二阶段法求解线性规划的流程图
任务二图解法求解线性规划问题
任务二 图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。
是求解线性规划的一种几何解法。
只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。
这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。
[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。
针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。
2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。
3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。
以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。
因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。
由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。
线性规划图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
2-线性规划问题的图解法
第二节 线性规划问题的图解法对一个线性规划问题，建立数学模型之后，面临着如何求解的问题。
这里先介绍含有两个未知变量的线性规划问题的图解法，它简单直观。
图解法的步骤：步骤1：确定可行域。
第1步： 绘制约束等式直线，确定由约束等式直线决定的两个区域中哪个区域对应着由约束条件所定义的正确的不等式。
我们通过画出指向正确区域的箭头，来说明这个正确区域。
第2步：确定可行域。
步骤2：画出目标函数的等值线，标出目标值改进的方向。
步骤3：确定最优解。
用图示的方式朝着不断改进的目标函数值的方向，移动目标函数的等值线，直到等值线正好接触到可行域的边界。
等值线正好接触到可行城边界的接触点对应着线性优化模型的最优解。
例1－3，用图解法求解线性规划问题1212121212max 23221228..416412,0z x x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪≤⎪≥⎪⎩ 解：图1－3（1） 画出线性规划问题的可行域，它是为以O(0,0)、A(0,3)、B(2,3)、C(4,2)、D(0,4)为顶点的凸5边形，如图1－3。
（2）画出一条目标函数的等值线12236x x +=，图1－3中红颜色的虚线。
（3） 目标函数的等值线往上移动时，目标函数值增大（图1－3中红颜色的实线）。
由于问题的解要满足全部约束条件，因此目标函数的等值线要与可行域有交点。
当目标函数的等值线移动到122314x x +=时，它与可行域只有一个交点，再往上移动时，与可行域不再有交点。
这就是说最优解为：124,2x x ==，最优目标函数值为14。
例1-3中求解得到问题的最优解是唯一的，但对一般线性规划问题，求解结果还可能出现以下几种情况：（1）唯一最优解（2）多重最优解。
（3）无界解。
（4）无可行解。
这里我们不再举例，请大家自己阅读教材。
当线性规划问题的求解结果出现（3）、（4）两种情况时，一般说明线性规划问题建模有错误。
《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解 较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭 代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初 始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为 可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解， 可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足 一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次 优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行 性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法 和大m法
目
CONTENCT
二阶段法求解线性规划的流程图
是 是 否 相应行中原始变量对应系数全部为0 删去相应行，形成单纯形表
开始 化成标准形式：调整目标函数，加入松弛变量， 存在5阶单位矩阵 在第三和第四个约束条件中加入人工变量，构造辅助问题 X j ,y i ≥0 否 存在w<0 存在人工变量为基变量 利用非基变量表示目标函数中的基变量，进行迭代变换 结束 无可行解 选择主元列、行 迭代变换，人工变量变为非基变量 进入第二阶段求解 得到一个基本可行解 是 否 是 否
开始
读取第一阶段计算结果：A和b的值
删去人工变量诸列，
采用第二种形式的单
纯形表
检验数
选择主元列输出最优解和最优值
停止
用z代替w,目标函数中用非基变量
表示非基变量
是迭代变换。
两阶段法(线性规划)
两阶段法孙敏 枣庄学院考虑线性规划问题0 s.t.min ≥==x bAx cx Z（1）符号说明与教材一致，唯一的不同之处是不要求假设矩阵A 是行满秩的。
在初始基本可行解未知的情况下，可以采用两阶段法。
这种方法的基本思想是：第一阶段在约束中增加人工变量a x ，修改目标函数为极小化人工变量的和，即下面的问题（2），然后用普通单纯形法消去人工变量（如果可能的话），即把人工变量都变换成非基变量，求出问题（1）的一个基本可行解。
