第2章 测量误差分析与处理(1)
过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理
按误差出现的规律，将下列误差进行分类
1、用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定时间重复 测量n次，测量数值间有一定的偏差。 2、用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的阻值始终 偏大。 3、由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个非正常角 度对指针式仪表读数，由此产生的读数误差。 4、由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据造成的误 差。 5、用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差。 6、要求垂直安装的仪表，没有按照规定安装造成的测量误差。
b a c e d
t
曲线a是恒定系统误差 曲线b是线性变化系统误差 曲线c是非线性变化系统误差 曲线d是周期性变化系统误差 曲线e是复杂规律变化系统误差
再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除
系统误差是有规律性的，因此可以 通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量 仪表的有关部件予以消除。
改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差 正反两个方向对准标志线——不含系统误差－a， 空程引起误差－ε 顺时针 ---
d = a+ε
逆时针 --- d ' = a − ε 正确值 --- a = ( d + d ' ) / 2
第二章 测量误差的分析与处理
第一节 测量误差的概念
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的产生原因 （1）检测系统误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差
2、测量误差的分类
分析化学 第二章 误差和分析数据处理(课后习题答案)
第二章 误差和分析数据处理（课后习题答案）1. 解：①砝码受腐蚀：系统误差(仪器误差)；更换砝码。
②天平的两臂不等长：系统误差(仪器误差)；校正仪器。
③容量瓶与移液管未经校准：系统误差(仪器误差)；校正仪器。
④在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀：系统误差(方法误差)；修正方法，严格沉淀条件。
⑤试剂含被测组分：系统误差(试剂误差)；做空白实验。
⑥试样在称量过程中吸潮：系统误差；严格按操作规程操作；控制环境湿度。
⑦化学计量点不在指示剂的变色范围内：系统误差(方法误差)；另选指示剂。
⑧读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准：偶然误差；严格按操作规程操作，增加测定次数。
⑨在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符：系统误差(仪器误差)；校正仪器。
⑩在HPLC 测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠：系统误差(方法误差)；改进分析方法。
2. 答：表示样本精密度的统计量有：偏差、平均偏差、相对平均偏差、标准偏差、相对标准偏差。
因为标准偏差能突出较大偏差的影响，因此标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度。
3. 答：定量分析结果是通过一系列测量取得数据，再按一定公式计算出来。
每一步测量步骤中所引入的误差都会或多或少地影响分析结果的准确度，即个别测量步骤中的误差将传递到最终结果中，这种每一步骤的测量误差对分析结果的影响，称为误差传递。
大误差的出现一般有两种情况：一种是由于系统误差引起的、另一种是偶然误差引起的。
对于系统误差我们应该通过适当的方法进行改正。
而偶然误差的分布符合统计学规律，即大误差出现的概率小、小误差出现的概率大；绝对值相等的正负误差出现的概率相同。
如果大误差出现的概率变大，那么这种大误差很难用统计学方法进行处理，在进行数据处理时，就会传递到结果中去，从而降低结果的准确性。
4. 答：实验数据是我们进行测定得到的第一手材料，它们能够反映我们进行测定的准确性，但是由于“过失”的存在，有些数据不能正确反映实验的准确性，并且在实验中一些大偶然误差得到的数据也会影响我们对数据的评价及对总体平均值估计，因此在进行数据统计处理之前先进行可疑数据的取舍，舍弃异常值，确保余下的数据来源于同一总体，在进行统计检验。
