设AE=x,DF=y,写出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
相似三角形综合大题
相似三角形综合大题一．解答题（共30小题）1．（2012•昌平区二模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，过点B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC,交AC于E，过点A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．（1）若∠BAC=45°，求证：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．(2)若∠BAC=30°，请直接写出FC与HD的等量关系．2．（2012•香坊区二模）已知:在△ABC中，∠ACB=90°,AC=2BC,D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．(1）当点D是线段AC的中点时(如图1)，求证：BF﹣DF=CF：（2）当点D与点A重合时,在线段EF上取点G，使GF=DF，连接DG并延长交CF于点H，交BC延长线相交于点P（如图2）,CH：HF=4:5,EG=，求PH的长．3．(2012•西青区一模）在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C．（Ⅰ)如图①,当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D．证明：△A′CD是等边三角形；（Ⅱ)如图②,连接AA′、BB′，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S1、S2．求证：S1:S2=1：3;（Ⅲ)如图③，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC=a，连接EP．求当θ为何值时，EP的长度最大，并写出EP的最大值（直接写出结果即可)．4．（2012•南岗区校级二模）在△ABC中，已知∠BAC=45°，高线CD与高线AE 相交于点H,连接DE．（1）如图1,△ABC为锐角三角形时，求证:AE﹣CE=DE；（2）如图2，在（1)的条件下,作∠AEC的平分线交AC于点F，连接DF交AE于点G，若BD=CF，AE=6，求GH的长．5．（2012•徐汇区校级模拟）在△OAC中，∠AOC=90°，OB=6，BC=12，∠ABO+∠C=90°,M、N分别在线段AB、AC上．（1）填空:cosC=．(2)如图1,当AM=4，且△AMN与△ABC相似时，△AMN与△ABC的面积比为；（3)如图2，当MN∥BC时，将△AMN沿MN翻折，点A落在四边形BCNM所在平面的点为点E，EN与射线AB交于点F，设MN=x，△EMN与△ABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围．6．（2012•道外区二模)已知：如图1，四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°，连接AC，tan∠CAD=，过点D作DE⊥AB，点E为垂足．（1)求证：AE+BC=DE；(2）连接BD，设BD与AC交于点F,DE与AC交于点G，若AG：FG=3：2,AE=6（如图2）,求线段BC的长．7．(2012•路南区一模）如图①,在△ABC中,AB=BC，∠ABC=120°，点P是线段AC上的动点（点P与点A、点C不重合），连接BP．将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A1B1P，连接AA1，直线AA1分别交直线PB、直线BB1于点E,F．（1)如图①，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△APA1与△BPB1始终存在关系(填“相似”或“全等”），同时可得∠A1AP∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”关系)．请说明△BEF与△AEP之间具有相似关系；（2）如图②，设∠ABP=β，当120°＜α＜180°时,在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP全等?若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当α=120°时，点E、F与点B重合．已知AB=4，设AP=x,S=△A1BB1面积，求S关于x的函数关系式8．（2012•上虞市模拟）复习完“四边形”内容后，老师出示下题：如图1，直角三角板的直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上移动，一直角边始终经过点C，另一直角边交直线AB于点Q，连接QC．求证：∠PQC=∠DBC．（1）请你完成上面这道题；（2）完成上题后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出许多问题，如：①如图2，若将题中的条件“正方形ABCD"改为“矩形ABCD”，其余条件都不变，是否仍能得到∠PQC=∠DBC？②如图3，若将题中的条件“正方形ABCD”改为“直角梯形ABCD”，其余条件都不变,是否仍能得到∠PQC=∠DBC？请你对上述反思①和②作出判断,在下列横线上填写“是"或“否"：①;②．并对①、②中的判断，选择其中一个说明理由．9．（2012•上海模拟）已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线,直线BM∥AC,E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．(1）如图1,当CD⊥EF时，求BF的值;（2）如图2,当点G在点F的右侧时；①求证：△BDF∽△BGD；②设AE=x,△DFG的面积为y，求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围; (3）如果△DFG 的面积为，求AE的长．10．（2012•道外区一模）已知：点P为正方形ABCD内部一点，且∠BPC=90°,过点P的直线分别交边AB、边CD于点E、点F．（1）如图1，当PC=PB时，则S△PBE、S△PCF S△BPC 之间的数量关系为；(2）如图2，当PC=2PB时，求证：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的条件下，Q为AD边上一点，且∠PQF=90°，连接BD，BD交QF 于点N，若S△bpc=80，BE=6．求线段DN的长．11．(2012•太原一模)如图1,已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点E，以点E为顶点作正方形EFGH,使点A、D分别在EH和EF上，连接BH、AF．（1）判断并说明BH和AF的数量关系;（2)将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转θ（0°≤θ≤360°),设AB=a，EH=b，且a ＜2b．①如图2，连接AG，设AG=x，请直接写出x的取值范围;当x取最大值时,直接写出θ的值;②如果四边形ABDH是平行四边形,请在备用图中补全图形,并求a与b的数量关系．12．（2012•武汉模拟）（1)如图1，在△ABC中，点D，E在边BC上，BD：DE:CE=1：2：3,线段FG∥BC，分别交线段AD，AE于M、N两点,则有FM：MN：NG=（2)如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点有△ABC的三边上，线段FG分别交线段AD，AE于M、N两点，若BD=4，EC=9,求MN的长? （3)如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四个顶点在△ABC的三边所在的直线上,DA与EN的延长线分别交直线FG于M、N两点，求证：MN2=MF•NG．13．（2012•香坊区校级模拟）已知，等边△ABC中,D为BC上一点，DE∥AC交AB于C，M是AE上任意一点（M不与A、E重合），连DM，作DN平分∠MDC 交AC于N．（1）若BD=DC（如图1)，求证：EM+NC=DM；（2）在（1）的条件下，如图2，作DF⊥AC于F，若NF:FC=3：5，AM=4,连接MN将∠DMN沿MN翻折,翻折后的射线MD交AC于P,连接DP交MN于点Q，求PQ的长．14．（2012•香坊区一模)已知：在△ABC中，AB=AC，点P是BC上一点，PC=2PB，连接AP，作∠APD=∠B交AB于点D．连接CD,交AP于点E．(1）如图1,当∠BAC=90°时，则线段AD与BD 的数量关系为；（2）如图2，当∠BAC=60°时，求证：AD=BD；（3）在（2)的条件下，过点C作∠DCQ=60°交PA的延长线于点Q如图3，连接DQ，延长CA交DQ于点K，若CQ=．求线段AK的长．15．(2012秋•大丰市期末）探索绕公共顶点的相似多边形的旋转：（1）如图1，已知：等边△ABC和等边△ADE,根据(指出三角形的全等或相似），可得CE与BD的大小关系为：．（2）如图2，正方形ABCD和正方形AEFG，求：的值；（3）如图3,矩形ABCD和矩形AEFG，AB=kBC,AE=kEF，求：的值．（用k的代数式表示)16．(2012秋•东城区期末)如图1，在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°，AB=AC=2，点E是BC边上一点，∠DEF=45°且角的两边分别与边AB，射线CA交于点P,Q．（1)如图2，若点E为BC中点，将∠DEF绕着点E逆时针旋转，DE与边AB交于点P，EF与CA的延长线交于点Q．设BP为x，CQ为y,试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如图3,点E在边BC上沿B到C的方向运动（不与B，C重合），且DE始终经过点A，EF与边AC交于Q点．探究：在∠DEF运动过程中，△AEQ能否构成等腰三角形，若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．17．（2012秋•道外区期末）已知：△ACB与△DCE为两个有公共顶点C的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC,DC=EC．把△DCE绕点C旋转,在整个旋转过程中,设BD的中点为N，连接CN．(1）如图①，当点D在BA的延长线上时,连接AE，求证：AE=2CN；（2）如图②,当DE经过点A时,过点C作CH⊥BD，垂足为H，设AC、BD相交于F，若NH=4,BH=16，求CF的长．18．(2012春•泰兴市校级期中）在平面直角坐标系中,四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B、C分别在x轴和y轴上，点M为y轴负半轴上一动点，点N 为x轴正半轴上一动点,且∠NAM=45°．（1）试说明△OAN∽△OMA；（2）随着点N的变化，探求△OMN的面积是否发生变化？如果△OMN的面积不变，求出△OMN的面积;如果面积发生变化，请说明理由；(3）当△AMN为等腰三角形时，请求出点N的坐标．19．（2012秋•亭湖区校级期中）已知：如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=90°,CD=8，BC=12，∠ACB=30°,E为BC边上一点，以BE为边作正△BEF，使正△BEF和梯形ABCD在BC的同侧．（l）当正△BEF的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2)将（1）问中的正△BEF沿BC向右平移，记平移中的正△BEF为正△B′E′F′，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为x，正△B′E′F′的边B′E′和E′F′分别与AC交于点M和点N，连接DM、DN:①设正△B′E′F′与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围，当DN取得最小值时,求出S的值；②是否存在这样的x,使三角形DMN是直角三角形？若存在,求出x的值；若不存在，请说明理由．20．（2012秋•江阴市校级期中）如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．例如:矩形ABCD中，点C与A、B两点可构成直角三角形ABC,则称点C为A、B两点的勾股点．同样，点D也是A、B两点的勾股点．（1）在矩形ABCD中，AB=12，BC=6，边CD上A，B两点的勾股点的个数为个；（2）如图1，矩形ABCD中,AB=12，BC=6，DP=4，DM=8，AN=5．过点P作直线l平行于BC，点H为M、N两点的勾股点，且点H在直线l上，求PH的长；（3）如图2,矩形ABCD中，AB=12,BC=6，将纸片折叠，折痕分别与CD、AB交于点F、G，若A、E两点的勾股点为BC边的中点M,求折痕FG的长．21．（2012春•沧浪区校级期中)已知,正方形DEFG内接于△ABC中，且点E，F在BC上，点D，G分别在AB,AC上，（1)如图①，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠A=90°，S△ADG=2,则S△ABC=．（2）如图②，若△ABC是直角三角形,∠A=90°，AB=4,AC=3，求正方形的边长．（3）如图③，若△ABC是任意三角形，S△ADG=1,S△BDE=3,S△FCG=1，则正方形的边长为．（4)如图④,若△ABC是任意三角形，求证：．22．(2012秋•哈尔滨月考)如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC边上的中垂线AM 交BC边于点M．△CDE 绕着点C旋转，点D落在直线AM上(点D不与点A、M重合）时停止，△CDE在CD边的下方,连接BE．(1）如图1所示，当点D在线段AM上,求证：BE+DM=BC；（2）在（1）的条件下,设直线BE交直线AM于点N，如图2所示，若，且△CDE的面积为，求线段BN的长．23．（2012秋•南岗区校级月考）如图1,BD为矩形ABCD的对角线,∠DBC的平分线BE交DC于点E，DK ⊥BE交BE的延长线于K．（1）若tan∠DBC=，求证:BE=DK．（2）如图2，在（1)的条件下，∠BED绕点E顺时针旋转至∠B′ED′，∠B′ED′的两边分别交BD、DK于点I、L，若已知：DL：LK=5：3，IL=5，求IB的长？24．（2012秋•靖江市校级月考）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合)，连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N，设BP=x．（如图1）（1）求证：AM=AN；（2）若BM=，求x的值;(3)连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2）,当x取何值时，∠BAD=15°？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由．25．（2011•北塘区二模）如图1，在△ACD中,AC=2DC,AD=DC．(1）求∠C的度数；（2）如图2，延长CA到E，使AE=CD，延长CD到B，使DB=CE，AB、ED交于点O．求证:∠BOD=45°；(3）如图3，点F、G分别是AC、BC上的动点，且S△CFG=S四边形AFGB，作FM∥BC,GN∥AC，分别交AB于点M、N，线段AM、MN、NB能否始终组成直角三角形？给出你的结论，并说明理由．26．（2011•邯郸一模）(1)如图1，四边形ACDG与四边形ECBH都是正方形，且B，C，D在一条直线上，连接DE并延长交线段AB于点F．求证：AB=DE,AB⊥DE；(2）如果将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数量关系与位置关系会发生什么变化？请说明你的看法和理由．(3）如果将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形,如图3，∠BCE=∠ACD=90°,且=k，且请直接写出AB与DE的数量关系与位置关系．27．(2011•哈尔滨)已知：在△ABC中，BC=2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD 交线段AB于点E．(1)如图1,当∠ACB=90°时，则线段DE、CE之间的数量关系为；（2）如图2，当∠ACB=120°时,求证：DE=3CE；（3）如图3,在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K,延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长．28．（2011•武汉模拟）在△ABC中，点D、E、F分别为边BC、AB、AC的中点，点G为线段DF上一点（点G不与D、F重合）,AG的延长线交BC于点K,交ED 的延长线于点H，连接BH．（1）如图1：若∠BAC=90°，写出图中所有与∠HBD相等的角，并选取一个给出证明．（2）如图2：若∠BAC≠90°，在(1)中与∠HBD相等的角中找出一个仍然与∠HBD 相等的角,并给出证明．29．（2011•黑龙江模拟）已知：如图，直角梯形ABCD中AD∥BC,∠A=90°，CD=CB=2AD．点Q是AB边中点，点P在CD边上运动，以点P为直角顶点作直角∠MPN，∠MPN的两边分别与AB边、CB边交于点M、N．（1）若点P与点D重合，点M在线段AQ上,如图(1）．求证：．（2）若点P是CD中点,点M在线段BQ上，如图（2)．线段MQ、CN、BC的数量关系是：,并证明你的猜想．30．(2011•南岗区校级三模）已知:梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD 于点E．DP⊥CB于点P，连接AP、AE．（1）如图1，若∠C=45°，求证：AP=AE．（2）如图2，若∠C=60°,直接写出线段AP、AE的数量关系．（3)在（1）的条件下，将线段EA绕点E顺时针旋转得到线段EA′，使∠DEA′=∠DEA，直线EA′分别与线段BA延长线、线段BC交于点N、点K，已知AD=1，EK=．求线段NE的长．。
中考专题练习一线三等角
一线三等角(2 )当x何值时，y有最大值，最大值是多少？理论：略范例点睛1. 正方形ABCD边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持/ APQ=90。
•当CQ=1时，写出线段BP的长3. (2007 •南京在梯形 ABCD 中，AD //BC,AB=DC=AD=6 ，/ABC=60。
，点 E、F 分别在线段AD、DC上(点E与点A、D不重合)，且/BEF=120。
，设AE=x , DF=y .(1 )求y与x的函数表达式；4. 女口图，Rt △ ABC 中,/ BAC=90 ° ,AB=AC=2 ，点D为BC边上动点(D不与B、C 重合)，/ ADE= 45 ° P E 交 AC 于点 E.(1)Z BAD与/ CD的大小关系为______ .请证明你的结论；(2)设 BD=x , AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)当厶A是等腰三角形时，求 AE的长；(4)是否存在x，使△DC的面积是厶ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由.一.基础技能1. ( 2015?连云港)如图，在△ ABC中，ZBAC=60 ° ,Z ABC=90 °，直线I2//I3,丨1 与12之间距离是1 , 12与13之间距离是2 , 且l1 , l2 , l3分别经过点 A, B , C,则边 AC= .2. 如图，已知I1//I2//I3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sina值是( )A. 1B. 6C._5D.J03 17 5 103. (2012 •苏州已知在平面直角坐标系中放置了 5个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上，点 C1、曰、E2、C2、E3、曰、C3在x轴上.若正方形 A1B1C1D1的边6.如图，将矩形纸片的两只直角分别沿EF、DF翻折，点B恰好落在AD边上的点B '处,点C恰好落在边 B'F上•若AE=3 , BE=5 ,___________________ __________________ I 则FC=长为 1，/B1C1O=60 ° , B1C1 //B2C2//B3C3, 则点A3到x轴的距离是（）4.如图，在边长为 9正三角形ABC中,BD=3，/ ADE=60。
北师大版数学九年级上学期《期末考试卷》含答案
北 师 大 版 数 学 九 年 级 上 学 期期 末 测 试 卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________满分150分 时间120分钟A 卷(共100分)一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1．(2020•新宾县四模)在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,tan A ＝1,sin B =√22,你认为△ABC 最确切的判断是()A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形2．(2020•成都模拟)如图所示的四棱柱的主视图为( )A ．B ．C ．D ．3．(2019•桓台县二模)已知a b =25,则a+b b 的值为( )A ．25B ．35C ．23D ．754．(2020•临沂模拟)已知x 1,x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根,则x 12+x 22的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．45．将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝(x ﹣h )2+k 的形式为( )A ．y ＝(x ﹣1)2+1B ．y ＝(x ﹣1)2+2C ．y ＝(x ﹣2)2﹣3D ．y ＝(x ﹣2)2﹣16．(2020•南山区校级二模)下列命题中,真命题的个数是( )①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．07．(2019秋•毕节市期末)已知AB ＝2,点P 是线段AB 上的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP 的长为( )A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√58．(2020•武昌区模拟)函数y =−a 2−1x(a 为常数)的图象上有三点(﹣4,y 1),(﹣1,y 2),(2,y 3),则函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 3＜y 19．如图,EF ∥AC ,GH ∥AB ,MN ∥BC ,EF 、GH 、MN 、交于点P ,则图中与△PGF 相似的三角形的个数是( )个．A ．4B ．5C ．6D ．710．(2020•立山区二模)如图,⊙O 的半径是2,直线l 与⊙O 相交于A 、B 两点,M 、N 是⊙O 上的两个动点,且在直线l 的异侧,若∠AMB ＝45°,则四边形MANB 面积的最大值是( )A．2√2B．4C．4√2D．8√2二．填空题(共3小题,满分12分,每小题4分)11．(2019秋•仪征市期末)已知四条线段a,2,6,a+1成比例,则a的值为．12．(2019秋•深圳期末)元旦到了,九(2)班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1560件,该班有个同学．13．(2020•无锡)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB＝2AD,AE＝3EC,连接BE,CD,相交于点O,则△ABO面积最大值为．三．解答题(共6小题,满分54分)14．(12分)(2018秋•新都区期末)计算(1)计算：(π﹣3)0+(﹣1)﹣3﹣3×tan30°+√27(2)解方程：x(x﹣3)＝2x15．(6分)(2019•花都区一模)已知：A＝(m+1)(m﹣1)﹣(m+2)(m﹣3)(1)化简A；(2)若关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根,求A的值．16．(8分)(2020•陕西一模)小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小,如图,当热气球升到某一位置时,小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°,已知点O为热气球中心,EA⊥AB,OB⊥AB,OB⊥OD,点C在OB上,AB＝30m,且点E、A、B、O、D在同一平面内,根据以上提供的信息,求热气球的直径约为多少米？(精确到0.1m)(参考数据：sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°＝1.192)17．(8分)(2019秋•仪征市期末)从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．(1)抽取一名同学,恰好是甲的概率为；(2)抽取两名同学,求甲在其中的概率．18．(10分)(2020•宿州模拟)如图,已知反比例函数y=kx的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A(1,4),点B(﹣4,n)．(1)求n和b的值；(2)求△OAB的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．19．(10分)(2020•烟台二模)如图,已知AB是圆O的直径,F是圆O上一点,∠BAF的平分线交⊙O于点E,交⊙O 的切线BC 于点C ,过点E 作ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝3,CE ＝2,①求BC AE 的值；②若点G 为AE 上一点,求OG +12EG 最小值．B 卷(共50分)四．填空题(共5小题,满分20分,每小题4分)20．(2019•宿豫区模拟)若2m ﹣n +1＝0,则代数式5﹣6m +3n 的值是 ．21．(2019•大邑县模拟)有五张正面分别写有数字﹣4,﹣3,0,2,3的卡片,五张卡片除了数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为n ,则抽取的n 既能使关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根,又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为 ．22．(2019秋•滦州市期中)计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)= ． 23．(2019•南充)在平面直角坐标系xOy 中,点A (3m ,2n )在直线y ＝﹣x +1上,点B (m ,n )在双曲线y =k x 上,则k 的取值范围为 ．24．(2020•青白江区模拟)如图,矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是AB 边上一点,且AE ＝2,点F 是边BC 上的任意一点,把△BEF 沿EF 翻折,点B 的对应点为G ,连接AG ,CG ,则四边形AGCD 的面积的最小值为 ．五．解答题(共3小题,满分30分)25．