函数为什么一个x只能对一个y
高中函数定义域知识点
高中函数定义域知识点高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，那么接下来给大家分享一些关于高中函数定义域知识，希望对大家有所帮助。
高中函数定义域知识定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。
其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。
平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。
然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。
如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。
才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。
“范围”与“值域”相同吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。
一次函数的左右平移规律
一次函数的左右平移规律一次函数，也称为一次方程，是数学中最基本的函数之一。
它的一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别代表函数的斜率和截距。
一次函数的图像呈直线，具有特定的斜率和截距。
在研究一次函数时，我们常常会遇到需要对函数进行平移的情况。
平移是指将函数的图像沿着坐标轴的方向进行移动，而不改变其形状和斜率。
具体而言，我们可以对一次函数进行左右平移。
我们来看一次函数的左平移规律。
左平移是指将函数的图像沿着x 轴的负方向移动一定的距离。
假设原来的一次函数为y = kx + b，我们要对其进行左平移，可以将x替换为x + a，其中a为平移的距离。
这样一来，新的函数变为y = k(x + a) + b，简化后为y = kx + ka + b。
通过比较两个函数的表达式，我们可以发现，左平移的结果相当于在原函数的基础上，斜率和截距不变，但截距增加了ka。
接下来，我们来看一次函数的右平移规律。
右平移是指将函数的图像沿着x轴的正方向移动一定的距离。
同样假设原来的一次函数为y = kx + b，我们要对其进行右平移，可以将x替换为x - a，其中a为平移的距离。
这样一来，新的函数变为y = k(x - a) + b，简化后为y = kx - ka + b。
通过比较两个函数的表达式，我们可以发现，右平移的结果相当于在原函数的基础上，斜率和截距不变，但截距减少了ka。
左右平移是一次函数常用的变换方式，可以通过改变函数的截距来实现图像在横轴上的移动。
这种变换可以用来解决很多实际问题。
例如，在经济学中，可以利用一次函数的左右平移规律来分析市场需求的变化。
当市场需求增加时，可以将需求曲线右平移，反之，当市场需求减少时，可以将需求曲线左平移。
这样一来，我们就可以通过一次函数的平移规律，预测市场在不同条件下的供需情况，从而做出相应的决策。
除了经济学，一次函数的平移规律还可以应用于其他领域。
例如，在物理学中，可以利用一次函数的平移规律来分析物体在平面上的运动。
函数的11个概念
函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。
下面我将详细介绍函数的11个概念。
1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。
函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。
2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。
在一些情况下，值域和定义域可能有限制。
3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。
反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。
4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。
如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
有些函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。
求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。
一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。
函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。
7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。
导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。
8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。
不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。
积分在数学和物理学中有广泛应用。
9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。
极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。
10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。
高一函数的奇偶性知识要点、例题讲解(数学)
函数的奇偶性（一）一、课题引入幂函数(1) f (x )=x 3(x ∈R )，(2) f (x )=x 2(x ∈R )的图像特点、单调区间，并列下表 函数 f (x )=x 3f (x )=x 2定义域 (－∞，+∞)关于原点对称(－∞，+∞)关于原点对称函数值 f (－x )=－f (x )f (－x )= f (x )对称性 图像关于原点对称 图像关于y 轴对称 单调性在原点两侧单调性相同在原点两侧单调性相反图 像前者曰“奇函数”、后者曰“偶函数”． 二、知识讲解1．奇函数和偶函数的概念设函数y =f (x )的定义域为D ，且D 关于原点对称．(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (－x )=－f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．定义还可以表达为：(1) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )+f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做奇函数．(2) 如果对于函数f (x )的定义域D 内任意一个x ，都有f (x )－f (－x )=0，那么函数f (x )就叫做偶函数．第二种表述形式能比较方便地判断函数的奇偶性，如判断函数()x xy -+=1lg2的奇偶性．这种形式能使学生从方程的角度看待函数的奇偶性，例如，若函数是奇函数，且定义域为D ；则方程f (x )+f (－x )=0的解集为D ；另一方面，若方程f (x )+f (－x )=0的解集D 关于原点对称，则函数y =f (x )在D 上是奇函数．对偶函数也可以得出类似的结论．2．奇函数和偶函数的图像特征(1) 奇函数的图像关于原点对称，反过来，图像关于原点对称的函数，必是奇函数． (2) 偶函数的图像关于y 轴对称，反过来，图像关于y 轴对称函数，必是偶函数．3．