小学数学基础教程

小学数学应用师基础教程(六年级)

第一讲百分数

百分数有两种不同的定义。

（1）分母是100的分数叫做百分数。这种定义着眼于形式，把百分数作为分数的一种特殊形式。

（2）表示一个数（比较数）是另一个数（标准数）的百分之几的数叫做百分数。这种定义着眼于应用，用来表示两个数的比。所以百分数又叫百分比或百分率。

百分数通常不写成分数形式，而采用符号“％”来表示，叫做百分号。

在第二种定义中，出现了比较数、标准数、分率（百分数），这三者的关系如下：

比较数÷标准数=分率（百分数），标准数×分率=比较数，比较数÷分率=标准数。

根据比较数、标准数、分率三者的关系，就可以解答许多与百分数有关的应用题。

例1纺织厂的女工占全厂人数的80％，一车间的男工占全厂男工的25％。问：一车间的男工占全厂人数的百分之几？

分析与解：因为“女工占全厂人数的80％”，所以男工占全厂人数的1-80％=20％。

又因为“一车间的男工占全厂男工的25％”，所以一车间的男工占全厂人数的20％×25％=5％。

例2 育红小学四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％。如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三至六年级共有多少名学生？

分析：以三年级学生人数为标准量，则四年级是三年级的125％，五年级是三年级的125％×（1-10％），六年级是三年级的125％×（1-10％）×（1+10％）。因为已知六年级比三年级多38人，所以可根据六年级的人数列方程。

解：设三年级有x名学生，根据六年级的人数可列方程：

x×125％×（1-10％）×（1+10％）=x+38， x=160。

三年级有160名学生。四年级有学生 160×125％=200（名）。五年级有学生200×（1-10％）＝180（名）六年级有学生 160+38=198（名）。160+200+180+198=738（名）。

例3：运一批货物，第一次运走20%，第二次运走6吨，第三次运的比前两次的总和少2吨，这时还剩下这批货物的1/3没有运走，这批货物共有多少吨？（37.5吨）

例4：某商店同时卖出两件商品，每件各得30元，其中一件盈利20％，另一件亏本20％。这个商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本？具体是多少？

分析与解：盈利20％，即售出价是成本价的（1 + 20％）；亏本20％，即售出价是成本价的（1 - 20％）。两件商品的售出价都是30元，可分别算出两件商品的成本价。

30 ÷（1 + 20％）= 25（元） 30 ÷（1 - 20％）= 37.5（元）

25 + 37.5 = 62.5（元） 62.5 – 60 = 2.5（元）

答：这个商店卖出这两件商品总体上是亏本，亏本2.5元。

例5：水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的22％，第二次运进1.5吨，两次共运进这批水果的62％，这批水果一共有多少吨？

分析与解：根据题意可以画出下面的线段图：

62％

第一次22％ 1.5吨

“1”? 吨

从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5吨，单位“1”的量是这批水果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了62％ｘ吨，第一次运进了22％ｘ吨。

解：设这批水果一共有ｘ吨。

62％ｘ - 22％ｘ = 1.5 40％ｘ = 1.5 ｘ = 3.75

在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题。我们都知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说，糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液=糖+水）二者重量的比值决定的，这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者重量的比值就叫酒精含量。溶质、溶剂、溶液及溶质含量有如下基本关系：溶液重量=溶质重量+溶剂重量，溶质含量=溶质重量÷溶液重量，

溶液重量=溶质重量÷溶质含量，溶质重量=溶液重量×溶质含量。

溶质含量通常用百分数表示。例如，10克白糖溶于90克水中，含糖量（溶

例6有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？

分析与解：在600克含糖量为7％的糖水中，有糖（溶质）600×7％=42（克）。

设再加x克糖，可使其含糖量加大到10％。此时溶质有（42+x）克，溶液有（600+x）克，根据溶质含量可得方程

需要再加入20克糖。

练习1

1.某修路队修一条路，5天完成了全长的20％。照此计算，完成任务还需多少天？

2.服装厂一车间人数占全厂的25％，二车间人数比一车间少20％，三车间人数比二车间多30％。已知三车间有156人，全厂有多少人？

3.有三块地，第二块地的面积是第一块地的80％，第三块地的面积比第二块多20％，三块地共69公顷，求三块地各多少公顷。

5.有酒精含量为30％的酒精溶液若干，加了一定数量的水后稀释成酒精含量为24％的溶液，如果再加入同样多的水，那么酒精含量将变为多少？

6.某商品如果按现价18元出售，则亏了25％，原来成本是多少元？如果想盈利25％，应按多少元出售该商

品？

第二讲比和比例

比的概念是借助于除法的概念建立的。

两个数相除叫做两个数的比。例如，5÷6可记作5∶6。

比值。

表示两个比相等的式子叫做比例（式）。如，3∶7=9∶21。判断两个比是否成比例，就要看它们的比值是否相等。两个比的比值相等，这两个比能组成比例，否则不能组成比例。

在任意一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即：如果a∶b=c∶d，那么a×d=b×c。

两个数的比叫做单比，两个以上的数的比叫做连比。例如a∶b∶c。连比中的“∶”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。把两个比化为连比，关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把这两项化成它们的最小公倍数。例如，甲∶乙=5∶6，乙∶丙=4∶3，因为[6，4]=12，所以 5∶ 6=10∶ 12， 4∶3=12∶9，得到甲∶乙∶丙=10∶12∶9。