(8分)某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式,并写出x 的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能,请说明理由；若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润？26．(10分)(2020•衢州模拟)(1)模型探究：如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点,且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；(2)模型应用：△ABC 为等边三角形,其边长为8,E 为AB 边上一点,F 为射线AC 上一点,将△AEF 沿EF 翻折,使A 点落在射线CB 上的点D 处,且BD ＝2．①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF 的值；②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求△BDE 与△CFD 的周长之比．27．(12分)(2020•铁岭四模)如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0)．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D．(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ＝CP,连接PQ,设CP＝m,△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时,在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在,请说明理由．答案与解析A 卷(共100分)一．选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1．(3分)(2020•新宾县四模)在△ABC 中,∠A ,∠B 都是锐角,tan A ＝1,sin B =√22,你认为△ABC 最确切的判断是( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形 [解析]解：由题意,得∠A ＝45°,∠B ＝45°．∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝90°,故选：B ．2．(3分)(2020•成都模拟)如图所示的四棱柱的主视图为( )A ．B ．C ．D ．[解析]解：由图可得,几何体的主视图是：故选：B ． 3．(3分)(2019•桓台县二模)已知a b =25,则a+b b 的值为( ) A ．25B ．35C ．23D ．75 [解析]解：由a b =25,得a+b b =2+55=75．故选：D ．4．(3分)(2020•临沂模拟)已知x 1,x 2是方程x 2−√5x +1＝0的两根,则x 12+x 22的值为( )A ．3B ．5C ．7D ．4[解析]解：∵x 1,x 2是方程x 2−√5x +1=0的两根,∴x 1+x 2=√5,x 1•x 2＝1,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2﹣2x 1•x 2＝5﹣2＝3．故选：A ．5．(3分)将二次函数y ＝x 2﹣2x +3配方为y ＝(x ﹣h )2+k 的形式为( )A ．y ＝(x ﹣1)2+1B ．y ＝(x ﹣1)2+2C ．y ＝(x ﹣2)2﹣3D ．y ＝(x ﹣2)2﹣1[解析]解：y ＝x 2﹣2x +3＝x 2﹣2x +1+2＝(x ﹣1)2+2,故选：B ．6．(3分)(2020•南山区校级二模)下列命题中,真命题的个数是( )①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0[解析]解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,①是假命题；在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的,③是假命题；两直线平行,内错角相等,④是假命题；相等的角不一定是对顶角,⑤是假命题；垂线段最短,⑥是真命题,故选：C ．7．(3分)(2019秋•毕节市期末)已知AB ＝2,点P 是线段AB 上的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP 的长为( )A ．√5−12B ．√5−1C ．3−√52D ．3−√5[解析]解：由于P 为线段AB ＝2的黄金分割点,且AP ＞BP ,则AP =√5−12×2=√5−1．故选：B．8．(3分)(2020•武昌区模拟)函数y=−a2−1x(a为常数)的图象上有三点(﹣4,y1),(﹣1,y2),(2,y3),则函数值y1,y2,y3的大小关系是()A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1[解析]解：∵a2≥0,∴﹣a2≤0,﹣a2﹣1＜0,∴反比例函数y=−a2−1x的图象在二、四象限,∵点(2,y3)的横坐标为2＞0,∴此点在第四象限,y3＜0；∵(﹣4,y1),(﹣1,y2)的横坐标﹣4＜﹣1＜0,∴两点均在第二象限y1＞0,y2＞0,∵在第二象限内y随x的增大而增大,∴y2＞y1,∴y2＞y1＞y3．故选：A．9．(3分)如图,EF∥AC,GH∥AB,MN∥BC,EF、GH、MN、交于点P,则图中与△PGF相似的三角形的个数是()个．A．4B．5C．6D．7[解析]解：∵EF∥AC,GH∥AB,MN∥BC,∴△PGF∽△EBF,△PGF∽△HGC,△AMN∽△ABC,△EMP∽△ENF,△HPN∽△HGC,△EBF∽△ABC,故选：C．10．(3分)(2020•立山区二模)如图,⊙O的半径是2,直线l与⊙O相交于A、B两点,M、N是⊙O上的两个动点,且在直线l的异侧,若∠AMB＝45°,则四边形MANB面积的最大值是()A ．2√2B ．4C ．4√2D ．8√2[解析]解：过点O 作OC ⊥AB 于C ,交⊙O 于D 、E 两点,连结OA 、OB 、DA 、DB 、EA 、EB ,如图, ∵∠AMB ＝45°,∴∠AOB ＝2∠AMB ＝90°,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴AB =√2OA ＝2√2,∵S 四边形MANB ＝S △MAB +S △NAB ,∴当M 点到AB 的距离最大,△MAB 的面积最大；当N 点到AB 的距离最大时,△NAB 的面积最大,即M 点运动到D 点,N 点运动到E 点,此时四边形MANB 面积的最大值＝S 四边形DAEB ＝S △DAB +S △EAB =12AB •CD +12AB •CE =12AB (CD +CE )=12AB •DE =12×2√2×4＝4√2．故选：C ．二．填空题(共3小题,满分12分,每小题4分)11．(4分)(2019秋•仪征市期末)已知四条线段a ,2,6,a +1成比例,则a 的值为 3 ．[解析]解：∵四条线段a ,2,6,a +1成比例,∴a 2=6a+1,解得：a 1＝3,a 2＝﹣4(舍去),所以a ＝3,故答案为：312．(4分)(2019秋•深圳期末)元旦到了,九(2)班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物,结果全班交换小礼物共1560件,该班有 40 个同学．[解析]解：设该班有x 个同学,则每个同学需交换(x ﹣1)件小礼物,依题意,得：x (x ﹣1)＝1560, 解得：x 1＝40,x 2＝﹣39(不合题意,舍去)．故答案为：40．13．(4分)(2020•无锡)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,AB ＝4,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且DB ＝2AD ,AE ＝3EC ,连接BE ,CD ,相交于点O ,则△ABO 面积最大值为83．[解析]解：如图,过点D 作DF ∥AE ,则DF AE=BD BA =23,∵ECAE=13,∴DF ＝2EC ,∴DO ＝2OC ,∴DO =23DC ,∴S △ADO =23S △ADC ,S △BDO =23S △BDC ,∴S △ABO =23S △ABC ,∵∠ACB ＝90°,∴C 在以AB 为直径的圆上,设圆心为G ,当CG ⊥AB 时,△ABC 的面积最大为：12×4×2＝4,此时△ABO 的面积最大为：23×4=83．故答案为：83．三．解答题(共6小题,满分54分) 14．(12分)计算(1)计算：(π﹣3)0+(﹣1)﹣3﹣3×tan30°+√27(2)解方程：x (x ﹣3)＝2x[解析]解：(1)原式＝1﹣1﹣3×√33+3√3＝1﹣1−√3+3√3＝2√3； (2)x (x ﹣3)﹣2x ＝0,x (x ﹣3﹣2)＝0,x ＝0或x ﹣3﹣2＝0,所以x 1＝0,x 2＝5． 15．(6分)(2019•花都区一模)已知：A ＝(m +1)(m ﹣1)﹣(m +2)(m ﹣3) (1)化简A ；(2)若关于x的一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根,求A的值．[解析]解：(1)A＝(m+1)(m﹣1)﹣(m+2)(m﹣3)＝m2﹣1﹣(m2﹣m﹣6),＝m2﹣1﹣m2+m+6,＝m+5,(2)∵一元二次方程x2+(m+2)x+14m2＝0有两个相等的实数根,∴△＝0,即△＝(m+2)2﹣4×14m2=0,解得m＝﹣1．当m＝﹣1时,A＝m+5＝﹣1+5＝4．16．(8分)(2020•陕西一模)小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小,如图,当热气球升到某一位置时,小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°,已知点O为热气球中心,EA⊥AB,OB⊥AB,OB⊥OD,点C在OB上,AB＝30m,且点E、A、B、O、D在同一平面内,根据以上提供的信息,求热气球的直径约为多少米？(精确到0.1m)(参考数据：sin50°≈0.7660,cos50°≈0.6428,tan50°＝1.192)[解析]解：如图,过E点作EF⊥OB于F,过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中,CF＝EF•tan50°＝AB•tan50°＝35.76m,在Rt△DEG中,DG＝EG•tan60°=√3EG,设热气球的直径为x米,则35.76+12x=√3(30−12x),解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．17．(8分)(2019秋•仪征市期末)从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取同学参加学校的座谈会．(1)抽取一名同学,恰好是甲的概率为 14；(2)抽取两名同学,求甲在其中的概率．[解析]解：(1)随机抽取1名学生,可能出现的结果有4种,即甲、乙、丙、丁,并且它们出现的可能性相等．恰好抽取1名恰好是甲的结果有1种,所以抽取一名同学,恰好是甲的概率为14,故答案为：14．(2)随机抽取2名学生,可能出现的结果有6种,即甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,并且它们出现的可能性相等．恰好抽取2名甲在其中的结果有3种,即甲乙、甲丙、甲丁,故抽取两名同学,甲在其中的概率为36=12．18．(10分)(2020•宿州模拟)如图,已知反比例函数y =kx的图象与一次函数y ＝x +b 的图象交于点A (1,4),点B (﹣4,n )．(1)求n 和b 的值； (2)求△OAB 的面积；(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x 的取值范围．[解析]解：(1)把A 点(1,4)分别代入反比例函数y =kx ,一次函数y ＝x +b ,得k ＝1×4,1+b ＝4, 解得k ＝4,b ＝3,∵点B (﹣4,n )也在反比例函数y =4x 的图象上,∴n =4−4=−1；(2)如图,设直线y ＝x +3与y 轴的交点为C ,∵当x ＝0时,y ＝3,∴C (0,3),∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4＝7.5；(3)∵B (﹣4,﹣1),A (1,4),∴根据图象可知：当x ＞1或﹣4＜x ＜0时,一次函数值大于反比例函数值．19．(10分)(2020•烟台二模)如图,已知AB 是圆O 的直径,F 是圆O 上一点,∠BAF 的平分线交⊙O 于点E ,交⊙O 的切线BC 于点C ,过点E 作ED ⊥AF ,交AF 的延长线于点D ． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若DE ＝3,CE ＝2,①求BC AE的值；②若点G 为AE 上一点,求OG +12EG 最小值．[解析](1)证明：连接OE ∵OA ＝OE ∴∠OAE ＝∠OEA ∵AE 平分∠BAF ∴∠OAE ＝∠EAF ∴∠OEA ＝∠EAF ∴OE ∥AD ∵ED ⊥AF ∴∠D ＝90°∴∠OED ＝180°﹣∠D ＝90°∴OE ⊥DE ∴DE 是⊙O 的切线(2)解：①连接BE ∵AB 是⊙O 直径∴∠AEB ＝90°∴∠BEA ＝∠D ＝90°,∠BAE +∠ABE ＝90° ∵BC 是⊙O 的切线∴∠ABC ＝∠ABE +∠CBE ＝90°∴∠BAE ＝∠CBE ∵∠DAE ＝∠BAE ∴∠DAE ＝∠CBE ∴△ADE ∽△BEC ∴AE BC=DE CE∵DE ＝3,CE ＝2∴BC AE=23②过点E 作EH ⊥AB 于H ,过点G 作GP ∥AB 交EH 于P ,过点P 作PQ ∥OG 交AB 于Q∴EP ⊥PG ,四边形OGPQ 是平行四边形∴∠EPG ＝90°,PQ ＝OG ∵BC AE=23∴设BC ＝2x ,AE ＝3x ∴AC ＝AE +CE ＝3x +2∵∠BEC ＝∠ABC ＝90°,∠C ＝∠C ∴△BEC ∽△ABC∴BC AC=CE BC∴BC 2＝AC •CE 即(2x )2＝2(3x +2)解得：x 1＝2,x 2=−12(舍去)∴BC ＝4,AE ＝6,AC ＝8∴sin ∠BAC =BC AC =12,∴∠BAC ＝30°∴∠EGP ＝∠BAC ＝30°∴PE =12EG ∴OG +12EG ＝PQ +PE ∴当E 、P 、Q 在同一直线上(即H 、Q 重合)时,PQ +PE ＝EH 最短 ∵EH =12AE ＝3∴OG +12EG 的最小值为3B 卷(共50分)四．填空题(共5小题,满分20分,每小题4分)20．(4分)(2019•宿豫区模拟)若2m ﹣n +1＝0,则代数式5﹣6m +3n 的值是 8 ． [解析]解：∵2m ﹣n +1＝0,∴2m ﹣n ＝﹣1,则原式＝5﹣3(2m ﹣n )＝5+3＝8,故答案为：821．(4分)(2019•大邑县模拟)有五张正面分别写有数字﹣4,﹣3,0,2,3的卡片,五张卡片除了数字不同外其余全部相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中随机抽取一张,记卡片上的数字为n ,则抽取的n 既能使关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根,又能使以x 为自变量的反比例函数y =n 2−16x 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大的概率为15．[解析]解：∵关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根,∴当n ＝﹣3时,关于x 的方程(n +3)x 2+(n +1)x +12=0有实数根,当n ≠﹣3时,(n +1)2﹣4(n +3)×12=n 2﹣5≥0,∴n 2≥5, ∵反比例函数y =n 2−16x的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴n 2﹣16＜0,∴n 2＜16,∴5≤n 2≤16,∴n ＝3,∴概率为,15,故答案为：15．22．(4分)(2019秋•滦州市期中)计算：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=2019x(x+2019)．[解析]解：1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+⋯+1(x+2018)(x+2019)=1x−1x+1+1x+1−1x+2+1x−2−1x+3+⋯+1x+2018−1x+2019=1x−1x+2019=2019x(x+2019)故答案为：2019x(x+2019)．23．(4分)(2019•南充)在平面直角坐标系xOy 中,点A (3m ,2n )在直线y ＝﹣x +1上,点B (m ,n )在双曲线y =k x上,则k 的取值范围为 k ≤124且k ≠0 ．[解析]解：∵点A (3m ,2n )在直线y ＝﹣x +1上,∴2n ＝﹣3m +1,即n =−3m+12, ∴B (m ,−3m+12),∵点B 在双曲线y =kx 上,∴k ＝m •−3m+12=−32(m −16)2+124,∵−32＜0,∴k 有最大值为124,∴k 的取值范围为k ≤124,∵k ≠0,故答案为k ≤124且k ≠0．24．(4分)(2020•青白江区模拟)如图,矩形ABCD 中,AB ＝3,BC ＝4,点E 是AB 边上一点,且AE ＝2,点F 是边BC 上的任意一点,把△BEF 沿EF 翻折,点B 的对应点为G ,连接AG ,CG ,则四边形AGCD 的面积的最小值为152．[解析]解：∵四边形ABCD 是矩形,∴CD ＝AB ＝3,AD ＝BC ＝4,∠ABC ＝∠D ＝90°,根据勾股定理得,AC ＝5,∵AB ＝3,AE ＝2, ∴点F 在BC 上的任何位置时,点G 始终在AC 的下方,设点G到AC的距离为h,∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG=12AD×CD+12AC×h=12×4×3+12×5×h=52h+6,∴要四边形AGCD的面积最小,即：h最小,∵点G是以点E为圆心,BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,∴EG⊥AC时,h最小,即点E,点G,点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°,延长EG交AC于H,则EH⊥AC,在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAC=45,在Rt△AEH中,AE＝2,sin∠BAC=EHAE=45,∴EH=45AE=85,∴h＝EH﹣EG=85−1=35,∴S四边形AGCD最小=52h+6=52×35+6=152．故答案为：152．五．解答题(共3小题,满分30分)25．(8分)某市实施产业精准扶贫,帮助贫困户承包荒山种植某品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为6元/千克,到了收获季节投入市场销售时,调查市场行情后,发现该蜜柚不会亏本,且每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围；(2)当该品种蜜柚定价为多少时,每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某村农户今年共采摘蜜柚12000千克,若该品种蜜柚的保质期为50天,按照(2)的销售方式,能否在保质期内全部销售完这批蜜柚？若能,请说明理由；若不能,应定销售价为多少元时,既能销售完又能获得最大利润？[解析]解：(1)将点(15,200)、(10,300)代入一次函数表达式：y ＝kx +b 得：{200=15k +b300=10k +b ,解得：{k =−20b =500,即：函数的表达式为：y ＝﹣20x +500,(25＞x ≥6)；(2)设：该品种蜜柚定价为x 元时,每天销售获得的利润w 最大,则：w ＝y (x ﹣6)＝﹣20(x ﹣25)(x ﹣6),∵﹣20＜0,故w 有最大值,当x =−b 2a =312=15.5时,w 的最大值为1805元； (3)当x ＝15.5时,y ＝190,50×190＜12000,故：按照(2)的销售方式,不能在保质期内全部销售完； 设：应定销售价为x 元时,既能销售完又能获得最大利润w ,由题意得：50(500﹣20x )≥12000,解得：x ≤13,w ＝﹣20(x ﹣25)(x ﹣6),当x ＝13时,w ＝1680, 此时,既能销售完又能获得最大利润．26．(10分)(2020•衢州模拟)(1)模型探究：如图1,D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、AB 、AC 上的点,且∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ．△BDE 与△CFD 相似吗？请说明理由；(2)模型应用：△ABC 为等边三角形,其边长为8,E 为AB 边上一点,F 为射线AC 上一点,将△AEF 沿EF 翻折,使A 点落在射线CB 上的点D 处,且BD ＝2．①如图2,当点D 在线段BC 上时,求AE AF的值；②如图3,当点D 落在线段CB 的延长线上时,求△BDE 与△CFD 的周长之比．[解析]解：(1)△BDE ∽△CFD ,理由：∠B ＝∠C ＝∠EDF ＝a ,在△BDE 中,∠B +∠BDE +∠BED ＝180°,∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝180°﹣α,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝180°﹣α,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠B ＝∠C ,∴△BDE ∽△CFD ；(2)①设AE ＝x ,AF ＝y ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°,AB ＝BC ＝AC ＝8, 由折叠知,DE ＝AE ＝x ,DF ＝AF ＝y ,∠EDF ＝∠A ＝60°,在△BDE 中,∠B +∠BDE +∠BED ＝180°, ∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠B ＝120°,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠B ＝∠C ＝60°,∴△BDE ∽△CFD ,∴BD CF=BE CD =DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ,CF ＝AC ﹣AF ＝8﹣y ,CD ＝BC ﹣BD ＝6,∴28−y=8−x 6=xy,∴{2y =x(8−y)6x =y(8−x),∴xy =1014=57,∴AE AF =57； ②设AE ＝x ,AF ＝y ,∵△ABC 是等边三角形,∴∠A ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°,AB ＝BC ＝AC ＝8,由折叠知,DE ＝AE ＝x ,DF ＝AF ＝y ,∠EDF ＝∠A ＝60°,在△BDE 中,∠ABC +∠BDE +∠BED ＝180°,∴∠BDE +∠BED ＝180°﹣∠ABC ＝120°,∵∠BDE +∠EDF +∠CDF ＝180°,∴∠BDE +∠CDF ＝180°﹣∠EDF ＝120°,∴∠BED ＝∠CDF ,∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°,∴∠DBE ＝∠DCF ＝120°,∴△BDE ∽△CFD ,∴BD CF=BE CD=DE FD∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣x ,CF ＝AF ﹣AC ＝y ﹣8,CD ＝BC +BD ＝10,∴2y−8=8−x 10=x y ,∴{2y =x(y −8)10x =y(8−x),∴x y =13．∵△BDE ∽△CFD ,∴△BDE 与△CFD 的周长之比为DE DF=x y=13．27．(12分)(2020•铁岭四模)如图,在矩形OABC 中,点O 为原点,点A 的坐标为(0,8),点C 的坐标为(6,0)．抛物线y =−49x 2+bx +c 经过点A 、C ,与AB 交于点D ． (1)求抛物线的函数解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合),点Q 为线段AC 上一个动点,AQ ＝CP ,连接PQ ,设CP ＝m ,△CPQ 的面积为S ．①求S 关于m 的函数表达式；②当S 最大时,在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上,若存在点F ,使△DFQ 为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在,请说明理由．[解析]解：(1)将A 、C 两点坐标代入抛物线,得{c =8−49×36+6b +c =0,解得：{b =43c =8,∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8；(2)①∵OA ＝8,OC ＝6,∴AC =√OA 2+OC 2=10,过点Q 作QE ⊥BC 与E 点,则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35, ∴QE 10−m=35,∴QE =35(10﹣m ),∴S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m ； ②∵S =12•CP •QE =12m ×35(10﹣m )=−310m 2+3m =−310(m ﹣5)2+152, ∴当m ＝5时,S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ,使△FDQ 为直角三角形,∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32,D 的坐标为(3,8),Q (3,4),当∠FDQ ＝90°时,F 1(32,8),当∠FQD ＝90°时,则F 2(32,4),当∠DFQ ＝90°时,设F (32,n ),则FD 2+FQ 2＝DQ 2,即94+(8﹣n )2+94+(n ﹣4)2＝16,解得：n ＝6±√72,∴F 3(32,6+√72),F 4(32,6−√72),满足条件的点F 共有四个,坐标分别为F 1(32,8),F 2(32,4),F 3(32,6+√72),F 4(32,6−√72)．。
苏科版2022-2023学年第一学期初二数学期末测试卷(18)