测量误差分析与数据处理(1)
２.1.２ 测量误差的表示方法(续)
• 二、相对误差
• 1 、实际相对误差——绝对误差与实际值之比。
A
x A
100%
x
A 100% A
– 只具有大小、正负，但无量纲
– 接上例可得:
A1
1 100
100%
1%;
A2
1 5
100%
20%
– 相对误差可以表征测量的准确程度。
x x A0
• 重点：
– 误差的表示和分类 – 三种误差的特征及其处理方法 – 数据的处理 – 误差的合成
• 难点：
– 三种误差的特征及其处理方法
２.1 测量误差的基本原理
• ２.1.1 误差的定义 • ２.1.２ 测量误差的表示方法 • ２.1.３ 电子测量仪器误差的表示方法 • ２.1.４ 一次直接测量时最大误差的估计
例1:
• 一个被测电压，真值U0=100V,用一只电压 表测量，指示值U为101V，则绝对误差:
U U U0 101100 1V
• 表明: 测得值比真值大1V，为正误差。
２.1.２ 测量误差的表示方法(续)
• 2 、修正值(校正值)
C x A x
– 给出:通过校准由上一级标准以表格或曲线的形 式给出受检仪器的修正值。
– 等级度越低，仪器越准确。0.1、0.2是精密仪器 。
２.1.３ 电子测量仪器的表示方法(续)
• （2）附加误差
– 是指仪器在超过规定的正常条件下所增加的误差， 与影响误差相似。例如：环境温度、电源电压等
– 例：MF-20型晶体管万用表。
• 基本误差： – 直流电压、电流为±2.5%
• 附加误差：
– 根据误差的性质，测量误差可分为系统误差、 随机误差、疏失（粗大）误差三类。
第2章误差分析与数据处理
系统误差 随机误差 粗大误差 测量精度
22
2.2 误差的分类
根据测量数据中的误差所呈现的规律及产生的原 因可将其分为系统误差、随机误差和粗大误差。
2.2.1 系统误差 在同一测量条件下，多次测量被测量时，绝对
值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律 （如线性、 多项式、周期性等函数规律）变化的误 差称为系统误差。前者为恒值系统误差，后者为变 值系统误差。
44
2.3.2 随机误差及其处理
随机误差一般具有以下几个性质： ① 对称性 绝对值相等的正误差与负误差出现的 次数大致相等。 ② 有界性 在一定测量条件下的有限测量值中， 其随机误差的绝对值不会超过一定的界限。 ③ 单峰性 绝对值小的误差出现的次数比绝对值 大的误差出现的次数多。 ④ 抵偿性 对同一量值进行多次测量，其误差的 算术平均值随着测量次数n的增加趋向于零。
的标准条件下所具有的误差。例如，某传感器是在电源
电压（220±5）V、电网频率（50±2）Hz、环境温度
（20±5）℃、湿度65%±5%的条件下标定的。如果传
感器在这个条件下工作，则传感器所具有的误差为基本
误差。仪表的精度等级就是由基本误差决定的。
（5）附加误差 附加条件下出现的误差。例如，温度附加误差、
26
2.2 误差的分类
系统误差也称装置误差，它反映 了测量值偏离真值的程度。凡误差的 数值固定或按一定规律变化者，均属 于系统误差。
系统误差是有规律性的，因此可 以通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量仪 表的有关部件予以消除。
夏天摆钟变慢的原因是什么？ 27
V
A
V
－ 3 15
23
2.2 误差的分类
第2章-误差和分析数据的统计处理-(1-2)
解：平均值
x
1 n
n i 1
xi
0.21 0.23
0.24 4
0.25
0.23
(%)
各次测定的偏差分别为
d1 0.21 0.23 0.02
d2 0.23 0.23 0 d3 0.24 0.23 0.01
d4 0.25 0.23 0.02
y＝f（x)＝ 1 e－（x2-2）2 y为概率密度 x为测量值
2
21
正态分布曲线规律：
1. x=μ时，y值最大，体现 了测量值的集中趋势。大 多数测量值集中在算术平 均值的附近，算术平均值 是最可信赖值，能很好反映 测量值的集中趋势。μ反映 测量值分布集中趋势。
y
1
21
2
μ
0
可疑数值的取舍
1.格鲁布斯(Grubbs)法
检验过程： x1, x2, x3,, xn1, xn x和s
判断：
x异常 x
G计算
s
一定P下，若G计算 G0.95,n，则异常值舍弃；否则 保留
32
练习
例：测定某药物中钴的含量，得结果如下： 1.25,1.27,1.31,1.40μg/g,试问1.40这个数据是否 应该保留？
4 1
相对标准偏差
Sr
S x
100%
0.017 0.23
100%
7.4%
12
误差的分类及减免误差的方法
根据误差产生的原因及其性质分： • 系统误差(可测误差)：
由某种固定的原因造成的误差
• 随机误差(偶然误差)：
由某些难以控制、无法避免的偶然因素造成
第二章 误差分析
重做!
