COMSOL Multiphysics实例-抛物型方程求解热传导问题
COMSOL实例分析
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结果与讨论 • 流场
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案例： 案例：弯曲微反应腔内脱卤反应
微反应腔中的烃的脱卤反应 通过反应工程实验室建立两种并行反 之后， 应，之后，将反应动力学过程导入 COMSOL Multiphysics，再对反应 ， 腔的空间相关模型进行设置并求解。 腔的空间相关模型进行设置并求解。 COMSOL 反应工程实验室 + 不可压 缩Navier-Stokes
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结果与讨论 • 反应速率
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COMSOL Multiphysics公开培训 公开培训 /training/
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【2017年整理】comsol传热模块
传热模块是一个可选的包裹,扩展建模环境Multiphysics COMSOL®定制用户界面和功能优化分析的热传递。
这是发展,为广大受众包括人员、开发人员、教师和学生。
以帮助使用者在所有水平的专业知识,这个模块带有一个图书馆的进程转换成为"就绪"的例子出现在同伴模型传热模型库模块。
传热参与几乎每一种物理过程,实际上它可以限制因素对许多过程。
因此,它的研究是至关重要的,并要求强大的传热分析工具实际上是普遍的。
进一步,传热经常一起出现,或因,其他的物理现象,使得这个模块的工程师在所有学科有用。
事实上,传热效果的建模问题已经成为越来越重要的产品的设计在许多领域,包括电子、汽车、医疗等行业。
结合实验在实验室工作随着理论分析通过计算机模型已经被证明是有效的促进问题的瞭解以及帮助减少研发费用的新工艺。
我们研制开发了专用的传热模块大力扩展可在此基础上Multiphysics COMSOL能力。
这个模块的基本机制包括支持所有导电,对流和辐射传热。
利用物理接口在这个模块随着内在multiphysics能力multiphysics COMSOL,你可以塑造一个温度场与其他physics-a平行强而有力的组合,使你的模型更准确和真实世界的代表。
该传热模块用户手册介绍了基本的建模过程。
本教程部分呈现不同的物理接口模块新的功能模块在传热4.0物理接口•辐射参与媒体为一个更灵活的一般传热界面传热固体、液体、生物组织,散热,制品如共轭的热传递•新模型:锅炉采用辐射模型——参与媒体界面所有COMSOL手册使用一套排字一致的元素就是应该使你容易去遵循讨论,了解你可以期待在屏幕上看到的,不知道你必须进入数据的各种数据录入领域。
特别是,您应该意识到这些规定:•中用黑体字体显示的大小和风格表明,给出的单词(s)出现在COMSOL确切的桌面工具栏按钮,或者,在相应的提示)。
例如,我们经常提到模型建造者窗口,窗口是包含模型树。
COMSOL_Multiphysics(FEMLAB)简介
一、简介
COMSOL Multiphysics（原FEMLAB）是一个专业有限 元数值分析软件包，是对基于偏微分方程的多物理场模 型进行建模和仿真计算的交互式开发环境系统。它为所 有科学和工程领域内物理过程的建模和仿真提供了一种 崭新的技术！
二维应用： •平面应力； •平面应变； •厚板分析； •轴对称； •欧拉梁；
三维分析： •固体； •欧拉梁；
•壳体；
在所有这些分析中，用户可以直接输入材料性质，也可以通过内嵌材料 库方便快捷地调用它们。同时，定义正交各向异性和完全各向异性材料 性质也是相当方便的。材料的性质可以是任意空间、时间或者其它变量 的函数。
结构力学模块的新特征：
¾塑性和非线性材料模型 ¾正交各向异性和完全各向异性材料 ¾粘弹性、粘塑性和类橡胶材料的大变形分析 ¾不同材料的局部坐标系统 ¾考虑模型初始应力和应变的模型 ¾多物理场中塑性求解运算和非线性材料模型
2. 热传模块
COMSOL Multiphysics的热传模块能解决的问题包括传导、辐射和对 流的任意组合。建模界面的种类包括面－面辐射、非等温流动、活性组 织内的热传导、以及薄层和壳中的热传导等。
3. 地球科学模块
COMSOL Multiphysics的地球科学模块包含了大量针对地下水流的简 易模型界面。这些界面允许快速、便捷地使用描述多孔介质流体的 Richards方程、Darcy定律、Darcy定律的Brinkman扩展，以及自由 流体中的Navier-Stokes方程。此外，该模块还处理了多孔介质中的热 量传输和溶质反应，模型库中几乎囊括了从多孔介质中油和气体的流动 到地下水流中的分布。
对于非均匀材料系统的热传导和对流问题可计算有效性质的材料表格作为放射性热源刻画等温线的界面可以添加热量耗散的选项其结果来自于孔内的流速和固体岔路的流体分叉对于开放式系统和多孔介质中流体流动的分析对于不同饱和程度的多孔介质使用已知的分析公式对实验数据进行差值并输入任意表达式以估测非线性的保持力和渗透性对于可流动和不可流动区域介质内流体建模的辅助系数例如化学传输性质的边边输入从计算结果中评估溶质的运动可预定以水动力耗散张量描述流量边界条件在点和边上设定时间控制的约束条件和流量从环境流体分析到石油工程研究领域的案例模型在comsolmultiphysics中问题的函数化包括非限制的多物理场耦合控制方程和定义材料属性的表达式
微波仿真论坛1COMSOLMULTIPHYSICS和数值分析基础
微波仿真论坛1COMSOLMULTIPHYSICS和数值分析基础第一章COMSOL MULTIPHYSICS及数值分析基础W. B. J. ZIMMERMAN，B. N.HEWAKANDAMBYDepartment of Chemical and ProcessEngineering, University of Sheffield,Newcastle Street, Sheffield S1 3JD UnitedKingdomE-mail: w.zimmerman@ 本章主要介绍COMSOL Multiphysics 在零维和一维模型数值分析方面的几个关键内容。
这些内容包括求根、步进式数值积分、常微分方程数值积分和线性系统分析。
这几乎是所有的化工过程数学分析方法。
下面通过COMSOL Multiphysics中的一些常见化工过程应用实例来介绍这些方法，包括：闪蒸、管式反应器设计、扩散反应系统和固体中热传导。