苏科版2022-2023学年第一学期初二数学期末测试卷（18）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、凤凰光学、太极股份和华为集团等就是代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，已知△ABE≌△ACD，点D在AB上，点E在AC上，若AB＝9cm，AE＝4cm，则线段BD的长为（）A．9cm B．4cm C．4.5cm D．5cm3．面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（）A．3.5～3.6 B．3.6～3.7 C．3.7～3.8 D．3.8～3.94．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．126．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．下列各数3.14，，1.21221221，，2﹣π，﹣2021，中，无理数的个数有个．8．已知一次函数y＝x﹣5的函数值随自变量的增大而．9．若m的两个平方根为a﹣1和a﹣5，则代数式3m﹣2的值是．10．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝．12．直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组的解为．13．若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是．14．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．则此时EC的长度为．15．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为．16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是；（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是．三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）﹣+|﹣2|；（2）+﹣（﹣）3．18．解方程：（1）16x2﹣49＝0；（2）2﹣（x+1）3+16＝0．19．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．21．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．22．已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为；（2）△ABC的面积为；（3）在y轴上作点P，使得P A+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．25．双十一期间，某电器总公司新进了一批电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台，总公司计划将这两种电器调配给下属的甲、乙两个子公司销售，其中120台给甲公司，80台给乙公司，两个子公司销售这两种电器每台的利润（元）如表：电冰箱洗衣机甲公司500 270乙公司420 250设总公司调配给甲公司x台电冰箱，卖出这200台电器的总利润为y元．（1）求新进电冰箱和洗衣机各多少台？（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）年底为了促销，总公司决定仅对甲公司的电冰箱每台让利n元（n＞0）销售，其他利润不变，并且让利后甲公司每台电冰箱的利润仍高于450元，问总公司应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？26．【方法总结】以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．求证：ED＝DF．分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．根据上述解题经验，解决下列问题．【变式迁移】（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．【问题解决】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、凤凰光学、太极股份和华为集团等就是代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项A、B、C不均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．2．如图，已知△ABE≌△ACD，点D在AB上，点E在AC上，若AB＝9cm，AE＝4cm，则线段BD的长为（）A．9cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到答案．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE＝4cm，∵AB＝9cm，∴AB﹣AD＝5（cm），故选：D．3．面积为13的正方形的边长是a，则a的值在以下哪个范围内（）A．3.5～3.6 B．3.6～3.7 C．3.7～3.8 D．3.8～3.9【分析】根据题意可得：a2＝13，从而可得a＝，然后估算出的值的范围，即可解答．【解答】解：由题意得：a2＝13，∴a＝，∵9＜13＜16，∴3＜＜4，∵3.62＝12.96，3.72＝13.69，∴3.6＜＜3.7，∴a的值在3.6～3.7范围内，故选：B．4．如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（）A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）【分析】先过B作BC⊥AO于C，则根据等边三角形的性质，即可得到OC以及BC的长，进而得出点B 的坐标．【解答】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，则∵△AOB是等边三角形，∴OC＝AO＝1，∴Rt△BOC中，BC＝＝，∴B（1，），故选：D．5．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，则正方形C的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C∵正方形A、B、D的面积依次为6、10、24，∴24﹣S正方形C＝6+10，∴S正方形C＝8．故选：C．6．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，它们的图象如图所示．下列结论：①乙龙舟队先到达终点；②1.5min时，甲龙舟队处于领先位置；③当2＜x＜时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；④在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，其中正确结论的序号是（）A．①②B．①②③C．①②④D．①③④【分析】解决图象类问题，首先需要理解x轴，y轴所表示的含义，再根据图象解决问题即可．【解答】解：如图，甲、乙两支龙舟队的行进路程y1（m）、y2（m）都是行进时间x（min）的函数，①由图可知，甲队到达终点用时5min，乙队到达终点用时4.5min，故乙队比甲队先到达终点，故①符合题意；②由图可知，当时，甲队的图象在乙队上方，即甲队处于领先位置，故②符合题意；③由图可设y1＝k1x，已知y1＝k1x过点（5，1050），∴5k1＝1050，解得，k1＝210，∴y1＝210x（0≤x≤5）；当0≤x≤2时，y2＝k2x，过点（2，300），∴2k2＝300，解得k2＝150，∴y2＝150x；当2＜x≤4.5时，设y2＝kx+b，过点（2，300），（4.5，1050），∴，解得，∴y2＝300x﹣300；∴．则当时，甲队的速度为210m/min，乙队的速度为300m/min，即乙队的速度比甲队的速度快，故③不符合题意；④当0≤x≤2时，210x﹣150x＝105，解得x＝；当时，210x﹣（300x﹣300）＝105，解得；当时，300x﹣300﹣210x＝105，解得x＝4.5．综上，在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有3次相距105m，故④符合题意．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．下列各数3.14，，1.21221221，，2﹣π，﹣2021，中，无理数的个数有2个．【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【解答】解：，无理数有2﹣π，，共有2个．故答案为：2．8．已知一次函数y＝x﹣5的函数值随自变量的增大而增大．【分析】根据一次函数性质直接得到答案．【解答】解：∵y＝x﹣5中，k＝＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故答案为：增大．9．若m的两个平方根为a﹣1和a﹣5，则代数式3m﹣2的值是10．【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数得出a﹣1+a﹣5＝0，求出a即可．【解答】解：∵a﹣1和a﹣5是一个正数m的两个平方根，∴a﹣1+a﹣5＝0，a＝3，a﹣1＝2，∴m＝4，3m﹣2＝3×4﹣2＝10，故答案为：10．10．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是AD＝CF（或AC＝DF）（只需写一个，不添加辅助线）．【分析】利用“HL”判断直角三角形全等的方法解决问题．【解答】解：∵∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，∴当添加AD＝CF或AC＝DF时，根据“HL”可判定Rt△ABC≌Rt△DEF．故答案为：AD＝CF（或AC＝DF）．11．平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（m，3）．若将点A先向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到点B（1，n），则m+n＝3．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：∵点A（m，3）向下平移2个单位，向左平移1个单位后得到点B（1，n），∴m﹣1＝1，3﹣2＝n，∴m＝2，n＝1，∴m+n＝3，故答案为：3．12．直线y＝x+1与y＝mx+n相交于点P（1，a），则关于x，y的二元一次方程组的解为．【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解．【解答】解：根据函数图可知，函数y＝x+1与y＝mx+n的图象交于点P的坐标是（1，a），把x＝1，y＝a代入y＝x+1，可得：a＝1+1＝2，解得：a＝2，故关于x，y的二元一次方程组的解为，故答案为：．13．若等腰三角形两底角平分线相交所形成的钝角是128°，则这个等腰三角形的顶角的度数是76°．【分析】先根据角平分线的性质、三角形的内角和定理求出等腰三角形两底角的度数和．再根据等腰三角形的性质和三角形内角和求出顶角的度数．【解答】解：∵∠BOC＝128°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣128°＝52°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝104°，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣104°＝76°．.故答案为：76°．14．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．则此时EC的长度为3cm．【分析】由折叠可得AF＝AD＝10cm，在直角三角形ABF中，由勾股定理可求BF，再由折叠得到DE＝EF，将问题转化到直角三角形EFC中，设未知数，建立方程，求出结果．【解答】解：由折叠得：AF＝AD＝BC＝10cm，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，∴BF＝＝6（cm），∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4（cm），设EC＝x，则EF＝DE＝8﹣x，在在Rt△EFC中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴EC＝3cm，故答案为：3cm．15．如图所示，在△ABC中，DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，其垂足分别为D、M，分别交BC于E、N，且DE和MN交于点F．（1）若∠B＝20°，则∠BAE＝20°；（2）若∠EAN＝40°，则∠F＝70°；（3）若AB＝8，AC＝9，设△AEN周长为m，则m的取值范围为＜m＜17．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质解答即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，AN＝CN，根据三角形内角和定理计算即可；（3）根据三角形的周长公式得到△AEN的周长＝BC，根据三角形的三边关系、勾股定理计算，得到答案．【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝20°；（2））∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠EAN＝40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C＝180°，∴∠BAE+∠CAN＝70°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝110°，∵∠ADF＝∠AMF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠ADF﹣∠AMF﹣∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°；（3）∵DE、MN是边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AN＝CN，∴△AEN的周长＝AE+EN+AN＝BE+EN+CN＝BC，当∠BAC＝90°时，BC＝＝，在△ABC中，AB＝8，AC＝9，∴＜BC＜9+8，∴＜m＜17．故答案为：（1）20°；（2）70°；（3）＜m＜17．16．已知一次函数y1＝kx﹣2k（k是常数）和y2＝﹣x+1．（1）无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过同一个点，则这个点的坐标是（2，0）；（2）若无论x取何值，y1＞y2，则k的值是﹣1．【分析】（1）解析式变形为y1＝k（x﹣2），即可得到无论k取何值，y1＝kx﹣2k（k是常数）的图象都经过点（2，0）；（2）由题意可知，y1的图象始终在y2上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．【解答】解：（1）∵y1＝kx﹣2k＝k（x﹣2），∴当x＝2时，y1＝0，∴这个点的坐标是（2，0），故答案为（2，0）；（2）∵无论x取何值，y1＞y2，∴y1的图象始终在y2上方，∴两个函数的图象即两条直线平行，∴k＝﹣1，故答案为﹣1．三、解答题（本大题共10小题，共68分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：（1）﹣+|﹣2|；（2）+﹣（﹣）3．【分析】（1）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用算术平方根的定义以及立方根的定义、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝7﹣1+2﹣＝8﹣；（2）原式＝﹣3++＝﹣2．18．解方程：（1）16x2﹣49＝0；（2）2﹣（x+1）3+16＝0．【分析】（1）通过移项、系数化为1、开平方进行求解；（2）通过移项、开立方进行求解．【解答】解：（1）移项，得16x2＝49；系数化为1，得x2＝，开平方，得x＝；（2）移项，得﹣（x+1）3＝﹣2﹣16，合并同类项，得﹣（x+1）3＝﹣18，系数化为1，得（x+1）3＝18，开立方，得x+1＝，解得x＝﹣1．19．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．【分析】（1）利用已知得出∠1＝∠EAC，进而借助SAS得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠ABD＝∠2＝30°，再利用三角形的外角得出得出即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠2＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°．20．已知一次函数的图象经过点（﹣1，2）和点（3，﹣2）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，且x1≤x2，请比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据一次函数y＝﹣x+1的性质即可判断．【解答】解：（1）根据题意，设一次函数解析式为：y＝kx+b，将（﹣1，2）和（3，﹣2）代入得：，解得：，∴一次函数解析式为：y＝﹣x+1；（2）∵k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，当x1≤x2时，y1≥y2．21．用一张面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一个长宽之比为3：2的长方形纸片（裁剪方式见示意图），该长方形纸片的面积可能是300cm2吗？请通过计算说明．【分析】设出长方形的长和宽，根据长方形的面积列不等式组确定x的取值范围，再确定长方形面积的取值范围即可得出答案．【解答】解：不可能，理由如下：因为正方形的面积400cm2，所以正方形的边长为20cm，设长方形的长为3xcm，宽为2xcm，根据题意得，，解得x≤，所以S长方形＝3x•2x＝6x2≤6×（）2＝＜300，即：长方形纸片的面积不可能是300cm2．22．已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且△ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据等腰三角形的性质分三种情况画出图形即可．【解答】解：如图，点P1，P2，P3即为所求．23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（2，4），B（1，1），C（3，2）三点在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为（2，﹣4）；（2）△ABC的面积为；（3）在y轴上作点P，使得P A+PB最小，请求出点P的坐标，并说明理由．【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可；（3）作点B关于y轴的对称点B2，连接AB2，与y轴的交点即为所求，利用待定系数法求出AB2所在直线解析式，然后求出x＝0时y的值即可得出点P的坐标，根据轴对称的性质和两点之间线段最短即可说明理由．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）；（2）△ABC的面积为2×3﹣×1×2×2﹣×1×3＝，故答案为：；（3）如图所示，点P即为所求，点B关于y轴的对称点B2坐标为（﹣1，1），设AB2所在直线解析式为y＝kx+b，则，解得，∴AB2所在直线解析式为y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴点P坐标为（0，2），根据轴对称的性质知PB＝PB2，由两点之间线段最短知P A+PB2最小，∴PB+P A最小．24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点．已知A、B、C都是格点．（1）小明发现∠ABC是直角，请补全他的思路；（2）请用一种不同于小明的方法说明∠ABC是直角．【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】解：（1）∵AB＝，BC＝，AC＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°；（2）过A点作AD⊥BE于D，过C作CE⊥DB于E，由图可知：AD＝BE，BD＝CE，∠ADB＝∠BEC＝90°，在△ADB和△BEC中，，∴△ADB≌△BEC（SAS），∴∠ABD＝∠BCE，在△BEC中，∠BEC+∠BCE+∠EBC＝180°，∴∠BCE+∠EBC＝180°﹣∠BEC＝90°，∴∠ABD+∠EBC＝90°，∵D，B，E三点共线，∴∠ABD+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣（∠ABD+∠EBC）＝90°．25．双十一期间，某电器总公司新进了一批电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台，总公司计划将这两种电器调配给下属的甲、乙两个子公司销售，其中120台给甲公司，80台给乙公司，两个子公司销售这两种电器每台的利润（元）如表：电冰箱洗衣机甲公司500 270乙公司420 250设总公司调配给甲公司x台电冰箱，卖出这200台电器的总利润为y元．（1）求新进电冰箱和洗衣机各多少台？（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）年底为了促销，总公司决定仅对甲公司的电冰箱每台让利n元（n＞0）销售，其他利润不变，并且让利后甲公司每台电冰箱的利润仍高于450元，问总公司应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【分析】（1）设新进电冰箱a台，洗衣机（2a﹣10）台，根据电冰箱和洗衣机共200台，洗衣机是电冰箱数量的2倍少10台列出方程，解方程即可；（2）设总公司调配给甲公司x台电冰箱，则配给乙公司电冰箱（70﹣x）台，配给甲公司洗衣机（120﹣x）台，配给乙公司洗衣机（10+x）台，根据题意列出函数解析式，并列出不等式组求自变量的取值范围；（3）甲公司的电冰箱每台让利n元后用与（2）相同的方法列出函数解析式，然后根据函数的性质，求最值即可．【解答】解：（1）设新进电冰箱a台，洗衣机（2a﹣10）台，根据题意得：a+2a﹣10＝200，解得：a＝70，此时2a﹣10＝130，答：新进电冰箱70台，洗衣机130台；（2）设总公司调配给甲公司x台电冰箱，则配给乙公司电冰箱（70﹣x）台，配给甲公司洗衣机（120﹣x）台，配给乙公司洗衣机（10+x）台，由题意知，y＝500x+420（70﹣x）+270（120﹣x）+250（10+x）＝60x+63400，∵，解得0≤x≤70，∴y关于x的函数关系式为y＝60x+63400（0≤x≤70）；（3）由题意得：y＝（500﹣n）x+420（70﹣x）+270（120﹣x）+250（10+x）＝（60﹣n）x+63400，∵500﹣n＞450，∴n＜50，∴60﹣n＞0，∴y随x的增大而增大，∴x＝70时，y有最大值，∴总公司配给甲公司电冰箱70台，洗衣机50台，配给乙公司80台洗衣机，总利润达到最大．26．【方法总结】以下是某同学对一道《学习与评价》习题的分析与反思．题目：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，点E、F分别在边AB、AC上，∠AED＝∠CFD．求证：ED＝DF．分析：作DG⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G、H．根据角平分线的性质，得DG＝DH．再证明△EGD≌△FHD，得DE＝DF．反思：遇到和角平分线有关的题目，可以尝试向角的两边作垂线段来寻求解题思路．根据上述解题经验，解决下列问题．【变式迁移】（1）如图1，四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°求证：AC平分∠DAB．【问题解决】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△CBD沿CD翻折后得到△CED，连接AE．若AC＝4，BC＝3，直接写出AE的长．【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，由“AAS”可证△CDF≌△CBE，可得CE＝CF，由角平分线的性质可得结论；（2）由勾股定理可求AB的长，由面积法可求CH的长，由“AAS”可证△ACG≌△ACH，可得AG＝AH ＝，CG＝CH，由“HL”可证Rt△CEG≌Rt△CBH，可得EG＝BH＝，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F，∵∠B+∠ADC＝180°，∠FDC+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠FDC，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠CEB＝∠CFD＝90°，在△CDF和△CBE中，，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴CE＝CF，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴AC平分∠DAB；（2）如图2，过点C作CH⊥AB于H，过点C作CG⊥AE，交AE的延长线于G，连接BE，∵AC＝4，CB＝3，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CH，∴3×4＝5CH，∴CH＝，∴AH＝＝＝，∴BH＝，∵将△CBD沿CD翻折后得到△CED，∴EC＝BC，∠B＝∠DEC，BE⊥CD，∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴BD＝AD＝CD＝DE，∴∠AEB＝90°，∠DAC＝∠DCA，∴AE∥CD，∴∠GAC＝∠ACD＝∠DAC，又∵∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，∴△ACG≌△ACH（AAS），∴AG＝AH＝，CG＝CH，又∵CE＝CB，∴Rt△CEG≌Rt△CBH（HL），∴EG＝BH＝，∴AE＝AG﹣EG＝．。
22.3+实际问题与二次函数(1)——面积最值问题+课件+2023—2024学年人教版数学九年级上册
重难导学
1．如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边
形EFGH也是正方形，已知AB＝4，求正方形EFGH的最小面积．
解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝GH.
∵∠AHE＋∠DHG＝∠DGH＋∠DHG，
∴∠AHE＝∠DGH.
∠ = ∠，
∠ = ∠，
在△AHE和△DGH中，
解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为
(47－2x＋1)m. 依题意，得y＝x(47－2x＋1)，
即y＝－2(x－12)2＋288.
∵47 − 2 + 1 ≤ 20，
∴ ≥ 14.
∵−2 < 0，对称轴为直线= 12，
∴当 = 14时，y有最大值. ∴鸡场的最大面积为14×20=280（2 ）.
最小面积是8.
重难导学
2．(数形结合)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC
＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q
从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从
A，B两点同时出发．
(1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式；
∴ 当 ≥ 10时，随的增大而减少.
∴当 = 10时，y最大，最大值为80.
答：当 = 10时，所围苗圃的面积最大，最大面积为802
课堂导学
课堂总结：
实际问题求最值的步骤
(1)列出函数关系式(要化为一般式)；(2)求自变量的取值范围；
(3)求出对称轴或配方为顶点式；(4)看范围确定最值．
围是0＜x＜18.
