第六章 Bloch电子的准经典模型

v
v
在量子力学中，可以注意到电子波包（wave pocket）被定义成波矢 k0 附近 Dk 范围内电子
波函数叠加，波包的运动在一定范围内可以体现出电子运动的粒子性特征。根据这一特征，
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2010《固体物理基础》讲义
第六章 Bloch 电子的准经典模型
v
v
可以 Bloch 电子波包的形式体现其粒子性。设 Bloch 波包由以 k0 为中心在 Dk 范围内电子波
k0
-
Dk 2
k0
-
Dk 2
令k
=
k0
+x;w
= w0
+ çæ dw ÷ö x è dk ø0
，则
y
(x, t )
=
uk0
( x)ei(k0x-wt )
sin
Dk 2
é êx ë
Dk 2
é êx ë
-
-
çæ è
dw dk
ö ÷ ø0
t
ù ú û
çæ è
dw dk
ö ÷ ø0
t
ù ú û
由波包中心的位置 x 就可求出以 k0 为中心波包的速率 v(k0 )
unoccupied
k
v 或者说来源于未被抵消的占据态 - k 沿逆电场方向的运动，即
ò ( ) ò ( ) r
vv
vv
j=
(- e) f rv - k dk =
(+ e) f rv k dk 。
occupied
-k
unoccupied
k
因此，在考虑占据态为少数的未占据态为多数的导带底情况下，一般以占据态的电子为
( )v
散关系 e k 的基础上，引入粒子性应该是可行的。
晶体中电子——Bloch 电子在外场中的势能与晶格周期势相比是很弱的，可以近似地将 能带中的电子态看成是一个准经典粒子，然后研究它们在外场中的运动，这个近似实质上就 是基态 Bloch 电子波动性描述的基础上，又引入经典物理 Newton 力学的方式描述 Bloch 电 子 外 外场 中 的运 动规 律 ，因 此称 为 准经 典近 似 （quais-classical approximation or semi-classical model）。
rr de = -eE × vdt
( )r r r r
Ñ
v k
e
k
.dk
=
-eE × vdt
( ) h
1 h
Ñ
v k
e
rr k .dk
=
r -eE
×
vrdt,
r dk dt
=
r - eE
h
=
v Fexternal
h
，即
v Fexternal
=
h k r&
值得注意的是此处不能简单地认为
Bloch
电子的动量为
研究对象；而在考虑占据态为多数的未占据态为少数的价带顶情况，一般以未占据态为研究
v 对象，由于未占据态 k 缺失了一个电子，其对电流密度的贡献相当于一个带 (+e) 的正粒子，
( )r
v
以 占 据 态 速 率 v k ， 能 量 为 - e (k ) ， 有 效 质 量 为
v - m* (k ) 对电流密度的贡献。由于价带顶电子的有效质
v 速度，以及外场力作用下波矢 k 的变化，于是就可以考虑 Bloch 电子的输运状况。
v 以在外电场wk.baidu.com的情况为例，Bloch 电子在均匀外电场 E 中的电流密度为
ò ( ) r
j
=
-nevv
=
1
vv
(- e) f rv k dk ，
p4 3 occupied
k
r
r
由能带色散关系的时间反演对称性e (k ) = e (-k ) ，二边求导得
r
r
r
r
¶e (rk ) = ¶e (-k ) = ¶e (-k ) ¶(-k) = - ¶e (-k )
¶k
¶k
¶(-k) ¶k
¶(-k)
v(kv
)
=
-v(-
v k
)
。
v
v
r
于是在 k 态的电子和 - k 的电子速度大小相等，方向相反，它们对于电流密度 j 的贡献
相互抵消。在满带不发生电子带间跃迁的情况下，外电场对此满带电子占据的状态保持动态
v
v
平衡，总体满带状况未发生变化，占据 k 态的电子数始终等于占据 - k 态的电子数，即
r
å k = 0 ，因而电流密度为零，即满带电子不导电。当能带未满时，外电场的作用就会导
v
v
v
v
致占据 k 态的电子数始终与占据 - k 态的电子数目发生差异，造成 k 态电子与 - k 态电子对
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2010《固体物理基础》讲义
r
(rv)
¹
r hky
r
r (r )
，因此
k
k
k
k
k