1．简介本章内容很多，可以分为几个不同的目标。
首先介绍了COMSOL Multiphysics的主要工作特性；其次介绍了如何使用这些特性来分析一些简单的，位于零维空间、一维空间或“空间－时间”系统中的化工问题。
本章还希望通过展示COMSOL Multiphysics和MATLAB工具在化工过程分析中的强大功能，激发读者对使用COMSOL Multiphysics进行建模与仿真的兴趣。
由于COMSOL Multiphysics不是一个通用的问题求解工具，所以一些目标需要迂回实现。
作者在使用FORTRAN、Mathematica和MATLAB解决化工问题方面有着丰富的教学经验，并用这些工具实现过这里所有的例子。
而且，扩展化工问题的数值分析也已经在POLYMATH[1]中实现，这似乎只在化工委员会的CACHE项目中使用过。
本书前一版已经介绍过在零维空间中求解非线性代数方程和与时间有关的常微分方程的内容。
comsol传热模块
传热模块是一个可选的包裹,扩展建模环境Multiphysics COMSOL®定制用户界面和功能优化分析的热传递。
这是发展,为广大受众包括人员、开发人员、教师和学生。
以帮助使用者在所有水平的专业知识,这个模块带有一个图书馆的进程转换成为"就绪"的例子出现在同伴模型传热模型库模块。
传热参与几乎每一种物理过程,实际上它可以限制因素对许多过程。
因此,它的研究是至关重要的,并要求强大的传热分析工具实际上是普遍的。
进一步,传热经常一起出现,或因,其他的物理现象,使得这个模块的工程师在所有学科有用。
事实上,传热效果的建模问题已经成为越来越重要的产品的设计在许多领域,包括电子、汽车、医疗等行业。
结合实验在实验室工作随着理论分析通过计算机模型已经被证明是有效的促进问题的瞭解以及帮助减少研发费用的新工艺。
我们研制开发了专用的传热模块大力扩展可在此基础上Multiphysics COMSOL能力。
这个模块的基本机制包括支持所有导电,对流和辐射传热。
利用物理接口在这个模块随着内在multiphysics能力multiphysics COMSOL,你可以塑造一个温度场与其他physics-a平行强而有力的组合,使你的模型更准确和真实世界的代表。
该传热模块用户手册介绍了基本的建模过程。
本教程部分呈现不同的物理接口模块新的功能模块在传热4.0物理接口•辐射参与媒体为一个更灵活的一般传热界面传热固体、液体、生物组织,散热,制品如共轭的热传递•新模型:锅炉采用辐射模型——参与媒体界面所有COMSOL手册使用一套排字一致的元素就是应该使你容易去遵循讨论,了解你可以期待在屏幕上看到的,不知道你必须进入数据的各种数据录入领域。
特别是,您应该意识到这些规定:•中用黑体字体显示的大小和风格表明,给出的单词(s)出现在COMSOL确切的桌面工具栏按钮,或者,在相应的提示)。
例如,我们经常提到模型建造者窗口,窗口是包含模型树。
COMSOL Multiphysics 传热及化工专题介绍
多孔介质中的传质
类似于地球科学中的应用
稀物质传递 流体介质
气体或液体 对流与扩散 化学反应
固体相
反应同时发生于固体与流 动相 两相之间的传质可以通过 吸附/解析方程描
Langmuir Freundlich
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稀物质传递
稀混合体系
溶剂占多数 (>90%) 溶质对溶液的物理属性影响 可忽略 溶质只与溶剂发生作用 常用于低浓度水或空气体系
可随时添加对流项及电动力 学方程 可根据需要修改因变量数量 可很方便地设定各种参数
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CAPE-OPEN接口
化工模拟软件中的交互式标准接口
CO-LAN () 建模环境 模型的单位 热力学和物理属性的计算
在两种不同的软件之间进行选择
CAPE-OPEN 接口可以作为套接、接口或同时存在 化学反应工程模块中的CAPE-OPEN套接计算物理和热力学属性 计算是由外部的软件实现 Aspen, Simulis, PPDS (TUV/NEL), VNG , Multiflash, COCO/TEA (/) 利用
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浓物质传递
浓物质混合物
没有任一组分 >90%
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comsol培训的仿真实例课件
帮助 取消 完成
选择空间维度
MSOL
选择物理场 选择求解按案 6为选定物理场预置求解流体传热thu管中传热(hp) 地 态)用生物传热(0海 夹 传 热(htsh) 定 制 求 解电题热其然 附加求蝶额 动 括 巨林Ⅲ 热电效应 物理场列数：光 掌 2. 电流(ec3)等 商 子 体 后国体传热 (h3)多 物 通 场物理场列表： 电 燃 热 源(emh3)边界电磁热潭(bemh3)电 流(ec2) 温 卖 规 合(x3)4.Multiphysics物理场翻助 臧COMSOL
OMSOL
293 K
热膨胀：应力-应变
内部热载荷根据温度自动计算
固定约束
固定约束
OMSOL
· 扩展-参数化扫描几何一三维非线性强耦合模型· 添加更多物理场- 添加瞬态效应
·计算得到电势、温度和位移
结果：微阻梁
OMSOL
建模过程
· Microresister
MSOL
三维
一 维
零维
· 选择模型向导；三维：
· 几何模型如图所示：
几何
OMSOL
文件 主屏幕组 增加组件 件 1 、模型
定义P₁ 参数a= 变量f(x)函 数定义
几何 物理场 网格导 入coLiveLink, 构建所有几何
求解 结果 增加材料浏览材料
最近的材料COMSOL 材料库4 基本材料AirAcrylic plasticAlumina中Aluminum 3003-H18中Aluminum 6063-T83中AluminumAmerican red oakBeryllium copper UNS C17200 中Brick中Cast ironConcreteCopperFR⁴(Circut Board)
comsol 传热模块
传热模块是一个可选的包裹,扩展建模环境Multiphysics COMSOL®定制用户界面和功能优化分析的热传递。
这是发展,为广大受众包括人员、开发人员、教师和学生。
以帮助使用者在所有水平的专业知识,这个模块带有一个图书馆的进程转换成为"就绪"的例子出现在同伴模型传热模型库模块。
传热参与几乎每一种物理过程,实际上它可以限制因素对许多过程。
因此,它的研究是至关重要的,并要求强大的传热分析工具实际上是普遍的。
