正确结论的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．414．如图所示是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过A 点(3,0)，二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①24b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论有( )个． A ．0B ．1C ．2D ．315．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点坐标为(2,)a --，对于下列结论：①0abc <；②0a b c ++>；③3c a =；④若方程220ax bx c ++-=没有实数根，则20a -<<．其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个16．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的两个交点是A ，B ，其中点A 的坐标为(3,0)，则下列结论：①0abc >；②240b ac -；③点B 的坐标是(1,0)-；④点1(C x ，12)(y D x ，2)y 是抛物线上的两点，若12x x <，则12y y <，其中正确结论的个数是( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16T 17T 18T 19T17．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点(5,0)A -，对称轴为直线2x =-，给出四个结论：①0abc >；②420a b c -+>；③若1(3,)B y -与2(4,)C y -是抛物线上两点，则21y y <；④50a c +=．其中，正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．418．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为2194y x x =-+：②若点(1,)B n -在这个二次函数图象上，则n m >；③该二次函数图象与x 轴的另一个交点为(4,0)-；④当0 5.5x <<时，8m y <<．所有正确结论的序号是( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④19．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴是直线 1.5x =-，与x 轴的一个交点在(4,0)-和(3,0)-之间，有以下结论：①0abc >；②240b ac ->；③30a b -=；④430b c +<．其中正确结论的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．420．抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ．有下列结论：①20a b +=；②430c b ->；③当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个；④当BCD ∆是直角三角形时，a =． 其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．321．抛物线2y ax bx c =++的顶点为(1,2)D -，与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，其部分图象如图，则以下结论：①0abc >；②0a b c ++<；③2c a -=；④方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根；⑤10ac b -+>．其中正确结论的个数为( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个21T 22T 23T 24T 22．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为 (4,0)，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，有下列结论：①0abc >；②40a b +<；③若1(1,)M y 与2(2,)N y 是抛物线上两点，则12y y >；④若3AB ，则430b c +>． 其中，正确的结论是( ) A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③23．如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象，其顶点坐标为(1,)n ，且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①0abc <；②30a b +>；③420a b c -+>；④24()b a c n =-；⑤一元二次方程21ax bx c n ++=+有两个互异实根． 其中正确结论的个数是( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个24．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点(3,0)-，其对称轴是12x =-，结合图象分析下列结论：①0abc >；②0a b c ++>；③0a b +=；④20a c +>；⑤一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别为13x =-，22x =；⑥2404ac b a->；⑦若两点1(2,)y -，2(3,)y 在二次函数图象上，则12y y >；其中正确的结论有( ) A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个25．