不定方程的求解之整除特性
不定方程的解法
二元一次不定方程的解法求a * x + b * y = n的整数解。
1、先计算Gcd(a,b)，若n不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：x = n' * x0 + b' * ty = n' * y0 - a' * t(t为整数)上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。
我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程 x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at 代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．。
2016国家公务员考试行测指导：解不定方程重在时速
公务员考试海量备考资料请关注贵州中公教育（）1、整除特性【例1】若x，y都是质数，且3x+5y=21，则x+y=()?A.4B.5C.6D.7解析：3x+5y=21且x、y都是质数，从不定方程可以看出：3x可以被3整除，21可以被3整除，那么5y也一定能被3整除，所以y可以被3整除又y是质数，所以y=3，进而可以求得x=2，则x+y=5。
故答案选B。
下面再看看较为复杂的涉及三个未知量的不定方程。
【例2】某公司的6名员工一起去用餐，他们各自购买了三种不同食品中的一种，且每人只购买了一份。
已知盖饭15元一份，水饺7元一份，面条9元一份，他们一共花费了60元。
问他们中最多有几人买了水饺?()。
A.1人B.2人C.3人D.4人解析：设买盖饭、水饺、面条的员工人数分别为x、y、z，根据题意，列出方程：x+y+z=6，15x+7y+9z=60。
15x、9z、60都可以被3整除，那么7y也一定可以被3整除，则y一定可以被3整除，选项中只有C选项可以被3整除。
故答案选C。
通过上面两道题目我们可以体会到整除特性的魅力，整除可以帮助我们快速排除错误选项进而得到正确答案!2、尾数法尾数法就是利用某些特殊值的尾数进行判定分析，如5x的尾数只能是0或者5，10x的尾数就是0等。
贵州中公分校【例3】某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，且硬币不剩余，有多少种不同的方法?A.3B.4C.6D.8解析：根据题意设5分和7分硬币分别有x、y个，则5x+7y=142。
5x的尾数为0或者5，那么7y的尾数就是2或者7，那么y的取值可以是6、16、1、11这四种情况，故答案选B。
3、奇偶性【例4】5x+4y=144且x、y都是整数，则y可以为下列哪个数?A.20B.25C.29D.31解析：由不定方程可以知：4y、144都为偶数，那么5x也一定为偶数，则5x的尾数为0，进而4y的尾数为4，选项中只有D选项乘以4后尾数是4，故答案选D。
第4讲：不定方程的整数解(华师一附中培训课程)
第4讲 不定方程的整数解不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，则不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)若(a ，b)=d ，且d 卜c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；(2)若00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，则为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)． 解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．【例题】例1、求方程5x －9y =18整数解的通解. 例2、求方程90226=+y x 非负整数解.例3、求方程213197=+y x 的所有正整数解. 例4、求方程2510737=+y x 的整数解。
例5、求方程 162852100=++z y x 的整数解.例6、某校举行数学竞赛，优胜者分一、二、三等奖三种，奖品为数学课外读物。
如果一等奖每人奖5本，二等奖每人奖3本，三等奖每人奖2本，就共奖了34本。
如果一等奖每人奖6本，二等奖每人奖4本，三等奖每人奖1本，就共奖了28本，求获得各奖的人数.【练习】1、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：（填编号）①4x＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.2、求方程5x+6y=100的正整数解.3、甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？4、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多答对几道题？5、正整数m、n满足8m+9n=mn+6，求m的最大值．(新加坡数学竞赛题)6、(1)求方程15x+52y=6的所有整数解．(2)求方程x+y＝x2一xy+y2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)7、一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒内都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？