例：加错试剂,少加试剂 仰视、俯视
• 俯视
• 仰视
思考题
1.下列情况引起什么误差？如何减免？ ⑴砝码受腐蚀；
系统误差，仪器校正 ⑵重量分析中，样品的非被测组分被共沉淀；
系统误差，另一方法测定。
⑶样品在称量过程中吸湿； 系统误差，将水分烘干后再称样。
⑷读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；
1 P
二、有限数据随机误差的t 分布(t-distribution)
1．正态分布——描述无限次测量数据
t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布—横坐标为 t
u
t
x
x
s
为总体均值
为总体标准偏差
s为有限次测量值的标准偏差
3.两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P 正态分布：P 随u 变化；
随机误差，读多次取平均值。
二、误差的表示方法
某一试样sample的真实值为μ，用同一方 法进行n 次测定，结果如下： x1、x2、x3、……xn 求得其平均值为 x 问：实验结果如何？或如何评价这一实验结果？
（1）计算结果的相对标准偏差，说明（精密度）
（2）计算结果的相对误差，说明结果的准确程度。
小结
●分析过程中的误差有系统误差和随机误差，
●对同一样品多次平行测得值的相互接近程度
用精密度（S）表示；其平均值是否接近真值， 用准确度（E）表示。
●必须消除系统误差减小随机误差，以提高
分析结果的准确度。
第二节
总体 抽样
随机误差的统计概念
样本 统计方法 观测 数据
基本概念：
总体population——研究对象的全体 个体individual——组成总体的每一个单位
第二章 误差和分析数据处理
课堂互动 下面是三位学生练习射击后的射击靶 图，请您用精密度或准确度的概念来评 价这三位学生的射击成绩。
二、系统误差和偶然误差
误差(error)：测量值与真实值的差值
根据误差产生的原因及性质，可以将误差分为系统误 差和偶然误差。
1 系统误差 (systematic error) 又称可测误差，由某
§3 有效数字及计算规则
小问题：1与1.0和1.00相等吗? 答:在分析化学中1≠1.0≠1.00 一、有效数字(significant figure) 概念：分析工作中实际上能测量到的数字，除最后一 位为可疑数字，其余的数字都是确定的
如：分析天平称量：1.21 23 (g) 滴定管读数：23.20 (ml)
=0.17
S 0.17 RSD 100 % 100 % 1.1% 15.82 X
用标准偏差比用平均偏差更科学更准确。
例: 两组数据
(1) 0.11, -0.73, 0.24, 0.51, -0.14, 0.00, 0.30, -0.21,
n=8 n=8 d1=0.28 d2=0.28 s1>s2 s1=0.38 s2=0.29 (2) 0.18, 0.26, -0.25, -0.37, 0.32, -0.28, 0.31，-0.27
(1)绝对误差 (δ) : δ= x－μ (2) 相对误差(RE): R E= δ / μ× 100%
注:
注1:两种误差都有正、负值之分。
小问题1：
买猪肉1000斤少0.5斤和买1斤少0.5斤哪个误差大?
小问题2： 用分析天平称量两个样品，一个是0.0021克，另一 个是0.5432克，两个测量值的绝对误差都是0.0001 克，试通过计算相对误差来说明哪种表示法更好。
第二章测量数据处理及测量误差分析
第二章测量数据处理及测量误差分析测量数据处理及测量误差分析是科学实验中非常重要的一个环节，它涉及到对实验数据进行整理、处理以及对测量误差进行分析、评估的过程。
本章主要包括数据的整理、数据处理的常用方法、误差分析和误差处理方法等内容。
一、数据的整理在进行数据整理之前，首先要明确实验的目的和要求，明确需要获得的数据类型和数据量，有针对性地进行数据测量和记录。
数据整理主要包括：1.数据记录：将实验过程中获得的原始数据按照一定的格式记录下来，包括数据名称、数据值、测量单位等。
2.数据清洗：对记录下来的数据进行初步的筛选和清理，去除明显的异常值和错误数据，保留有效和可靠的数据。
同时，要注意将数据转换为适当的统计量，如平均值、中位数、标准差等。
二、数据处理常用方法数据处理是对记录下来的数据进行统计、分析和加工的过程，常用的数据处理方法有：1.统计分析：包括计算数据的平均值、中位数、众数等统计量，分析数据的分布特征，进行图表的绘制和描述。