我们定义一种新函数：形如22||(0,40)y ax bx c a b ac =++≠->的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数2|23|y x x =--的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是( )①图象具有对称性，对称轴是直线1x =；②当11x -<<或3x >时，函数值随x 值的增大而增大；③当1x =-或3x =时，函数的最小值是0；④当1x =时，函数的最大值是4． A ．4B ．3C ．2D ．125T 26T 28T26．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(1,)n ．下列结论：①0abc <；②80a c +<；③关于x 的一元二次方程21ax bx c n ++=-有两个不相等实数根；④抛物线上有两点1(P x ，1)y 和2(Q x ，2)y ，若121x x <<，且122x x +>，则12y y >．其中正确的结论共有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．关于二次函数245(0)y ax ax a =--≠的三个结论：①图象与y 轴的交点为(0,5)-；②对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等；③若34x ，对应的y 的整数值有4个，则413a -<-或413a <．其中，正确结论的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．328．如图，二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线．下面是5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个29．函数，，为常数，的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．有下列结论：①；②函数在和处的函数值相等；③点，，，在函数的图象上，若，则．其中，正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32(0)y ax bx c a =++≠1(2-0)1x =0abc <240a b c -+=20a b +>230c b -<2a b am bm ++()2(y ax bx c a =++b c 0)a ≠x (2,0)(1,)n -0n >0abc >2y ax bx c =++1x =2x =-1(M x 1)y 2(N x 2)y 2y ax bx c =++1231x x -<<<12y y >()30．已知抛物线与轴有两个交点，，，．现有如下结论：①此抛物线过定点；②若抛物线开口向下，则的取值范围是；③若时，有，，则的取值范围是．其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．32(1)22y m x mx m =+-+-x 1(x 0)2(x 0)(1,1)-m 21m -<<-1m >-121x -<<-212x <<m 2194m -<<()【详解】①抛物线图象开口向上， 0a ∴>，对称轴在直线y 轴左侧， a ∴，b 同号，0b >，抛物线与y 轴交点在x 轴下方， 0c ∴<，0abc ∴<，故①正确．②22(4)(2)(42)(42)a c b a c b a c b +-=+++-，当2x =时242ax bx c a c b ++=++，由图象可得420a c b ++>，由图象知，当2x =-时，242ax bx c a c b ++=+-，由图象可得420a c b +-<，22(4)(2)0a c b ∴+-<，即22(4)(2)a c b +<， 故②正确．③11|1||(1)|x x +=--，22|1||(1)|x x +=--， 12|1||1|x x +>+，∴点1(x ，1)y 到对称轴的距离大于点2(x ，2)y 到对称轴的距离，12|y y ∴>，故③错误．④抛物线的顶点坐标为(1,)m -，y m ∴，2ax bx c m ∴++，21ax bx c m ∴++=-无实数根．故④正确，综上所述，①②④正确．【详解】12a b c ++=-，32a b c -+=-，∴两式相减得12b =，两式相加得1c a =--， 0c ∴<，0a >，0b >，0c <， 0abc ∴<，故①正确；12222102a b c a a a ∴++=+⨯--=>，故②正确；当1x =时，则12y a b c =++=-，当1x =-时，则有32y a b c =-+=-，∴当0y =时，则方程20ax bx c ++=的两个根一个小于1-，一个根大于1，∴抛物线与x 轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线1024b x a a=-=-<， ∴当23x 时，y 随x 的增大而增大，∴当2x =时，有最小值，即为424113y a b c a a a =++=+--=，故④正确；联立抛物线2y ax bx c =++及直线y x c =-可得：2x c ax bx c -=++，整理得：21202ax x c -+=，∴△1804ac =->， ∴该抛物线与直线y x c =-有两个交点，故⑤正确； ∴正确的个数有5个．3．