判断函数的奇偶性 对于函数f (x )先求其定义域D ；并判别D 是否关于原点对称，然后再验证f (－x )=±f (x ) (或f (x )±f (x )=0，或()()1±=-x f x f 等)是否成立，最后作出正确结论．4．判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内，(1) 两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． (2) 两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． (3) 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． (4) 函数f (x )与()x f 1同奇或同偶． 以上结论，可在讲完出上一例：判断下列函数是否具有奇偶性：(1) f (x )=x 3；(2) f (x )=2x 4+3x 2；(3) ()313-+=xx x f ；(4) f (x )=x +1后，结合函数运算引出．直观引入后，可让学生在课后加以证明，这对学生加深对奇偶性的理解和用这一结论解题都是有帮助的．5．函数的奇偶性与单调性相结合，有以下两个结论： (1) 奇函数在原点两侧的对称区间上有相同的单调性． (2) 偶函数在原点两侧的对称区间上有相反的单调性． 三、例题分析1．判断函数的奇偶性易犯的错误 (1) 因忽视定义域的特征致错 例1．①()()11--=x x x x f ；②f (x )=x 2+(x +1)0错解：①()()x x x x x f =--=11，∴ f (x )是奇函数 ②∵ f (－x )=(－x )2+(－x +1)0=x 2+(x +1)0=f (x ) ∴ f (x )是偶函数．分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域(－∞，1)∪(1，+∞)关于原点不对称，f (x )是非奇非偶函数．②定义域(－∞，－1)∪(－1，+∞)，∴ f (x )非奇非偶函数． (2) 因缺乏变形意识或方法致错． 例2．判断()21151+-=x x f 的奇偶性． 错解：∵ 5x－1≠0，∴ x ≠0．f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．∵ ()2151521151+-=+-=-xx x x f ， ∴ f (－x )≠f (x )，f (－x )≠－f (x )， ∴ f (x )是非奇非偶函数．分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形．正解：()()1521521151-+=+-=xx x x f ，定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)关于原点对称． ()()()()()x f x f xx x x x x -=-+-=-+=-+=--152155125115215 ∴ f (x )是奇函数．(3) 因忽视f (x )=0致错． 例3．判断函数()2244x x x f -+-=的奇偶性．错解：由⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-040422x x 得x =±2，∴ f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称．()()()()x f x x x x x f =-+-=--+--=-22224444，∴ f (x )为偶函数正解：f (x )的定义域为{－2，2}，此时，f (x )≡0，∴ f (x )既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f (x )=0 (x ≠0)是f (x )既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f (x )=0 (x ≠0)函数的定义域．注意：分段函数奇偶性的判定应注意两点：(1) 分段函数是一个函数，而不是几个函数； (2) 确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论． 2．函数的奇偶性的应用例4．已知f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )=x |x －2|，求f (x )<0时，f (x )的表达式． 答：当x <0时，f (x )=x |x +2|．例5．已知f (x )=x 5+ax 3+bx －8，且f (－2)=10，则f (2)=_________ 解：令g (x )=f (x )+8=x 5+ax 3+bx ，则g (x )是奇函数∴ g (－2)+g (2)=0，即f (－2)+8+f (2)+8=0，∴ f (2)=－f (－2)－16=－26．例6．已知 f (x )、g (x )的定义域均为R ，f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，且()()112+-=+x x x g x f ，求f (x )的解析式． 答：()124++=x x xx f ．例7．已知函数y =f (x )是奇函数，在(0，+∞)上是减函数，且f (x )<0，判断()()x f x F 1=在区间(－∞，0)上是增函数还是减函数？并证明你的结论．答：F (x )在(－∞，0)是增函数．例8．定义在(－1，1)上的奇函数f (x )是减函数，且f (1－a )+f (1－a 2)<0，求实数a 的取值范围．答：a ∈(0，1)．点评：例8、9两题是函数的奇偶性与单调性的综合题．例9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，x >0时，f (x )=－x 2+2x －3．(1) 求f (x )的解析式； (2) 画出y =f (x )的图像； (3) 求出f (x )的单调区间．解：(1) ()()()⎪⎩⎪⎨⎧∞-∈++=∞+∈-+-=0320003222，，，，，x x x x x x x x f(2) 画图略．(3) 单调减区间为(]1-∞-，，[)∞+，1；单调增区间为[)01，-，(]10，． 点评：本题是函数奇偶性、单调性、图像特征，画图等有关概念、性质、方法的综合运用的一道函数综合题．此题主要是考查学生综合、灵活运用所学知识解题的能力． 四、习 题1．已知f (x )是奇函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？ 2．已知f (x )是偶函数，且在x =0处有定义，你能确定f (0)的值吗？3．函数()[)()⎩⎨⎧∞-∈-∞+∈=0101，，，，x x x f 是奇函数吗？答 案1．f (0)=0 2．f (0)不定3．否五、引伸和提高定义域关于原点对称的任意一个函数f (x )都可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和．即f (x )=21(F (x )+G (x ))其中F (x )= f (x )+f (－x )，G (x )=f (x )－f (－x ) (1) 利用这一结论可以很简捷地解决一些问题； (2) 在教学中，可根据学生的基础情况，适时引入．(3) 可以让学生自己证明，增强学生对抽象问题证明的能力，加深学生对奇、偶函数与一般函数关系的理解，使学生对构造法增加一次感性认识． 六、思 考 题1．设，f (x )=kx +x6－4，(k ∈R )当x =2+3时，f (x )=0，求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-231f 的值． 答：32024231-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-f ．2．已知函数y =f (x )满足f (x +y )+f (x －y )=2f (x ) f (y ) (x ∈R ，y ∈R )，且f (0)≠0，那么f (x )是__________函数(填奇、偶)．答：偶函数函数的奇偶性（二）一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
