Y是X函数。
4.3.3数函数y=logax的图象和性质 (教学课件)——高中数学北师大版(2019)必修第一册
由图知，函数y=log2|x+1|的单调递减区间为(-∞，-1)，单调递增区间为(-1，+∞).
探究：对数函数的综合应用
【例3】已知函数f(x)=loga(1+2x)-loga(1-2x)，a>0，且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并给予证明；
(2)求关于x的不等式f(x)>0的解集.
【方法指导】(1)求出函数y=f(x)的定义域，然后化简f(-x)，观察f(-x)与f(x)的关系，利用奇偶性的定义可得
− < < ，
当a>1时，有
解得0<x<，
+ > − ，
此时，不等式f(x)>0的解集为 ， ；
− < < ，
当0<a<1时，有
解得-<x<0，
+ < − ，
此时，不等式f(x)>0的解集为 − ， .
综上所述，当a>1时，不等式f(x)>0的解集为 ， ；当0<a<1时，不等式f(x)>0的解集为 − ， .
函数值
特点
x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；
x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞)
x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；
x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0]
单调性
在(0，+∞)上是增函数
当x→+∞时，y→+∞；
当x→0时，y→-∞
在(0，+∞)上是减函数
当x→+∞时，y→-∞；
高中数学函数知识点
高中数学函数知识点一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量，x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
下面小编给大家分享一些高中数学函数知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!高中数学函数知识一、一次函数定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
二次函数y=x2
4.
书：第11页 第2题（上面的）
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴
y x2
２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置
不必死记硬背哦，如 果实在不记得这些性 质了，可以像老师一 样，画一个简单的图 象，一切就ok了。
y x2
y=ax2(a＞0)
是轴对称图形，对称轴是y轴
请你任意找出2组几何对称点,并与同 伴交流. 如（-2,4），（2,4）是一组对称点 （2）图象有最低点吗？如果有，最 低点的坐标是什么？ 有，（0,0） (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值 如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？ 你是如何知道的？
当 x﹥0 时，函数值y随x 的 增大而增大 ；当x＜0时， 函数值y随x 的 增大而减小 。
0
x
Hale Waihona Puke 4.顶点就是 原点（0,0） ,是抛 当x=0时，y最小值=0，且y 物线的最低点。开口 ， 没有最 大 值，即y ≥ 0 向上 抛物线向上无限延伸。
把书翻到第9页，看看第3题，先完成表格，然后在同一个平面直角 1 坐标系中画出y= - 2 x2、y= -x2、y= -2x2的图象。 画好了吗？同位子把本子调换过来，帮忙检查一下，是不是正确的。 把书翻到第10页，对照图22-4看看，自己画的是否正确。 由此可见，二次函数的图象都是（ 抛物线 ）。 仿照第9页的表格，独立完成第10页第4题。 抛物线y=ax2(a＜0)
驶向胜利 的彼岸
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2X . （2）因为 -4≠-2（-1）2 ,所以点B（-1 ，-4） 不在此抛物线上.
4.3.3对数函数y=logax的图象和性质同步精品探究课件高中数学新北师大版必修第一册
A.c<a<b
B.c<b<a
C.a<c<b
D.b<a<c
【解析】由对数的运算性质可知，1=log66<a=log624<log636=2，b=log27>log24=2，c=(lg 2+lg 5)π=1， 所以c<a<b.
第四章 对数运算与对数函数
4.3.3 对数函数y=logax 的图象和性质
01
导学目标
02
课堂导入
03
预学回顾
04
活动探究
CONTENTS
05
素养提升
06
课堂小结
07
课堂达标
08Leabharlann 达标讲评1.掌握对数函数y=logax的图象和性质.
2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求定义域和值域、
确定单调区间等.
探究1：对数函数的图象问题
第三步，将y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y=|log2(x+1)|的图象，如图③所示. 第四步，将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示.
【探究小结】(1)求函数y=m+logaf(x)(a>0，且a≠1)的图象的定点时，只需令f(x)=1可求出x，即得定点为(x， m).
素养图谱
1.函数y=2log4(1-x)的图象大致是( ).
2.已知a=log624，b=log27，c=(lg 2+lg 5)π，则a，b，c的大小关系为(
A.c<a<b
B.c<b<a
C.a<c<b
二次函数y=x和y=x的图象与性质(共24张PPT)
讲授新课
一 二次函数y=x2和y=-x2的图象和性质
合作探究
你会用描点法画二次函数 y=x2 的图象吗?
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表 示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2； 方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2；
方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3> 2 >1，∴y1>y3>y2.
课堂小结
．
△ACO
△BOC
×1 4×1＝2，
∴S△ABO＝S△2 ACO＋S△BOC＝10.
