将棱长为N厘米
山东省济南市2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题【含答案】
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1．C
参考答案
【分析】
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是 2 最高次项的
系数不为零的整式方程叫做一元二次方程，多各式进行逐一判断即可．
【详解】 x2 1 1
解：① 3x 是分式方程，不是一元二次方程； ② 2x2 5xy y2 0 是二元二次方程，不是一元二次方程；
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
）
A．2021
B．2019
C．2017
D．2015
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7．用配方法解方程 2x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（ ）
1
1
A．（2x＋2）2＝﹣2 B．（2x＋2）2＝﹣3 C．（x＋ 2 ）2＝ 2
1
D．（x＋1）2＝ 2
8．某公司今年一月产值 200 万元，现计划扩大生产，使今后两年的产值都比前一年增
15．如果 x2 2m 1x 4 是一个完全平方公式，则 m _____．
16．一只袋中装有三只完全相同的小球，三只小球上分别标有 1，﹣2，3，把这只小 球的标号数字记作一次函数 y＝kx＋b 中的 k，然后放回袋中搅匀后，把这只小球的标 号数字记作一次函数 y＝kx＋b 中的 b．则一次函数 y＝kx＋b 的图象经过一，二，三象 限的概率____． 17．如图，沿矩形 ABCD 的对角线折叠，先折出折痕 AC，再折叠 AB，使 AB 落在对 角线 AC 上，折痕 AE，若 AD=8，AB=6．则 BE=___．
五年级第11讲长、正方体的染色例题教师版
【知识导航】一个长方体或正方体的的表面染色，然后切成若干个小正方体。
三面图色的立方体都在原来立体图形的顶点处；两个面涂色的都在原来立体图形的棱上，一个面涂色的都在原来立体图形的面上, 中间的心是无色的。
【典型例题】【例1】将一个7×7×7的正方体表面涂上红色，再将切割成343个1×1×1的小正方体，其中恰有一面涂色的小正方体有多少个？两面、三面和没有被涂色的呢？【分析】三面涂色在顶点处。
两面涂色的在棱上，一面涂色的在面上，无色在里面。
【答案】（150,60,8,125）【例2】一个 3×3×3的正方体，如果将其表面涂成红色，则在角上的8个小正方体有三面是红色的，最中央的小方块则一点红色也没有，其余18块小方块中，有12个两面是红的，6个一面是红的．这样两面有红色的小方块的数量是一面有红色的小方块的两倍，三面有红色的小方块的数量是一点红色也没有的小方块的八倍。
问：由多少块小正方体构成的正方体，表面涂成红色后会出现相反的情况，即一面有红色的小方块的数量是两面有红色的小方块的两倍，一点红色也没有的小方块是三面有红色的小方块的八倍？【分析】对于由n3块小正方体构成的n×n×n正方体，三面涂有红色的有8块，两面涂有红色的有12×（n－2）块，一面涂有红色的有6×（n－2）2块，没有涂色的有（n-2）3块．由题设条件，一点红色也没有的小方块是三面涂有红色的小方块的八倍，即（n-2）3＝8×8，解得n＝6．6×6×6=216。
【例3】如图，将边长为3的正方体的一个面、边长为5的正方体的一个面和边长为7的正方体一个面粘合在一起，使得较小的面恰好位于较大的面的一角。
将新得到的立体图形的表面涂成红色，然后把它沿刚才的粘合面切开得到三个正方体，接着将这三个正方体都切成边长为1的小正方体，那么在全部3×3×3+5×5×5+7×7×7=495个小正方体中，恰好有两个面涂成红色的有多少个？（没有染色、一面染色、三面染色的各多少个呢？）【答案】（183，208，90，14）【例4】有一个n×n×n的大正方体，将它的六个面中的一些面涂上红色，再将它全部切割成1×1×1的小正方体，结果发现至少一面被涂上红色的小正方体有281块，问：这之中恰好只有一面涂色的小正方体共有多少块？【答案】（240）【例5】一个长方体木块表面涂满了红漆，把它切成棱长全为1厘米的小正方体后，各个面都没有漆的只有11块。
6.2.2 立方根应用+平方根与立方根-简单数学之2021-2022学年七年级下册考点专训(解析版
6.2.2 立方根应用+平方根与立方根一、单选题1．一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（ ） A ．16的4次方根是2 B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大 【答案】C【分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【详解】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意； B.5232=，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设352,2,x y == 则155153232,28,x y ====1515,x y ∴> 且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．2．下列说法：①2-是4的平方根；②16的平方根是4；③125-的立方根是15；④0.25的算术平方根是0.5；⑤27125的立方根是35±；819，其中正确的说法是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义即可依次判断．【详解】2-①是4的平方根，正确;16②的平方根是4±，故错误﹔125-③的立方根是5-，故错误;0.25④的算术平方根是0.5，正确﹔⑤27125的立方根是35，故错误; 819,9=的平方根是3±，故错误;其中正确的说法是:①④，共2个，故选:B．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、算术平方根及立方根的定义．3．一个正方体的体积扩大为原来的8倍，它的棱长变为原来的（）倍．A8B．64C．8D．2【答案】D【分析】设正方体棱长为a，变化后的棱长为n a，分别按照正方体体积公式写出关系式，然后利用变化前后的体积关系列出方程即可求解．【详解】设正方体棱长为a，变化后的棱长为na由题意得：变化前正方体的体积：3a，变化后的正方体的体积：33n a∵3338n aa=，解得n=2∴它的棱长变为原来的2倍故选D．【点睛】本题考查了正方体的体积公式，立方根的实际应用，关键是根据题意找出体积关系然后求解．二、填空题4．把一个长、宽、高分别为5,10,16的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长是_______．3800【分析】立方体的棱长就是体积的立方根，据此即可求解．【详解】解：立方体的体积是：5×10×16=800，38003800【点睛】此题主要考查了立方根的定义和性质，注意本题答案不唯一．求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．5．若将一个棱长为5米的立方体的体积增加V立方米，而保持立方体形状不变，则棱长应增加_______米．31255V【分析】计算出原体积，得到增加后的体积，从而得到增加后的棱长，可得结果．【详解】解：∵立方体的棱长为5，∴体积为5×5×5=125，∴增加后的体积为125+V，31255V（米），31255V．【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．6．一个正方体，它的体积是棱长为5cm的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是______cm．【答案】10【分析】直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案．【详解】解：棱长为5cm 的正方体的体积为：5×5×5=125（cm 3），∵一个正方体，它的体积是棱长为5cm 的正方体体积的8倍，∴这个正方体的体积为：125×8=1000（cm 3），31000=10cm ．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．三、解答题7．计算()238492--【答案】7．【分析】先计算立方根、算术平方根，再计算有理数的加减即可得．【详解】解：原式274=-++ 52=+，7=．【点睛】本题考查了立方根、算术平方根等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．8．求下列各式的值： （1）310227-- （23321145⨯+（3331864-（423327(3)1---（5）310031(2)2(1)4---【答案】（1）43；（2）9；（3）12-；（4）1；（5）73 【分析】 （1）根据立方根的定义即可化简求解；（2）根据立方根的定义即可化简求解；（3）根据立方根的定义即可化简求解；（4）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解；（5）根据立方根与算术平方根的定义即可化简求解．【详解】解：（1）310227-3644273== （23321145⨯+331164257299=⨯+== （3）331864-11=242⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ （4）23327(3)1---3311=-++=（5）310031(2)2(1)4---347=211233÷+=+=． 【点睛】 此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方．9．（1）求32243-的5次方根； （2）求()227-的6次方根．【答案】（1）23-；（2）3±． 【分析】（1）根据52323243⎛⎫-=- ⎪⎝⎭即可求解； （2）根据()()26277293-==±，故可求解．【详解】 解：（1）∵52323243⎛⎫-=- ⎪⎝⎭555322224333⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭； （2）∵()()26277293-==±，∴()227-的6次方根为3±．【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数．10．已知7x +的平方根是3±，213x y --的立方根是-2，求56y x -的算术平方根．【答案】5x−6y 的算术平方根为4．【分析】由题意可知：x+7=9，2x−y−13=-8，分别求出x ，y 的值，再求出5x−6y 的值，即可求解．【详解】解：由题意可知：x+7=9，2x−y−13=-8，∴x=2，y=-1，∴5x−6y =5×2-6×(-1)=16，∴16的算术平方根为4．∴5x−6y 的算术平方根为4．【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质，涉及解方程，代数式求值等问题，属于基础问题．11．已知2x ＋3的算术平方根是5，5x ＋y ＋2的立方根是3，求x ﹣2y ＋10的平方根．【答案】±9【分析】根据立方根与算术平方根的定义得到5x ＋y ＋2＝27，2x ＋3＝25，则可计算出x ＝11，y ＝﹣30，然后计算x﹣2y ＋10后利用平方根的定义求解．【详解】解：因为2x ＋3的算术平方根是5，5x ＋y ＋2的立方根是3，∴23255227x x y +=⎧⎨++=⎩ 解得：1130x y =⎧⎨=-⎩， ∴x ﹣2y ＋10＝81，∴x ﹣2y ＋10的平方根为：819=±．【点睛】本题主要考查了算术平方根，平方根与立方根，熟记相关定义是解答本题的关键．12．已知3既是x ﹣4的算术平方根，又是x ＋2y ﹣10的立方根，求x 2﹣y 2的平方根．【答案】±5【分析】根据算术平方根的平方，可得被开方数，根据立方根的立方，可得被开方数，根据平方差公式，可得答案．【详解】解：∵3既是（x -4）的算术平方根，又是（x+2y -10）的立方根，∴x -4=32=9，x+2y -10=33，∴x=13，y=12，x 2-y 2=（x+y ）（x -y ）=（13+12）×（13-12）=25∴x 2-y 2的平方根为±5．【点睛】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，以及非负数的性质．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 13．已知某正数的两个平方根是314a -和2a +，14b -的立方根为－2，求+a b 的算术平方根．【答案】3【分析】利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可得到a 的值，根据立方根的定义求出b 的值，根据算术平方根的定义求出a+b 的算术平方根．【详解】解：由题意得，31420a a -++=，148b -=-，解得：3a =，6b =，∴9a b +=，∴+a b 的算术平方根是3.【点睛】本题考查的是平方根、立方根和算术平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数；正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有平方根．14．已知一个正数的平方根是2a +和6a -，b 的立方根是2-，求4a b -的平方根．【答案】4a -b 的平方根为4±【分析】首先根据：一个正数的平方根是2a +和6a -，可得：（2a +）+（6a -）=0，据此求出a 的值是多少；然后根据：b 的立方根是-2，可得：b =（-2）3=-8，据此求出4a －b 的平方根是多少即可．【详解】解：∵一个正数的平方根是2a +和6a -，∴（2a +）+（6a -）=0，∴a =2，∵b 的立方根是-2，∴b =（-2）3=-8，∴4a b -=4×2-（-8）=16，∴4a b -的平方根是±4．【点睛】此题主要考查了平方根的性质和应用，以及立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．15．已知4a +1的平方根是±3，3a +b ﹣1的立方根为2．（1）求a 与b 的值；（2）求2a +4b 的平方根．【答案】（1）a=2，b=3；（2）±4．【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1=9，据此求出a 的值是多少；然后根据3a +b ﹣1的立方根为2，可得：3a +b ﹣1=8，据此求出b 的值是多少即可．（2）把（1）中求出的a 与b 的值代入2a +4b ，求出它的值，然后根据平方根的定义即可得出答案．【详解】解：（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1=9，解得a=2，∵3a +b ﹣1的立方根为2，∴3a +b ﹣1=8，解得：b=3；（2）由（1）得a=2，b=3，∴24224316a b +=⨯+⨯=．它的平方根为：±4．【点睛】本题考查了平方根，立方根，列式求出a 、b 的值是解题的关键．16．已知5a +2的立方根是3，3a +b ﹣1的算术平方根是4．（1）求a ，b 的值．（2）求4a ﹣b 的平方根．【答案】（1）a =5，b =2；（2）32±【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根的定义即可解答．【详解】解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b -1的算术平方根是4，∴5a+2=27，3a+b -1=16，∴a=5，b=2；（2）由（1）知a=5，b=2，∴4a -b=4×5-2=18， ∵18的平方根为2，∴4a -b 的平方根为2【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根、立方根的定义． 17．已知52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 11（1）求a ，b ，c 的值；（2）求3a b c -+的平方根．【答案】（1）5a =，2b =，3c =；（3）4±【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a 、b 、c 的值.(2)将a 、b 、c 的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．【详解】解：（1）∵52a +的立方根是3，31a b +-的算术平方根是4，∴5227a +=，3116a b +-=，∴5a =，2b =；∵3114<<，c 11的整数部分，∴3c =；（2）当5a =，2b =，3c =时，3152316a b c -+=-+=，16的平方根是4±∴3a b c -+的平方根是4±．【点睛】本题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．18．已知y x 22x 3=-- 312z -与33z 5-yz x -的平方根． 【答案】10依据非负数的性质以及相反数的定义，即可得到x ，y ，z 的值，进而得到yz -x 的平方根．【详解】 解：∵223y x x =--中，x -2≥0，2-x≥0，∴x=2，∴y=3，312z -335z - 3312350z z --=，∴12350z z -+-=，解得：z=4，∴yz -x=3×4-2=10，∴yz -x 的平方根为10．【点睛】本题主要考查了非负数的性质以及平方根和立方根，当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．19．已知1x -的算术平方根为3，112y +的立方根为3，求22x y -的平方根．【答案】±6【分析】根据已知得出x−1＝9，112y +＝27，求出x ＝10，y ＝8，求出22x y -的值，即可求出答案． 【详解】∵1x -的算术平方根是3，112y +的立方根是3，∴x−1＝9，112y +＝27，解得：x ＝10，y ＝8，∴x 2−y 2＝100−64＝36，∴x 2−y 2的平方根是±6．本题考查了平方根，立方根，算术平方根的应用，关键是求出x 、y 的值．20．在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【答案】烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm【分析】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积． 【详解】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y = 设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=，解得x =6． 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm ． 【点睛】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍．本题体现与物理学科的综合．21．小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径．你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径．（球的体积公式343V r π=，r 为球的半径．） 【答案】3cm ．【分析】设球的半径为r ，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式求解即可．【详解】解：设球的半径为r ，小水桶的直径为12cm ，水面下降了1cm ， ∴小水桶的半径为6cm ，∴下降的水的体积是π×62×1=36π(cm 3)，即34363r ππ=， 解得：327r =，3r =，答：铅球的半径是3cm ．【点睛】本题考查了立方根的应用，涉及圆柱的体积求解，解此题的关键是得出关于r 的方程．22．已知某个长方体的体积是3480cm ，它的长、宽、高的比是5:4:3，请问该长方体的长、宽、高分别是多少？【答案】10cm 、8cm 、6cm【分析】根据长、宽、高的比是5:4:3可设每份为x ，则长宽高分别为5x 、4x 、3x ，再根据长方体的体积可列出方程，解出方程的解即可得到答案．【详解】解：∵长、宽、高的比为5:4:3∴设每份为x ，则长为5x ，宽为4x ，高为3x∴依题意得：543480x x x ⋅⋅=∴2x cm =∴55210x cm =⨯=，4428x cm =⨯=，3326x cm =⨯=答：长、宽、高分别为10cm 、8cm 和6cm ．【点睛】本题考查了开立方运算、长方体的体积等知识，数量掌握相关知识点是解题的关键．23．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米．（提示：182＝324）（1）求正方形纸板的边长；（2）若将该正方形纸板进行裁剪，然后拼成一个体积为343立方厘米的正方体，求剩余的正方形纸板的面积．【答案】（1）正方形纸板的边长为18厘米；（2）剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米【分析】（1）根据正方形的面积公式进行解答；（2）由正方体的体积公式求得正方体的边长，然后由正方形的面积公式进行解答．【详解】⨯=18（cm），解：（11622答：正方形纸板的边长为18厘米；（23343=7（cm），则剪切纸板的面积＝7×7×6＝294（cm2），剩余纸板的面积＝324﹣294＝30（cm2）答：剩余的正方形纸板的面积为30平方厘米．【点睛】本题考查了立方根，算术平方根，解题的关键是熟悉正方形的面积公式和立方体的体积公式，属于基础题．24．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（12=1.414200=14.1420000=0.03=0.17323=1.732300=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（25=2.23650=7.0710.5=，500=；（3）31=1，31000=10，31000000=100…小数点变化的规律是：．（4310=2.1543100=4.642，则310000=，30.1=．【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54，﹣0.4642【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；（2）利用得出的规律计算即可得到结果；（3）归纳总结得到规律，写出即可；（4）利用得出的规律计算即可得到结果．【详解】（12=1.414200=1420000=141.4… 0.03=0.17323=1.732300=17.32…由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位，（25=2.23650=7.0710.5=0.7071500=22.36，（331=131000=1031000000=100…小数点变化的规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位； （4310=2.1543100=4.642，310000=21.54，30.1=-0.4642．故答案为：（1）两；一；（2）0.7071；22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）21.54；﹣0.4642【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．25．先阅读材料，再解答问题：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口而出，给出了答案，众人十分惊讶，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚怎样迅速而准确地计算出结果吗？请你按下面的步骤也试一试：（1）33101000,1001000000==，则54872的立方根是___位数，54872的个位数字是2，则54872的立方根的个位数字是_____．（2）如果划去54872后面的三位“872”得到数54，而33327,464==，由由此可确定54872的立方根的十位数字是_____，此54872的立方根是______．（3）现在换一个数185193，你能按这种方法得出它的立方根吗？请求出立方根，并说明理由．【答案】（1）两，8；（2）3；38；（3）57，理由见详解【分析】（1）依据夹逼法和立方根的定义进行解答,分别求得1至9的立方，然后依据原数的末位数字判断出它的个位数；（2）利用夹逼法判断出十位数字即可；（3）利用（1）（2）中的方法确定出个位数字和十位数字即可．【详解】解：（1）∵1000＜54872＜1000000，∴10354872100，∴54872的立方根是两位数．∵13＝1，23＝8，33＝27，43＝64，53＝125，63＝216，73＝343，83＝512，93＝729，且54872的个位数字是2，∴54872的立方根的个位数字是8．故答案为：两，8；（2）∵27＜54＜64，∴54872的立方根的十位数字是3．因此54872的立方根是38．故答案为：3；38；（3）185193的末位数字是3，∴185193的立方根的个位数字是7．∵53＝125，63＝216，且125＜185＜216，∴185193的立方根的十位数字是5．∴185193的立方根是57．【点睛】本题主要考查的是立方根的概念，依据尾数特征进行解答是解题的关键．26．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<332768______位数； （2）由32768的个位上的数是8，332768________，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64332768_____________；(3)已知13824和110592-3138243110592-【答案】（1）两；（2）2，3；（3）24，﹣48；【分析】（1）由题意可得31032768100<<，进而可得答案；（2）由只有个位数是2的数的立方的个位数是8332768的个位上的数，由333=27,4=64可得27＜32＜64，进而可确定3303276840<332768的十位上的数，进而可得答案； （3）仿照（1）（2）两小题中的方法解答即可．【详解】解：（1）因为1000327681000000<<，所以31032768100<<，332768故答案为：两；（2）因为只有个位数是2的数的立方的个位数是8，3327682，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64，27＜32＜64，所以3303276840<<，3327683；故答案为：2，3；（3）由103=1000，1003=1000000，1000＜13824＜1000000，∴10313824100，313824∵只有个位数是4的数的立方的个位数是4，3138244，划去13824后面的三位数824得到13，∵8＜13＜27，∴2031382430．313824；由103=1000，1003=1000000，1000＜110592＜1000000，∴103110592100，3110592∵只有个位数是8的数的立方的个位数是2，31105928，划去110592后面的三位数592得到110，∵64＜110＜125，∴40311059250，311059248=；3110592-﹣48．【点睛】本题考查了立方根和立方数的规律探求，具有一定的难度，正确理解题意、确定所求的数的个位数字和十位数字是解题的关键．。