2.走势分析：通过时间序列数据的走势分析，观察数据的变化规律，判断数据是否存在趋势性、周期性等特征。
3.相关分析：用于研究两组或多组数据之间的相关性，包括相关系数的计算和相关关系的绘图等。
4.假设检验：通过已知的数据样本对一些假设的合理性进行检验，判断假设是否成立并进行统计推断。
三、误差分析误差是指测量结果与真实值之间的差异，它是不可避免的，但可以通过分析和处理来减小误差的影响。
误差分为系统误差和随机误差两种。
1.系统误差：主要源于测量仪器、测量方法和实验设计的不确定性，它会导致测量结果的整体偏移，常常是可检测和可纠正的。
调整测量仪器的零点、校正仪器的偏差、改进实验设计等方法可以减小系统误差的影响。
2.随机误差：主要源于测量过程中的各种随机因素，如环境的变化、测量操作的不精确等。
随机误差是不可避免的，通过多次重复测量可以获得多组数据，然后进行数据的平均处理和统计分析，可以减小随机误差的影响。
检测技术 第二章：误差分析与数据处理
可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，
第2章-测量误差分析及处理-习题-答案
电子测量技术第二章(一)填空题1、相对误差定义为测量值与真值的比值，通常用百分数表示。
2、绝对误差是指由测量所得到的真值与测量值之差。
3、测量误差就是测量结果与被测量____真值____的差别，通常可以分为__ 绝对误差_____和____相对误差___两种。
4、根据测量的性质和特点，可将测量误差分为随机误差、系统误差、粗大误差。
5、精密度用以表示随机误差的大小，准确度用以表示系统误差的大小，精确度用以表示系统误差与随机误差综合影响的大小。
6、可以用____系统误差_____来作为衡量测量是否正确的尺度，称为测量的准确度。
7、随机误差的大小，可以用测量值的___精密度___来衡量，其值越小，测量值越集中，测量的___密集度___越高。
8、误差的基本表示方法有_绝对误差_、_相对误差_和最大引用误差(满度误差)9、消弱系统误差的典型测量技术有零示法、替代法、补偿法、对照法、微差法和交叉读数法。
10、多次测量中随机误差具有___有界_____性、____对称____性和___抵偿_____性。
11、满度（引用）误差表示为绝对误差与满量程之比，是用量程满度值代替测量真值的相对误差。
12、测量仪器准确度等级一般分为7级，其中准确度最高的为_0.1_级，准确度最低的为_5.0_级。
13、1.5级100mA的电流表,引用相对误差为±1.5% ，在50mA点允许的最大绝对误差为___±1.5mA 。
14、为保证在测量80V电压时，误差≤±1%，应选用等于或优于0.5 级的100V量程的电压表。
15、___马利科夫_____判据是常用的判别累进性系差的方法。
16、____阿贝一赫梅特____判据是常用的判别周期性系差的方法。
三种，在工程上凡是要求计算测量结果的误差时，一般都要用__相对误差__。
17、对以下数据进行四舍五入处理，要求小数点后只保留2位。
4.850=__4.85__；200.4850000010=_____200.48___。
第二章 误差及分析数据处理
4.产生原因： 偶然因素 随机变化因素（环
境温度、湿度和气压 的微小波动）
三、误差的减免
1. 系统误差的减免 与标准试样的标准结果对照
(1) 对照实验： 与标准方法比较 回收实验 “内检”与“外检”
(2) 空白实验 (3) 校准仪器 (4)定期培训
•分析化学常用试验的方法检查系统误差的存在， 并对测定值加以校正，使之更接近真实值。常有 以下试验方法：
二、数字的修约规则 四舍六入五成双
注意： 1、要修约的数值小于等于4则舍；
2、要修约的数值大于等于6则进到前一位
3、要修约的数值为5时：如5后无数或为 零时,5前为奇数则进到前一位； 5前为偶数则 舍弃；但当5后有非零数字时，无论5前为奇数 还是偶数，都要进到前一位；
4、在对数字进行修约时，只能一次修约到 所需的位数，不能分步修约。
2．平均偏差 ( d )
为各次测定值的偏差的绝对值的平均值
特点：简单；
n
Xi X
d i1 n
缺点：大偏差得不到应有反映。
3.相对平均偏差：为平均偏差与平均值之 比，常用百分率表示：
Rd d 100 % X
4.标准偏差(standard deviation; S)
使用标准偏差是为了突出较大偏差的影