第二阶段就从得到的基本可行解出发，用普通单纯法求解问题（1）。
0,0s.t.min ≥≥=+=a a a T x x bx Ax x e W （2）这样，在极小化目标函数的过程中，由于大M 的存在，将迫使人工变量离基。
由于b x x a ==,0是线性规划（2）一个基本可行解，目标函数在可行域上有下界0，因此问题（2）一定存在最优基本可行解。
用单纯形法求解线性规划（2），设得到的最优基本可行解是⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x ，此时必有下列三种情形之一。
（a ）0*≠a x 。
这时问题（1）无可行解。
因为如果问题（1）有可行解xˆ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0ˆxx x a是线性规划（2）的可行解。
在此点处，问题（2）的目标函数值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=<==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡***000ˆa a T T x x W x e e x W这与⎥⎦⎤⎢⎣⎡**a x x 是问题（2）的最优解矛盾。
（b ）0*=a x 且*a x 的分量都是非基变量。
这时，m 个基变量都是问题（1）的变量，又知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0***x x x a 是问题（2）的基本可行解，因此*x 是问题（1）的一个基本可行解。
转第二阶段。
（c ）0*=a x 且*a x 的某些分量是基变量。
这时，可用主元素消去法，把原来变量中的某些非基变量引进基，替换基变量中的人工变量，再开始第二阶段。
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
线性规划的步骤
模型1:max ..0z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩112211112211112212 max ..............,,...,0n nn n m m mn n mn z c x c x c x a x a x a x b s t a x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪⎪⎨+++=⎪⎪≥⎩线性规划的步骤1．得到初始可行基第一种情形 系数A 中存在单位矩阵，那么就以单位矩阵为可行基第二种情形 系数A 中不存在单位矩阵，那么需要引入人工变量,采用两阶段法.求解如下的线性规划模型, 模型2max ..0aa z LX AX IXb s t X =+=⎧⎨≥⎩ 其中(1,1,...,1)m L = ,a X 为人工向量.如果模型2的最优目标函数值为0且最优基不含人工变量, 那么得到初始可行基B, 转入步骤2,否则认为线性规划没有可行解.第三种情形 系数A 中不存在单位矩阵，那么需要引入人工变量,采用大M 法.求解如下的线性规划模型, 模型3max ..0aa z CX LMX AX IXb s t X =-+=⎧⎨≥⎩其中(1,1,...,1)mL = , a X 为人工向量, M 是一个很大的数.如果模型3的最优目标函数值为有限解, 那么模型3的最优基就是模型1的最优基; 如果模型3的最优目标函数值为无穷小, 说明模型1无解.2．判定算法是否结束规则 1 如果所有的检验数都小于等于零，当前的基是最优基，算法结束，得到最优可行解；规则2 如果存在某列的检验数大于零，且该列的所有系数均为负数或零，那么线性规划模型存在无界解；规则3 如果存在某个约束，左面的技术系数的符号均为正，而右边的资源系数的符号为负，则说明线性规划没有可行解；如果存在某个约束，左面的技术系数的符号均为负，而右边的资源系数的符号为正，则说明线性规划没有可行解。
如果满足如上三条法则，那么算法结束，否则转入步骤33．得到新的可行基3.1 根据检验数确定入基变量. 如果非基变量j x 的检验数最大且大于0, 那么非基变量jx 为入基变量3.2 根据入基变量j x 确定出基变量. 在入基变量j x 所在列, 如果满足1min 0k i ij i m kj ij b b a a a ≤≤⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭那么基变量k x 为出基变量.4．根据新的可行基进行矩阵变换. 矩阵变换后, 新的可行基变为单位矩阵, 转入步骤2.。
第2章(6) -两阶段法
辅助问题的单纯形表形式
XB z g
x1 x2 …
-c1 - c2 … 0 0 …
xபைடு நூலகம் x x
n+1
n+2
…
xn+m
0 -1 0 0 b1 b2 … bm
-cn 0
0 0 … -1 -1 …
x1’ x2’
…
xm’
a11 a12 … a21 a22 … … … am1 am2 …
a1n a2n … amn
两阶段法： 两阶段法： 人工变量法
思路： 思路：
判断是否有可行解 若无可行解， 若无可行解， 则判定问题无界
若有可行解， 若有可行解， 则运用单纯形法求解
过程： 过程：
1. 增加人工变量，求解辅助问题最优解 增加人工变量， 2. 去除人工变量，从上一步可行解出发求解 去除人工变量， 原问题最优解
第一阶段： 第一阶段：
Em
例1
Min z = 5x1 + 21x 3 s.t. x1 − x2 + 6 x3 − x4 =2 x1 + x2 + 2 x3 − x5 = 1 x j ≥ 0, j = 1, 2,⋯ ,5
总
结
1）找到初始基本可行解，建立初始单纯形表 ）找到初始基本可行解， 2）判断最优：所有检验数小于等于0时最优 ）判断最优：所有检验数小于等于 时最优 3）换基迭代：以正检验数对应的变量进基，按 ）换基迭代：以正检验数对应的变量进基， 最小元素法确定出基变量。 最小元素法确定出基变量。
(b ≥ 0)
Min s .t .