【答案】B【详解】将(0,2)，(1,2)代入2y ax bx c =++得： 22ca b c =⎧⎨=++⎩，解得2b a c =-⎧⎨=⎩， ∴二次函数为：22y ax ax =-+，当32x =时，对应的函数值0y <， ∴932042a a -+<， 83a ∴<-， 83a ∴->，即83b >， 0a ∴<，0b >，0c >，0abc ∴<，故①不正确；1x =-时y m =，2x =时y n =，222m a a a ∴=++=+，42222n a a a =-+=+，44m n a ∴+=+， 83a <-， 203m n ∴+<-，故②正确； 抛物线过(0,2)，(1,2)，∴抛物线对称轴为12x =， 又当32x =时，对应的函数值0y <， ∴根据对称性：当12x =-时，对应的函数值0y <， 而0x =时20y =>，∴抛物线与x 轴负半轴交点横坐标在12-和0之间， ∴关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间，故③正确； 11(1,)P t y -和22(1,)P t y +在该二次函数的图象上，21(1)(1)2y a t a t ∴=---+，22(1)(1)2y a t a t =+-++，若12y y >，则22(1)(1)2(1)(1)2a t a t a t a t ---+>+-++，即22(1)(1)(1)(1)a t a t a t a t --->+-+，0a <，22(1)(1)(1)(1)t t t t ∴---<+-+， 解得12t >，故④不正确． 4．【答案】B 【详解】抛物线开口向下，且交y 轴于正半轴，0a ∴<，0c >， 对称轴122b x a =-=，即b a =-， 0b ∴>，0abc ∴<，故①正确；二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象过点(2,0)，042a b c ∴=++，故③不正确；又可知b a =-，042b b c ∴=-++，即20b c -+=，故②正确； 抛物线开口向下，对称轴是直线12x =，且11()122--=，51222-=， 12y y ∴>，故选④不正确； 抛物线开口向下，对称轴是12x =，∴当12x =时，抛物线y 取得最大值2111()224max y a b c b c =++=+， 当x m =时，2()m y am bm c m am b c =++=++，且12m ≠， max m y y ∴>，故⑤正确，综上，结论①②⑤正确．5．【答案】C 【详解】①二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为(1,0)， 0a b c ∴++=，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线12b x a=-=-， 2b a ∴=，抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴，0a ∴>，0c <，230a b c c a ∴-+=-<，故②正确；③由对称得：抛物线与x 轴的另一交点为(3,0)-，∴关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别为3-和1，故③正确； ④对称轴为直线1x =-，且开口向上，∴离对称轴越近，y 值越小，|41|3-+=，||21|1-+=，|31|4+=，点1(4,)y -，2(2,)y -，3(3,)y 均在二次函数图象上，213y y y ∴<<，故④不正确；⑤1x =-时，y 有最小值，2(a b c am bm c m ∴-+++为任意实数），()a b m am b ∴-+，故⑤不正确．所以正确的结论有①②③，共3个．6．【答案】C 【详解】抛物线的开口向下，0a ∴<．抛物线与y 轴的正半轴相交，0c ∴>．抛物线的对称轴为直线1x =，12ba ∴-=，2b a ∴=-，0b >．抛物线经过点(1,0)-，0a b c ∴-+=．①0a <，0b >，0c >，0abc ∴<．故①正确；②2b a =-，4242(2)440a b c a a c a a c c ∴++=+⨯-+=-+=>．故②错误；③0a b c -+=，(2)0a a c ∴--+=，即30a c +=．83550a c a c a a ∴+=++=<．故③正确； ④抛物线经过点(3,)n -，其对称轴为直线1x =，∴根据对称性，抛物线必经过点(5,)n ，∴当y n =时，3x =-或5．2(0)y ax bx c a =++≠，∴当2(0)ax bx c n a ++=≠时，3x =-或5．即关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5．故④正确；综上，正确的结论有：①③④．7．【答案】A【详解】根据题意得0a b c ++=，b ac ∴=--，当2x =-时，有420a b c -+<，42()0a a c c ∴---+<，20a c ∴+<，∴②正确，由20a c +<，得20a c -->，2()0a c c ∴--+>，20b c ∴+>，∴①正确，若(1)0a m b c +-+>，则a b c am -+>-，取1x =-，则0y a b c =-+>，又0a <，0m <，即(1)0a m b c +-+>成立，∴③正确，若方程()(1)10a x m x ---=有两个不相等的实数根，即()(1)1a x m x --=有两个不相等的实数根，∴顶点的纵坐标2414ac b a->， 244ac b a ∴-<，∴④正确．8．【答案】D 【详解】①抛物线的对称轴为直线12x =，即对称轴在y 轴的右侧， 0ab ∴<，抛物线与y 轴交在负半轴上，0c ∴<，0abc ∴>，故①正确； ②抛物线的对称轴为直线12x =， 122b a ∴-=， 22b a ∴-=，0a b ∴+=，故②不正确； ③抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，0)a ≠经过点(2,0)，420a b c ∴++=，故③正确；④由对称得：抛物线与x 轴另一交点为(1,0)-，420a b a b c +=⎧⎨++=⎩， 2c a ∴=-， ∴12c a=-， ∴当0a ≠，无论b ，c 取何值，抛物线一定经过(2c a ，0)， 故④正确；⑤b a =-，22224444(441)(21)am bm b am am a a m m a m ∴+-=-+=-+=-，0a >，2(21)0a m ∴-，即2440am bm b +-，故⑤正确；本题正确的有：①③④⑤，共4个．9．【答案】D 【详解】①抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 是常数，0)a ≠经过点(1,1)--，(0,1)， 1c ∴=，1a b c -+=-，2a b ∴=-，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．