第01章习题答案

魏 泳 涛

1.1举例说明由r F r F ⋅=⋅21，或者由r F r F ⨯=⨯21，不能断定21F F =。

解：若1F 与2F 都与r 垂直，则021=⋅=⋅r F r F ，但显然不能断定21F F =； 若1F 与2F 都与r 平行，则021=⨯=⨯r F r F ，也不能断定21F F =；

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1.2给定力)32(3k j i F ++-=，其作用点的坐标为)6,4,3(---。已知OE 轴上的单位矢量)(3

3k j i e ++=，试求力F 在OE 轴上的投影以及对OE 轴之矩。 解：力F 在OE 轴上的投影

4321)(3

3)32(3=++-=++⋅++-=⋅=k j i k j i e F OE F 力F 对坐标原点O 之矩

魏 泳 涛

1.3长方体的长、宽和高分别为cm 8=a 、cm 4=b 、cm 3=h ，力1F 和2F 分别作用于棱角A 和B ，方向如图示，且N 101=F ，N 52=F 。试求1F 在图示各坐标轴上的投影和2F 对各坐标轴之矩。 解：力1F 在坐标轴上的投影

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1.4 轴AB 在Ayz 平面内，与铅锤的Az 轴成α角。悬臂CD 垂直地固定在AB 轴上，与Ayz 平面成θ角，如图所示。如在D 点作用铅直向下的力P F 。并设a CD =，h AC =，试求力P F 对A 点之矩及对AB 轴之矩。 解：由于力P F 平行于z 轴，所以，0P P ==y x F F ，P P F F z -=， 0)(P P P =-=y x z yF xF m F )(P F x m 和)(P F y m 只与D 的x 及y 坐标有关。 D 的x 坐标：θsin a ； D 的y 坐标：αθαcos cos sin a h +； P F 对x 轴之矩：)cos cos sin ()(P P αθαa h F m x +-=F ； P F 对y 轴之矩：θsin )(P P a F m y =F ； 所以P F 对点A 之矩为：j F i F F m )()()(P P P y x A m m += 轴AB 的方向向量：)cos (sin k j e αα+= 于是得到P F 对轴AB 之矩：αθsin sin )()(P P P a F m A AB =⋅=e F m F

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1.5正三棱柱OABCDE 的高为cm 210，底面正三角形的边长为cm 10。大小为N 10的力P F 作用于棱角D ，力的作用线沿侧面的对角线DB ，如图示。设沿图示各坐标轴的基矢量为i 、j 和k ，试求力P F 的矢量表示，以及力P F 对O 点之矩和对CE 轴之矩。

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1.6单位矢量分别为1e 和2e 的两相交轴的夹角为θ，处于两轴所在平面内的力F 在这两轴上的投影分别为1F 和2F ，试求力F 的矢量表示。

解法1：构建两个正交的单位矢量，并用此二矢量来表达力F 。 2 1e 和2e 方向上的两个分力来表示，如图243143cos cos F F =+=+F F F F θθ 联立求解后，得：

θ

θθθ21242213sin cos sin cos F F F F -=-=F F 因此，力F 的矢量表示为

221212212413sin cos sin cos e e e F e F F θ

θθθF F F F -+-=+=

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1.7给定三力：k j i F 5431++=，作用点为)1,2,0(；k j i F 6222-+-=，作用点为)4,1,1(-；k j i F 233+--=，作用点为)1,3,2(。试求力系的主矢，及其对坐标原点O 的主矩。

解：主矢k j F F +==∑'3i R 主矩k j i k

j i k j i k j i M 94132

31132

622411543120--=--+---+=O

魏 泳 涛

1.8如图所示，已知a OB OA ==，a OC 3=，力1F 、2F 和3F 的大小均等于P F 。试求力系的主矢，及其对坐标原点O 的主矩。

魏 泳 涛

1.9如图所示，已知a OC OB OA ===，P 321F F F F ===。试求力系的主矢，及其对坐标原点O 的主矩。

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1.10证明：任意给定力系对空间任意两点的主矩在这两点连线上的投影彼此相等。

证明： 如图，任取两点A 、B ，力i F 对其矢径分别为Ai r 和Bi r 。对A 和B 点主矩分别为 ∑⨯=i i Ai A F r M ；∑⨯=i i Bi B F r M

注意到

Bi AB Ai r r r +=

由于∑⨯i i AB F r 与AB r 和∑i i F 都垂直，因此有 AB B AB B i i AB AB A r M r M F r r M ⋅=⋅+⨯=⋅∑)( 由此得证。

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1.11证明：力系的主矢和主矩的标积是一个与矩心位置无关的常数。

证明：接上题，由于∑⨯i i AB F r 与∑i

i F 垂直，因此有

∑∑∑∑⋅=⋅+⨯=⋅i

i B i i B i i AB i i A F M F M F r F M )(

所以A 、B 的任意性，可知力系的主矢与主矩之标级与矩心为之无关。

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1.12试证明三力平衡汇交定理：刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必汇交于一点(提示：首先证明此三力共面)

证明：设三力为1F 、2F 和3F ，由于三力平衡，因此该力系的主矢为零，主矩也为零。

考察2F 和3F 构成的子力系，显然，该子力系的主矢为1F F -=''R

，对力1F 作用线上任意点A 的主矩0='A M 。

再考察该子力系对力2F 作用线上任意点B 的主矩：)(3F m M B B

='，即，该子力系对点B 的主矩就是力3F 对B 之矩。

根据题1.11的结论，有

13)(0F F m F M F M ⋅-='⋅'='⋅'=B R B R A 即，3F 对B 之矩与1F 垂直。显然，3F 位于点B 与1F 作用线确定的平面内，也即3F 与1F 共面。同理，2F 与1F 共面。即刚体受不平行三力作用而平衡时，此三力的作用线必共面。

如图，设2F 和3F 交于点O ，则将此二力平移至该点，则2F 和3F 的合力可根

据平行四边形定律确定为作用于点O 的力R 'F 。由于1F 、2F 和3F 构成平衡力系，则1F 和R 'F 也构成平衡力系。根据二力平衡定理，1F 和R 'F 共线，即1F 也过点O 。由此得证。