2
当堂练习
1.两条抛物线 y x与2 y 在x同2 一坐标系内，下列说法中
不正确的是（ ） C A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0
C．开口都向上
D. 都有(0,0)处取最值
2．二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而_____减__小_．
例1变式 若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的 两点，那么y1与y2的大小关系是__________y_1_＞_.y2
例2：已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两
点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成
的三角形的面积． 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大，
读出一片新天地_从y_f_x_的读法谈起
法 ) 就应该是“x 与 ω( x + sin
φ (即 y = 的和的 ω 倍的正弦 ” ω
π, 函数值 所以自变量 x 只要并且至少要增加到 x + 4 π是能使等式 才能重复取得 , 即 T = 4
y = 2 sin [
φ φ ) = sin (ωx +φ) , 所以应该平移 个 ω ω
π π 1 1 ( x + T) ) ] = 2 sin ( x 2 6 2 6 π 1 ) , x∈ x2 6
f
-1
该等式的实质读作“a 与 x 和的函数值等于 a 与 x 差 的函数值的相反数 ” . 因为它的实质是“ 自变量 x 具 有对称性 (关于 x = a 对称 ) 而函数值互为相反数 ” . 把握这一实质后就很容易得到它的等价式“f ( 2 a +
x) = - f ( x) 或 f ( 2 a - x) = - f ( x) ” , 从而不需要用换
对于 ①, 应该读作“x 的函数 ” 为偶函数 , 根据偶 函数的定义 , 应该有“x 与 1 和的函数值 ” 等于“x 与
1 和的相反数的函数值 ” , 故选 A; 对于 ②, 应该读作
“x 与 1 和的函数 ” 为偶函数 , 根据偶数的定义 , 应该 有“x 与 1 和的函数值 ” 等于“x 的相反数与 1 和的函 数值 ” , 故选 B.
( x ) , 在这里 , y = f - 1 ( x ) 应该读作“x 在 f 作用下
的反函数 ” , 必要的时候还应读作“x 在 f 作用下的反 函数值 ” , 否则也会出现错误 . 例 2 已知 f ( x + 1 ) =
x -1 , 求 f ( x + 1) . x +1
谈“画函数y=-x-图象”的例题教学
谈“画函数y=|x|图象”的例题教学人教版高中数学必修一第一章第二节“函数表示法”有如下例题：画出函数y=x的图象. 教材解答如下：由绝对值的概念，我们有y=x，x≥0，-x，x＜0，所以，函数y=x的图象如图所示（图略）．教材这样处理的目的有三个：一是让学生根据函数解析式画出图象；二是引出分段函数模型；三是让学生体会数形结合数学思想在理解函数中的重要作用．函数有解析法、图象法、列表法三种表示方法．通过本节教学，让学生了解三种表示法各自优缺点的基础上，重点使学生在处理实际函数问题时，会根据不同的情境选择恰当的方法表示函数并解决问题．而本例则突出强调了函数解析式与函数图象之间的转化，掌握这两者之间的转化是运用数形结合数学思想分析、解决函数问题最重要的基础．对于本题的第二个教学目的，则是通过实例引出分段函数的模型．确实，分段函数是一类十分重要的函数，但由于其函数解析式分段给出，这对学生学习分段函数带来了较大的难度．为此，教师在处理教材时应尽可能让学生感受到分段函数在解题过程中的独特作用，为进一步学习分段函数打下扎实的基础．所以，为使本例的教学目的得以真正落实，笔者处理如下：一、提炼函数y=x的画图方法方法一：分段函数法（参见教材）；方法二：对称性法．此方法的提出是告诉学生，分段函数法并不是解决含绝对值函数图象问题的唯一方法，也不一定是解决此类问题最优化的方法．为此，教师应根据具体教学要求，紧紧抓住良好教学契机，充分利用教材现有素材，帮助学生掌握解决问题最基本、最常用的重要方法．对于对称性法，可设f（x）=x，通过观察引导学生得出f（-x）=f（x），即当函数的自变量互为相反数时，其函数值相等．所以与函数y=x的图象相比，要得到函数y=x的图象，只需将函数y=x在x轴下方部分的图象以x轴为对称轴对称地翻到x轴上方即可．显然函数y=x的图象有对称轴即y轴．上述两种方法都能较好地解决这一例题．方法一基于学生原有的基础，所以就学生的思维特征看，这一方法思路自然，可操作性强．方法二基于函数图象的变换，这对学生来讲是一个全新的课题，但从函数教学要求看，这一方法的掌握无疑是十分重要的．因为函数的教学大致可分为函数概念、函数图象、函数性质与函数应用等四大块内容，而在函数图象的教学中函数图象变换（一般指平移、对称、伸缩等三类情形）又占有十分重要的地位．所以方法二的提出在为学生学习函数图象变换打基础的同时，也在为合理运用数形结合数学思想解决问题作好铺垫．事实上，这两种方法共同的本质特征是利用化归与转化的数学思想，将含有绝对值的函数图象问题转化为不含绝对值的数学问题，从而达到降低问题难度的目的．二、剖析画出函数y=f（x）图象的方法学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习．数学教育的目标之一是让学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会蕴涵其中的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用．作为教师，应合理、灵活地处理教材，顺势启导，充分调动学生学习的主动性，帮助学生掌握解决问题的通性通法，提高观察问题、分析问题、解决问题的能力．变式1：画出函数y=2x-1的图象．显然，对于形如y=kx+b（k≠0）的函数图象，分段函数法和对称性法都能较为便捷地画出，相对而言，学生之前刚刚习得的对称性法更受大多数学生的青睐．变式2：画出函数y=x2-2x-3的图象．对于上述变式，若用分段函数法，如何分段？分段之后如何作图？