利用轴对称变换求最小值应用举例
E1DPBAEDPBA 利用轴对称变换求最小（大）值应用举例 姓名纵观近几年中考题，虽有一定难度，但难而不怪，灵活性强，高而可攀。
其次是精心设计，题目新型。
而且注重知识的典型性和迁移性，实现由知识到能力的过渡。
因此，注重知识的延伸和迁移，通过一题多问、一题多解、多题一解等有效手段，培养创新思维能力。
在学与练的过程中去体味奇妙的数学、领略数学的奥妙，从而提高数学解题能力。
一、课本原型：如图（1）所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A ，B 到它的距离之和最短？解：如图（2）①，只要画出A 点关于直线L 的对称点C ，连结BC 交直线L 于P ，则P 点就是所求。
这时PA+PB=PC+PB 为最小，（因为两点之间线段最短）。
证明：如图（2）②，在L 上任取一点P 1，连结P 1A ，P 1B ，P 1C ，因为P 1A+P 1B=P 1C+P 1B >BC=PA+PB 。
这是根据三角形两边之和大于第三边，所以结论成立。
二、应用和延伸： 例1、（七年级作业本题）如图（3），∠AOB 内有一点P ，在OA 和OB 边上分别找出M 、N ，使ΔPMN 的周长最小。
解：如图（4），只要画出P 点关于OB 、OA 的对称点P 1，P 2 ，连结P 1、P 2交OB 、OA 于M 、N ，此时ΔPMN 的周长PM+PN+MN =P 1P 2为最小。
（证明略）例2、如图，A 到直线L 的距离AC ＝3千米，B 到直线L 的距离BD ＝1千米，并且CD ＝4千米，在直线L 上找一点P ，使PA+PB 的值最小。
求这个最小值。
解：如图所示，只要过A 1点画直线L 的平行线与BD 的延长线交于H ，在Rt △A 1BH 中，A 1H=4千米，BH=4千米，用勾股定理求得A 1B 的长度为42千米。
三、迁移和拓展：例3、(温州2003年中考题)如图（5），在菱形ABCD 中，AB=4a,E 在BC 上，EC=2a ，∠BAD=1200,例2图 ① ②l街道图（1）BAl街道图（2）D P B A C B图（3）PBA图（4）NMOPP1L P AC B D点P在BD上，则PE+PC的最小值是（）（A）6a , (B) 5a,(C)4a (D)23a 。
2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷(解析版)
2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（7）个图形由（）个正方体叠成．A．86B．87C．85D．842．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的矩形有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（）A．B．C．D．4．已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1﹣6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么数字5的对面的数字是（）A ．6B ．4C ．3D ．6或4或3 5．将一个棱长为m （m ＞2且m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于（ ）A ．16B ．18C ．26D ．326．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m 个，最少有n 个，则m +n 等于（ ） A ．36 B ．37 C ．38 D ．397．已知A 、B 为平面上的2个定点，且AB ＝5．若点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3，则满足条件l 的直线共有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（ ）A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼9．如图，将一根绳子对折以后用线段AB 表示，现从P 处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm ，若AP ＝PB ，则这条绳子的原长为（ ）A ．100cmB ．150cmC ．100cm 或150cmD ．120cm 或150cm10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（ ）A．56°B．68°C．28°D．34°二．填空题（共8小题）11．一个棱柱有12个面，它有个顶点，条棱．12．如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是．13．“舒肤佳”香皂盒的长、宽、高分别是10cm、4cm、6cm，将这样的四个盒子拼成一个大的长方体，那么在这个大长方体的各种拼法中，表面积的最小值为cm2．14．如图，图中共有个梯形．15．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为cm3．16．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为cm3．17．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为．18．如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为．三．解答题（共8小题）19．[问题提出]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？[问题探究]我们先从特殊的情况入手（1）当n＝3时，如图（1）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1＝1个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n＝4时，如图（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2＝8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；两面涂色的：在棱上，每个楼上有2个，共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．…[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有个小正方体；一面涂色的：在面上，共有个；两面涂色的：在棱上，共有个；三面涂色的：在顶点处，共个．[问题应用]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？20．在下列两行图形中，分别找出相互对应的图形，并用线连接．21．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？22．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．23．已知∠ABC．（1）用尺规作图：作∠DEF，使∠DEF＝∠ABC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在上述作图过程中，得到哪些相等的线段？24．如图，已知∠AOB．（1）利用直尺和圆规在图①中画图：在OA，OB上分别截取OC，OD，并且使OC＝OD，连接CD，过点O作OP⊥CD垂足为P；（2）根据（1）的作图，试说明∠AOP＝∠BOP；（3）运用你所学的数学知识，在图②中再设计一种方法，作出∠AOB的平分线．（上述（1）的方法除外，不必说明理由，只在图中保留作图痕迹）25．已知：如图：∠AOB．求作：∠AOB的平分线OC．（不写作法，保留作图痕迹）26．如图，请你在下列各图中，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．2019年七年级沪科新版数学上册《第4章直线与角》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，都是由边长为1的正方体叠成的立体图形，例如第（1）个图形由1个正方体叠成，第（2）个图形由4个正方体叠成，第（3）个图形由10个正方体叠成，依次规律，第（7）个图形由（）个正方体叠成．A．86B．87C．85D．84【分析】根据图形的变换规律，可知第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，据此可得第（7）个图形中正方体的个数．【解答】解：由图可得：第（1）个图形中正方体的个数为1；第（2）个图形中正方体的个数为4＝1+3；第（3）个图形中正方体的个数为10＝1+3+6；第（4）个图形中正方体的个数为20＝1+3+6+10；故第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+，第（7）个图形中正方体的个数为1+3+6+10+15+21+28＝84．故选：D．【点评】本题主要考查了图形变化类问题以及正方体，解决问题的关键是依据图形得到变换规律．解题时注意：第n个图形中的正方体的个数为1+3+6+…+．2．如图，在矩形ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH的交点P在BD上，图中面积相等的矩形有（）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】根据矩形的性质，由全等三角形的判定得出△EPD ≌△HDP ，则S △EPD ＝S △HDP ，通过对各图形的拼凑，得到的结论．【解答】解：在矩形ABCD 中，∵EF ∥AB ，AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，则EP ∥DH ；故∠PED ＝∠DHP ；同理∠DPH ＝∠PDE ；又PD ＝DP ；所以△EPD ≌△HDP ；则S △EPD ＝S △HDP ； 同理S △GBP ＝S △FPB ；则（1）S 梯形BPHC ＝S △BDC ﹣S △HDP ＝S △ABD ﹣S △EDP ＝S 梯形ABPE ；S ▱AGPE ＝S 梯形ABPE ﹣S △GBP ＝S 梯形BPHC ﹣S △FPB ＝S ▱FPHC ；（2）S ▱AGHD ＝S ▱AGPE +S ▱HDPE ＝S ▱PFCH +S ▱PHDE ＝S ▱EFCD ；（3）S ▱ABFE ＝S ▱AGPE +S ▱GBFP ＝S ▱PFCH +S ▱GBFP ＝S ▱GBCH ．故选：C ．【点评】考查了矩形的性质，本题是一道结论开放题，掌握矩形的性质，很容易得到答案．3．如图，是一个正方体的展开图，这个正方体可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】结合正方体的展开图中圆点所在面的位置，把展开图折叠再观察其位置，即可得到这个正方体．【解答】解：把展开图折叠后，只有B 选项符合图形，故选：B ．【点评】此题考查几何体展开图，对于正方体的展开图再折叠成几何体的问题，可以多动手具体折一折，增强空间想象能力．4．已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1﹣6六个数字，如图是我们能看到的三种情况，那么数字5的对面的数字是（）A．6B．4C．3D．6或4或3【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到底面的数字，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知1，2，5，第二个正方体已知1，2，4，第三个正方体已知1，4，6，且不同的面上写的数字各不相同，可求得第一个正方体底面的数字为3，∴4相邻的数字是1，2，3，6，∴数字5的对面的数字是4．故选：B．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，立意新颖，是一道不错的题．5．将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m等于（）A．16B．18C．26D．32【分析】只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m的值．【解答】解：将一个棱长为m（m＞2且m为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切成m3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12（m﹣2），∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6（m﹣2）2＝12×12（m﹣2），解得m1＝26，m2＝2（舍去），故选：C．【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．6．平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多有m个，最少有n个，则m+n等于（）A．36B．37C．38D．39【分析】求出平面内的9条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得m+n的值．【解答】解：三条最多交点数的情况．就是第三条与前面两条都相交：1+2四条最多交点数的情况．就是第四条与前面三条都相交：1+2+3五条最多交点数的情况．就是第五条与前面四条都相交：1+2+3+4六条最多交点数的情况．就是第六条与前面五条都相交：1+2+3+4+5七条最多交点数的情况．就是第七条与前面六条都相交：1+2+3+5+6八条最多交点数的情况．就是第八条与前面七条都相交：1+2+3+5+6+7九条最多交点数的情况．就是第九条与前面八条都相交：1+2+3+4+5+6+7+8＝36则m+n＝1+36＝37故选：B．【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和几何想象能力．7．已知A、B为平面上的2个定点，且AB＝5．若点A、B到直线l的距离分别等于2、3，则满足条件l的直线共有（）条．A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意，可以分别以A、B为圆心，以2cm，3cm为半径画圆，然后求两圆的公切线，公切线的条数就是直线l 的条数．【解答】解：如图所示：∵AB ＝5，点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3，∴⊙A 与⊙B 外切，共有3条公切线，∴满足条件l 的直线共有3条．故选：B ．【点评】本题考查的是两点确定一条直线，题中数据AB ＝5与点A 、B 到直线l 的距离分别等于2、3起到了关键的限制作用，利用数形结合进行解答更形象直观．8．如图，一条街道旁有A ，B ，C ，D ，E 五幢居民楼．某大桶水经销商统计各楼居民每周所需大桶水的数量如下表：他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立大桶水供应点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，可以选择的地点应在（） A ．B 楼 B ．C 楼 C ．D 楼 D ．E 楼【分析】此题为数学知识的应用，由题意设立大桶水供应点，肯定要尽量缩短居民取水所走路程之间的里程，即需应用两点间线段最短定理来求解．【解答】解：设AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，DE ＝d ．每户居民每次取一桶水．以点A 为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝55AB +50AC +72AD +85AE ＝262a +207b +157c +85d ，以点B 为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AB +50BC +72BD +85BE ＝38a +207b +157c +85d ，以点C为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AC+55BC+72CD+85CE＝38a+93b+157c+85d，以点D为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AD+55BD+50CD+85DE＝38a+93b+143c+85d，以点E为取水点，则五幢楼内的居民取水所走路程之和＝38AE+55BE+50CE+72DE＝38a+93b+143c+215d，以点D为取水点，五幢楼内的居民取水所走路程之和最小．故选：C．【点评】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．9．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）A．100cm B．150cmC．100cm或150cm D．120cm或150cm【分析】根据绳子对折以后用线段AB表示，可得绳长是AB的2倍，分类讨论，PB的2倍最长，可得PB，AP的2倍最长，可得AP的长，再根据线段间的比例关系，可得答案．【解答】解：当PB的2倍最长时，得PB＝30cm，AP＝PB＝20cm，AB＝AP+PB＝50cm，这条绳子的原长为2AB＝100cm；当AP的2倍最长时，得AP＝30cm，AP＝PB，PB＝AP＝45cm，AB＝AP+PB＝75cm，这条绳子的原长为2AB＝150cm．故选：C．【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．10．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（）A．56°B．68°C．28°D．34°【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF＝∠DAC＝34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣34°＝56°，∴∠α＝56°．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．二．填空题（共8小题）11．一个棱柱有12个面，它有20个顶点，30条棱．【分析】一个直棱柱有12个面，故为十棱柱．根据十棱柱的概念和特点求解即可．【解答】解：∵棱柱有12个面，∴它是十棱柱．∴十棱柱有20个顶点，30条棱．故答案为：20；30．【点评】本题主要考查的是棱柱的概念，掌握棱柱的概念是解题的关键．12．如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．【分析】根据旋转的性质、圆锥体的特征即可求解．【解答】解：如图所示的三角形绕边AB所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥．故答案为：圆锥．【点评】考查了点、线、面、体，关键是熟悉点动成线，线动成面，面动成体的知识点．13．“舒肤佳”香皂盒的长、宽、高分别是10cm、4cm、6cm，将这样的四个盒子拼成一个大的长方体，那么在这个大长方体的各种拼法中，表面积的最小值为592cm2．【分析】表面积要最小，一定要用最大的面重叠．先2个香皂盒重叠，用最大的面（10x6）重叠，可以组成了2个较大的长方体，长是10cm，宽是6cm，高是4+4＝8（cm）．再把这2个较大的长方体重叠，用最大的面（10x8）重叠，长是10cm，宽是8cm，高是6+6＝12（cm），由此计算即可；【解答】解：表面积要最小，一定要用最大的面重叠．先2个香皂盒重叠，用最大的面（10×6）重叠，可以组成了2个较大的长方体，长是10cm，宽是6cm，高是4+4＝8（cm）．再把这2个较大的长方体重叠，用最大的面（10×8）重叠，长是10cm，宽是8cm，高是6+6＝12（cm）．这个大长体的表面积是：（10×8+10×12+8×12）×2＝（80+120+96）x2＝296×2＝592（平方厘米），故答案为592．【点评】本题考查几何体的表面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．14．如图，图中共有10个梯形．【分析】根据图形认真分析由图中可知一个梯形需一个平行四边形和一个三角形组成．【解答】解：由图形的特点可知，一个平行四边形和一个三角形可组成一个梯形，且图形中的梯形的形状、大小相同，共有10个．故答案为10．【点评】有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形．15．一个无盖的长方形包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为800cm3．【分析】先用20cm减去15cm求出高为5cm，再用15cm减去5cm求出宽为10cm，再用26cm减去10cm求出长为16cm，再根据长方体的体积公式计算即可求解．