（重庆竞赛题）8、甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题)9、不定方程4x+7y=2001有组正整数解10、一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天? (四川省竞赛题)。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、整除与同余的概念1.整除的定义2.同余的定义二、不定方程的介绍1.不定方程的概念2.不定方程的例子三、整除与同余在不定方程中的应用1.整除在不定方程中的性质2.同余在不定方程中的性质四、不定方程的求解方法1.整除法求解2.同余法求解五、总结1.整除同余与不定方程的关系2.不定方程的求解技巧正文：整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
而不定方程是指含有未知数的等式，其解不一定是整数。
本文将探讨整除与同余在不定方程中的性质及应用，并介绍求解不定方程的方法。
首先，我们来回顾一下整除与同余的概念。
整除是指一个整数可以被另一个整数整除，即余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
同余是指两个整数除以某个整数后的余数相同。
例如，11 和19 同余，因为它们除以3 的余数都是2。
不定方程是含有未知数的等式，其解不一定是整数。
例如，x^2 + 3x + 2 = 0 是一个不定方程，其解为x = -1 和x = -2，都是整数。
然而，x^2 + 3x + 3 = 0 是一个不定方程，它没有实数解。
整除与同余在不定方程中的应用非常广泛。
整除在不定方程中的性质可以帮助我们简化问题，例如，如果一个不定方程有整数解，那么它的解一定可以表示为整数的乘积。
同余在不定方程中的性质可以帮助我们找到解的规律，例如，如果两个数同余，那么它们与任意整数的和仍然保持同余关系。
求解不定方程的方法有很多，其中整除法和同余法是常用的方法。
整除法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行因式分解，然后将未知数表示为整数的乘积，最后根据整数的性质求解方程。
同余法求解不定方程的步骤如下：首先，将方程进行同余变形，然后利用同余性质求解方程。
总之，整除同余与不定方程是数论中的重要概念，它们之间有着密切的联系。
不定方程解法大全
不定方程解法大全国家公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。
不定方程是公务员考试行测试卷当中最为常见的一种题型，也是考生在备考过程中重点关注的内容。
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程的个数，例如一个方程两个未知数、两个方程三个未知数等等。
这样的方程我们直接解是解不出来的，需要借助一些其他的方法来选出正确答案，常见的解决不定方程的方法包括：尾数法、奇偶性、质合性、整除特性、代入排除等方法，(一)尾数法绝大多数题目描述的量是整数，可以通过这些数的尾数的特点选出正确选项。
例1 .超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?A.3B.4C.7D.13【解析】选D。
设有x个大包装盒，y个小包装盒，则12x+5y=99，其中5y的尾数应为5或0，但是12x为偶数，99为奇数，所以5y必为奇数，这样就确定了5y的尾数一定为5，那么12x就是尾数为4的数，所以x可能为2或7，对应的y等于15或3，根据“共用了十多个盒子刚好装完”，排除x=7，y=3。
即x=2，y=15，15—2=13。
总结：可用尾数法的不定方程问题的题型特点：当未知数的系数中出现了5的倍数，比如20x、35y、105z时，可能会用到尾数法。
因为如果是10的倍数，其尾数必然是0，如果是5的倍数，其尾数必然是5或0，这样尾数就容易确定，范围比较小。
(二)奇偶性和质合性奇偶性和质合性的运用也是在题干中描述的量是整数的前提下。
例2.某儿童艺术培训中心有5名钢琴老师和6名拉丁舞教师，培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领，刚好能够分完，且每位老师所带的学员数量都是质数，后来由于学生人数减少，培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师，但每名教师所带的学生数量不变，那么目前培训中心还剩下学员多少人?A.36B.37C.39D.41【解析】选D。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法
2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法2020年国家公务员考试已经到了倒计时的阶段了，现在考生要抓紧时间查缺补漏，尽量能多学一点就不要放弃，在这段时间更是要保持一个良好的心态去迎接即将到来的国考笔试。
今天云南中公教育给大家带来了2020国家公务员考试行测数量关系：不定方程的解法。
一、不定方程的定义不定方程指的是方程中未知数的个数多于独立方程的个数。