这些问题都会让一些学生感到为难．所以，对于变式2，对称性法很自然地成为学生解决问题的首选方法．至此，要画函数y=f（x）的图象，一般有分段函数法和对称性法两种方法．相对而言，对称性法更具优越性．但事实上，任何解决问题的方法都有其优点，也一定有其不足之处．如果本例的处理到此为止，则对于含有绝对值的函数图象问题，学生会片面地认为对称性法比分段函数法更好．如果一旦让学生形成这样一种先入为主的思维定势，对学生今后较好地全面掌握含绝对值的函数图象问题会带来很大的负面影响，同时也势必影响学生对数形结合数学思想的正确理解与合理运用．所以作为教师有必要继续启发、引导学生进一步数学地提出问题，并寻求解决问题的针对性策略．三、探究函数y＝x-a±x-b（a＜b）的图象画法形如y=f（x）的函数图象画法的顺利解决，已让学生在课堂上感受到取得成功的喜悦，但这仅仅是含有一个绝对值的函数图象问题．如果此时能在教师适度、巧妙的启发下，让学生提出并解决含有两个绝对值的和或差的函数图象问题，则该例题在知识上、方法上的教学功能将会得到更大程度的发挥．同时相信这样极富挑战性问题的提出，一定会引起学生极大的学习兴趣，激发学生的学习激情，从而在课堂上产生师生之间、学生之间思维的激烈碰撞和强烈共鸣，达到高效课堂的理想效果，而这正是我们教师所孜孜追求的．问题：画出函数y=x-a+x-b（a＜b）的图象．前面已经给出的解决含有绝对值函数图象问题的两种方法，就其本质是去绝对值．正是对这一本质特征的正确剖析与把握，启导学生选择分段函数法解决新问题，并在新问题解决的过程中，分段函数这一新型函数模型得到潜移默化的巩固．利用分段函数法，由a＜b得y=-2x+a+b，x≤a，b-a，a＜x＜b2x-a-b，x≥b.，其图象如图1所示．显然图象具有对称性，对称轴为直线x=．同理可得，当a＜b时，函数y=x-a-x-b，y=a-b，x≤a，2x-a-b，a＜x＜b，b-a，x≥b的图象如图2所示．显然，图象也具有对称性，对称点为（，0）．通过上述问题的探究，学生会在原有的基础上重新认识含有绝对值的函数图象问题，并能实实在在感受到解决问题的不同方法本没有好坏之分，关键是如何根据实际问题，选择最优化的方法去分析、解决问题，逐步形成辩证地思考问题的良好习惯．因此，为求得课堂教学的高效性，让学生学得清楚，学得有兴趣，教师必须钻进教材，沉得下去，理清知识发生的本源，把握教材中最主要的、最本质的东西．只有这样，才能在教学中不断地去捅破问题与方法之间的一层纸，才能让学生真正从问题中感悟和提炼出最具本质的知识和方法，从而不断提高学生的数学素养．四、链接高考真题，彰显方法魅力在有关函数图象的实际考查中，一般很少直接要求学生画出某一函数的图象，但只要巧妙命制试题，同样能够达到考查函数图象的目的．例1 设函数f（x）=x+1+x-a的图象关于直线x=1对称，则a的值为（）．A. 3B. 2C. 1D. -1例2 已知t为常数，函数y=x2-2x-t在区间［0，3］上的最大值为2，则t= ．例3 已知函数f（x）=x2+4x-1+1，求当k为何值时，方程f（x）=k有三个实数根．滴水藏海．在教材中有许多经典的例题，蕴涵着丰富的基础知识、基本思想和方法．所以在教学过程中，为切实减轻学生过重的学业负担，追求清楚、高效的课堂生活，就应针对这些典例，舍得化时间去研究，值得浓墨重彩去落实，层层推进，环环相扣，必定引人入胜，精彩纷呈，真正达到落实基础知识、提炼基本方法、培养基本能力、渗透基本思想的教学目的．。
北师大版高中数学 必修第一册 4.3.3对数函数y=logax的图像和性质
(3)若对数函数y=log(a-1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围
是a>1.( ？× )
(4)对于y=logax(0<a<1),若0<x<1,则logax>0;若x>1,则
logax<0.( ？√ )
2. 函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
求区间
例7（1）求函数y=|log2x|的单调区间
解析:有关函数图象的变换是考试的一个热点,本题的图象变换是翻折变 换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴 翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到.
4.对数型函数单调性
求区间
经验 函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
y y log3 x 2
1 11
42
0 1 23 4 -1
-2
y log 1 x
2
y log 2 x
x
y log 1 x
3
当a>1,x轴上方图象自上向 下，底数a越来越大.
当0<a<1,x轴下方图象自上向 下，底数a越来越大.
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
图像
2.对数型函数求式
利用奇偶性
解析:设x<0,则-x>0.
改变自变量
又x>0时,f(x)=log2x,∴f(-x)=log2(-x). 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
中间解析式
∴x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D
Y是X函数。
(3)x取不同的值，y的取值可以相同；
例如：函数 y (x 3)2 中，x=2时，
y=1；x=4时，y=1。
判断两个变量是否有函数关系，关键是看自 变量在其取值范围内每取一个确定的值时，因 变量是否总有唯一确定的值与之对应，“唯一” 和“对应”是函数的本质属性。
量也在随着变化;
◆ 当一个变量确定一个值时，另一个变 量也随着确定一个值。
例 下图是体检时的心电图．其中图上点
的横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部 位的生物电流，它们是两个变量．在心电 图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的对应值.
y
o
x
例 在下面的我国人口数统计表中，年份
与人口数可以记作两个变量x与y，•对于表 中每一个确定的年份（x），都对应着一个 确定的人口数（y）.