课堂导学
【变式2】如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙
【最新试题库含答案】浙教版九年级上册数学书答案
浙教版九年级上册数学书答案：篇一：九年级上册数学作业本答案篇二：浙教版九年级数学上册期末试卷及答案九年级数学（上）期末模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在题后括号内） 1．如果□+2=0，那么“□”内应填的实数是（）A．－2 B．－12C．12D． 22．在Rt⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况（）A．都扩大2倍B．都缩小2倍 C．都不变D．正弦值扩大2倍, 余弦值缩小2倍 3．路程s与时间t的大致图象如下左图所示，则速度v与时间t的大致图象为（）A． B．C． D．4．小明与两位同学进行乒乓球比赛，用“手心、手背”游戏确定出场顺序. 设每人每次出手心、手背的可能性相同. 若有一人与另外两人不同，则此人最后出场.三人同时出手一次, 小明最后出场比赛的概率为（） A．12B．5．如图, 在?ABCD中, AB=10, AD=6, E是AD的中点, 在AB?上取一点F,? 使F11 C．34D．15AED△CBF∽△CDE, 则BF的长是()A.5B.8.2C.6.4D.1.86. 从1到9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率为()12A．B．992C．3D．5 97．如图，小正方形的边长均为l，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是（）A B C D8．如图，己知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是( )①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1:2；④△ABC与△DEF的面积比为4:1．A．1B．2C．3D．49．已知二次函数y?ax?bx?c的图象过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y?ax?bx?c 的图象上，则下列结论正确的是( )A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y22210．在一次1500米比赛中，有如下的判断: 甲说: 丙第一 , 我第三; 乙说: 我第一, 丁第四; 丙说: 丁第二,我第三．结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（）A．甲 B．乙C．丙D．丁二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在横线上） 11．己知平顶屋面 (截面为等腰三角形) 的宽度l和坡顶的设计倾角?（如图），则设计高度h为_________．（第11题图）（第14题图）（第15题图）12．有一个直角梯形零件ABCD，AB∥CD，斜腰AD的长为10cm，?D?120?，则该零件另一腰BC的长是__________cm．（结果不取近似值）13．在一张复印出来的纸上，一个等腰三角形的底边长由原图中的3 cm变成了6 cm，则腰长由原图中的2 cm变成了cm． 14．二次函数y?ax2?bx?c和一次函数y?mx?n的图象如图所示，则ax2?bx?c?mx?n 时，x的取值范围是____________．15．如图，四边形ABCD是长方形，以BC为直径的半圆与AD边只有一个交点，且AB＝x，则阴影部分的面积为___________．16．有一个Rt△ABC，∠A=90?，∠B=60?，AB=1，将它放在平面直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数C的坐标为_________．三、解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本题满分8分）在圣诞节，小明自己动手用纸板制作圆锥形的圣诞老人帽．圆锥帽底面直径为18 cm，母线长为36 cm，请你计算制作一个这样的圆锥帽需用纸板的面积(精确到个位)．18．（本题满分8分）九（1）班将竞选出正、副班长各1名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．19．（本题满分8分）课堂上，师生一起探究知，可以用己知半径的球去测量圆柱形管子的内径．小明回家后把半径为5 cm的小皮球置于保温杯口上，经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算出保温杯的内径．20．（本题满分8分）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度?（单位：kg/m3）是体积v（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示．（1）求?与v之间的函数关系式并写出自变量v的取值范围；（2）求当v?10m3时气体的密度?．21．（本题满分10分）如图，在菱形ABCD中，点E在CD上，连结AE并延长与BC的延长线交于点F．（1）写出图中所有的相似三角形（不需证明）；（2）若菱形ABCD的边长为6，DE：AB=3：5，试求CF的长．22．（本题满分12分）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连结AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥BP于F．（1）若AB=12，当点P在⊙O上运动时，线段EF的长会不会改变．若会改变，请说明理由；若不会改变，请求出EF的长；（2）若AP=BP，求证四边形OEPF是正方形．AFABP23．（本题满分12分）课堂上，周老师出示了以下问题，小明、小聪分别在黑板上进行了板演，请你也解答这个问题：在一张长方形ABCD纸片中，AD＝25cm, AB ＝20cm. 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长.(1) 如图1, 折痕为AE;(2) 如图2, P，Q分别为AB，CD的中点，折痕为AE; (3) 如图3, 折痕为EF．24．（本题满分14分）如图，△ABC中，AC＝BC，∠A＝30°,AB＝现将一块三角板中30°角的顶点D放在AB边上移动，使这个 30°角的两边分别与△ABC的边AC，BC相交于点E, F，连结DE，DF，EF，且使DE始终与AB垂直．设AD?x，△DEF的面积为y．（1）画出符合条件的图形，写出与△ADE一定相似的三角形（不包括此三角板），并说明理由；（2）问EF与AB可能平行吗？若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由；（3）求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．当x为何值时，y有最大值？最大值是为多少？.AB篇三：最新浙教版九年级数学上册单元测试题全套及答案最新浙教版九年级数学上册单元测试题全套及答案第1章二次函数检测题班级姓名学号一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1，则a、b的大小关系为（） A.a bB.a bC.a=bD.不能确定 2．二次函数y=x2-8x+c的最小值是0，那么c的值等于（） (A)4(B)8 (C)-4 (D)163.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（） A.y=(x+2)2+2 B.y=(x-2)2-2 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x+2)2-24.一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象可能是（）5.已知抛物线的顶点坐标是，则和的值分别是（）A.2，4B.C.2，D.，06．若二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为（）（A）a+c （B）a-c （C）-c （D）c 7.对于任意实数，抛物线A.（1， 0） B.（， 0） C.（总经过一个固定的点，这个点是（）， 3） D. （1， 3）8．如图2，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为，AE为，则关于的函数图象大致是（）图2（A）（B）（C）（D）9.已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（） A.有最大值，最大值为B.有最大值，最大值为x=-.下列结论中，C.有最小值，最小值为D.有最小值，最小值为10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线正确的是（） A.abc 0C.2b+c 0B.a+b=0 D.4a+c 2b二、填空题（每小题3分，共30分）11.已知点A（x1,y1）、B（x2,y2）在二次函数y=(x-1)2+1的图象上，若x1 x2 1，则y1y2（填“”“=”或“”）. 12.如果二次函数1的图象顶点的横坐标为1，则的值为. 613．请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式．14.对于二次函数，已知当由1增加到2时，函数值减少3，则常数的值是.15.某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后需滑行s才能停下来. 16.设积是.17．若函数y=a(x-h)2+k的图象经过原点，最小值为8，且形状与抛物线y=-2x2-2x+3相同，则此函数关系式______．18．抛物线y=(m-4)x2-2mx-m-6的顶点在x轴上，则m=______．19．已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标是(5，0)，(-2，0)，则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解是_______．20.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴为直线; 乙：与轴两个交点的横坐标都是整数;丙：与轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式__________________．三点依次分别是抛物线与轴的交点以及与轴的两个交点，则△的面三、解答题（共60分）21.（8分）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．22.（8分）炮弹的运行轨道若不计空气阻力是一条抛物线．现测得我军炮位A与射击目标B的水平距离为600 m，炮弹运行的最大高度为1 200 m. （1）求此抛物线的解析式．（2）若在A、B之间距离A点500 m处有一高350 m的障碍物，计算炮弹能否越过障碍物.23.（8分）某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．24.（8分）已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等.（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3,m），求m和k的值.25．（8分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). (2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?26.（10分）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式;（2）已知该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少?第1章二次函数检测题参考答案一、选择题1. A解析:∵二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,∴a 0且x=-1时，-b=1.∴a 0,b=-1.∴a b.2.C解析:由函数图象可知，所以.3.B 解析:根据平移规律“左加右减”“上加下减”，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位得y=(x-2)2-4，再向上平移2个单位得y=(x-2)2-4+2=(x-2)2-2.4.C 解析:当时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、四象限，此时C，D符合.又由二，即，只有C符合.同理可讨论当），所以时的情况. ，解得次函数图象的对称轴在轴左侧，所以5.B 解析:抛物线.的顶点坐标是（6.D 解析:由于函数图象开口向下，所以在对称轴左侧随的增大而增大，由对称轴为直线的取值范围是7.D 解析:当. 时，，故抛物线经过固定点（1，3）.，所以.，知8.D 解析:画出抛物线简图可以看出9. B解析:∵点M的坐标为（a,b）,∴点N的坐标为（-a,b）. ∵点M在双曲线y=上，∴ab=.∵点N（-a,b）在直线y=x+3上,∴ -a+3=b.∴a+b=3. ∴二次函数y=-abx2+（a+b）x=-x2+3x=-（x-3）2+.∴二次函数y=-abx2+(a+b)x有最大值,最大值是.10. D解析:由图象知a＞0,c＜0,又对称轴x=-=-＜0,∴b＞0,∴abc ＜0.又-＝-，∴a＝b，a+b≠0.∵a=b,∴y=ax2+bx+c=bx2+bx+c.由图象知,当x＝1时，y＝2b+c＜0，故选项A,B,C均错误.∵ 2b+c＜0，∴ 4a-2b+c ＜0.∴ 4a+c＜2b,D选项正确.二、填空题11.＞解析:∵a＝1＞0，对称轴为直线x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大.故由x1＞x2＞1可得y1＞y2. 12.13.解析:因为当时，，当时，，所以.14.(5,-2)15. 600解析:y=60x-1.5x2=-1.5（x-20）2+600,当x=20时,y最大值=600，则该型号飞机着陆时需滑行600 m才能停下来. 16.解析:令，令，所，得以△的面，所以积是。
第24章 专题06 相似三角形的性质重难点专练(学生版)
专题06 相似三角形的性质重难点专练第I 卷（选择题）一、单选题1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB ．CD ．第II 卷（非选择题）二、解答题2．（2021·上海中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；①若BE CD ⊥，求AD BC的值； （2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．3．（2021·上海金山区·九年级二模）已知在①ABC 中，AB ＝AC＝①BAC ＝120°，①ADE 的顶点D 在边BC 上，AE 交BC 于点F （点F 在点D 的右侧），①DAE ＝30°．（1）求证：①ABF ①①DCA ；（2）若AD ＝ED ．①联结EC ，当点F 是BC 的黄金分割点（FC ＞BF ）时，求ABF FEC S S．①联结BE ，当DF ＝1时，求BE 的长．4．（2021·上海崇明区·九年级二模）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ①BC ，AB ＝DC ，点E 在下底BC 上，①AED ＝①B ．（1）求证：CE •AD ＝DE 2； （2）求证：22CE ABADAE =．5．（2021·上海静安区·九年级二模）如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ①AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．6．（2021·上海松江区·九年级二模）如图，已知在①ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分①ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG ①DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADE ABCS S ∆∆的值．7．（2021·上海九年级专题练习）（1）问题发现如图1，①ABC与①ADE都是等腰直角三角形，且①BAC＝①DAE＝90°，直线BD，CE交于点F，直线BD，AC交于点G．则线段BD和CE的数量关系是，位置关系是；（2）类比探究如图2，在①ABC和①ADE中，①ABC＝①ADE＝α，①ACB＝①AED＝β，直线BD，CE交于点F，AC与BD相交于点G．若AB＝kAC，试判断线段BD和CE的数量关系以及直线BD 和CE相交所成的较小角的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3.0），点N为y轴上一动点，连接MN．将线段MN绕点M逆时针旋转90得到线段MP，连接NP，OP．请直接写出线段OP长度的最小值及此时点N的坐标．8．（2021·上海九年级专题练习）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．求证：FG AE =；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，23BC AB =将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形EFGP ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，若34BE BF =，GF =，求CP 的长． 9．（2021·上海九年级专题练习）如图，P 是正方形ABCD 边BC 上一个动点，线段AE 与AD 关于直线AP 对称，连接EB 并延长交直线AP 于点F ，连接CF ．（1）如图（1），①BAP ＝20°，直接写出①AFE 的大小；（2）如图（2），求证：BE CF ；（3）如图（3），连接CE ，G 是CE 的中点，AB ＝1，若点P 从点B 运动到点C ，直接写出点G 的运动路径长．10．（2021·上海宝山区·九年级期中）如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线交边BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 在AE 上，联结,GD GDF F ∠=∠（1）求证：2AD DG AF =⋅；（2）连结BG ，如果BG AE ⊥，且6,9AB AD ==，求AF 的长．11．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且MAN ABD ∠=∠． （1）求证：2AB BF DE =⋅；（2）若BE DN DE DC=，求证：//EF MN ．12．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线//AM BC ，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），连接BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠． （1）当1AD =时，求FB 的长（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．13．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，点E 在边AB 上（点E 与端点A 、B 不重合），联结DE ，过点D 作DF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，连接EF ，与对角线AC 、边CD 分别交于点G 、H ．设AE x =，DH y =．（1）求证：ADE CDF ∽△△，并求EFD ∠的正切值；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）连接BG ，当BGE △与DEH △相似时，求x 的值．14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD 中，BC ＝4，AC 、BD 相交于点O ，过点A 作射线AM ①AC ，点E 是射线AM 上一点，联结OE 交AB 边于点F ．以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，联结DH ．（1）求证：①HDO ①①EAO ；（2）设BF ＝x ，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）联结AG ，当①AEG 是等腰三角形时，求BF 的长．15．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD CE =，联结DE 并延长至点F ，使EF AE =，联结AF ，CF ，联结BE 并延长交CF 于点G ．（1）求证：BC DF =；（2）若2BD DC =，求证：2GF EG =；16．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，点D 为边BC 上一动点（与点B 、C 不重合），点E 为边AB 上一点，EDB ADC ∠=∠，过点E 作EF AD ⊥，垂足为点G ，交射线AC 于点F ．（1）如果点D 为边BC 的中点，求DAB ∠的正切值；（2）当点F 在边AC 上时，设CD x =，CF y =，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结DF 如果CDF 与AGE 相似，求线段CD 的长．17．（2020·上海市位育初级中学九年级期中）如图，在边长为10的正方形ABCD 中，内接有六个大小相同的正方形，点P ，Q ，M ，N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，则每个小正方形的面积为_____．18．（2021·上海）如图1，在Rt ABC 中，90,,C AC BC D ︒∠==是AB 边上一点，E 是在AC 边上的一个动点（与点A C 、不重合），,DF DE DF ⊥与射线BC 相交于点F ． （1）如图2，如果点D 是边AB 的中点，求证：DE DF =；（2）如果:AD DB k =，求:DE DF 的值；（3）如果6,:1:2AC BC AD DB ===，设,AE x BF y ==，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；19．（2021·上海）如图，在Rt①ABC 中，①C=90°，AC=BC=6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且①FDE=90°．（1）当DF//AB 时（图1），联结EF ，求DE ：DF 值；（2）当点F 在线段BC 上时（图2），设AE=x ，BF=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结CE ，若①CDE 为等腰三角形，求BF 的长．20．（2021·上海）如图．已知在ABC ∆中.90,5,3ACB AB BC ︒∠===，点D 是边AB 上任意一点．连接DC ，过点C 作CE CD ⊥，垂足为点C ，连接DE ，使得EDC A ∠=∠，连接BE（1）求证：.AC BE BC AD ⋅=⋅（2）设AD x =，四边形BDCE 的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式及x 的取值范围 （3）当14BDE ABC S S ∆∆=，求CD 的值． 21．（2020·上海上外附中九年级月考）已知直角三角形斜边上的高为12，且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是__________22．（2021·上海九年级专题练习）如图，直角梯形OABC 的直角顶点O 是坐标原点，边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA//BC ，D 是BC 上一点，BD=0．25OA=根号2，AB=3，①OAB=45°，E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持①DEF=45°（1）直接写出D 点的坐标；（2）设OE x =，AF y =，试确定y 与x 之间的函数关系；（3）当AEF ∆是等腰三角形时，将AEF ∆沿EF 折叠，得到A EF '∆，求A EF '∆与五边形OEFBC 重叠部分的面积23．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）在平面直角坐标系中，四边形AOBC 的顶点O 是坐标原点，点B 在x 轴的负半轴上，且CB x ⊥轴，点A 的坐标为()0,6，在OB 边上有一点P ，满足AP =（l ）求P 点的坐标；（2）如果AOP 与APC △相似，且90PAC ∠=︒，求点C 的坐标．24．（2020·上海浦东新区·九年级月考）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，DC BC ⊥，且45B ∠=，1AD DC ==．点M 为边BC 上一动点，连接AM 并延长交射线DC 于点F ，作45FAE ∠=交射线BC 于点E 、交边DC 于点N ，联结EF ．（1）当:1:4CM CB =时，求CF 的长；（2）连接AC ，求证：2AC CE CF =⋅（3）设CM x =，CE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域．25．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC 中，①B ＝90°，AB ＝2，BC ＝1，点D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，连接DE ．将①EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）①当α＝0°时，AE BD = ； ①当α＝180°时，AE BD= ； （2）试判断：当0°≤α＜360°时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明． （3）当①EDC 旋转至A 、B 、E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．26．（2020·上海市青浦区第一中学）在四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD 平行于BC ，3AB =，2AD =，点P 在线段AB 上，联结PD ，过点D 作PD DC ⊥，与BC 交于点C ，设AP 的长为x ．（1）当AP AD =时，求线段PC 的长；（2）设PDC ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当APD ∆与DPC ∆相似时，求线段BC 的长．27．（2021·上海九年级专题练习）如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，①DAB =90°，AB =8，CD =5，BC（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求①DBC 的正切值．28．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，点E 为□ABCD 对角线AC 上的一点，点F 在线段BE 的延长线上，且EF=BE ，线段EF 与边CD 相交于点G ．（1）求证：DF //AC ；（2）如果AB=BE ，DG=CG ，联结DE 、CF ，求证：四边形DECF 是矩形．三、填空题29．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt ①ABC 中，AC ＝BC ＝3，D 为AB 中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝2CE ，连接AE ，过点C 作CF ①AE ，垂足为F ，连接DF ，则DF 的长为_____．30．（2021·上海九年级专题练习）如图，等边①ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，12AD =，线段PQ 在边BA 上运动，12PQ =， （1）若①ADQ ①①BPC ，则AQ ＝_____；（2）四边形PCDQ 面积的最大值为_____．31．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC ∆中，AB BC =，AD BC ⊥于点D ，CE AB ⊥于点E ，点F 在DA 有延长线上，连接BF 交CE 延长线于点M ，tan 2DCA ∠=，:25:38BM MF =，若5EM =，则AF 的长为_____________．32．（2021·上海金山区·九年级一模）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若2CE BE =，ABC ∆的面积等于15，那么FEC ∆的面积等于______．33．（2021·上海九年级一模）如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，直线DF 交边AC 于点F ，交AB 的延长线于点E ，如果CF①CA=a①b ，那么BE①AE 的值为______．（用含a 、b 的式子表示）34．（2021·上海）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且1BE =，将CBE △沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D,F,E 在同一直线上，则线段AE 的长为____．35．