例如：。
这个方程中含有两个未知数，所以它的解不固定，是不定方程。
二、不定方程的解法1. 整除法-某一未知数前面系数与常数项有公约数，已知x,y为正整数，则x=( )。
A.4B.7C.9D.11【中公解析】答案：B。
这题很多同学的的思路是把选项往题目中代，这样固然可以求得答案，但是运气不好可能需要代入3个选项才能得出答案，会耗费一定时间。
其实这题可以根据7y和49都可以7整除得出，3x也可以被7整除，推出x可以被7整除，结合选项判断选择B选项。
2. 奇偶法-未知数前面系数一奇一偶，已知x,y为正整数且x为质数，则x=( )。
A.2B.3C.6D.7【中公解析】答案：A。
这题根据6y和42都为偶数，可以推出3x也为偶数，结合x为质数，判断x=2，选择A选项。
3. 尾数法-某一未知数系数为5的倍数，已知x,y为正整数，则x=( )。
A.2B.3C.5D.7【中公解析】B。
这题10y的尾数确定为0，42的尾数确定为2，所以4x尾数一定为2，则x尾数为3，可以选择B选项。
三、不定方程的灵活运用熟悉了不定方程的解法之后，在考试题中我们需要先根据题意列出方程，再进行求解。
在求解过程中，如果发现不能直接代入选项，那么需要通过之前学过的方法把不定方程的解全部求出来，再选择选项。
例：现有441个同样大小的橘子装入大小两种篮子中，已知大篮子每个装20个，小篮子每个装17个。
每个篮子必须装满，问需要的大篮子和小篮子的个数差：A.2B.3C.4D.5【中公解析】A。
不定方程的整除法
不定方程的整除法不定方程的整除法是一种求解整数解的方法，通常用于解决形如ax + by = c 的方程，其中a、b、c 为已知整数，x 和y 为未知整数。
整除法的基本思想是利用欧几里得算法来寻找方程的一个特殊解，并通过这个特殊解构造出方程的所有整数解。
具体步骤如下：1. 使用欧几里得算法求解a 和b 的最大公约数gcd(a, b)。
将方程转化为ax + by = d 的形式，其中d 为最大公约数。
2. 检查c 是否能够被d 整除，即c % d == 0。
如果不能整除，则原方程无整数解；如果可以整除，则继续执行下一步。
3. 利用扩展的欧几里得算法求解方程ax + by = d 中的一组整数解(x0, y0)。
这个解可以通过反向递推得到，具体步骤如下：-初始化x0 = 1，y0 = 0，x1 = 0，y1 = 1；-循环执行以下步骤直到d = 0：-计算q = a // b 和r = a % b；-更新a = b，b = r；-更新x0 = x1，x1 = x0 - q * x1；-更新y0 = y1，y1 = y0 - q * y1；-更新d = r。
4. 方程ax + by = c 的所有整数解可以通过特殊解(x0, y0) 和通解公式得到，通解公式为：- x = x0 * (c // d) + (b // d) * t- y = y0 * (c // d) - (a // d) * t其中t 为任意整数。
整除法是一种简单而有效的方法，适用于求解整数解的不定方程。
然而，需要注意的是，该方法只能找到一个特殊解，并不能得到所有的整数解。
如果需要求解所有整数解，可以结合其他方法如穷举法或线性同余方程来进行求解。
不定方程的整数解
不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。
如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。
对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。
不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。
不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。
1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。
分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。
当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。
所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。
2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。
分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。
当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。
所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。
3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。
分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。
将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。
当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。
