北师大版九年级下册数学《切线长定理》圆精品PPT教学课件 (3)
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北师大版九年级下册数学课件3.7切线长定理(共21张PPT)
A
O
D
P
图10B
• 3、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面 上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻 度尺，按图中所示的方法得到相关数据，
进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，
则锅盖的半径长是多少？
•
O B
AP
四、梳理小结，盘点收获
1、你的学习心得、体会是什么？ 2、你有哪些好的经验可推广？ 3、你还存在哪些困难、疑问？
二、 合作学习，探究新知
线段PA或线段PB
二、 合作学习，探究新知
二、 合作学习，探O究新知
O
O
（1）若PB=12，PO=13，则AO=
而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。
（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示图，8那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？
（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （3） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.
二、 合作学习，探究新知
四、梳理小结，盘点收获
A
而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。
线段PA或线段PB
画一画：画圆O,在圆外取一点P，过点P作圆O的切线PA,切点为A。
例题1：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径。
（3） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.
线段PA或线段PB （3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以 上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？ 为什么？
O
D
P
图10B
• 3、为了测量一个圆形锅盖的半径，某同学 采用了如下办法：将锅盖平放在水平桌面 上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻 度尺，按图中所示的方法得到相关数据，
进而可求得锅盖的半径，若测得PA=5cm，
则锅盖的半径长是多少？
•
O B
AP
四、梳理小结，盘点收获
1、你的学习心得、体会是什么？ 2、你有哪些好的经验可推广？ 3、你还存在哪些困难、疑问？
二、 合作学习，探究新知
线段PA或线段PB
二、 合作学习，探究新知
二、 合作学习，探O究新知
O
O
（1）若PB=12，PO=13，则AO=
而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。
（4）既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示图，8那么这两条线段之间一定存在着某种关系，是什么关系呢？
（1）已知：如图1，PC和⊙O相切于点A ，点P到⊙O的切线长可以用哪一条线段的长来表示？ （3） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.
二、 合作学习，探究新知
四、梳理小结，盘点收获
A
而切线长是线段，指过圆外一点做圆的切线，该点到切点的距离。
线段PA或线段PB
画一画：画圆O,在圆外取一点P，过点P作圆O的切线PA,切点为A。
例题1：已知如图，Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O 的半径。
（3） 如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？.
线段PA或线段PB （3）如图2，思考：点P到⊙O的切线长可以用三条或三条以 上不同的线段的长来表示吗？这样的线段最多可以有几条？ 为什么？
《切线长定理》圆PPT-北师大版九年级数学下册
新知探究
若延长PO交⊙O于点C, 连接CA, CB, 你又能得出什么新的结论?
并给出证明．
CA=CB
证明:∵PA, PB是⊙O的切线，点A, B是切点,
B
∴PA = PB , ∠OPA=∠OPB．
．
P
又∵ PC=PC．
C
O
∴△PCA≌△PCB , ∴BC=AC．
A
新知探究
想一想 ：
反思:在解决有关圆的切线长问题时, A
2．这样的切线能画出几条?
A
3．如果∠P=50°， 求∠AOB的度 数．
O 130° B
50°P
新课导入
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢?
A 作法:
1、连结OP,
2、以OP为直径作圆, 交圆O 于点
OO ·
P
A, B,
3、作直线PA, PB,
B
则PA, PB就是所求作的圆O的切
新知探究
切线长概念
解 ： 设AE=x, BF=y, CD=z，
A
x+y=15,
x=9,
则 y+z=8, 解得 y=6,
x+z=11,
z=2,
答:AE ，CD ，BF的长分别是9，2，6．
xx
F
y By
I． E
z
Dz C
课堂小结
切线的6个性质: （1）切线和圆只有一个公共点． （2）切线和圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于过切点的半径． （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点． （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． （6）切线长定理．
解 : 设AF=x,则AE=x , ∴CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x． 由CD+BD=BC可得 13-x+9-x=14, 解得x=4． ∴ AF=4 cm， BD=5 cm， CE=9 cm．
北师大版九年级数学下第三章圆3.7切线长定理教学课件(共17张PPT)
1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。 比较圆的内接四边形的性质：
P·
·O
B （2）（2012•杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
3、希望同学们在以后的学习中要勇于探索和实践，养成科学的学习态度。
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，
A．50 B．52 C．54 D．56
（3）（2013.广州）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE
分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的
周长为（A
）
A 16cm
B 14cm
C12cm
AD
C
P
D 8cm
BE
拓展提高
三、如图，在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它
A
O
p
B
作业
一：P96 1、2、3
二补充：
已知：如图，PA ，PB分别切⊙O于A、B，AC为直径。
求证： BAC1APB
2
A
P
O
B
C
PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
（2）圆的切线
过切点的半径。
1 同时还要注意总结作辅助线的方法，和解题时要注意运用“数形结合”的思想方法。
O PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
2 圆的内接四边形：角的关系
p
（2）请根据你的观察尝试总结PA和PB、