进一步,传热经常一起出现,或因,其他的物理现象,使得这个模块的工程师在所有学科有用。
事实上,传热效果的建模问题已经成为越来越重要的产品的设计在许多领域,包括电子、汽车、医疗等行业。
结合实验在实验室工作随着理论分析通过计算机模型已经被证明是有效的促进问题的瞭解以及帮助减少研发费用的新工艺。
我们研制开发了专用的传热模块大力扩展可在此基础上Multiphysics COMSOL能力。
这个模块的基本机制包括支持所有导电,对流和辐射传热。
利用物理接口在这个模块随着内在multiphysics能力multiphysics COMSOL,你可以塑造一个温度场与其他physics-a平行强而有力的组合,使你的模型更准确和真实世界的代表。
该传热模块用户手册介绍了基本的建模过程。
本教程部分呈现不同的物理接口模块新的功能模块在传热4.0物理接口•辐射参与媒体为一个更灵活的一般传热界面传热固体、液体、生物组织,散热,制品如共轭的热传递•新模型:锅炉采用辐射模型——参与媒体界面所有COMSOL手册使用一套排字一致的元素就是应该使你容易去遵循讨论,了解你可以期待在屏幕上看到的,不知道你必须进入数据的各种数据录入领域。
特别是,您应该意识到这些规定:•中用黑体字体显示的大小和风格表明,给出的单词(s)出现在COMSOL确切的桌面工具栏按钮,或者,在相应的提示)。
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数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用
第40卷 第12期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 40 No.12 2020年 12月 Journal of Science of Teachers′College and University Dec. 2020文章编号：1007-9831（2020）12-0083-06数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用王鹏1，王清亮1，左旭东2，张冬梅3（1. 忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000；2. 江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001；3. 大连理工大学 物理学院，辽宁 大连 116024）摘要：数学物理方法是物理专业的一门必修课程，由于具有较多数学技巧以及物理图像不直观等特点，授课与学习的难度均较大．以热传导方程的学习内容为例，论述了如何利用COMSOL Multiphysics有限元分析软件实现可视化和探究性教学，使学生更深刻地理解数学方程中的物理内涵并建立正确的物理图像，减轻教师的授课负担并提高学生的学习效果．关键词：COMSOL Multiphysics；数学物理方法；热传导方程中图分类号：O411.1∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2020.12.019The application of COMSOL software on the thermal conduction equation inmethods of mathematical physicsWANG Peng1，WANG Qingliang1，ZUO Xudong2，ZHANG Dongmei3（1. Department of Physics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou 034000，China；2. School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001，China；3. School of Physics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）Abstract：Methods of mathematical physics is a compulsory course in physics major．Due to the characteristics of many necessary mathematical skills involved and unintuitive physical images，both teaching and learning are difficult．In order to achieve the visualization teaching and inquiry teaching，based on an example of thermal conduction equation，a COMSOL Multiphysics software based on finite analysis method is utilized，which makes students have deeper understanding on the physical connotation of mathematical equations and establish correct physical picture．The application of COMSOL software reduces the teaching burden of teachers and improves the learning effect of students．Key words：COMSOL Multiphysics；methods of mathematical physics；thermal conduction equation数学物理方法是物理学以及部分工科专业本科生必修的一门重要科目，旨在丰富学生的知识技能储备以及培养学生利用数学技能解决物理问题的能力．因此，这门课程不仅物理内容较多，而且涉及大量的高等数学知识，如复变函数、微积分和级数等，学生普遍反映学习难度较大，学习积极性不高．繁琐的数学推导也使得学生更关注“数学”技能的提高而忽略了“物理”内涵的理解；另外，数学物理方法课程还存在考核方式单一、教学时效性不强等不足[1]．目前，数学物理方法课程的教学方式仍以课堂讲授为主．无论是以往的板书教学还是如今的多媒体教学，都能够较好地做到数学公式的推导和数学思想的传达；但是如何让学生更直观地获得物理图像仍力有未逮，尤其在传统的板书教学过程中较难实现．