相似三角形中考复习(知识点题型分类练习)38482
相似三角形中考复习
相似三角形中考复习相似三角形是初中数学中的重要内容，在中考中占据着相当重要的地位。
为了帮助同学们更好地复习相似三角形，提高解题能力，我们来一起系统地梳理一下这部分知识。
一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
在实际解题中，我们要根据题目所给的条件，灵活选择合适的判定方法。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
这些性质在求解边长、角度、面积等问题时经常用到。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。
2、“8”字型与“A”字型类似，只不过图形的形状像数字“8”。
3、母子相似型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
4、一线三等角型在一条直线上有三个相等的角，往往可以通过角的相等关系证明三角形相似。
五、相似三角形的应用相似三角形在实际生活中有广泛的应用，比如测量建筑物的高度、河流的宽度等。
例如，要测量一座塔的高度，我们可以在塔的旁边立一根已知长度的标杆，然后分别测量出标杆的影长和塔的影长。
由于在同一时刻，太阳光线是平行的，所以标杆和塔与地面形成的三角形是相似的。
根据相似三角形的性质，我们就可以求出塔的高度。
六、中考真题解析例 1：如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 边上的点，且DE∥BC，如果 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4，那么 AC 的长是多少？解：因为 DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
所以 AD：AB ＝ AE：AC因为 AD：AB ＝ 2：3，AE ＝ 4所以 2：3 ＝ 4：AC解得 AC ＝ 6例 2：如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ 90°，BD⊥AC 于点 D，若AB ＝ 3，BC ＝ 4，求 BD 的长。
相似三角形复习资料.docx
.\相似三角形及其性质一、课堂讲解知识点 1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
//////如△ ABC与△ A B C 相似，记作 :△ABC∽△ A B C。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC∽△ A/ B/ C/，相似比为 k，则△ A/ B/ C/与△ ABC的相似比是1k知识点 2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为 1 的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点 3、平行线分线段成比例定理1.比例线段的有关概念：在比例式a c (a：b c：d)中，a、d叫外，b、c叫内，a、c叫前，b db、 d 叫后项， d 叫第四比例项，如果把线段 AB分成两条线段 AC和段AB的黄金分割点。
2.比例性质：b=c，那么 b 叫做 a、 d 的比例中项。
2BC，使 AC=AB· BC，叫做把线段 AB 黄金分割， C叫做线①基本性：a cad bc②合比性：a c a±b c± db d b d b d③等比性：a c⋯md⋯a c⋯m ab d(b n≠ 0)d⋯n bn b3.平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理 :三条平行线截两条直线 ,所得的对应线段成比例 .已知 l1 ∥ l2∥l3,A D l1B E l2C F l3AB DE 或 ABDE 或 BC EF 或 BCEF 或 AB BC可得 BCEF AC DF AB DF AC DF DE EF 等.（ 2）推论 :平行于三角形一边的直线截其它两边 (或两边的延长线 )所得的对应线 段成比例 .ADEBCAD AEBDECAD AE由 DE ∥ BC 可得： DB 或或AC.此推论较原定理应用 EC AD EA AB更加广泛 ,条件是平行 .（ 3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线 )所得的对应线段成比例 .那么这条直线平行于三角形的第三边 .此定理给出了一种证明两直线平行方法 ,即：利用比例式证平行线 .（ 4）定理 : 平行于三角形的一边 ,并且和其它两边相交的直线 ,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 .知识点 4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点 5：相似三角形的周长和面积（ 1）相似三角形的对应高相等，对应边的比相等。
(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题
初三相似三角形知识点与经典题型知识点 1 相关相似形的看法(1) 形状同样的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 若是两个边数同样的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比率线段的相关看法（ 1）若是采用同一单位量得两条线段a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是a mbn ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要一致。
的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比率线段，（ ）在四条线段a, b, c, d 中，若是a 和b 的比等于c 和d 2简称比率线段． 注：①比率线段是有次序的， 若是说 a 是 b, c, d 的第四比率项， 那么应得比率式为：bd ．②在比率式ac(a ： bcac ： d)中，a 、d 叫比率外项， b 、c 叫比率内项 , a 、c 叫比率前项， b 、d 叫比率后b d此时有 b 2项， d 叫第四比率项，若是 b=c ，即a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比率中项， ad 。
（ 3）黄金切割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比率中项，即AC 2AB BC ，叫做把线段 AB 黄金切割，点 C 叫做线段 AB 的黄金切割点，其中AC5 1 AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为：长＝短＝5 1ABAC 2全 长2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3比率的性质（ 注意性质立的条件：分母不能够为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项 )cd（ 2） 更比性质 ( 交换比率的内项或外项) ：ac d()c ，交换外项b db ad b．同时交换内外项)ca（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b dac（ 4）合、分比性质：a c ab cd ．b d bd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比率仍建立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：若是ac e m(bdfn 0) ，那么 acem a ．b d fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样能够减少未知数的个数，这种方法是相关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母可否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也建立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比率线段的相关定理1. 