4211a b ∴-+>，4(2)211b b ∴--+>，解得：4b >，20a b ∴=->，，0abc ∴>，故①正确；②2a b =-，1c =，2(2)130b x bx ∴-++-=，即2(2)20b x bx ∴-+-=，∴△224(2)(2)816(8)16b b b b b b =-⨯-⨯-=+-=+-，4b >，∴△0>，∴关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根，故②正确；③2a b =-，1c =，2121a b c b b b ∴++=-++=-，4b >，217b ∴->，7a b c ∴++>．故③正确．10．【答案】A【详解】①二次函数图象性质知，开口向下，则0a <．再结合对称轴02b a->，得0b >．据二次函数图象与y 轴正半轴相交得0c >．0abc ∴<． ①错．②二次函数图象与x 轴交于不同两点，则240b ac ->．24b ac ∴>．②错． ③12b a-=， 2b a ∴=-．又当1x =-时，0y <．即0a b c -+<．2220a b c ∴-+<．320b c ∴-+<．23c b <．∴③正确．④1x =时函数有最大值，∴当1x =时的y 值大于当(1)x m m =≠时的y 值，即()a b c m am b c ++>++()(1)a b m am b m ∴+>+≠成立，∴④正确．⑤将x 轴下方二次函数图象翻折到x 轴上方，则与直线1y =有四个交点即可．由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4．故⑤错． 综上：③④正确．11．【答案】A【详解】方法一：不妨假设0a >．①如图1中，1P ，2P 满足122x x >+，12//PP AB ，12S S ∴=，故①错误．②当12x =-，21x =-，满足122x x <-，则12S S >，故②错误，③12|2||2|1x x ->->，1P ∴，2P 在x 轴的上方，且1P 离x 轴的距离比2P 离x 轴的距离大， 12S S ∴>，故③正确，④如图2中，1P ，2P 满足12|2||2|1x x ->+>，但是12S S =，故④错误．故选：A ． 方法二：解：抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为A (1,0)和B (3,0)， ∴该抛物线对称轴为x 2=，当x 1>x 22+时与当x 122x <-时无法确定P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在抛物线上的对应位置， 故①和②都不正确；当|x 12||->x 22|1->时，P 1(x 1，y 1)比P 2(x 2，y 2)离对称轴更远，且同在x 轴上方或者下方， |∴y 1||>y 2|，∴S 1>S 2，故③正确；当|x 12||->x 22|1+>时，即在x 轴上x 1到2的距离比x 2到2-的距离大，且都大于1， 可知在x 轴上x 1到2的距离大于1，x 2到2-的距离大于1，但x 2到2的距离不能确定， 所以无法比较P 1(x 1，y 1)比P 2(x 2，y 2)谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；12．【答案】B 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，抛物线的对称轴在y 轴的右侧，0b ∴>，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，0c ∴>，0abc ∴<，所以①正确；抛物线与x 轴有2个交点，∴△240b ac =->，而0a <， ∴2404b ac a-<，所以②错误； (0,)C c ，OA OC =，(,0)A c ∴-，把(,0)A c -代入2y ax bx c =++得20ac bc c -+=， 10ac b ∴-+=，所以③正确；设1(A x ，0)，2(B x ，0)，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A ，B 两点， 1x ∴和2x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根，12c x x a∴⋅=， 0a <，0c >，c OA OB a∴⋅=-，所以④错； OA c =，1OB a∴=-，故⑤正确． 13．【答案】C 【详解】抛物线的顶点坐标为(2,9)a --， 22(2)945y a x a ax ax a ∴=+-=+-，抛物线的开口向上，0a ∴>，40b a ∴=>，50c a =-<，0abc ∴<，所以①正确；当0y =时，2450ax ax a +-=，解得15x =-，21x =， ∴抛物线与x 轴的交点坐标为(5,0)-，(1,0)， 2x =时，0y >，420a b c ∴++>，所以②正确；55454a b c a a a a -+=--=-，而0a >，50a b c ∴-+<，所以③错误；方程(5)(1)1a x x +-=-有两个根1x 和2x ， ∴抛物线(5)(1)y a x x =+-与直线1y =-有两个交点，交点的横坐标分别为1x 和2x ， 1251x x ∴-<<<，所以④正确；综上：正确的个数为3个.14．【答案】C【详解】由图象知和x 轴有两个交点， ∴△240b ac =->，24b ac ∴>，故①正确；由图象知，图象与y 轴交点在x 轴的上方，且二次函数图象对称轴为1x =， 0c ∴>，12b a-=，0a <， 0b ∴>，即0bc >，20a b +=，∴②不正确，③正确；由图象知，当1x =时22110y ax bx c a b c a b c =++=⨯+⨯+=++>， ∴④不正确，综合上述：正确的个数是2.15．