厦门大学运筹学3

m
对于产销不平衡的情况，我们将另行处理。
这就是运输问题的数学模型，它包含 m· 变量, m + n n 个约束条件。如果用单纯形法求解，先得在各约束条件 上加入一个人工变量(以便求出初始基可行解)。因此， 即使是 m = 3， n = 4 这样的简单问题,变量数就有19个之 多，计算起来非常复杂。因此，我们有必要针对运输问
例1：设 m = 3，n = 4，如表2—2所示。
表2—2 销地 产地 A1 A2 B1 x11 x21 B2 x12 x24 B3 B4
A3
x32
x34
x11, x12, x32, x34, x24, x21 构成一个闭回路.这里有： i1 = 1， i2 = 3， i3 = 2；j1 = 1， j2 = 2， j3 = 4. 若把闭回路
如此，一步步进行下去，直到单位运价表中所有元素
都划去为止，最终在产销平衡表上就可以得到一个初始
调运方案。这个方案的总运费为 86 元，如表2—7所示。
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 表2—7 销地 产地 A1 A2
3
1 7
11
9 4
3
2 10
10
8 5
B1
B2
B3
B4
产量 7
3 6
3 6
4 1
5
3
用的作用，具有广泛的应用。
第一节 运输问题的数学模型
在经济建设中，经常会遇到大宗物资调拨中的运输问题。
如煤炭、钢铁、木材、粮食等物资,在全国有若干生产基 地,根据已有的交通网,应如何制定调运方案，将这些物 资运到各消费地点，而使总运费最小。这类问题可用以 下数学语言来描述： 运输问题 ：假设有 m 个生产地点,可以供应某种物资(以
c1n
c2n cmn bn
a1
a2 am
解: 假设 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量,则所求的数学模型为
Min Z cij xij
i 1 j 1
m
n
xij b j j 1,2, , n i 1 n xij ai i 1,2, , m j 1 x 0 i 1,2, , m ; j 1,2, , n ij
8
4
9 4
7
4
在这个例子中，当在填入第三数字的格 ( A1, B4 ) 时, 在填入 4 之后，恰好产销平衡，就必须在单位运价表中 同时划去第一行和第四列。为了使有数字的格不减少， (有数字的格的总数应为m + n –1个)可以在空格( A1, B1 ) 、 ( A1, B3 ) 、 ( A2, B4 ) 、( A3, B4 )中任选一个格添加一个
题的某些特点，来寻求更为简单方便的求解方法。
第二节 表上作业法
1. 表上作业法的基本概念与重要结论
针对运输问题的数学模型结构的特殊性，它的约束方
程组的系数矩阵具有如下形式( 具体见下一张幻灯片 )，
在该矩阵中，每列只有两个元素为1，其余都是0。根据 这个特点，在单纯形法的基础上，创造出一种专门用来 求解运输问题的方法，这种方法我们称为表上作业法。 运输问题也是一个线性规划问题，当用单纯形法进 行求解时，我们首先应当知道它的基变量的个数；其次，
伏格尔法的具体实施过程，步骤如下：
第一步：在单位运价表中增加一行和一列，列的格位置
相应填入该行的次小运费与最小运费之差，我们称之为
行差额。行的格位置相应填入该列的次小运费与最小运
费之差，我们称之为列差额。如此可得表2—8：
表2—8
销地 产地 A1 A2 A3 列差额 B1 B2 B3 B4 行差额
第一步：从单位运价表中找出最小运价为1，这表示先将 A2 的产品供应 B1 。由于A2 每天生产4吨，B1 每天只需要 3吨，即 A2 除每日能满足B1 的需要外还余1吨。因此在产 销平衡表 (A2 , B1) 交叉处填上3，表示 A2 调运3 吨给B1 ， 再在单位运价表中将B1 这一列运价划去，表示 B1 的需求
3
6
4
9
A3
销量
应当注意的是，在用最小元素法确定初始基可行 解的时候，有可能出现以下的两种特殊情况： （1）若运输方案已给出，但是，单位运价表中尚有一 个元素未划去，这时只要在对应于未划去元素的产销 平衡表的空格出填上“0”即可。这个填“0”的格与 其他 也填有数字的格同等看待，也是基变量，只不过取值 为0罢了。 可参见如下例4：
为此我们需要引入一些基本概念，通过对这些基本概念 的分析和讨论，结合单纯形算法的基本结果，便可得出 我们所需要的结论。 定义1： 凡是能排成xi
1 j1
, xi1 j2 , xi2 j2 , xi2 j3 , , xis js ,
xis j1 , (i1 , , is , 互不相同, 且1 ik m, k 1, s, j1 , , js 互不相同, 且1 jl n, l 1,, s )形成 的变量的集合称之为一个闭回路, 而把出现 在闭回路中的变量称为这个闭回路的顶点.