即使是采用多媒体教学方式，也很难找到或者绘制贴合教材的相关素材用于直观展示物理图像，如果采用板书教学的方法绘图则更加不易，要想进一步实现学生自收稿日期：2020-08-12基金项目：山西省高等学校科技创新项目（2020L0538）；山西省高等学校教学改革创新项目（J2019169）；忻州师范学院科研基金项目（2019KY06）作者简介：王鹏（1991-），男，辽宁大连人，讲师，博士，从事碳纳米材料基础物性及应用研究．E-mail：**********************84 高 师 理 科 学 刊 第40卷 主深入学习、拓展思路、发散思维的目标就更难了．因此，如何在教学过程中实现“数学方法”与“物理图像”的有机结合成为提高教学效果必须要解决的问题．计算机仿真是一种能够实现物理图像展示的有效手段，已经被广泛使用于大学教学中．宋彦琦[2]等人利用Matlab 软件编程实现了复变函数方程以及波动方程定解问题的求解．但是编程方法不易掌握，对学生直观理解物理问题也并无明显益处．相比之下，COMSOL Multiphysics 软件是一款大型多物理场数值仿真软件，具有上手较快、操作便捷和可视性强的特点，能够根据实际需求建立物理模型，并将数学方程的数值求解结果以曲线图、分布图等图像的形式直观展示出来，体现了“数形结合”的思想．另外，COMSOL 软件涵盖了物理、化学、工程等多个科学领域的计算模块，能够满足教学和科研的需要．目前，已有不少学科的本科专业课使用这一软件辅助教学，如物理专业的电磁学[3-6]、模拟电子技术[7]等课程，甚至部分研究生的课程教学也采用这一软件[8-16]，取得了较好的成果．本文针对数学物理方法课程在教学过程中存在的重“数学”而轻“物理”的问题，利用COMSOL 软件求解一个空心圆柱体热传导模型，明确热传导方程的物理含义和3类边界条件的物理概念，展示数学方程中隐藏的物理图像．结合COMSOL 软件开展教学可以激发学生的自主学习动力并提高学生的思维发散能力和探索能力，实现探究性学习和翻转课堂的教学模式，提高学习效果．1 空心圆柱体的热传导方程及边界条件本文以一个空心圆柱的热传导模型（见图1）为例来展开说明．空心圆柱体的内、外半径（内R ，外R ）以及高度（h ）分别为0.05，0.15，0.2 m．图1 空心圆柱体 热传导方程一般可写为 (,)(,)(,)T r t c k T r t F r t tr ¶-D =¶r r r （1） 其中：T 是待求温度，与时间和空间均有关；t 为时间；F 为热源强度；c k ，，r 分别为热导率、密度和比热容．等号左边第１项就是初中时就学习过的单位体积内物体温度变化与外界所交换的热量（V T cm V q D =0，0q 和V 分别是物体吸收/释放的热量和物体体积），第２项则表示单位时间内以热传导形式流入该单位体积的热量．因此，方程（1）的物理本质就是能量或者说热能守恒．在本例中，认为空心圆柱体中无热源，则()0=t r F ，，该方程变为齐次方程．如果只想知道圆柱体达到热平衡状态时的温度分布而不研究温度随时间的变化，则方程（1）将化为拉普拉斯方程 (,)0T r t D =r （2） 要求解热传导方程，必须要给定初始条件和边界条件，圆柱体的初始温度被设定为20 ℃（293.15 K）．数学物理方法课程中常见的边界条件可以分为3类：第1类边界条件是直接规定待求物理量的取值．在本例中，空心圆柱的内表面被视为与一个恒温热源 接触，温度被固定为室温60 ℃（333.15 K），即高度h 内表面 上/下表面 外表面 R 内R 外第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 85|333.15 K r R T ==内 （3）第2类边界条件是规定待求物理量在边界外法线方向上的方向导数．对一个给定的边界截面，傅里叶热传导定律可以写为 T q k n ¶=-׶r （4） 其中：q r 是单位面积内的热流量，即热流密度；负号表示热量是逆温度梯度方向传导的．因此，对于给定热导率的空心圆柱体来说，规定外法线方向导数等价于直接定义热流密度．显然，热流密度是一个更具有直观物理意义的量，可以将边界处的热流密度直接视为第2类边界条件．本例中，将空心圆柱体的外表面设置为绝热条件，即圆柱体与外界不能通过外侧表面与外界环境进行热交换 |0r R T k n=¶-×=¶外 （5） 第3类边界条件规定了边界处待求物理量与待求物理量外法线方向上方向导数之间的线性关系，有时也称作混合边界条件．本例设定圆柱体的上下2个表面与外界存在热交换，根据牛顿冷却定律，在该表面设置第3类边界条件 0,ext |()z h f T k h T T n=¶-×=×-¶ （6） 其中：f h 为空心圆柱上下表面的对流换热系数；ext T 表示外界环境温度．等号左边表示圆柱表面因存在温度梯度而流通的热量，右边表示由于环境中热对流的存在而交换的热量．这样看就会发现，公式（6）的物理意义就是在圆柱体的上下2个表面不会有热量的持续累积和损耗，热量的流动是连续的，这也符合直观认知．通过给定f h 的值和环境温度ext T ，就可以得到确定的第3类边界条件．2 利用COMSOL Multiphysics 软件求解空心圆柱体热传导模型2.1 物理模型的构建由于空心圆柱具有中心对称结构，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真软件构建模型时无需构建三维模型，选择“二维轴对称”模型，可以减少计算量和计算时间．利用COMSOL 软件绘制的矩形（见图2），其位置和大小均可在软件中任意更改．本例中矩形的宽度和高度分别为0.1，0.2 m，左下角顶点的坐标为（0.1，0 m）．r =0处的红线表示旋转轴，矩形绕轴旋转一圈即可得到与图1所示同尺寸的空心圆柱体．COMSOL 软件内置了多种材料的基本物理特性参数，在仿真过程中可以直接对仿真模型添加材料并调用相关参数．空心圆柱体的材料被设置为铁，其密度、比热容和热导率分别为7 870 kg/m 3，440 J/（kg·K），76.2W/(m·K)．由于本文研究的是空心圆柱体的热传导问题，因此选择软件中自带的“固体传热”模块进行仿真计算．86 高 师 理 科 学 刊 第40卷 该模块已经内置了热传导方程，无需修改，只需进行边界条件和初始条件的设置即可．利用COMSOL 软件设置初始温度条件的界面见图3a．可以看到，COMSOL 软件的界面对用户非常友好，直接在输入框内输入数值即可．根据对空心圆柱体初始温度的设定，此处输入“293.15 K”．利用COMSOL 软件设置第1类边界条件的界面见图3b ．设置一栏中，在“边界选择”中选择矩形的左边（这一条边经绕轴旋转后即形成空心圆柱体的内表面），表示要对这一条边进行物理条件的设置．