高中数学抽象函数专题含问题详解-教师版

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高中数学抽象函数专题含答案-教师版

抽象函数周期性的探究(教师版)抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难 ,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法 .此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(2)函数y=f(x)满足f(x+a)=1f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.(3)函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x) 是周期函数.(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.(2)若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3 (1)，其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→ C (2001年全国高考第22题第二问)∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴ f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R上的偶函数T由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则f( )=02基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值解：方法一∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)1，故f (x + 2) =：f (x + 4) = = 1f(x)类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x[2,0]时， f(x)=－2x+1，则当x [4,6]时求f(x)的解析式解：当x [0,2]时x [2,0] ∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当x [4,6]时 4 + x [0,2] ∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x－7又函数f(x)是定义在R上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为4故f(-4+x)=f(x)∴当x [4,6]时求f(x)=2x－73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=1f(x)，f(999+x)=f(999－x)，试刘云汉判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=一1f(x)，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ：f(x)是偶函数 4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，且当x =[一2,0]时， f(x)是减函数，求证当x =[4,6]时f(x)为增函数解：设4 共 x < x 共 6 则一2 共一x + 4 < 一x + 4 共 01 2 2 1∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ f (一x + 4) > f (一x + 4)2 1又函数f(x)是定义在R 上的偶函数， f(x)= f(4-x)，类比命题3 (1)知函数f(x)的周期为 4故f(x+4)=f(x ) ∴ f (一x ) > f (一x ) ∵ f(-x)=f(x) ∴ f (x ) > f (x )2 1 2 1故当 x =[4,6]时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈ [5，9]且f(x) 在[5，9]上单调.求a 的值.解：∵ f(x)=-f(6-x ) ∴f(x)关于(3，0)对称∵ f(x)= f(2-x ) ∴ f(x)关于x=1对称∴根据命题2 (4)得8是f(x)的一个周期 ∴f(2000)= f(0) 又∵f(a) =-f (2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =6 5.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R 上的函数， f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2 (2)可知f(x)的一个周期是10故f(x+10)=f(x ) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2人200010=401个根.两类易混淆的函数问题：对称性与周期性已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形已知函数 y = f (x ) (x ∈R)满足 f (5+x ) = f (5－x )，问： y = f (x )是周期函数吗它的图像是不是轴对称图形这两个问题的已知条件形似而质异。

3.5.5 抽象函数-(必修第一册) (教师版)