【答案】C【详解】抛物线开口向下，则0a <，对称轴202b x a =-=-<，因此a 、b 同号，所以0b <， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <， 0abc ∴<，因此①正确；当1x =时，0y a b c =++<，因此②不正确；抛物线过(2,)a --点，因此42a b c a -+=-，即520a b c -+=， 对称轴为22b x a =-=-，即4b a =， 所以580a a c -+=，即3c a =，因此③正确；方程220ax bx c ++-=没有实数根，即抛物线与直线2y =没有交点， 此时顶点的纵坐标2a -<，又0a <，20a ∴-<<，因此④正确；综上所述，正确的有①③④，共3个.16．【答案】B【详解】由图象可知：0a >，0b <，0c <， 0abc ∴>，故①正确；抛物线与x 轴交于两点，240b ac ∴->，故②错误；抛物线的对称轴为直线1x =，与x 轴的两个交点是A ，B ，点A 的坐标为(3,0)， ∴点B 的坐标是(1,0)-，故③正确； 点1(C x ，12)(y D x ，2)y 是抛物线上的两点，∴当121x x <<时，12y y >，当121x x <<时，12y y <，故④错误；17．【答案】D【详解】由图象可知：开口向下，故0a <， 抛物线与y 轴交点在x 轴上方，故0c >， 对称轴02bx a =-<，0b ∴<，0abc ∴>，故①正确；由图象可知，2x =-时，0y >，420a b c ∴-+>，故②正确；当2x <-时，此时y 随x 的增大而增大，34->-，21y y ∴<，故③正确；对称轴为2x =-，22ba ∴-=-，4b a ∴=，点(5,0)A -关于对称轴的对称点是(1,0)， 0a b c ∴++=，40a a c ∴++=，即50a c +=，故④正确；18．【答案】C【详解】①由图象顶点(2,9)可得2(2)9y a x =-+， 将(8,0)代入2(2)9y a x =-+得0369a =+， 解得14a =-， 2211(2)9844y x y x x ∴=--+==-++， 故①错误．② 5.522(1)->--，点A 距离对称轴距离大于点B 距离对称轴距离， m n ∴<，故②正确． ③图象对称轴为直线2x =，且抛物线与x 轴一个交点为(8,0)， ∴图象与x 轴的另一交点横坐标为2284⨯-=-， 故③正确．④由图象可得当0x =时8y =， 5.5x =时y m =，2x =时9y =， 0 5.5x ∴<<时，9m y <．故④错误．19．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<， 抛物线的对称轴为直线 1.52b x a=-=-， 30b a ∴=<，30a b ∴-=，所以③正确；抛物线交y 的正半轴，0c ∴>，0abc ∴>，所以①正确；抛物线与x 轴有两个交点，240b ac ∴->，所以②正确；由图象可知，1x =时0y <，且3b a =， 即14033a b c b b c b c ++=++=+<， 即430b c +<，故④正确；20．【答案】D 【详解】二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，∴对称轴为直线12b x a =-=， 2b a ∴=-，20a b ∴+=，故①正确；抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴的正半轴交于点C ， 0a ∴<，当1x =-时，0y a b c =-+=，20a a c ∴++=，3c a ∴=-，4312660c b a a a ∴-=-+=->，故②正确； 二次函数223y ax ax a =--，(0)a <， ∴点(0,3)C a -，当BC AB =时，4，a ∴=，当AC BA =时，4=a ∴=， ∴当ABC ∆是等腰三角形时，a 的值有2个，故③正确； 二次函数2223(1)4y ax ax a a x a =--=--， ∴顶点(1,4)D a -，22416BD a ∴=+，2299BC a =+，221CD a =+， 若90BDC ∠=︒，可得222BC BD CD =+， 222994161a a a ∴+=+++，a ∴=， 若90DCB ∠=︒，可得222BD CD BC =+， 222416991a a a ∴+=+++，1a ∴=-，∴当BCD ∆是直角三角形时，1a =-或，故④错误．21．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，对称轴在y 轴左侧，0b ∴<，对称轴为1x =-，抛物线与x 轴的一个交点A 在点(3,0)-和(2,0)-之间，∴与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间， ∴抛物线和y 轴正半轴相交，1x =时，0y <， 0c ∴>，0a b c ++<，0abc ∴>，故①②正确； 抛物线的对称轴为直线12b x a =-=-， 2b a ∴=，1x =-时，2y =，即2a b c -+=，22a a c ∴-+=，即2c a -=，所以③正确； 当1x =-时，二次函数有最大值为2， 即只有1x =-时，22ax bx c ++=， ∴方程220ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故④正确； 2c a -=，2c a ∴=+，2b a =，21(2)2110ac b a a a a ∴-+=+-+=+>，故⑤正确；22．【答案】C【详解】根据题意抛物线开口向下，且与x 轴交于正半轴两点，与y 轴负半轴交于点C ， 0a ∴<，0b >，0c <，0abc ∴>，故①正确； 根据抛物线的对称性可知：242b a <-<， 48a b a ∴-<<-，40a b ∴+>， 故②不正确；0a <，22ba <-，∴当2x <时，y 随x 的增大而增大， 12y y ∴<，故③不正确；若3AB ，则点A 的横坐标大于0且小于等于1， ∴当1x =时，0y a b c =++， 当4x =时，1640y a b c =++=，即416b ca +=-，∴4016b cb c +-++，整理得450b c +， 432b c c ∴+-，430b c ∴+>，故④正确，23．