解：X =(15.67+15.69+16.03+15.89)/4=15.82
d = Xi-X =15.67-15.82=-0.15
RE% =-0.15/15.82×100%=-0.95%
n
Xi X
d i1
=(0.15+0.13+0.21+0.07)/4=0.14
第二章 测量误差和测量结果处理.ppt
实质上是相对误差的另一种表示形式，即是
测
用对数形式表示的一种误差，单位为分贝（
量
dB）。
误
xdB AdB dB
差 和
x xdB 20lg( A x) 20lg A(1 )
测
A
量
20lg A 20lg(1 x)
结
A
果
20lg A 20lg(1 A)
处
dB 20lg(1 A) 20lg(1 x)
和
大绝对误差Δxm与该量程的满刻度值（该量程的上限值
测
与下限值之差）Xm之比来表示的相对误差 。
量 结
m
x xm
100%
果
由上式可知，通过满度误差实际上给出了仪表各量程内
处
绝对误差的最大值。
理
第 二 章
最大引用相对误差
测
量 误
mm
xmax xm
100%
差
电工仪表就是按引用误差γmm之值进行分级的。我
和 测
2)实际相对误差
量 结
真值是不能确切得到的，通常用实际值A代替真值来 表示相对误差
果 处
A
x A
100 %
理
第
二
章
3)示值相对误差
误差较小、要求不太严格的场合，也可以用测量值x代
测 量
替实际值A
x
x 100% x
误 差
4）满度相对误差（引用相对误差） 实际中，也常用测量仪器在一个量程范围内出现的最
误
格？
差 和
解：mm xm 100% 1.4 100% 1.4%( 1.5%)
xm
100
测
量
所以：该电流表合格。
第二章 误差和分析数据的处理(改)
记录的数字不仅表示数量的大小，而且要正 记录的数字不仅表示数量的大小， 确地反映测量的精确程度。 确地反映测量的精确程度。
结果 绝对误差 相对误差 ±0.002% ±0.02% ±0.2% 有效数字位数 5 4 3
0.51800 ±0.00001 0.5180 0.518 ±0.0001 ±0.001
E
绝对误差与相对误差的计算
仪器的绝对误差通常是一个定值，我们可以 仪器的绝对误差通常是一个定值， 相对误差 测量值(x) 真值 真值(µ) 绝对误差 绝对误差(δ) 物品 测量值 (RE%) 用称（ 取较大质量（体积）的试样， 用称（量）取较大质量（体积）的试样，使 0.0002g A 0.2175g 0.2173g 0.1% 测量的相对误差较少， 测量的相对误差较少，在实际工作中意义较 0.0002g B 1% 大。 0.0217g 0.0215g
δ A = xA − µA = 0.2175− 0.2173 = 0.0002 当测量值的绝对 误差恒定时， δB = xB − µB = 0.0217 − 0.0215 = 0.0002 误差恒定时，被
测定的量越大， 测定的量越大， 0.0002 δA RE (A) = % ×100%= ×100%= 0.1% 相对误差越小， 相对误差越小， 0.2173 µA 测定的准确性也 0.0002 δB 就越高。 就越高。 RE (B) = ×100%= % ×100%= 1%
n
i
d=
∑x −x
i =1 i
n
n
=
37.40 + 37.20 + 37.30 + 37.50 + 37.30 = 37.34 5
n
=
0.06 + 0.14 + 0.04 + 0.16 + 0.04 = 0.088 5
第二章 测量误差与分析处理自测习题课
第二章测量误差及数据处理习题一、填空题1. 在测量数据为正态分布时，如果测量次数足够多，习惯上取3σ作为判别异常数据的界限，这称为莱特准则。
2. 相对误差定义为绝对误差与测量真值的比值，通常用百分数表示。
3. 随机误差的大小，可以用测量值的标准偏差来衡量，其值越小，测量值越集中，测量的精密度越高。
4. 测量值的数学期望M( Ⅹ ) ，就是当测量次数n 趋近无穷大时，它的各次测量值的算术平均值。
5. 随机误差具有对称性；单峰性；有界性；抵偿性。
6. 分贝误差是用对数形式表示的相对误差。
7. 将15.36 和362.51 保留3 位有效数字后为.15.4 、3628 ．用一只0.5 级50V 的电压表测量直流电压，产生的绝对误差≤ 0.25伏。
9 ．设，且各分项的相对误差分别为，则y 的相对误差=。
10 ．下列几种误差中，属于系统误差的有（1 ）、（3 ），属于随机误差的有（ 2 ），属于粗大误差的有（ 4 ）。