如本节所引入的三个例子：
（1）S = 60t. 行驶的路程s是行 驶时间t的函数。
（2） y = 10x. 票房收入y是所售 票数x的函数。
（3）l =10+0.5x.弹簧长度l是所 挂重物x的函数。
关于函数定义的理解：
(1)它有两个变量；
例如:圆的面积公式 S r2 中，r是自变量，
S随r的变化而变化。如果出现一个变量或多个 变量时，就不是所定义的函数关系。
若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，则售出电影 票的张数x的每一个值，票房收入y都有一个值与之对应。
怎样与所挂重物有关.如果弹簧原 长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，怎样 用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长 度 l(cm)?
26.1.2二次函数y=x2的图像1
1. 二次函数的图像都是抛物线. 2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点. (2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是 抛物线的最低点;（0，0） 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是 抛物线的最高点;（0，0） |a|越大,抛物线的开口越小;
y
a>0
一般地，二次函数y=ax2 的图象是抛物线 _______, 对称 轴是Y ____ 原点 ． 轴 ，顶点是______ 当a>0时，抛物线的开口_____ 向上 ，顶点是抛物线的 低 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 减小 最___ 当 增大 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越小 ； 线的开口_____ 向下 ，顶点是抛物线的 当a<0时，抛物线的开口_____ 高 点，当x ＜ 0时，y随x的增大而_______, 增大 最___ 当 减小 x > 0时，y随x的增大而_______, ；a越大，抛物 越大 ； 线的开口_____
当a<0时，抛物线的开口向 下 顶点是抛物线的最____ 高 点， ____, a越大，抛物线的开口越 大 ． ____ │a│越大抛物线开口越小
1 2 y x 2
x
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
a<0
-3 -2 -1
1
y
1 2
0 -1 -2 -3 -4
3x
1 y x2 2
y 2 x 2
a>0 一般地，抛物线 y=ax2 的对称 原点 ．当 y轴 ，顶点是______ 轴是____ a>0时，抛物线的开口向上 _____，
y 2 x 2y
反比例函数中当k大于零时y和x的关系
反比例函数是一种非常特殊的函数，它的图像呈现出一种特殊的关系，即当自变量增大时，因变量反而减小的现象。
在反比例函数中，当k大于零时，y和x的关系更加值得我们深入探讨。
1. 反比例函数的特点反比例函数的一般形式为y = k/x，其中k为常数。
当k大于零时，我们可以发现随着x的增大，y的值会随之减小。
这种关系反映了一种负相关的趋势，即两个变量之间的变化方向是相反的。
当x增大时，y就会减小；反之，当x减小时，y则会增大。
这种特殊的关系在数学应用中有着重要的意义。
2. 数学解释从数学的角度来看，当k大于零时，反比例函数y = k/x中的k值实际上是斜率，它决定了函数图像的倾斜程度。
当k大于零时，图像将会处于第一象限和第三象限，呈现出向右下方倾斜的趋势。
这种特别的趋势在数学建模和实际问题中经常出现，比如负相关的经济指标、物理学中的反比例关系等。
3. 实际应用在实际生活和工作中，反比例函数中当k大于零时y和x的关系也经常出现。
比如在工程领域中，某种物质的扩散速度与距离之间的关系往往就符合反比例函数，而当k大于零时，则意味着扩散速度随着距离的增加而减小，这对于工程设计和环境保护都有着重要的意义。
4. 个人观点个人认为，反比例函数中当k大于零时y和x的关系正是数学世界中对于负相关关系的最好诠释。
这种关系不仅仅在数学中有着重要的意义，在日常生活和工作中也能够帮助我们更好地理解和分析一些问题。
深入了解和掌握反比例函数在实际应用中的特点和规律对于我们来说是非常重要的。
总结，反比例函数中当k大于零时y和x的关系体现了一种特殊的负相关趋势，数学上的解释和实际应用都表明了它的重要性。
在我的文章中，我以多种角度分析了这一关系，并阐述了个人的观点，希望能够对你有所帮助。
反比例函数是一种非常特殊的函数，它的图像呈现出一种特殊的关系，即当自变量增大时，因变量反而减小的现象。
在反比例函数中，当k大于零时，y和x的关系更加值得我们深入探讨。
函数y=lnx_x的图像性质及其应用
函数y =ln xx的图像性质及其应用325000 浙江省温州市第二十一中学 许光军1 引例这是2005年高考全国卷(Ⅲ)文理第6题:若a =ln 22,b =ln 33,c =ln 55,则( ).(A)a <b <c (B)c <b <a (C)c <a <b (D)b <a <c解 ∵ a =ln 22=ln 212,b =ln 33=ln 313,c =ln 55=ln 515,只需比较212,313,515的大小,∵ (212)6=23<32=(313)6,(515)10=52<25=(212)10,∴ 515<212<313,∴ ln 55<ln 22<ln 33,即 c <a <b .选(C).这道题目形式小而精炼,系统考察学生对指数、对数运算性质以及对数函数单调性的掌握,作为文理科考生共同的题目是比较公正的.