所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。
4、余数分析余数的和等于和的余数。
例、求4x+5y=102的整数解。
行测数学运算不定方程的三种常用解法
行测数学运算不定方程的三种常用解法行测数量关系答题技巧你掌握了多少？为大家提供行测数学运算不定方程的三种常用解法，一起来看看吧！祝大家备考顺利！行测数学运算不定方程的三种常用解法在行测运算题当中，设方程是常用的技巧，含有未知数的等式叫做方程。
不定方程中未知数的个数多于独立方程的个数。
比如:x+y=5。
在行测里也经常列出不定方程，但是很多人都不会解。
其实只要掌握好三种常用的方法，问题自然迎刃而解。
1、整除法：利用不定方程中各数能被同一个数整除的关系来求解。
例1:小张的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的两个乘积加起来刚好等于900。
问孩子出生在哪一个季度?A.第一季度B.第二季度C.第三季度D.第四季度【答案】D【解析】关键词:等于，所以找到等量关系。
设出生月份为x，出生的日期为y。
29x+24y=900，24与900的最大公约数为12，意味着24y能被12整除，900能被12整除，29为质数，所以x能被12整除，由于12表示的是月份，所以是第四季度。
2、奇偶性：未知数的系数奇偶性不同例2:办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。
每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。
要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量分别为()个。
A.1、6B.2、4C.4、1D.3、2【答案】D【解析】由题可知袋子的个数肯定是为整数，设红色袋子数量为x，蓝色袋子数量为y，由题意可得7x+4y=29，此时未知数的系数为7和4，奇偶性不同。
4y为偶数，29为奇数，则 7x为奇数，得出x为奇数，排除B、C。
接下来代入A选项，x=1，y不是整数，排除A，选择D。
验证：x=3，y=2满足题意。
3、尾数法:未知数的系数是5的倍数超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?A.3B.4C.7D.13【答案】D【解析】由题可知，大包装盒的个数和小包装盒的个数为整数，设大包装盒的个数为x，小包装盒为y，可得到12x+5y=99，x+y>10。
小学数学6年级培优奥数讲义第30讲解不定方程（学生版）
⼩学数学6年级培优奥数讲义第30讲解不定⽅程（学⽣版）第30讲解不定⽅程学习⽬标①熟练掌握不定⽅程的解题技巧；②能够根据题意找到等量关系设未知数解⽅程；③学会解不定⽅程的经典例题。
知识梳理历史概述不定⽅程是数论中最古⽼的分⽀之⼀．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定⽅程，因此常称不定⽅程为丢番图⽅程．中国是研究不定⽅程最早的国家，公元初的五家共井问题就是⼀个不定⽅程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定⽅程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的⼤衍求⼀术将不定⽅程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定⽅程经常以应⽤题的形式出现，除此以外，不定⽅程还经常作为解题的重要⽅法贯穿在⾏程问题、数论问题等压轴⼤题之中．在以后初⾼中数学的进⼀步学习中，不定⽅程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重⽬的是让学⽣学会利⽤不定⽅程这个⼯具，并能够在以后的学习中使⽤这个⼯具解题。
运⽤不定⽅程解应⽤题步骤1、根据题⽬叙述找到等量关系列出⽅程2、根据解不定⽅程⽅法解⽅程3、找到符合条件的解典例分析考点⼀：不定⽅程与数论例1、把2001拆成两个正整数的和，⼀个是11的倍数(要尽量⼩)，⼀个是13的倍数(要尽量⼤)，求这两个数．考点⼆：不定⽅程与应⽤题例1、有两种不同规格的油桶若⼲个，⼤的能装8千克油，⼩的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶．问：⼤、⼩油桶各⼏个？例2、某次聚餐，每⼀位男宾付130元，每⼀位⼥宾付100元，每带⼀个孩⼦付60元，现在有13的成⼈各带⼀个孩⼦，总共收了2160元，问：这个活动共有多少⼈参加(成⼈和孩⼦)？例3、甲、⼄两⼈⽣产⼀种产品，这种产品由⼀个A配件与⼀个B配件组成．甲每天⽣产300个A配件，或⽣产150个B配件；⼄每天⽣产120个A配件，或⽣产48个B配件．为了在10天内⽣产出更多的产品，⼆⼈决定合作⽣产，这样他们最多能⽣产出多少套产品？例4、有⼀项⼯程，甲单独做需要36天完成，⼄单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成，现在由甲、⼄、丙三⼈同时做，在⼯作期间，丙休息了整数天，⽽甲和⼄⼀直⼯作⾄完成，最后完成这项⼯程也⽤了整数天，那么丙休息了天．例5、实验⼩学的五年级学⽣租车去野外开展“⾛向⼤⾃然，热爱⼤⾃然”活动，所有的学⽣和⽼师共306⼈恰好坐满了5辆⼤巴车和3辆中巴车，已知每辆中巴车的载客⼈数在20⼈到25⼈之间，求每辆⼤巴车的载客⼈数．