【解答】解：20﹣15＝5（cm），15﹣5＝10（cm），26﹣10＝16（cm），16×10×5＝800（cm3）．答：其容积为800cm3．故答案为：800．【点评】考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．16．如图，在Rt△ABC纸片上可按如图所示方式剪出一正方体表面展开图，直角三角形的两直角边与正方体展开图左下角正方形的边共线，斜边恰好经过两个正方形的顶点，已知BC＝24cm，则这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．【分析】首先设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，然后延长FE交AC于点D，根据三角函数的性质，可求得AC的长，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：如图，设这个展开图围成的正方体的棱长为xcm，延长FE交AC于点D，则EF＝2xcm，EG＝xcm，DF＝4xcm，∵DF∥BC，∴∠EFG＝∠B，∵tan∠EFG＝＝，∴tan B＝＝，∵BC＝24cm，∴AC＝12cm，∴AD＝AC﹣CD＝12﹣2x（cm）∵DF∥BC，∴△ADF∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝3，即这个展开图围成的正方体的棱长为3cm，∴这个展开图可折成的正方体的体积为27cm3．故答案为：27．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．17．如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x﹣y的值为﹣3．【分析】根据正方体的展开图中相对面不存在公共点可找出5对面的数字，从而可根据相反数的定义求得x的值，进一步求得y的值，最后代入计算即可．【解答】解：∵“5”与“2x﹣3”是对面，“x”与“y”是对面，∴2x﹣3＝﹣5，y＝﹣x，解得x＝﹣1，y＝1，∴2x﹣y＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查的是正方体相对面上的文字，掌握正方体的展开图中相对面不存在公共点是解题的关键．18．如图，一个5×5×5的正方体，先在它的前后方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），再在它的上下方向正中央也开凿一个“十字形”的孔（打通），最后在它的左右方向正中央开凿一个“十字形”的孔（打通），这样得到一个被凿空了的几何体，则所得几何体的体积为76．【分析】从5×5×5的正方体的8个顶点进行分割，可得8个2×2×2的正方体，再加上12条棱中间的12个小正方体，依此求得小正方体的个数，再乘以1个小正方体的体积即可求解．【解答】解：如图所示：该正方体可按如图方式分割，则体积为（1×1×1）×（8×8+12）＝1×76＝76故所得几何体的体积为76．故答案为：76．【点评】考查了截一个几何体，正方体的体积，关键是得到小正方体的个数．三．解答题（共8小题）19．[问题提出]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，在它的表面涂上颜色，然后切成边长为1cm的小正方体木块，没有涂上颜色的有多少块？只有一面涂上颜色的有多少块？有两面涂上颜色的有多少块？有三面涂上颜色的多少块？[问题探究]我们先从特殊的情况入手（1）当n＝3时，如图（1）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有1×1×1＝1个小正方体；一面涂色的：在面上，每个面上有1个，共有6个；两面涂色的：在棱上，每个棱上有1个，共有12个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．（2）当n＝4时，如图（2）没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有2×2×2＝8个小正方体：一面涂色的：在面上，每个面上有4个，6个面，共有24个；两面涂色的：在棱上，每个楼上有2个，共有24个；三面涂色的：在顶点处，每个顶点处有1个，共有8个．…[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：在面上，共有6（n﹣2）2个；两面涂色的：在棱上，共有12（n﹣2）个；三面涂色的：在顶点处，共8个．[问题应用]一个大的正方体，在它的表面涂上颜色，然后把它切成棱长1cm的小正方体，发现有两面涂色的小正方体有96个，请你求出这个大正方体的体积．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，然后把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块？【分析】[问题解决]依据正方体内部的小正方体的体积之和，可得没有涂色的正方体数量；依据正方体每个面上的内部的小正方体的面积，即可得到一面涂色的正方体的数量；依据正方体的棱上处于中间部分的小正方体的数量，可得两面涂色的小正方体数量；依据正方体的顶点数量，即可得到三面涂色的小正方体的数量；[问题应用]设正方体棱长为ncm，依据有两面涂色的小正方体有96个，可得方程12（n ﹣2）＝96，再根据棱长即可得到体积；[问题拓展]依据一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，类比上述问题的解决方法，即可得到没有面涂色有几块，一面涂色有几块，两面涂色有几块，三面涂色有几块．【解答】解：[问题解决]一个边长为ncm（n≥3）的正方体木块，没有涂色的：把这个正方形的表层“剥去”剩下的正方体，有（n﹣2）3个小正方体；一面涂色的：在面上，共有6（n﹣2）2个；两面涂色的：在棱上，共有12（n﹣2）个；三面涂色的：在顶点处，共8个．故答案为：（n﹣2）3，6（n﹣2）2，12（n﹣2），8；[问题应用]设正方体棱长为ncm，∵有两面涂色的小正方体有96个，∴12（n﹣2）＝96，∴n＝10，∴这个大正方体的体积为1000cm3．[问题拓展]把一个长16cm、宽10cm、高8cm的长方体表面涂上红漆，把它切成棱长2cm的小正方体，没有面涂色有（16﹣4）（10﹣4）（8﹣4）÷8＝36块，一面涂色有2[（16﹣4）（8﹣4）÷4+（16﹣4）（10﹣4）÷4+（10﹣4）（8﹣4）÷4]＝72块，两面涂色有4[（16﹣4）÷2+（10﹣4）÷2+（8﹣4）÷2]＝44块，三面涂色有8块．【点评】本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．20．在下列两行图形中，分别找出相互对应的图形，并用线连接．【分析】利用面动成体解答即可．【解答】解：如图，【点评】本题主要考查了点，线，面，体，解题的关键是培养学生的空间想象能力．21．如图所示的五棱柱的底面边长都是5cm，侧棱长12cm，它有多少个面？它的所有侧面的面积之和是多少？【分析】结合图形、根据矩形的面积公式计算即可．【解答】解：这个五棱柱有7个面，它的所有侧面的面积之和是：5×12×5＝300（cm2），答：这个五棱柱有7个面，它的所有侧面的面积之和是300cm2．【点评】本题考查的是几何体的表面积的计算，认识立体图形是解题的关键．22．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了8条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：他所剪的所有棱中，最长的一条棱是最短的一条棱的5倍．现在已知这个长方体纸盒的底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20cm，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．23．已知∠ABC．（1）用尺规作图：作∠DEF，使∠DEF＝∠ABC（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在上述作图过程中，得到哪些相等的线段？【分析】（1）首先作射线DH；再以B为圆心，任意长为半径作弧交AB、BC于点A′、。
2023年江苏省中考数学模拟题知识点分类汇编：尺规作图(附答案解析)
2023年江苏省中考数学模拟题知识点分类汇编：尺规作图一．选择题（共7小题）1．（2022•丰县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（）A．8B．6C．4D．2．（2021•东海县模拟）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．S△ABC＝BC•AH B．AC平分∠BADC．BH垂直平分线段AD D．AB＝AD3．（2021•广陵区二模）用直尺和圆规作已知角∠AOB的平分线的作法如图，能得出∠AOC ＝∠BOC的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（AAS）D．（ASA）4．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．5．（2021•邗江区一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算∠1的度数是（）A．22°B．32°C．34°D．68°6．（2021•邗江区二模）如图，已知∠MON＝α，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM 于点B，且AB＝6，则直线AB与ON之间的距离d的范围是3＜d＜3，则α的度数可能是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．（2020•广陵区校级二模）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）8．（2022•宿豫区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC 于点D．若CD＝4，则AC的长为．9．（2022•如皋市二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部交于点F；③作射线BF，交AC于点G．如果AB＝6，BC＝9，△ABG的面积为9，则△ABC的面积为．10．（2022•宿城区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是．11．（2022•盐城二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝．12．（2020•滨海县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为．13．（2020•崇川区校级一模）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A、B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为．三．解答题（共17小题）14．（2022•淮安二模）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图①中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．（3）如图③，▱ABCD中，CM⊥BD于点M，若AN⊥BD于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）15．（2022•鼓楼区校级二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使∠PBC＝15°．（保留作图痕迹，不写作法）16．（2022•江都区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，将四边形ABCD 折叠，使A，C两点重合，折痕与AD，AC，BC分别交于点E，O，F．（1）请用尺规作出直线EF；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．17．（2022•海陵区二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y＝的函数图象．（1）如图1，点A是该函数图象第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO＝A'O，判断点A'是否为该函数图象第三象限上的点，并说明理由；（2）如图2，点B、C均为该函数图象第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）18．（2022•靖江市二模）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA．（1）尺规作图：请在BC的延长线上找一点E，使得；（不写作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下探索AC与CE的数量关系，并说明理由．19．（2022•泗洪县三模）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝50°，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：（1）直线DE是线段AB的线，射线AF是∠EAC的线；（2）求∠EAF的度数．20．（2022•常州一模）如图，四边形ABCD中，∠DAC＝∠BCA＝90°，∠ABC＝∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）用尺规在CB的延长线上找一点E，使得AB平分∠EAC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）在（2）的条件下，若tan∠AEC＝，BE＝5，求AD的长．21．（2022•南京二模）△ABC是一块三角形铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？【初步认识】（1）请用无刻度直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．【继续探索】（2）若三角形铁皮上有一破损的孔点D（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用无刻度直尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．【问题解决】（3）如图③，若AB＝AC＝10，BC＝12，E、F分别是AB、AC的中点，破损的孔点D 位于EF上（孔径大小忽略不计）．设DE＝x，剪出面积最大的圆（圆面无破损）的半径为r，直接写出x和r的关系式及对应x的取值范围．22．（2022•广陵区二模）请用圆规和不带刻度的直尺按要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹），并简要说明作图的道理．（1）如图1，在▱ABCD中，在边BC上作点P，使得＝；（2）如图2，在▱ABCD中，在边AD上作点Q，使得＝．23．（2022•姜堰区二模）如图，在⊙O中，AB是直径，弦EF∥AB．（1）在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，在（1）的条件下连接OP、PF，若OP交弦EF于点Q，现有以下三个选项：①△PQF的面积为；②EF＝6；③PF＝，请你选择两个合适选项作为条件，求⊙O的半径，你选择的条件是．（填序号）24．（2022•淮阴区校级一模）平行四边形ABCD的面积为4，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图（不写画法，保留画图痕迹）．（1）如图1，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点，此时△DEN的面积为；（2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个四等分点，此时△DEN的面积为．25．（2022•建邺区二模）尺规作图：如图，已知AB是⊙O的直径．用两种不同的方法作圆的内接四边形ABCD，要求AB∥CD且∠A＝60°．（不写作法，保留作图痕迹．）26．（2022•镇江二模）如图，△ABC的顶点均在边长为1的正方形网格格点上．（1）只用不带刻度的直尺，在AC边上找一点D，使得D到AB、BC两边距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；（2）D到AB的距离是．27．（2021•常州模拟）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB＝；（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB＝．28．（2021•无锡模拟）如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．29．（2020•惠山区校级二模）如图，已知点M在直线l外，点N在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，要求保留作图痕迹，不写作法．（1）在图①中，以线段MN为一条对角线作菱形MPNQ，使菱形的边PN落在直线l上；（2）在图②中，作⊙O，使⊙O过点M，且与直线l相切于点N．30．（2020•滨湖区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，AC＜BC．（1）试用无刻度的直尺和圆规，在BC上作一点E，使得直线ED平分ABC的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（2）在（1）的条件下，若DE分Rt△ABC面积为1：2两部分，请探究AC与BC的数量关系．2023年江苏省中考数学模拟题知识点分类汇编：尺规作图参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2022•丰县二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝4，则△AFH的周长为（）A．8B．6C．4D．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．【分析】由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，可得AF＝BF＝AH，由∠ACB＝90°，可得CF＝CH，则△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．【解答】解：由题意可得DE是线段AB的垂直平分线，AF＝AH，则AF＝BF，∴AF＝BF＝AH，∵∠ACB＝90°，∴CF＝CH，∴△AFH的周长为AF+AH+FH＝2BF+2FC＝2（BF+FC）＝2BC＝8．故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．2．（2021•东海县模拟）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．S△ABC＝BC•AH B．AC平分∠BADC．BH垂直平分线段AD D．AB＝AD【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．【解答】解：如图，连接CD，BD．由作图可知，CA＝CD，BA＝BD，∴BH垂直平分线段AD，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．3．（2021•广陵区二模）用直尺和圆规作已知角∠AOB的平分线的作法如图，能得出∠AOC ＝∠BOC的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（AAS）D．（ASA）【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；全等三角形的判定．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据SSS证明三角形全等即可．【解答】解：由作图可知，OD＝OE，PD＝PE，在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（SSS），∴∠AOC＝∠BOC，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．4．（2021•天宁区校级二模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AC于点E，交BC于点F，若＝，则tan∠ACB的值为（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图；解直角三角形；线段垂直平分线的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】连接AF，设AF＝CF＝5k，BF＝3k，利用勾股定理求出AB，可得结论．【解答】解：连接AF．由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴FA＝FC，∵BF：FC＝3：5，∴可以假设BF＝3k，CF＝AF＝5k，∵∠B＝90°，∴AB＝＝＝4k，∴BC＝BF+CF＝8k，∴tan∠ACB＝＝＝，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．（2021•邗江区一模）如图，根据图中尺规作图痕迹，计算∠1的度数是（）A．22°B．32°C．34°D．68°【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【分析】由矩形的性质得到∠BCD＝90°，求得∠ACD＝90°﹣68°＝22°，根据线段垂直平分线的性质得到AE＝CE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝68°，∴∠ACD＝90°﹣68°＝22°，由作图得EF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠1＝∠ACE＝22°，故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．（2021•邗江区二模）如图，已知∠MON＝α，以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OM，ON于点C，D，再分别以点C，D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧在∠MON内交于点P，作射线OP，若A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM 于点B，且AB＝6，则直线AB与ON之间的距离d的范围是3＜d＜3，则α的度数可能是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【考点】作图—基本作图；估算无理数的大小；平行线之间的距离；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用作法得到OP平分∠MON，则∠MOA＝∠NOA，再证明∠BOA＝∠BAO得到BO＝BA＝6，过B点作BH⊥ON于H，如图，利用正弦的定义得到sin∠BOH＝，则＜sin∠BOH＜，所以sin30°＜sin∠BOH＜sin60°，于是可对各选项进行判断．【解答】解：由作法得OP平分∠MON，∴∠MOA＝∠NOA，∵AB∥ON，∴∠NOA＝∠BAO，∴∠BOA＝∠BAO，∴BO＝BA＝6，过B点作BH⊥ON于H，如图，则3＜BH＜3，∵sin∠BOH＝，∴＜sin∠BOH＜，即sin30°＜sin∠BOH＜sin60°，∴30°＜∠BOH＜60°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．也考查了特殊角的三角函数值．7．