（ 1 ）仪表未校零所引起的误差；（2 ）测频时的量化误差；（ 3 ）测频时的标准频率误差；（ 4 ）读数错误。
11 ．根据测量误差的性质和特点，可将它们分为系统误差、随机误差、粗大误差。
12 ．在变值系差的判别中，马利科夫判别常用于判定累进性线性系差，阿卑一赫梅特判别常用于判定周期性线性系差。
13 ．对于大量独立的无系统误差的等精度测量，测量数据服从正态分布，其测量随机误差也服从正态分布，它们有相同（不同、相同）的标准偏差。
14. 不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。
这个参数用_标准偏差表示，也可以用标准偏差的倍数或置信区间的半宽度表示。
二、判断题：1 ．为了减少测量误差，应使被测量的数值尽可能地在仪表满量程的2/3 以上。
（对）2 ．非等精度测量时，σ大，对应的权值就大。
（错）3 ．粗大误差具有随机性，可采用多次测量，求平均的方法来消除或减少。
（错）4 ．通过多次测量取平均值的方法可减弱随机误差对测量结果的影响。
第二章 误差和分析数据处理-分析化学
第二章 误差和分析数据处理
第一节 概述
xie 分 析 化 学
产生测定误差的原因：
抽样的代表性； 测定方法的可靠性； 仪器的准确性； 测定方法的复杂性；
测定者的主观性；
操作者的熟练性
xie 分 析 化 学 一、绝对误差和相对误差
第二节 测量误差
绝对误差（absolute error）
减小测量误差
取样量大于0.2g；
滴定液消耗的体积大于20ml；
紫外吸收度在0.2~0.7之间。
xie 分 析 化 学
相对误差=δw/W<1‰
W>δw/1‰=0.0002/1‰=0.2g 相对误差=δv/V<1‰ V>δv/1‰=0.02/1‰=20 ml
增加平行测定次数
xie 分 析 化 学
2 i
n
相对标准偏差（relative standarddeviation;RSD） 或称变异系数（coefficient of variation;CV）
2 ( x x ) i n i 1
S RSD 100% x
n 1 x
100%
例题 ：四次标定某溶液的浓度，结果为0.2041、
标准偏差法：
R=x+y－z
R=xy/z
2 2 2 2 SR Sx Sy Sz
Sy 2 Sx 2 SR 2 Sz 2 ( ) ( ) ( ) ( ) R x y z
五、提高分析准确度的方法
xie 分 析 化 学
选择恰当的分析方法
被测组分的含量； 被测组分共存的其它物质的干扰。
0.00022 0.00062 0.00042 0.00002 标准偏差 S 0.0004 (mol/ L) 4 1
第二章 误差和分析数据处理
2位
2位
2位
(6) 数据的第一位数大于等于 8, 有效数字可多算一 位： 9.55 4位 ; 8.2 3位
37
1.0008 0.1000 0.0382
43181 10.98%
五 位有效数字 四 位有效数字 二 位有效数字 一 位有效数字 位数模糊
1.98×10-10 三 位有效数字
54
0.05
0.0040
度）是精密度常见的别名。
一般例行分析精密度用相对平均偏差表示就
够了，但在科研中要用标准偏差或相对标准偏差
来表示。
18
3、准确度和精密度的关系
x1
x2
x3
x4
19
一般情况下，精密度高，准确度不 一定高。 精密度不高，准确度不可靠。 在消除系统误差的前提下，精密度 好，准确度就高。 精密度高是保证准确度好的前提 精密度好不一定准确度高
答：不可以。 3、系统误差和偶然误差在起因及出现规律方面，有什 么不同？ 答：系统误差是由确定原因引起的，可重复出现，偶然 误差是由不确定原因引起的，遵循一定的统计规律。
7
4、分析测定中系统误差的特点是： A、由一些原因引起的 B、重复测定会重复出现 C、增加测定次数可减小系统误差 D、系统误差无法消除
☆移液管:25.00mL(4);
☆量筒(量至1mL或0.1mL):25mL(2), 4.0mL(2)
34
有效数字的位数与计算相对误差有关
0.5180g
相对误差=± 0.0001/ 0.5180 ×100%=±0.02%
0.518g
相对误差=± 0.001/0.518 ×100%=±0.2%
35
判断有效数字的位数:
第二章
第二章 测量误差分析与数据处理