例6、公鸡1只值钱5，母鸡⼀只值钱3，⼩鸡三只值钱1，今有钱100，买鸡100只，问公鸡、母鸡、⼩鸡各买⼏只？考点三：不定⽅程与⽣活中的应⽤题例1、某地⽤电收费的标准是：若每⽉⽤电不超过50度，则每度收5⾓；若超过50度，则超出部分按每度8⾓收费．某⽉甲⽤户⽐⼄⽤户多交3元3⾓电费，这个⽉甲、⼄各⽤了多少度电？例2、马⼩富在甲公司打⼯，⼏个⽉后⼜在⼄公司兼职，甲公司每⽉付给他薪⾦470元，⼄公司每⽉付给他薪⾦350元．年终，马⼩富从两家公司共获薪⾦7620元．他在甲公司打⼯个⽉，在⼄公司兼职个⽉．例3、⼩明、⼩红和⼩军三⼈参加⼀次数学竞赛，⼀共有100道题，每个⼈各解出其中的60道题，有些题三⼈都解出来了，我们称之为“容易题”；有些题只有两⼈解出来，我们称之为“中等题”；有些题只有⼀⼈解出来，我们称之为“难题”．已知每个题都⾄少被他们中的⼀⼈解出，则难题⽐容易题多道．例4、某男孩在2003年2⽉16⽇说：“我活过的⽉数以及我活过的年数之差，到今天为⽌正好就是111．”请问：他是在哪⼀天出⽣的？课堂狙击1、甲、⼄⼆⼈搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，⼄搬的砖数是23的倍数，两⼈共搬了300块砖．问：甲、⼄⼆⼈谁搬的砖多？多⼏块？2、单位的职⼯到郊外植树，其中有男职⼯，也有⼥职⼯，并且有13的职⼯各带⼀个孩⼦参加．男职⼯每⼈种13棵树，⼥职⼯每⼈种10棵树，每个孩⼦都种6棵树，他们⼀共种了216棵树，那么其中有多少名男职⼯？3、14个⼤、中、⼩号钢珠共重100克，⼤号钢珠每个重12克，中号钢珠每个重8克，⼩号钢珠每个重5克．问：⼤、中、⼩号钢珠各有多少个？实战演练4、某服装⼚有甲、⼄两个⽣产车间，甲车间每天能⽣产上⾐16件或裤⼦20件；⼄车间每天能⽣产上⾐18件或裤⼦24件．现在要上⾐和裤⼦配套，两车间合作21天，最多能⽣产多少套⾐服？5、每辆⼤汽车能容纳54⼈，每辆⼩汽车能容纳36⼈．现有378⼈，要使每个⼈都上车且每辆车都装满，需要⼤、⼩汽车各⼏辆？6、某区对⽤电的收费标准规定如下：每⽉每户⽤电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度⽽不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某⽉甲⽤户⽐⼄⽤户多交电费7.10元，⼄⽤户⽐丙⽤户多交3.75元，那么甲、⼄、丙三⽤户共交电费多少元？(⽤电都按整度数收费)7、甲、⼄、丙、丁、戊五⼈接受了满分为10分(成绩都是整数)的测验．已知：甲得了4分，⼄得了最⾼分，丙的成绩与甲、丁的平均分相等，丁的成绩刚好等于五⼈的平均分，戊⽐丙多2分．求⼄、丙、丁、戊的成绩．课后反击1、某⼈打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各⼏发？2、⼩花狗和波斯猫是⼀对好朋友，它们在早晚见⾯时总要叫上⼏声表⽰问候．若是早晨见⾯，⼩花狗叫两声，波斯猫叫⼀声；若是晚上见⾯，⼩花狗叫两声，波斯猫叫三声．细⼼的⼩娟对它们的叫声统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见⾯．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫⾄少叫了多少声？3、⼩伟听说⼩峰养了⼀些兔和鸡，就问⼩峰：“你养了⼏只兔和鸡？”⼩峰说：“我养的兔⽐鸡多，鸡兔共24条腿．”那么⼩峰养了多少兔和鸡？4、有两⼩堆砖头，如果从第⼀堆中取出100块放到第⼆堆中去，那么第⼆堆将⽐第⼀堆多⼀倍．如果相反，从第⼆堆中取出若⼲块放到第⼀堆中去，那么第⼀堆将是第⼆堆的6倍．问：第⼀堆中的砖头最少有多少块？5、某次数学竞赛准备了35⽀铅笔作为奖品发给⼀、⼆、三等奖的学⽣，原计划⼀等奖每⼈发给6⽀，⼆等奖每⼈发给3⽀，三等奖每⼈发给2⽀，后来改为⼀等奖每⼈发13⽀，⼆等奖每⼈发4⽀，三等奖每⼈发1⽀．那么获⼆等奖的有⼈．6、蓝天⼩学举⾏“迎春”环保知识⼤赛，⼀共有100名男、⼥选⼿参加初赛，经过初赛、复赛，最后确定了参加决赛的⼈选．已知参加决赛的男选⼿的⼈数，占初赛的男选⼿⼈数的20%；参加决赛的⼥选⼿的⼈数，占初赛的⼥选⼿⼈数的12.5%，⽽且⽐参加初赛的男选⼿的⼈数多．参加决赛的男、⼥选⼿各有多少⼈？7、甲、⼄两⼈各有⼀袋糖，每袋糖都不到20粒．如果甲给⼄⼀定数量的糖后，甲的糖就是⼄的2倍；如果⼄给甲同样数量的糖后，甲的糖就是⼄的3倍．甲、⼄两⼈共有多少粒糖？1、(资优博雅杯)⽤⼗进制表⽰的某些⾃然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满⾜条件的所有⾃然数之和为___________________.2、(我爱数学夏令营)将⼀群⼈分为甲⼄丙三组，每⼈都必在且仅在⼀组．已知甲⼄丙的平均年龄分为37，23，41.甲⼄两组⼈合起来的平均年龄为29；⼄丙两组⼈合起来的平均年龄为33．则这⼀群⼈的平均年龄为 .3、(迎春杯复赛)在新年联欢会上，某班组织了⼀场飞镖⽐赛．如右图，飞镖的靶⼦分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每⼈可以扔若⼲次飞镖，脱靶不得分，投中靶⼦就可以得到相应的分数．若恰好投在两块(或三块)区域的交界线上，则得两块(或三块)区域中分数最⾼区域的分数．如果⽐赛规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖⾄少需要投中次飞镖．考点⼀：不定⽅程与数论重点回顾直击赛场考点⼆：不定⽅程与应⽤题考点三：不定⽅程与⽣活中的应⽤题不定⽅程的试值技巧1、奇偶性2、整除的特点(能被2、3、5等数字整除的特性)3、余数性质的应⽤(和、差、积的性质及同余的性质) ?本节课我学到我需要努⼒的地⽅是名师点拨学霸经验。