函数映射一对一多对一
函数映射一对一多对一函数映射一对一多对一函数映射是代数学中比较基础的概念，也是关系到现代数学的很多分支的基石。
在函数映射中，根据元素的对应关系，可以将函数映射分为一对一映射和多对一映射两种类型。
本文将会介绍这两种映射的基础概念、性质和应用。
一、一对一映射一对一映射又叫单射，指一个定义域和值域元素一一对应的函数映射。
具体来说，如果一个函数f:x→y（x、y为集合），对于任意的x1、x2∈x，在值域y中都有f（x1）≠ f（x2），那么这个函数就是一对一映射。
一对一映射的性质如下：1.对于任意的x1、x2∈x，如果f（x1） = f（x2），那么x1 = x2，即这个函数的反函数也是一对一映射。
2.如果一个函数f是一对一映射，那么它的逆函数也存在，并且也是一对一映射。
3.如果一个函数f是一对一映射，那么我们可以通过函数f的导入函数和引出函数求出它的逆函数。
在实际应用中，一对一映射的一个典型例子就是数字证书的密码加密。
在建立SSL安全套接字连接的时候，服务器需要验证浏览器发送过来的数字证书。
这时候，就需要使用一对一映射进行加密，以保证信息的安全性。
二、多对一映射多对一映射指一个定义域中多个元素映射到一个值域元素的函数映射。
具体来说，如果一个函数f:x→y（x、y 为集合），对于y中某个元素y0，存在若干x∈x，使得f（x）= y0，那么这个函数就是多对一映射。
多对一映射的性质如下：1.多对一映射不具有反函数。
2.多对一映射没有唯一的逆映射，逆映射的定义域是值域。
3.可以通过增加定义域来保证多对一的函数具有逆映射。
在实际应用中，多对一映射也十分常见。
例如，我们在计算某些数学函数时，比如y = x2（x ∈ R），就可以对一个指定的y值，计算出两个不同的x，即x 与 -x。
又如，在数据的统计和分析中，同一个学生可能在多门课程中取得相同的分数，这时候就需要用到多对一映射。
总结函数映射是现代数学中的重要组成部分，主要分为一对一映射和多对一映射两种类型。
x对y的因果关系
因果关系是一个事件（即“因”）和第二个事件（即“果”）之间的作用关系，其中后一事件被认为是前一事件的结果。
在数学、统计学和哲学中，因果关系是一个广泛讨论的主题。
它通常涉及到原因和结果之间的关联，这种关联被认为是具有方向性的：原因在前，结果在后。
因果关系在科学模型的建立中起着重要作用，有助于解释和理解各种现象。
在确定x是否是y的因果关系时，通常要考虑以下因素：
1. 因果关系的方向性：因果关系具有方向性，原因必定在前，结果只能在后，这种顺序不能颠倒，即原因必定在结果之前发生。
2. 因果关系的独立性：原因必须对结果有独立影响，原因的发生不依赖于其他事件同时发生。
3. 因果关系的条件性：同一事件在不同的条件下可能成为不同的结果的原因。
4. 因果关系的确定性和不确定性：因果关系在一定程度上是确定的，但也有可能存在不确定性。
5. 因果关系的复杂性：现实世界中的因果关系通常比简单模型更为复杂，可能涉及到多个因素和交互作用。
在实践中，确定x对y的因果关系通常需要进行一系列的实验和观察，通过控制实验条件来观察结果的变化，并利用适当的统计方法来分析数据。
如果x的变化能够显著地预测y的变化，并且这种关系在逻辑上合理，那么就有可能认为x是y的因果关系。
然而，由于因果关系的确定通常涉及到很多复杂因素和不确定性，因此需
要谨慎地评估和解释结果。
关于函数图象的平移问题
关于函数图象的平移问题初中数学有平移、旋转和轴对称三种图形变换，其中平移变换在函数题型中经常出现，使学生对函数题产生“雪上加霜”的感觉，特别是二次函数的平移，很多学生更是傻傻分不清楚。
分析了学生的解题特点和教材相关内容，发现教材中对于函数平移问题的讲解非常理论化，就总结下面比较简单易懂的解题经验，希望可以帮助学生解答函数平移的问题。
左右平移，x加减；上下平移，后加减。
解释：函数图像向左（右）平移，则解析式中所有x加（减）平移量；函数图像向上（下）平移，则解析式的最后面加（减）平移量。
优点：相比“左加右减，上加下减”多了更明显的指导，学生操作起来更加清晰；可适应中考中任何函数图像的平移；对二次函数的平移不要求先转化成顶点式再平移。
例题1：将一次函数y=3x-1的图像沿y轴向上平移3个单位，再沿x轴向右平移4个单位后，得到的图像对应的函数关系式为。
快解：本题需要进行“解析式最后面加3，解析式中所有的X减4”操作，得到：y=3（x-4）-1+3，整理得：y=3x-10.例题2：将抛物线y=-2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为。
快解：本题需要进行“解析式中所有x减1，解析式最后面加2”操作，得到：y=-2（x-1)+1+2，整理得：y=-2（x-1）2+3.二次函数的平移是可逆的无论是哪种平移，都可以用求解析式的方式来解，而且二次函数的平移是可逆的，解题时主要是要理解二次函数平移的整个过程和思路。
在平面直角坐标系中，将二次函数图象进行平移，求平移以后的二次函数的解析式，或者已知平移之后的二次函数解析式求平移之前的二次函数解析式，是学生学习中的一个难点，但也是一个充满乐趣，值得探究的知识点。
三点确定一条抛物线三点可以确定一条抛物线，那么就找一条抛物线上的任三点，再找这三点平移之后的对应点坐标，根据待定系数法求解平移后二次函数的解析式。
巧用顶点找顶点式抛物线平移前后形状相同，位置不同，那么它们的二次项系数是相等的，即知道二次函数解析式中的a，再求出原抛物线的顶点，找出平移以后的顶点，根据待定系数法求解二次函数的解析式。
函数的性质知识点总结
函数的性质知识点总结函数的性质知识点总结众所周知，函数是重点也是难点哈，函数性质，图像以及零点和分段函数是高考的热点哦，下面是小编为大家收集整理的函数的性质知识点总结，欢迎阅读。
一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数 b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
（通常找函数图像与x 轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。
（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b …… ① 和y2=kx2+b …… ②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
函数左右平移规律
函数左右平移规律摘要：一、函数左右平移规律的定义二、函数左右平移规律的性质三、函数左右平移规律的应用四、结论正文：【一、函数左右平移规律的定义】函数左右平移规律是指，在函数图像上，将函数图像沿着x 轴正半轴或负半轴平移一定距离后，函数的解析式可以表示为原函数解析式的基础上进行左右平移的变换。
具体来说，设原函数为f(x)，左右平移距离为a，则平移后的函数可以表示为g(x)=f(x+a)。
【二、函数左右平移规律的性质】1.函数左右平移规律具有可逆性，即对于任意函数f(x)，都可以通过左右平移得到一个新的函数g(x)，同时也可以通过反向平移得到原函数f(x)。
2.函数左右平移规律满足结合律，即对于任意函数f(x) 和g(x)，先对f(x) 进行左右平移a，再对g(x) 进行左右平移b，可以等效为对f(x) 和g(x+a) 进行左右平移b。
3.函数左右平移规律不满足交换律，即对于任意函数f(x) 和g(x)，先对f(x) 进行左右平移a，再对g(x) 进行左右平移a，不能等效为对f(x) 和g(x) 进行左右平移2a。
【三、函数左右平移规律的应用】函数左右平移规律在数学分析和实际问题中有着广泛的应用，例如：1.在函数图像的绘制中，可以通过函数左右平移规律快速得到一个新的函数图像，从而方便地进行分析和研究。