B3 x12 x12
B4
A1
A2 A3
表2— 4
销地 产地
A1 A2 A3
B1
x11
B2
x12 x22
B3
B4
x24 x34
x31
从上面的几个例子中不难看出，如果把一个闭回路的 所有顶点都在表中画出，并且把相邻的顶点都用一条直 线连接起来，就可以得到一条封闭的折线，折线的每一 条边或者是水平的，或者是垂直的。另外，在表中的每 一行或每一列中，至多只有两个闭回路的顶点。
（2）求各非基变量的检验数即在表上求空格的检验数，
判别是否达到最优解。如果达到最优解，则停止计算，
否则转入下一步；
（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解，在
表上用闭回路法进行调整。
（4）重复（2）、（3）步，直到求得最优解为止。
以下我们就具体给出求解运输问题表上作业法的 计算步骤。 2.1 确定初始基可行解 确定初始基可行解即首先给出初始的调运方案， 共有两种方法就是： 1. 方法一、最小元素法：
最小元素法的基本思想就是就近供应。即从单位
运价表中最小的运价开始确定产销关系,依次类推,直
到给出初始方案为止。举例如下：
例2：某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每日 的产量分别为：A1—7吨、 A2—4吨、 A3—9吨。该公 司把这些产品分别运往四个销售点. 各销售点每日销 售量为：B1—3吨、 B2—6吨、 B3—5吨、B4—6吨。已 知从各工厂到各销售点的单位产品的运价如表2—5所
后称为产地)，用 Ai 表示，i = 1,2,,m；有 n 个销售地，
用 Bj 表示，j = 1,2, ,n；产地的产量和销售地的销售量分
别为 ai , i = 1,2,,m 和 bj j = 1,2, ,n，从 Ai 到 Bj 运输单
位物资的运价为 cij ，这些数据可汇总于如下表2—1。在
假设产销平衡的条件下，即
a
i 1
m
i
bj
j 1
n
要求得总运费最小的调运方案。
表2—1
销地 产地
产销平衡表与单位运价表
B1 B2 Bn 产量
A1
A2 Am 销量
c11
c21 cm1 b1
c12
c22 cm2 b2


“0”；同样，这个添加的“0”格当 作基变量，取值为 0。
我们这里是在 ( A1, B3 ) 处填0（即初始调运方案是一个退 化的基可行解）。 2. 方法二、伏格尔法： 最小元素法的缺点是，为了节省一处的费用，有时造
成在其它地方要花多几倍的运费。伏格尔法考虑到，一 产地的产品，假如不能按最小运费就近供应，就考虑次 小运费。这就有一个差额，差额越大，说明不能按最小 运费调运时，运费增加就越多。因此，对于差额最大处 ，就优先采用最小运费调运。我们还是用例 1 来说明
定理: m+n-1个变量 xi j , xi j ,, xi j ( s m n 1) 构成 1 1 2 2 s s 基变量的充分和必要条件是它不包含有任何闭回路。 以上的结果给出了运输问题的基的一个特征，这个结
论是非常重要的，因为利用它来判断 m+n-1个变量是否
构成基变量比直接判断这些变量所对应的系数列向量组
的产品已分配完毕。 第三步: 从上述第二步所得的单位运价表未划去的元素中 找出最小元素为 3。这表示将 A1 的产品供应 B3 ， A1 每 天生产7 吨，B3 尚缺 4 吨，因此在产销平衡表的(A1 , B3) 交叉处填上 4，由于B3 的需求已满足，将第二步的单位
运价表中的 B3 这一列运价划去。
B1
B2
B3பைடு நூலகம்
B4
A1 A2
A3
3 7
1
11 7