整除特性和整数幂特性
整除特性和整数幂特性
*整除特性*
能够被2整除的数其个位一定是偶数。
能够被3整除的数是各位数的和能够被3整除。
能够被4整除的数是最后两位数能够被4整除。
能够被5整除的数的个位是0或5。
能够被8整除的数是最后三位能够被8整除。
能够被9整除的数是各位数的和能够被9整除。
能够被11整除的数是其奇数位的和减去偶数位的和的差值可以被11整除。
记住：一个数要想被另一个数整除，该数需含有对方所具有的质数因子。
*整数n次幂尾数特性*
尾数为2的数的幂的个位数一定以2，4，8，6循环
尾数为3的数的幂的个位数一定以3，9，7，1循环
尾数为4的数的幂的个位数一定以4，6循环
尾数为7的数的幂的个位数一定以7，9，3，1循环
尾数为8的数的幂的个位数一定以8，4，2，6循环
尾数为9的数的幂的个位数一定以9，1循环。
2020国家公务员考试行测数量关系答题技巧：不定方程的3种常见解法
2020国家公务员考试行测数量关系答题技巧：不定方程的3种常见解法首先，大家要知道什么是不定方程，不定方程是未知数个数大于独立方程个数。
比如说X+2Y=10这个方程有无数组解，但是在行测中，对于未知数往往会限定为正整数。
那么就会大大缩减解的数量。
下面来介绍一些常见的解法。
一、整除法：未知数系数和常数存在公因数例1：已知3x+7y=36，x、y分别为正整数，求y=?A、1B、2C、3D、4【解析】答案：C。
观察3x和36都能被3整除。
由整数的特性可知7y一定也能被3整除。
因此y一定能被3整除。
直接锁定C。
二、奇偶特性：系数一奇一偶例题2：办公室工作人员使用红、蓝两种颜色的文件袋装29份相同的文件。
每个红色文件袋可以装7份文件，每个蓝色文件袋可以装4份文件。
要使每个文件袋都恰好装满，需要红色、蓝色文件袋的数量共有多少个?A、2B、3C、4D、5【解析】答案：D。
设红色文件袋为x个，设蓝色文件袋为y个，则可得到方程7x+4y=29。
已知偶数乘任一数都是偶数可知4y一定是偶数。
由奇+偶=奇可知7x一定为奇数。
因此x一定为奇数。
将x=1,3,5....依次带入可知x=3，y=2。
x+y=5。
选择D。
三、尾数法：利用末尾0或5的数字位数特性例3：超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个?A、3B、4C、7D、13【解析】答案：D。
设大包装盒的个数为x，小包装盒为y，可得到12x+5y=99，由题意可知x+y>10。
由整数的性质可知5y尾数只能是0、5，和为99。
则对应的12x的尾数只能是9、4，2相乘尾数不可能是9，所以12x尾数只能是4。
可知x尾数一定是2或者7。
又因为和为99，x小于10。
所以x只能为2或者7。
x=2时，y=15，x+y=17，满足题意。
15-2=13;当x=7，y=3，x+y=10，不满足题意，选择D。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程摘要：一、引言1.整除与同余的概念2.不定方程的定义及背景二、整除与同余1.整除的定义与性质2.同余的定义与性质3.整除与同余的关系三、不定方程1.不定方程的概念与例子2.不定方程的解法与性质3.不定方程在数学中的应用四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系2.利用整除同余解决不定方程的案例五、总结1.整除同余与不定方程的重要性2.研究整除同余与不定方程的意义与价值正文：一、引言整除与同余是代数学中的基本概念，而不定方程作为代数学中的一个重要分支，也具有广泛的应用。
本文将围绕这三个主题展开讨论，分析它们之间的关系及其在数学中的应用。
二、整除与同余1.整除的定义与性质整除是指一个整数除以另一个整数后，余数为零。
例如，8 整除12，因为12 除以8 的余数为0。
整除具有传递性、可交换性和结合性等性质。
2.同余的定义与性质同余是指两个整数除以某个整数后，余数相同。
例如，11 和17 同余，因为它们除以3 的余数都是1。
同余具有自反性、对称性和传递性等性质。
3.整除与同余的关系整除是同余的特殊情况，即当除数为1 时，同余就是整除。
另外，同余可以转化为整除，方法是将同余问题转化为整除问题，然后再用整除的性质解决问题。
三、不定方程1.不定方程的概念与例子不定方程是指含有未知数的等式，其中未知数的次数大于等于1。
例如，x^2 + 2x + 1 = 0 是一个二次不定方程。
2.不定方程的解法与性质求解不定方程的方法有多种，如因式分解法、代数余数定理等。
而不定方程的性质包括有解性、无解性、有唯一解、有无穷多解等。
3.不定方程在数学中的应用不定方程在数学中有着广泛的应用，如在密码学、计算机科学、组合数学等领域都有重要的应用价值。
四、整除同余与不定方程的关系1.整除同余与不定方程的联系整除同余与不定方程之间存在密切的联系。
例如，求解不定方程时，有时需要利用整除同余的性质将问题进行转化。
几种常见的不定方程的求解
