常微分方程拉氏变换法求解常微分方程

0
F(n)(s)(1)n tnestf(t)dt
0
F(n)(s)(1)nL[tnf(t)]
§3 拉普拉斯逆变换 已知象函数，求原函数
L1[F(s)]f(t)
也具有线性性质
L 1[c1F 1(s)c2F 2(s)] c 1 L 1 [F 1 (s) ]c 2 L 1 [F 2 (s)]
由线性性质可得
x ( 0 ) x 0 , x ( 0 ) x 0 , x ( 0 ) x 0 , , x ( n 1 ) ( 0 ) x 0 ( n 1 )
a i 为常数
令 X(s)L[x(t)] est x(t)dt
0
L [x(t) ]sX (s)x0
L [ x ( n ) ( t ) s n ] X ( s ) s n 1 x 0 s n 2 x 0 s 0 ( n 2 ) x x 0 ( n 1 )
如果 f (t ) 的拉普拉斯变换 F (s) 可分解为
F ( s ) F 1 ( s ) F n ( s )
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi(t)] 则 L 1 [ F ( s ) ] L 1 [ F 1 ( s ) ] L 1 [ F n ( s )
dt
解 令 L[x(t)]X(s) L(dx)L[x]L[e2t] dt
sX (s)x(0)X(s) 1 s2
X(s) 1 1 1 (s1)s(2) s2 s1
x (t) L 1 [X (s ) ]L 1 [1] L 1 [1] e 2 t e t s 2 s 1
例 7 求 x 3 x 3 x x 1 满足初始条件
(RseRze)
常用函数拉氏变换表
利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得 结果
§2 拉普拉斯变换的基本性质
1 线性性质
如果 f (t),g(t) 是原函数, 和
是任意两个常数(可以是复数)，则有
L [f( t ) g ( t ) ] L [ f( t ) ] L [ g ( t )]
2
2
作业 求下列初值问题的解：
x 9 x 6 e 3 t,x (0 ) x (0 ) 0
谢谢！
解 F(s)s11(s12)2
f (t)L1[s1 1]L1[(s12)2] et te2t (t0)
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
步骤：
原函数
微分方程的解
取拉氏逆变换
象函数
解代数方程
微分方程
取拉氏变换
象函数的代 数方程
4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 )
x ( n ) a 1 x ( n 1 ) a n 1 x a n x f( t )
T
若
est f（t）dt lim est f（t）dt T
0
0
对于已给的S（一般为复数）存在，则称
wk.baidu.com
F（s） e st f（ t） d t Res
0
为函数 f (t) 的拉普拉斯变换，记为 L[f(t)]F(s)
f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象
x (0 ) x (0 ) x (0 ) 0的特解
解 令 X(s)L[x(t)]
s3X (s) 3 s2X (s) 3 sX (s)X (s)1
X(s)
1 s(s1)3
s
X(s)11 1 1 s s1 (s1)2 (s1)3
x ( t) 1 e t t e t 1 t2 e t 1 1 ( t2 2 t 2 ) e t
( s n a 1 s n 1 a n 1 s a n ) X ( s ) F ( s ) B ( s )
X(s)F(s)B(s) A(s)
x(t)L1[X(s) ]L1[F(s)B(s)] A (s)
用拉氏变换求微分方程实例
例5 求 dx x e2t 满足初始条件 x(0) 0的特解
2 原函数的微分性质
如果 f(t)f,(t) ,,f(n )(t) 都是原函数，则有
L[f(t)]s[Lf(t) ] f(0)
或
L[f (n)(t)] snL[f (t)] sn1 f (0)
s n 2 f(0 ) f(n 1 )(0 )
3 象函数的微分性质
F(s)L[f(t)]
F(s) test f (t)dt
拉普拉斯变换
含义：
简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换
用途与优点
对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再 将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果， 往往比直接在实数域计算容易得多。
应用：
求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合
函数.
拉普拉斯变换法存在性
假若函数 f (t ) 在 t 0 的每一个有限区间上
是分段连续的, 并且 常数 M0 0
使对于所有的 t 0 都有 f(t) Met 成立
则当 Res 时, f (t ) 的Laplace Transform
是存在的。
拉普拉斯变换实例
例1 f (t) 1 (t0)
拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：
对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解
问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程
1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换)
对于在 [0,) 上有定义的函数 f (t)
e st 1dt
lim[1est
T
]
s T
0
0
lim[1esT1] 1
T s
ss
当 Res0
即 L[1]1 (Rse0) s
例2 f (t) ezt ( z是给定的实数或复数 )
L[ezt ] e st e zt dt
0
e(sz)tdt
1
(Rsez()0)
s z
0
L[ezt ] 1 s z
f1(t) fn(t)
拉普拉斯逆变换实例
例3 求
F(s)s2
s3 的Laplace 3s2
反变换
解 F(s)s2 s 3s32(ss 1)s(32) 2 1 s1 s2
f(t)L 1 [F (s) ]L 1 [2] L 1 [1] s 1 s 2
2et e2t t 0
例4 求 F(s) s2 5ss 的Laplace 反变换 (s1)(s2)2
x ( n ) a 1 x ( n 1 ) a n 1 x a n x f( t )
给(4.32)两端施行Laplace Transform
snX(s)sn1x0sn2x0 sx0(n2) x0(n1) a1[sn1X(s)sn2x0sn3x0 x0(n2)] an1[sX(s)x0]anX(s)F(s)