2.在信号处理中，函数左右平移规律可以用于信号的滤波和变换，例如在傅里叶变换中，可以通过函数左右平移规律将信号从时域转换到频域，再进行信号的分析。
3.在经济学和金融学中，函数左右平移规律可以用于预测和分析经济变量和金融产品的价格走势，例如在股票价格的预测中，可以通过函数左右平移规律对历史价格数据进行分析，从而预测未来的价格走势。
【四、结论】函数左右平移规律是数学中一种基本的变换规律，对于理解和分析函数图像以及解决实际问题具有重要的作用。
一次函数 知识点
一次函数 知识点1．函数的概念：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．在某一变化过程中，有两个量，如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时称y 是x 的函数．注意：（1）“y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．（2）判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．（3）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系． 例题1：下列各图给出了变量x 与y 之间的函数是：【 】例题2：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 ，它是 ，也是 . 2．数学上表示函数关系的方法通常有三种：（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．如：30S t =，2S R π=． （2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．例题3：已知y －1与x ＋2成正比例，且当x ＝1时，y ＝－5,求y 与x 之间的函数关系式；若点 （－2，a ）在这个函数的图象上，求出a 的值.3．关于函数的关系式(解析式)的理解：（1）函数关系式是等式．例如4y x =就是一个函数关系式． （2）函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． （3）函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． （4）求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式． 4．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥．在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： （1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． （3）分式型：分母不为0． （4）复合型：不等式组 （5）应用型：实际有意义即可例题4：函数12-+=x x y 中的自变量x 的取值范围是【 】 A 、x ≥－2 B 、x ≠1 C 、x ＞－2且x ≠1 D 、x ≥－2且x ≠1例题5：函数242412----=x x x y 中的自变量x 的取值范围为_________________例题6：函数748142---=x x x y 中的自变量x 的取值范围为_________________例题7：若等腰三角形周长为30，一腰长为a ，底边长为L ，则L 关于a 的函数解析式为 .5．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的． 6．函数图像的位置决定两个函数的大小关系： （1）图像1y 在图像2y 的上方⇔21y y > （2）图像1y 在图像2y 的下方⇔21y y <（3）特别说明：图像y 在x 轴上方0>⇔y ；图像y 在x 轴下方0<⇔y例题8：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为【 】A 、x ＞1B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2例题9：如图，直线(0)y kx b k =+<与x 轴交于点(30)，，关于x 的不等式0kx b +>的解集是【 】A ．3x <B ．3x >C ．0x >D ．0x < 7．描点法画函数图象的步骤：（1）列表； （2）描点； （3）连线． 例题10：画出函数42+=x y 的图像8．函数解析式与函数图象的关系：（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上；xx（2）函数图象上点的坐标满足函数解析式．9．验证一个点是否在图像上方法：代入、求值、比较、判断 例题11：下列各点中，在反比例函数y ＝6x图象上的是【 】 A ．（－2，3） B ．（2，－3） C ．（1，6） D ．（－1，6） 10．一次函数及其性质 知识点一：一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 知识点二：一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线．⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．知识点三：一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．知识点四：一次函数y kx b=+的图象、性质与k、b的符号倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴图像的平移：b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋bb＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移b个单位，对应解析式为：y＝kx－b口诀：“上＋下－”将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）口诀：“左＋右－”知识点五：用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方②将x y程组；③解方程（组），得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式． 例题12：一次函数y kx b =+的图象只经过第一、二、三象限，则【 】 A ．00k b <>，B ．00k b >>，C ．00k b ><，D ．00k b <<，例题13：如果一次函数y kx b =+的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么【 】 A ．0k >，0b >B ．0k >，0b <C ．0k <，0b >D ．0k <，0b <例题14：已知一次函数的图象过点（3，5）与（－4，－9），求该函数的图象与y 轴交点的坐标. 例题15：已知一次函数011)3()12(=+-+--k y k x k ，试说明：不论k 为何值，这条直线总要经过一个定点，并求出这个定点.例题16：一次函数y ＝ax ＋b 的图像关于直线y ＝－x 轴对称的图像的函数解析式为____ __ 例题17：某公交公司的公共汽车和出租车每天从乌鲁木齐市出发往返于乌鲁木齐市和石河子市两地，出租车比公共汽车多往返一趟，如图表示出租车距乌鲁木齐市的路程y （单位：千米）与所用时间x （单位：小时）的函数图象．已知公共汽车比出租车晚1小时出发，到达石河子市后休息2小时，然后按原路原速返回，结果比出租车最后一次返回乌鲁木齐早1小时．