（2020•广陵区校级二模）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【考点】作图—复杂作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB的垂直平分线上，进而得出结论．【解答】解：∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，∴PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：C．【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．二．填空题（共6小题）8．（2022•宿豫区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N；②分别以点M、N 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC 于点D．若CD＝4，则AC的长为12．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】过D点作DH⊥AB于H点，如图，利用基本作图得到AD平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到DH＝DC＝4，再利用勾股定理计算出BH＝3，然后证明△BHD∽△BCA，从而利用相似比可计算出AC的长．【解答】解：过D点作DH⊥AB于H点，如图，由题中作法得AD平分∠BAC，∵DC⊥AC，DH⊥AB，∴DH＝DC＝4，∵BC＝9，∴BD＝BC﹣CD＝5，在Rt△BDH中，BH＝＝3，∵∠DBH＝∠ABC，∠BHD＝∠BCA，∴△BHD∽△BCA，∴＝，即＝，∴AC＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质相似三角形的判定与性质．9．（2022•如皋市二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC的内部交于点F；③作射线BF，交AC于点G．如果AB＝6，BC＝9，△ABG的面积为9，则△ABC的面积为．【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CB于点N．首先证明GM＝GN，利用三角形面积公式求出GM，再求出△BCG的面积，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GM⊥AB于点M，GN⊥CB于点N．由作图可知BG平分∠ABC，∵GM⊥AB，GN⊥CB，∴GM＝GN，＝×6×GM＝9，∵S△ABG∴GM＝GN＝3，＝•BC•GN＝×9×3＝，∴S△CBG＝S△ABG+S△BCG＝9+＝，∴S△ABC故答案为：．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质，属于中考常考题型．10．（2022•宿城区二模）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是35°．【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．【专题】尺规作图；几何直观；推理能力．【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．【解答】解：∵DF垂直平分线段AB，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝30°，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝100°﹣30°＝70°，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAD＝×70°＝35°，故答案为：35°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．11．（2022•盐城二模）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB＝105°．【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出∠DCB 和∠ACD即可．【解答】解：如图所示：∵MN垂直平分BC，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠CDA＝∠A＝50°，∵∠CDA＝∠DBC+∠DCB，∴∠DCB＝∠DBC＝25°，∠DCA＝180°﹣∠CDA﹣∠A＝80°，∴∠ACB＝∠DCB+∠ACD＝25°+80°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型．12．（2020•滨海县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝2，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为4．【考点】作图—基本作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】直接利用线段垂直平分线的性质与作法得出AD＝BD，再利用等腰三角形的性质以及直角三角形的性质得出AD的长．【解答】解：∵分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交BC于点D，∴MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝30°，∵∠C＝90°，AC＝2，∴AD＝2AC＝4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．13．（2020•崇川区校级一模）如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A、B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC，若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为．【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．【专题】作图题．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据角平分线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理可以求得点B到AC的距离，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，OC为∠MON的角平分线，∵OA＝OB，OC平分∠AOB，∴OC⊥AB，设OC与AB交于点D，作BE⊥AC于点E，∵AB＝6，OA＝5，AC＝OA，OC⊥AB，∴AC＝5，∠ADC＝90°，AD＝3，∴CD＝4，∵＝．∴＝，解得，BE＝，故答案为：．【点评】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共17小题）14．（2022•淮安二模）如图，在5×5的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图①中画出一个以AB为边的▱ABDE，使顶点D，E在格点上．（2）在图②中画出一条恰好平分△ABC周长的直线l（至少经过两个格点）．（3）如图③，▱ABCD中，CM⊥BD于点M，若AN⊥BD于点N，请仅用无刻度的直尺在图③中作出符合题意的点N．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）根据平行四边形的定义画出图形即可；（2）根据AC＝3，BC＝4，AB＝5，可知AC+BC＝12，在AC上取一点F，使得AF＝1，作直线BF即可；（3）连接AC交BD于点O，延长CM交AD于点J，连接JO，延长JO交CB于点K，连接AK交BD于点N，点N即为所求．【解答】解：（1）如图①中，四边形ABDE即为所求（答案不唯一）；（2）如图②中，直线l即为所求（答案不唯一）；（3）如图③中，点N即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．（2022•鼓楼区校级二模）尺规作图：如图，已知正方形ABCD，在边CD上求作一点P，使∠PBC＝15°．（保留作图痕迹，不写作法）【考点】作图—复杂作图；正方形的性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】作线段AB的垂直平分线交AB于点E，交CD于点F，以B为圆心，BC为半径作弧交EF于点G，作BH平分∠GBC交CD于点P，点P即为所求．【解答】解：如图，点P即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．（2022•江都区二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，将四边形ABCD 折叠，使A，C两点重合，折痕与AD，AC，BC分别交于点E，O，F．（1）请用尺规作出直线EF；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接AF，CE，判断四边形AFCE的形状，并说明理由．【考点】作图—复杂作图；翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；（2）先根据折叠的性质得到EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，再根据平行线的性质得到∠EAO＝∠FCO，接着证明△AOE≌△COF得到AE＝CF，所以AE＝EC＝CF＝AF，然后根据菱形的判定方法可判断四边形AFCE为菱形．【解答】解：（1）如图，EF为所作；（2）四边形AFCE为菱形．理由如下：∵四边形ABCD折叠，使A，C两点重合，∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴AE＝EC＝CF＝AF，∴四边形AFCE为菱形．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和折叠的性质．17．（2022•海陵区二模）已知，在平面直角坐标系中，有反比例函数y＝的函数图象．（1）如图1，点A是该函数图象第一象限上的点，且横坐标为a（a＞0），延长AO使得AO＝A'O，判断点A'是否为该函数图象第三象限上的点，并说明理由；（2）如图2，点B、C均为该函数图象第一象限中的点，连接BC，点D为线段BC的中点，请仅用一把无刻度的直尺作出点D关于点O的对称点D'．（不写作图过程，保留作图痕迹）【考点】作图—复杂作图；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数的图象．【专题】作图题；反比例函数及其应用；几何直观．【分析】（1）结论：点A'是该函数图象第三象限上的点．如图1中，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F．证明△AOE≌△A′OF（AAS），推出AE＝A′F，OE＝OF，可得结论；（2）连接BO，延长BO交反比例函数的图象于点B′，同法作出点C的对应点C′，连接B′C′，DOM延长DO交B′C′于点D′，点D′即为所求．【解答】解：（1）结论：点A'是该函数图象第三象限上的点．理由：如图1中，过点A作AE⊥x轴于点E，过点A′作A′F⊥x轴于点F．在△AOE和△A′OF中，，∴△AOE≌△A′OF（AAS），∴AE＝A′F，OE＝OF，设A（m，n），则A′（﹣m，﹣n），∵点A在y＝的图象上，∴mn＝3，∴﹣m×（﹣n）＝mn＝3，∴A′在反比例函数y＝的图象上．即点A'是该函数图象第三象限上的点；（2）如图，点D′即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，反比例函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．（2022•靖江市二模）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA．（1）尺规作图：请在BC的延长线上找一点E，使得；（不写作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下探索AC与CE的数量关系，并说明理由．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）作AT平分∠BAC，作∠DAE＝∠CAT即可；（2）结论：CA＝CE．证明∠CAE＝∠CEA即可．【解答】解：（1）如图，点E即为所求；（2）结论：CA＝CE．理由：由作图可知AT平分∠BAC，∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE＝∠CAT，∴∠CAE＝∠DAT，∵AB＝AC，AT平分∠BAC，∴AT⊥BD，∴∠DAT+∠ADT＝90°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠B+2∠ADT＝180°，∴∠B+∠ADT＝90°，∴∠DAT＝∠B，∴∠B＝∠ACB，∵∠ACB＝∠CAE+∠AEC，∴∠CAE＝∠AEC，∴CA＝CE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．（2022•泗洪县三模）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠C＝50°，通过尺规作图，得到直线DE和射线AF，仔细观察作图痕迹，完成下列问题：（1）直线DE是线段AB的垂直平分线，射线AF是∠EAC的角平分线；（2）求∠EAF的度数．【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；推理能力．【分析】（1）根据作图痕迹判断即可．（2）由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD＝30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．【解答】解：（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DE是线段AB的垂直平分线，射线AF是∠EAC的角平分线．故答案为：垂直平分，角平分；（2）∵DE垂直平分线段AB，∴EA＝EB，∴∠BAE＝∠B＝42°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣42°﹣50°＝88°，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝88°﹣42°＝46°，∵AF平分∠CAE，∴∠FAE＝∠CAE＝×46°＝23°．【点评】本题考查作图﹣基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．20．（2022•常州一模）如图，四边形ABCD中，∠DAC＝∠BCA＝90°，∠ABC＝∠D．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）用尺规在CB的延长线上找一点E，使得AB平分∠EAC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（3）在（2）的条件下，若tan∠AEC＝，BE＝5，求AD的长．【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；勾股定理；平行四边形的判定与性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【分析】（1）先证明AD∥BC，再利用等角的余角相等得到∠BAC＝∠ACD，所以AB∥CD，则根据平行四边形的判定方法得到结论；（2）利用基本作图，作∠BAE＝∠CAB即可；（3）在Rt△ACE中根据正切的定义得到tan∠AEC＝＝，设AC＝3x，CE＝4x，则AE＝5x，再根据角平分线的性质得到点B到AE和AC的距离相等，根据三角形面积公：S△ACB＝AE：AC＝BE：BC＝5：3，从而得到BC＝3，然后根据平行四边式得到S△ABE形的性质得到AD的长．【解答】（1）证明：∵∠DAC＝∠BCA＝90°，∴AD∥BC，∵∠ABC＝∠D，∴∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：如图，点E为所作；（3）解：在Rt△ACE中，tan∠AEC＝＝，设AC＝3x，CE＝4x，∴AE＝＝5x，∵AB平分∠CAE，∴点B到AE和AC的距离相等，：S△ACB＝AE：AC＝5x：3x＝5：3，∴S△ABE：S△ACB＝BE：BC，∵S△ABE∴BE：BC＝5：3，而BE＝5，∴BC＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质和解直角三角形．21．（2022•南京二模）△ABC是一块三角形铁皮，如何按要求从中剪一个面积最大的圆？【初步认识】（1）请用无刻度直尺和圆规在图①中作出面积最大的圆（不写作法，保留作图痕迹）．【继续探索】（2）若三角形铁皮上有一破损的孔点D（孔径大小忽略不计），要求剪一个面积最大的圆且圆面无破损，请用无刻度直尺和圆规在图②中作出满足要求的圆（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）．。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析 第七章§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析§7.3空间点、直线、平面之间的位置关系课标要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．知识梳理1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)两两相交的三条直线共面．(×)2．(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，直线BD 1与直线AA 1所成角的余弦值是()A.12B.13C.63D.33答案D解析连接BD (图略)，由于AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为直线BD 1与直线AA 1所成的角，不妨设正方体的棱长为a ，则BD ＝2a ，BD 1＝D 1D 2＋BD 2＝3a ，所以cos ∠DD 1B ＝DD 1D 1B ＝13＝33.3．(多选)给出以下四个命题，其中错误的是()A ．不共面的四点中，其中任意三点不共线B ．若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面C ．若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面D ．依次首尾相接的四条线段必共面答案BCD解析反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A 正确；如图1，A ，B ，C ，D 共面，A ，B ，C ，E 共面，但A ，B ，C ，D ，E 不共面，故B 错误；如图2，a ，b 共面，a ，c 共面，但b ，c 异面，故C 错误；如图3，a ，b ，c ，d 四条线段首尾相接，但a ，b ，c ，d 不共面，故D 错误．图1图2图34.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则：(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；(2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案(1)AC ＝BD(2)AC ＝BD 且AC ⊥BD解析(1)由题意知，EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一基本事实的应用例1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．证明(1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1在如图所示的空间几何体中，四边形ABEF 与ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G ，H 分别为AF ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由题设知，因为G ，H 分别为AF ，FD 的中点，所以GH ∥AD 且GH ＝12AD ，又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，故GH ∥BC 且GH ＝BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)解C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下：由BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 是AF 的中点知BE ∥GF 且BE ＝GF ，所以四边形EFGB 是平行四边形，所以EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH .故EC ，FH 共面．又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面．题型二空间位置关系的判断例2(1)(多选)下列推断中，正确的是()A ．M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ⇒M ∈lB ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝ABC ．l ⊄α，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ，B ，C ∈α，A ，B ，C ∈β，且A ，B ，C 不共线⇒α，β重合答案ABD解析对于A ，因为M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，由基本事实3可知M ∈l ，故A 正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确．(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是() A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面答案D解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面．思维升华判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断．二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是()A ．直线AM 与CC 1是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与MB 1是异面直线D ．直线AM 与DD 1是异面直线答案CD解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以直线AM 与CC 1是异面直线，故A 错误；取DD 1的中点E ，连接AE (图略)，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，所以AM 与BN 不平行，故B 错误；因为点B 1与直线BN 都在平面BCC 1B 1内，点M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故C 正确；同理D 正确．题型三异面直线所成的角例3(1)如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为()A.33B.55C.306D.66答案D解析如图，过点E 作圆柱的母线交下底面于点F ，连接AF ，易知F 为 AD 的中点，设四边形ABCD 的边长为2，则EF ＝2，AF ＝2，所以AE ＝22＋(2)2＝ 6.