抽象函数1概念我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2 常见抽象函数模型【题型一】求值问题【典题1】已知函数f(x)是定义在(0 ,+∞)上的函数，且对任意x ,y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，求f(4) ,f(8).【解析】∵对任意x，y∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1，∴f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2)=2，f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=3．【点拨】①对于抽象函数求值问题，可大胆取特殊值求解；②抽象函数f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数f(x)=log a x型，由f(2)=1可知f(x)=log2x，则易得f(4)=2，f(8)=3，作选填题可取.又如f(x+y)=f(x)f(y)且f(1)=2，求f(3)；由f(x+y)= f(x)f(y)可令f(x)=a x，又因f(1)=2，得f(x)=2x，故易得f(3)=8.故要对常见抽象函数对应的函数模型比较熟悉.【典题2】对任意实数x ,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0，则f(2001)=_______.【解析】令x =y =0，得f(0)=0，令x =n ,y =1，得f (n +1)=f (n )+2[f (1)]2令n =1，得f (1)=f (0)+2f [(1)]2=2f [(1)]2，∴f (1)=12，∴f (n +1)−f (n )=12， ∴f (n )=n 2，即f (2001)=20012.【点拨】 ① 常常需要赋予一些特殊值(如取x =0等)或特殊关系(如取y =x ， y =−x 等)，要观察等式方程的特点寻找目标，也要大胆下笔多些尝试找些规律；② 比如本题中所求的f(2001)中自变量的取值2001较大，往往要从周期性或者函数的解析式的方向入手.【题型二】单调性问题设函数y =f(x)是定义在R +上的函数，并且满足下面三个条件①对任意正数x ,y ，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x >1时，f(x)<0；③f (3)=−1．(1)求f(1) ,f(19)的值；(2)证明f(x)在R +是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2−x)<2成立，求x 的取值范围．【解析】(1)令x =y =1，∴f (1)=f (1)+f (1)，∴f (1)=0，令x =y =3，∴f (9)=f (3)+f (3)=−1−1=−2，且f(9)+f(19)=f(1)=0 ,得f(19)=2．(2) (利用函数单调性的定义证明)取x 2>x 1>0，则x 2x 1>1 ∴由②得 f(x2x 1)<0 ∵f(xy)=f(x)+f(y)∴f (x 2)−f(x 1)=f(x2x 1)<0∴f(x)在R +上为减函数．(3)由条件①得f[x(2−x)]<2 , (凑项f (m )=2，再利用单调性求解)由f (19)=2得f [x (2−x )]<f (19)，又∵f(x)在R +上为减函数，∴x(2−x)>19又∵x >0，2−x >0，(注意函数定义域)解得x 的范围是(1−2√23 ,1+2√23)．【点拨】① 抽象函数的单调性常用单调性定义证明◆ 任取x 1 ,x 2∈D ，且x 1<x 2；◆ 作差f(x 1)－f(x 2)(根据题目给出的抽象函数特征来“构造”出f(x 1)－f(x 2))此步有时也会用作商法：判断f (x 1)f (x 2)与1的大小； ◆ 变形；◆ 定号(即判断差f (x 1)−f(x 2)的正负)；◆ 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性)．② 在解不等式时，往往需要利用函数的单调性求解.③ 抽象函数f (xy )=f (x )+f (y )符合对数函数f (x )=log a x 型，由f (3)=−1可知f (x )=log 13x ，作选填题可用.【题型三】奇偶性问题定义在R 上的增函数y =f(x)对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)，则(1)求f(0)；(2)证明：f(x)为奇函数；(3)若f(k ∙3x )+f(3x −9x −2)<0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】(1)在f(x +y)=f(x)+f(y)中，令x =y =0可得，f(0)=f(0)+f(0)，则f(0)=0，(2) (定义法证明函数奇偶性)令y =−x ，得f(0)=f(x)+f(−x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(−x)，即可证得f(x)为奇函数；(3)因为f(x)在R上是增函数，又由(2)知f(x)是奇函数，f(k∙3x)<−f(3x−9x−2)=f(−3x+9x+2)，即有k∙3x<−3x+9x+2，得k<3x+23x−1，(分离参数法)又有3x+23x−1≥2√2−1(当x=log3√2时取到等号)，即3x+23x−1有最小值2√2−1，所以要使f(k∙3x)+f(3x−9x－2)<0恒成立，只要使k<2√2−1即可，故k的取值范围是(−∞ ,2√2−1)．【点拨】②判断或证明抽象函数的奇偶性，从奇偶性的定义入手，判断f(−x)与f(x) 的关系.②抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)是正比例函数f(x)=kx(x≠0)型，由f(x)是增函数，可知k>0，选填题可用.【题型四】周期性问题奇函数f (x)定义在R上，且对常数T>0，恒有f (x + T )= f (x)，则在区间[0 ,2T]上，方程f (x)= 0根的个数最小值为.【解析】∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)=0，又∵f(x+T)=f(x)，即周期为T，∴f(2T)=f(T)=f(0)=0，又由f(−T2)=f(−T2+T)=f(T2)，且f(−T2)=−f(T2)∴f(T2)=0，∴f(3T2)=f(T2)=0，故在区间[0 ,2T]，方程f(x)=0根有x=0，T2，T，3T2，2T，个数最小值是5个，【点拨】抽象函数的周期性常与奇偶性，对称性放在一起，记住有关周期性和对称性的结论，做题时常画图像更容易找到思路.巩固练习1 (★★) f(x)的定义域为(0 ,+∞)，对任意正实数x ,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2，则f(√2)= .【答案】 12【解析】取x =y =2，得f(4)=f(2)+f(2)⇔ f(2)=1；取x =y =√2，得f(2)=f(√2)+f(√2) ⇔ f(√2)=12；2(★★★)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，则f(2019)= ．