（2021·上海九年级专题练习）在Rt ABC ∆中，①C =90°，AC =2，BC =4， ，点,D E 分别是边BC 、AB 的中点，将BDE ∆绕着点B 旋转，点,D E 旋转后的对应点分别为点,D E ''，当直线,D E ''经过点A 时，线段CD '的长为 ____________36．（2021·上海九年级专题练习）如图，AB 、CD 都是BD 的垂线，AB ＝4，CD ＝6，BD ＝14，P 是BD 上一点，联结AP 、CP ，所得两个三角形相似，则BP 的长是_____．37．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形纸片ABCD 的边长为4，E 是边CD 的中点，连接AE ，折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，则GE 的长为_____．38．（2021·上海）如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =E 为OC 上一点，2OE =，连接BE ，过点A 作AF BE ⊥于点F ，与BD 交于点G ，则EF 的长是______．39．（2021·上海九年级专题练习）如图，正方形ABCD 的对角线AC 上有一点E ，且4CE AE =，点F 在DC 的延长线上，连接EF ，过点E 作EG EF ⊥，交CB 的延长线于点G ，连接GF 并延长，交AC 的延长线于点P ，若10AB =，4CF =，则线段EP 的长是__________．40．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，G 是ABC ∆的重心，延长BG 交AC 于点D ，延长CG 交AB 于点,,E P Q 分别是BCE ∆和BCD ∆的重心，则PQ BC=____________41．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，P 是ABC ∆内一点，过点P 分别作直线平行于ABC ∆各边，形成三个小三角形面积分别为1233,12,27S S S ===，则ABC S ∆=__________42．（2020·上海上外附中九年级月考）如图，已知在ABC ∆中，60,CAB P ︒∠=为ABC ∆内一点且120,3,2APB APC AP BP ︒∠=∠===，则CP = ____________43．（2020·上海市西南模范中学九年级月考）已知，平行四边形ABCD 中，点E 是AB 的中点，在直线AD 上截取2AF FD =，连接EF ，EF 交AC 于G ，则AG AC=___________． 44．（2021·上海九年级专题练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点E 是边AC 上一点，以BE 为斜边往BC 侧作等腰Rt BEF △，连接,CF AF ，若6AB =，四边形ABFC 的面积为12，则AE =_________，AF =_________．45．（2021·上海）如图，在矩形ABCD 中， AB =3，BC =4，将矩形ABCD 绕点C 旋转，点A 、B 、D 的对应点分别为A’ 、B’、 D’，当A’ 落在边CD 的延长线上时，边A’ D’ 与边 AD 的延长线交于点F ，联结CF ，那么线段CF 的长度为____．46．（2021·上海九年级专题练习）如图，Rt①ABC 中，①BAC=90°，CE 平分①ACB ，点 D 在 CE 的延长线上，连接 BD ，过B 作BF①BC 交 CD 于点 F ，连接 AF ，若CF=2BD ，DE ：CE=5：8 ， BF =AF 的长为_________．47．（2021·上海九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，点E是边DC上一点，连结BE，将①BCE沿BE对折，点C落在边AD上点F处，BE与对角线AC交于点M，连结FM．若FM①CD，BC＝4．则AF＝_____48．（2021·上海）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是_____．49．（2021·上海九年级专题练习）定义：如果三角形的两个内角①α与①β满足①α=2①β，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”．如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为____．50．（2021·上海九年级专题练习）如图，在Rt①ABC中，①C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE①AC，BD＝，把①BDE绕着点B旋转得到①BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．。
上海市青浦实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷(含解析)
上海市青浦实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．方程x2＝3的根是．2．若一次函数图象与直线平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式是．3．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是．4．函数的定义域是．5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝．6．已知函数，则f（6）＝．7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是．8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是．（用“＜”号连接）9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程．10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是度．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝．12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD 于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝cm．13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为．14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是．二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2．17．下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．圆的周长与直径成正比例关系C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1B．2C．2.5D．5三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题12分，满分60分）19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A 地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题：（1）两人谁先到达B地？．（填“甲”或“乙”）（2）甲到达B地用了小时．（3）两人在出发多少小时后相遇？22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．24．（12分）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x 轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D 作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．方程x2＝3的根是x1＝，x2＝﹣．【分析】把方程两边开方即可．【解答】解：x2＝3，x＝±，所以x1＝，x2＝﹣．故答案为：x1＝，x2＝﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2．若一次函数图象与直线平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式是y＝﹣x+2．【分析】设一次函数的解析式是y＝kx+b，根据两直线平行求出k＝﹣，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【解答】解：设一次函数的解析式是y＝kx+b，∵一次函数图象与直线y＝﹣x平行，∴k＝﹣，即y＝﹣x+b，∵一次函数的图象过点（0，2），∴代入得：2＝b，即y＝﹣x+2，故答案为：y＝﹣x+2．【点评】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．3．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1＜k＜3．【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k＜0，k﹣3＜0，即可求解；【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，∴k＞1，k＜3，∴1＜k＜3；故答案为1＜k＜3；【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图象的影响是解题的关键．4．函数的定义域是．【分析】让被开方数为非负数列式求值即可．【解答】解：由题意得2x+1≥0，解得x≥﹣，故答案为x≥﹣．【点评】考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非负数．5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝2（x+）（x+）．【分析】原式利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式＝2（x2+x﹣）＝2（x2+x+﹣﹣）＝2（x++）（x+﹣）＝2（x+）（x+），故答案为：2（x+）（x+）．【点评】本题考查了实数范围内分解因式，以及算术平方根，掌握因式分解的方法是关键．6．已知函数，则f（6）＝2．【分析】把x＝6代入计算即可．【解答】解：f（6）＝＝＝2，故答案为：2．【点评】本题考查函数值，理解函数值的定义是解决问题的前提，把x的值代入函数关系式按照关系式指明的运算进行计算是得出正确答案的关键．7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是k≤且k ≠0．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，解得k≤且k≠0．故答案为：k≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数（k＜0）的图象上，那么a、b的大小关系是a＜b．（用“＜”号连接）【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数（k＜0）中k＜0，∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，∵﹣3＜0，﹣2＜0，∴点（﹣3，a），（﹣2，b）位于第二象限，∴a＞0，b＞0，∵﹣3＜﹣2＜0，∴a＜b．故答案为：a＜b．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可列方程1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．【分析】利用十月份的销售额＝八月份的销售额×（1+每月的销售额增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．故答案为：1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是1620度．【分析】从多边形一个顶点可作8条对角线，则这个多边形的边数是11，n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有8条对角线，∴n﹣3＝8，∴n＝11，∴该多边形边数为11，∴（11﹣2）•180°＝1620°，∴这个多边形的内角和为1620°．故答案为：1620．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．11．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，且AD＝5，AC＝10．则AB＝20．【分析】先根据CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10得到∠ACD＝30°，再利用同角的余角相等得到∠B＝∠ACD＝30°，所以AB＝2AC＝20．【解答】解：如图，∵CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10，∴∠ACD＝30°，∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠BCD＝90°，又∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACD＝30°，∵AC＝10，∴AB＝2AC＝20．故答案为：20．【点评】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是掌握直角三角形的这条性质．12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD 于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝3cm．【分析】由BF平分∠ABC得到∠ABE＝∠CBE，又由平行四边形两组对边分别平行可以推出∠ABE＝∠BFC，然后可以得到BC＝CF，从而求出DF．【解答】解：∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，又∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BFC，∴∠CBE＝∠BFC，∴BC＝CF，∴DF＝CF﹣CD＝BC﹣AB＝7﹣4＝3．故答案为：3．【点评】此题主要利用利用平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形两组对边分别平行．13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为20．【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，∴∠BAF＝∠DAE＝90°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，AD＝2DF∵BE＝2，DF＝3，∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是或3．【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，如图2，当BC∥DE时，利用含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，根据题意可知：∠DEC＝60°，∠ACB＝30°，∵AC∥DE，∴∠ACF＝∠DEC＝60°，∴∠BCF＝30°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴BF＝BC＝，∴△BCE的面积＝CE•BF＝2×＝；如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，∵BC∥DE，∴∠BCG＝∠DEC＝60°，∵BC＝AB＝2，∴BG＝BC＝3，∴△BCE的面积＝CE•BG＝2×3＝3．综上所述：△BCE的面积是或3．故答案为：或3．【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞2．【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．下列说法正确的是（）A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系B．圆的周长与直径成正比例关系C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系【分析】根据正比例函数的定义和反比例函数的定义，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：一个人的体重与他的年龄不成正比例关系，故选项A不符合题意；圆的周长与直径成正比例关系，故选项B符合题意；周长一定时，长方形的长与宽不成反比例关系，故选项C不符合题意；车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成正比例关系，故选项D不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的定义，正确得出函数关系是解题关键．18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是边BC上一点，且BE＝CD＝a，AB＝EC＝b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（）A．1B．2C．2.5D．5【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，推出△AED是等腰直角三角形，求得△ADE的面积＝AE2，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，∴∠C＝∠B＝90°，∵BE＝CD＝a，AB＝EC＝b，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，∵∠EDC+∠DEC＝∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AED＝90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面积＝AE2，∵△ABE的面积为1，∴ab＝1，∴ab＝2，∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∴a2+b2＝5，∴△ADE的面积＝×5＝，故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第24、25题每题12分，满分60分）19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．【分析】原方程整理为（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，再利用提公因式法求解即可．【解答】解：（x﹣1）2＝5﹣5x，（x﹣1）2﹣5+5x＝0，（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1+5）＝0，x﹣1＝0或x+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4．【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4x﹣2＝0．【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+8＝2+8，（x﹣2）2＝10，x﹣2＝±，解得x1＝2+，x2＝2﹣．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与A 地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．根据图象提供的信息回答下列问题：（1）两人谁先到达B地？甲．（填“甲”或“乙”）（2）甲到达B地用了小时．（3）两人在出发多少小时后相遇？【分析】（1）根据图象可知，甲先到达B地；（2）根据图象中的数据，可以先计算出甲的速度，然后即可计算出甲到达B地用的时间；（3）根据图象中的数据，先计算乙的速度，然后设两人在出发a小时后相遇，再根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程+20，列出相应的方程，然后求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，甲先到达B地，故答案为：甲；（2）由图象可得，甲的速度为：25÷1＝25（千米/小时），甲到达B地用了：45÷25＝（小时），故答案为：；（3）由图象可，乙的速度为：（30﹣20）÷1＝10（千米/小时），设两人在出发a小时后相遇，20+10a＝25a，解得a＝，即两人在出发小时后相遇．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．【分析】联结AF，由矩形的性质得AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，由线段的垂直平分线的性质得AF＝CF，根据勾股定理得AD2+DF2＝AF2，则22+（4﹣CF）2＝CF2，即可求得CF＝．【解答】解：连接AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，∵EF垂直平分AC，∴AF＝CF，∵AD2+DF2＝AF2，且DF＝4﹣CF，∴22+（4﹣CF）2＝CF2，解得CF＝，∴CF的长为．【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，求证：EH＝AC．【分析】连接DH，由平行线的性质可得∠C＝2∠DEC，利用直角三角形斜边上中线的性质可得HD＝AC＝CD，结合等腰三角形的性质可得∠DHC＝2∠DEC，再根据三角形外角的性质可得∠DEC＝∠HDE，即可得DH＝EH，进而可证明结论．【解答】证明：连接DH，∵DE∥AB，∴∠B＝∠DEC，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝2∠DEC，∵AH⊥BC于点H，D是AC中点，∴HD＝AC＝CD，∴∠C＝∠DHC，∴∠DHC＝2∠DEC，∵∠DHC＝∠DEC+∠HDE，∴∠DEC＝∠HDE，∴DH＝EH，∴EH＝AC．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明DH＝EH是解题的关键．24．（12分）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x 轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．（1）求直线y＝kx的函数解析式；（2）求点C到直线OA的距离；（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；（2）先求出点B坐标，进而求出AB，最后用面积公式建立方程求解，即可求出答案；（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），∵点C（2，0）是AB的中点，∴2（m+0）＝2，∴m＝4，∴A（4，2），∵点A在直线y＝kx上，∴4k＝2，∴k＝，∴直线y＝kx的解析式为y＝x；（2）由（1）知，点A（4，2），∴OA＝2，∵点C（2，0），∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，∴B（0，﹣2），设点C到直线OA的距离为h，则S△AOB＝OB•|x A|＝OA•h，∴h＝＝＝，即点C到直线OA的距离为；（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，设点D（n，n），∵A（4，2），B（0，﹣2），∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∵△ABD是直角三角形，∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∴n＝﹣，∴D（﹣，﹣），②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，∴n＝4（不符合题意，舍去），③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，∴D（﹣，﹣），即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D 作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．（1）求证：AC⊥AG；（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠B，推出∠EAG＝90°，于是得到结论；（2）连接EG，根据勾股定理得到EF2＝（8﹣x）2+y2，根据全等三角形的性质得到AG ＝BF，由勾股定理得到EG2＝x2+（6﹣y）2，于是得到方程（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，即可得到结论（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，列方程得到AE＝；②当DF＝FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF＝FB＝6﹣y，根据勾股定理得方程（6﹣y）2＝42+（3﹣y）2，求得y＝，于是得到＝求得AE＝．【解答】（1）证明：∵BC＝6，AC＝8，∴BC2+AC2＝36+64＝100，∵AB2＝100，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADG和△BDF中，∴△ADG≌△BDF，∴∠GAB＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∴∠CAB+∠GAB＝90°，∴∠EAG＝90°，即：AC⊥AG；（2）连接EG，∵AE＝x，AC＝8，∴EC＝8﹣x，∵∠ACB＝90°，由勾股定理，得EF2＝（8﹣x）2+y2，∵△ADG≌△BDF，∴AG＝BF，∵CF＝y，BC＝6，∴AG＝BF＝6﹣y，∵∠EAG＝90°，由勾股定理，得EG2＝x2+（6﹣y）2，∵DG＝DF，DF⊥DE，∴EF＝EG，∴（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，∴y＝，自变量x的取值范围：＜x＜；（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，∴y＝1，∴1＝，∴x＝，即AE＝；②当DF＝FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF＝FB＝6﹣y，∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝5，∵DH⊥FB，BC＝6，∴CH＝HB＝3，∴FH＝3﹣y，∵DH⊥FB，由勾股定理，得DH＝4，在Rt△DHF中，可得（6﹣y）2＝42+（3﹣y）2，解得：y＝，∴＝解得x＝，即AE＝，综上所述，AE的长度是，．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．。
动点与二次函数综合提高题(含答案)[1]
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72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO 二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．A5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O2l 1lx y练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x … -3 -2 1 2 … y…-52-4-52…(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在图10对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例 1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．B CPO D QA BPC ODQ Ay321O12 x例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自图2OCA BxyDPE F 图1 FE PD y xBA C OxN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10y QBCN变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标， 若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1），x图1x图2x图3)x图4E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式27(2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725(326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E 使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2022上海市初三数学一模(25题)压轴题精解精析(二)解析版