如果换一种思路:因为a =ln 22=ln 44,题目实质上是比较b =ln 33,a =ln 44,c =ln 55的大小,可以构造函数f (x )=ln x x,需要研究函数f (x )=ln x x 的图像性质.2 函数y =ln xx的图像性质对函数f (x )=ln x x求导:f ′(x )=1-ln x x 2.当0<x <e 时, ln x <1,∴ f ′(x )>0,∴ f (x )在x ∈(0,e )上是增函数;当x >e 时,ln x >1,∴ f ′(x )<0,∴ f (x )在x ∈(e ,+∞)上是减函数;当x =e 时,函数f (x )=ln x x 有最大值1e;当x →+∞时,f (x )→0;当x →0时,f (x )→-∞.所以,函数f (x )=ln x x的图像如图1:图1定义域: (0,+∞);值域: (-∞,1e ];单调性:f (x )在(0,e )上是增函数,在(e ,+∞)上是减函数;函数的图像分别以x 、y 轴为渐进线.根据函数f (x )=ln x x的单调性,再看引例:∵ f (x )在x ∈(e ,+∞)上是减函数,且e <3<4<5,∴ ln 55<ln 44<ln 33,即c <a <b .由于高三数学文科教材选修Ⅰ,没有函数ln x 的导数,以及对u v 求导的内容,所以这道题作为理科的考题更合适,作为文科的考题在解法上稍显单一.3 性质的应用回顾高考历史,发现有一些题目直接应用函数y =ln x x的图像性质来解答非常便利.例1 (1983年高考理科卷)(1)已知a ,b 为实数,且e <a <b ,其中e 是自然对数的底,证明a b >b a ;(2)如果正实数a ,b 满足a b =b a ,且a <1,证明a =b .22中学数学 2006年第6期证明 (1)当e<a<b时,要证a b>b a,只需证 b ln a>a ln b,即证 ln a a>ln b b.构造函数f(x)=ln xx (x>0).∵ f(x)在x∈(e,+∞)上是减函数,且e<a<b,∴ f(a)>f(b),即 ln a a>ln b b,∴ a b>b a.(2)因为a,b是正实数,且满足a b=b a,所以 b ln a=a ln b,即 ln a a=ln b b.构造函数f(x)=ln xx (x>0).∵ 0<a<1, b>0,∴ 0<a b<1,则0<b a=a b< 1.∵ a>0, ∴ 0<b<1,又 a,b∈(0,1),假设a≠b,∵ f(x)在(0,1)上是增函数,∴ f(a)≠f(b),即 ln a a≠ln b b,得 a b≠b a,这与题目的条件a b=b a相矛盾,所以a=b.例2 (2001年高考上海卷第16题)用计算器演算函数y=lg x x (x>1)的若干个值,可以猜想下列命题的真命题只能是( ).(A)y=lg x x在(1,+∞)上是单调减函数(B)y=lg x x在x∈(1,+∞)上的值域 为[0,lg33](C)y=lg x x在x∈(1,+∞)上有最小值(D)y=limn→∞lg nn=0, n∈N*.解 ∵ y=lg x x=1ln10 ln xx,根据函数y=ln x x的图像性质,显然有y=limn→∞lg n n=0,n∈N*.故选(D).由例2,lo g a xx=1ln aln xx,可以归纳函数y>0且a≠1)的性质(如图2):图2当a>1时,因为1ln a>0,函数y=log a xx (a>1)在x=e时,[f(x)]max=1e ln a,单调性与函数y=ln xx相同.当0<a<1时,因为1ln a<0,函数y=log a xx (0<a<1)在x=e时,[f(x)]min=1e ln a,在x∈(0,e)上是减函数,在x∈(e,+∞)上是增函数.例3 (2001年高考理科卷第20题)已知i,m,n是正整数,且1<i≤m<n.(1)证明:n i A i m<m i A i n;(2)证明:(1+m)n>(1+n)m.证明 (1)证明略.(2)要证(1+m)n>(1+n)m,只要证n ln(1+m)>m ln(1+n).∵ m,n>1,即证ln(1+m)m>ln(1+n)n,构造函数f(x)=ln(1+x)x (x>1),求导:f′(x)=x[1-ln(1+x)]-ln(1+x)x2(1+x).∵ x>1且x∈N*,∴ x≥2, ln(1+x)>1,∴ f′(x)<0,∴ f(x)在x∈(1,+∞)上是减函数.∵ m<n,∴ f(m)>f(n),即ln(1+m)m>ln(1+n)n,∴ (1+m)n>(1+n)m.这道在排列、组合、二项式定理、不等式等知识交汇点上设计的问题,深刻考查了学生的逻辑思维能力,由于考生在建立与二项式定理的相关联系时,比较困难,成为一道难题.受函数y=ln x x性质的启发,通过构造函数f(x)=ln(1+x)x,借助于函数的性质证明,证明过程简捷明快.(收稿日期:20060302)232006年第6期 中学数学。
对数函数的概念ylog2x的图像和性质
对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的定义域和值域分别是指数
函数
值域 定义域
y＝ax(a>0，a≠1)的
和
，这样的两个函数
叫作互为反函数.
一．对数函数是一个形式定义，只有形如 y＝logax
1. 0，且a≠1)的函数才是对数函数．
二．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数 函数y＝logax
D．－log2(－x)
○ 解析：∵x<0，∴－x>0.∴f(－x)＝log2(－x)． ○ 又∵f(x)是奇函数， ○ ∴f(－x)＝－f(x)． ○ ∴f(x)＝－log2(－x)． ○ 答案：D
6．利用函数 f(x)＝log2x 的图像和性质解决以下问题：
(1)比较 log245与 log234的大小；
[例 2] 求下列函数的反函数．
(1)y＝10x; (2)y＝(45)x； (3)y＝log 1 x; (4)y＝log7x.