连接ED ，则ED ＝ 6.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE 与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝6＋4－62×2×6＝66.所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为66.(2)四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为105，则四棱锥外接球的表面积为()A ．48πB ．12πC ．36πD ．9π答案D解析如图，将其补成长方体．设PA ＝x ，x >0，连接AB 1，B 1C ，则异面直线AC 与PD 所成的角就是∠ACB 1或其补角．则cos ∠ACB 1＝105＝8＋x 2＋4－x 2－42×22×x 2＋22，解得x ＝1(舍去负值)，所以外接球的半径为12×12＋22＋22＝32，所以该四棱锥外接球的表面积为4π＝9π.思维升华异面直线所成角的求法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解跟踪训练3(1)(2023·莆田模拟)若正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，高为6，则直线AE 1和EF 所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C解析如图所示，EF ∥E 1F 1，则∠AE 1F 1即为所求．∵AF ＝EF ＝1，EE 1＝6，且∠AFE ＝2π3，∴AE ＝AF 2＋EF 2－2AF ·EF ·cos2π3＝3，∴AE 1＝AE 2＋EE 21＝3，AF 1＝AF 2＋FF 21＝7，∴cos ∠AE 1F 1＝AE 21＋E 1F 21－AF 212AE 1·E 1F 1＝9＋1－72×3×1＝12，∴∠AE 1F 1＝π3，即直线AE 1和EF 所成角的大小为π3.(2)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13答案A解析如图所示，过点A 补作一个与正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF 1E ，则m ，n 所成的角为∠EAF 1.∵△AF 1E 为正三角形，∴sin ∠EAF 1＝sin 60°＝32.课时精练一、单项选择题1．若直线上有两个点在平面外，则()A ．直线上至少有一个点在平面内B ．直线上有无穷多个点在平面内C ．直线上所有点都在平面外D ．直线上至多有一个点在平面内答案D解析根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．2．已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n .“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由m ，n ，l 在同一平面内，可能有m ，n ，l 两两平行，所以m ，n ，l 可能没有公共点，所以不能推出m ，n ，l 两两相交．由m ，n ，l 两两相交且m ，n ，l 不经过同一点，可设l ∩m ＝A ，l ∩n ＝B ，m ∩n ＝C ，且A ∉n ，所以点A 和直线n 确定平面α，而B ，C ∈n ，所以B ，C ∈α，所以l ，m ⊂α，所以m ，n ，l 在同一平面内．3．已知平面α∩平面β＝l ，点A ，C ∈α，点B ∈β，且B ∉l ，又AC ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则β∩γ是()A ．直线CMB ．直线BMC ．直线ABD ．直线BC答案B解析已知过A ，B ，C 三点确定的平面为γ，则AC ⊂γ.又AC ∩l ＝M ，则M ∈γ，又平面α∩平面β＝l ，则l ⊂α，l ⊂β，又因为AC ∩l ＝M ，所以M ∈β，因为B ∈β，B ∈γ，所以β∩γ＝BM .4.如图，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 为A 1C 1的中点，则AM 与BC 1所成角的余弦值为()A.153B.155C.64D.104答案D 解析如图，取AC 的中点D ，连接DC 1，BD ，易知AM ∥DC 1，所以异面直线AM 与BC 1所成角就是直线DC 1与直线BC 1所成的角，即∠BC 1D ，因为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都相等，可设三棱柱的棱长都为2，则DC 1＝5，BD ＝3，BC 1＝22，则在△BDC 1中，由余弦定理可得cos ∠BC 1D ＝(5)2＋(22)2－(3)22×5×22＝104，即异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值为104.5．四边形ABCD 是矩形，AB ＝3AD ，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中()A ．逐步变大B ．逐步变小C ．先变小后变大D ．先变大后变小答案D 解析由题可知初始时刻ED 与BF 所成的角为0，如图1，故B ，C 错误；图1在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，EF ⊥DF ，EF ⊥FC ，DF ∩FC ＝F ，DF ，FC ⊂平面DFC ，所以EF ⊥平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC ⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，如图2，图2所以一定存在某一时刻EP ⊥BF ，而DP ⊥平面EFCB ，DP ⊥BF ，又DP ∩PE ＝P ，DP ，PE ⊂平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成的角为π2，然后α开始变小，故直线ED ，BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A 错误，D 正确．6．在正四棱锥P －ABCD 中，AB ＝2，E ，F ，G 分别为AB ，PC ，AD 的中点，直线BF 与EG 所成角的余弦值为63，则三棱锥P －EFG 的体积为()A.5212 B.24 C.23 D.26答案B解析连接BD ，DF ，AC ，CG ，CE ，如图，设BF ＝DF ＝x ，由BD ∥EG ，得∠FBD 即为BF 与EG 所成的角，在△FBD 中，易知BD ＝22，cos ∠FBD ＝x 2＋8－x 242x＝63，解得x ＝ 3.设PB ＝PC ＝y ，在△PFB ＋3－23·y 2cos ∠PFB ＝y 2，①因为∠PFB ＋∠BFC ＝180°，故cos ∠BFC ＝cos(180°－∠PFB )＝－cos ∠PFB ，则在△BCF ＋3－23·y 2cos ∠BFC ＝4，即＋3＋23·y 2cos ∠PFB ＝4，②①＋②得y 22＋6＝y 2＋4，因为y >0，解得y ＝2.因为F 为PC 的中点，故V 三棱锥P －EFG ＝V 三棱锥C －EFG ＝V 三棱锥F －ECG ，因为PA 2＋PC 2＝AC 2，PA ＝PC ，所以△PAC 为等腰直角三角形，则在等腰直角三角形PAC 中，易求得点P 到AC 的距离即点P 到底面的距离为2×222＝2，故点F 到平面CEG 的距离为22，S △ECG ＝S ▱ABCD －S △AEG －S △CDG －S △CEB ＝2×2－12×1×1－12×2×1－12×1×2＝4－12－1－1＝3 2，故所求三棱锥的体积为13×32×22＝24.二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是()A．C1，M，O三点共线B．C1，M，O，C四点共面C．C1，O，B1，B四点共面D．D1，D，O，M四点共面答案AB解析∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O 三点共线，故A，B正确；根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确．8．(2024·朝阳模拟)在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝AC＝BD＝5，则() A．AB⊥CDB．三棱锥A－BCD的体积为23C．三棱锥A－BCD外接球的半径为6D．异面直线AD与BC所成角的余弦值为35答案ABD解析将三棱锥补形为长方体，如图所示．其中BE ＝BN ＝1，BF ＝2，所以AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝AC ＝BD ＝5，连接MF ，则AM ∥BF ，AM ＝BF ，所以四边形AMFB 为平行四边形，所以AB ∥MF ，又四边形MCFD 为正方形，所以MF ⊥CD ，所以AB ⊥CD ，故A 正确；长方体的体积V 1＝1×1×2＝2，三棱锥E －ABC 的体积V 2＝V 三棱锥A －BEC ＝13×12×1×2×1＝13，同理，三棱锥N －ABD ，三棱锥F －BCD ，三棱锥M －ACD 的体积也为13，所以三棱锥A －BCD 的体积V ＝2－4×13＝23，故B 正确；长方体的外接球的直径为12＋12＋22＝6，所以长方体的外接球的半径为62，长方体的外接球也是三棱锥A －BCD 的外接球，所以三棱锥A －BCD 外接球的半径为62，故C 错误；连接MN ，交AD 于点O ，因为MN ∥BC ，所以∠AOM (或其补角)为异面直线AD 与BC 所成的角，由已知OA ＝12AD ＝52，OM ＝12MN ＝52，AM ＝2，所以cos ∠AOM ＝54＋54－42×52×52＝－35，所以异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为35，故D 正确．9．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l ，m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，则点P 与直线l 的位置关系用符号表示为________．答案P ∈l 解析∵m ⊂α，n ⊂β，m ∩n ＝P ，∴P ∈α且P ∈β，又α∩β＝l ，∴点P 在直线l 上，即P ∈l .10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对．答案3解析画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB ，GH )，(AB ，CD )，(GH ，EF )．故共有3对．11．(2023·南阳模拟)如图，AB 和CD 是异面直线，AB ＝CD ＝3，E ，F 分别为线段AD ，BC上的点，且AE ED ＝BF FC ＝12，EF ＝7，则AB 与CD 所成角的大小为________．答案60°解析在平面ABD 中，过E 作EG ∥AB ，交DB 于点G ，连接GF ，如图，∵AE ED ＝12，∴BG GD ＝12，又BF FC ＝12，∴BG GD ＝BF FC，∴∠EGF (或其补角)即为AB 与CD 所成的角，在△EGF 中，EG ＝23AB ＝2，GF ＝13CD ＝1，EF ＝7，∴cos ∠EGF ＝22＋12－(7)22×2×1＝－12，∴∠EGF ＝120°，∴AB 与CD 所成角的大小为60°.12．(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为棱CC 1，BB 1，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M ，N ，若线段MN 与线段AE ，BD 1都不相交，则称点M 与点N 可视，下列与点D 不可视的为________．(填序号)①B 1；②F ；③H ；④G .答案①②③解析如图所示，连接B 1D 1，BD ，DB 1，EF ，DE ，DH ，DF ，DG ，因为E ，F 分别为棱CC 1，BB 1的中点，所以EF ∥BC ，又底面ABCD 为正方形，所以BC ∥AD ，所以EF ∥AD ，所以四边形EFAD 为梯形，所以DH 与AE 相交，DF 与AE 相交，故②③不可视；因为B 1D 1∥DB ，所以四边形B 1D 1DB 是梯形，所以B 1D 与BD 1相交，故①不可视；因为EFAD 为梯形，G 为CF 的中点，即G ∉EF ，则D ，E ，G ，A 四点不共面，所以DG 与AE 不相交，若DG 与BD 1相交，则D ，B ，G ，D 1四点共面，显然D ，B ，B 1，D 1四点共面，G ∉平面DBB 1D 1，所以D ，B ，G ，D 1四点不共面，即假设不成立，所以DG 与BD 1不相交，即点G 与点D 可视，故④可视．四、解答题13.已知ABCD 是空间四边形，如图所示(M ，N ，E ，F 分别是AB ，AD ，BC ，CD 上的点)．(1)若直线MN 与直线EF 相交于点O ，证明：B ，D ，O 三点共线；(2)若E ，N 为BC ，AD 的中点，AB ＝6，DC ＝4，NE ＝2，求异面直线AB 与DC 所成角的余弦值．(1)证明因为M ∈AB ，N ∈AD ，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以MN ⊂平面ABD ，因为E ∈CB ，F ∈CD ，CB ⊂平面CBD ，CD ⊂平面CBD ，所以EF ⊂平面CBD ，由于直线MN 与直线EF 相交于点O ，即O ∈MN ，O ∈平面ABD ，O ∈EF ，O ∈平面CBD ，又平面ABD ∩平面CBD ＝BD ，则O ∈BD ，所以B ，D ，O 三点共线．(2)解连接BD ，作BD 的中点G ，并连接GN ，GE ，如图所示，在△ABD 中，点N ，G 分别是AD 和BD 的中点，且AB ＝6，所以GN ∥AB ，且GN ＝12AB ＝3，在△CBD 中，点E ，G 分别是BC 和BD 的中点，且DC ＝4，所以GE ∥CD ，且GE ＝12DC ＝2，则异面直线AB 与DC 所成的角等于直线GE 与GN 所成的角，即∠EGN 或∠EGN 的补角，又NE ＝2，由余弦定理得cos ∠EGN ＝GE 2＋GN 2－NE 22GE ·GN ＝22＋32－222×2×3＝34>0，故异面直线AB 与DC 所成角的余弦值为34.14.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，点E 是PB 的中点．(1)线段PA 上是否存在一点G ，使得点D ，C ，E ，G 共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；(2)若PC ＝2，求三棱锥P －ACE 的体积．解(1)存在．当G 为PA 的中点时满足条件．如图，连接GE ，GD ，则GE 是△PAB 的中位线，所以GE ∥AB .又AB ∥DC ，所以GE ∥DC ，所以G ，E ，C ，D 四点共面．(2)因为E 是PB 的中点，所以V 三棱锥P －ACE ＝V 三棱锥B －ACE ＝12V 三棱锥P －ACB .又S △ABC ＝12AB ·AD ＝12×2×1＝1，V 三棱锥P －ACB ＝13PC ·S △ABC ＝23，所以V 三棱锥P －ACE ＝13.15.(多选)如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是()A ．DP ∥平面AB 1D 1B ．三棱锥C －AD 1P 的体积为定值C ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1D ．异面直线DP 与AD 1所成角的范围是π4，π2答案ABC 解析对于A ，连接DB ，C 1D ，AB 1，D 1B 1，因为BC 1∥AD 1，BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，所以BC 1∥平面AB 1D 1，因为DB ∥D 1B 1，DB ⊄平面AB 1D 1，D 1B 1⊂平面AB 1D 1，所以DB ∥平面AB 1D 1，又DB ∩BC 1＝B ，DB ，BC 1⊂平面BDC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1，又DP ⊂平面BDC 1，所以DP ∥平面AB 1D 1，故A 正确；对于B ，由点P 在线段BC 1上运动知平面AD 1P 即平面AD 1C 1B ，故点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C －AD 1P 的体积不变，故B 正确；对于C ，因为四边形DCC 1D 1为正方形，则CD 1⊥C 1D ，而AD ⊥平面DCC 1D 1，CD 1⊂平面DCC 1D 1，所以CD 1⊥AD ，又AD ∩C 1D ＝D ，AD ，C 1D ⊂平面AB 1C 1D ，则CD 1⊥平面AB 1C 1D ，而DB 1⊂平面AB 1C 1D ，因此DB 1⊥CD 1，同理DB 1⊥CA ，又CD 1∩CA ＝C ，CD 1，CA ⊂平面ACD 1，所以DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故C 正确；对于D ，由AD 1∥BC 1，异面直线DP 与AD 1所成角即为DP 与BC 1所成角，又△DBC 1为等边三角形，当P 与线段BC 1的两端点重合时，DP 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，DP 与AD 1所成角取最大值π2，故DP 与AD 1所成角的范围为π3，π2，故D 错误．16．(2023·孝感模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有顶点均在体积为43π的球O 上，则该正方体的棱长为________，若动点P 在四边形A 1B 1C 1D 1内运动，且满足直线CC 1与直线AP 所成角的正弦值为13，则OP 的最小值为________．答案262解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，球O 的半径为R ，则由正方体体对角线L ＝3a ＝2R 得R ＝3a 2，所以V 球O ＝43πR 3＝43π3a 23＝43π，故a ＝2，因为CC 1∥AA 1，所以AA 1与AP 所成角的正弦值也是13，即sin ∠A 1AP ＝13，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1P ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以AA 1⊥A 1P ，故sin ∠A 1AP ＝A 1P AP ＝A 1P A 1P 2＋AA 21，即A 1P A 1P 2＋4＝13，解得A 1P ＝22，所以点P 的轨迹是以A 1为圆心，22为半径的圆与四边形A 1B 1C 1D 1内的一段弧，如图所示，设正方形A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，连接O 1P ，OO 1，因为O 1A 1＝12A 1C 1＝12×22＋22＝2，所以(O 1P )min ＝O 1A 1－A 1P ＝22，所以(OP )min ＝OO 21＋(O 1P )2min ＝1＋12＝62，即(OP )min ＝62.。
2021年寒假备战中考力学20练(12)：杠杆
2021寒假备战中考力学20练（12）：杠杆1.（2020·绵阳）绵阳一号桥是斜拉桥，斜拉桥比梁式桥的跨越能力大，我国已成为拥有斜拉桥最多的国家。
如图是单塔双索斜拉大桥，索塔两侧对称的拉索承受了桥梁的重力，一辆载重汽车从桥梁左端按设计时速匀速驶向索塔的过程中，左侧拉索拉力大小（）A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小2.（2020·淄博）如图所示，在杠杆左端悬挂物体，右端施加动力F，杠杆处于平衡状态（忽略杠杆自身重力的影响），下列说法正确的是（）A. 此时杠杆是费力杠杆B. 动力臂是线段OAC. 杠杆的阻力是物体受到的重力GD. 保持杠杆位置不变，将动力F转至F1位置，动力变大3.（2020·烟台）我国古代劳动人民用智慧创造出很多实用工具，如图所示的四个场景中所用工具属于费力杠杆的是（）A. 推石磨转动B. 按压杠榨油C. 踩踏板舂米D. 拉木棒搬石4.（2020·济南）如图所示衣架的挂钩两侧等距离安装着四个夹子。
将三条相同的毛巾按下图各种挂法晾晒在室外的铁丝上，能让衣架在水平方向保持平衡的是（）5.（2020·长沙）罗老师用加装了杠杆装置的压缩空气引火仪来演示实验，她将一小团硝化棉放入厚玻璃筒内，握住杠杆的A端迅速向下压，棉花被点燃，下列说法正确的是（）A. 该杠杆是费力杠杆B. 该杠杆是省力杠杆C. 向下压活塞时，将内能转化为机械能D. 在B点竖直向下压比在A点竖直向下压省力6.（2020·南县）如图所示是指甲剪的示意图，F是剪指甲时施加的一个力，则下列关于指甲剪的说法正确的是（）A. 指甲剪只由一个杠杆组成B. 指甲剪由两个杠杆组成C. 对杠杆ABC，若以B为支点，则动力臂是LD. 对杠杆ABC，若以B为支点，则动力臂是BC7.（2020·龙江）杠杆是一种常见的简单机械，在日常生活中有着广泛的应用。
九年级数学阅读理解题练习
九年级数学阅读理解题练习问题：用n 个2×1的矩形镶嵌一个2×n 的矩形，有多少种不同的镶嵌方案（2×n 的矩形表示邻边为2和n 的矩形） 探究：假设不妨设有na 种不同的方案。
为探究na 的变化规律。
我们采用一般问题特殊化的策略，先从简单的入手，再逐次递进，最后猜想得出规律探究一：用1个2×1的矩形，镶嵌一个2×1的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？ 如图（1），显然只有1种镶嵌方案。
所以1a =1探究二：用2个2×1的矩形，镶嵌一个2×2的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？ 如图（2），显然，有2种不同的镶嵌方案。
所以2a =2探究三：用3个2×1的矩形，镶嵌一个2×3的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？ 一类：在探究一的镶嵌图的右侧，再横着镶嵌2个2×1的矩形，有1种镶嵌方案。
二类：在探究二的每个镶嵌图的右侧，再竖着镶嵌1个2×1的矩形，有2种镶嵌方案， 如图（3），所以3a =1+2=3探究四：用4个2×1的矩形，镶嵌一个2×4的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？一类：在探究二的每个镶嵌图的右侧，再横着镶嵌2个2×1的矩形，有 种镶嵌方案。
