常用逻辑用语(学生用)

常用逻辑用语

一、知识梳理

1、四种命题的真假关系

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：

⑴原命题为真，它的逆命题不一定为真；

例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的逆命题“若ab=0，

则a=0”是假命题.

⑵原命题为真，它的否命题不一定为真；

例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a0，

则ab0”是假命题.

⑶原命题为真，它的逆否命题一定为真.

例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab0，则a0”是真命题.

结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等）.

2、充分条件、必要条件

①若，但，则是的充分但不必要条件；

②若，但，则是的必要但不充分条件；

③若，且，则是的充要条件；

④若，且，则是的充要条件；

⑤若，且，则是的既不充分也不必要条件．

3、简单的逻辑联接词

逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。

（2）复合命题的真假判断：

P Q 非p p或q p且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

4、全称量词与存在量词

全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

（2）全称量词与存在量词的否定。

关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词

都是不都是至少一

个一个都

没有

至多一

个

至少两

个

属于不属于

（3）常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系（如下表）：

正面词语等于（＝）大于（＞）小于（＜）有是都是全是

否定词语不等于（）不大于（）不小于（）无不是不都是不全是

正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有个或

否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些

至少有个

且

二、典型误区

例1判断下列语句是否是命题？

(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？

(2)对(x－1)2≤0，有2x－1＜0.

误区二：混淆逻辑联结“或”与日常生活中的“或”

例2若命题p：方程(x＋2)(x－1)＝0的根是－2，命题q：方程(x＋2)(x－1)＝0的根是1，则命题“方程(x＋2)(x－1)＝0的根是－2或1”是__________________(填“真”或“假”)命题.

误区三：忽视对关键词“且”、“或”的否定

例5写出命题“若(x－1)2＋(y－3)2＝0，则x＝1，且y＝3”的逆否命题.

误区四：忽视对全称量词与特称量词的否定

例10 已知命题p：对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0必有实数根，写出⌝p.

误区五：忽视命题中的“隐性量词”的挖掘

例10 写出命题p：“菱形的对角线相等”的⌝p形式.

三、题型归纳

一、题型一：命题、真命题、假命题的判断

1．例1：下列语句是命题的是( )

A．梯形是四边形B．作直线AB

C．x是整数D．今天会下雪吗

2、例2．下列说法正确的是( )

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”

B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题

D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

变式练习：下列命题是真命题的是( )

A．{∅}是空集 B.是无限集

C．π是有理数 D．x2－5x＝0的根是自然数

二、题型二：复合命题的结构

例3将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)已知x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

变式练习：指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：

(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；

(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；

(3)相等的两个角的正切值相等．

三、题型三：命题真假判断中求参数范围

例4、已知p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．

四、题型四：四种命题的等价关系及真假判断

例5．命题“若△ABC 有一内角为3π

，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题 B ．与原命题的否命题同为假命题 C ．与原命题的逆否命题同为假命题 D ．与原命题同为真命题 例6．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )

A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数

B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数

C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数

D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 例7．若“x >y ，则x 2

>y 2

”的逆否命题是( )

A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2

B ．若x >y ，则x 2

C ．若x 2≤y 2，则x ≤y

D ．若x

例8．给出下列命题：

①命题“若b 2

－4ac <0，则方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则a 3>b 3

>0”的逆否命题；

④“若m >1，则mx 2

－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的序号为________．

变式练习．若命题p 的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则p 是r 的( ) A ．逆命题 B ．逆否命题 C ．否命题 D ．以上判断都不对

五、题型五：问题的逆否证法

例9．判断命题“若m >0，则方程x 2

＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假．