cT x Ax = b x≥0
(b ≥ 0)
Min g = x n +1 + … + x n + m Ax + xα = b (b ≥ 0) s .t . xα ≥ 0
运筹学第2章 线性规划的图解法
约束条件：s.t.
x1 + x2 + s1 = 300
2 x1 + x2 + s2 = 400
x2 + s3 = 250
x1 , x2 , s1 , s2 , s3 ≥ 0
对于最优解: x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0
• 说明：生产50单位Ⅰ产品和250单位Ⅱ产品将消耗完所有可 能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。
x1 , x2 ≥ 0
3
§1 问题的提出
• 建模过程
1.理解要解决的问题，了解解题的目标和条件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每一组值
表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确
定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决问题
过程中必须遵循的约束条件
10
§2 图 解 法
• 重要结论：
➢ 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对 应一个最优解；
➢ 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50x1+50x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解；
➢ 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标函数值可 以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略 了一些必要的约束条件。
➢ 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件 4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在满足约束条件 的解，当然也就不存在最优解了。
11
§2 图 解 法
例2: 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原 料至少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其 中A原料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的 规格不同，各自所需的加工时间也是不同的，加 工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需要1 小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨 A原料的价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元， 试问在满足生产需要的前提下，在公司加工能力 的范围内，如何购买A，B两种原料，使得购进成 本最低？
1-2 第2部分 线性规划的图解法
唯一最优解
例1-3 将例1-1中目标要求改为极小化， 目标函数和约束条件均不变，则可行域与 例1-1相同，目标函数等值线也完全相同， 只是在求最优解时，应沿着与箭头相反的 方向平移目标函数等值线，求得的结果是
有唯一最优解x1=0,x2=0,对应着图1-6中的 坐标原点。
无界解
例 1 -4 max Z = x 1 + 2 x 2
表 1－ 2 生 产 单 位 产 品 所 需 的 工 时 及 原 材 料 表
生产每吨产品所需资源 所需工时占总工时比例 所需原材料（吨）
产 A 1 /3 1 /3
品 B 1 /3 4 /3 C 1 /3 7 /3
设三种产品的产量分别是x1、x2、 x3吨，由于有三个决策变量，用图解 法求解下面的线性规划时，必须首先 建立空间直角坐标系。
Wmin=5+3×1=8
y2
5 L1 4 3 D 2 L2 1 E A 0 (1/3)y1+(4/3)y2=3 C B (1/3)y1+(1/3)y2=2
最优点
1
2
3
4
5
6
7
8
9
y1
其经济意义：对包工工时及原材料的单位定 价（影子价格），若工厂自己不生产产品A和B， 将现有的工时及原材料转而接受外来加工时，那 么上述的价格系统能保证不亏本又最富有竞争力 （包工及原材料的总价格最低）。可以看到，当 原问题和对偶问题都取得最优解时，这对线性规 划对应的目标函数值是相等的： Zmax=Wmin=8 考察原问题和对偶问题的解，给做决策的管 理者另一个自由度，比如除了研究怎样利用已有 的资源以取得最大利润的同时，还可以进一步探 讨怎样通过增加更多的资源或使用不同类型的资 源来增加利润。
第三讲 线性规划的二阶段法(Max型)
则它的辅助问题为
max Z 3x1 2 x2 x3 x1 x2 x3 x4 6 x3 x5 4 x1 s.t. x2 x3 x6 3 x j 0( j 1,...,6)