几种常见的不定方程的求解摘要：本文重点介绍二元一次不定方程、勾股数以及一些特殊的非一次型不定方程的常见解法。
关键词：二元一次不定方程；辗转相除法；整数分离法；勾股数；特殊的非一次型不定方程不定方程，即未知数个数多于方程个数且其解受一定限制（如解为整数，正整数等）的方程或方程组。
不定方程又叫丢番图方程，它是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富。
我国对不定方程的研究已延续了数千年。
“百钱买百鸡”、“物不知其数”等堪称中外驰名，一直流传至今。
学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能。
中国古代数学家张丘建曾解答了下面的问题：“鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”设x，y，z分别代表鸡翁、鸡母、鸡雏的数目，就得x+y+z=1005x+3y+■z=100：消去z，得7x+4y=100。
我们要解决这个问题，就要求出上述方程的非负整数解，这个方程仅仅是二元一次不定方程的一个具体例子。
本文主要介绍一些基本类型的不定方程有整数解的条件及其解法。
1.二元一次不定方程及其求解。
最简单的不定方程就是二元一次不定方程，下面我们考虑它有整数解的条件。
定理[1]二元一次不定方程ax+by=c…①有整数解的充分必要条件是d|c，d=（a，b），（其中a，b，c是整数，且a，b都不是0）。
证必要性，如果方程①有整数解x=x0，y=y0则ax0+by0=c。
有d|ad|b，所以d|（ax0+by0）即d|c。
充分性，因为d|c所以c=dq由于存在两个整数x0，y0使ax0+by0=d。
在上式两边同时乘以q，得ax0q+by0q=dq。
即ax0q+by0q=c 因此方程①有整数解x=x0q，y=y0q。
对于二元一次不定方程，我们介绍求x0，y0的三种常用方法：（1）观察法。
例1 求不定方程3x+4y=23的非负整数解。
解：通过观察x=1，y=5是一个特解。
2024年国考行测指导：不定方程的速解方法
2024年国考行测指导：不定方程的速解方法行测考试时间争分夺秒，留给数量关系的时间更是少之又少。
我们应该选择什么样的题目在短时间内进行解答，其中不定方程就是“不二选择”。
一、不定方程特征未知数的个数大于独立方程的个数，一般具有无数个解。
二、不定方程解题技巧1、整除法：某一未知数的系数，与常数项存在非1的公约数。
例题：2x+3y=30，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、4B、5C、6D、7【答案】C。
参考解析：要想求x，我们可以把x移到等式左边，其他移到等式右边，会得到2x=30-3y；再整理一下2x=3（10-y）；到这我们可以观察到，“2x”整体是3的倍数，但是在这里“2”不是3的倍数，所以只能是“x”是3的倍数。
观察选项可知C选项符合性质。
2、奇偶性：未知数前面的系数奇偶不同时。
例题：7x+4y=29，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、1B、2C、4D、3【答案】D。
参考解析：这个题目，显然任意未知数前的系数都与常数项不存在整除关系，所以整除性质不能利用，可以来考虑其他性质，例如奇偶性。
观察题干可知“29”是奇数，“4y”是偶数(一个偶数乘任何数都是偶数)，只有奇数加偶数结果为奇数。
那么“7x”整体应为奇数，所以x为奇数。
观察选项B、C排除。
验证A、D项，代入A项得：7+4y=29，4y=22，y=5.5。
要求y为正整数，所以A不成立，选择D。
3、尾数法：某一未知数的系数存在5或者5的倍数时。
常和奇偶性联系着一起用。
例题：4x+5y=49，已知x，y均为正整数，则x可能为：A、8B、9C、10D、11【答案】D。
参考解析：观察数据，等式中存在5y，因为5乘以任何一个数尾数是5或者0。
尾0的数值是偶数，尾5的数值是奇数。
所以在这一部分中，可以利用奇偶性判别尾0还是尾5。
其中49是奇数，“4x”是偶数，所以“5y”整体是奇数，可知“5y”整体为5，49尾9，所以可知“4x”整体尾4。
观察选项只有D满足。
不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)
专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。
数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。
在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。
【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。
2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。
【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。
整除同余与不定方程
整除同余与不定方程
摘要：
1.整除同余与不定方程的定义与概念
2.整除同余与不定方程的性质与特点
3.整除同余与不定方程的求解方法
4.整除同余与不定方程的应用实例
5.总结
正文：
1.整除同余与不定方程的定义与概念
整除同余与不定方程是数论中的基本概念，它们在数学领域中占有重要的地位。