例 2022年上海市宝山区第25题如图1，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90）到AP的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果13DPCF=，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果22AF AB=，求n的值．图1满分解答（1）如图2，过点F作DC的平行线交EC于点M，所以∠FME＝∠DCE．已知CE⊥BP，DF⊥BP，所以CE//DF．所以四边形CDFM是平行四边形．所以FM＝DC＝CB．根据同角的余角相等，得∠DCE＝∠CBE．所以∠FME＝∠CBE．于是根据“AAS”，可证得△FME≌△CBE．所以EF＝EC．图2 图3 图4 （2）如图3，设BP与AD交于点G．设∠ABP＝α．在等腰三角形ABP中，AB＝AP，所以∠APB＝α．在Rt△ABG和Rt△DFG中，根据内角和相等，得∠ADF＝α．在等腰三角形ADP中，∠ADP＝∠APD．所以∠ADP－α＝∠APD－α．所以∠FDP＝∠FPD．所以FD＝FP．所以△FDP和△ECF都是等腰直角三角形，DP//CE（如图4所示）．如图4，延长CD交BP的延长线于点N．那么∠N＝α．如果13DPCF=，那么1236PF mFE m==，13NPNF=．所以122NP mPF m==．在Rt△NEC中，tan∠N＝62623CE mNE m m m==++．所以tan∠ABP＝23．（3）第一步，点F是一个关键点．如图5，根据“边边边”，可以证得△AFD≌△AFP．所以AF平分∠DAP，∠AFD＝∠AFP＝135°．所以∠AFB＝45°．所以∠AFC＝90°，△AFC始终是直角三角形（如图6所示）．第二步，计算说理．如图6，因为22AB AC=，如果22AF AB=，那么12AF AC=．所以∠ACF＝30°，∠F AC＝60°．所以∠F AD＝60°－45°＝15°．所以n°＝2∠F AD＝30°，n＝30．图5 图6例 2022年上海市崇明区第25题如图1，正方形ABCD 的边长为1，在射线AB 上取一点E ，联结DE ，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，点E 落在点F 处，联结EF ，直线EF 与对角线BD 所在直线交于点M ，与射线DC 交于点N ．（1）当13AE =时，求tan ∠EDB 的值； （2）当点E 在线段AB 上，如果AE ＝x ，FM ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM ，直线AM 与直线BC 交于点G ，当13BG =时，求AE 的值．图1满分解答（1）如图2，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ABD 中，AB ＝AD ＝1，所以BD ＝2，∠ABD ＝45°． 在等腰直角三角形△BEH 中，BE ＝AB －AE ＝23，所以BH ＝EH ＝23． 在Rt △DEH 中，DH ＝BD －BH ＝223-＝223，所以tan ∠EDB ＝EH DH ＝12．图2 图3 （2）如图3，在Rt △BEF 中，BE ＝1－x ，BF ＝1＋x ，由勾股定理，得222EF x =+ 过点F 作BF 的垂线交BD 的延长线于点Q ，那么△BFQ 是等腰直角三角形．由QF //BE ，得11FM QF x EM BE x+==-．所以11(1)(1)2FM x x EF x x ++==++-． 21222x x +=+．所以2(1)22x x y ++．定义域是0≤x ≤1． （3）按照点G 的位置，分两种情况讨论：①如图4，点G 在BC 上．由13BM BG DM AD ==，得43BD DM =．所以33244DM BD =如图5，由∠DEF＝∠DBA＝45°，∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以2332242DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝31122-=．所以AE＝22．图4 图5 ②如图6，点G在CB的延长线上．由13BM BGDM AD==，得23BDDM=．所以33222DM BD==．如图7，由∠DEF＝∠DBA＝45°，根据等角的补角相等，得∠DEM＝∠DBE．又因为∠BDE是公共角，得△DEM∽△DBE．所以DE DBDM DE=．所以232232DE DB DM=⋅=⨯=．在Rt△AED中，AE2＝DE2－AD2＝3－1＝2．所以AE＝2．图6 图7例 2022年上海市奉贤区第25题如图1，已知锐角△ABC 的高AD 、BE 相交于点F ，延长AD 至G ，使DG ＝FD ，联结BG 、CG ．（1）求证：BD ∙AC ＝AD ∙BG ；（2）如果BC ＝10，设tan ∠ABC ＝m ．①如图2，当∠ABG ＝90°时，用含m 的代数式表示△BFG 的面积；②当AB ＝8，且四边形BGCE 是梯形时，求m 的值．图1 图2满分解答（1）如图3， 在Rt △ADC 和Rt △BEC 中，根据同角的余角相等，得∠1＝∠2． 因为BD 垂直平分FG ，所以BF ＝BG ．根据等腰三角形的“三线合一”，得∠2＝∠3．所以∠1＝∠3．由cos ∠1＝cos ∠3，得AD BD AC BG=．所以BD ∙AC ＝AD ∙BG ．图3 图4（2）①如图4，如果∠ABG ＝90°，那么∠3＝∠4．所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4．．根据“ASA ”，可证△ADB ≌△ADC ．所以BD ＝CD ＝5．由△ABC ∽△BFG ，根据相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，得()222tan ABC BFG S AD ABC m S BD ⎛⎫==∠= ⎪⎝⎭△△．所以S △BFG ＝21m S △ABC ． 而S △ABC ＝225AD BC AD BC m BC⋅=⋅=，所以S △BFG ＝21m S △ABC ＝25m ． ②分两种情况讨论梯形BGCE ．情况一：如图5，当CG ∥BE 时，∠2＝∠5．又因为∠2＝∠3，所以∠3＝∠5．所以GB ＝GC ．根据等腰三角形的“三线合一”，可知GD 垂直平分BC ．所以BD ＝CD ＝5．在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝5，所以AD＝39，m＝tan∠ABC＝395ADBD=．情况二：如图6，当BG∥CE时，∠3＝∠6．又因为∠1＝∠3，所以∠1＝∠6，△ADC是等腰直角三角形．设BD＝x，那么AD＝DC＝10－x．由BD2＋AD2＝AB2，得(10－x)2＋x2＝82．解得x1＝57-，x2＝57+（此时△ABC是钝角三角形，舍去）．当x＝57-，m＝tan∠ABC＝10571657957AD xBD x-++===-．图5 图6例 2022年上海市虹口区第25题如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝10，tan B ＝34，点D 是边BC 延长线上的一点，在射线AB 上取一点E ，使得∠ADE ＝∠ABC ．过点A 作AF ⊥DE 于点F ．（1）当点E 在线段AB 上时，求证：AF DE AC BD=； （2）在（1）题的条件下，设CD ＝x ，DE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）记DE 交射线AC 于点G ，当△AEF 与△AGF 相似时，求CD 的长．图1满分解答（1）如图2，已知∠ADE ＝∠ABC ，∠BAD 是公共角，所以△ADE ∽△ABD ．如图3，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得AF DE AC BD=．图2 图3 图4（2）在Rt △ABC 中，由AB ＝10，tan B ＝34，可得AC ＝6，BC ＝8． 如图4，在Rt △ACD 中，CD ＝x ，AC ＝6，所以AD ＝236x +．在Rt △ADF 中，sin ∠ADF ＝sin ∠B ＝35，所以AF ＝35AD ＝23365x +． 由（1），得AF DE AC BD=．所以2336568x y x +=+． 整理，得21(8)3610y x x =++．x 的取值范围是0＜x ≤8．当x ＝8时，E 、B 两点重合． （3）△AEF 和△AGF 有公共的直角边AF ，分两种情况讨论相似．①如图5，AE 和AG 在AF 的两侧．此时AF 垂直平分EG ，∠GDC ＝∠GAF ＝∠EAF ＝α．设AF 的延长线与BC 交于点M ，那么点M 到∠BAC 两边的距离相等，等于MC ．由S △ABC ＝12BC AC ⋅＝1()2MC AB AC ⋅+， 得863106BC AC MC AB AC ⋅⨯===++． 图5 再由∠AMD ＝∠ABC ＋α，∠ADM ＝∠ADE ＋α，∠ABC ＝∠ADE ，得∠AMD ＝∠ADM ．所以AM ＝AD ．根据等腰三角形的“三线合一”，得CD ＝MC ＝3．②如图6，AE 和AG 在AF 的同侧．此时∠GDC ＝∠GAF ＝∠E ＝α．所以BE ＝BD ＝8＋x ．如图7，由△ABD ∽△ADE ，得AB AD AD AE=．所以AD 2＝AB ·AE ． 所以x 2＋36＝10×(10＋8＋x )．整理，得x 2－10x －144＝0．解得x ＝18，或x ＝－8（舍去）．图6 图7例 2022年上海市黄浦区第25题如图1，在Rt △ABC 和Rt △ABD 中，∠ACB ＝∠DAB ＝90°，AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，延长AE 、CB 交于点F ，联结DF ．（1）求证：AE ＝AC ；（2）设BC ＝x ，=AE y EF，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （3）当△ABC 和△DEF 相似时，求边BC 的长．图1满分解答（1）如图2，因为AB 2＝BC ∙BD ，所以=AB BD BC AB． 所以Rt △ACB ∽Rt △DAB ．所以∠4＝∠2．因为AE ⊥BD ，所以∠4＋∠3＝90°．又因为∠1＋∠3＝90°，所以∠4＝∠1．所以∠1＝∠2．根据“AAS ”，可证得△AEB ≌△ACB ．所以AE ＝AC ．图2 图3（2）已知AB 2＝BC ∙BD ，AB ＝3，BC ＝BE ＝x ，所以9BD x=． 设M 为Rt △ABD 的斜边BD 的中点，那么MB ＝MA ＝MD ．所以∠MAB ＝∠MBA ．又因为∠MBA ＝∠CBA ，所以∠MAB ＝∠CBA ．所以MA //FC ．所以229192222x BD BE AE ME x x y EF BE BE x x ---=====． 定义域是0＜x 32 （3）如图4，因为△ABC ∽△ABE ≌△DAE ，若△ABC 与△DEF 相似，我们灵活运用相似三角形的传递性，分两种情况讨论．①如图4，当∠1＝∠5时，AB //DF ．所以BE AEyED EF==．所以229292x xxxx-=-．整理，得x2＝3．解得x＝±3．所以BC＝3．②如图5，当∠1＝∠6时，等量代换，得∠4＝∠6．此时AE＝EF．所以229212-==xyx．整理，得x2＝94．解得x＝±32．所以BC＝32．图4 图5例 2022年上海市嘉定区第25题在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD 垂直，34ABAC=，四边形ABCD的周长是16，点E是AD延长线上的一点，点F是射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F是在边AB上一点，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果BF∶FA＝1∶2，求△CDE的面积．图1 图2 备用图满分解答（1）如图3，过点D向直线AB作垂线，垂足为H，那么四边形ACDH是矩形．由AB＝DC，DC＝HA，得HA＝AB．所以BH＝2AB．在Rt△DBH中，cot∠AFD＝233242 BH ABDH AC==⨯=．图3 图4（2）如图3，在Rt△ABC中，34ABAC=，设AB＝3m，AC＝4m，那么BC＝5m．已知平行四边形ABCD的周长为16，所以2(3m＋5m)＝16．解得m＝1．所以AB＝3，AC＝4，BC＝5．如图4，由DC//AB，得∠EDC＝∠F AD，∠CDF＝∠DF A＝α．又已知∠CDF＝∠CED＝α，所以∠CED＝∠DF A＝α．所以△EDC∽△F AD．所以35 DE DCAF AD==．所以5335xy-=-．整理，得53433y x=-+．定义域是5＜x≤345．当E、D两点重合时，x＝5．当F、B两点重合时，53435y x=-+=，解得x＝345．（3）如图5，由△CDE∽△DAF，得2239525 CDEDAFS CDS DA⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．而S△DAF＝12AF DH⋅＝142AF⨯＝2AF，所以S△CDE＝925S△DAF＝9225AF⨯＝1825AF．分两种情况讨论BF∶FA＝1∶2．①如图5，当点F在AB上时，AF＝23AB＝2．此时S△CDE＝1825AF＝18225⨯＝3625．②如图6，当点F在AB的延长线上时，AF＝2AB＝6．此时S△CDE＝1825AF＝18625⨯＝10825．图5 图6例 2022年上海市金山区第25题如图1，AD ⊥直线MN ，垂足为D ，AD ＝8，点B 是射线DM 上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC 交射线DN 于点C ，∠ABC 的平分线分别与AD 、AC 相交于点E 、F ．（1）求证：△ABE ∽△CBF ；（2）如果AE ＝x ，FC ＝y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结DF ，如果以点D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCF 相似，求AE 的长．图1满分解答（1）如图2，∠ACD 和∠BAD 都是∠ABC 的余角，所以∠ACD ＝∠BAD ．又因为BF 平分∠ABC ，所以∠1＝∠2．所以△ABE ∽△CBF ．（2）如图3，由∠1＝∠2，∠BAF ＝∠BDE ，得△BAF ∽△BDE ． 所以=AF BF DE BE ． 所以∠AFB ＝∠BED ＝∠AEF ．所以AF ＝AE ．已知AE ＝x ，所以AF ＝x ，ED ＝AD －AE ＝8－x ．由（1），得△ABE ∽△CBF ．所以=CF BF AE BE． 等量代换，得=CF AF AE DE ．所以8=-y x x x．整理，得28=-x y x ．图2 图3 （3）如图4，因为△ABE ∽△CBF ，如果△DEF 与△BCF 相似，那么△DEF 与 △ABE 也相似．因为∠AEB ＝∠DEF ，分两种情况讨论．①如图4，如果∠3＝∠4，那么△AEB ∽△FED ．所以EA EB EF ED=． 又因为∠AEF ＝∠BED ，所以△AEF ∽△AED ．所以∠AFE ＝∠BDE ＝90°，不符合题意，舍去．②如图5，若∠3＝∠1，那么DF //AB ．所以=FD DE AB AE ，=FD CF AB CA ．等量代换，得=CF DE CA AE． 所以8-=+y x y x x ．代入28=-x y x，整理，得x 2＋8x －64＝0． 解得x 1＝445-+x 2＝445--．所以AE ＝445-+图4 图5例 2022年上海市静安区第25题如图1，四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线AE 交边BC 于点E ，已知AB ＝9，AE ＝6，AE 2＝AB ∙AD ，且DC //AE ．（1）求证：DE 2＝AE ∙DC ；（2）如果BE ＝9，求四边形ABCD 的面积；（3）如图2，延长AD 、BC 交于点F ，设BE ＝x ，EF ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．图1 图2满分解答（1）如图3，如图4，因为AE 平分∠BAD ，所以∠1＝∠2＝α．因为AE 2＝AB ∙AD ，所以=AB AE AE AB．所以△ABE ∽△AED ． 所以∠3＝∠4＝β，∠5＝∠6＝θ．因为DC //AE ，所以∠4＝∠7＝β，∠9＝∠5＝θ．所以∠9＝∠6＝θ．所以△AED ∽△EDC ．所以=AE DE DE DC．所以DE 2＝AE ∙DC ．图3 图4（2）如图5所示，如果BE ＝BA ＝9，那么α＝θ．此时△ABE 、△AED 、△DEC 是两两相似的等腰三角形．所以AE ＝ED ＝DC ＝6．因为AD //BC ，所以四边形ABCD 是梯形，四边形AECD 是平行四边形．由966AD=，得EC ＝AD ＝4． 如图6，作DH ⊥EC 于H ，那么EH ＝HC ＝2．在Rt △DHC 中，DC ＝6，HC ＝2，由勾股定理，得364DH -42所以S 梯形ABCD ＝1()2+⋅AD BC DH ＝1(494)422++⋅＝342图5 图6（3）如图，由△ADE ∽△AEB ，得AE DE AB BE =．所以69DE x =． 解得DE ＝23x ． 由△EDC ∽△ABE ，得DE DC EC AB BE AE==．所以2396x DC EC x ==． 解得DC ＝2227x ，EC ＝49x ，则CF ＝49y x -． 由DC //AE ，得DC CF AE EF=．所以2242796x y x y -=． 整理，得23681x y x=-．定义域为0＜x ＜9．。
重庆市万州区万州第二高级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
重庆市万州区万州第二高级中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题一、单选题1．在1π-，3x ，14x +，+x x y 中，分式的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 2．函数11y x =+中的自变量x 的取值范围（ ） A ．1x >- B ．=1x - C ．1x ≠- D ．1x ≠3．下列说法不正确的是（ ）A ．平行四边形两组对边分别平行B ．平行四边形的对角线互相平分C ．平行四边形的对角互补，邻角相等D ．平行四边形的两组对边分别平行且相等4．已知：如图，在ABCD Y 中，4AB =，7AD =，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线3y x=-上的两点，若x 2＜0＜x 1，则有（ ） A ．0＜y 1＜y 2 B ．0＜y 2＜y 1 C ．y 2＜0＜y 1 D ．y 1＜0＜y 2 6．某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成．如图①，当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块；如图②，当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块；如图③，当正方形地砖有3块时，等腰直角三角形地砖有10块；…；以此类推，当人行道有20块正方形地砖时，等腰直角三角形地砖的块数为（ ）A ．38B ．40C ．42D ．447．一次函数y kx b =-与反比例函数(0)kb y kb x=≠在同一平面直角坐标系中的图象可以是（ ） A ． B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BAD ABC ∠∠，的平分线AE BF ，分别交CD 边于点E F ，．若31AD EF ，==，则AB 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．在一条笔直的公路上有A ，B 两地，甲、乙两辆货车都要从A 地送货到B 地，甲车先从A 地出发匀速行驶，2小时后乙车从A 地出发，并沿同一路线匀速行驶，当乙车到达B 地后立刻按原速返回，在返回途中第二次与甲车相遇，甲车出发的时间记为t （h ），两车之间的距离记为y （km ），y 与t 的函数关系如图所示，则乙车第二次与甲车相遇时甲车距离B 地（ ）A ．54kmB ．108kmC ．162kmD ．216km10．对于多项式：x y z m n -+-+，只选取两个字母，并交换它们的位置（符号不参与交换），称这种操作为一种“交换操作”，然后再进行运算，并将化简的结果记为M ．例如：x ，y 交换后M y x z m n =-+-+；x ，z 交换后M z y x m n =-+-+下列相关说法正确的个数是：①存在一种“交换操作”，使其运算结果为M x y z m n =++--②共有四种“交换操作”，使其运算结果与原多项式相等；③所有的“交换操作”共有7种不同的运算结果．A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．计算：01(3)2π--- = .12．中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET 技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米0.000000014=米，0.000000014用科学记数法表示为．13．已知131x y y =-，则3534x xy y x xy y++++的值等于． 14．将一次函数123=+y x 向左平移3个单位长度后得到直线AB ，则平移后直线AB 对应的函数表达式为． 15．如图，点P 是第二象限内的一点，且在反比例函数k y x=的图象上，过点P 作PA x ⊥轴于点A ，若PAO V 的面积为5，则k 的值为．16．如图，在长方形ABCD 中，E 是BC 的中点，将ABE V 折叠后得到AFE △，点F 在矩形内部．延长AF 交CD 于点H ，若4=AD ，43CH =，则折痕AE 的长为．17．若关于x 的一元一次不等式组1926723x x a x ++⎧≥⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩的解集为3x ≥，且关于y 的分式方程122+=---y a y y有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是． 18．一个四位正整数M ，各个数位均不为零，如果千位数字与个位数字之和的两倍等于百位数字与十位数字之和的三倍，且各个数位数字之和为20，则称M 为“第二十数”，那么百位数字和十位数字之和为，并规定()F M 等于M 的千位数字与百位数字之和的两倍与十位数字与个位数字之和的和，且()F M 为完全平方数；对于另一个“第二十数”N ，()G N 等于N 的前两个数字组成的两位数与后两个数字所组成的两位数的和，且()5G N 是一个整数，则N M -的最大值是．三、解答题19．计算：(1)()()()2x x y x y x y +--+ (2)2221211a a a a a +⎛⎫÷+ ⎪-+-⎝⎭20．如图，ABC V 中，AB AC =，A ∠的平分线交BC 于点D ．(1)尺规作图：作AD 的垂直平分线，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，连接DE 、DF ；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）中所作的图形中，求证：AF DE =．补全下列证明过程：证明：∵EF 垂直平分AD∴90AGE AGF ∠=∠=︒，AE =___________①___________∵AD 平分BAC ∠∴___________②___________在AEG △和AFG V 中，___EAG FAG AGE AGF ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩③，∴()ASA AGE AGF △≌△，∴___________④___________∴AF DE =21．（1）若关于x 的方程4233x m x x--=--有增根，求m 的值． （2）在（1）中的条件下，若()()()241212m x A B x x x x +-=+----，求4A B -的值． 22．如图，已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数8y x =-的图象交于A ，B 两点，与y 轴交于点N ，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-．(1)求一次函数的关系式；(2)求AOB V 的面积；(3)直接写出不等式8kx b x-≥+中x 的取值范围． 23．重庆动物园的大熊猫“渝可”“渝爱”憨态可掬，获得不少市民喜爱，动物园文创超市售有相应的熊猫抱枕和熊猫挂件．(1)已知熊猫抱枕单价比熊猫挂件单价贵30元，若购买8个熊猫抱枕和18个熊猫挂件共花费500元，则熊猫抱枕和熊猫挂件的单价分别为多少元？(2)新年伊始，重庆动物园又推出了龙年专属抱枕与龙年专属挂件，某校准备购进一批龙年专属抱枕与龙年专属挂件，已知龙年专属抱枕单价是龙年专属挂件的3倍，若学校1200元购进的龙年专属挂件的数量比学校2700元购进的龙年专属抱枕的数量多20个，则学校购进了多少个龙年专属抱枕？24．如图，Rt ACB V 中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，点D 为AC 上一点，且1AD =，动点E 从D 点出发，E 沿折线D C B --运动，当E 点到达B 点时停止运动，设点E 运动路程为x ，ABE V 的面积为y ．(1)请直接写出y 关于x 的函数表达式并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出ABE V 的面积大于4的x 的取值范围．25．如图，直线112y x =+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点．(1)求B 、C 两点的坐标．(2)若点(),A x y 是第一象限内的直线112y x =+上的一个动点，则当点A 运动到什么位置（求出点A 的坐标）时，AOB V 的面积是3．(3)在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使POA V 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．如图，ADC △为等边三角形，4AC =，点B 在射线CD 上，连接AB ，并将线段AB 绕着点A 逆时针旋转至线段AE ，再连接DE ，CE ；(1)如图1，若BAD EAD ∠=∠，2BD =时，求线段DE 的长；(2)如图2，若把线段AB 绕着点A 逆时针旋转120︒到线段AE 的位置，连接线段DE 与线段AC 相交于点F ，证明：点F 是线段DE 的中点；(3)如图3，在（2）的条件下，若点B 在直线DC 上运动，当AE DE -最大时，请直接写出ABE V 的面积．。
三角比勾股定理压轴题(含答案)