【答案】A 【详解】图象开口向下， 0a ∴<，取0x =，得0y c =>， 又对称轴为12ba -=，20b a ∴=->，0abc ∴<，∴①正确，3320a b a a a +=-=<，∴②错误，由抛物线的对称性得：2x =-时，420y a b c =-+<， ∴③错误，由图象得244ac b n a-=， 即24()b a c n =-，∴④正确，2y ax bx c =++的最大值为n ， ∴一元二次方程21ax bx c n ++=+无解， ∴⑤错误，正确的为①④，24．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，对称轴在y 轴左侧，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴， 0a ∴<，0b <，0c >，0abc ∴>，①正确，满足题意．抛物线与x 轴一个交点为(3,0)-，对称轴为直线12x =-， ∴抛物线与x 轴另外一交点坐标为(2,0)， 1x ∴=时0y >，0a b c ∴++>，②正确，满足题意． 122b a -=-， a b ∴=，0a b +<，③错误，不满足题意． 20ac a b c ∴+=++>，④正确，满足题意． 抛物线与x 轴交点为(3,0)-，(2,0)， 20ax bx c ∴++=的两根分别为13x =-，22x =，⑤正确，满足题意． 抛物线顶点在x 轴上方，∴2404ac b a->，⑥正确，满足题意． 322-<-<，10y ∴>，32>，20y ∴<，12y y ∴>，⑦正确，满足题意．综上所述，①②④⑤⑥⑦满足题意．25．【答案】B 【详解】观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线12b x a=-=，故①正确； 令2|23|0x x --=可得2230x x --=，(1)(3)0x x ∴+-=，11x ∴=-，23x =，(1,0)∴-和(3,0)是函数图象与x 轴的交点坐标，又对称轴是直线1x =，∴当11x -<<或3x >时，函数值y 随x 值的增大而增大，故②正确；由图象可知(1,0)-和(3,0)是函数图象的最低点，则当1x =-或3x =时，函数最小值是0，故③正确；由图象可知，当1x <-时，函数值随x 的减小而增大，当3x >时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x =时的函数值4并非最大值，故④错误．综上，只有④错误．26．【答案】D 【详解】抛物线开口向下，0a ∴<，顶点坐标(1,)n ，∴对称轴为直线1x =，12b a ∴-=，20b a ∴=->，0c >，0abc ∴<，故①正确；点(1,0)A -关于直线1x =的对称点为(3,0)，930a b c ∴++=，2b a =-，30a c ∴+=，850a c a ∴+=<，故②正确，顶点坐标(1,)n∴抛物线2x bx c n ++=有唯一的解，当1y n =-时，与抛物线有两个交点，故③正确，121x x <<，且122x x +>，21|1||1|x x ∴->-抛物线关于1x =对称，1x <时，y 随x 的增大而增大，1x >时，y 随x 的增大而减小，12y y ∴>，故④正确，综上所述，结论正确的是①②③④共4个．27．【答案】 【详解】二次函数245y ax ax =--，当0x =时，5y =-，∴图象与y 轴的交点为(0,5)-，故①正确； 该函数的对称轴是直线422a x a-=-=，故对任意实数m ，都有12x m =+与22x m =-对应的函数值相等，故②正确； 当3x =时，912535y a a a =--=--，当4x =时，161655y a a =--=-，∴当0a >时，355a y ---，若，对应的的整数值有4个，，D 34x y 543553a ∴--<----解得，； 当时，，若，对应的的整数值有4个，，解得，； 由上可得，若，对应的的整数值有4个，则或，故③正确； 28．【答案】【详解】①由图象可知，，，，，故①错误；②图象经过点，，代入到解析式中得： ，两边同时乘以4，得：， 故②正确；③对称轴为直线，即， ，，故③错误；④由②③得：，，则， 故，故④错误； ⑤当时，函数取得最小值，即，故⑤正确； 综上，一共2个正确．29．【答案】413a <0a <535y a ---34x y 533554a ∴-+--<-+413a -<-34x y 413a -<-413a <C 0a >0b <0c <0abc ∴>1(2-0)11042a b c -+=240a b c -+=1x =12b a-=2b a ∴=-20b a +=240a b c -+=2b a =-54a c =-57236022a a cb a -=-+=>1x =2()a bc am bm c m am b c ++++=++C【详解】依照题意，画出图形如下：函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，其中．，，对称轴为直线， ，，故①正确，对称轴为直线，与的函数值是相等的，故②错误；观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小．，，点距离对称轴的距离小于2，点距离对称轴的距离大于2，，故③正确．30．【答案】【详解】①当时，，故正确；②该函数图象开口向下，且与轴有两个交点，故，△，解得：，故正确；③由知，当和函数值异号，当时，，当时，，故，故的取值范围是，故正确．2(0)y ax bx c a =++≠x (2,0)(1,)n -0n >0a ∴<0c >12b x a=-=-20b a ∴=<0abc ∴>1x =-1x ∴=3x =-131x -<<21x >M ∴N 12y y ∴>D 1x =2(1)221y m x mx m =+-+-=-x 10m +<2(2)4(1)(2)0m m m =--+->21m -<<-121x -<<-2x =-1x =-2x =-92y m =+1x =-41y m =-(92)(41)0m m +-<m 2194m -<<。
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，如图所示：
y
A
OB
E3
x
Q
E4
D
第(8)问图 3
求得
.