整除同余是指两个整数a 和b，若它们除以某个整数m 的余数相同，则称a 和b 对模m 同余。
而不定方程则是指包含一个或多个未知数的整式方程，它的解法较为复杂。
2.整除同余与不定方程的性质与特点
整除同余具有以下性质：若a≡b(mod m)，则a-b≡0(mod m)，即同余类中的元素相差m 的整数倍。
不定方程的特点是解的个数不确定，可能无解，也可能有多个解。
整除同余与不定方程的性质与特点为求解不定方程提供了基本的理论依据。
3.整除同余与不定方程的求解方法
求解整除同余与不定方程的方法有多种，如欧几里得算法、扩展欧几里得算法等。
这些算法为求解不定方程提供了有效的工具。
此外，还可以利用代数方法、几何方法等求解不定方程。
4.整除同余与不定方程的应用实例
整除同余与不定方程在实际问题中有广泛的应用，如计算机网络中的数据加密、密码学、计算机图形学等领域。
例如，著名的RSA 加密算法就是基于整除同余与不定方程的理论基础。
5.总结
整除同余与不定方程是数论中的基本概念，它们在数学领域中具有重要的地位。
求解整除同余与不定方程的方法有多种，这些方法为解决实际问题中的不确定性提供了理论支持。
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不定方程的求解之整除特性
近年来，在国家公务员考试和湖北省公务员考试中经常会出现不定方程，是我们考试的重点，也是很多小伙伴们眼中的难点，须引起重视！关于不定方程的求解方法很多，比较常用的要数以下几种：代入排除、奇偶特性、尾数特性。
在前几次的文章里，对于以上几种方法我们都有所讲解，本篇文章给大家提供不定方程的另外一种解答方法：整除特性。
首先我们用一道题目来了解一下整除特性怎么求解不定方程：
【例1】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。
钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是（）。
A. 12
B. 13
C. 16
D. 18
根据题目已知，设买甲笔x支，乙笔y支（x、y均为非负整数）。
很明显题目中只有一个等量关系，可以得到等式：7x+3y=60。
两个未知数一个定量关系，是典型的不定方程问题。
根据我们前面所讲解的，不定方程可以使用代入排除来求解，但是因为题目问的是两种笔最多可买多少支，需要从大到小逐个选项来试，这样比较麻烦。
那么如果用奇偶特性来求解的话，我们只能辨别60是偶数，对于7x和3y的两项的奇偶特性均无法断定，因此奇偶特性失去作用。
又因为方程里没有5x或者5y，所以尾数法在该题目中也无用武之地。
那么这道题目可以怎么来解答呢？就是今天要给大家讲的整除特性求解不定方程。
观察定量关系7x+3y=60，会发现60和3y均为3的倍数，那么就可以得到余下的那一项7x也是3的倍数，这个也比较好理解：7x=60-3y=3（20-y），20-y肯定为整数，所以7x 也是3的倍数，从而得到x为3的倍数，当x=3时，代入得到y=13，这样x+y=16；再将x=6代入不定方程，得到y=6，此时x+y=12.当x=9时，7×9=63＞60，所以x只能取3或者6，那么因为16比12要大，所以该题目答案为C。
很明显对于这道题目，在奇偶特性以及尾数法都发挥不到作用的时候，我们使用整除特性能够快速的得到答案。
我们在做题目的时候要注意观察定量关系中的每一项，看能否找到其中两项均能够被某一个整数整除，那么余下的那一项也一定能够被这个数整除。
而且，值得一提的是在许多题目里即便是可以使用其他方法，整除特性能够更加快速的得到答案。
那么接下来我们来看一道题目：
【例2】甲工人每小时可加工A零件3个或B零件6个，乙工人每小时可加工A零件2个或B零件7个。
甲、乙两工人一天8小时共加工零件59个，甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，且x、y皆为整数，两名工人一天加工的零件总数相差（）。
A.6个
B.7个
C.4个
D.5个
这是2012年湖北省考真题，是一道典型的不定方程问题。
根据题目已有的假设：甲、乙加工A零件分别用时为x小时、y小时，再结合题目已知条件，有等量关系3x+6（8－x）+2y+7×（8－y）=59，整理得3x+5y=45，且x、y为小于等于8的整数。
因为等量关系中有5y项，我们考虑使用尾数法，5y的尾数有两种5和0两种情况，当5y的尾数为5时，3x 的尾数要为0，此时在范围内没有符合条件的数；当5y的尾数为0时，3x的尾数要为5，则在此范围内，x=5，代入方程得y=6。
则甲一天做的零件数为3x+6（8－x）=3×5+6×3=33件，则乙一天做的零件数为59－33=26，则两名工人一天加工的零件总数相差33－26=7个。
因此，本题答案选择B选项。
以上是使用尾数法来求解该不定方程，我们也可以使用整除特性来快速求解此题，通过观察此等量关系，发现5y、45均为5的倍数，那么余下的3x项也要是5的倍数，再结合x、y为小于等于8的整数，得到x=5，代入方程y=6，余下的步骤与尾数法相同。
比较这两种方法，很明显整除特性更加能够快速的得到答案。
当我们熟悉的奇偶特性以及尾数特性“失灵”时，我们不妨考虑使用整除特性来求解不定方程，并且对于符合使用整除特性的不定方程，使用该特性可以达到作速做题的目的。
希望大家好好掌握，多做练习熟能生巧！若在即将到来的湖北省公务员考试中遇到此类问题，可以使用此解题技巧将宝贵的一分拿到手！。