AB DP10月6日、7日 月考模拟卷 班级 学号 姓名1、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列正确的是( ) A 、B CDAD sin = B 、B CDAD cos = C 、B CDAD tan = D 、B CDAD cot =2、在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，AD ∶BD = 1:3，那么S △DBE :S △CBE 等于( ) A 、1:4； B 、1:3； C 、1:2； D 、1:6．3、下列命题中，说法正确的个数为( )(1)两个等边三角形一定相似； (2)有一个角相等的菱形一定相似； (3)腰上的高和腰对应成比例的两个等腰三角形一定相似； (4)两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； (5)三条垂线对应成比例的两个三角形相似. A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个4、如图，P 、D 分别在等边△ABC 的边BC 、AC 上，∠APD =60°，BP =1，CD =32，则△ABC 的边长为( )A 、3B 、4C 、5D 、65、如图，E 、F 、H 、G 分别为为正方形ABCD 的边上，且AE =BF =CH =DG =31AB ，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为( ) A 、53 B 、94 C 、21 D 、526、在△ABC 中，已知tan A =45，cos B =109，那么△ABC 的形状为( )A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、无法判定.7、图纸上某个零件的长是 320mm ，如果比例尺是 1:20，这个零件的实际长 米. 8、计算：2sin 230°－cos 260°+tan30°·cot30°=9、如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，BF 的延长线交AC 于H ，则AH :HE 等于 10、在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠ACD =∠B ，AC =6，BD =2.5，则AD 的长为11、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，O 为对角线AC 、BD 的交点，若S △ACD =10，S △BOC =9，那么S 梯形ABCD =12、正方形ABCD 中，E 在边BC 所在的直线上，BE :EC =2:1，AE 交BD 于F ，则△AFD 与由D 、F 、E 、C 为顶点的四边形的面积之比为18题图A B C MN EA13、在△ABC 中，AB =15，AC =20，D 为AB 上一点，BDAB =3，在AC 边上取点E ，得到△ADE ，若图中的两个三角形相似，则AE =14、如图，□ABCD 的面积为10，P 是AB 上一点，PQ //AD 交BD 于Q ，当AP :BP =1:4时，则四边形PBCQ 的面积为 15、已知D 为等边△ABC 的边BC 上一点，向下折叠△ABC ，折痕为MN ，M 、N 分别在AB 、AC 边上，点A 落在点D 处，若BD :DC =2:3，则AM :AN =16 一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下向上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张．17、已知点A (－1，0)、B (0，2)，O 为原点，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°得到△BCD ，其中点C 与点O 对应，点D 与点A 对应，点P 是y 轴上一个动点，当△BCD 与△BDP 相似时，点P 的坐标为18、如图，在△ABC 中，MN //AC ，直线MN 将△ABC 分割成面积相等的两部分.将△BMN 沿直线MN 翻折，点B 恰好落在点E 处，联结AE ，若AE //CN ，则AE :NC 的值为19、Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AB 边上高为h ，那么AB 的长等于20、如图，△ABC 中，点D 是AC 边上一点，且AD :DC =2:1．设a BA =，b BC =. (1)用b y a x +(x 、y 为实数)的形式表示BD ．(2)在图中画出BD 在a 、b 方向上的分向量.A N DC B A C A21、如图，为测量河宽，在河北岸东西方向设置了两个标志物A 、B ，它们相距100米. 在河南岸设置了一个观察点P . 标志物A 在点P 北偏东30°，标志物B 在点P 北偏西45°.求河宽(精确到1米).(≈1.41≈1.73)22、如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点B 、C 分别作AD 的垂线，垂足分别为F 、E ，CF 和EB 相交于点P ，联结AP ． (1)求证：△ABF ∽△ACE ；(2)求证：EC //AP ． 23、、如图，已知CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，点M 是AB 上一点，∠AMC =∠BMD ，AD 与BC 交于N 点. 求证：MN ∥AC24、等腰Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，∠DCB 的正切值为21.过点D 作DE 交等腰Rt △ABC 的腰于点E ，且∠CDE =∠DCB ，DE =2，求AB 的长. 30°45°PA BFE D CA BCDFA25、△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，E 是BC 的中点，D 在边AC 上，BD 和AE 交于点F . (1)如图1，当AD =CD 时，求AFAE 的值；(2)如图2，当41 AC AD 时，求∠BFE 的正切值.26、如图，四边形ABCD 中，∠ACB =90°，DF ⊥AC 于E ，AB =15，DE =744，tan B =43，且S △AEF :S四边形EFBC=1:8. 求：(1)EF的长；(2)∠DAB 的度数.27、如图，Rt △ABC 中，∠B =90°，BC =4cm ，AB =8cm ，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边上中点，若P 为AB 边上有个动点，PQ //BC 且交AC 于点Q ，以PQ 为边，在点A 的异侧作正方形PQMN ，记正方形PQMN 与矩形EDBF 的公共部分面积为y . (1)当AP =3cm 时，求y 的值；(2)设AP =x ，求y 与x 的函数关系式；(3)当y =2cm 2时，确定点P 的位置.F EDBCAAF D CBB AD ME CB A DC 备用FE DBA28、如图，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AC 的中点，DE 的延长线交BC 的延长线于F ，BC =8，tan B =21. 求EF 的长.29、如图，点A 是∠MON 的边ON 上一点，且OA =10，cos O =53，P 是OA 上的一个动点(与O 、A 不重合)，过P 作PD ⊥OM于D ，以P A 为边作正方形P ABC (在∠MON 内部)，设OD =x ，P A =y .(1)求y 关于x 的函数解析式并写出函数的定义域；(2)当x 为何值时，△PCD 为等腰三角形？30、已知AB =2，AD =4，∠DAB =90°，AD //BC (如图)．E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合)，M 是线段DE 的中点． (1)设BE =x ，△ABM 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；(2)联结BD ，交线段AM 于点N ，如果△AND 与△BME 相似，求线段BE 的长．M D B CNP A O31、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =1312．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；(2)如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；(3)若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．32、如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，O 是AB 上一点，且AO :OB =2:5．P 是边AC 上的一个动点，作PQ ⊥OP 交线段BC 于Q (不与B 、C 重合). 当△OPQ 与△CPQ 相似时，求AP 的长.图1 图2 备用图 QP O C B33、已知△ABC ，D 、 E 是射线BC 上的两点，且BD =AB ，CE =AC 。
北师大版中考数学专题一 经典母题30题
专题一经典母题30题一、选择题1．﹣2的相反数是（）A．2 B．﹣2 C．12D．12【答案】A．【解析】试题分析：﹣2的相反数是2，故选A．考点：相反数．2．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C．考点：轴对称图形．3．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）A．当AD=BC，AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形B．当AD=BC，AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形【答案】B．【解析】试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确；∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确；∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴C 不正确； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D 不正确； 故选B．考点：平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定．4．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（ ） 劳动时间（小时）3 3.54 4.5 人数 1121A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75 C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.8 【答案】C ．考点：中位数；加权平均数；众数．5．如图，在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB =6cm ，OC ⊥AB 于点C ，则OC =（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】B． 【解析】试题分析：连接OA ，∵AB =6cm ，OC ⊥AB 于点C ，∴AC =12AB =12×6=3cm ，∵⊙O 的半径为5cm ，∴OC 22OA AC -2253-cm ，故选B．考点：垂径定理；勾股定理．6．如图所示的几何体的俯视图是（ ）A．B． C． D．【答案】D ． 【解析】试题分析：从上面看是一个大正方形，大正方形内部的左下角是一个小正方形，故选D． 考点：简单组合体的三视图．7．不等式组2260x x --⎧⎨⎩<≤的解集，在数轴上表示正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】C ． 【解析】试题分析：2620x x --⎧⎨⎩<①②≤，由①得，x ＞﹣3，由②得，x ≤2，故不等式组的解集为：﹣3＜x≤2．在数轴上表示为：．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．8．要将抛物线223y x x=++平移后得到抛物线2y x=，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【答案】D．考点：二次函数图象与几何变换．9．一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】B．【解析】试题分析：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率=2321++=13．故选B．考点：概率公式．10．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．46282x yx y+=⎧⎨=+⎩B．46282y xx y+=⎧⎨=+⎩C．46282x yx y+=⎧⎨=-⎩D．46282y xx y+=⎧⎨=-⎩【答案】A．【解析】试题分析：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得46282x yx y+=⎧⎨=+⎩．故选A．考点：由实际问题抽象出二元一次方程组．11．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点：动点问题的函数图象；分段函数；分类讨论；压轴题．12．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF =45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G ．现有以下结论：①AB =2；②当点E 与点B 重合时，MH =12；③AF +BE =EF ；④MG •MH =12，其中正确结论为（ ）A．①②③ B ．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C． 【解析】试题分析：①由题意知，△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =22AC BC +=2，故①正确；②如图1，当点E 与点B 重合时，点H 与点B 重合，∴MB ⊥BC ，∠MBC =90°，∵MG ⊥AC ，∴∠MGC =90°=∠C =∠MBC ，∴MG ∥BC ，四边形MGCB 是矩形，∴MH =MB =CG ，∵∠FCE =45°=∠ABC ，∠A =∠ACF =45°，∴CE =AF =BF ，∴FG 是△ACB 的中位线，∴GC =12AC =MH ，故②正确；③如图2所示，∵AC =BC ，∠ACB =90°，∴∠A =∠5=45°．将△ACF 顺时针旋转90°至△BCD ，则CF =CD ，∠1=∠4，∠A =∠6=45°；BD =AF ；∵∠2=45°，∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，∴∠DCE =∠2，在△ECF 和△ECD 中，∵CF =CD ，∠2=∠DCE ，CE =CE ，∴△ECF ≌△ECD （SAS ），∴EF =DE ，∵∠5=45°，∴∠BDE =90°，∴222DE BD BE =+，即222EF AF BE =+2，故③错误；考点：相似形综合题；综合题；压轴题． 二、填空题13．分解因式：22()4a b b --= ． 【答案】()(3)a b a b +-． 【解析】试题分析：22()4a b b--=(2)(2)a b b a b b -+--=()(3)a b a b +-．故答案为：()(3)a b a b +-．考点：因式分解-运用公式法． 14．函数12xy -=x 的取值范围是 ． 【答案】12x ≤且0x ≠． 【解析】试题分析：根据题意得x ≠0且1﹣2x ≥0，所以12x ≤且0x ≠．故答案为：12x ≤且0x ≠．考点：函数自变量的取值范围．15．16的平方根是．【答案】±2．【解析】试题分析：16的平方根是±2．故答案为：±2．考点：平方根；算术平方根．16．如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数8yx=（0x>）和kyx=（0x>）的图象交于P、Q两点，若ΔPOQS=14，则k的值为．【答案】－20．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；综合题．17．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要元．【答案】2000a．【解析】试题分析：2500a×80%=2000a（元）．故答案为：2000a元．考点：列代数式．18．如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA 的余弦值为．【答案】12． 【解析】试题分析：如图，连接AM ；∵AB =8，AC =3CB ，∴BC =14AB =2：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AMB =90°；由射影定理得：2BM AB CB =⋅，∴BM =4，cos ∠MBA =BM AB =12，故答案为：12．考点：垂径定理；解直角三角形；综合题．19．如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ．若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = ．【答案】5． 【解析】试题分析：作FG ⊥AC ，根据旋转的性质，EC =BC =4，DC =AC =6，∠ACD =∠ACB =90°，∵点F 是DE 的中点，∴FG ∥CD ，∴GF =12CD =12AC =3，EG =12EC =12BC =2，∵AC =6，EC =BC =4，∴AE =2，∴AG =4，根据勾股定理，AF =5．考点：旋转的性质． 20．方程0223=--x x 的解是 ． 【答案】x =6． 【解析】试题分析：去分母得：3（x ﹣2）﹣2x =0，去括号得：3x ﹣6﹣2x =0，整理得：x =6，经检验得x =6是方程的根．故答案为：x =6． 考点：解分式方程．21．已知二次函数2(2)3y x =-+，当x 时，y 随x 的增大而减小． 【答案】＜2（或x ≤2）．考点：二次函数的性质．22．如图，直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，S n ﹣1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n ﹣1P n ﹣2P n ﹣1的面积，则当n =2015时，S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1= ．【答案】10072015． 【解析】考点：一次函数图象上点的坐标特征；规律型；综合题． 三、解答题23．（1）计算：8)21(45tan )20143(1+-︒-+--；（2）解方程：31112=-+-xx x ． 【答案】（1）22；（2）x =2． 【解析】考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值． 24．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC （项点是网格线的交点）．（1）先将△ABC 竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A 1B 1C 1，请画出△A 1B1C 1；（2）将△A 1B 1C 1绕B 1点顺时针旋转90°，得△A 2B 1C 2，请画出△A 2B 1C 2； （3）线段B 1C 1变换到B 1C 2的过程中扫过区域的面积为 ．【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）94π． 【解析】试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△A 1B 1C 1； （2）根据旋转的性质画出△A 2B 1C 2； （3）利用扇形面积公式求出即可．试题解析：（1）如图；（2）如图；（3）∵BC=3，∴线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：2903360π⨯=94π．故答案为：94π．考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．25．随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了问卷调查，随机抽取部分员工，记录每个人消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成如图两幅尚不完整的表和图．组别个人年消费金额x（元）频数（人数）频率A x≤2000 18 0.15B 2000＜x≤4000 a bC 4000＜x≤6000D 6000＜x≤8000 24 0.20E x＞8000 12 0.10合计 c 1.00根据以上信息回答下列问题：（1）a= ，b= ，c= ．并将条形统计图补充完整；（2）这次调查中，个人年消费金额的中位数出现在组；（3）若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．【答案】（1）36，0.30，120，作图见试题解析；（2）C；（3）900．试题解析：（1）观察频数分布表知：A组有18人，频率为0.15，∴c=18÷0.15=120，∵a=3 6，∴b=36÷120=0.30；∴C组的频数为120﹣18﹣36﹣24﹣12=30，补全统计图为：故答案为：36，0.30，120；（2）∵共120人，∴中位数为第60和第61人的平均数，∴中位数应该落在C小组内；（3）个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×（0.10+0.20）=900人．考点：频数（率）分布表；用样本估计总体；条形统计图；中位数．26．为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭每月用水量划分为三个阶梯，一、二、三级阶梯用水的单价之比等于1：1.5：2．如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y（元）与用水量xm3之间的函数关系．其中线段AB表示第二级阶梯时y与x之间的函数关系．（1）写出点B的实际意义；（2）求线段AB所在直线的表达式；（3）某户5月份按照阶梯水价应缴水费102元，其相应用水量为多少立方米？【答案】（1）图中B 点的实际意义表示当用水25m 3时，所交水费为90元；（2）94522y x =-；（3）27． 【解析】试题分析：（1）根据图象的信息得出即可；（2）首先求出第一、二阶梯单价，再设出解析式，代入求出即可； （3）因为102＞90，求出第三阶梯的单价，得出方程，求出即可．（3）设该户5月份用水量为xm 3（x ＞90），由第（2）知第二阶梯水的单价为4.5元/m 3，第三阶梯水的单价为6元/m 3，则根据题意得90+6（x ﹣25）=102，解得，x =27． 答：该用户5月份用水量为27m 3．考点：一次函数的应用；分段函数；综合题．27．一水果经销商购进了A ，B 两种水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售，预计每箱水果的盈利情况如下表：A种水果/箱B种水果/箱甲店11元17元乙店9元13元（1）如果甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱，请你计算出经销商能盈利多少元？（2）在甲、乙两店各配货10箱（按整箱配送），且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？【答案】（1）250；（2）甲店配A种水果3箱，B种水果7箱．乙店配A种水果7箱，B种水果3箱．最大盈利：254（元）．【解析】试题分析：（1）经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利；（2）设甲店配A种水果x箱，分别表示出配给乙店的A水果，B水果的箱数，根据盈利不小于110元，列不等式求解，再根据经销商盈利=A种水果甲店盈利×x+B种水果甲店盈利×（10﹣x）+A种水果乙店盈利×（10﹣x）+B种水果甲店盈利×x；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可．考点：一元一次不等式的应用；方案型；最值问题；综合题．28．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE，求tanC．【答案】（1）证明见试题解析；（2）22． 试题解析：（1）连接OD ，∵OB =OD ，∴∠B =∠ODB ，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∴∠ODB =∠C ，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是⊙O 的切线；（2）连接BE ，∵AB 是直径，∴∠AEB =90°，∵AB =AC ，AC =3AE ，∴AB =3AE ，CE =4AE ，∴BE =22AB AE -=22AE ，在RT △BEC 中，tanC =224BE AE CE AE ==22．考点：切线的判定．29．某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元． （1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？【答案】（1）y =2100 (010)3130 (1030)x x x x x x x ≤≤⎧⎪⎨-+<≤⎪⎩，且为整数，且为整数；（2）22． 【解析】试题分析：（1）根据题意可得出销量乘以每台利润进而得出总利润，进而得出答案； （2）根据销量乘以每台利润进而得出总利润，即可求出即可． 试题解析：（1）y =2300200100 (010)[3003(10)200]3130 (1030)x x x x x x x x x x x -=≤≤⎧⎪⎨---=-+<≤⎪⎩，且为整数，且为整数，（2）在0≤x ≤10时，y =100x ，当x =10时，y 有最大值1000；在10＜x ≤30时，23130y x x =-+，当2213x =时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x =22时，y 有最大值1408，∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多． 考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数；综合题．30．已知二次函数n mx x y ++=2的图象经过点P （﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线． （1）求m 、n 的值；（2）如图，一次函数b kx y +=的图象经过点P ，与x 轴相交于点A ，与二次函数的图象相交于另一点B ，点B 在点P 的右侧，PA ：PB =1：5，求一次函数的表达式．【答案】（1）m =2，n =-2；（2）一次函数的表达式为4y x =+． 【解析】试题分析：（1）利用对称轴公式求得m ，把P （﹣3，1）代入二次函数n mx x y ++=2得出n =3m ﹣8，进而就可求得n ；（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B 的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B 的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．试题解析：∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y 轴的直线，∴121m-=-⨯，∴m =2，∵二次函数n mx x y ++=2的图象经过点P （﹣3，1），∴9﹣3m +n =1，得出n =3m ﹣8．∴n =3m ﹣8=﹣2；（2）∵m =2，n =﹣2，∴二次函数为222y x x =+-，作PC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则PC ∥BD ，∴PC PA BD AB =，∵P （﹣3，1），∴PC =1，∵PA ：PB =1：5，∴116BD =，∴BD =6，∴B的纵坐标为6，代入二次函数为222y x x =+-得，2622x x =+-，解得12x =，24x =-（舍去），∴B （2，6），∴3126k b k b ⎩-+⎨+⎧＝＝，解得14k b ⎧⎨⎩＝＝，∴一次函数的表达式为4y x =+．考点：待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式．。
初三数学冲刺复习题
初三冲刺复习题1．等腰三角形的两条边分别为5、6，则此三角形底角的余弦值为 ． 2．点P 的坐标为)5,2( ，以点P 为圆心，半径为r 的圆与x 轴相离，与y 轴相交，则r 的取值范围为 ． 3．已知：如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转30那么△BC 1C 的面积是 ．4．将一副直角三角尺如图摆放在一起，连接的余切值为 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在原点，边AC 在x 轴的正半轴，AC ＝16，∠BAC ＝60°，AB ＝10，⊙P 分别与边AB 、AC 相切于D 、E(切点D 、E 不在边AB 、AC 的端点)，ED 的延长线与CB 的延长线相交于点F. （1）求BC 边的长和△ABC 的面积；（2）设AE ＝x ，DF ＝y ，写出y 与x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探索△ADC 与△DBF 能否相似？若能相似，请求出x 的值，同时判断此时⊙P 与边BC 的位置关系，并证明之；若不能相似，请说明理由。
（4）当⊙P 与△ABC 内切时，⊙P 与边BC 相切于G 点，请写出切点D 、E 、G 的坐标(不必写出计算过程).A6．已知，如图△ABC 为直角三角形，AD ⊥BC ，tgB ＝ ，BC ＝5，用一直角三角板的直角顶点放在点D 上转动，交AB 于E ，交AC 于F 。
（1）证明： （2）设AF ＝x ， ，求y 关于x 的函数解析式并求出x 的取值范围。
（3）△AED 能否为等腰三角形，若能则求出AF 的长，若不能，请说明理由。
7．如图,已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为R 、r ，连结O 1O 2交⊙O 1于点M 、交⊙O 2•于点N ．将一个直角三角尺的直角顶点C 放在直线O 1O 2的上方,•让两个直角边所在的直线分别经过点M 、N ，CM 交⊙O 1于点A ，CN 交⊙O 2于点B ． (1) 求证：O 1A ∥O 2B ；（2）直线AB 和直线O 1O 2能否平行？若能够，试指出什么条件下，AB ∥O 1O 2；若不能，试说明理由．(3) 是否存在一点C ，使CB CN CA CM ⋅=⋅？若存在,请说明如何确定点C 的位置, 并证明你的结论；如果不存在,请说明理由．43ABACBE AF =y S ADE=△DBCA8．已知，二次函数y =12)3(2122-++--m x m x 的图象与x 轴相交于A )0,(1x 、B(x 2,0)两点，且x 1<0，x 2>0，图象与y 轴交于点C ，OB =2OA ；(1) 求二次函数的解析式；(2) 在x 轴上，点A 的左侧，求一点E ，使△ECO 与△CAO 相似，并说明直线EC 经过(1)中二次函数图象的顶点D ；(3) 过(2)中的点E 的直线y =b x +41与(1)中的抛物线相交于M 、N 两点，分别过M 、N 作x 轴的垂线，垂足为M ΄、N ΄，点P 为线段MN 上一点，点P 的横坐标为t ，过点P 作平行于y 轴的直线交(1)中所求抛物线于点Q ，是否存在t 值，使S N N MM ''梯形:S QMN ∆=35:12. 若存在，求出满足条件的t 值；若不存在，请说明理由.9．已知：如图，点A 在∠MON 的边OM 上，以点A 为顶点的∠BAC 与∠MON 的边ON 分别相交于点B 和点C （点B 在点C 的左边），OA =2，∠BAC =∠MON =30°，设点O 与点B 的距离为x ，OC =y ． （1）求证：线段AC 是线段OC 与BC 的比例中项； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果以线段BC 为直径的圆P 与直线OM 相切，求线段OB 的长．A MBC N。
相似三角形专题复习--k图形
α α α
2.如图，由8个大小相等的小正方形构成的图案， 它的四个顶点E、F、G、H分别在矩形ABCD的 边AB、BC、CD、DA上。 若AB=4，BC=6，求DG的长．
A E G
H
D
B
F
C
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
C A（1,2）
2 y ( x＞0) 的图象 3.如图，已知点A（1,2）是函数 x -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
（2）求OA︰OB的值；
o