（9） 在 轴上是否存在一点 F，使 若不存在，请说明理由；
【解答】存在这样的点 F，
为等腰三角形，若存在，请求出 F 的坐标；
，
，
，
【解析】①以 A 为圆心 AD 长为半径作 ， 与 轴有两个交点，分别为
，
即为所求，如下图所示：
y
F1
A
B
O
y
N2
N3
A
B
O
x
N1 D C
第(10)问图
令
，解得
（与点 C 重合，舍去），
；
令
，解得
，
综上所述
.
（11） 在抛物线上是否存在一点 H（不与点 A 重合），使
，若存在，求出
点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】存在点 H 使
【解析】过点 A 作 BC 的平行线，平行线与抛物线的交点即为 H，如图所示：
第(9)问图 3 是 AD 的中点，
即
，
且
，设
，将 M 坐标带入得到
，
当
时，
，所以
.
（10） 在抛物线上是否存在一点 N（N 不与点 C 重合），使
，若存在，求
出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】
【解析】如图所示，利用三角形同底等高面积相等，两个三角形都以 AB 为底，只要高相 等即可.
，解得
，故
，
再次与二次函数解析式联立得
，
解得
，即
，
又因为
，设
，将
带入求得
与 AC 所在直线方程联立得
，解得
，即
通过两点间距离公式求得
， ，
，
解法三：过点 N 作 AC 的平行线交 轴于点 M，当直线 NM 与二次函数图像只有一个交点
时（点 N 是抛物线的切点），
的面积最大，作
，垂足为 G，如下图所示：
设
，则
，则
，
当
时，
值最大， .
解法二：过点 N 作 AC 的平行线交 轴于点 M，当直线 NM 与二次函数图像只有一个交点
时，
的面积最大，作
y
，垂足为 G，如下图所示：
A
B
M
O
x
G
C ND
第(6)问图 2
因为
，且 NM 所在的直线与 AC 平行，故设 NM 所在直线为
，
与二次函数解析式联立得
，即
，
则
解得
（舍），
，
，即 ， ，
，解得
，
（19） 若点 P 是抛物线上一动点，作
轴于点 H，使得
若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】
，
；
相似，
【解析】①过点 C 作 轴的垂线交抛物线于点 ，过 作 轴的垂线交 轴于 ，此时
，如图所示：
y
A
H1
B
O
x
P1
C
D
第(19)问图 1
是 C 关于
，
中，解得
，
，
（5） 在线段 AC 下方的抛物线上找一点 N，过点 N 作直线 轴，交 AC 与点 M，当
点 N 坐标为多少时，线段 MN 的长度最大？最大是多少？ 【解答】MN 的最大值为 2
y
l
A
B
O
x
M
C ND
第(5)问图 【解析】如图所示，当点 N 与二次函数的顶点 D 重合时，此时 MN 的长度最大。
，如图所示：
y
E1
A
B
O
x
M
C N
第(16)问图 1 为平行四边形，
，
；
② 以 AN 为对角线作平行四边形
，如所示：
y
A
B
O
x
E2
M
C
N
第(16)问图 2 ，
③ 以 MN 为对角线作平行四边形
； ，如图所示：
A
B
O
x
M
C N
第(16)问图 3 E3
，设
，将
带入解得
，
是平行四边形，
，
设
，
，
解得
（舍），
的横坐标为 或 3，
将其带入二次函数解析式中求得
，
；
，
.