二类：在探究三的每个镶嵌图的右侧，再竖着镶嵌1个2×1的矩形，有 种镶嵌方案， 如图（3），所以4a =探究五：用5个2×1的矩形，镶嵌一个2×5的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？ （仿照上述方法，写出探究过程，不用画图）结论：用n 个2×1的矩形，镶嵌一个2×n 的矩形，有多少种不同的镶嵌方案？ (直接写出na 与1-n a 、2-n a 的关系式，不写解答过程）应用：用10个2×1的矩形，镶嵌一个2×10的矩形，有 种不同的镶嵌方案我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF ，BE 是△ABC 的中线，AF ⊥BE ，垂足为P ．像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．图3图2图1特例探索（1）①如图1．当∠ABE＝45°，c＝2时，a＝，b＝．②2如图2．当∠ABE＝30°，c＝8时，a＝，b＝．（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式：（3）利用（2）中的结论，解答下列问题在边长为6的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF 并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G．B如图4所示，则MG2+MH2的值为．【归纳探究】把长为n（n为正整数）个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次？我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.如图，当n=1时，最少需要切0次，即m=0.如图，当n=2时，从线段中间最少需要切1，即m=1.如图，当n=3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m=2.如图，当n=4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m=2. 如图，当n=5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段，将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n=16时，所需最少切割次数的方法.如此操作实验，可获得如下表格中的数据：m通过观察：当n=1时，m=0.当1﹤n≦2时，m=1.当2﹤n≦4时，m=2.当4﹤n≦8时，m=3.当8﹤n≦6时，m= .……根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： .当线段n=1180时，m= .【类比探究】[来源:学_科_网Z_X_X_K]由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题.把边长n（n为正整数）个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次？不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.通过实验观察：当n=1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次，最少共切0，即m=0. 当n=2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1﹤n ≦2时，m=2.当n=3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2﹤n ≦4时，m=4.……当n=8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4﹤n ≦8时，m=6.当8﹤n≦6时，m= .……根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： .【拓广探究】由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题.问题（1）：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切次.问题（2）：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切次.问题（3）：把棱长为n（n为正整数）个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切m次，请用m的代数式表示线段n的取值范围： .问题的提出：n个平面最多可以把空间分割成多少个部分?问题的转化：由n上面问题比较复杂，所以我们先来研究跟它类似的一个较简单的问题：n条直线最多可以把平面分割成多少个部分?如图1，很明显，平面中画出1条直线时，会得到1+1=2个部分；所以，1条直线最多可以把平面分割成2个部分；如图2，平面中画出第2条直线时，新增的一条直线与已知的1条直线最多有1个交点，这个交点会把新增的这条直线分成2部分，从而多出2个部分，即总共会得到1+1+2=4个部分，所以，2条直线最多可以把平面分割成4个部分；如图3，平面中画出第3条直线时，新增的一条直线与已知的2条直线最多有2个交点，这2个交点会把新增的这条直线分成3部分，从而多出3个部分，即总共会得到1+1+2+3=7个部分，所以，3条直线最多可以把平面分割成7个部分；平面中画出第4条直线时，新增的一条直线与已知的3条直线最多有3个交点，这3个交点会把新增的这条直线分成4部分，从而多出4个部分，即总共会得到1+1+2+3+4=11个部分，所以，4条直线最多可以把平面分割成11个部分；…①请你仿照前面的推导过程,写出“5条直线最多可以把平面分割成多少个部分”的推导过程(只写推导过程,不画图)；②根据递推规律用n的代数式填空：n条直线最多可以把平面分割成___个部分。
人教版立方根教案
立方根课程目标一、知识与技能目标1．了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根．2．能用类比平方根的方法学习立方根，及开立方运算，并区分立方根与平方根的不同．二、过程与方法目标用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法，并能自我总结出平方根与立方根的异同．三、情感态度与价值观目标发展学生的求同存异思维，使他们能在复杂的环境中明辨是非，并做出正确的处理．教材解读由正方体的边长与体积的关系引出立方运算，转入立方根运算．于是发现立方根运算与立方运算互为逆运算，很容易联想到平方运算与平方根运算之间的关系，于是立方根的表示，运算等问题就留给同学去发现．学情分析在学习完平方根运算后继而学习立方根运算，通过列举一些有代表意义的数求立方运算可发现立方根比平方根更容易掌握．教学过程一、创设情境，导入新课问题1．问题2．两个不同形状的水晶一样的透明饰物，一个是圆球形的，一个是正方形，经过测算，其体积都是 125cm3．同学们，你们知道这两个饰物除了形状不同以外还有什么不同吗？那就是球的半径与正方体的边长，你能求出这个半径和边长吗？要求出这两个量，我们就来学习开方中的另一种运算：开立方运算．二、师生互动，课堂探究(一)导入知识，解释疑难对于问题1我们如果设棱长为x米，则不难得出x3 = 0.125，也就是要求一个数，使它的立方为0.125，我们知道0.53 = 0.125，所以正方体木块的棱长为0.5米；由此我们给出立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根(cuberoot)．即如果x3 = a，则x叫做a的立方根，记为，读作三次根号a．注意：表示一个数的立方根时不需要正负号；符号中的指数3不能省略．在学习平方根的运算时，首先是找出一些数的平方，然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根，同样，我们先来算一算一些数的立方．23=______ ；(−2)3=______； 0.53=_____；(−0.5)3=______；()3=_____；−()3•=_____ ；03=______．(1)经计算发现正数，0，负数的立方根与平方根有何不同之处？23=8；(−2)3= −8； 0.53=0.125； (−0.5)3= −0.125；()3=；−()3= −；03=0．我们发现，求立方运算时，当底数互为相反数时，其立方也是一对互为相反数，这与平方运算不同，平方运算的底数为相反数，但其平方相等，故一个正数的平方根有两个值，但一个正数的立方根却只有一个．(2)开平方与平方运算互为逆运算，同样开立方与立方运算也互逆，故请根据上述等式，写出这些互为相反数的立方根．8的立方根为2，−8的立方根为−2，记为=2，= −20.125的立方根为0.5，−0.125的立方根为−0．5，记为=0.5，= −0.5的立方根为，−的立方根为−，记为=，= −0的立方根为0，记为=0上述过程都是求一个数的立方根的运算，我们把求一个数的立方根的运算，叫做开立方(extraction of cube root)，开立方与立方运算互为逆运算．前面问题2中正方体的边长为=5，而球的体积为r3 =125时，r≈3.1．归纳：正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0，可记为=a(a为任意数)，或者若a3=M，则有=a，其中M为被开方数，3为根指数，且根指数3不能省略，只有当根指数为2时，才能省略不写．并且有规律：= −(二)例题求解例1：求下列各式的值：①；②；③；④()3解：①= −= −2；②==0.4；③= −= −；④()3=a．例2：求下列各数的立方根．①−27；②；③−0.216；④−5．解：①∵(−3)3= −27，∴= −3；②∵()3=，=；③∵(−0.6)3= −0.216，= −= −0.6；④对−5这个数，作如下尝试：13=1，23=8，1.53=3.375，1.73=4.193．发现4.193最接近5，故不能口算出其值，得借助计算器求值，且通过计算器检验知是一个无限不循环小数，用计算器计算知= −≈−1.71是一个近似数．(三)探究活动①若正方体的棱长为1，则其体积为1；若正方体的棱长为2，则其体积为8；若正方体的棱长为4，则其体积为64；若其棱长为8，则其体积为512……当棱长为2n时，•其体积为多少？②某正方体的体积为1时，其棱长为1；体积为2时，棱长为；体积为3时，•棱长为……；若体积扩大到原来的n倍，则棱长扩大多少倍？解：①正方体棱长为1，则体积为1，棱长为2，体积为8，比较两者棱长扩大了2倍，•体积扩大了8倍，棱长又扩大了1倍，其体积相应增大7倍，为原来的8倍，•故当棱长为2n时，体积为8n3．②当体积扩大到原来的n倍时，棱长扩大到原来的倍．(四)归纳总结，知识回顾这节课学习了立方根的概念，立方根的表示方法以及如何求一个数的立方根．用计算器求任意数的立方根时，只能先求出该数的绝对值的立方根，再根据任意数的正负性决定其值，注意区分平方根与立方根．。
五年级下册数学第四单元测试卷答案
五年级下册数学第四单元测试卷答案大部分的人，都会觉得数学很难，其实学好数学并不难，只要多动脑，还要勤动手，多做一些试卷就会有所提升。
下面店铺为大家带来五年级下册数学第四单元测试卷答案的内容，希望大家喜欢。
五年级下册数学第四单元测试卷题目（一）一、填一填。
(25分)1、( )，叫做物体的体积。
常用的体积单位有( )、( )、( ).计量液体的体积一般用( )、( )。
相邻体积单位之间的进率是( )。
2、棱长是1㎝的正方体体积是( )。
这样的三个拼成的长方体体积是( )，表面积减少( )㎝2。
3、长方体体积=( )×( )×( )，字母表达式是V=( ); 正方体体积=( )×( )×( )，字母表达式是V=( ); 如果一个柱体的底面积是S，高是h，那么它的体积是( )。
4、 5平方米=( )平方分米 1.6平方分米=( )平方厘米4.3米3=( )分米3=( )升 0.034米3=( ) 厘米3 3260毫升=( )升( )毫升 10.02dm3=( ) dm3 ( )cm35、在( )里填上适当的单位。
一只手机的体积是90( ); 一个水塔大约能容纳55( ); 一瓶农夫矿泉水有550( ); 一个热水瓶大约能装水2( )。
二、判断题。
(对的打“√”，错的打“×”。
) (10 分)1、一个正方体的棱长2厘米，扩大3倍后，表面积和体积都扩大了9倍。
( )2、正方体是一种特殊的长方体。
( )3、把一个正方体的橡皮泥捏成一个圆柱体，它的体积不变。
( )4、棱长之和相等的长方体与正方体，体积也一样。
( )5、棱长是6厘米的正方体表面积与体积相等。
( )三、选择题。
(把序号填入括号内)(15分)1、一个长方体的长、宽、高分别是5分米、4分米、6分米，棱长之和是( )。
A、60分米B、60平方分米C、120立方分米D、30分米2、一根长方体钢材长3米，横截面面积是24平方厘米，这根钢材的体积是( )。
高二数学 专题 空间向量与立体几何(六个混淆易错点)(解析版)
专题空间向量与立体几何（六个混淆易错点）易错点1对空间向量的运算理解不清1．在棱长为1的正四面体A BCD -中，点M 满足()1AM xAB y AC x y AD =++--，点N 满足()1DN DB DC λλ=-- ，当线段AM 、DN 的长度均最短时，AM AN ⋅= （）A ．23B ．23-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据题意得到M ∈平面BCD ，N ∈直线BC ，从而求得,AM DN 最短时，得到M 为BCD △的中心，N 为BC 的中点，求得AM 的长，结合向量的运算公式，即可求得AM AN ⋅的值.【详解】解：如图所示，因为(1)AM x AB y AC x y AD =++-- ，()1DN DB DC λλ=--，可得M ∈平面BCD ，N ∈直线BC ，当,AM DN 最短时，AM ⊥平面BCD ，且DN BC ⊥，所以M 为BCD △的中心，N 为BC 的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以13NM DN ==AN =所以3AM =，因为AM ⊥平面BCD ，所以AM MN ⊥，所以Rt ANM △中，6223cos 332AM MAN AN ∠===，所以326222cos 333AM AN AM AN MAN ⋅=⋅∠=⨯=⨯ 故选：A2．下列命题中正确的个数是（）．①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c共线．②向量a ，b ，c共面，即它们所在的直线共面．③如果三个向量a ，b ，c不共面，那么对于空间任意一个向量p ，存在有序实数组(),,x y z ，使得p xa yb zc =++．④若a ，b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+（,λμ∈R 且0λμ≠），则{},,a b c 是空间向量的一组基底．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】举例0b =，判断①，由向量共面的定义判断②，由空间向量基本定理判断③，由共面向量定理和空间向量基本定理判断④．【详解】①当0b = 时，a 与c不一定共线，故①错误；②当a ，b ，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面，或在同一平面内，故②错误；由空间向量基本定理知③正确；④当a ，b 不共线且c a b λμ=+时，a ，b ，c 共面，故④错误．故选：B ．3．以下命题：①若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得λa b = ；②若a b b c ⋅=⋅r r r r，则a c = 或0b = ；③若{},,a b c为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底；④()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 一定成立.则其中真命题的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由共线向量的基本定理判断①；由数量积判断②；由基底的概念判断③；由数量积的性质判断④【详解】对于①：根据共线向量的基本定理，//a b r r 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得λa b = ，其中0b ≠r r；这里没有限制b，所以①错误；对于②：cos ,,cos ,a b a b a b b c b c b c ⋅=⋅⋅=⋅r r r r r r r r r r r r ，若a b b c ⋅=⋅r r r r ，则cos ,cos ,a a b c b c ⋅=r r r r r r ，即只要a 在b 上的投影与c 在b 上的投影相等即可，故②错误；对于③：若{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c不共面，则,,a b b c c a +++ 也不共面，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底，故③正确；对于④：因为,a b b a c d d c ⋅=⋅⋅=⋅，所以()()()()a b c d d c b a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ，故④正确；所以正确的有2个，故选：C4．下面四个结论正确的个数是（）①空间向量(),0,0a b a b ≠≠ ，若a b ⊥ ，则0a b ⋅=；②若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线；③已知向量(1,1,)a x = ，(3,,9)b x =- ，若310x <，则,a b 〈〉为钝角；④任意向量,,a b c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算、向量平行的意义及坐标表示、数量积的定义、性质对各命题逐一判断即可．【详解】对于①，因0,0a b ≠≠ ，a b ⊥ ，则·0a b =，①正确；对于②，因1344PC PA PB =+ ，则1144PC PA - ＝3344PB PC -，即3AC CB = ，即A 、B 、C 三点共线，②正确；对于③，a b ⋅ ＝10x -3，若,a b 〈〉 为钝角，则0a b ⋅< ，且a 与b 不共线，由0a b ⋅<得310x <，当//a b 时，1139xx ==-，即3x =-，由a 与b 不共线得3x ≠-，于是得当310x <且3x ≠-时，,a b 〈〉为钝角，③错误；对于④，()a b c ⋅⋅ 是c 的共线向量，而()a b c ⋅⋅是a 的共线向量，④错误，综上可知，①②正确.故选：C5．（多选）给出下列命题，其中正确的是（）A ．若{},,a b c是空间的一个基底，则{},,a b b c +r r r r 也是空间的一个基底B ．在空间直角坐标系中，点()2,4,3P -关于坐标平面yOz 的对称点是()2,4,3---C ．若空间四个点P ，A ，B ，C 满足1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线D ．平面α的一个法向量为()1,3,4m =-u r ，平面β的一个法向量为()2,6,n k =--r.若//αβ，则8k =【答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A ，由点关于坐标面的对称判断B ，由向量的运算确定三点共线可判断C ，根据向量共线求参数可判断D 。
华罗庚学校数学竞赛试题与详解小学五、六年级第一分册
华罗庚学校数学竞赛试题与详解小学五、六年级第一分册幼苗杯第1套第一届幼苗杯数学邀请赛试题一、填空题：（y.01.01）9308－576＝ 。
（y.01.02）83×71+83×29＝ 。
（y.01.03）0.125÷161＝ 。
（y.01.04）两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，这叫做 。
（y.01.05）2×（1－5%）＝ 。
（y.01.06）21312131⨯÷⨯＝ 。
（y.01.07）8740除以90的余数是 。
（y.01.08）一个长方体的3条边各为1，2，3寸，则它的表面积是 平方寸。
（y.01.09）分解质因数：364＝ 。
（y.01.10）1800000平方尺＝ 平方千米。
（y.01.11）有一个是900的三角形为 三角形。
（y.01.12）81与253两个数中 比较大。
（y.01.13）自然数1是合数还是质数？答： 。
（y.01.14）梯形的上底为51，下底为61，高为1155，则它的面积是 。
二、选择题：（y.01.15）计算：2+3×32＝（ ）（A ）83 （B ）45 （C ）29 （D ）20（y.01.16）“增产二成”中的“二成”，写成百分数是（ ）（A ）100120 （B ）1002 （C ）20% （D ）0.2 （y.01.17）方程32x －21＝1的解是（ ）（A ）1 （B ）412 （C ）94 （D ）43 （y.01.18）两个整数的和是（ ）（A ）奇数 （B ）偶数 （C ）奇数、偶数都不是 （D ）可能是奇数也可能是偶数三、计算题（y.01.19）（12×21×45×10.2）÷（15×4×0.7×5.1）（y.01.20）2511212101211211÷⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--。
六年级下学期数学应用题
有关棱长的计算1、做10个棱长8厘米的正方体铁框架,至少需多长的铁丝2、用一根长36厘米的铁丝围成一个正方体,它的表面积和体积分别是多少3、一个长方体的长是10厘米,宽是8厘米,高是4.5厘米,它的棱长之和是多少有关表面积的计算1、一个长方体的长是4分米,宽是2.5分米,高是3分米,求它的表面积是多少平方分米2、用铁皮做一个铁盒,使它的长、宽、高分别是1.8分米,1.5分米和1.2分米,做一个这样的铁盒至少要用铁皮多少平方米3、做一个没盖的正方体玻璃鱼缸,棱长是3分米,至少需要玻璃多少平方米4.1、我们学校要粉刷教室,教室长8米,宽7米,高3.5米,扣除门窗、黑板的面积13.8平方米;1粉刷面积是多少平方米2如果每平方米需要5元涂料费;粉刷一个教室需要多少钱3在实际粉刷时有1/8的损耗,粉刷仓库实际需要多少升4.2、有一个养鱼池长18米,宽12米,深3.5米,要在养鱼池各个面上抹一层水泥,防止渗水,如果每平方米用水泥5千克,一共需要水泥多少千克5.1、一个商品盒是棱长为6厘米的正方体,在这个盒的四周贴上商标,贴商标的面积最大是多少平方厘米5.2、做24节长方体的铁皮烟囱,每节长2米,宽4分米,高3分米,至少用多少平方米的铁皮6.1、用木版做长、宽、高分别是2.8分米,1.5分米和2.2分米抽屉,做5个这样的抽屉至少要用木版多少平方米6.2、加工厂要加工一批电视机机套,没有底面每台电视机的长60厘米,宽50厘米、高55厘米,做1000个机套至少用布多少平方米10、一个长方体的金鱼缸,长是8分米,宽是5分米,高是6分米,不小心前面的玻璃被打坏了,修理时配上的玻璃的面积是有关体积计算1、一个长方体的长是4分米,宽是2.5分米,高是3分米,求它的体积是多少立方分米2.1、一个长方体,底面积是30平方分米,高3米,它的体积是多少立方分米2.2、一根长方体木料,长2.5米,横截面的面积是1.44平方分米;这根木料的体积是多少立方分米2.3、一个长方体油桶的容积是18升;它的长是25厘米,宽是16厘米;这个油桶的高是多少厘米2.4学校运来7.6立方米沙土,把这些沙土铺在一个长5米,宽3.8米的沙坑里,可以铺多厚2.5体育场用37.5立方米的煤渣铺在一条长100米、宽7.5米的直跑道上;煤渣可以铺多厚3.1、有一种长方体钢材,长2米,横截面是边长为5厘米的正方形,这种方刚的体积是多少如果每立方分米钢重7.8千克,这根方钢材重多少千克3.2、一个长方体沙坑,长4米,宽2米,深0.5米,如果每立方米黄沙重1.4吨,这黄沙重多少吨4、一张写字台,长1.3m宽0.6m、高0.8m有20张这样的写字台要占多大空间5.1、一个棱长是5分米的正方体鱼缸,里面装满水,把水倒入一个底面积48平方分米,高6分米的的长方体鱼缸里,鱼缸里水有多深5.2、一个棱长8分米的正方体水槽里装了490升水,把这些水倒入一个长10分米,宽7分米,高8分米的长方体水槽里,水槽里的水深是多少5.3、把一块棱长8厘米的正方体钢坯,锻造成长16厘米,宽5厘米的长方体钢板,这钢板有多厚损耗不计6.1、一个长方体油桶,底面积是18平方分米,它可装43.2千克油,如果每升油重0.8千克,油桶内油高是多少6.2、一个长方体玻璃缸,从里面量长40厘米,宽25厘米,水深12厘米,把一块石头浸入水中后,水面上升到16厘米,求石块的体积7、在一个长50厘米,宽40厘米的长方体玻璃缸中,放入一块棱长为10厘米的正方体铁块,这时水深20厘米,若把铁块取出,缸中水深多少厘米8、80根方木,垛成一个长2米,宽2米,高1.5米的长方体,平均每根方木的体积是多少立方米合多少立方分米9、家具厂订购500根方木,每根方木横截面面积是25平方分米,长是3.8米,这些木料的体积是多少立方米10、一个正方体茶叶箱的棱长是0.8米,如果每立方分米可装茶叶40克,这个茶叶箱可装多少茶叶11、一个长方体的高增加2厘米就成为一个正方体,表面积比原来增加了48平方厘米;原来长方体的体积是多少12、一个长和宽都是2.5分米,高是35厘米的无盖长方体铁皮水桶,能盛水多少升表面、体积综合运用1、一个无盖长方体水箱,长2米,宽8分米,高6分米,做成这个水箱需铁皮多少平方分米最多装水几升2、一个长方体蓄水池,长8m,宽5m,深3m;1这个蓄水池占地面积是多少2它最多可容水多少立方米3如果在四周和底部抹上水泥,则抹水泥的面积是多少平方米3、一个长方体游泳池长60米,宽30米,深2米,游泳池占地多少平方米沿游泳池的内壁1.5米处用红漆划一条水位线,这条线的长度是多少现在游泳池内的水正好到达水位线,求池内水的体积4.1、把一块长26dm的长方形木板,在四个角上分别剪去边长为3dm的正方形,将它制成容积为840立方分米的长方体无盖容器,这块木板原来的宽是多少4.2一个长方形铁皮长30cm,宽25cm,从四个角各切掉一个长为5cm的正方形,然后做成一个无盖的盒子,这个盒子用了多少铁皮它的容积是多少5.1、3个棱长都8厘米的正方体,拼成一个长方体,它的体积和表面积各是多少5.2、把长8厘米,宽12厘米,高5厘米长方体木块锯成棱长2厘米的正方体木块,可锯多少块5.3、一个底面是正方形的长方体木料,长是5米,把它截成4段,表面积增加36平方米,求长方体的体积5.4、把两块棱长为1.5分米的正方体木块拼成一个长方体,这个长方体的体积和表面积各是多少4、小明的爸爸用玻璃做了一个棱长是6dm正方体鱼缸;制作这个鱼缸时,至少需要玻璃多少平方米小明在鱼缸里注入144L的水,水面高度是多少分米分数应用题一、求分率：1、12颗糖,平均分给3个人,每人分得这些糖的几分之几2、 