三角形中平行线分线段成比率定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线) 所得的对应线段成比率 .A由 DE ∥ BC 可得：ADAE 或 BD EC 或 ADAE DB ECADEAABACDE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边, 而且和其他两边订交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理： 若是一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比率 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比率式证平行线 .③平行线的应用：在证明相关比率线段时，辅助线经常做平行线, 但应依照的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比率定理: 三条平行线截两条直线, 所截得的对应线段成比率 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,B E可得AB DE AB DE BC EFBC EFAB BCCFBC EF或DF或或AC 或DE 等.AC AB DE DFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 若是在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形经典总复习(含知识点习题)
第23章:相似三角形 第一节:比例线段 知识点:1、相似多边形：从几何直观上来说，两个图形如果形状一致，而大小不同，则称这两个图形相似，具体到多边形，称之为相似多边形。
从严谨定义上来说，如果两个多边形各边成比例，各角相等，则称这两个多边形为相似多边形。
2、比例线段：一、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或a mb n=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。
二、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线段成比例线段，简称比例线段。
例如线段a 、b 、c 、d ，如果a cb d=或者（::a b c d =）a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c=。
三、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项：若a cb d=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项，可记做（2b ac =）3、比例性质： 1、基本性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad bc =。
2、合比性质：如果a cb d=，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=。
在此处键入公式。
a b c db d±±=3、等比性质：如果a c mb d n===（0b d n +++≠），则a c m a c mb d n b d n+++====+++，运用这个性质时，一定要注意0b d n +++≠的条件。
4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。
初三数学九下相似所有知识点总结和常考题型练习题
相似知识点一、比例的性质二、相似三角形：1。
相似三角形定义： 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法:用符号“∽”表示,读作“相似于”。
3。
相似三角形的相似比： 相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线）相交,所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
7。
相似三角形的性质定理：(1）相似三角形的对应角相等。
（2）相似三角形的对应边成比例。
（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4）相似三角形的周长比等于相似比.（5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.8。
相似三角形的传递性 如果△ABC ∽△A 1B 1C 1,△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,那么△ABC ∽A 2B 2C 2相似练习一. 选择题1．如图，DE ∥BC,AD ：DB=2：1，那么△ADE 与△ABC 的相似比为 ( ） A ． B ． C ． D ．22．如图，AB ∥CD,AD 与BC 相交于点O ，那么在下列比例式中，正确的是 （ ) A ． B ． C ． D ．3．下列叙述中,不正确的是 （ ）A ．在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=20°，在Rt △A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，∠A ′=20°，则△ABC ∽△A ′B ′C ′B ．△ABC 的两个角分别是35°和100°，△A ′B ′C ′的两个角分别是45°和35°，则这两个三角形合比性质：（比例基本定理）相似C ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为90°,则△ABC 与△A ′B ′C ′相似D ．等腰△ABC 和等腰△A ′B ′C ′都有一个角为105°，则△ABC 与△A ′B ′C ′相似 4．如图，AB ∥CD,AD 与BC 相交于点P,AB=3，CD=6，AP=4，则DP 的长为 ( ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．85．如图，AB ∥CD ∥EF ，则图中相似的三角形共有 （ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对6。
(完整版)初中相似三角形基本知识点和经典例题
初三相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
九年级数学中考数学复习—相似三角形知识点复习题.doc
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谢谢！】中考数学复习—相似三角形一、基本知识及需要说明的问题:(一)比例的性质1.比例的基本性质:bc ad dc b a =⇔= 此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法.2.合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.如:已知dc c b a ad c b a +=+=:,求证 证明:∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴dc c b a a +=+ 3.等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n fd b n m fe d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 4.比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3, A D l 1B E l 2C F l 3可得EFBC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等. 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的．．．．三边．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. A D EB C说明:①此定理和平行线分线段成比例定理的异同 相同点:都是平行线不同点:平行线分线段成比例定理的推论是两条平行线截其它两边所成的对应线段成比例,即AD 与AE,DB 与EC,AB 与AC 这六条线段,而此定理是三角形的三边对应成比例.即AC AE AB AD BC DE AC AE BC DE AB AD ===或或，只要有图形中的BCDE ,它一定是△ADE 的三边与△ABC 的三边对应成比例.②注意:条件(平行线的应用)在作图中,辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4求:AF:FC图（1） 图（2） 图（3）辅助线当然是添加平行线。
相似三角形-基本知识点+经典例题