【答案】 1±√22【解析】根据题意，f(x)为偶函数且f(x)满足(f (x +2)−1)2=2f(x)−f 2(x)，变形可得[f (x +2)−1]2+[f 2(x)−2f(x)+1]=1，即[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，令x =−1可得[f (−1)−1]2+[f (1)−1]2=1，即2[f (1)−1]2=1，解可得：f(1)=f(−1)=1±√22，又由f(x)满足[f (x +2)−1]2+[f (x )−1]2=1，则有[f (x +4)−1]2+[f (x +2)−1]2=1，联立可得：[f (x +4)−1]2=[f (x )−1]2，变形可得：f(x +4)=f(x)或f(x +4)+f(x)=2，若f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(−1+505×4)=f(−1)=1±√22，此时有f(2019)=1±√22，若f(x +4)+f(x)=2，即f(x +4)=2−f(x)，则有f(x +8)=2−f(x +4)=f(x)，则有f(2019)=f(3+2016)=f(3)，则f(3)=2−f(−1)=1±√22，综合可得：f(2019)=1±√22，故答案为：1±√22．3(★★) f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间[−6 ,6]内解的个数的最小值是.【答案】13【解析】∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x+3)=f(x)，且f(－x)=－f(x)，则f(0)=0，则f(3)=f(6)=f(−6)=f(0)=0，f(−3)=−f(3)=0，∵f(2)=0，∴f(5)=f(−1)=f(−4)=0，f(−5)=0，f(1)=0，f(4)=0，f(－2)=0，方程的解可能为0，3，6，－6，－3，2，5，−5，−2，－1，1，4，−4共13个，故选：D．4 (★★★)已知定义在(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)上的函数f(x)满足①对任意x ,y∈(−∞ ,0)∪(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)；②当x>1时，f(x)>0且f(2)=1；(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[−4 ,0)∪(0 ,−4]上的最大值；(3)求不等式f(3x−2)+f(x)≥4的解集．【答案】(1)偶函数(2)2(3)x≤−2或x≥8 3【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)；令x=y=a，则f(a2)=f(a)+f(a)=2f(a)，令x=y=−a，则f(a2)=f(−a)+f(−a)=2f(−a)，即f(a)=f(−a)，故函数f(x)是偶函数，(2)任取0<x1<x2，则x2－x1>0，∵f(xy)=f(x)+f(y)；∴f(xy)－f(x)=f(y)；∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)∵x2x1>1，x>1时，f(x)>0，∴f(x2)－f(x1)=f(x2x1)>0，得到f(x1)<f(x2)，故函数f(x)在区间(0，－4]上的最大值为f(4)=f(2)+f(2)=2，又由函数f(x)是偶函数，∴函数f(x)在区间[－4，0)上的最大值也为2，故函数f(x)在区间[－4，0)∪(0，－4]上的最大值为2；(3)由(2)得f(4)=2，则f(16)=f(6)+f(6)=4，故不等式f(3x －2)+f(x)≥4可化为：f[(3x －2)x]≥f(16)，由(2)中结论可得：|(3x －2)x|≥16，即(3x －2)x ≥16或(3x －2)x ≤－16，解得x ≤－2或x ≥835 (★★★) 已知定义在(0 ,+∞)的函数f(x)，对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且当0<x <1时，f(x)>0．(1)证明：当x >1时，f(x)<0；(2)判断函数f(x)的单调性并加以证明；(3)如果对任意的x 、y ∈(0 ,+∞)，f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 略 (2)减函数，函数单调性定义证明 (3) (0 ,2]【解析】(1)∵f(xy)=f(x)+f(y)，令x =y =1，则f(1)=f(1)+f(1)，所以f(1)=0，再令y =1x ，则f(1)=f(x)+f(1x )=0，当x >1时，0<1x <1．∵f(1x )>0．∴f(x)=－f(1x )<0(2)任取x 1，x 2∈(0，+∞)，且x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)=f(x2x 1) ∵x 1<x 2，所以x 2x 1>1，则f(x2x 1)<0，f(x 2)<f(x 1)， ∴f(x)在(0，+∞)上是减函数，(3)f(x 2+y 2)≤f(a)+f(xy)恒成立，∴f(x 2+y 2)≤f(axy)恒成立，∴x 2+y 2≥axy ，∴0<a ≤x 2+y 2xy =y x +x y ≥2，当且仅当x =y 取等号，∴实数a 的取值范围(0，2]6 (★★★) 定义在R 上的单调增函数f(x)满足：对任意x ,y ∈R 都有f(x +y)=f(x)+f(y)成立(1)求f(0)的值；(2)求证：f(x)为奇函数；(3)若f(1+2x )+f(t ∙3x )>0对x ∈(−∞ ,1]恒成立，求t 的取值范围．【答案】 (1) 0 (2)略，定义证明 (3) t >−1【解析】 (1)令x =y =0，则f(0)=f(0)+f(0)，∴f(0)=0．(2)令y =－x ，则f(0)=f(x)+f(－x)，∵f(0)=0，∴f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)∵f(t •3x )>－f(1+2x )，∴f(t •3x )>f(－1－2x )，∴t •3x >－1－2x∴t >−(13)x −(23)x 恒成立，而−(13)x −(23)x 单调递增，∴−(13)x −(23)x ≤−1从而t >－1．挑战学霸已知f (x )是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x ,y ∈R ，f (x +y )=f (x )+f (y )， f(xy)=f(x)f(y)．(1)求f(x)的零点；(2)判断f(x)的奇偶性和单调性，并说明理由；(3)①当x ∈Z 时，求f(x)的解析式；②当x ∈R 时，求f(x)的解析式.【解析】(1)记f(x +y)=f(x)+f(y) ①，f(xy)=f(x)f(y) ②在①中取y =0得f(0)=0.若存在x ≠0，使得f(x)=0，则对任意y ∈R ，f(y)=f(x ⋅y x )=f(x)f(y x )=0，与f(x)不恒为0矛盾．所以x ≠0时，f(x)≠0，所以函数的零点是0.(2)在①中取y =−x 得f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f (−x )=−f(x)，所以f(x)是奇函数．x ,y ∈R ， y >x 时，f(y)−f(x)=f(y)+f(−x)=f(y −x)=(f(√y −x))2>0，可得f (y )>f(x)．所以函数f(x)在R 上递增．(3)①由f(xy)=f(x)f(y)中取x ,y =1得f (1)=f 2(1)．因为f(1)≠0，所以f(1)=1，对任意正整数n ，由①得f(n)=f(1)+⋯+f(1)⏟ n 个=n ×1=n ，f (−n )=−f (n )=−n ，又因为f(0)=0，所以x ∈N 时，f(x)=x ；对任意有理数m n (m ∈N ∗，n ∈N ∗)，由①， f(m)=f(n ⋅m n )=f(m n )+⋯+f(m n )=nf(m n)⏟ n 个，所以f(m n )=f(m)n =m n，即对一切x ∈Z ,f(x)=x ． ②若存在x ∈R ，使得f(x)≠x ，不妨设f(x)>x (否则以−f(−x)代替f(x)，−x 代替x 即可)，则存在有理数α，使得x <α<f(x)(例如可取n =[1f(x)−x ]+1，m =[nx]+1，α=m n)． x <α但f(x)>α=f(α)，与f(x)的递增性矛盾．所以x ∈R 时，f(x)=x ．。

专题(9)构造法解决抽象函数问题教师版

高三第二轮专题复习专题（9）——构造法解决抽象函数问题在导数及其应用的客观题中，有一个热点考查点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数()f x 及其导数满足的条件，需要就此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造的函数的单调性，应用单调性解决问题的题目。

一、典例探究类型1、只含()f x 型例1、定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，且对任意x R ∈都有1()2f x '<，则不等式221()2x f x +>的解集为（）.A.(1,2)B.(0,1)C.(1,)+∞D.(1,1)-答案：D.说明：利用[()]()f x kx b f x k ''++=+，构造函数()()g x f x kx b =++，利用导数，判断函数()g x 的单调性，在利用单调性比较函数值的大小，解抽象函数的不等式.类型2、含()()f x f x λ'±（λ为常数）型例2、定义在R 上的函数()f x 满足()2()0f x f x '+>恒成立，且1(2)f e=，则不等式2()0x x e f x e ->的解集为_______________.答案：(2,)+∞.x λ变式：已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x R ∈，均有()()f x f x '>，则有（）.A.20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<>B. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -<<C. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f ->>D. 20152015(2015)(0),(2015)(0)e f f f e f -><答案：D.说明：由于0xe >所以[()][()()]x x ef x f x f x e ''=+，其符号由()()f x f x '+的符号确定； ()()()[]x xf x f x f x e e '-'=，其符号由()()f x f x '-的符号确定.含有()()f x f x '±类的问题可以考虑构造以上两个函数.类型3、含()()xf x nf x '±型例3、设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，且(2)0f -=.当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）.A.(,2)(0,2)-∞- B.(2,0)(2,)-+∞ C.(,2)(2,0)-∞-- D.(0,2)(2,)+∞说明：由于2()()()[()]()(),[]f x xf x f x xf x f x xf x x x'-'''=+=，在含有()()xf x f x '±类的问题中，可以考虑构造以上函数. 变式：设函数()f x 在R 上的导函数为()f x '，且22()()f x x f x x '+>.下面的不等式在R 上恒成立的是（）.A.()0f x >B. ()0f x <C. ()f x x >D. ()f x x <答案：A.说明：对于()()0(0)xf x nf x x '->≠型，构造函数()()n f x F x x =，则1()()()n xf x nf x F x x +'-'=，需要注意对1n x +的符号进行讨论.特别地，当1n =时，()()0xf x f x '->，构造()()f x F x x =，那么2()()()0xf x f x F x x '-'=>. 类型4、含()()tan f x f x x '±型例4、已知函数()f x 的导函数为()f x '，当(0,)2x π∈时，()sin2()(1cos2)f x x f x x '<+成立，下列不等式一定成立的是（）.()()43ππ<()()43ππ>()()46ππ<()()46ππ>说明：由于当(0,)2x π∈时，[sin ()]cos ()sin ()x f x x f x x f x ''=+，其符号与()()tan f x f x x '+相同，2()()sin ()cos []sin sin f x f x x f x x x x'-'=，其符号与()tan ()f x x f x '-相同.在含有()()tan f x f x x '±的问题中，可以考虑构造函数()()()sin ,()cos ,,sin cos f x f x f x x f x x x x . 类型5、利用单调性构造函数例5、已知函数21()ln ,()2f x xg x x ==，若120x x >>，试问：(,1)m m Z m ∈≤取何值时，总有 121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立.答案：1m =.二、课后巩固1、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)0f -=.当0x >时，2(1)()2()0x f x xf x '+-<，则不等式()0f x >的解集为_____________.2、已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为_____________.答案：(0,)+∞.3、已知偶函数()f x 是定义在{|0}x R x ∈≠上的可导函数，其导函数为()f x '.当0x <时，()()f x f x x '>恒成立.设1m >，记4(1)4,2(2(1)()11mf m m a b c m f m m +===+++，则,,a b c 的大小关系为（）. A.a b c << B.a b c >> C.b a c << D.b a c >>答案：A.。

压轴题型03 抽象函数问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练

压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。

○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。

3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。

第6讲利用函数性质解决抽象函数不等式(解析版)

本题属于能力题，中等难度.在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.
7.【2018年普通高校招生全国卷一】已知函数，任取两个不相等的正数，，总有
，对于任意的，总有，若有两个不同的零点，则正实数的取值范围为__________．
3．已知函数的定义域为，，是偶函数，任意满足，则不等式的解集为（）
A． B．
C． D．
【来源】（全国1卷）2021届高三5月卫冕联考数学（理）试题
【答案】D
【分析】
由是偶函数，得函数图像关于直线对称，结合单调性求解不等式即可得到结果.
【详解】
因为是偶函数，所以的图像关于直线对称，
【详解】
令，，
则，
因为，，所以，所以在上为单调递减函数，
当时，由可知，不满足；
当时，，所以可化为，即，
因为在上为单调递减函数，所以，
所以不等式的解集为 .
故选：A
【变式演练3】定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数．
（1）求的值；
（2）求证：；
【详解】
令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数，根据已知条件判断的奇偶性和单调性，利用单调性解不等式.
【答案】A

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

高中数学专题：抽象函数常见题型解法

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

二、求值问题例 3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

三、值域问题例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在Rx ∈0，使得)(0=x f ，则)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题例5. 设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。

抽象函数-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技能总结【1 】因为函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号()f x 的问题觉得艰苦,学好这部分常识,能加深学生对函数概念的懂得,更好地控制函数的性质,造就灵巧性;进步解题才能,优化学生数学思维本质.现将罕有解法及意义总结如下：一.求表达式：1.换元法：即用中央变量暗示原自变量x 的代数式,从而求出()f x ,这也是证某些公式或等式经常运用的办法,此法解造就学生的灵巧性及变形才能.例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x .解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑正当：在已知(())()fg xh x =的前提下,把()h x 并凑成以()g u 暗示的代数式,再运用代换即可求()f x .此解法简练,还能进一步温习代换法.例2：已知3311()f x x x x+=+,求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-,(|x |≥1)3.待定系数法：先肯定函数类型,设定函数关系式,再由已知前提,定出关系式中的未知系数.例3．已知()f x 二次实函数,且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++,则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ =22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.运用函数性质法:重要运用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数,∴()f x 的界说域关于原点对称,故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-,∵()f x 为奇函数,∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩ 例5．一已知()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,且有()f x +1()1g x x =-, 求()f x ,()g x . 解：∵()f x 为偶函数,()g x 为奇函数,∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,无妨用-x 代换()f x +()g x =11x -………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5.赋值法：给自变量取特别值,从而发明纪律,求出()f x 的表达式例6：设()f x 的界说域为天然数集,且知足前提(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解：∵()f x 的界说域为N,取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加,有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈二.运用函数性质,解()f x 的有关问题 1.断定函数的奇偶性：例7 已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x .y 都成立,且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数.证实：令x =0, 则已知等式变成()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数.例8：奇函数()f x 在界说域（-1,1）内递减,求知足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值规模.解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1,1）内递减,∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.解不定式的有关标题例9：假如()f x =2ax bx c ++对随意率性的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对随意率性t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴又∵其启齿向上∴f (2)最小,f (1)=f (3)∵在［2,＋∞)上,()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)五类抽象函数解法 1.线性函数型抽象函数线性函数型抽象函数,是由线性函数抽象而得的函数.例1.已知函数f （x ）对随意率性实数x,y,均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞0,f （－1）＝－2,求f （x ）在区间[－2,1]上的值域. 剖析：由题设可知,函数f （x ）是的抽象函数,是以求函数f （x ）的值域,症结在于研讨它的单调性. 解：设,∵当,∴,∵,∴,即,∴f （x ）为增函数.在前提中,令y ＝－x,则,再令x ＝y ＝0,则f （0）＝2 f （0）,∴f （0）＝0,故f （－x ）＝f （x ）,f （x ）为奇函数,∴f （1）＝－f （－1）＝2,又f （－2）＝2 f （－1）＝－4, ∴f （x ）的值域为［－4,2］. 例2.已知函数f （x ）对随意率性,知足前提f （x ）＋f （y ）＝2 + f （x ＋y ）,且当x ＞0时,f （x ）＞2,f （3）＝5,求不等式的解.剖析：由题设前提可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数,且f（x）为单调增函数,假如这一猜测准确,也就可以脱去不等式中的函数符号,从而可求得不等式的解. 解：设,∵当,∴,则, 即,∴f （x）为单调增函数. ∵, 又∵f（3）＝5,∴f（1）＝3.∴,∴,即,解得不等式的解为－1 < a < 3.2.指数函数型抽象函数例3.设函数f（x）的界说域是（－∞,＋∞）,知足前提：消失,使得,对任何x和y,成立.求：（1）f（0）; （2）对随意率性值x,断定f（x）值的正负.剖析：由题设可猜测f（x）是指数函数的抽象函数,从而猜测f（0）＝1且f（x）＞0.解：（1）令y＝0代入,则,∴.若f（x）＝0,则对随意率性,有,这与题设抵触,∴f（x）≠0,∴f （0）＝1.（2）令y＝x≠0,则,又由（1）知f（x）≠0,∴f（2x）＞0,即f（x）＞0,故对随意率性x,f（x）＞0恒成立.例4.是否消失函数f（x）,使下列三个前提：①f（x）＞0,x∈N;②;③f （2）＝4.同时成立？若消失,求出f（x）的解析式,如不消失,解释来由.剖析：由题设可猜测消失,又由f（2）＝4可得a＝2．故猜测消失函数,用数学归纳法证实如下：（1）x＝1时,∵,又∵x∈N时,f（x）＞0,∴,结论准确.（2）假设时有,则x＝k＋1时,,∴x＝k＋1时,结论准确.综上所述,x为一切天然数时.3.对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数,即由对数函数抽象而得到的函数.例5.设f（x）是界说在（0,＋∞）上的单调增函数,知足,求：（1）f（1）;（2）若f（x）＋f（x－8）≤2,求x的取值规模.剖析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数,f（1）＝0,f（9）＝2.解：（1）∵,∴f（1）＝0.（2）,从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9）,即,∵f（x）是（0,＋∞）上的增函数,故,解之得：8＜x≤9.例6.设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.假如f（ab）＝f（a）＋f（b）,那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否准确,试解释来由.剖析: 由题设前提可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x）的反函数是y＝g（x）,∴y＝g （x）必为指数函数的抽象函数,于是猜测g（a＋b）＝g（a）·g（b）准确.解：设f（a）＝m,f（b）＝n,因为g（x）是f（x）的反函数,∴g（m）＝a,g（n）＝b,从而,∴g（m）·g（n）＝g（m＋n）,以a.b分离代替上式中的m.n即得g（a＋b）＝g（a）·g（b）.4.三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数.例7.己知函数f（x）的界说域关于原点对称,且知足以下三前提：①当是界说域中的数时,有;②f（a）＝－1（a＞0,a是界说域中的一个数）;③当0＜x＜2a时,f（x）＜0.试问：（1）f（x）的奇偶性若何？解释来由.（2）在（0,4a）上,f（x）的单调性若何？解释来由.剖析: 由题设知f（x）是的抽象函数,从而由及题设前提猜测：f（x）是奇函数且在（0,4a）上是增函数（这里把a算作进行猜测）.解：（1）∵f（x）的界说域关于原点对称,且是界说域中的数时有,∴在界说域中.∵,∴f（x）是奇函数.（2）设0＜x1＜x2＜2a,则0＜x2－x1＜2a,∵在（0,2a）上f（x）＜0,∴f（x1）,f（x2）,f（x2－x1）均小于零,进而知中的,于是f（x1）＜f（x2）,∴在（0,2a）上f（x）是增函数.又,∵f（a）＝－1,∴,∴f（2a）＝0,设2a＜x ＜4a,则0＜x－2a＜2a,,于是f（x）＞0,即在（2a,4a）上f（x）＞0.设2a＜x1＜x2＜4a,则0＜x2－x1＜2a,从而知f（x1）,f（x2）均大于零.f（x2－x1）＜0,∵,∴,即f（x1）＜f（x2）,即f（x）在（2a,4a）上也是增函数.综上所述,f（x）在（0,4a）上是增函数.5.幂函数型抽象函数幂函数型抽象函数,即由幂函数抽象而得到的函数.例8.已知函数f（x）对随意率性实数x.y都有f（xy）＝f（x）·f（y）,且f（－1）＝1,f（27）＝9,当时,.（1）断定f（x）的奇偶性;（2）断定f（x）在［0,＋∞）上的单调性,并给出证实;（3）若,求a的取值规模.剖析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数,从而可猜测f（x）是偶函数,且在［0,＋∞）上是增函数.解：（1）令y＝－1,则f（－x）＝f（x）·f（－1）,∵f（－1）＝1,∴f（－x）＝f（x）,f（x）为偶函数.（2）设,∴,,∵时,,∴,∴f（x1）＜f（x2）,故f（x）在0,＋∞）上是增函数.（3）∵f（27）＝9,又,∴,∴,∵,∴,∵,∴,又,故.抽象函数罕有题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些表现函数特点的式子的一类函数.因为抽象函数表示情势的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数罕有题型及解法评析如下：一.界说域问题例1. 已知函数的界说域是［1,2］,求f(x)的界说域.解：的界说域是［1,2］,是指,所以中的知足从而函数f(x)的界说域是［1,4］评析：一般地,已知函数的界说域是A,求f(x)的界说域问题,相当于已知中x的取值规模为A,据此求的值域问题.例2. 已知函数的界说域是,求函数的界说域.解：的界说域是,意思是凡被f感化的对象都在中,由此可得所以函数的界说域是评析：这类问题的一般情势是：已知函数f(x)的界说域是A,求函数的界说域.准确懂得函数符号及其界说域的寄义是求解此类问题的症结.这类问题本质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值规模.例2和例1情势上正相反.二.求值问题例3. 已知界说域为的函数f(x),同时知足下列前提：①;②,求f(3),f(9)的值.解：取,得因为,所以又取得评析：经由过程不雅察已知与未知的接洽,奇妙地赋值,取,如许便把已知前提与欲求的f(3)沟通了起来.赋值法是解此类问题的经常运用技能.三.值域问题例4. 设函数f(x)界说于实数集上,对于随意率性实数x.y,总成立,且消失,使得,求函数的值域.解：令,得,即有或.若,则,对随意率性均成立,这与消失实数,使得成立抵触,故,必有.因为对随意率性均成立,是以,对随意率性,有下面来证实,对随意率性设消失,使得,则这与上面已证的抵触,是以,对随意率性所以评析：在处理抽象函数的问题时,往往须要对某些变量进行恰当的赋值,这是一般向特别转化的须要手腕.四.解析式问题例5. 设对知足的所有实数x,函数知足,求f(x)的解析式.解：在中以代换个中x,得：再在(1)中以代换x,得化简得：评析：假如把x和分离看作两个变量,如何实现由两个变量向一个变量的转化是解题症结.平日情形下,给某些变量恰当赋值,使之在关系中“消掉”,进而保存一个变量,是实现这种转化的重要计谋.五.单调性问题例6. 设f(x)界说于实数集上,当时,,且对于随意率性实数x.y,有,求证：在R上为增函数.证实：在中取,得若,令,则,与抵触所以,即有当时,;当时,而所以又当时,所以对随意率性,恒有设,则所以所以在R上为增函数.评析：一般地,抽象函数所知足的关系式,应看作给定的运算轨则,则变量的赋值或变量及数值的分化与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的成果相接洽关系.六.奇偶性问题例7. 已知函数对随意率性不等于零的实数都有,试断定函数f(x)的奇偶性.解：取得：,所以又取得：,所以再取则,即因为为非零函数,所认为偶函数.七.对称性问题例8. 已知函数知足,求的值.解：已知式即在对称关系式中取,所以函数的图象关于点（0,2002）对称.依据原函数与其反函数的关系,知函数的图象关于点（2002,0）对称.所以将上式中的x用代换,得评析：这是统一个函数图象关于点成中间对称问题,在解题中运用了下述命题：设a.b 均为常数,函数对一切实数x 都知足,则函数的图象关于点（a,b ）成中间对称图形. 八.收集分解问题例9. 界说在R 上的函数f(x)知足：对随意率性实数m,n,总有,且当x>0时,0<f(x)<1.（1）断定f(x)的单调性; （2）设, ,若,试肯定a 的取值规模.解：（1）在中,令,得,因为,所以.在中,令因为当时,所以当时而所以又当x=0时,,所以,综上可知,对于随意率性,均有.设,则所以所以在R 上为减函数.（2）因为函数y=f(x)在R 上为减函数,所以即有又,依据函数的单调性,有由,所以直线与圆面无公共点.是以有,解得.评析：（1）要评论辩论函数的单调性必定涉及到两个问题：一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论.这是解题的症结性步调,完成这些要在抽象函数式中进行.由特别到一般的解题思惟,联想类比思维都有助于问题的思虑息争决.界说在R 上的函数f x ()知足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求f ()2000的值. 解：由f x f x ()()220-+-=,以t x =-2代入,有f t f t ()()-=,∴f x ()为奇函数且有f ()00=又由f x f x ()[()]+=--44=-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()()()()()84 故f x ()是周期为8的周期函数,∴==f f ()()200000例2 已知函数f x ()对随意率性实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时,f x f ()()>-=-012，,求f x ()在[]-21，上的值域.解：设x x 12< 且x x R 12，∈, 则x x 210->,由前提当x >0时,f x ()>0 ∴->f x x ()210 又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111 ∴f x ()为增函数,令y x =-,则f f x f x ()()()0=+- 又令x y ==0 得f ()00=∴-=-f x f x ()(),故f x ()为奇函数,∴=-=f f ()()112,f f ()()-=-=-2214 ∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二. 求参数规模这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中,症结是运用函数的奇偶性和它在界说域内的增减性,去掉落“f ”符号,转化为代数不等式组求解,但要特别留意函数界说域的感化.例3 已知f x ()是界说在（-11，）上的偶函数,且在（0,1）上为增函数,知足f a f a ()()---<2402,试肯定a 的取值规模.解： f x ()是偶函数,且在（0,1）上是增函数,∴f x ()在()-10，上是减函数,由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a . （1）当a =2时,f a f a f ()()()-=-=2402,不等式不成立.（2）当32<<a 时,f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时,f a f a ()()-<-242=-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述,所求a 的取值规模是()()3225，， .例4 已知f x ()是界说在(]-∞，1上的减函数,若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立,求实数m 的取值规模.解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔m xm m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立,∴-≤--≥⎧⎨⎪⎩⎪∴-≤≤-m m m m 223115421102为所求。

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抽象函数周期性的探究（教师版）抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题.利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.（2）函数y=f(x)满足f(x+a)=1()f x（3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.(1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.(2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.(4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数.（1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a 是它的一个周期.（2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a 是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数.条件B: f(x)关于x=a对称条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期.结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个.证明: ①已知A、B→C （2001年全国高考第22题第二问）∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x)又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期②已知A、C→B∵定义在R上的函数f(x)是一个偶函数∴f(-x)=f(x)又∵2a是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x+2a) ∴f(x)关于x=a对称③已知C、B→A∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a)又∵2a 是f(x)一个周期∴f(x)=f(x+2a)∴f(-x)=f(x) ∴f(x)是R 上的偶函数由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T 的奇函数，则f(2T )=0 基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值解：方法一 ∵f(x)=－f(x+4) ∴f(x+8) =－f(x+4) =f(x)∴8是f(x)的一个周期∴f(2007)= f(251×8-1)=f(-1)=－f(1)=－1方法二∵f(x)=－f(x+4)，f(x)是奇函数∴f(-x)=f(x+4) ∴f(x)关于x=2对称又∵f(x)是奇函数∴8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同.例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值解：由条件知f(x)≠1，故1()(2)1()f x f x f x ++=- 1(2)1(4)1(2)()f x f x f x f x ++∴+==--+ 类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)=－2x+1，则当[]4,6x ∈时求f(x)的解析式解：当[]0,2x ∈时[2,0]x -∈-∴f(－x)=2x+1∵f(x)是偶函数∴f(－x)=f(x) ∴f(x)=2x+1当[]4,6x ∈时4[0,2]x -+∈∴f(－4+x)=2(－4+x)+1=2x －7又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(-4+x)=f(x)∴当[]4,6x ∈时求f(x)=2x －73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=1()f x -，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.解：由f(x+999)=1()f x -，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998即f(x+1998)=f(x)；由f(999+x)=f(999－x)知f(x)关于x=999对称，即f(－x)=f(1998+x)故f(x)=f(－x) ∴f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]2,0x ∈-时，f(x)是减函数，求证当[]4,6x ∈时f(x)为增函数解：设1246x x ≤<≤则212440x x -≤-+<-+≤∵ f(x)在[-2，0]上是减函数∴ 21(4)(4)f x f x -+>-+又函数f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4 故f(x+4)=f(x) ∴21()()f x f x ->- ∵ f(-x)=f(x) ∴ 21()()f x f x >故当[]4,6x ∈时f(x)为增函数例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.解：∵f(x)=-f(6-x) ∴f(x)关于（3，0）对称∵f(x)= f(2-x) ∴f(x)关于x=1对称∴根据命题2（4）得8是f(x)的一个周期∴f(2000)= f(0)又∵f(a) =-f(2000) ∴f(a)=-f(0)又∵f(x) =-f(6-x) ∴f(0)=-f(6) ∴f(a)=f(6)∵a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调∴a =65.确定方程根的个数例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+22000=401个根.10两类易混淆的函数问题：对称性与周期性云汉例1. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？例2. 已知函数y= f（x）（x∈R）满足f（5+x）= f（5－x），问：y= f（x）是周期函数吗？它的图像是不是轴对称图形？这两个问题的已知条件形似而质异。

有的同学往往把它们混为一谈，从而得出错误的结论。

为了准确地回答上述问题，必须掌握以下基本定理。

定理1：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （5+x ）= f （5－x ），那么y = f （x ）的图像关于直线x a =对称。

证明：设点()P x y 00，是y = f （x ）的图像上任一点，点P 关于直线x =a 的对称点为Q ，易知，点Q 的坐标为()200a x y -，。

因为点()P x y 00，在y = f （x ）的图像上，所以f x y ()00=于是()()[]()[]()f a x f a a x f a a x f x y 200000-=+-=--==所以点()Q a x y 200-，也在y = f （x ）的图像上。

由P 点的任意性知，y = f （x ）的图像关于直线x =a 对称。

定理2：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （a +x ）= f （b －x ），那么y = f （x ）的图像关于直线x a b =+2的对称。

证明：（略）（证明同定理1）定理3：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足f （x +a ）= f （x －a ），那么y = f （x ）是以2a 为周期的周期函数。

证明：令x a x -='，则x x a x a x a =++=+''，2代入已知条件()()f x a f x a +=-得：()()f x a f x ''++2根据周期函数的定义知，y = f （x ）是以2a 为周期的周期函数。

定理4：如果函数y = f （x ）（x ∈R ）满足()()f x a f x b +=-，那么y = f （x ）是以a b +为周期的周期函数。

证明：（略）（证法同定理3）由以上的定理可知，在已知条件()()f a x f b x +=-或()()f x a f x b +=-中，等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为x a b =+2。

等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）是周期函数，其周期T=a +b 。

容易证明：定理1、2、3、4的逆命题也是成立的。

牢牢掌握以上规律，则例1、例2迎刃而解。

例1中，()()5510++-=x x ，因此f （x ）的图像关于直线x =5对称。