第九讲--函数[x]与{x}

函数[x]与{x}
1.定义：对任意实数x ，以[]x 表示不超过x 的最大整数，称它为x 的整数部分，如[4.2]4=，[7.6]8-=-等．定义{}[]x x x =-，称它为x 的小数部分，如
{3.1}0.1=，{7.6}0.4-=等等．对x R ∀∈，[]y x =和{}y x =均是x 的函数．
2.性质
（1）[]y x =的定义域为R ，值域为Z ；{}y x =的定义域为R ，值域为[0,1)． （2）[]{}x x x =+，[]01x x ≤-<，[][]1x x x <+≤，[1]x x x -<≤． （3）①若x y ≤，则[][]x y ≤，即函数[]y x =在R 上不减． ②{}y x =是周期函数，最小正周期为1． ③对整数n ，有[][]x n x n +=+，{}{}x n x +=． ④[][][]x y x y +≥+，{}{}{}x y x y +≤+．
⑤[][],{}{}1[][][]1,{{1}}x y x y x y x y x y ++<⎧+=⎨++≥+⎩．
⑥[],
[][]1,x x x Z x x Z -⎧-=⎨--∉∈⎩．
⑦0,{}1{},Z
x x x x Z
⎧-=⎨-∉∈⎩．
定理 （1）设a 与b 是正整数，则在1,2,
,a 中能被b 整除的整数恰有[]a
b
个。

（2）在!n 的质因数分解式中，素数p 的指数是231
[][][][
]r
r n n n
n
p p p
p ∞
=+++
=∑。

（3）设n 是正整数，则1
[]
!r r n
p p n
n p ∞
=≤∑=∏，其中
p n
≤∏
表示对不超过n 的所有素数p 求
积。

1. n N +∈，=_________。

2. 2n ≥，2
22111
[
]23
n
+++
=_________。

3.
100
1
23101n n
==∑_________
4. r R ∈，192091[][][]546100100100r r r +
+++++=，[100]r =_________ 5.方程[29]2
x
x -=的实数解为_________
6.方程56157
[]85
x x +-=的解集为_________ 7.解方程2440[]510x x -+=． 8. 解方程4{}2[]x x x +=．
9. (0,)2
x π
∈，22cos sin
33x x M =+的整数部分是_________
10. 12015
x =
+++
[]x =_________ 11.用n a n N +∈，
12
2000
11
1S a a a =+++
，
[]S =_________ 12. 200~500的整数中7的倍数有________个 13.解不等式[]{}1x x x <-．
14. *n N ∈，证明[][
][]x x
n n
=． 15.证明：x R ∀∈有1
[][][2]2
x x x ++=．
16.证明：x R ∀∈，n N ∈有12
1
[][][][][]n x x x x nx n n
n
-+++++
++
=． 对于数列{}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,
n
a ，即正整数k 恰好有k 个，是否存在整数,,r s t 使
得对于任意正整数n ，都有n a r t =+恒成立？
93
3110[]103
+末尾两位数字是_________ x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足2[1]10x -=的x 的集合是_________
[]x 表示不超过x 的最大整数，使333[log 6][log 7[log 29]]00n +++=的正整数
n =_________
对整数1n >，设11
12x n
=+++，lg 2lg3lg y n =++
+，则满足[][]x y =的所
有正整数n 构成的集合为_________
[]9
2
x x =的实数解为_________
关于x 的函数()[]f x x x a =-+存在最大值()M a ，则正实数a 的取值范围是_______
(n a n n =++2[
]n
a n =_________ 函数:f R R →对任意的实数,,x y z 都有111
()()()()224
f xy f xz f x f yz
+-≥，求[(1)][2(2)][2011(2011f f f +++．
关于x 的方程1
[31]22
x x +=-的全部实数根之和为_________
在平面上由满足22[][]50x y +=的点所围成的图形的面积为_________
设11a =，1)n a n N ++=∈，2013a =_________
x N +∈，
记23[][][[]]222
2k x x x m x
=++++，其中k 是满足2k x ≥的最小整数，x m -称为正整数x 的方程数，则方程数为9的最小正整数x 为_________
2222[log 1][log 2][lo [log 22]31g ]0++++=_________
分解12!为质因数的乘积。

2015!的末尾有多少个0？
求最大的整数k ，使得10199!k。

设x 与y 是实数，则[2][2][][][]x y x y x y +≥+++。

若x 是任意实数，则1
[][][2]2
x x x ++=。

证明：方程[][2][4][8][16][32]12345x x x x x x +++++=无实数解。

k 是自然数，且
1001100220052006
11
k
⨯⨯⨯⨯是整数，则k 的最大值是多少？。