A．50 B．52 C．54 D．56
的关系。 1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。 A 答：切线长AF＝4厘米，BD=9厘米，CE＝5厘米。
P·
·O
B （2）（2012•杭州）如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（ ）
A．50 B．52 C．54 D．56
3、希望同学们在以后的学习中要勇于探索和实践，养成科学的学习态度。
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，
A．50 B．52 C．54 D．56
（3）（2013.广州）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE
分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的
周长为（A
）
A 16cm
B 14cm
C12cm
AD
C
P
D 8cm
BE
拓展提高
三、如图，在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它
A
O
p
B
作业
一：P96 1、2、3
二补充：
已知：如图，PA ，PB分别切⊙O于A、B，AC为直径。
求证： BAC1APB
2
A
P
O
B
C
PA、PB分别切⊙O于A、B,连结PO
（2）圆的切线
过切点的半径。
1 同时还要注意总结作辅助线的方法，和解题时要注意运用“数形结合”的思想方法。
O PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于⊙O于点D、E，交AB于C。
2 圆的内接四边形：角的关系
p
（2）请根据你的观察尝试总结PA和PB、
A．50 B．52 C．54 D．56
的关系。 1、本节学习了切线长的定义，注意和切线比较。 A 答：切线长AF＝4厘米，BD=9厘米，CE＝5厘米。
3-7 切线长定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
已知： PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
求证连接OA 、OB 、OP
P
∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
O
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° A
∵ OA=OB，OP=OP
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB
用文字语言 叙述结论
例题&解析
练习&巩固
1.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,
则∠BOC=
.
A
O
B
C
练习&巩固
2.如图，PA，PB 是⊙ O 的切线，A，B 为切点，若∠ AOB=128 °， 则∠ P 的度数为( ) A.32° B.52° C.64° D.72°
练习&巩固
A 26 D
r OF
AC = 10，BC = 24，
B
∴AB AC2 BC2 102 242 26.
∵ ⊙O 分别与 AB，BC，AC 相切于点 D，E，F，
EC
∴ OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，BD = BE，AD = AF，CE = CF.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 OECF 为正方形. ∴ CE = CF = r. ∴ BE = 24 – r，AF = 10 – r. ∴ AB = BD + AD = BE + AF = 34 – 2r. 而 AB = 26， ∴ 34 – 2r = 26. ∴ r = 4， 即 ⊙O 的半径为 4.
3.△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知
AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是
北师大版九年级数学下册第三章《 切线长定理》优课件(共9张PPT)
7切线长定理
探究：
如图，纸上有一⊙o，PA 为⊙0的一条切线，沿着 直线PO将纸对折，设圆上 与点A重合的点为B，这时， OB是⊙o的一条半径吗？ PB是⊙o的切线吗？利用 图形的轴对称性说明图中 PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考：由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
例：已知：在△ABC中，BC=14，AC=13， AB=9，它的内切圆分别和BC、AC、AB
A
x
切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
F
. I
ByD
E
z
C
分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
如图PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB。
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切 线的夹角。
探究：
如图，纸上有一⊙o，PA 为⊙0的一条切线，沿着 直线PO将纸对折，设圆上 与点A重合的点为B，这时， OB是⊙o的一条半径吗？ PB是⊙o的切线吗？利用 图形的轴对称性说明图中 PA与PB，∠APO与∠BPO 有什么关系？
切线长的定义
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段长叫做这点到圆的切线长。
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
如图：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点。 B
思考：由切线长定理
O。 C
P
可以得出哪些结论？
A
例：已知：在△ABC中，BC=14，AC=13， AB=9，它的内切圆分别和BC、AC、AB
A
x
切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
F
. I
ByD
E
z
C
分析：设 AF=x，BD=y，CE=z
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月4日星期一2022/4/42022/4/42022/4/4 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/42022/4/42022/4/44/4/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/42022/4/4April 4, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
如图PA、PB是⊙O的两条切线， ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB。
定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切 线的夹角。
初中数学北师大九年级下册第三章圆-切线长定理及三角形内切圆PPT
r内＝
5
12 2
13＝
4 2
＝2
即：它的内切圆半径为2
《导学案》P100 例2
（1）目标锁定：证1＝2
证： E是ABC的内心
3
EA、EB分别为CAB、CBA的角平分线
12
又 CA＝CB，CAB＝CBA
1＝2， AE＝BE
（2）锁定目标：证CAB∽DEB
证：连接BD 3＝1 2＝21＝CAB
又 C＝D，CAB∽DEB
1．切线长定理：
A
（1）切线长的定义：
┓
O
过圆外一点画圆的切线，这一点和切点
之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
.◆注意：“切线长”是专用名词，是线段
B
的长，而不要从字面上理解成“切线的长