3
[思路点拨] 根据指数式与对数式的互化写出．
[精解详析] (1)指数函数 y＝10x，它的底数是 10， 它的反函数是对数函数 y＝lgx；
(2)指数函数 y＝(45)x，它的底数是45，它的反函数是对 数函数 y＝log 4 x；
1. 0且a≠1，x>0)互为反函数，它们定 义域与值域互反．
[例 1] 求下列函数的定义域： (1)y＝lg(x＋1)＋ 31x－2 x； (2)y＝log(x－2)(5－x)． [思路点拨] 由题意列出不等式组，再解不等式组， 得出函数的定义域．
[精解详析] (1)要使函数有意义， 需x1＋ －1x>>00， ， 即x>－1，
(2)y＝log12x； (3)y＝log71－13x.
如何理解y=f(x) 的一些问题
如何理解“()x f y =”的一些问题王德明函数概念在初中是这样叙述的：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫做自变量。
这是学生认识函数概念的第二个阶段（算术基础之上），即作为“变化过程”的函数．在高中，函数的概念则是建立在对应基础上的，即作为“对应关系”的函数：设A ，B 是非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()x f 和它对应，那么就称：f A B → 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()x f y = ，A x ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的 集合(){}A x x f ∈叫做函数的值域．在此基础上，将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意的集合，引出了映射的概念，从而函数成了一种特殊的映射，也顺利拓展了函数的表达方式，对函数的理解产生了质的飞跃．通过对函数()x f y =这一抽象关系式的认识，十分有益于抽象思维能力的提升．当然这一跃，难免使高一学生对()x f y =的理解产生一些疑虑和偏差．为此应该想明白： 1 ()x f y =中的符号f 表示什么()x f y =中的f 表示的是确定这个函数的 映射的对应法则．也就是表示y 与x 之间的 函数关系（显然不是f 与x 的积）．由于函数关系可以用解析法、列表法、图象法等表示，所以不能把()x f y =单纯地理解是由解析式给出的函数；其次，当函数关系是一个解析式时，“f ”指的就是运算法则．如：()11+=xx f ，“f ”是指对（）内的对象x 进行倒数运算并加1．当然函数的运算法则未必是单一的对应关系，如：()⎩⎨⎧≤>=0001x x x f ，， ，这里f 这个运算法则指的是：对任意一个正数的运算结果是1；对任意一个非正数的实数的运算结果是0．有的同学感到不是很好理解．其实我们知道，有许多旅游景点的票价与人的身高就有这样的规定：如某景点规定身高不超过（含）m 30.1的游客免费，身高超过m 30.1的游客每人120元．这样的函数我们通常称之为分段函数．生活中可以找到不少这样的例子，它们可以帮助我们很好地理解分段函数． ２ ()x f y =的定义域的意义当函数()x f 是一个具体的解析式表示时，它的定义域就是指使这个式子有意义的实数x 的集合．比如求函数()111-++=x x x f 的定义域，就是求使111-++x x 有意义的实数x 的集合．这种给出具体解析式的函数的定义域比较简单；但当函数()x f y =只是这种抽象符号给出时，对它的定义域的理解就不那么容易了．我们先看两个比较简单的问题： （１）已知()()x x x f -=2，求()1+x f 的定义域； （２）已知()11--=x x g ，求()1+x g 的定义域．比较容易得到：()()()x x x f -+=+111，()x x g -=+11．而且()1+x f 与()1+x g 的定义域都是{}11≤≤-x x ，因为这时函数()1+x f 和()1+x g 都有具体的解析式，求它们的定义域就显得比较简单，当然前提是：能从已知的()x f 与()x g 的解析式求出()1+x f 和()1+x g 的解析式．可以发现上述两个不同的函数()x f 与()x g 的定义域都是{}20≤≤x x ，进一步我们发现()1+x f 与()1+x g 的定义域同样有相同关系，都是{}11≤≤-x x ．这似乎表明：不论()x f 是怎样的函数，如果它的定义域是{}20≤≤x x ，那么()1+x f 的定义域必是{}11≤≤-x x ．事实确是如此．为此我们首先要清楚“()x f y =的定义域是集合A ”到底是什么意思．这里有两层意思：【1】首先，定义域指的是自变量．．．的取值范围为A ； 【2】其次，“f ”的对象．．必须在定义域A 内．换句话说，()x f y =的自变量x 具有双重身份，所以这两层意思并非简单的一致．下面的例题就可以说明分层的必要性．例：（1）已知()x f 的定义域为[]2,1，求()1+x f 的定义域；（2）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()x f 的定义域；（3）已知()1+x f 的定义域为[]2,1，求()2x f 的定义域 分析：（1）由已知并根据【2】，“f ”的对象必须在[]2,1内，而()1+x f 中“f ”的对象是1+x ，所以 ()[]2,11∈+x ，即 211≤+≤x ．所以 10≤≤x ，由【1】知()1+x f 的定义域为[]1,0；（2）()1+x f 的定义域为[]2,1，由【1】知21≤≤x ，所以 ()1+x f 中“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，由【2】知()x f 的定义域为[]3,2（3）由（2），“f ”的对象1+x 满足≤21+x 3≤，而()2xf 中“f ”的对象是2x ，所以 322≤≤x ，即23-≤≤-x 或32≤≤x ．故()2x f 的定义域是[][]3,22,3 -- 只有对上述两层意思理解清楚了，再来用“换元法”解才变得理所当然，因为“换元法”的实质是使自变量．．．与对象．．变得一致． 3 函数()x f y =的图象变换如果函数的解析式已知，作它的图象就可以用最基本的描点法，但是并不是作每一个函数的图象都要这样进行，尤其是所作函数与基本的、熟悉的函数有紧密的关系时，我们通常会借助于这些最基本的函数图象（一次、二次函数、反比例函数、指数对数函数、三角函数等），也就是把基本函数的图象做参照．当然所谓的借助，实际上是通过平移、伸缩、对称等手段实现的．虽然函数()x f y =的抽象形式使我们在图形变换过程中难以把握，但根据其规律的确定性含义，我们又可以通过特例来认识规律．如()x f y =与()1+=x f y 的图象关系就可以从2x y =与()21+=x y 图象关系；同样()x f y =与()x f y -=、()x f y =、()x f y --=、()x f y =、()x f y =等的图象关系都可以通过适当的最基本的初等函数做参照而获得，并加深对一般规律的认识。