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2010《固体物理基础》讲义
第六章 Bloch 电子的准经典模型
Bloch
r
r
电子的动量不是 hk ，所以 Fexternal
¹
r dp dt
r 。但 Fexternal
=h
v dk dt
的原因是
Bloch
电子总
r
的受力除外场力外，还包含晶格对它的作用力 Flattice ，所以
çæ Fx = ç Fy
÷ö ÷
çæ
m
* xx
= ç m*yx
m
* xy
m
* yy
m
* xz
m
* yz
÷öçæ ÷ç
ax ay
÷ö ÷
。
çè FZ ÷ø
ç è
m
* zx
m z* y
m*zz ÷øçè az ÷ø
( )r
至此，根据能带的色散关系e k 可以得到以有效质量 m* 描述的 Bloch 电子的速率和加
电场力为
Fx
= hkr&
= eE x ,
kr&
=
r dk dt
=
eE x h
。
r
设电子在 t = 0 的时刻，有 k (t = 0) = 0 ，且 v(t = 0) = 0 则
r k (t)
=
e h
Ext
。
r
由 此 可以 说明 Bloch 电 子 在 电 场 力的 作用 下，由 布 里渊 区中 心 k = 0 处 ，有 效 质量
r p
=
r hk
，而认为是
( ) r
Fexternal
=
r dp dt
。因为实质上是描述
Bloch
电子的波函数为y r k
r r
=
u
r
r (r
)e
vr ik .r
，动量算符为
k
( ) p)
=
-ihÑ
，则
p)y
r
r (r )
=
-ih
ur
r (r )e
ikr.rr
=
v hky
r
r (r )
-
ihe ikv .rr Ñu
v
v
函数叠加而成， Dk 的范围不超过布里渊区的线度（即 Dk << 2p / a ， l >> a ）。以一维
情况为例，在波矢
k0
附近
Dk
范围内
Bloch
电子波的幅度
ur k
( x)
»
uv k0
(x)
，波包可描述成
k0
+
Dk 2
k0
+
Dk 2
( ) ò ò y x, t = uk (x)ei(kx-wt) dk =u k0 (x) ei(kx-wt) dk ，
量一般为负，所以可把价带顶的导电行为理解为此带正
电荷具有正有效质量准粒子的行为，因此这样的一个价
带顶的导电准粒子就称为空穴（holes）。
2. 恒定电场、磁场作用下电子的运动 （研究恒定电场、磁场作用下布洛赫电子的动力学行为， 从能带论的角度讲述金属、半导体和绝缘体的区别。）
经过上面的分析，说明可以基态的能带色散关系
( )v
单电子的 Schrodinger 方程，获得了一种基态条件下的电子能带色散关系 e k 。但求出晶体
中的电子能带结构，并不能帮助我们解决晶体中电子在电场、磁场和温度场下的行为，而这 正是我们需要了解的电子电磁和导热行为。因此，自然想到的是：是否可以根据获得的电子 色散关系，来考虑电场和磁场下电子的运动规律？如果可以，又该如何进行？如果不可以， 需要修正建立的新物理模型又应该如何表述？
质量 m*
=
h
2
é ê êë
d 2e dk x 2
ù -1 ú 的等效粒子以加速度 úû
a
进行加速
运动，m* 就称为有效质量。即以有效质量 m* 考虑 Bloch 电子运动时，无需考虑晶格作用力 Flattice ，相当于晶格力 Flattice 的贡献已经被有效质量 m* 计入。
推广至三维情况，有效质量就变成了一个二阶张量， 就有
x = çæ dw ÷ö t
è dk ø0
，
v(k0
)
=
çæ è
dw dk
ö ÷ ø0
=
1 h
çæ è
dE dk
ö ÷ ø0
推广到三维情况就得
vv(kv) = 1 Ñ re (kv) hk
在考虑了 Bloch 电子的速率以后，就可继续考虑 Bloch 电子在外场力情况下运动状态的
v 变化。以 Bloch 电子在电场 E 中为例。在dt 的时间内电场力做功
-1
m*
=
h
2
é ê êë
¶ 2e ¶k x 2
ù ú úû
> 0，a =
eE x m*
> 0 ，不断沿 x 正方向不断加速。于是 Bloch 电子的速率
针对上面的这些问题，我们来进行简单的分析：首先是前面 Bloch 电子的色散关系式在
( ) 周期性的条件下获得的，即满足V
rv +
v Rn
= V (rv)；当存在电场、磁场和温度场的情况下，