其下方“方程”中展示了一个关于温度的公式，表示此处设置的物理含义是温度边界条件．在温度输入框中输入“333.15 K”，即可完成了第1个边界条件的设置．设置圆柱外表面绝热和上下表面热对流边界条件时的软件界面分别见图3c~d，与对空心圆柱体的边界条件设定的操作基本一致．通过以上操作，可以使学生对数学方程、初始条件和边界条件有更直观的认识，有利于深入理解数学公式背后的物理内涵．2.2 仿真结果与讨论点击COMSOL 软件中的“物理场控制网格”实现空心圆柱体的网格自动剖分，本案例中将网格数设置为360．由于本案例求解的是空心圆柱体热稳定状态温度分布，因此研究模式选择“稳态”（此时软件自动将要求解的方程设定为拉普拉斯方程）；点击“计算”按钮，软件开始自动求解数学方程并输出物理图像，使用普通笔记本电脑的计算时间仅需约2 s．f h =100 W/（m 2·K）时，空心铁圆柱体的温度分布情况见图4a~b．可以看到圆柱体的温度从内表面（333.15 K）向外表面（约328 K）逐渐降低，同时上下表面的温度比圆柱体的中央区域要低，这是上下表面与温度较低的外界环境（293.15 K）存在热交换的边界条件导致的必然结果；等温线自左向右（对应空心圆柱体由内而外）逐渐稀疏，表示温度梯度的绝对值逐渐减小；由于圆柱体上下表面与外界存在热交换，因此，上下表面的温度沿径向方向降低得比其内部要快，导致上下表面附近的等温线分布比中央更密集．结果表明，COMSOL 软件能够展示热传导方程中的待求温度函数在给定的初始条件和边界条件下是如何分布a 整体设置初始温度条件（293.15 K）b 内表面设置为第1类边界条件（温度333.15 K）第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 87 的，使学生不仅能够很好地理解边界条件的概念，还能够直观地把数学方程与物理图像联系起来．在满足教学需求的基础上，COMSOL 软件还自带有“参数化扫描”功能，可以赋予某个条件任意多的数值，用于研究该条件对仿真结果的影响．在本例中，通过赋予空心圆柱体表面对流换热系数()f h 3个不同的数值，研究了表面对流换热情况对其空心圆柱体热传导过程的影响．圆柱上下表面在具有不同换热系数的条件下，其温度沿径向方向的变化曲线见图4c．可以看到，空心圆柱体的温度沿着径向向外逐渐降低，且斜率逐渐趋于0，与图4a 和图4b 的结果一致．另外，随着f h 取值的增加，空心圆柱体外侧的温度逐渐降低，这是由于f h 的增大使圆柱体通过上下表面向低温外界环境释放出了更多的热量，导致处于热绝缘状态的外表面从圆柱内侧吸收到的热量较少，因此温度较低．在仿真过程中，计算热传导方程中温度函数的空间分布仅是COMSOL 软件的结果之一，软件已经把所有热物理参数的分布进行了计算并保存在模型中．因此，对学有余力的学生，教师可以引导其进一步深入思考和探索，利用COMSOL 软件展示更多的结果．例如：圆柱体上下表面的换热边界条件既然能够影响圆柱体的温度分布，那热流量究竟是多大，与空间位置以及表面换热系数的大小是否有关．要得到以上结论只需要在软件中将之前展示的纵坐标“温度”替换为“热流密度”．空心圆柱体上表面的热流密度沿径向方向的变化曲线见图4d．可以看到，上表面的热流量密度沿着径向向外逐渐降低，这是由于空心圆柱体的内侧温度较高，与外界环境温差较大，因此热流量密度较大．由此可见，f h 与圆柱体表面的热流密度成明显的正相关关系，提高f h 有助于圆柱体的散热，而降低f h 则有助于圆柱体的保温．f h 取值的数量和大小均可在COMSOL 软件中根据教学和研究需求进行自定义设置．通过COMSOL 软件还可以对空心圆柱体的初始温度、内表面温度等初始条件和边界条件进行修改或赋予不同的取值，从而进一步研究不同条件对热传导过程的影响，这样不仅能够使学生对热传导现象的理解更加深入，更能调动学生学习的主观能动性．在实际的教学过程中，还可以将学生们提前分组，分别研究不同物理条件对空心圆柱体热传导过程的影响，在课堂上互相交流学习，从而实现翻转课堂教学模式和探究性学习模式，锻炼学生的探究能力，提高科学素养．最终完成的计算结果可以保存为一个单独的工程文件（.mph 格式），便于学生上交和教师检查，也有利于保存记录和用于交流学习．这些操作不仅可以使用在热传导方程的学习上，对数学物理方法课程中的其它内容同样有效．在学习结束后，教师可以结合实际应用与课程内容出题，=100 W·（m ·K）时空心圆柱体的等温线分布/℃88 高 师 理 科 学 刊 第40卷让学生开展调研后将实际问题转化为仿真模型，制作并上交仿真案例．这个过程既可以作为课后作业发布，也可以作为期末考试的一种新载体，未来甚至可以在数学物理方法课程中设置计算机实践课时，进一步实现教学模式和考核模式的改革．利用COMSOL软件辅助教学可以实现物理概念的理解、模型的建立和仿真结果的可视化展示等目的，是一种能够让学生更好地预习、学习和复习的有效手段．不仅能够使学生直观建立物理图像，理解数学方程背后的物理内涵，还可以让学生将理论知识与实际应用联系起来，提高认识问题和解决问题的能力．3 结论本文以空心圆柱体为例，利用COMSOL Multiphysics软件实现了热传导过程的物理图像的可视化教学，帮助学生进一步理解3类边界条件和热传导方程的物理内涵．COMSOL软件具有操作简单、可视性强的特点，集教、学、研多种功能于一体，加强了数学公式与物理图像和实际应用之间的关联性，同时减少学生的畏难心理和教师的授课压力．该软件的使用有助于激发学生的主观能动性，利于探究性学习和翻转课堂教学模式的开展；能够让教师和学生在教与学的过程中更加关注数学方程背后的物理概念与物理思想，让学生在掌握数学技能的同时，实现领悟物理思想、使用数学工具解决实际物理问题的教学目标．COMSOL 软件的应用为课后作业和能力考核提供了一种全新的方式，是实现新时代教学改革的有效手段．参考文献：[1] 周天．“数学物理方法”课程的教学认识和改革探索[J]．教育教学论坛，2020（10）：316-317[2] 宋彦琦，刘冬桥，李小龙，等．引入计算机仿真的数学物理方法教学改革探索[J]．高教学刊，2020（4）：125-127，130[3] 徐亚东，周航，高雷．信息技术优化教学方案 提升教学效果——以COMSOL在电磁学中的应用为例[J]．物理通报，2019，（12）：22-24[4] 刘国强，闫孝姮，赵筱赫．电磁场中稳恒磁场的COMSOL教学应用[J]．中国现代教育装备，2019（19）：9-10，13[5] 王晓华．在“电磁场理论”教学中的COMSOL有限元软件的应用研究[J]．黑龙江科学，2017，8（19）：79-81[6] 黄爱凤．物理仿真软件在物理教学中的应用探讨——以“变压器”教学为例[J]．