（1）请在图中画出公共汽车距乌鲁木齐市的路程y （千米）与所用时间x （小时）的函数图象． （2）求两车在途中相遇的次数（直接写出答案） （3）求两车最后一次相遇时，距乌鲁木齐市的路程．例题18：已知某一次函数当自变量取值范围是2≤y≤6时，函数值的取值范围是5≤x≤9．求此一次函数的解析式．例题19：已知一次函数y ＝ax ＋4与y ＝bx －2的图象在x 轴上相交于同一点,则ba的值是【 】 A 、4 B 、－2 C 、 12 D 、－ 12例题20：求直线y ＝2x －1与两坐标轴所围成的三角形面积.11．直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k例题21：已知一次函数1+=x y ，另一条直线与之平行，且与坐标轴所围成的三角形面积为8，求此一次函数解析式.12．一次函数与一元一次方程的关系：直线y b k 0kx =+≠（）与x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程b 0(0)kx k +=≠的解.求直线y b kx =+与x 轴交点时，可令0y =，得到方程b 0kx +=，解方程得x b k =-，直线y b kx =+交x 轴于(,0)b k -，bk-就是直线y b kx =+与x 轴交点的横坐标. 13．一次函数与一元一次不等式的关系：任何一元一次不等式都可以转化为a b 0x +>或a b 0x +<(b a 、为常数，0a ≠)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.。
函数的概念知识点总结
函数的概念知识点总结函数是数学中一个非常重要的概念，在很多学科领域都有广泛的应用。
本文将从定义、性质、符号与表示、反函数等角度总结函数的相关知识点。
一、函数的定义函数是一种将每一个元素都映射到唯一的结果上的关系。
具体地说，如果每个元素 x 都有一个对应的元素 y，则可以表示为：f(x) = y其中，f 表示函数，x 是自变量，y 是因变量。
函数的定义域是自变量可能的值域，值域是因变量可能的值域。
二、函数的性质1. 一对一性：对于每一个 x，在函数中有唯一的 y 与之对应。
也就是说，不会有两个不同的 x 具有相同的 y 值，于是存在一个逆映射，反映自变量 y 在函数中对应的自变量 x。
简单地讲就是，每一个 x 对应一个 y，而且每一个 y 也都对应着一个 x，不存在重复的值。
2. 映射性：函数把每个定义域内的元素映射到值域中且无遗漏。
也就是说，对于定义域内的任何一个元素，都能在值域中找到相应的元素，并且一个元素只能对应一个元素。
3. 连续性：若对于定义域中的任意一个数 x，当 x 的取值无限接近某个数 a 时，对应的函数值 f(x) 也无限接近一个数 L，则称函数 f 在 x = a 处连续，其数值为 L。
三、符号与表示一般情况下，我们用小写字母 x 来表示自变量，用小写字母 y或 f(x) 来表示函数值。
一些特别的函数如指数函数 e^x，对数函数logx，三角函数 sinx、cosx、tanx 等，则用特定的符号表示。
同时，在符号表示时，会出现一些特殊的符号。
1. ∞ 表示无穷大，一般情况下分正负无穷大。
2. ∑ 是求和符号，表示把一列数加起来的结果。
3. + 和 - 符号可能同时表示加法和减法。
4. / 和 ×符号可能同时表示除法和乘法。
四、反函数反函数是指，若函数 f 将 x 映射到 y，则函数 f 的逆映射将 y 映射回 x。
相应地，如果 g 为函数 f 的逆映射，则 g(f(x)) = x，f(g(y)) = y。
函数概念及性质
函数概念及性质【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射．记作f ：A →B ，其中x 叫原象，y 叫象．2、设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种映射叫做集合A 上的一个函数．记作y ＝f (x )，x ∈A ．其中x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y ｜y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心． 【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象． 2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f (x )(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域． 【例题分析】例1 设集合A 和B 都是自然数集合N ．映射f ：A →B 把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素2x ＋x ，则在映射f 作用下，2的象是______；20的原象是______．例2 设函数⎩⎨⎧>++-≤-=,0,22,0,1)(2x x x x x x f 则f (1)＝______；若f (0)＋f (a )＝－2，则a 的所有可能值为______．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A)22)(,t y x y ==(B)2|,|t y x y ==(C)1,112+=--=x y x x y (D)x x y x y 2,==例4 求下列函数的定义域 (1);11--=x y(2);3212-+=x x y(3);)1()3lg(0-+-=x xx y (4);2|2|12---=x x y例5 已知函数f (x )的定义域为(0，1)，求函数f (x ＋1)及f (x 2)的定义域．例6 如图，用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并指出定义域．例7 (1)已知21)1(x xxf -=，求f (x )的解析式； (2)已知221)1(xx x x f +=+，求f (3)的值；(3)如果f (x )为二次函数，f (0)＝2，并且当x ＝1时，f (x )取得最小值－1，求f (x )的解析式；(4)*已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于直线x ＝1对称，求f (x )的解析式．例8 已知二次函数f (x )的对称轴为x ＝1，且图象在y 轴上的截距为－3，被x 轴截得的线段长为4，求f (x )的解析式．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW ·h ，年用电量为a kW ·h ．本年度计划将电价降到0.55元／kW ·h 至0.75元／kW ·h 之间，而用户期望电价为0.40元／kW ·h ．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为0.30元／kW ·h ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?练习2－1一、选择题 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )(A){x ｜x ＞1} (B){x ｜x ＜1} (C){x ｜－1＜x ＜1} (D)∅ 2．图中的图象所表示的函数的解析式为()(A))20(|1|23≤≤-=x x y (B))20(|1|2323≤≤--=x x y(C))20(|1|23≤≤--=x x y(D)y ＝1－｜x －1｜(0≤x ≤2)3．已知f (x －1)＝x 2＋2x ，则=)1(xf ( )(A)x x 212+(B)112-x(C)22143xx x ++ (D)212xx + 4．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=2,3,21,,1,3)(2x x x x x x x f 若f (x )＝3，则x 的值是( )(A)0(B)0或23 (C)3± (D)3二、填空题5．