必然会在势V (rv)的基础上叠加一个矢势，这个矢势不一定也满足晶格的周期性。所以，此
时的 Schrodinger 方程不再是一个周期场下的 Schrodinger 方程，先前的三个基本近似不再成 立，方程无法求解；其次，为了避免直接求解外场下的 Schrodinger 方程，是否可以三个近 似下获得的基态解作为零级近似来了解外场下电子的运动规律？从这一点来看，后者显然是 一种可行的路径。
a=
dv x dt
=
1 h
d 2e dk x dt
=
1 h
d 2e dk x 2
dk x dt
=
1 h2
é1
ê êë
h
d 2e dk x 2
ù ú Fexternal úû
，
Fexternal
=
h
2
é ê êë
d 2e dk x 2
ù ú úû
-1
a
=
m*a ,
这说明外场力 Fexternal 作用下，Bloch 电子就像一个
第六章 Bloch 电子的准经典模型
v 电流密度的贡献不能相互抵消，因而产生净电流密度 j ，于是产生了非满带电子导电。考
虑未占满态的贡献有
ò ( ) ( ) r
vv
j+
unoccupied
-e
frv k
k
dk
=0，
v 发现电流实质上来源于未被抵消的未占据态 k
ò ( ) r
vv
j=
(+ e) f r v k dk ，
2010《固体物理基础》讲义
第六章 Bloch 电子的准经典模型
第六章 Bloch 电子的准经典模型
晶体中传播的电子，由于平移对称性的存在，其波函数满足 Bloch 形式，是调幅的平 面波，不同格点处的波函数具有一个由位置差决定的相位因子，因此晶体中的电子经常也被 称为 Bloch 电子。在上一个章节中，在绝热近似、单电子近似和周期场近似的假设下，借助 Bloch 波函数的形式，以典型的近自由电子近似和紧束缚二种方法讲述了如何求解周期势下
r
Bloch 电子的作用时，还必须考虑晶格的作用力 Flattice ，这造成了极大的方便。那能不能引
入一个新的等效粒子，使描述 Bloch 电子运动规律时只需考虑外场力，而无需考虑晶格的相
互作用？
对一维的
Bloch
电子速率进行分析，有 v x
=
1 h
de dx
，那么 Bloch 电子的加速度为
于是就得
v e (k ) 获得描述 Bloch电子粒子性的速率和有效质量，进而可以 Newton定律来描述晶体 Bloch
电子在外场中的运动规律。
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2010《固体物理基础》讲义
第六章 Bloch 电子的准经典模型
首先来计算 Bloch 电子在沿 x 负方向均匀外电场- Ex 中的运动状况。Bloch 电子受到的
-1
mij *
=
é h2 ê
d 2e
êë dki dk j
ù ú úû
, (i, j = x, y, z)
{ } r
外场力 Fexternal 与有效质量 mij * i, j = x, y, z 的关
系为
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第六章 Bloch 电子的准经典模型
r Fexternal
1. 电子运动的半经典模型 （将自由电子理论中的准经典模型推广为半经典模型，引入有效质量、空穴等重要概念。）
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第六章 Bloch 电子的准经典模型
从过去的金属自由电子气体模型的一系列结果，可以看出以粒子模型来考虑晶体中 Bloch 电 子在 电场 、磁 场和温 度场 下的 运动 是很方 便的 。因 此， 考虑 能不能 在基 态 Schrodinger 方程的基础上引入粒子模型？虽然 Schrodinger 方程解出波函数和对应的本征 能级，似乎在很大程度上强调的是电子的波动性，但量子力学注重的是电子的波粒二象性， 即在考虑波动性的基础上，并不排斥粒子性。所以在前面基态 Schrodinger 方程获得能带色
( ) v
F
=
r Fexternal
+
r Flattice
=
r dp dt
=
d
r hk
r + plattice dt
=
h kr& +
r dplattice
，
dt
r
这就是说明 hk 不是 Bloch 电子的总动量，而且 Bloch 电子不是一个孤立体系，而是一
r
个 Bloch 电子和晶格（包含原子实和其它等效电子）的体系，这样在处理外场力 Fexternal 对