物理之友，2017，33（5）：47-49[7] 周腾，王瀚林，史留勇，等．COMSOL Multiphysics在《模拟电子技术》教学改革中的应用[J]．教育教学论坛，2017（24）：237-238[8] 张杰，陈煅，郭佳瑶，等．COMSOL有限元分析方法在循环伏安法教学中的应用[J]．化学教育，2019，40（20）：75-79[9] 吴宏伟，方羽，权家琪．以波动光学模块为例探究COMSOL在教学改革中的应用[J]．科教文汇，2019（9）：80-82[10] 邱伟彬，林志立．利用COMSOL仿真进行二维光子晶体的教学[J]．高教学刊，2019（7）：84-86[11] 黄勇刚．利用COMSOL提升研究生表面等离激元光学的教学质量——以表面等离激元光波导为例[J]．科技视界，2019（19）：67-68[12] 张赛，胡光华，许伯强，等．基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真分析在《固体中的超声导波》教学中的应用[J]．中国多媒体与网络教学学报，2018（5）：14-15[13] 辛锋先，刘学伟，伍晓红，等．COMSOL可视化仿真在声学理论课程中的应用与实践[J]．高教学刊，2018（24）：1-4[14] 孔为，肖建昆，陈代芬．Comsol Multiphysics在“节能技术”教学中的应用[J]．科技资讯，2013（6）：209[15] 邓科，关珺珺．基于COMSOL 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各类抛物型微分方程的解法
各类抛物型微分方程的解法抛物型微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理学中具有重要意义。
本文将介绍一些常见的抛物型微分方程，并探讨它们的解法。
热传导方程热传导方程描述了热量在物体中的传导过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$k$ 是热传导系数。
热传导方程的解法主要基于分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。
扩散方程扩散方程描述了物质在空间中的扩散过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是物质浓度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$D$ 是扩散系数。
扩散方程的解法也可以利用分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。
波动方程波动方程描述了波在介质中的传播过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是波函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$c$ 是波速。
波动方程的解法可以利用分离变量法、傅里叶级数法和变换法等。
Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它的一般形式为：$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v}$$其中，$\mathbf{v}$ 是流体速度矢量，$t$ 是时间变量，$p$ 是压力函数，$\rho$ 是密度，$\nu$ 是运动粘度。
COMSOLMULTIPHYSICS与数值分析基础
第一章COMSOL MULTIPHYSICS及数值分析基础W. B. J. ZIMMERMAN，B. N. HEWAKANDAMBYDepartment of Chemical and Process Engineering, University of Sheffield,Newcastle Street, SheffieldS1 3JDUnited KingdomE-mail: w.zimmerman@本章主要介绍COMSOL Multiphysics 在零维和一维模型数值分析方面的几个关键内容。
这些内容包括求根、步进式数值积分、常微分方程数值积分和线性系统分析。
这几乎是所有的化工过程数学分析方法。
下面通过COMSOL Multiphysics中的一些常见化工过程应用实例来介绍这些方法，包括：闪蒸、管式反应器设计、扩散反应系统和固体中热传导。
1．简介本章内容很多，可以分为几个不同的目标。
首先介绍了COMSOL Multiphysics的主要工作特性；其次介绍了如何使用这些特性来分析一些简单的，位于零维空间、一维空间或“空间－时间”系统中的化工问题。
本章还希望通过展示COMSOL Multiphysics和MATLAB工具在化工过程分析中的强大功能，激发读者对使用COMSOL Multiphysics进行建模与仿真的兴趣。
由于COMSOL Multiphysics不是一个通用的问题求解工具，所以一些目标需要迂回实现。
作者在使用FORTRAN、Mathematica和MATLAB解决化工问题方面有着丰富的教案经验，并用这些工具实现过这里所有的例子。
而且，扩展化工问题的数值分析也已经在POL YMATH[1]中实现，这似乎只在化工委员会的CACHE工程中使用过。
本书前一版已经介绍过在零维空间中求解非线性代数方程和与时间有关的常微分方程的内容。
从概念上讲，零维域就是一个简单的有限元。
通过研究某一特定有限元中的变化对理解有限元方法非常有用。
COMSOL软件在流体、结构、传热等多物理场耦合领域的应用.docx
Subsurface Flow Module基于地下水流动分析地球物理现象2 000 years在建的核废料储存库,用于在接下来的10万年内储存乏燃料棒。
该模型模拟的情形是: 燃料束套筒发生破裂,导致核废料通过周闌的岩石裂隙发生渗漏,并回充到上方的隧道中。
饱和与变饱和渗流地卜水流动模块面向需要仿真地卞或其他多孔介质中的流体流动的工程师和科学家们，并且还可以将这种流动过程与其他现象建立联系，例如多孔弹性、传热、化学反应和电磁场等。
它可以用于模拟地下水流动、废料与污染物在土壤中的扩散、油与气体的流动，以及由于地下水开采而引发的土地沉陷等现彖。
地下水流动模块可以模拟管道流、饱和与变饱和多孔介质或裂隙中的地下水，并可与传质、传热、地球化学反应和多孔弹性等模型相耦合。
许多不同的行业需要面对岩土物理和水力领域的挑战。
民事、采矿、石油、农业、化工、核能和坏境工程等领域的工程师经常需要考虑这些现象，因为他们从事的行业会直接或间接（通过环境因素）影响我们生存的地球环境。