给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y ，x －2y )，在映射f 下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______． 6．函数2||3)(--=x xx f 的定义域是______． 7．已知函数f则f [g (1)][f (x )]8．已知函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )＝2x 的图象关于点(0，1)对称，则f (x )的解析式为______． 三、解答题9．已知f (x )＝2x＋x －1，⎩⎨⎧<-≥=),0(1),0()(2x x x x x g 求g (－1)，g [f (1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点P'(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点P'关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量∆x＝x2－x1＞0，则当∆y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当∆y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性，区间M 称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数a ，使得当x 取定义域中的每一个值时，f (a ＋x )＝f (a －x )都成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． 【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性． 3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题． 【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1);1)(-=x xx f (2);11)(+=xx f (3)f (x )＝x 3－3x ；(4);11lgxxy -+= (5)⋅+-=1212xx y【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； ②f (x )是奇函数，并且f (x )在x ＝0时有定义，则必有f (0)＝0； ③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f (x )＝0． 判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤： ①判断函数的定义域是否关于原点对称； ②考察f (－x )与f (x )的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f (x )在R 上有定义，给出下列函数：①y ＝－｜f (x )｜；②y ＝xf (x 2)；③y ＝－f (－x )；④y ＝f (x )－f (－x )． 其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)例3 设函数f (x )在R 上有定义，f (x )的值不恒为零，对于任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，则函数f (x )的奇偶性为______．例4 已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (1＋x )＝f (1－x )，求b 的值，并比较f (－1)与f (4)的大小．例5 已知f (x )为奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ， (1)求f (－1)的值；(2)当x ＜0时，求f (x )的解析式．例 6 用函数单调性定义证明，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)在区间),2(+∞-ab上为增函数．例7 已知函数f (x )是定义域为R 的单调增函数． (1)比较f (a 2＋2)与f (2a )的大小；(2)若f (a 2)＞f (a ＋6)，求实数a 的取值范围．例8 设f (x )是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f (－2)与－f (3)的大小；(2)若mn ＜0，且m ＋n ＜0，求证：f (m )＋f (n )＞0．例9 函数f (x )是周期为2的周期函数，且f (x )＝x 2，x ∈[－1，1]． (1)求f (7.5)的值；(2)求f (x )在区间[2n －1，2n ＋1]上的解析式．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( ) (A)y ＝x 2－4x(B)y ＝｜x ｜(C)xy 1=(D)y ＝x 2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R 上的函数f (x )，若f (－1)＝f (1)，且f (－2)＝f (2)，则f (x )是偶函数 (B)定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＞f (1)，则f (x )在R 上不是减函数(C)定义在R 上的函数f (x )在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f (x )在R 上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f (x )是R 上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f (1)＝2．则f (2)＝( ) (A)－2 (B)2 (C)1 (D)－1 4．设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是( ) (A)f (x )f (－x )是奇函数 (B)f (x )｜f (－x )｜是奇函数 (C)f (x )－f (－x )是偶函数 (D)f (x )＋f (－x )是偶函数 二、填空题5．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是______；f (1)的取值范围是______．6．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝______．7．设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则实数a ＝______．8．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于]2π,2π[-上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1＞x 2； ②;2221x x > ③｜x 1｜＞x 2．其中能使f (x 1)＞f (x 2)恒成立的条件序号是______ 三、解答题9．已知函数f (x )是单调减函数． (1)若a ＞0，比较)3(aa f +与f (3)的大小； (2)若f (｜a －1｜)＞f (3)，求实数a 的取值范围．10．