x=f-1(y)与y=f-1(x)是同一函数吗
为 它们 的 定 义 域 不 同 , 图 象也 不 同。
例 1 . 求 函 数 y = 甲了丁砰( x 蕊 0) 的 反 函数 。
子 错 解 : 由 y = V 与二及五解 得 了 、 二 了 二 ,
平 不 :’ 函 数 y = 、 / 正 子的 反 函 数是 y 二 侧
。
此解 出错 的 原 因 是 忽视 了 函数 的 定 义 域 和 值 域 。 正确的解法如下 。
平 不 解 : 函 数 y 二 甲
的 定 义 域 为 〔 - l , 0〕, 值 域
不 为 〔0 , 1 〕。 由 y 一 侧
户得 尸 =
尹 1 一
。
到 不平 丫 x
, … x = 1- V
。
.
: 函 数 y = 侧不平 的 反 函 数 是
不平 勺
,
(x 〕
0
。
)
例 2 . 求 函数 y 二 了不 二丽 + Z x 一 3 的 反 函数 。
想 , 涉及 知识 面不 广 。
除三角法外 ,若能运 用几何构 图 ,
展现题设 条件 , 经 推理揭示 出三角 形
形状 的 特征 , 其教 学效果 远 比单纯 的
三 角 解 法 为 佳 , 现举 一 例 。 【例 】 △ A B c 的 三 个 内 角 A , B ,
C
的对边分 别是
a
b ,
,c
, 如果
告 的 函 数 , 函 数 概 念 与使 用 的 字 母 无 关 。 如 s 二 广( t 。
争 争 ) R , , =
`· ` R , 和 一
` y o R , , 它 们 表 示 同-
个二 次函 数 , 因为它们的 三要素完全一致 。 而 y 二
y是x的函数
y是x的函数
y是x的函数，意思是y的值随x的值的变化而变化。
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。
此时，x的取值范围是这个函数的定义域，相应y的取值范围是这个函数的值域。
y是x的函数，反映在图像上，即对于每一个横坐标x来说，都有唯一的一个纵坐标y与之对应。
扩展资料
函数的性质特点有：
1、常见的函数类型有一次函数、二次函数、周期函数、奇函数、偶函数、幂函数等等。
2、函数的有界限：设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
3、函数的单调性：设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在区间I上单调递增；对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在区间I上单调递减。
对数函数求导公式有哪些
对数函数求导公式有哪些对数函数是高中数学的重点之一，那么对数函数求导公式是什么呢?快来和小编一起看看吧。
下面是由小编为大家整理的“对数函数求导公式有哪些”，仅供参考，欢迎大家阅读。
对数函数求导公式对数求导的公式：(logax)'=1/(xlna)。
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
底数则要>0且≠1 真数>0。
并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。
(a>1时)如果底数一样，真数越小，函数值越大。
对数与指数之间的关系当a大于0，a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x，log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M)(n属于R)，换底公式(很重要)log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)=lnN/lna=lgN/lga，ln自然对数以e为底e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)，lg常用对数以10为底。
拓展阅读：对数函数的性质与定义函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，也就是说以幂为自变量。
下面是对数函数的性质与定义，希望对考生复习有帮助。
对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1，0)这点。
(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
(5)显然对数函数无界。
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y
xx
例2. 求下列函数当x = 2时的函数值。
(1)y=2x-5 (2)y=-3x2
(3) y 1
x 1
(4) y x 2
解：(1)当x=2时，y=2×2-5=-1
(2)当x=2时，y=-3×22 =-12
(3)当x=2， y 1 1
2 1
(4)当x=2时, y 2 2 0
若设一场电影售出票 x 张，票房收入为 y 元，则售出电影 票的张数x的每一个值，票房收入y都有一个值与之对应。
怎样用含 x 的式子表示 y ？
y = 10x
问题三 弹簧的长度与所挂重物有关.如果弹簧原 长为10cm，每1千克重物使弹簧伸长0.5cm，怎样 用含重物质量m（kg）的式子表示受力后的弹簧长 度 l(cm)?
量也在随着变化;
◆ 当一个变量确定一个值时，另一个变
量也随着确定一个值。
例 下图是体检时的心电图．其中图上点
的横坐标x表示时间，纵坐标y•表示心脏部 位的生物电流，它们是两个变量．在心电 图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯 一确定的对应值.
y
o
x
例 在下面的我国人口数统计表中，年份
与人口数可以记作两个变量x与y， 对于表 中每一个确定的年份（x），都对应着一个 确定的人口数（y）.