地下水渗流影响许多地球物理属性地卜•水流动模块内包含了许多专用的接11,用于模拟地卞环境中的流动及其他现彖。
作为物理接II,它们可以与地下水流动模块内的其他任意物理接11组合并直接耦合，或与COMSOL模块套件中任何其他模块的物理接II组合并直接耦合。
例如，地下水流动模块的多孔弹性模型与左土力学模块中的描述土壤和岩石的非线性固体力学模型相耦合。
融合地球化学反应速率和动力场COMSOL使您可以在地卞水流动模块物理接I I中的编辑区域内灵活地输入任意公式，这对于在质量传递接II中定义地球化学反应速率和动力场非常有用。
但是，将这些物理接II 与化学反应工程模块耦合将意味着,您可以通过该模块易用的物理接II定义化学反应，模拟多个多物质反应。
对于模拟核废料数T•年间在其储存库中的扩散及多步反应过程，这两种模块的组合会很有用。
更多图片Time =86400 Surfge■: Effecth/e saturation (1) Contour: Pressure heotf (m> 0O1 -0.2 0304 0506 0.708 09•1•1.14.2•1.3095690-85.0.80-7 &0.7▼ 0.6843地下水流动的仿真物理接口地下水流动模块用于仿真多孔介质流动及其相关过程：多孔介质流动地卜水流动模块的核心功能是模拟变饱和与完全饱和多孔介质中的流动。
comsol仿真实验报告
comsol仿真实验报告一、实验目的本次实验旨在通过使用 COMSOL Multiphysics 软件对特定的物理现象或工程问题进行仿真分析，深入理解相关理论知识，并获取直观、准确的结果，为实际应用提供有效的参考和指导。
二、实验原理COMSOL Multiphysics 是一款基于有限元方法的多物理场仿真软件，它能够将多个物理场（如电场、磁场、热场、流体场等）耦合在一个模型中进行求解。
其基本原理是将连续的求解区域离散化为有限个单元，通过对每个单元上的偏微分方程进行近似求解，最终得到整个区域的数值解。
在本次实验中，我们所涉及的物理场及相关方程如下：（一）热传递热传递主要有三种方式：热传导、热对流和热辐射。
热传导遵循傅里叶定律：＄q ＝k\nabla T$，其中＄q$ 为热流密度，＄k$ 为热导率，＄＼nabla T$ 为温度梯度。
热对流通过牛顿冷却定律描述：＄q ＝ h(T T_{amb}）＄，其中＄h$ 为对流换热系数，＄T$ 为物体表面温度，＄T_{amb}＄为环境温度。
（二）流体流动对于不可压缩流体，其运动遵循纳维斯托克斯方程：＄＼rho(＼frac{＼partial ＼vec{u}｝｛＼partial t} ＋（＼vec{u}＼cdot\nabla)＼vec{u}）＝＼nabla p ＋＼mu\nabla^2\vec{u} ＋＼vec{f}＄其中＄＼rho$ 为流体密度，＄＼vec{u}＄为流体速度，＄p$ 为压力，＄＼mu$ 为动力粘度，＄＼vec{f}＄为体积力。
（三）电磁场麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程：＄＼nabla\cdot\vec{D} ＝＼rho$＄＼nabla\cdot\vec{B} ＝ 0$＄＼nabla\times\vec{E} ＝＼frac{＼partial ＼vec{B}｝｛＼partial t}＄＄＼nabla\times\vec{H} ＝＼vec{J} ＋＼frac{＼partial ＼vec{D}｝｛＼partial t}＄其中＄＼vec{D}＄为电位移矢量，＄＼vec{B}＄为磁感应强度，＄＼vec{E}＄为电场强度，＄＼vec{H}＄为磁场强度，＄＼rho$ 为电荷密度，＄＼vec{J}＄为电流密度。
COMSOL Multiphysics 在材料科学领域的应用案例集
案例铁矿床的磁勘探磁性探测是用于特定铁矿石脉的地质勘探的一种方法，对于是由磁铁矿和赤铁矿组成的矿脉。
估算富铁层的质心位置和空间区域有助于减少开发的成本。
被动磁性探测依赖于对局部地磁分布异常的精确绘图——即该区域的自然静磁场对基于地球磁偶极子模型的预测值的偏离大小。
本案例研究了表面和空中探矿的地磁异常的估算结果。
地壳的磁场异常可能来源于富铁矿石被感应后或者残余磁化的磁场。
上图颜色图显示了相对于地壳表面铁矿石深度，而流线则为磁通量。
案例来源：模型库AC/DC_Module>General_Industrial_Applications>Magnetic Prospecting of Iron Ore Deposits冷坩埚冷坩埚是通过电磁场熔炼高纯度材料的有力工具，应用领域包括航空工业和医学假体中的钛合金加工、光电工业的硅净化等。
本案例首先总结了冷坩埚3D电磁模型的计算结果，然后计算了2D瞬态电磁-流体力学耦合模型。
该模型包含移动网格（ALE）技术，用以显示悬浮状态的液体形状（考虑电磁搅拌的影响）。
最后根据2D模型推断了3D模型的初步结果。
上图表示磁悬浮的应用——非接触式熔炼，同时考虑导电电流、电磁感应、热传导与磁悬浮等效应，用于制备钛合金、硅或纯玻璃等高纯度材料。
案例来源：Numerical Modeling of a Levitated Liquid in a Cold Crucible，COMSOL 2007年会微波烧结本案例数值模拟了在单独的电场和磁场的TE102空腔中铜粉末金属盒的微波加热，用于补充实验结果。
一般来说，盒子的热耗散可能是由于电阻加热、介电损耗或磁损失。
这些耗散机制分别耦合于盒子的有效导电率、有效复合介电常数、有效复合渗透系数。
通过在COMSOL中使用单独的电磁场测量值来联合各种损耗，模拟腔体中的物理场和加热趋势。
仿真结果表明与实验吻合得很好，并有助于提供粉末金属中微波场相互作用的自洽结果。
热传导方程--抛物型偏微分方程和基本知识
1. 热传导的基本概念1.1温度场一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导，即产生热流。
因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。
温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。
因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。
〖说明〗若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳态的导热状态。
若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态的导热状态。