”猜想：从圆外一点向圆画两条切线，两条切线长有什么关系？
1
2P
连接OA、OB、OP， PA、PB与 O相切，OAP＝OBP＝90 ，
E F
C
AB＝AC DB＝DE EF＝CF
结论：
ADF的周长＝AB AC＝2AB
《导学案》P93 例1 10
57°
114° 57° 66°
57°或123°
《导学案》P95 第4题
219° ∠PAB＝（180°-102°）/2＝78°/2＝39°
180°+39°＝219°
39° 102° 39°
又 BE＝AE， AB AE AC DE
AB BE AC DE
《导学案》P100 例3
（1）证：连接BI， I是ABC的内心
1＝2，3＝4 6＝2 3，6＝1 4
又 1＝5，6＝4 5＝DBI DB＝DI
（2） 5＝1＝2，D＝D
2020年北师大版九年级数学下册课件：3.7 切线长定理 (共24张PPT)
能力提升
9．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝2，以 BC 为直径在矩
形内作半圆，过点 A 作半圆的切线 AE，切点为点 E，则 sin∠CBE＝
(D )
A．
6 3
B．23
C．13
D．
10 10
• 10．如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分
别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连
接OD、OC．下列结论：①∠DOC＝90°；
第三章 圆
*7 切线长定理(一课时)
以练助学
名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
名师点睛
• 知识点 切线长和切线长定理 • (1)过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间
的线段长叫做这点到圆的切线长．
• (2)切线长定理：过圆外一点画圆的两条切线， 它们的切线长相等．
• 核心提示：(1)从圆外任意一点都可以引圆的 两条切线，过圆上一点只能引圆的一条切 线．(2)切线长定理主要用于证明线段相等、 角相等及垂直关系．
________ cm2.
• 14．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切 ⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝ 60°.求：
• (1)PA的长； • (2)∠COD的度数．
解：(1)∵CA、CE 都是⊙O 的切线，∴CA＝CE.同理，DE＝DB，PA＝PB，∴ 三角形 PCD 的周长＝PD＋CD＋PC＝PD＋DE＋CE＋PC＝PD＋PC＋CA＋BD＝PA ＋PB＝2PA＝12，∴PA＝6. (2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°，∴∠ACD ＋∠CDB＝360°－120°＝240°.∵CA、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE＝∠OCA＝12∠ ACD．同理，∠ODE＝12∠CDB，∴∠OCE＋∠ODE＝12(∠ACD＋∠CDB)＝120°， ∴∠COD＝180－120°＝60°．
北师大版九级数学下册课件：3.7 切线长定理 (共27张PPT)
如果AP=4, ∠APB= 40 ° ,则∠APO=20 ° ,PB= 4 . A P
O B
第1题
初中数学
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
A
O
B
C
初中数学
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
C
D
B
初中数学
A
F
由 BD+CD=BC，可得
E O
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
C
D
B
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
初中数学
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
初中数学
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
F
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
E
O
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
初中数学
练一练
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
O B
第1题
初中数学
2.如图，已知点O是△ABC 的内心，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= 110 °.
A
O
B
C
初中数学
3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点 C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是 ___2_0____度．
C
D
B
初中数学
A
F
由 BD+CD=BC，可得
E O
(13-x)+(9-x)=14， 解得 x=4.
C
D
B
∴ AF=4cm，BD=9cm，CE=5cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等 线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
初中数学
例3 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,
初中数学
例2 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切
于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，
求AF、BD、CE的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
A
解:设AF=xcm，则AE=xcm.
F
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
E
O
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
PA、PB分别切☉O于A、B
PA = PB ∠OPA=∠OPB
注意 切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新
的方法.
初中数学
练一练
1. PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= 5 ;
北师大版九年级数学下册切线长定理课件
∠P= 50 °，点C是⊙O上异于A、B的点，则
∠ACB= 65 °或115 °.
P
O
B
五、当堂达标检测
6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
A
D
P
O
C
E
B
二、自主合作，探究新知
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
P
同理可得∠COE= ∠COB.
7.如图，在△ABC 中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ ABC的内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC
∠OCB
= ∠ABC
= ∠ACB
= ×50º=
25º,
= ×75º=37.5º.
在△OBC 中，∠BOC =180º- ∠OBC - ∠OCB
=180º- 25º- 37.5º= 117.5º.
四、课堂小结
切线长
切线长定理
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切
点之间的线段的长叫作切线长．
过圆外一点画圆的两条切线，它们的
∠ACB= 65 °或115 °.