• 系统误差的特点是，测量条件一经确定， 误差就为一确切的值。用多次测量取平均 值的方法，并不能改变误差的大小。针对 其产生的根源采取一定的技术措施，以减 小它的影响。例如，仪器不准时，通过校 验取得修正值，即可减小系统误差。
– 系统误差的定量定义是：在重复性条件下，对同一被 测量进行无限多次测量所得结果的平均值与被测量的 真值之差。即
• [例] 某待测电流约为100mA，现有0.5级量程为 0～400mA和1.5级量程为0～100mA的两个电流表， 问用哪一个电流表测量较好？
解：用0.5级量程为0～400mA电流表测100mA时，最大 相对误差为
xm 400 x1 s% 0.5% 2% x 100
用1.5级量程为0～100mA电流表测量100mA时的最大相 对误差为 x 100
随机 误差
粗大 误差
1． 绝对误差（Absolute Error）
（1）绝对误差 用被测量对象的显示值（仪器上的示值） x减去被测量对象的真值A0，所得的数据Δx，叫做 绝对误差。 Δx= x – A0 真值A0无法求到，常用上一级标准仪器的示值 作为实际值A（约定真值）代替真值 △x=x- A 特点：
难点：
1．方差与标准差、权、加权平均值。 2．常用函数的合成误差推导与应用。 3．最佳测量条件的确定与测量方案的设
计。
本次课目标
本次课阐述测量误差的基本概念、误差的表 达形式、误差分类、误差来源；给出描述误差大 小的精度概念及其与误差各类误差的特性。 给出测量中的有效数字概念及其在数据处理 中的基本方法。通过学习本章内容，使读者对测 量误差分析及其数据处理的问题有一个概貌的了 解，为学习后面章节的内容奠定基础。
•
含有粗差的测量值称为坏值或异常值，在数 据处理时，应剔除掉。
第2章 误差分析及处理
➢ 处理方法：找到引起误差的原因和误差规律， 用计算或补偿装置对测量值进行修正
一、系统误差的定义和分类
1、恒值系统误差：例如，仪表指针零点偏移 2、变值系统误差 ➢ 累进系统误差：仪器磨损。 ➢ 周期性系统误差：电磁场干扰 ➢ 按复杂规律变化误差
➢ Zσ------置信限
➢ Z-----置信因子，置信系数
➢ a=1-P-----显著性水平或置信水平
四、测量结果的表示
1.算术平均值
➢ 多次重复测量的测量结果一般可表示为：
在一定置信概率下，以测量值算术平均值为中 心，以置信区间半长为误差限的量
x 测量结果X＝算术平均值 置信区间半长（置 信概率）
➢1、实验对比法：恒值系统误差 ➢2、残余误差观察法：变值系统误差 ➢3、残余误差校核法 （1）马利科夫准侧：累进系统误差 （2）阿贝—赫梅特准则：周期性系统误差
➢ 马利科夫准则：将测得值按测量的先后顺序列出，
计算出全部残余误差，若前 i一半测得值的残余误
差之和减去后一半测得值的残余误差之和，若差 值显著不为零，则可判断存在累进系统误差。若 测量次数为奇数，则以（n+1）/2为中心前后两 部分残差和的差来判断。(举例)
1＝0.5
2 =1.0
3=2.0
f( )
1
2
3
图1－2 随机误差的正态分布曲线
越小 ，精确度越高
但在实际测量中，被测变量的真值 是无法知道
的，用算术平均值 代x替真值 ，则
vi xi ，x 为残余误差或剩余误差。
用残余误差 vi代替 ， i均方根差 估计值
ˆ
ˆ
1 n 1
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（2）分布的特点 ① 有界性 ② 单峰性 ③ 对称性 ④ 抵偿性
1 n lim i 0 n n i 1
2. 随机误差的正态分布特征 理论和实践都证明了大多数的随机误差都 服从正态分布的规律，其分布密度函数为：
f ( ) 1
2
e
2 ( 2 ) 2
f ( x)
第二节 直接测量误差的分析与处理
一、 随机误差的分析与处理 1. 随机误差的定义和分布特点 （1）定义 • 在相同的条件下对同一被测量进行多次重复测量， 误差的大小和符号的变化没有一定规律，且不可 预知，这类误差称为随机误差。 • 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微 小因素综合作用的结果。
2
3
0
e
32 / 2
1 dz 0.9973 370
在一般测量中，测量次数很少超过几十次， 因此可以认为大于 3 的误差是不可能出现的， 通常把这个误差称为单次测量的极限误差，即
lm 3
当z=3时，对应的概率P=99.73%。 几个概念：把区间（ z , z ）称为置信区间，对 z 应的概率 称为置信概率， 称为 P P(Z Z ) 置信限，z称为置信因子， 称为显著性 1 P 水平或置信水平。