2
4 3
10
5 8
6
销地 产地 A1
A2 A3
B1
B2
B3
B4
产量 7
4 9
3
3
0 6
6
1 4
5
6
销量
6
（2）当在中间步骤的未划去的单位运价表中寻找最小 元素时，发现该元素所在行的剩余产量等于该元素所 在列的剩余销售量。这时在产销平衡表相应的位置填 上一个数，而在单位运价表中就要同时划去一行和一 列。为了使调运方案中有数字的格仍为（m + n –1）个
示。问该公司应如何调运产品，在满足各销售点的需
要量的前提下,使总的运费为最小。
解：先画出这个问题的产销平衡表2—6。
表2—5 销地 产地
单位：元/吨
B1
B2
B3
B4
A1 A2
A3
3 1
7
11 9
4
3 2
10
10 8
5
表2—6
销地 B1 B2 B3
单位：吨
B4 产量
产地
A1 A2 A3 销量
7 4 9 3 6 5 6
,需要在同时划去的行或列的任一空格位置添上一个
“0”，这个“0”表示该变量是基变量, 只不过它取值 为0, 即此时的调运方案是一个退化的基可行解。见如下 例 5：
B1
B2 3
B3 10
B4 4
A1 A2
A3 销地 产地
5
1
20
6
10
9
5
6
7
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2
A3 销量 3
5
3
5
0 1 7
第三章
运输问题
前面讨论了一般线性规划问题的数学模型的建立和求 解的方法,但在实际工作中，往往碰到有些线性规划问题 ,它们的约束条件的系数矩阵具有特殊的结构，这就使我 们有可能找到比单纯形法更为简单的求解方法, 从而节
约大量的计算时间和费用。本章所讨论的运输问题就是
属于这样一类特殊的线性规划问题，它在实践中具有重
已满足，不需要继续调运 (即x21 =3=min(a2,b1)=min(4 , 3).
第二步: 从上述未划去的单位运价表的元素中找出最小
的运价2 ，即A2 把剩余的产品供应给B3 ；B3 每天需要5
吨 ,A2 只剩余 1 吨，因此在上述产销平衡表的 (A2 , B3) 交
叉处填上 1，划去上述运价表中A2 这一行运价，表示 A2
的顶点在表中画出,并且把相邻两个变量用一条直线相连
（今后就称这些直线为闭回路的边）。而表2—3，即顶 点为{ x12、 x13、 x23、 x22 }和表2—4，即顶点为 { x11、 x12、 x22、 x24、 x34、 x31 } 也分别构成两个闭回路。 表2—3
销地
产地
B1
B2 x12 x12
要知道这样一组基变量应当是由哪些变量来组成。由运
输问题系数矩阵的形式并结合第一章单纯形算法的讨论
可以知道: 运输问题的每一组基变量应由 m+n-1个变量组
成.(即基变量的个数=产地个数 + 销售地个数 – 1) 进一
步我们想知道,怎样的 m+n-1个变量会构成一组基变量？
x11,, x1n , x21,, x2 n ,, xm1 ,, xmn 1 0 A 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
是否线性无关要简单和直观。另外，在以后还将看到利
用基的这个特征可以导出求运输问题的第一个基可行解
的一种 简便的方法。
2. 表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化
方法，其实质是单纯形算法。只是具体计算和术语有所 不同，可归纳为： （1）找出初始基可行解，即在 (mn) 产销平衡表上给出 m+n-1个有数字的格，这些有数字的格不能构成闭回路， 且行和等于产量，列和等于销售量；