5个苹果平均分给8个人,每人分得几个每人分得这些苹果的几分之几3、五年级有男生23人,女生25人,女生占男生的几分之几男、女生各占全班人数的几分之几4、一本书185页,看了95页,看了的占这本书的几分之几没看的页数占这本书的几分之几5、声音在空气中3秒钟大约传1千米,光的速度每秒大约300000千米,声音的速度大约是光速的几分之几6、职工食堂4月份计划烧煤5吨,实际烧煤4.8吨;节约了百分之几二、求单位“1”应用题：1、建筑工地有一堆黄沙,用去了23 ,正好用去了60吨;这堆黄沙原来有多少吨2、修一段路,第一天修了全长的1/4 ,第二天修了90米,这时还剩下150米没有修;这段路全长多少米3、妈妈给小红买了一套衣服,一条裤子的价钱是60元,是一件上衣的2/3;这件上衣多少元4、东方小学二年级共有104人,是四年级人数的8/9,四年级人数又是全校人数的3/13,全校共有多少学生6、五1班有男生23人,女生22人,全班学生人数占五年级学生总人数的3/10;五年级有多少人7、文文读一本故事书,第一天读了全书的2/7,第二天读了余下的3/5,比第一天多读了6页,这本书共多少页分数综合应用题：1、机床厂去年四个季度分别完成全年任务的1/6 、1/5 、4/15 、7/10 ,去年超额完成全年计划的几分之几2、工地运来一批钢材,其中圆形钢材2吨,方形钢材 2/5 吨,其它钢材 1/7 吨,这批钢材共有多少吨3、男：我们班1/4的同学参加了合唱小组;中：我们班2/8的同学参加了航模小组;女：我们班8名同学参加了体育小组;这个班共有40名同学,哪个小组的人数少另外两个小组的人数怎样4、五2班共有学生40人,女生占男生人数的2/3,女生有多少人5、甲乙两地相距400千米,一辆汽车从甲地开往乙地,已经行了1/5,再行多少千米就行了全程的一半6、“星星”儿童服装厂四月份生产儿童服装1260套,超过原计划的1/5,原计划生产服装多少套7、一种卡通玩具车,原来每辆20元,现在的售价比原来便宜1/5,现在每辆售价多少元8、某机械厂原计划生产机床2400件,实际超额完成了600件,实际完成了原计划的百分之几9、某果园有苹果树200棵,比梨树棵树的4/5多80棵;梨树有多少棵10、每棵苹果树去年收益250元,今年通过科学剪枝,每棵树的收益提高了16%,今年每棵树多收益了多少元11、小明收集的邮票是小亮的3/5,小明收集的邮票比小亮少60枚,小明和小亮各收集了多少枚邮票12、修一条路,已修了全长的60%又10千米,还剩40千米,这条路全长多少千米13、小芳和小丽比跳绳,小芳跳的比小丽少30下,小芳跳的是小丽的5/7,两人各跳了多少下14、某书店文艺书2450本,文艺书的3/7正好等于故事书的2/3,问故事书有多少本15、一张桌子的价钱是90元,一把椅子的价钱比一张桌子便宜1/6,一把椅子的价钱是多少元16、一个房间内共铺设了1200块长40厘米,宽20厘米,厚2厘米的木地板,这个房间共占地多少平方米 铺这个房间共要木材多少立方米17、用2100个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体,它的高是10厘米,长和宽都大于高;它的底面周长是多少 18、18、每生产5万双一次性筷子需要1棵大树的木材,每棵树每天可吸收101千克二氧化碳;一家饭店一年接待约10万人就餐,如果平均每个客人使用一双一次性筷子,这样每天将少吸收多少千克二氧化碳19、人的血液约占人体重的1/13,血液中大约2/3是水,文文的体重是39千克,她的血液里大约含水多少千克20、某公司要修一批电脑,已修了1/3,再修24台,正好修了这批电脑的一半,这批电脑共多少台21、果园里种桃树420棵,比苹果树多2/5,桃树比苹果树多多少棵22、某电视机厂五月份生产电视机16万台,六月份比五月份增产1/8,六月份生产多少台23、学校图书馆新购一批图书,其中科技书240本,科技书比文艺书多1/5,文艺书有多少本24、食堂计划每天烧煤150千克,由于改进了炉灶,现在每天烧煤量相当于计划的4/5,现在每天烧煤多少千克 一年可节约煤多少吨25、文文要打一份2400字的稿件,已经打完3/8,还剩多少字没打完 按每分钟100字的速度,文文还要多长时间才能完成26、一条51公里的路,第一周修了1/3,第二周修了1/3,两周共修了多少千米27、一段公路,第一个月修60千米,比第二个月少修1/4,第二个月修了多少千米28、修一条路,第一天修了全长的1/5,第二天修了1000米,这时,已修的米数占全长的8/15,这条路全长多少米29、修一条路,已修的是未修的一半,如果再修150米,就可完成这条路的一半,这条路全长多少米30、某厂第一季度计划生产零件5000个,实际一月完成了2/5,二月完成了3/8,三月还要生产多少个就能完成任务31、一台织布机8/9小时可织布168米,照这样的速度,2/3小时可织布多少米32、保险公司去年收保险费28000万元,今年比去年增长了2/5,今年收保险费多少元33、加工一批零件,第一天加工200个,第二天加工250个,两天共加工了这批零件的3/5,这批零件共多少个34、一筐苹果卖掉1/5后,又卖了6公斤,这时卖出的正好是剩下的一半,这筐苹果原有多少公斤35、食堂的一批苹果,吃了1/4后又买来了324个,这时,苹果个数比原来多了1/5,这批苹果原有多少个36、汽车从甲地开往乙地,当汽车行了全程的6/11时,离乙地还有75千米,甲乙两地相距多少千米37、甲乙两车同时从相距420千米的A、B两地相对开出,5小时后甲车行了全程的3/4,乙车行了全程的2/3,这时,两车相距多少千米38、一捆电线,第一次用去全长的1/4,第二次用去剩下的1/5,这时还剩108米,这捆电线原来长多少米39、一根钢筋截去8米后,所剩的部分比原长的3/5还多2米,这根钢筋原长多少米40、两根绳子共长93米,第一根用去1/6,第二根用去5米,两根绳子剩下的长度相等,两根绳子原来各长多少米41、仓库有化肥3400吨,第一次取出总量的1/4,第二次取出3/10,还剩多少吨42、运输一批化肥,第一天运走总数的2/5,第二天比第一天多运60吨,刚好全部运完,这批化肥共多少吨43、一套桌椅80元,其中椅子的价格是桌子的3/5,桌子和椅子各多少元44、运输一批化肥,第一天运走总数的2/5,第二天比第一天多运60吨,刚好全部运完,这批化肥共多少吨45、汽车厂去年上半年完成了全年计划的5/9,下半年完成了全年计划的3/5,超产3360辆,去年计划生产多少辆46、服装厂五月份计划制衣1500件,上半月完成了计划的2/3,下半月完成了计划的一半,实际超产了多少件47、华英数学提高班,上学期男生占5/9,这学期新加入21名女生后,男生只占2/5,提高班现有女生多少人有关打折的应用题1、一件上衣原价280元,打六折,现价是多少元3、一件上衣打六折后售价为168元,原价多少元4、一件上衣原价280元,现价168元,这件衣服打几折出售合格率1、同望小学去年植树240棵,死了15棵,求成活率小数点后保留一位2、种子研究所用500颗种子做发芽试验,结果有465颗发芽,这批种子的发芽率是多少3、用5000千克小麦可以磨出面粉4250千克,求小麦的出粉率;4、小麦的出粉率是80％,要磨出面粉640千克,需要多少千克小麦5、食品抽样检查中,甲品牌抽查50箱,7箱不合格；乙品牌抽查60箱,8箱不合格,那种品牌的食品合格率高。
2021年中考数学专题突破26 菱形问题
专题26 菱形问题1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
3.菱形的判定定理（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边相等的四边形是菱形。
4．菱形的面积：S=ah=mn/2（菱形底边长为a，高为h，两条对角线长分别为m和n）【例题1】（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）【对点练习】（2019泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A．8B．12C．16D．32【例题2】（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为．【对点练习】（2019湖北十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC 的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【例题3】（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．【对点练习】（2019湖南岳阳）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．一、选择题1．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：12．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．125B．52C．3D．53．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（）A．9+2√3B．9+√3C．7+2√3D．84．（2020•甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为（）A．3B．4C．5D．65．（2020•遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（）A ．125B ．185C ．4D ．245 6.（2019内蒙古赤峰）如图，菱形ABCD 周长为20，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是CD 的中点，则OE 的长是（ ）A ．2.5B ．3C ．4D ．57.(2019•四川省绵阳市)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O （0，0），A （4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E 的坐标为（ ）A. B. C. D.8.（2019•四川省广安市）如图，在边长为3的菱形ABCD 中，︒=∠30B ，过点A 作BC AE ⊥于点E ，现将△ABE 沿直线AE 翻折至△AFE 的位置，AF 与CD 交于点G 则CG 等于（ ）A.13 B.1 C.21D. .239.（2019四川省雅安市）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AC、BD是对角线，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10. （2019·贵州安顺）如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．则下列说法错误的是（）A．∠ABC＝60°B．S△ABE＝2S△ADEC．若AB＝4，则BE＝4D．sin∠CBE＝二、填空题FGEHB CDGDA11．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO 上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．13．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件：，使▱ABCD是菱形．14.（2019广西北部湾）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO=4，S菱形ABCD=24，则AH= .15．（2019内蒙古通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．16．（2019湖南常德）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是．（填序号）17.（2019广西梧州）如图，在菱形ABCD中，2AB=，60∠=︒，将菱形ABCD绕点ABAD逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是．三、解答题18．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．19．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20. （2019•海南省）如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD 上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：△PDE≌△QCE；（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB＝PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．21. （2019北京市）如图1，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）如图2，延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=1 2，求AO的长．图1 图2专题26 菱形问题1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
北师大版七年级数学用尺规作三角形及三角形全等应用(基础)知识讲解(含答案)
用尺规作三角形及三角形全等应用（基础）责编:杜少波【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路点拨】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案与解析】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结升华】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．举一反三：【变式】（2015•魏县二模）如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧【答案】D．类型二、作三角形2、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．类型三、三角形全等的实际应用3、如图所示，公园里有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理．【思路点拨】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出CF=BE，即测量BE之间的距离相当于测量CF之间的距离．【答案与解析】解：能．证明：连接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（两线平行内错角相等）．∵M是BC中点∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（对应边相等）．【总结升华】本题考查了全等三角形的应用；关键是要把题目的问题转化为证明对应边相等．举一反三【变式】要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【答案】B.4、（2016春•芦溪县期末）为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=38°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=52°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，计算楼高AB是多少米？【思路点拨】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），进而得出AB的长．【答案与解析】解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：楼高AB是25米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键．举一反三【变式】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如右图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃．应该带（）A.第4块B. 第3块C.第2块D.第1块【答案】C.。
将棱长为N厘米
将棱长为N厘米（N为自然数）的正方体表面涂色然后分割成棱长1厘米的正方体恰有2面涂色的正方形的个数等于没有涂色的正方体个数的3倍N=？最佳答案2面涂色的共有12*(N-2)=12N-24 个未涂色的共有(N-2)^3 个12N-24=3*(N-2)^3N=4棱长1分米的正方体木块，表面涂上颜色后，切割成棱长1厘米的小正方体，其中四个面没有涂色的小正方体有几浏览次数：525次悬赏分：0 | 解决时间：2010-6-2 20:33 | 提问者：hufenqing最佳答案解:1分米=10厘米共可切出10×10×10=1000个小正方体露出表面的共有488个,没有涂色的有1000-488=512个一个正方体。
表面涂上颜色，切成125个棱长1厘米的小正方体，一面涂色的小正方体有浏览次数：336次悬赏分：5 | 解决时间：2010-11-1 20:24 | 提问者：匿名问题补充：，两面涂色的有几个，三面的有几个，没有涂色的有几个？最佳答案一面涂色3^2×6=54个两面涂色3×12=36个三面涂色8没涂色3^3=27个一个长方体表面涂上红色后,被分割成棱长是1厘米的小正方体,如果这些小正方体中,各个面都未涂色的个数为5浏览次数：690次悬赏分：0 | 解决时间：2010-4-27 16:38 | 提问者：zxcjkl147，那么两个面带红色的小正方体个数等于（）最佳答案各个面都未涂色的只能是中间的小长方体，小长方体的每条棱都比大长方体小2厘米。
5=1×1×5小长方体的棱长是1厘米，1厘米，5厘米大长方体的棱长是3厘米，3厘米，7厘米那么两个面带红色的小正方体是每条棱去掉顶点剩下的部分，一共有（3-2）×4+（3-2）×4+（7-2）×4=28个11回答时间：2010-4-26 17:14 | 我来评论一个正方体。
表面涂上颜色，切成125个棱长1厘米的小正方体，一面涂色的小正方体有浏览次数：337次悬赏分：5 | 解决时间：2010-11-1 20:24 | 提问者：匿名问题补充：，两面涂色的有几个，三面的有几个，没有涂色的有几个？最佳答案一面涂色3^2×6=54个两面涂色3×12=36个三面涂色8没涂色3^3=27个将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是多少？问题补充：要算式最佳答案两面涂色的小正方体只能出现在棱上（不包含顶点处的）共12条棱，那么每条棱上有36/12=3个，加上两个顶点的，每条棱共有五个小正方体，即棱长是5厘米，体积是5*5*5=125立方厘米将一个涂色的棱长为5cm的正方体切成1立方厘米的小正方体后，有一个面涂色的小正方体有多少个？浏览次数：25次悬赏分：0 | 解决时间：2011-6-8 11:21 | 提问者：驰名中飞跃有三个面涂色的小正方体有多少个？是小学5年级下册数学课时特训期中综合测试（27页）第八题附加题快快快快快快快快快快快快!最佳答案三个面与顶点有关8个二个面与棱有关（5-2）×12=36个一个面的（5×5-16）×6=54个5×5×5=125没色的：125-8-36-54=27个一个大正方体表面涂色，切成棱长为1cm的小正方体，一面有色的有1014块，问这个大正方体被切成了多少块？浏览次数：360次悬赏分：0 | 解决时间：2011-2-20 09:03 | 提问者：wdm19730520一个大正方体表面涂色，切成棱长1厘米的小正方体，一面有色的1014块，问被切成多少块？最佳答案被切成3375块首先，只有一面有色的那么表示在边上的正方体不算，假设大正方体被分成n³个小正方体，那么只有一面有色的正方体为6×（n-2）²个，则6×（n-2）²=1014，得到n=15.n³=3375把一个长4cm,宽3cm,高3cm正方体木块表涂成红色，然后切成棱长1cm的小正方体木块，问：（1）三面涂色的小正浏览次数：184次悬赏分：0 | 解决时间：2011-4-21 15:50 | 提问者：dandan1998www 体有多少块？（2）两面涂色的小正方体有多少块？（3）一面涂色的小正方体有多少块？（4）六面都没涂色的小正方体有多少块？[这是今天的作业，十万火急！！！]最佳答案（1）三面涂色的小正体有1×8=8块（2）两面涂色的小正方体有2×4+1×8=16块（3）一面涂色的小正方体有2×2+1×4=8块（4）六面都没涂色的2块追问第四小题怎么列算式回答把若干个体积相等的正方体拼成一个大正方体，然后在表面涂上红色，已知一面涂色的小正方体有96个，那么两面涂色的小正方体有多少个？[ 标签：体积正方体,正方体,涂色 ]把若干个体积相等的正方体拼成一个大正方体，然后在表面涂上红色，已知一面涂色的小正方体有96个，那么两面涂色的小正方体有多少个？火凤凰回答:1人气:1解决时间:2009-10-08 20:36满意答案好评率：75%96/6=164+2=612*4=48把1立方米的正方体木块的表面涂色,切成1立方分米的小正方体,在这些小正方体中,六个面都没有涂色的有几个浏览次数：1180次悬赏分：0 | 提问时间：2008-1-22 12:44 | 提问者：690971211 | 问题为何被关闭其他回答共3条512个回答者： lihuajiea | 三级 | 2008-1-22 12:481米=10分米(10-2)*(10-2)*(10-2)=512回答者：ぁ薛越天ぁ | 二级 |333×332332333-332×333333332= (332+1)×(333333332-1000999)-332×333333332= 332×333333332 - 1000999×332 + 333333332-1000999-332×333333332= 333333332- 1000999×332 -1000999= 333333332- 1000999×333=665甲乙丙丁四数之和为110，如甲数加4，乙数减4，丙数乘2，丁数除以3，所得四数相等，求甲乙丙丁各为多少设甲x,乙y,丙z,丁n则由已知：x+4=y-4 (1)y-4=2z (2)2z=n/3 (3)x+y+z+n=110 (4)由(1)知x=y-8 由(3)知n=6z代入(4)：2y+7z=118 与(2)联立z=10所以x=16 n=60所以甲16，乙24，丙10，丁60快递费用怎么算？什么是首重？比如一个重40公斤的货物，首重是1公斤10元，然后一公斤3元，那该多少快递费用？答案快递的价钱是这样算的,首重就是第一的1KG的费用,续重就是除第一的1KG以外的KG数.你那里的总费用:续重计法(40-1)*3,再加首重10,总费用就是127.公式:总重减一公斤乘以续重的单价再加首重价等於总费用首重是什么意思？我付了运费，卖家说我付的是首重，要另加超重费，有这种事情吗？有的店家多买了还免运费来，我在网上买了很久了，还第一次听说有首重这种说法答案一公斤以内就是首重，有个定价。
2021-2022学年河北省邯郸市大名县第一中学高一下学期开学摸底考数学试卷含详解
所以 ，
因为 ，
所以 ≌ ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以异面直线A1M与C1N所成的角是 ，
故选：D
8.若所有棱长都是 的直三棱柱 的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）
A. B. C. D.
C
【分析】球心在上下底面中心的连线的中点上，球半径为球心到各顶点的距离，找出球半径和棱长的关系再代入球的面积计算公式即可.