P
O
B
五、当堂达标检测
6.△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且
AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
A
D
P
O
C
E
B
二、自主合作，探究新知
又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，
∴DC=DA.同理可得CE=EB.
l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14.
∵OA=OC，OD=OD，
∴△AOD≌△COD，
∴∠DOC=∠DOA= ∠AOC.
P
同理可得∠COE= ∠COB.
7.如图，在△ABC 中，∠ABC=50º，∠ACB=75º,点O是△ ABC的内心，
求∠BOC的度数.
解：∵点O是△ABC 的内心,
∴∠OBC
∠OCB
= ∠ABC
= ∠ACB
= ×50º=
25º,
= ×75º=37.5º.
在△OBC 中，∠BOC =180º- ∠OBC - ∠OCB
=180º- 25º- 37.5º= 117.5º.
四、课堂小结
切线长
切线长定理
切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点和切
点之间的线段的长叫作切线长．
过圆外一点画圆的两条切线，它们的
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（4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB
A
C
EO
D
P
B
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15
新知探究
例1 : △ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且 AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，BD，CE的长.
解 : 设AF=x,则AE=x ,
∴CD=CE=AC-AE=13-x，
2.这样的切线能画出几条？
A
3.如果∠P=50°,求 ∠AOB的度数.
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O 130°
B
3
50°P
新课导入
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢？ 作法：
1、连结OP， 2、以OP为直径作圆，交圆O 于点
A，B， 3、作直线PA，PB， 则PA，PB就是所求作的圆O的切线.
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A
OO ·
P
B
4
新知探究
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之
A
间的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线与切线长是一回事吗？
O·
P
它们有什么区别与联系呢？
B
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5
新知探究
比一比： 切线与切线长
A 切线和切线长是两个不同的概念：
1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
O
P
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点
3.7 切线长定理
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1
教学目标
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合 运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
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2
新课导入
情境引入
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线.
BD=BF=AB-AF=9-x.
由CD+BD=BC可得
13-x+9-x=14，
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm, CE=9 cm.
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16
新知探究
例2 : 如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O分别 相切于点L，M，N，P， 求证：AD+BC=AB+CD.
.
P
又∵ PC=PC.
C
O
∴△PCA≌△PCB ，∴BC=AC.
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A
12
新知探究
想一想 : 反思：在解决有关圆的切线长问题时， 往往需要我们构建基本图形. （1）分别连接圆心和切点 （2）连接两切点 （3）连接圆心和圆外一点
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A
. O
P
B
13
新知探究
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交
A
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
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8
新知探究
切线长定理
过圆外一点，所画的圆的两条切线的长相等.
几何语言:
A
∵ PA，PB分别切⊙O于A，B， ∴ PA=PB , OP平分∠APB.
解 : 设AE=x，BF=y，CD=z,
A
x+y=15,
x=9,
则 y+z=8, 解得 y=6,
x+z=11,
z=2,
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
xx
F
y By
E I.
z
Dz C
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19
课堂小结
切线的6个性质：
（1）切线和圆只有一个公共点.
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径.
4 x
x 2
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解 : 设OA=xcm.
在Rt△OAP中，OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2）cm， PA=4cm,
由勾股定理，得PA2+OA2=OP2， 即42+x2=(x+2)2, 整理，得x=3. 所以，半径OA的长为3cm.
18
新知探究
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和BC,AC,AB分别 相切于点D,E,F . 求AE,CD,BF的长.
B
分别是圆外一点和切点，可以度量.
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6
新知探究
折一折:
思考：已知⊙O切线PA，
PB，A，B为切点，把圆
沿着直线OP对折,你能发
现什么?
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PA=PB
A O
B ∠OPA=∠OPB
P
7
新知探究
你能试着证明一下这两个结论吗？ PA=PB ∠OPA=∠OPB
B
P O
证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
证明：由切线长定理得 AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP, ∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC
O P
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
AL
C M B
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新知探究
【跟踪训练】
1.如果PA=4cm,PD=2cm,求半径OA的长.
⊙O于点D，E，交AB于点C.
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角 ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
A
C
EO
D
P
B
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新知探究
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP
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O
P
B
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新知探究
反思：切线长定理为证明线段 相等、角相等提供新的方法
PA =PB ∠OPA=∠OPB
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10
新知探究
试一试 : B
若连接两切点A，B，AB交OP于点M.你
又能得出什么新的结论?并给出证明. OP垂直平分AB
OM
P
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
A
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
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新知探究
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什么新的结论?
并给出证明.
CA=CB
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
B
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
（3）切线垂直于过切点的半径.
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点.
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
（6）切线长定理.
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课堂小测
1．如图，PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么
∠AOB等于（ C ）
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 150°
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课堂小测
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D
A B
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课堂小测
3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B，Q为⊙O上一点，过Q 点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F点.已知PA=12cm，求△PEF的周长.