相似三角形-基本知识点+经典例题(完美打印版)知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念（1）假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nm b a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，假如说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a c a b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，假如b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 现在有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 差不多性质：注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b d a c =⇔=． （4）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （5）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么ba n f db m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）如此能够减少未知数的个数，这种方法是有关比例运算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：b a f d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 注： ①重要结论：平行于三角形的一边,同时和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.B此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线. ③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注：平行线分线段成比例定理的推论： 平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
相似三角形知识点及例题
相似三角形比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:形三边对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD∥BE∥CF,注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5:相似三角形的概念1.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．知识点6：三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理1.相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC∆有ABC∆∽ABC∆．（2）对称性：若ABC∆∽'''CBA∆，则'''CBA∆∽ABC∆．（3）传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ 几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
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相似三角形知识点与经典题型知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形。
(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是nmb a =,或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一.（2）在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b =．②()a ca b c d b d ==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项,如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
(3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅,叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长注:黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0)（1) 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =，除了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=，b a d c ::=,c a d b ::=，c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质（交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 (3）反比性质(把比的前项、后项交换）： a c b db d a c=⇔=．(4）合、分比性质：a c abc db d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5)等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数,这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如:baf d b e c a f e d c b a f e d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1。
相似三角形知识点整理及习题-中考经典题
相似三角形知识点整理一、本章的两套定理第一套(比例的有关性质):=…=—(b + d H ------ F n 中0) n 等比性质: n 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的项、外项④黄金分割等。
二、有关知识点：1 .相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2 .相似三角形的表示方法：用符号“s”表示，读作“相似于”。
3 .相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4 .相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5 .相似三角形的判定定理：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中 探究新知识掌握的方法。
6 .直角三角形相似：(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直 角三角形相似。
7 .相似三角形的性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8 .相似三角形的传递性如果△ABC s^A 1B 1C 1，4A 181c l sA A 282c 2，那么A ABC s A 282c 2a c ， —=—o ad = bc nb d acd d _c 甫a _b 、—=--或 —=— b a c d a ± b ।合比性质：——c ±d ~d~ a + c H ---- F m _ a b + d H----- F n b页脚.注意 1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形味”型和“ 8 ”型。
相似三角形知识点整理及习题
相似三角形知识点整理及习题相似三角形知识点整理本章的两套定理：第一套（比例的有关性质）：ac/bd = ad/bc (比例基本定理)bd/ac = dc/ab 或者 bacd = a±bc±d (合比性质)bd/ac = ma+c+…+ma/(b+d+…+n) (等比性质)涉及概念：第四比例项、比例中项、比的前项、后项、内项、外项、黄金分割等。