D B
x
交于点B. （1）求点B的坐标；
y
A C
2 y ( x＞0) 的图象 3.如图，已知点A（1,2）是函数 x -6 的点，连接OA,作OA⊥OB，与图象 y x ( x＞0)
（2）求OA︰OB的值； （3）若点A在双曲线上移 动， 保持OA⊥OB 不变， OA︰OB的值变吗？
画钝角试试！
1.如图在梯形ABCD中AD∥BC,AB=DC=AD=3, ∠C=60。,点E、F分别在边AD、DC上（点E与 点A、D不重合）的动点，且∠BEF=120°。 设AE=x,DF=y，求y关于x的函数解析式， 并写出自变量x的取值范围。
A
x E
120°
120°
D
120° y
F
B
600 C
o
D B
x
A A F
变 中 不 变
①
B E
F
②CBຫໍສະໝຸດ α①α ②
E
α
C
D A F
D A F
1、已知：如图五,在△ABC中,AB=AC,点D是
1、已知：如图五，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是 边BC 延长线上一点，点E 是边AC 上一点，如果0 ∠EBC ＝∠D ，BC ＝4，cos ∠ABC ＝31．（1）求证：ABCE ＝BDBC ；（2）如果S 1、S 2分别表示△BCE 、△ABD 的面积，求：S 1S 2的值； （3）当∠AEB=∠ACD 时，求△ACD 的面积．（071上海部分学校）2、已知：如图六，在矩形ABCD 中．AB ＝3．AD ＝ 4．将一个直角的顶点P 放置于对角线AC 上，一条直 角边经过点B ，另一条直角边与BC 和DC 的延长线分 别交于点E 、Q（1）如果CE ＝CQ ，求AP 的长；（2）比例式PBPE ＝BCCQ 是否可能成立？如果可能，求出AP 的长，并证明你的结论；如果不可能，请说明理由．（07。
1徐汇区）3、已知：如图八，在直角坐标平面中，点O 为坐标 原点．直线y ＝34x ＋8分别与x 、y 轴交于点P 、Q ，△ABC 的AB 边在x 轴上，BC ⊥x 轴，BC 与线段PQ 交于点M ，AB ＝BC ＝6，点P 是AB 的中点．（1）求BM 的长；（2）如图九，将△ABC 以点P 为旋转中心进行旋 转，当△ABC 的某一条边同时与x 、y 轴都有交点（设 与x 轴的交点为点E ，与y 轴的交点为点F ）时，△OEF 是否可能会与△OPQ 相似？如果△OEF 会与△OPQ 相 似，那么请求出OE 的长；如果△OEF 不会与△OPQ 相似，那么请说明理由．（07。
1闸北）4、已知：如图一，点D 是等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 作DE ⊥AB 交边AC 于点F ，连结BE ．∠E ＝30°，AB ＝4. 设DE 的长度为x,四边形DBCF 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并指出它的定 义域；（2）连结BF ，①当△BDF 与△DBE 相似时，求 出x 的值；②是否存在x 的值，使得△BCF 与△DBE 相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．（071普陀区）（图六）Q APDBC E（图九）（图二）BCDAE F （图五）BCDA E5、已知：如图九，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AP ⊥BC ，垂足为点P ，AB ＝CD ＝2，BC ＝5，∠B ＝60°,（1）求AD 的长；（2）若把三角尺60°的顶点与点P 重合，使三角尺绕点P 旋转，该60°角的两边PE 与PF （看作射线）分别与边AD 交于点E （点E 不与点A 、点D 重合），与射线DC 交于点F(点F 不与点C 重合)，如设AE 为x ，CF 为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在第（2）小题的条件下，三角尺绕点P 旋转 过程中，△PED 与△PDF 这两个三角形中，哪一个三角 形可能成为等腰三角形？如有可能，请指出是哪一个三 角形，并求出AE 的长；如不能，请说明理由．（071青浦）6．如图十，点A 的坐标为（0，5），点B 在第一 象限，△AOB 为等边三角形，点C 在x 轴正半轴上． （1）以AC 为边，在第一象限作等边△ACE （保 留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）设AC 与OB 的交点为点D ，CE 与AB 的延 长线交于点F ，求证：△ADB ∽△AF C ；（3）连结BE ，试猜想∠ABE 的度数，并证明你的猜想；（4）若点E 的坐标为（s ，t ），当点C 在x 正半轴运动时，求s 、t 的关系式． （071南汇）7．已知：如图八，△ABC 是等边三角形，AB ＝ 4，点D 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），EF 垂直平分BD ，分别交AB 、BC 于点E 、F ，设CD ＝x ， AE ＝y ．（1）求∠EDF 的度数；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 定义域； （3）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，当EH ＝1时，求线段CD 的长．（071卢湾）8、已知：如图一，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，在BC 边上取两点E 、F （点E 在点F 的左边），以EF 为边作等边△PEF ，使顶点P 在AD 上，PE 、PF 分别交AC 于点G 、H ，（1）求△PEF 的边长； （2）求证：GHPG ＝GCEG ；（3）若△PEF 的边EF 在线段BC 上移动．试猜想： PH 与BE 有何数量关系？并证明你猜想的结论．（071虹口）（图九）BADCP（图十）（图八）BACDE F（图三）B CA DFP E GH9、如图七，在直角坐标系中有一个半径为r 的圆A ，圆心A 在x 轴的正半轴上，从坐标原点O 向圆A 做切线，切点是点B ．（1）如果OB ＝33，OA 与半径r 的差是3，求圆A 的半径r ，点A 的坐标及∠AOB 的正弦值；（2）设∠AOB ＝α，在图中确定一个与2α大小相等的角（可以添加辅助线），并说明理由；（3）在（2）的基础上，试探究sin2α与2sinα是否相等？如果相等，请说明理由；如果不相等，请你找出它们之间正确的关系式．（071长宁）10、（本题满分14分，第（1）题3分，第（2）题6分，第（3）题5分） 已知：如图七，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8．点P 是边AB 的中点，以P 为顶点，作 ∠MPN ＝∠A ，∠MPN 的两边分别与边AC 交于点M 、 N ．（1）当△MPN 是直角三角形时，求CM 的长度；（2）当∠MPN 绕点P 转动时，下列式子：（甲）CM ·AN ，（乙）CN ·AM 的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；（3）连接BM ，是否存在这样的点M ，使得△BMP 与△ANP 相似？若存在，请求出这时CM 的长；若不存在，请说明理由．（071宝山）11、如图七，在四边形ABCD 中，BD 垂直平分 AC ，垂足为点O ，∠ABD ＝60°，AB 边长为24厘米， ctg ∠ADB＝3．质点P 以4厘米∕秒的速度，从点A 出发沿线路A →B →D 作匀速运动，质点Q 以5厘米∕秒的速度，从点D 同时出发，沿线路D →C →B →A 作匀速运动．（1）求BD 和CD 的长，并确定四边形ABCD 的形状；（2）求经过多少秒钟，运动中的质点P 、Q 构成的线段与四边形ABCD 的边平行？（不包括起始位置和两点均终止的情况）；（3）如果已知质点P 、Q 经过12秒后分别到达M 、N 两点，然后同时沿原路返回，质点P 的速度不变，质点Q 的速度改变为a 厘米∕秒，经过3秒后，P 、Q 分别到达E 、F 两点，若△BEF 与△AMN 相似，求a 的值．（061闸北）（图七）（图七）B CPAN M （图七）DO BAC12、已知：如图八，在△ABC 中，AB ＝AC, ∠BAC ＝90°，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 边上，BD ＝ DC ，BE ＝AF ，EF 交AD 于点G ．（1）求证：DE ＝DF ；（2）求证：△DEG ∽△DCF ；（3）如果AB ＝3BE ，BE ＝22，求出所有与△BDE 相似的三角形的面积．（051闸北）13、抛物线y ＝41x 2＋411x ＋6与x 轴有两个交点A 、B （点A 在点B 的左边），与y轴交于点C ，直线y ＝kx ＋b 经过点A 、C ．点D （0，m ）（其中m ≤6）在y 轴上，经过点B 、D 的直线与直线y ＝kx ＋b 交于点M ，（1）求k 和b 的值；（2）如果以点M 、C 、D 为顶点的三角形与以点M 、A 、B 为顶点的三角形相似，求点D 、M 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，求△MCD 与△MAB 的面积比．（041闸北）14、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，圆A 的半径为1，如图五所示．若点O 在BC 边上运动 （与点B 、C 不重合），设BO ＝x ，△AOC 的面积为y ， （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义 域；（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作圆O ，求当圆O 与圆A 相切时，△AOC 的面积．（2004年上海市中考试题）15、在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝ 3 ．点O 是边AC 上的一个动点，以点O 为圆心作半 圆，与边AB 相切于点D ，交线段OC 于点E ．作EP ⊥ED ，交射线AB 于点P ，交射线CB 于点F ．（1）如图一，求证：△ADE ∽△AEP ；（2）设OA ＝x ，AP ＝y ，求y 关于x 的函数解析 式，并写出它的定义域；（3）当BF ＝1时，求线段AP 的长．（图八） BCAGE F（图五） ABC· A BCD FO P（图一）ABC（备用图）16、如图4，直线y ＝21x ＋2分别交x 、y 轴于点A 、C ，点P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，点B 为垂足，S △ABP ＝9 ．（1）求点P 的坐标；（2）设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧．作RT ⊥x 轴，点T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标 ．（2002年上海市中考试题）17、操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ． 探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）（2002年上海市中考试题）18、如图一，在正方形ABCD 中，AB ＝1，AC 是以点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧，点E 是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合），过点E 作AC 所在圆的切线，交边DC 于点F ，点G 为切点；（1）当∠DEF ＝45°时，求证点G 为线段EF 的中点；（2）设AE ＝x ，FG ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF 沿直线EF 翻折后得△D 1EF ，如图（2），当65EF 时，讨论△AD 1D与△ED 1F 是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由． （2003年上海市中考试题）ABDABC D ABC D （图5）（图6）（图7）（图一）ABCDEFGABCDABCDEF GD 1（图一）（图二）（备用图）19、如图7，已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴交于不 同的两点A 、B ，其顶点是点C ，点D 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点．（1）求实数m 的取值范围；（2）求顶点C 的坐标和线段AB 的长度（用含有m 的 式子表示）； （3）若直线y ＝2x ＋1分别交x 轴、y 轴于点E 、F ， 问ΔBDC 与ΔEOF 是否有可能全等？如果可能，请证明； 如果不可能，请说明理由． （2001年上海市中考试题）20、已知：二次函数y ＝21x 2＋bx ＋c 的图象经过点A （－3，6），并与x 轴交于点B （－1，0）和点C ，顶点为点P ．（1）求:这个二次函数的解析式；（2）设点D 为线段OC 上的一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标．（2000市上海市中考试题）（图一）（图一）。
中考数学压轴题二
1．如图，点P是反比例函数y＝－2x（x＜0）图象上一动点，点A、B分别在x轴，y轴上，且OA＝OB＝2，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F．（1）当动点P的纵坐标为53时，连接OE（2）设动点P的坐标为P（a，b）（－2＜探索：以AE、EF、BF2、如图，在△OAB中，OA＝OB，点A坐标为（－33，3），点B在x轴负半轴上．（1）将△OAB沿x轴向右平移a个单位后，点A恰好落在反比例函数y＝63x的图象上，求a的值；（2）将△OAB绕点O按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）．①当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝k的图象上，求k的值；②点A、B请说明理由．3．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，E是AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．（1）如图2，若点D是边AB的中点，求证：DE＝DF；（2）若AD:DB＝m，求DE:DF的值；（3）若AC＝BC＝6，AD:DB＝1:2，设AE＝x，BF＝y．①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切，若可能，求出此时x的值，若不可能，请说明理由．B图1B图2B 备用图B 备用图4．Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上，已知AB ＝DF ，DE ＝EF ，∠A ＝30°．固定△DEF 不动，将△ABC 绕点B 旋转，并使边AB 与边DE 交于点P ，边BC 与边EF 于点Q ．（1）如图1，若FBBD ＝m ，求BPBQ的值，并确定m 的取值范围；（2）若DF ＝30， FBBD＝2，连接PQ ，设△BPQ 的面积为S ，在旋转过程中：①如图2，当点E 恰好落在边AC 上时，求AE 的长；②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应S 值的取值范围．Q E D F B A PC 图1 Q ED FBA PC图2 H5．如图，已知抛物线y＝(3－m)x2＋2(m－3)x＋4m－m2的顶点A在双曲线y＝3x上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交与点E，求sin∠BDE 的值；（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点F，点M在直线BF上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N在直线BF上，直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．6．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx（m＞0）与双曲线y＝kx交于A、B两点，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，AC与y轴交于点M，BC与x 轴交于点N，若∠BAC＝60°，AB＝4．（1）求m、k的值；（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；（3）当△PQC的面积为32时，求点P的坐标．7．如图，矩形ABCD的顶点A在坐标原点，顶点B坐标为（－2，1），顶点C在y轴上．（1）求顶点D的坐标；（2）将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的点G处，得到矩形AEFG，EF 与AD交于点M，过点M的反比例函数图象交FG于点N（3）求证：△AMN是直角三角形．8．在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转转角为α，∠ABO 为β．（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标； （2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．图①图②9．已知∠MON ＝60°，射线OT 是∠MON 的平分线，点P 是射线OT 上的一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ．（1）如图，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ，求证：P A ＝PB ； （2）在（1）的条件下，若点C 是AB 与OP 的交点，且满足PC ＝32PB ，求△POB 与△PBC 的面积之比；（3）当OB ＝2时，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线P A 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，求OP 的长．B C M A N PT M N T 备用图MNT 备用图10．已知一次函数y＝－12x＋b的图象与反比例函数y＝6x（x＞0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．（1）如图1，若AB＝2AC，求b的值；（2）在（1）的条件下，将一块直角三角板的直角顶点P放在反比例函数y＝6x（x＞0）图象的AB段上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB分别交于Q、R两点．设点P 的横坐标为x，QR的长为L，求L关于x的函数关系式，并求L的最大值；（3）如图2，过点A作直线AE∥x轴，交轴于点E；过点B作直线BF∥轴交x轴于点F，交直线AE于点并说明理由．11．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2．将点A 折叠到CD 边上，记折叠后A 点对应的点为P （P 与D 点不重合），折痕EF 只与边AD 、BC 相交，交点分别为E 、F ．过点P 作PN ∥BC 交AB 于N ，交EF 于M ，连结P A 、PE 、AM ，EF 与P A 相交于O ．（1）指出四边形PEAM 的形状（不需证明）；（2）记∠EPM ＝α，△AOM 、△AMN 的面积分别为S 1、S 2．①求证：S 1tanα2＝18P A 2；②设AN ＝x ，y ＝S 1－S 2tanα2，试求出以x 为自变量的函数y 的解析式，并确定y 的取值范围．OABCDPE FMN12．已知：在△ABC 中，BC ＝2AC ，∠DBC ＝∠ACB ，BD ＝BC ，CD 交线段AB 于点E ． （1）如图l ，当∠ACB ＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为____________________； （2）如图2，当∠ACB ＝120°时，求证：DE ＝3CE ； （3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．C A B DE 图1C A BDE 图2C AB D E 图3K HG F13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－1，0），点B（9，0），以AB为直径作⊙M，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，抛物线经过A、B、C三点．（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙M于点D，连接BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．（1）求该二次函数的表达式；（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S②当△BEF为等腰三角形时，求点E15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求cos∠DEF的值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．ACB DEF16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，CB＝4cm．点P、Q分别是AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P、Q移动时间为t秒（0≤t≤4）．（1）当∠CPQ＝90°时，求t的值；（2）是否存在t，使△CPQ成为等边三角形？若存在，求出t的值；若不存在，能否改变Q 的运动速度（P的速度不变），使△CPQ成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t值．17．如图，抛物线y＝－14x2＋4交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S＝S1－S2，试探究S的最小值．18．如图，Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP＝x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．EQAC19．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是BC上一动点（不与B、C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转α后到达AE位置，连接DE、CE，设∠BCE＝β．（1）如图1，若α＝90°，求β的大小；（2）如图2，当点D在线段BC上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点D在线段BC的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．EA图1E A图220．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）图121．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，设锐角∠DOC ＝α，将△DOC 绕点O 按逆时针方向旋转得到△D ′OC ′（0°＜旋转角＜90°），连接AC ′、BD ′，AC ′ 与BD ′ 相交于点M ．（1）当四边形ABCD 是矩形时，如图1，请猜想AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（2）当四边形ABCD 是平行四边形时，如图2，已知AC ＝kBD ，请猜想此时AC ′ 与BD ′ 的数量关系以及∠AMB 与α的大小关系，并证明你的猜想；（3）当四边形ABCD 是等腰梯形时，如图3，AD ∥BC ，此时（1）AC ′ 与BD ′ 的数量关系是否成立？∠AMB 与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．M B C A O D C ′ D ′ 图1MB C A O D C ′D ′ 图2MB C A O D C ′ D ′图322．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N．（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：BE＝PD＋33MN；（2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC 于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长．A E M DNC图1 A E DC备用图A E M DN图2GF23．如图1，边长为2的正方形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，且AE ＝AB ，点P 从点D 出发，以每秒1个单位长度的速度沿D →C →B 向终点B 运动，直线EP 交AD 于F ，过点F 作直线FG ⊥DE 于G ，交AB 于Q ．设点P 运动时间为t （秒）． （1）求证：AF ＝AQ ；（2）当t 为何值时，四边形PQBC 是矩形？（3）如图2，连接PB ，当t 为何值时，△PQB 是等腰三角形？A B C E D F G Q P 图1 A B C E D FG Q P 图224．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋8（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P 的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF25．已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且始终保持PE＝PD．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图2，当点P运动到CA的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图3画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）B 图1B 图226．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，AD ＝14，点E 、F 、G 分别在BC 、AB 、AD 上，且BE ＝3，BF ＝2，以EF 、FG 为邻边作□EFGH ，连接CH 、DH ．（1）直接写出点H 到AD 的距离；（2）若点H 落在梯形ABCD 内或其边上，求△HGD 面积的最大值与最小值； （3）当△EHC 为等腰三角形时，求AG 的长．A D C GB F E H27．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝|S1－S2|．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与b的函数关系式。
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能不能找到一种学生在学习完这种题的解法后能在以后学习中举一反三
使得学生在能力上有所提高的办法呢？
初三的很多老师都知道一句话："在做后一小题感到困难的时候
应该去看看前一小题
因为它又可能是后一小题的铺垫"
但这里第一小题只是求三角形的面积
它会对我们起到什么帮助吗？
ED的延长线与CB的延长线相交于点F
（i） 求BC的边长和△ABC的面积；
（ii） 设AE＝x
DF＝y
写出y关于x的函数关系式
并写出自变量x的取值范围；
（iii） 探索△ADC与△DBF能否相似？若能相似
请求出x的值
同时判断此时⊙P与边BC的位置关系
并证明之
若不能相似
请说明理由；
会发现它的背景是初三上学期我们特别强调的三角形中有两条交叉线的问题
当时我们是作平行线－在两个三角形中处理"横档"问题－等量代换）
过D作OC的平行线（其实过E作AB的平行线也是一样的）交FC于Q
设DQ＝a
则有：
但是
从数学老师的眼给学生进入的方法
（iv） 当⊙P与△ABC内切时
⊙P与边BC相切于G点
请写出切点D、E、G的坐标（不必写出计算过程）
空壳准备：
过B作AC边上的高BH
易知
求y关于x的函数关系式的解法1：
过C作CQ∥AB交FE的延长线于Q
∵△ADE是正三角形
∴△EQC也是正三角形
即CQ＝EQ＝CE＝16－x
而DB＝10－x
你如果认识从前的我，也许会原谅现在的我。
黄浦区2007年初三数学模拟考压轴题的分析
黄浦区光明初级中学 刘颖颋
如图
在平面直角坐标系中
△ABC的顶点A在原点
边AC在x轴的正半轴
AC＝16
∠BAC＝
AB＝10
⊙P分别与边AB、AC相切与D、E（切点D、E不在边AB、AC的端点）
求y关于x的函数关系式的解法4：从
可知：
推导出：
求y关于x的函数关系式的解法5：其实做综合题还应该老老实实地在做完空壳准备后
画出所有的运动状态
观察其中极限状态下x的取值
考虑y是否存在
求出x的取值范围
在第一种极限状态下求一下y的值
目的是为了给后面寻找解题方法的提示
在动圆还没有开始"动"的时候
故有：
（但是这种解法学生是不太会想到的）
求y关于x的函数关系式的解法2：（对初二一次函数比较熟悉的同学说不定会有这样的进入方法）
先根据B（5
）
C（16
0）计算出直线BC的解析式为：
而∠FEA＝
所以可以推出点F的坐标为
把点F的坐标代入BC的解析式也可得出
求y关于x的函数关系式的解法3：（其实这个图形若能静下心来仔细观察
我们求BF的方法是：
那么在求y关于x的函数关系式的时候我们也可以用这个办法：
在这里我只想抛砖引玉
我的一些方法有可能很不成熟
还望同行批评指正！
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