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）求全体应聘者笔试成绩的众数和平均数（每组数据以区间中点值为代表）；
（3）若计划面试 人，请估计参加面试的最低分数线．
19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 .
（1）求角A；
（2）若 ， ，求△ABC的面积.
20.如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点.（ED是三棱锥 的高）
【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出 的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出 的值；
（2）计算出 的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得 与 的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得 ，
；
（2）设 与 的夹角为 ，
则 ，
因此， 与 的夹角的余弦值为 .
18.社会的进步与发展，关键在于人才，引进高素质人才对社会的发展具有重大作用．某市进行人才引进，需要进行笔试和面试，一共有 名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在 内，将笔试成绩按照 、 、 、 分组，得到如图所示频率分布直方图．
【分析】利用勾股定理求出母线的长度，利用扇形的面积公式求面积即可.
【详解】由题意得：圆锥的母线 ，则圆锥的侧面积为 .
故答案为：
长方体棱长及表面积应用答案
教学过程1．长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4；正方体的棱长总和=棱长×12．2．表面积的意义：是指六个面的面积之和．3．长方体和正方体表面积的计算方法：=S 长方形（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； =S 正方形棱长×棱长×6．知识点一、棱长的应用例题精讲：【例1】一个长方体，长5分米，宽3分米，高4分米，求它的所有棱长的和．答案：48dm【例2】一栋长方体的大楼，长115米，宽50米，高40米，今年 “十一”期间为增添节日氛围，要在建筑物的每条边上装上彩框线（底座除外），至少需要买多少米彩灯线？ 答案：820m【例3】一个长方体框架，棱长总和是156厘米，宽是12厘米，高是7厘米，长是多少厘米？答案：20cm【例4】用一根铁丝刚好焊成一个棱长8厘米的正方体框架，如果用这根铁丝焊成一个长10厘米、宽7厘米的长方体框架，它的高应该是多少厘米？答案：4.5cm【例5】把110厘米长的铁丝焊成一个长方体框架，长是宽的2倍，宽是高的1．5倍，求长方体的长、宽、高分别是多少厘米？答案：长为：15cm ，宽为7.5cm ，高为5cm 。
变式训练：1．用钢筋做一个长和宽都是3．5分米，高是10厘米的长方体框架，需多少分米的钢筋？ 答案：68cm2．一个长方体的长是15厘米，宽是12厘米，棱长总和是148厘米，求它的高．答案：10cm3．用一根长60厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的表面积是多少？答案：150平方厘米4．用一根铁丝围成一个长方体框架，框架长8分米，宽4分米，高2分米．如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的棱长是多少分米？答案：56dm知识点二、表面积的应用：【例1】一个长方体游泳池，长20米，宽16米，深2米，占地多少平方米？答案：784平方米【例2】一种无盖的长方体水桶，长是5分米，宽是4分米，高是6分米，做这样一对水桶，至少需要铁皮多少平方分米？（接口处忽略不计）答案：128平方分米【例3】一间教室长8米，宽6米，高3米，刷教室的顶棚和四壁，除去门和黑板的面积是22平方米，需要粉刷教室的面积是多少？答案：110平方米【例4】楼房外壁用于流水的水管是长方体．如果每节长15分米，横截面是一个长方形，长1分米，宽0．6分米．做一节水管，至少要用铁皮多少平方分米．答案：48dm2【例5】有一个底面是正方形的长方体，高16厘米，侧面展开后是一个正方形，求这个长方体的表面积？【例6】两个完全一样的长方体，长是6厘米，宽是4厘米，高是2厘米，把它拼成一个大长方体，表面积最小是多少平方厘米？答案：128cm2【例7】一根长方体木料，长2米，宽和厚都是2分米，把它锯成4段，表面积至少增加多少平方分米？答案：24dm2【例8】一个底面是正方形的长方体，底面周长是80厘米，高是50厘米，这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？答案：1800cm2变式训练：1．一个长方体纸盒，长是24厘米，宽是12厘米，高是9厘米．它的表面积是多少平方厘米？答案：1224cm22．一个养鱼池长15米，宽10米，深2．5在鱼池的各个面上抹水泥防止渗水，如果平均每平方米用水泥12千克．共需要水泥多少千克？答案：2400kg3．一个长方体通风管，长4米，宽和高都是20厘米．做100根这样的通风管，至少需要铁皮多少平方米？答案：320m24．给大厅里的4根立柱刷油漆，柱子的截面是边长0．3米的正方形，柱子长5米，每平方米用油漆款3．40元，买油漆需要多少元？5．一个长方形纸盒，它的底面是正方形，如果将纸盒的四个侧面展开恰好是一个边长36厘米的正方形，求纸盒的表面积．答案：486cm26．一个正方体的表面积是24平方厘米，5个这样的正方体拼成的长方体面积是多少平方厘米？答案：88cm27．将一个长16分米，宽12分米，高10分米的长方体木料，截成两个长方体．表面积至少增加多少平方分米？最多能增加多少平方分米？答案：240dm2 ；384dm28．有一个长方体的表面积为214平方厘米．它的长是7厘米．宽是5厘米．求它的高？答案：6cm后作业一、填空．1．正方体是由（ 6）个完全相同的（正方形）围成的立体图形，正方体有（ 12）条棱，它们的长度都（相等），正方体有（8 ）个顶点．2．正方体是长、宽、高都（相等）的长方体．3．一个正方体的棱长为A，棱长之和是（12A），当A=6厘米时，这个正方体的棱长总和是（72）厘米．4．一根长96厘米的铁丝围成一个正方体，这个正方体的棱长是（8）厘米．5．一个长方体的棱长总和是80厘米，长10厘米，宽是7厘米．高是（3 ）厘米．6．至少需要（72 ）厘米长的铁丝，才能做一个长是8厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体框架．二、应用题．1．用铁丝焊接成一个长12厘米，宽10厘米，高5厘米的长方体的框架，至少需要铁丝多少厘米?答案：108cm2．一个长方体的棱长和是72厘米，它的长是9厘米，宽6厘米，它的表面积是多少平方厘米？答案：198cm3．天天游泳池，长25米，宽10米，深1．6米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，那么至少需要这种瓷砖多少平方米？答案：362m24．做一个长方体的浴缸（无盖），长8分米，宽4分米，高6分米，至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元钱，至少需要多少钱买玻璃？答案：176dm2，604元。
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将棱长为N厘米（N为自然数）的正方体表面涂色然后分割成棱长1厘米的正方体恰有2面涂色的正方形的个数等于没有涂色的正方体个数的3倍N=？最佳答案2面涂色的共有12*(N-2)=12N-24 个未涂色的共有(N-2)^3 个12N-24=3*(N-2)^3N=4棱长1分米的正方体木块，表面涂上颜色后，切割成棱长1厘米的小正方体，其中四个面没有涂色的小正方体有几浏览次数：525次悬赏分：0 | 解决时间：2010-6-2 20:33 | 提问者：hufenqing最佳答案解:1分米=10厘米共可切出10×10×10=1000个小正方体露出表面的共有488个,没有涂色的有1000-488=512个一个正方体。
表面涂上颜色，切成125个棱长1厘米的小正方体，一面涂色的小正方体有浏览次数：336次悬赏分：5 | 解决时间：2010-11-1 20:24 | 提问者：匿名问题补充：，两面涂色的有几个，三面的有几个，没有涂色的有几个？最佳答案一面涂色3^2×6=54个两面涂色3×12=36个三面涂色8没涂色3^3=27个一个长方体表面涂上红色后,被分割成棱长是1厘米的小正方体,如果这些小正方体中,各个面都未涂色的个数为5浏览次数：690次悬赏分：0 | 解决时间：2010-4-27 16:38 | 提问者：zxcjkl147，那么两个面带红色的小正方体个数等于（）最佳答案各个面都未涂色的只能是中间的小长方体，小长方体的每条棱都比大长方体小2厘米。
5=1×1×5小长方体的棱长是1厘米，1厘米，5厘米大长方体的棱长是3厘米，3厘米，7厘米那么两个面带红色的小正方体是每条棱去掉顶点剩下的部分，一共有（3-2）×4+（3-2）×4+（7-2）×4=28个11回答时间：2010-4-26 17:14 | 我来评论一个正方体。
表面涂上颜色，切成125个棱长1厘米的小正方体，一面涂色的小正方体有浏览次数：337次悬赏分：5 | 解决时间：2010-11-1 20:24 | 提问者：匿名问题补充：，两面涂色的有几个，三面的有几个，没有涂色的有几个？最佳答案一面涂色3^2×6=54个两面涂色3×12=36个三面涂色8没涂色3^3=27个将一个表面涂色的正方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的有36块，原来正方体的体积是多少？问题补充：要算式最佳答案两面涂色的小正方体只能出现在棱上（不包含顶点处的）共12条棱，那么每条棱上有36/12=3个，加上两个顶点的，每条棱共有五个小正方体，即棱长是5厘米，体积是5*5*5=125立方厘米将一个涂色的棱长为5cm的正方体切成1立方厘米的小正方体后，有一个面涂色的小正方体有多少个？浏览次数：25次悬赏分：0 | 解决时间：2011-6-8 11:21 | 提问者：驰名中飞跃有三个面涂色的小正方体有多少个？是小学5年级下册数学课时特训期中综合测试（27页）第八题附加题快快快快快快快快快快快快!最佳答案三个面与顶点有关8个二个面与棱有关（5-2）×12=36个一个面的（5×5-16）×6=54个5×5×5=125没色的：125-8-36-54=27个一个大正方体表面涂色，切成棱长为1cm的小正方体，一面有色的有1014块，问这个大正方体被切成了多少块？浏览次数：360次悬赏分：0 | 解决时间：2011-2-20 09:03 | 提问者：wdm19730520一个大正方体表面涂色，切成棱长1厘米的小正方体，一面有色的1014块，问被切成多少块？最佳答案被切成3375块首先，只有一面有色的那么表示在边上的正方体不算，假设大正方体被分成n³个小正方体，那么只有一面有色的正方体为6×（n-2）²个，则6×（n-2）²=1014，得到n=15.n³=3375把一个长4cm,宽3cm,高3cm正方体木块表涂成红色，然后切成棱长1cm的小正方体木块，问：（1）三面涂色的小正浏览次数：184次悬赏分：0 | 解决时间：2011-4-21 15:50 | 提问者：dandan1998www 体有多少块？（2）两面涂色的小正方体有多少块？（3）一面涂色的小正方体有多少块？（4）六面都没涂色的小正方体有多少块？[这是今天的作业，十万火急！！！]最佳答案（1）三面涂色的小正体有1×8=8块（2）两面涂色的小正方体有2×4+1×8=16块（3）一面涂色的小正方体有2×2+1×4=8块（4）六面都没涂色的2块追问第四小题怎么列算式回答把若干个体积相等的正方体拼成一个大正方体，然后在表面涂上红色，已知一面涂色的小正方体有96个，那么两面涂色的小正方体有多少个？[ 标签：体积正方体,正方体,涂色 ]把若干个体积相等的正方体拼成一个大正方体，然后在表面涂上红色，已知一面涂色的小正方体有96个，那么两面涂色的小正方体有多少个？火凤凰回答:1人气:1解决时间:2009-10-08 20:36满意答案好评率：75%96/6=164+2=612*4=48把1立方米的正方体木块的表面涂色,切成1立方分米的小正方体,在这些小正方体中,六个面都没有涂色的有几个浏览次数：1180次悬赏分：0 | 提问时间：2008-1-22 12:44 | 提问者：690971211 | 问题为何被关闭其他回答共3条512个回答者： lihuajiea | 三级 | 2008-1-22 12:481米=10分米(10-2)*(10-2)*(10-2)=512回答者：ぁ薛越天ぁ | 二级 |333×332332333-332×333333332= (332+1)×(333333332-1000999)-332×333333332= 332×333333332 - 1000999×332 + 333333332-1000999-332×333333332= 333333332- 1000999×332 -1000999= 333333332- 1000999×333=665甲乙丙丁四数之和为110，如甲数加4，乙数减4，丙数乘2，丁数除以3，所得四数相等，求甲乙丙丁各为多少设甲x,乙y,丙z,丁n则由已知：x+4=y-4 (1)y-4=2z (2)2z=n/3 (3)x+y+z+n=110 (4)由(1)知x=y-8 由(3)知n=6z代入(4)：2y+7z=118 与(2)联立z=10所以x=16 n=60所以甲16，乙24，丙10，丁60快递费用怎么算？什么是首重？比如一个重40公斤的货物，首重是1公斤10元，然后一公斤3元，那该多少快递费用？答案快递的价钱是这样算的,首重就是第一的1KG的费用,续重就是除第一的1KG以外的KG数.你那里的总费用:续重计法(40-1)*3,再加首重10,总费用就是127.公式:总重减一公斤乘以续重的单价再加首重价等於总费用首重是什么意思？我付了运费，卖家说我付的是首重，要另加超重费，有这种事情吗？有的店家多买了还免运费来，我在网上买了很久了，还第一次听说有首重这种说法答案一公斤以内就是首重，有个定价。
超过是要加邮费的，这是快递公司规定的，都一样。
亲可能以前买的东西都没超过一公斤，所以不知道吧。
首重就好比你坐出租车啊，有个起步价，比如说起步价是5公里10元，首重就好比5公里！！！懂了吗？呵呵，不懂在联系我吧，我店铺的东西也是有首重的说法的，你可以去看看就是1公斤，算首重运费超重是要多付钱的，首重就是1公斤首重是指没有物品没有超过1公斤，就是指起步价，江浙沪5元，全国10元；如果物品超重就要续重了货运公司做超重的东西都是要收超重费的，首重只是起步价。
很正常的。
想要女式包包的话可以来小店看看。
每家快递都有首重和续重，续重就是超出2公斤以外，看你买的东西有没有超过喽！如果超过了就一定要付的。
如果卖家包邮的话你就不用付拉。
苹果重的1/2等于梨重2/3，苹果重的3/4比梨重的5/6多750千克。
苹果、梨各几何？甲乙丙丁四个数之和是100，已知甲加4、乙减4、丙乘4、丁除4后所得的结果相等，求甲、乙、丙、丁各是多少？浏览次数：762次悬赏分：0 | 解决时间：2009-10-17 20:45 | 提问者：pengtianyi520解方程最佳答案设所得的相同结果为x甲：x-4,乙：x+4,丙：x/4,丁：4xx-4+x+4+x/4+4x=10025x/4=100甲：12，乙：20，丙：4，丁：6411回答时间：2009-10-17 20:40 | 我来评论甲,乙,丙,丁和是370,甲加10,乙减20,丙乘2,丁除以2,四数相等,原来甲乙丙丁各是多少浏览次数：215次悬赏分：0 | 解决时间：2011-2-20 20:33 | 提问者：快快乐乐的小组最佳答案甲+乙+丙+丁=370甲+10=乙-202丙=丁/2乙-20=2丙丙=40丁=160乙=100甲=70对啊因为任意非零自然数都可以表示为N=4K N=4K+1 N=4K+2 N=4K+3 这四种形式中的一种，5个非零自然数必然有两个除以4的余数是一样的他们的差一定是4的倍数也可以用抽屉原理来理解把不同的余数类型当作抽斗把非零自然数当作元素元素大于抽斗数必然有两个在一个抽斗中明白没？网友的意见评价：任意自然数都可以表示为：4n,4n+1,4n+2,4n+3, 其中n为任意自然数也就是可以表示为：4n+i, 其中i=0,1,2,3任意5个自然数,都写成这样的形式后，一定有两个数的“i”是相同的，它们分别表示为：4p+i, 4q+i, 其中p,q为任意自然数则，它们的差为：(4p+i)-(4q+i)=4(p-q), 为4的倍数----thank you——2011-4-24 19:49关于《任意5个自然数中,必有两个数的差是4的倍数。
请说明理由》的相关经验分享完毕任意给出5个不同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。
你能说明其...列出5个非零的自然数，选其中两个相减，差一定是4的倍数。
为什么？理由。
你能找到两个自然数，使它们的和、差、积都不是3的倍数吗？为什么？请简...设n为自然数,试说明n+5与n-3的平方差一定是16的倍数怎样写这道题?任意4个非零自然数，其中至少有两个数，它们的差一定是3的倍数，请说明道理任意7个自然数，至少3个数两两之差是三的倍数30[ 标签：任意自然数,倍数 ]我知道这是正确的，但这样想行不行：（第一个数减去第二个数，再减第三个数）行不？两两怎麽理解？世界人皇回答:1 人气:1 解决时间:2009-05-26 20:19满意答案好评率：0%至少3个数两两之差是三的倍数意思就是：7个数中至少能找出3个数，它们互相相减后的差都是 3 的倍数，不是你那么理解的意思。