已知函数).,0()(2R ∈=/+=a x xa x x f (1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)当a ＝1时，证明函数f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足①f (2)＝1；②f (xy )＝f (x )＋f (y )，其中x ，y 为任意正实数，③任意正实数x ，y 满足x ≠y 时，(x －y )[f (x )－f (y )]＞0恒成立． (1)求f (1)，f (4)的值；(2)试判断函数f (x )的单调性；(3)如果f (x )＋f (x －3)≤2，试求x 的取值范围．函数的概念及定义域【典型例题】例1.判断下列各组中的函数是否有同一函数？ （1）x x f =)(，1)1()(--=x x x x g （2）1)(-=x x f ，11)1()(+-+=x x x x g（3）2)(x x f =，33)(x x g =（4）0)(x x f =，1)(=x g （5）1)(2-=x x f ，11)(-⋅+=x x x g （6）24)(x x f -=，x x x g -⋅+=22)(例2.求下列函数的定义域. (1）3422-+---=x x x y (2) f (x )＝x ＋1 ＋12－x（3）xx x y +-=24(4)y =例3.下列函数的值域(1)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (2)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1）例4.求函数13+--=x x y 的值域例5.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+=)2()21()1(2)(2x x x x x x x f ，若()3f a =，求a ．例6.（1）已知函数()f x 的定义域是(]0,2，求(2)f x -的定义域 （2）已知函数(2)f x -的定义域是(]0,2，求()f x 的定义域【课堂训练及作业】1．下列对应是集合A 到集合B 的函数是（ ） A ．A=B=R ，f ：x →y=B y A x x∈∈-,,1B ．A=B=R ，f ：x →y ，其中2y x =，,x A y B ∈∈C ．A=B=R ，f ：x →y=B y A x xx ∈∈+,,1D ．A=B=R ，f ：x →y=B y A x x ∈∈,,32.下列图象中可能为函数)(x f 图象的是（ ）3．已知函数()11xf x x+=-的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则（ ） A ．R B A =⋃ B ．,B A ⊆且B A ≠ C ．,B B A =⋂且B A ≠ D ．A=B4．已知11)(22++++=kx kx x x x f 的定义域为R ，则k 的取值范围为（ ） A ．0≠k B ．40<≤k C ．40≤≤kD ．40<<k5．已知函数221)(x x x f +=，那么)41()31()21()4()3()2()1(f f f f f f f ++++++= ．6．函数12-++=x x y 的值域为 ．7. 求下列函数43532--+=x x x y 的定义域函数的性质(1)一.选择题.1. 已知f(x)是实数集上的偶函数，且在区间[0,+)∞上是增函数，则f(-2),f(-),f(3)π的大小关系是（ ）Ａ．f(-)>f(-2)>f(3)π Ｂ．f(3)>f(-)>f(-2)π Ｃ．f(-2)>f(3)>f(-)π Ｄ．f(-)>f(3)>f(-2)π２. 定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在［０，＋∞)上图象与()f x 的图象重合。
多对一函数
多对一函数一对多函数一对多函数是指一个自变量x可以对应多个因变量F(x)，即y1=f(x)、y2=f(x)……及ym=f(x)，其中x是普通变量，而ym是复合变量。
一对多函数式包括以下几类：第一类是单值多项函数，它们指函数f(x)只有一个值，它们的表达式可以表示为：y1=f(x)y2=f(x)ym=f(x)第二类是双值多项函数，它们指函数f(x)有两个值，它们的表达式可以表示为：y1=f(x)y2=f(x)ym=f(x)y1=g(x)y2=g(x)ym=g(x)第三类是多值多项函数，它们指函数f(x)有多个值，它们的表达式可以表示为：y1=f1(x)y2=f2(x)ym=fn(x)多对一函数多对一函数是指一个复合变量F(x1,x2,x3,……xn)对应一个因变量y，它们的表达式可以写为：y=f(x1,x2,x3,……xn)这种函数的特点在于，即使自变量的取值发生变化，因变量的值也不会发生变化。
例如：y=f(x1,x2,x3)当x1、x2变量的值不变时，y的值不会发生变化。
多对一函数对应的多个自变量可以是实数、整数或符号型等。
此外，多对一函数还有参数形式，其表达式为：y=f(x1,x2,x3,a1,a2,a3……an)其中a1，a2，a3……an是函数参数。
例如，如果将x1，x2，x3表示为温度、湿度、光照度，而a1，a2，a3表示为温度灵敏度、湿度灵敏度、光照灵敏度，那么这个函数就可以表示为：y=f(x1,x2,x3,a1,a2,a3)这时，变量x1，x2，x3的变化可以引起函数值的变化，而参数a1，a2，a3的变化则表示函数变化的灵敏程度。
函数的对应法则指的是什么
函数的对应法则指的是什么
对应法则是函数三大要素之一。
一般地说，在函数记号y=f(x)中，“f”即表示对应法则，等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意的x值，在对应法则“f”的作用下，即可得到值域中唯一y值。
可以运用化学的知识理解y相当于生成物，f相当于反应条件或者是催化剂把反应物x变为y。
1
函数概念的核心是变量y与变量x之间的对应法则。
表示这种对应法则的方法是多种多样的，通常有公式法、图象法及列表法。
但为了对函数进行一般性的研究，我们用记号y=f(x)表示变量y是变量x的函数，其中字母“f”就抽象地表示变量y与变量x的对应法则。
简单地说，自变量x可通过方法f（所谓对应法则）“变成”了因变量y。
因此，“f”是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y 的纽带，从而也就是函数的核心。
可以用一句话、一张图表、也可以是一个解析式表示。
特别地，f(a)表示自变量x=a时所得的函数值，是一个常量；而f(x)称为变量x的函数，在通常情况下，它是一个变量。
函数参数个数原则
函数参数个数原则
函数参数个数原则是指一个函数的参数个数应该尽量少，通常不超过3个。
这是因为参数个数的增加会增加函数的复杂度，并且降低函数的可读性和可维护性。
以下是一些常用的原则和理由：
1. 单一责任原则：函数应该只负责一个明确的任务，过多的参数可能意味着函数承担了过多的责任。
2. 可读性和可理解性：参数过多会使函数的调用变得复杂，不容易理解函数的含义和用途。
3. 可维护性：当函数的实现需要修改时，参数过多会增加修改的难度和风险。
4. 函数的抽象程度：参数过多可能意味着函数的抽象程度不够，可以考虑将某些参数封装成对象或使用配置文件等方式来降低参数个数。
5. 效率和性能：参数的传递会增加函数调用的开销，过多的参数可能会影响函数的性能。
综上所述，合理控制函数的参数个数可以提高函数的可读性、可维护性和性能，同时也有助于提高代码的复用性和模块化程度。
映射一对多还是多对一
映射一对多还是多对一
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。
函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。
如函数，算子等等。
这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个（一对一）。
构成一个映射必须具备以下三个条件
1、集合X，即定义域Df=X；
2、集合Y满足：Rf⊂Y，即映射f的值域Rf是Y的一个子集；