若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为一维稳态温度场。
1.2 等温面在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。
因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。
1.3 温度梯度从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。
温度随距离的变化程度沿法向最大。
温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。
〖说明〗温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。
稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx2. 热传导的基本定律——傅立叶定律物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。
傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。
定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比：q = dQ/ds = -λ·dT/dX式中：q 是热通量（热流密度），W/m2dQ是导热速率，WdS是等温表面的面积，m2λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度“－”表示热流方向与温度梯度方向相反3. 导热系数将傅立叶定律整理，得导热系数定义式：λ= q/(dT/dX)物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。
抛物型方程
一 热传导方程如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。
物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。
当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。
1初值问题一维热传导方程的初值问题是222(,),,0,(,0)(),.u ua f x t x t tx u x x x ϕ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩应用Fourier 变换解初值问题，可得到(,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξϕξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=-+--⎰⎰⎰其中(,)K x t=22/(4),0,0,0.x a t t t ->⎪≤⎩若()(,)x C ϕ∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。
对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有33(,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)RtRu x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζϕξηζξηζτξηζτξηζτξηζ=---+----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中2222()/(4)23/21,0(4)(,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++⎧>⎪=⎨⎪≤⎩2混合问题混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。
实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。
有界杆的热传导问题2(,),0,0,(,0)(),0,(0,)(,)0,0.t xx u a u f x t x l t T u x x t l u t u l t t T ϕ⎧-=<<<≤⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎩初始条件是指开始时刻物体的分布情况，可表示为00(,,,)|(,,)t u x y z t x y z ϕ==边界条件有多种情，第一种情形，在物体边界上能够给定具体的温度分布的约束，即1|(,,)s u x y z ϕ=这种边界条件称为第一类边界条件。
数学物理方程——4 热传导方程的建立
其中，a 2 = D. 从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象， 但可以用同一类方程来描述.
数学物理方法
抛物型方程的建立
2.3热传导(或扩散)方程的定解条件 1. 初值条件 若开始时刻物体的温度分布为ϕ ( x, y , z ), 则 u 应满足初值条件
S′
单位时间流过 S ′ 的热量为
′ ′ 由 Q1 = Q2 及 S ′ 的任意性知
∂u ′ Q2 = ∫∫ −k ds. ∂n S′
⎛ ∂u ⎞ + k1 (u − u1 ) ⎟ = 0 ⎜k ⎝ ∂n ⎠S ⎛ ∂u ⎞ + k1u ⎟ = 0. 若外部介质 温度为零，则 ⎜ k ⎝ ∂n ⎠S
数学物理方法
抛物型方程的建立
2.3 抛物型方程的建立 1.热传导方程
推导固体的热传导方程时， 需要利用能量守恒定律和关于热传导的Fourier定律： 热传导的Fourier定律：
dQ 与沿面积元外法线方向的温度变化率 ∂u 成正比 ∂n
dt 时间内，通过面积元 dS 流入小体积元的热量
也与 dS 和
数学物理方法
抛物型方程的建立
例题
长为 l 的均匀杆的导热问题 （1）杆的两端温度保持零度 （2）杆的两端均绝热 （3）杆的一端恒温零度，另一端绝热 试写出三种情况下的边界条件。
解
设 u(x, t) 为杆的温度函数
∂u （2）杆长方向的热量流动由傅里叶定律知，热流密度 q = − k ∂x
两端绝热，既无热量流动，所以
⎛ ∂u ∂u ⎞ ⎟ D ⋅ Sdt = u t + dt − u t ⋅ Sdx ⎜ − ⎜ ∂x ∂x x ⎟ ⎠ ⎝ x + dx