（16） 作垂直于 轴的直线
，交直线 AC 于点 M，交抛物线于点 N，以 A、M、N、
E 为顶点作平行四边形，求第四个顶点 E 的坐标；
【解答】
【解析】分类讨论，分别以 AM、AN、NM 为对角线作平行四边形.
① 以 AM 为对角线作平行四边形
A
B
O
x
C D
第(8)问图 1
通过点 A、D 的坐标求出
，
，设
，将点 A 坐标带入解得
，
，当
时，
，
；
②过点 D 作 AD 的垂线交 轴于 ，如图所示：
y
A
B
O
x
C E2
D
第(8)问图 2
通过点 A、D 的坐标求出
，
，设
，将 D 点坐标带入解得
，
，当
时，
，
；
③以 AD 长为直径作 ， 与 轴有两个交点，分别为
【解答】
，
与
相似？若存在，求出点 M 的坐
【解析】①连接 AC、BC，过点 O 作 BC 的平行线交 AC 于 ，此时
，
如图所示：
y
A
B
O
x
M1 C
D
第(18)问图 1
，且直线 经过原点，
，
又
， 为 AC 与 的交点，
解得
，
；
②令
，此时
，如图所示：
y
A
B
O
x
M2 C
第(18)问图 2 ，
又
在直线 上， 设
A
B
O
x
C D
第(2)问图
【解析】如上图所示，依次连接 AC、AD、CD，由二次函数最值公式可求出
，
由两点距离公式可得：
为直角三角形. （3） 求四边形 ABCD 的面积； 【解答】
y
， ，
，
， ，
A
B
O
x
C D
第(3)问图 【解析】如图所示，将四边形分成两个三角形，
（4） 在对称轴上有一点 P，使 【解答】
这条直线的对称点，且
，
②当
时，如图所示：
y
P2
，
.
A
B
O
H2
x
C
第(19)问图 2
设
，则
，
，
，即
，则
，
又
，
，解得
（舍），
，
.
（20） 点 Q 是抛物线上任意一点，以 Q 为圆心，1 为半径作 ，若 与坐标轴相切， 求 点的坐标.
【解答】
【解析】①当 与 轴相切时，因为 到 轴的距离为 1，作出
和
直线，直线与抛物线的几个交点即为所求，如图所示：
y
A
B
M
O
x
G
C ND
第(6)问图 3 ，
解得
，即
，
又
，
，即
，
通过两点间距离公式求得
， ，
（7） 在线段 AC 下方的抛物线上，是否存在一点 N，使四边形 ABCN 面积最大，最大 面积为多少？
【解答】四边形 ABCN 面积最大值为
【解析】将四边形 ABCN 的面积分成两个三角形
y
，如图所示：
A
B
如图，抛物线
二次函数一题多问 （含解析）
与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C，
，
顶点为 D.
y
A
B
O
x
C D
（1） 求此函数的解析式； 【解答】 【解析】由题意可得，点 A、C 的坐标分别为
入二次函数解析式可得
，解得
所以二次函数解析式为
．
（2） 判断
的形状，并说明理由；
【解答】
为直角三角形
y
，将 A、B 两点坐标带 ，
轴，交 AC 于点 H，使 AC 平分
的面积；
【解答】
【解析】设
，则
，
当 H 为 AM 的中点时，AC 平分
的面积，
，即
，
解得
（舍），
，
当 F 在二次函数顶点时，H 为 FM 的中点，此时 AC 平分
的面积，如下图所示：
y
A
MB
O
x
H
C FD
第(14)问图
所以
.
（15） 在对称轴上有一点 K，在抛物线上有一点 L，若使 A、B、K、L 为顶点的四边形为 平行四边形，求出 K、L 点的坐标.
y
Q2
A
B
O
x
Q1 C
D
第(12)问图
，解得
，
，
（13） 在抛物线上是否存在一点 E，使 BE 平分 坐标；若不存在，请说明理由；
的面积，若存在，请求出点 E 的
【解答】存在点 E， 【解析】连接 AD，AD 的中点即为点 E，如下图所示：
y
A
B
O
x
E
C D
第(13)问图
由
可得 AC 的中点