如：2x2 3x 1只是代数式而不是函数关系;
a，h都三不角确形定面,积就公不式能S说S是12 aah,h,的如函果数S，。
(2)“y有唯一值与之对应”是指x每取 一个确定的值，y都有唯一的值与之对 应，x与y之间有
关系式，但是由于x在x>0的范围内每取一 个值，y都有两个确定的值与它对应，所以 y不是x的函数。
判断两个变量是否有函数关系，要同时满足（1） 有两个变量（2）自变量 x每取一个确定的值， 因变量y都有唯一的值与之对应。
(3)x取不同的值，y的取值可以相同；
例如：函数 y (x 3)2 中，x=2时，
y=1；x=4时，y=1。
判断两个变量是否有函数关系，关键是看自 变量在其取值范围内每取一个确定的值时，因 变量是否总有唯一确定的值与之对应，“唯一” 和“对应”是函数的本质属性。
答:汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油
例4. 用矩60形m一的边篱靠笆墙围，成另矩三形边，用使篱b 笆围成
墙 b
a
(1)．写出矩形面积s与平行于墙的一边长a的关系
式；
S a 60 a 2
s (2)．写出矩形面积 与垂直于墙的一边长b的关
系式。并指出两式中的函数与自变量。
S=(60-2b)b
每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场
售出205张，晚场售出310张，三场电影票的票房收入各多少
元？
票房收入 = 售价×售票张数
早场票房收入 = 10×150 = 1500 （元） 日场票房收入 = 10×205 = 2050 （元） 晚场票房收入 = 10×310 = 3100 （元）
通过今天的学习，你有何 收获和体会.把你的收获告诉 你的同学。
作业布置：106页 第1,3题 137页第1题
谢 谢
教学反思
变量与函数的概念把学生由常量数学引入变量数学，是学生数学 认识上的一天飞跃。因此，设计本课时应根据学生的认识基础， 创设在一定历史条件下的现实情境，使学生从中感知到变量函数 的存在和意义，体会变量之间的相互依存关系和变化规律。遵循 从具体到抽象、感性到理性的渐进认识规律和以教师为主导、学 生为主体的教学原则，引导学生探究新知，引导学生在观察、分 析后归纳，然后提出注意问题，帮助学生把握概念的本质特征， 并在概念的形成过程中培养学生的观察、分析概括和抽象等的能 力。同时在引导学生探索变量之间的规律，抽象出函数概念的过 程中，要注重学生的过程经历和体验，让学生领悟到现实生活中 存在着多姿多彩的数学问题，并能从中提出问题、分析问题和解 决问题。还要培养一种团队合作精神，提高探索、研究和应用的 能力，使学生真正成为数学学习的主人。
函数的概念：
1. 在一个变化过程中，如果有两个变 量x与y，并且对于x的每一个确定的值， y都有唯 一确定的值与其对应，那么我 们就说x是自变量 ，y是x的函数。
一般地,如果当x=a时y=b，那么b 叫做当自变量x=a时y的函数值。
例如:已知函数y=2x2-1,当x=1时,y=_____; 当y=1时,x=________.
（4）在数学中，“y是x的函数” 这句话常用 y=?x 的代数式 来表示， 这里x是自变量，y是x的函数。
例:将圆的周长C表示为 圆的半径r的函数.
C=2πr
(5)函数不是数，它是指在一个变化 过程中两个变量之间的对应关系。
函数的本质--就是变量间的对应 关系。
牛刀小试 1.指出下列关系式中的自变量与自变量的函数
例3一辆汽车油箱中现原有汽油50Ｌ,如果不再油, 那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单 位:km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系式。 (2)汽车行驶200km时，油箱中还有汽油多少升？
(1) y=50-0.1x
(2)当x=200时，y=50-0.1×200=30(L)
l=10+0.5m
__弹_簧__的__长__度_l_随着_所__挂__重__物_的__质__量__m_的变化 而变化，当__重_物__的__质__量_m_确定一个值时,
_弹__簧_的__长__度__l 就随之确定一个值。
上述三个问题有共同之处吗？ 请同学们 分组交流。
◆ 每个变化的过程中都存在着两个变量; ◆ 当其中的一个变量变化时，另一个变
1 ) s=3t 2) L=10+0.5m 3) s=x(5-x)
2 .下列各式中，ｘ都是自变量，请 判断ｙ是不是ｘ的函数，为什么？
1.y＝ 2x
3.y＝ x
2.y＝ x 3 1
4.y=
x
注意：对于x的每一个值， y总有唯一的值与它对应， y才是x的函数。
例 1. 试 写 出 等 腰 三 角 形 中 顶 角 的 度数y与底角的度数x之间的函数关系 式．
如本节所引入的三个例子：
（1）S = 60t. 行驶的路程s是行 驶时间t的函数。
（2） y = 10x. 票房收入y是所售 票数x的函数。
（3）l =10+0.5x.弹簧长度l是所 挂重物x的函数。
关于函数定义的理解：
(1)它有两个变量；
例如:圆的面积公式 S r2 中，r是自变量，
S随r的变化而变化。如果出现一个变量或多个 变量时，就不是所定义的函数关系。
14.1.2 函数
实验中学：李卫锋
问题一:
汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为 s 千 米，行驶时间为 t 小时，先填下面的表，再试用含t的式 子表示s.
60 120 180 240 300
S = 60t
当变量t确定一个值时,变量s就随之确定 一个值,即变量s随着变量t的变化而变化.
问题二: