周期信号的分解与合成

数为： εN（ t）
= f（ t）
－ fN （ t） ，均方误差为： EN = ε2N （ t）
=
1 T
T
∫2
－
T 2
ε2N （
t）
dt，根据三角函数的正交性化简得：
EN
=
ε2N （
t）
= f2 （ t）
－［a20 +
1 2
n=N
∑（
n =1
a2n
+ b2n ）
］。
特别地，当 T = 4， = 2，E = 1，均方误差为 E1 =
T
2 T
2
f（ t） cosnΩtdt，bn
=
2 T
T
∫2
－
T 2
f（
t）
sinnΩtdt，式中
Ω
=
2π T
称
为
基
波
角
频
率，a0
பைடு நூலகம்
为其直
流分量，an 和 bn 分别为其余弦分量和正弦分量的幅
度。（ 1） 式是周期信号 f（ t） 在（
－
T 2
，2T
）
区间的三角
收稿日期： 2011-06-29 基金项目： 咸阳师范学院校级项目（ 200802005） ； 咸阳师范学院校级精品课程项目（ 200812006） 作者简介： 郗艳华（ 1974-），女，陕西蒲城人，咸阳师范学院物理与电子工程学院讲师，硕士，研究方向： 信号处理与电子技术。
XI Yan-hua
（ School of Physics and Electronics Engineering，Xianyang Normal University，Xianyang 712000，China）
Abstract： Decomposition and composition of periodic signal is analyzed with trigonometric form of Fourier series in signal and linear systems，and square wave’s decomposition and composition is simulated with Matlab． The experiment result shows that the square wave can be decomposed into the summation of DC component and different frequency cosine components （ or sine components） ． The sum of the DC signal and limited harmonic components under certain conditions can be approximated the square wave． The error and Gibbs phenomenon are analyzed in the process of square wave’s composition． The principle of periodic signal’s decomposition and composition can be comprehended with software simulation，it is very important to understand the concept of the signal spectrum and the system’s spectrum analysis． Key words： periodic signal； signal’s decomposition and composition； Gibbs phenomenon
根据三角形式傅里叶级数［1-2］的理论： 任何周期
函数只要满足 Dirichlet 条件就可以分解为直流、无限
个正弦和余弦函数的代数和。即：
∞
∞
f（ t）
=
a0
+
∑a
n =1
n
cos（
nΩt）
+
∑
n =1
bn
sin（
nΩt）
（ 1）
式中 a0
=
1 T
∫ －
T
2 T
2
f（ t） dt，an
=
2 T
∫ －
（ 1） 周期信号分解。 先对方波信号分解进行仿真，其波形如图 2 所 示，可以看出该方波分解为直流项和奇次谐波的余弦 项，偶次谐波项为零； 由奇次谐波余弦信号幅度可看 出，分解后其奇次谐波的余弦项幅度与理论值完全 一样，而且随着分解谐波次数的增加，分解信号的幅 度减小。图 3 给出方波信号的幅度谱和相位谱。可 见方波信号频谱具有周期信号频谱所具有的离散性、 谐波性和收敛性特点。
ε21 （ t） = 0． 5474，E3 = ε23 （ t） = 0． 5259，E5 = ε25 （ t） = 0． 5168，E7 = ε27 （ t） = 0． 5127。
从理论计算可以看出，当合成谐波次数越多时，
其均方误差将越小。
3 信号分解与合成的仿真
图 1 周期矩形脉冲信号
a0
=
1 T
+ b2n ，φn
=
－ arctan（
bn an
）
，A0
= a0 ，an
= AncosnΩt，bn
=
－AnsinnΩt，其中 A0 为周期信号中所包含的直流分量，
An 是 n 次谐波的振幅，φn 是其初相位。
可见，满足 Dirichlet 条件的周期信号可以分解为
直流信号和许多余弦（ 或正弦） 信号之和。如果把它
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计算机与现代化
2011 年第 9 期
值出现在原方波的间断点处。 （ 3） 吉布斯现象及均方误差。
图 3 方波信号频谱图
（ 2） 周期信号的合成。
图 4 方波信号前 k 次谐波合成及其误差波形
利用前面信号分解后的谐波信号合成方波信号。 图 4 为利用方波信号的前 3、5、7、9 次谐波合成得到 的方波信号，并且给出其误差波形。可以看出当用有 限项级数合成方波信号时有以下几个特点：
由数据可以看出，随着合成谐波的次数逐渐增 大，合成波形过冲量逐渐趋近于 8． 95% ，而均方误差 趋近于 0． 5。
4 结束语
符合狄利赫利条件的周期信号可以分解成直流
分量、不同频率正弦分量和余弦分量的叠加。满足一
定关系的直流分量和一系列的谐波分量之和可以近
似表示周期信号。本文运用 Matlab 软件分析了方波
们对 nw 的关系绘成图，便可清楚而直观地看出各频
率分量及其相位的相对大小，它就是周期信号的幅度
谱和相位谱。以周期矩形脉冲信号（ 图 1） 为例来分
析周期信号的分解与合成。
N
数 f（ t） ，则有限项傅立叶级数为： fN （ t）
=
a0
+ ∑（ n =1
an cos
（ nΩt） + bnsin（ nΩt） ） ，用 fN （ t） 近似 f（ t） 引起的误差函
0引言
1 周期信号的分解
在《信号与 系 统 》课 程 中，信 号 分 解 与 合 成 的 思 想几乎贯穿了整个教材内容。如在连续系统的时域 分析中，连续信号分解为许多冲激信号的线性组合， 系统的响应可看作不同强度冲激信号产生的响应的 合成。同样连续系统的频域分析中，系统响应可看作 不同幅度虚指数信号产生的响应的合成。这种思想 是信号处理和系统分析与设计的重要基础。周期信 号分解与合成是信号和系统分析由时域向变换域转 换的转折点，它对于信号频谱特性的理解及系统频域 分析等都有着非常重要的作用。本文对三角形式傅 里叶级数中 周 期 信 号 的 分 解 与 合 成 进 行 介 绍，运 用 Matlab 软件对方波信号分解与合成进行仿真分析。
关键词： 周期信号； 分解与合成； 吉布斯现象
中图分类号： TN702
文献标识码： A
doi： 10． 3969 / j． issn． 1006-2475． 2011． 09． 042
Periodic Signal’s Decomposition and Composition Based on Matlab
2 周期信号的合成
按照三角形式的傅里叶级数理论，满足一定关系 的直流信号和无限多项正弦（ 或余弦） 信号才能逼近 原信号。但在实际中只可能用有限次谐波合成来逼 近原周期信号，这必将引起误差。
在实际应用中经常采用有限项级数来代替无限 级数。若取傅里叶级数的前 2N + 1 项来逼近周期函
图 2 方波信号的分解
T
∫2
－
T 2
f（
t）
dt
=
E T
，
an =
2 T
∫ －
T
2 T
2
f（
t）
cosnΩtdt
=
2nπEsin
nπ T
，
bn
=
2 T
T
∫2
－
T 2
f（
t）
sinnΩtdt = 0
周期矩形脉冲信号的傅里叶级数展开式为：
f（ t）
=
E T
+
2nπEn∑∞= 1sin（
nπ T
） cos（ nΩt）
图 1 所示周期性矩形波可分解直流项和余弦项。
特别地，当 T = 4， = 2，E = 1，方波信号的三角形式的
傅里叶级数为：
f（ t）
=
1 2
+
2 nπ
∞
∑
n =1
sin（
n2π）
cos（
nΩt）
=
1 2
+
2 π
cos（
Ωt）
－
32πcos（ 3Ωt） + 52πcos（ 5Ωt） + …
可见方波信号可分解直流项和奇次谐波的余弦项。
Matlab 软件是集数值分析、矩阵运算、信号处理 和图形显示于一体的可视化软件，具有强大的数值分 析和图形分析功能。本试验利用 Matlab 进行仿真， 可观察到信号分解后其具体的谐波波形以及波形叠 加后的效果。仿真中使用周期信号如图 1 所示，T = 4， = 2，E = 1，在仿真过程中原波形也显示其中。
2011 年第 9 期 文章编号： 1006-2475（ 2011） 09-0156-03
计算机与现代化 JISUANJI YU XIANDAIHUA
总第 193 期
基于 Matlab 周期信号的分解与合成
郗艳华
（ 咸阳师范学院物理与电子工程学院，陕西 咸阳 712000）
摘要： 分析三角形式傅里叶级数中周期信号的分解与合成，用 Matlab 软件对方波信号的分解与合成进行仿真。结果显示
信号的构成，仿真了直流信号和有限次谐波近似合成
方波信号。可以发现随着合成谐波的项数增加，合
成波形越接近原方波信号，并且对方波信号合成中出
2011 年第 9 期
郗艳华： 基于 Matlab 周期信号的分解与合成
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形式的傅里叶级数展开式。但（ 1） 式中对于周期信
号中 n 次谐波分量的幅度和相位不是很明了，因此利
用三角函数化简得到：
∞
f（ t） = A0 + n∑= 1An cos（ nΩt + Φn ）
（ 2）
式中 An
=
槡a2n
④随着合成谐波次数的增加，合成波形与原波形 之间的误差越来越小，而每个误差波形中较大的误差
图 5 吉布斯现象
当用信号的谐波分量的和来表述具有间断点的 波形时会出现吉布斯现象［6-9］。图 4 的合成波形在间 断点 处 有 过 冲，这 种 现 象 称 为 吉 布 斯 现 象。 利 用 Matlab 软件对方波信号的前 7、25、59、69 次谐波进行 合成仿真如图 5 所示，可以发现即使合成的项数较大 时，该过冲也存在。有限项级数合成时，将过冲值与 原波形跳变值的比值为过冲量。对有限项级数合成 时所产生的过冲量和均方误差进行仿真计算，结果如 表 1 所示。
表 1 过冲量和均方误差的变化
合成项数 1 3 5 7 9 27 43 59 79 91 均方误差 0． 5475 0． 5248 0． 5167 0． 5126 0． 5101 0． 5036 0． 5023 0． 5017 0． 5013 0． 5011 过冲量 0． 1366 0． 1002 0． 0942 0． 0921 0． 0912 0． 0897 0． 0895 0． 0895 0． 0895 0． 0895
①所取级数愈多，其 合 成 波 形 越 接 近 原 波 形， 并随级数值 N 的增加，波形顶部逐渐平坦，在原方波 的间断点附近振荡更加频繁。
②频率较低的谐波，其振幅较大，它们是组成方 波的主体； 频率较高的高次谐波振幅较小，它们主要 影响波形的细节，波形中包含的高次谐波愈多，波形 边缘愈陡峭。
③当选取有 限 项 级 数 的 项 数 逐 渐 增 大，其 合 成 波形在间 断 点 附 近 有 尖 峰，称 其 为 峰 起［3］，也 叫 过 冲［4，5］，而且当所选取的项数增大时，该过冲值减小。
方波信号可以分解成直流分量和不同频率余弦分量（ 或正弦分量） 的叠加； 满足一定关系的直流信号和有限次谐波分量
之和可以近似表示方波信号，对方波信号合成过程中误差和吉布斯现象进行分析。利用 Matlab 软件仿真可以直观地理
解周期信号的分解与合成原理，它对于建立信号频谱的概念以及系统频谱分析都有非常重要作用。