有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：1) 与全等的判定方法的联系列表如下：类型全等三角形的判定相似三角形的判定SAS 两边对应成比例夹角相等SSS 三边对应成比例AAS（ASA）两角对应相等HL 一条直角边与斜边对应成比例从表中可以看出，只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”，就可得到相似三角形的判定定理。
6.直角三角形相似：1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
7.相似三角形的性质定理：1)相似三角形的对应角相等。
2)相似三角形的对应边成比例。
3)相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
4)相似三角形的周长比等于相似比。
5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
8.相似三角形的传递性：如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2.注意：相似三角形的基本定理是相似三角形的一个判定定理，也是后面研究的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“8”型。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
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= d知识点 1 有关相似形的概念相似三角形知识点以及典例(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点 2 比例线段的相关概念 （1） 在四条线段 a , b , c , d 中，如果 a 和b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段 a , b , c , d 叫做成比例线段，简 称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说 a 是b , c , d 的第四比例项，那么应得比例式为： b da c②在比例式 = b dc a (a : b = c :d ) 中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项,如果 b=c ，即 a ：：= b d 那么 b 叫做 a 、d 的比例中项， 此时有b 2 = ad 。
知识点3比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①a :b =c :d ⇔ ad = bc ；② a : b = b : c ⇔ b 2= a ⋅ c ． 注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如 ad = bc ，除了可化为 a : b = c : d 等。
⎧a = bac⎪ d c d c，( 交换内项) （2） 更比性质(交换比例的内项或外项)： = ⇔ ⎪= ，( 交换外项) b d ⎨⎪ d b a b ⎪ = ．( 同时交换内外项) a c b ⎩ c a（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： = ⇔ = ．b d a c（4）合、分比性质： a = c ⇔a ±b =c ± d． b d b d典型例题：例题 1：已知线段 a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则 a 、b 、a ＋b 的第四比例项是 cm ，a ＋b 与 a －b 的比例中项是cm ． a + b b + ca + c例题 2：若＝＝＝－m 2，则 m ＝ ．c ab知识点 4 比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (相似)2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点 5相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．E ACB C知识点 6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1) 相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一∆ABC 有∆ABC ∽ ∆ABC ．②对称性：若∆ABC ∽ ∆A ' B 'C '，则∆A ' B 'C ' ∽ ∆ABC ．③传递性：若∆ABC ∽ ∆A ' B 'C '，且∆A ' B 'C '∽ ∆A B C ，则∆ABC ∽ ∆A B C(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的 三角形与原三角形相似． A D定理的基本图形：DE(2)B(3) (3)用数学语言表述是： D E // BC ， ∴ 知识点 7三角形相似的判定方法∆ADE ∽ ∆ABC ． 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． A4、判定定理 2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理 3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用． B DC (2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．（射影定理：在 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 比例中项。
2021年相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)最全面
相似三角形一、知识概述1. 平行线等分线段定理如果一组平行线再一条直线上截得地线段相等，那么再其它直线上截得地线段也相等。
2. 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得地对应线段成比例。
3. 相似三角形地定义对应边成比例、对应角相等地两个三角形叫做相似三角形．4. 相似三角形地基本性质①相似三角形地对应边成比例、对应角相等．②相似三角形地对应高线地比，对应中线地比与对应角平分线地比都等于相似比。
③相似三角形地周长比等于相似比④面积比等于相似比地平方温馨提示：①全等三角形一定为相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形为相似三角形地特例．其区别再于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△ A′B′C′地对应边地比，即相似比为k ，则△ A′B′C′∽ABC△地相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比为一个重要概念，后继学习时出现地频率较高，其实质它为将一个图形放大或缩小地倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形地判定定理①平行于三角形一边地直线与其他两边或其延长线相交，所得地三角形与原三角形相似；②三边对应成比例地两个三角形相似；③两角对应相等地两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等地两个三角形相似。
温馨提示：（ 1）判定三角形相似地几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等( 包括隐含地公共角或对顶角) ，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但为，再选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须为成比例两边地夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰与底对应成比例。
（ 2）再综合题中，注意相似知识地灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧地应用，培养综合运用知识地能力。
（ 3）运用相似地知识解决一些实际问题，要能够再理解题意地基础上，把它转化为纯数学知识地问题，要注意培养当数学建模地思想。
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相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。
（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