P( ) 2 2
1
0
e 1 / 2 dz 0.6828
1 3
当 z=2时，区间为[ -2σ，2σ]， 此时
P( 2 ) 2 2
2
0
e
22 / 2
1 dz 0.9545 22
当 z=3时，区间为[ -3σ，3σ]，此时
P( 3 )
2
P( a) P( z )
2
2
z
0
e
z2 / 2
dz 2( z )
( z ) 的。
( z )
函数
( z )
称为概率积分，不同的z对应不同
若某随机误差在 z范围内出现的概率为2 则随机误差超出此区间的概率为 1 2( z )
，
[例2-1] 计算z分别等于1、2、3时对应的置信概率P。 解：如图所示，当 z=1时，区间为[ -σ，σ]，此时
可以证明，均方根误差的估计值计算公式为：
1 n 1
i 1
n
( xi x ) 2
1 n 1
i 1
n
vi 2
(3) 算术平均值的均方根误差
如果在相同的条件下将同一被测量分成m 组，对 每组重复测量n次，则每组测量值都有一个平均值。由 于随机误差的存在，这些算术平均值也各不相同，而是 围绕真值有一定的分散性，即算术平均值与真值间也存 在着随机误差。用表示算术平均值的均方根误差，由概 率论中方差运算法则可以求出
x
i 1
n
i
n
i xi
xi 1 iFra biblioteki 1n
n
i
n
1 n lim i 0 n n i 1
由随机误差的抵偿性可知，有 故 n 时
x
(2) 均方根误差σ
均方根误差的定义式为
1 n 2 1 n lim i lim ( xi ) 2 n n n i 1 n i 1
率为
P ( a b)
b
1
a
2
e
2 /(2 2 )
d
考虑到正态分布密度函数的对称性，出现于区间
的概率为
P( a a ) P( a ) 2
a
a, a
d
1
0
2
e
2 /( 2 2 )
令 a z ，则 z a / ，
测量结果的表示方法 • 若以单次测量值表示测量结果X，有 X = 单次测量值±置信区间半长 (P=置信概率) 例如：X = 单次测量值±3 (P=99.73％) X = 单次测量值±2 (P=95.45％) • 若以算术平均值表示测量结果X，有 X = 算术平均值±置信区间半长 (P=置信概率) ˆ x (P=99.73％) 例如：X = ±3 ˆ x (P=95.45％) X = ±2
ˆx X = x ±t ( )
ˆ = x ± t ( ) n
(P=置信概率)
n 在有限次测量中，以表示算术平均值均方根误差的
估计值，有
x
x
n
3. 随机误差的工程计算
随机误差出现的性质决定了人们不可能准确地获得 单个测量值的真误差的值。我们所能做的只能是在一定 的概率意义下估计随机误差数值的范围，或者求得随机 误差出现在给定区间的概率。 对于服从正态分布的测量误差，出现于区间 a, b 内的概
1
2
e
(
( x )2 2 2
)
μ和σ确定之后，正态分布就完全确定了。正态分布密度函 数的曲线如图所示。从该曲线可以看出，正态分布很好地 反映了随机误差的分布规律。
（1）真值μ 设x1、x2 、……xn 为n次测量所得的值，则 算术平均值为
x x2 xn x 1 n
在实际测量中的子样容量通常很小（例如 n<10），应以t分布的置信系数 t ( ) 代替正态分 布的置信系数z来增大同样置信概率下的置信区间。 t分布的置信系数 t ( ) 与置信水平和自由度都有 关，即考虑了子样容量的大小，其数值可查表得 到。当n趋于无穷大时，t分布趋向于正态分布。 对于小子样，其测量结果最终应表示为
第一节 测量误差的概念 一、 测量误差的来源
（1）测量装置的误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差 二、测量误差的分类 按照测量结果中存在的误差的特点与性质不 同，测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大 误差
三、测量误差的表示
误差 + 真值 = 测得值 • 测量误差通常采用绝对误差和相对误差两种方式 来表示。 • 常见的绝对误差可以用真误差、剩余误差、最大 绝对误差、算术平均误差、标准误差、或然误差、 极限误差等方法表示。 • 绝对误差与根据需要和方便的取值之比值称为相 对误差。对应不同相比的取值，相对误差可用实 际相对误差、示值相对误差、引用相对误差、最 大相对误差、分贝误差等方法表示。