线性规划的二阶段法举例（例1-2）
min Z 3x1－x3 My1 My2 My3 x1 x2 x3 x4 y1 4 2 x x x x y 1 1 2 3 5 2 S .T . 3x2 x3 y3 9 x j 0, j 1, 2,3, 4,5, y j 0
二阶段法的计算步骤: 第一步 用单纯形法求辅助问题的最优单纯形表T(B*) 和最优值W*. 第二步 若 W*＞0,则原线性规划无可行解,停止求解, 否则转第三步. 第三步 T(B*)中基变量中不含人工变量y,则把T(B*)中人 工变量所在列划去,把检验数行用原规划的目标函 数的系数替代再把基变量的检验数化为0,即得原 规划的一个可行基的单纯形表.再用单纯形法迭 代,直到终止.否则转第四步. 第四步 W*=0,T(B*)中基变量中含有人工变量yr,若yr所在 行的对应的X系数全为0 ,则划去T(B*)中yr所在行 和所在的列,转第三步。否则以某变量XS的系数 brs0为轴心项进行换基迭代后转第三步。
大M法（3）
min Z 3x1－x3 x1 x2 x3 x4 4 2 x x x x 1 1 2 3 5 S .T . 3x2 x3 9 x j 0, j 1,2,3,4,5
maxZ 3x1 x3 My2 My3 x1 x2 x3 x4 4 的辅助问题也可表示成 2 x x x x y 1 1 2 3 5 2 S .T . 3 x x y 9 2 3 3 x j 0, j 1,2,3,4,5, y j 0
用两阶段法求解一个线性规划问题
用两阶段法求解一个线性规划问题2008年05月27日星期二 12:38用两阶段法求解min f=2x1-x2+x3s.t x1+2x2- x3=12x1+ x2+ x3=5x1- x2+2x3=4xi>=0,i=1,2,3引入人工变量x4,x5,x6,使min g=x4+x5+x6s.t x1+2x2-x3+x4=12x1+x2+x3+x5=5x1-x2+2x3+x6=4xi>=0,i=1,...,6其单纯形表是基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 右项-g 0 0 0 1 1 1 0x4 1 2 -1 1 0 0 1x5 2 1 1 0 1 0 5x6 1 -1 2 0 0 1 4-f 2 -1 1 0 0 0 0将x4,x5,x6这三行乘以-1加到-g这行，得表基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 右项-g -4 -2 -2 0 0 0 -10x4 1 2 -1 1 0 0 1x5 2 1 1 0 1 0 5x6 1 -1 2 0 0 1 4-f 2 -1 1 0 0 0 0因为-4<-2<0，所以x1入基，又1/1<5/2<4/1，所以x4出基，并把x4所在行的主元化成1，且把x1所在列非零项化成零,得表基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 右项-g 0 6 -6 4 0 0 -6x1 1 2 -1 1 0 0 1x5 0 -3 3 -2 1 0 3x6 0 -3 3 -1 0 1 3-f 0 -5 3 -2 0 0 -2因为-6<0，所以x3入基，又3/3=3/3选取x5出基，并把x5所在行的主元化成1，且把x3所在列非零项化成零,得表基变量 x1 x2 x3 x4 x5 x6 右项-g 0 0 0 0 2 0 0x1 1 1 0 1/3 1/3 0 2x3 0 -1 1 -2/3 1/3 0 1x6 0 0 0 1 -1 1 0-f 0 -2 0 0 -1 0 -5目标gmin=0说明原问题有最优解，把上面所得的结果作为求解原问题的初始基本可行解进行单纯形法迭代。
两阶段法讲解(共7张PPT)
s.t 2x1 5x2 x3 x5 x6 10
xi
0(i
1, 2, 3, 4, 5, 6)
Cj 0 0 0 X1 X2 X3
X4 1 1 1 X6 [2] -5 1 -W -3 4 -2 X4 0 [7/2] ½
X1 1 -5/2 ½
-W 0 -7/2 -1/2 X2 0 1 1/7 X1 1 0 6/7 -W 0 0 0
两阶段法讲解
题目
M axz 2 x1 3 x2 5 x3
x1 x2 x3 7
s .t
2
x1
5 x2
x3
10
x1
,
x2 ,
x3
0
第一阶段：
先在线性规划问题的约束条件中参加人工变
量，x 4 x 6 减去剩余变量 x ，5 得到第一阶段的
数学模型。
min w x4 x6
x1 x2 x3 x4 7
0 -7/2 -1/2
0 -1/2 3/2
-2
000 1 0 1 0
[2] -5 1 0 -1 1 10
第一阶段以人工变量建立目标函数求解新目标函数的最优解。
[2] -5 1 0 -1 1 10
000 1 0 1 0
线性规划问题的最优解
二阶段法总结：
第一阶段以人工变量建立目标函数求解新目 标函数的最优解。如原问题为最大问题那么 新的问题为最小问题，例如原问题目标函数 为max Z=X1+3X2+X3〔存在两个约束条 件〕新的目标函数为min w=X4+X5即 max〔-w〕=-X4-X5
第二阶段就是在第一阶段最后一张单纯性表 的根底上去除人工变量，尤其要注意的是要 把目标函数的系数改为原函数目标函数的系 数。要注意判断是否到达最优，如未到达最 优那么继续迭代到达最优为止。