6. 位似①定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．②性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．②三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功．通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法．如：(1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图．“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图．其中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图．若图中∠1=∠2，∠B=∠D(或∠C=∠E)，则△ADE∽△ABC，该图可看成把第一个图中的△ADE绕点A旋转某一角度而形成的．温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线．以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形．相似三角形专题分类练习讲解A CDBE ABC DE题型一：线段的比、黄金分割1.在比例尺1：10000的地图上，相距2cm 的两地的实际距离是（ ） A ．200cm B ．200dm C ．200m D ．200km2.若则下列各式中不正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．3.若52=-yy x ，则y x=_______；已知32=yx ，则y x y x +-=________；已知653z y x ==，且623+=z y ，则__________,==y x 。
4.若045=-y x 且0≠xy ，则x ∶y =_________。
5.2和8的比例中项是_________；线段2㎝与8㎝的比例中项为_________。
6.已知a ：b ：c ＝2 ：3 ：4，且2a ＋3b －2c ＝10，求a ， b ，c 的值。
题型二：相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为_________。
2.已知△ABC ∽△DEF ，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为3.如图,DE ∥BC ，AD ∶BD=2∶3，则ΔADE 的面积∶四边形DBCE 的面积=_________。
4.如图，已知等边三角形ABC 的边长为2，DE 是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）△CDE ∽△CAB ，（3）△CDE 的面积与△CAB 的面积之比为1：4.其中正确的有：_____个5.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，△ADE 与△BCE 面积之比为4 ：9，那么△ADE 与△ABE 面积之比为________6.平行四边形ABCD 中，AB=28，E 、F 是对角线AC 上的两点，且AE=EF=FC ，DE 交AB 于点M ，MF 交CD 于点N ，则CN=_________。
第3题 第4题 第5题 第6题7.如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形ABCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．变式2图HMDEFGCBA下面结论：①只有一对相似三角形；②EF ：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5． 其中正确的结论是（ ）A ．①③B ．③C ．①D ．①②8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2 ，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A ． S 1 > S 2 B. S 1 = S 2 C. S 1<S 2 D. S 1、S 2 的大小关系不确定9.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，且AE ∶EB ＝2∶1，AF ⊥DE 于G 交BC 于F ，则△AEG 的面积与四边形BEGF 的面积之比为（ ）A.1∶2B.1∶4C.4∶9D.2∶310.如图，已知DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，DOE S ∆∶COB S ∆＝4∶9，则AE ∶EC 为（ ） A.2∶1 B.2∶3 C.4∶9 D.5∶411.已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______．第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 12.如图在△ABC 中，矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH ⊥BC 交DE 于M ，DG ∶DE ＝1∶2，BC ＝12 cm ，AH ＝8 cm ，求矩形的各边长。
13.已知如图，正方形ABCD 中，AB ＝2，E 是BC 的中点，DF ⊥AE ，F 为垂足，求△DFA 的面积1S 和四边形CDFE 的面积2S 。
题型三：相似的有关证明1.已知：如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，E 是AB 的中点，直线ED分别与对角线AC和BC 的延长线交于M 、N 点求证：MD ：ME ＝ND ：NE2.如图，D 在AB 上，且DE ∥BC ，交AC 于E ，F 在AD 上，且AB AF AD ⋅=2，求证：△AEF ∽△ACD ．3.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B（1）求证：△ADF ∽△DEC ； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE 的长．题型四：函数与相似1. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，G 为DC 中点，E 为BC 上任一点，（E 点与点B 、点C 不重合）设BE ＝，过E 作GA 平行线交AB 于F ，设AFEC 面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
NDCA EB M2.如图，ABCD 是矩形，AH ＝2，HD ＝4，DE ＝2，EC ＝1，F 是BC 上任一点（F 与点B 、点C 不重合），过F 作EH 的平行线交AB 于G ，设BF 为，四边形HGFE 面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
3.如图，有一块直角梯形铁皮ABCD ，AD ＝3cm ，BC ＝6cm ，CD ＝4cm ，现要截出矩形EFCG ，（E 点在AB 上，与点A 、点B 不重合），设BE ＝，矩形EFCG 周长为，（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；（2）取何值，矩形EFCG 面积等于直角梯形ABCD 面积的。
4.如图，已知抛物线y ＝x2－1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与△PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．5.如图，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求经过A 、B 、C 三点的抛ABOPCxy物线解析式；(2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ， 试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗？请说明理由．题型五、圆与相似1.（2013•绥化）如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，AC 平分∠BAD ，AC 交BD 于点E ，CE=4，CD=6，则AE 的长为（ ）A.4B.5C.6D.72.如图，AB 为⊙O 的直径，D 是弧BC 的中点，DE ⊥AC 交AC 的延长线于E ，⊙O 的切线BF 交AD 的延长线于点F 。