3、对应法则f，使对每个x∈X，有唯一确定的y=f（x）与之对应，而对每个y∈Rf，元素y的原像不一定是唯一的。
一次函数的奇偶性
一次函数的奇偶性
函数的奇偶性是指函数在定义域上的对称性，即函数的图像关于y轴的对称性。
函数的奇偶性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，并且在解决数学问题时也有很大的帮助。
函数的奇偶性可以用下面的定义来表示：如果函数f(x)满足f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
函数的奇偶性可以通过函数的图像来判断，如果函数的图像关于y轴对称，则该函数为偶函数；如果函数的图像关于y轴对称，且函数的图像在y轴上的对称点处的函数值相反，
则该函数为奇函数。
函数的奇偶性也可以通过函数的导数来判断，如果函数的导数满足f'(-x)=f'(x)，则该函数
为偶函数；如果函数的导数满足f'(-x)=-f'(x)，则该函数为奇函数。
函数的奇偶性可以帮助我们更好地理解函数的性质，并且在解决数学问题时也有很大的帮助。
例如，如果函数f(x)是偶函数，则f(x)的积分可以用f(-x)的积分来计算，这样可以大
大减少计算量。
此外，函数的奇偶性也可以用来求解微分方程，从而更快地求解函数的解。
总之，函数的奇偶性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质，并且在解决数学问题时也有很大的帮助。
函数左右平移规律
函数左右平移规律
摘要：
1.函数平移的定义
2.函数左右平移的规律
3.函数左右平移的实际应用
正文：
1.函数平移的定义
在数学中，函数平移是指将一个函数的图像沿着某个方向移动一定的距离，从而得到一个新的函数。
平移后的函数与原函数相比，只是在自变量的取值上发生了改变，而函数的性质和图形并未发生变化。
函数平移主要包括左右平移和上下平移两种类型。
2.函数左右平移的规律
函数左右平移是指将函数的图像沿着x 轴的正负方向移动一定的距离。
具体来说，将函数f(x) 向左平移a 个单位长度，得到的新函数为f(x+a)；将函数f(x) 向右平移a 个单位长度，得到的新函数为f(x-a)。
以f(x) = 2x + 1 为例，将其向左平移1 个单位长度，得到新函数
f(x+1) = 2(x+1) + 1 = 2x + 3。
可以看出，原函数的斜率和截距均未发生变化，只是整个图形向左平移了一个单位。
同理，将f(x) = 2x + 1 向右平移1 个单位长度，得到新函数f(x-1) = 2(x-1) + 1 = 2x - 1，此时函数的图形向右平移了一个单位。
3.函数左右平移的实际应用
函数左右平移在实际问题中有广泛应用，例如在物理、化学、生物等学科
中，常常需要对某一函数进行左右平移以满足实际问题的需求。
此外，在计算机图形学中，函数左右平移也被广泛应用，如在绘制图形时，通过对函数进行左右平移，可以实现图形的移动和错位等效果。
函数一个自变量只对应一个因变量
函数：一个自变量只对应一个因变量
一次函数：()0y kx b k =+≠
一次函数图像：一条直线
k ＞0上升直线，y 随x 的增大而增大
k ＜0下降直线，y 随x 的增大而减小
一次函数图像的平移：k 值不变，“上加下减，左加右减”
【例1】一次函数y ＝2x ＋1的图象不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【例2】如果直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，那么ab ____0(填＞，＜，＝)
【例3】如果直线y ＝ax －b 经过一、三、四象限，那么直线y ＝bx ＋a 经过第____象限；
直线b y x a
=-经过第____象限。
【例4】平面直角坐标系内一点P (x ，2x )可能在第______象限；点Q (x ，2x －1)一定不在第
______象限。
【例5】如果直线y ＝ax ＋b 不经过第一象限，那么ab ____0(填＞，＜ ，＝)。
一次函数
【例6】一次函数y＝(2k－1)x－k中，函数值y随x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则k的取值范围是_______。
【例7】已知一次函数y＝(a－2)x＋3a2－12。
求：①a为何值时，一次函数的图象经过原点。
②a为何值时，一次函数的图象与y轴交于点(0，9)。
【例8】下列图象中，不可能是关于x的一次函数y＝mx－(m－3)的图象的是( )
【例9】如图，已知一次函数的图象为直线a，直线a过点A、B。
求这个一次函数的解析式。
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被函数玩坏的土豆----函数为什么一个x只
能对一个y
函数在高中的定义是这样给出的：
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意
．．
一个数x，在集合B中都有唯一
．．确定的数y 和它对应，那么就称f为从集合A到集合B 的一个函数，记作y=f(x)。
或是这样：
函数是数集到数集的映射。
在定义中，突出的字眼有两个，“任意
．．”
“唯一
．．”，它们两个道明了函数的本质。
即函数y=f(x)必须满足以下两个性质：
（1）集合A中的每一个元素x都得参与对应
（2）集合A中的元素x只能对应集合B 中的唯一元素y
我们的疑问就在于，为什么会有这两个性质呢？为什么函数非得这样来定义呢？
也许，很多同学都有这样的疑问，为什么一．
个．x．只能对一个
．．．．．y．
下面我们给出解释：
数学源于生活，我们的解释也来源于生活。
函数是特殊的映射，我们先从映射说起。
大家最熟悉的映射是什么？
饭店里的菜单！
编号菜品价格
2 酸辣土豆丝12
3 土豆烧牛肉28
4 30
菜单我们看到（注意）的是“菜品”和“价格”，我们眼中的菜单是这样的：
菜品价格
酸辣土豆丝12
土豆烧牛肉28
土豆炖牛腩30
这就是一个映射！
而点菜的服务员看到的单是什么呢？是“编号”和“价格”，于是他们向后厨报的是“编号”，向前台报的是“编号”和“价格”，于是在他们的眼里，菜单是这样的：编号价格
2 12
3 28
4 30
这就是一个函数，是“编号”到“价格”的一个函数。
我们从生活的角度向大家说明了，什么是映射和函数。
接下来我们再来说为什么函数一定要满足上面的两个性质：
看看这个菜单：
编号菜品价格
2 酸辣土豆丝12
3 土豆烧牛肉28
4 土豆炖牛腩30
6 青岛虾炖土豆
看到这个菜单，你有疑问吗？你觉得这个菜单有问题吗？（青岛虾：你们炖土豆为什么拉上我？呜呜呜~~~）
你敢点，青岛虾炖土豆吗？不敢因为价格不知道。
这就说明这个你看到的这个“映射”，服务生看到的这个“函数”它有问题。
要么“被人坑”，要么准备去“坑人”。
于是，你若要点青岛虾炖土豆，你会先：诶，服务员过来下，你们的青岛虾炖土豆多少钱一盘？当服务员确定价格后，你才敢点这个菜。
“服务员确定价格”这是一个什么过程，这是一个完善映射的过程，让集合A中的元素x都参与了对应。
这就说明了，为什么一定要满足第一个性质：（1）集合A中的每一个元素x都得参与对应（因为不满足，这个事情是有问题的）
再来说说第二个，我们还是从菜单入手。
吃完饭后结账，你和隔壁桌都点了一个“清炒土豆丝”，但是你的是12元，但他的是2
元。
你咋想？要么吵架，要么干架。
为什么会产生这样的情况，原有就在于。
同一个菜“清炒土豆丝”对应了两个价格，同一个编号“1”对了两个价格。
这样的菜单是有问题的。
这样的问题若是发生在小事上，这是要伤感情的，发生在国与国的大事上，这是要发生战争的。
所以生活的本质告诉我们：函数必须满足：
（2）集合A中的元素x只能对应集合B 中的唯一元素y
土豆很伤心，你们说你们的函数，干我什么事，把我炒来又炖去。
还有我本无坑人心，奈何同煮青岛虾。
同学们，你们看懂了没？看明白了，土豆就从“餐饮”升华了。
若是没明白，土豆就“化了”。