统计热力学
统计热力学
= NkT ⎜⎛ ∂ ln q' ⎟⎞ ⎝ ∂V ⎠T ,N
(5)H = NkT 2⎜⎛ ∂ ln q ⎟⎞ + NkTV ⎜⎛ ∂ ln q ⎟⎞
⎝ ∂T ⎠V ,N
⎝ ∂V ⎠T ,N
=
NkT 2 ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂T ⎠V ,N
+
NkTV ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂V ⎠T ,N
可见θr只取决于分子本身的结构特征，一般分子的氏只有几度或十几度。
11.
qV
= =
exp(−θV / 2T )
1e−xepx(−p(h−νθV/
/T) 2kT )
1− exp(− hν / kT )
或
q'V
=
1−
1
exp(−θV
/T
)
=
1−
1
exp(− hν
/
kT
)
式中qv为双原子分子振动配分函数，q’V为将振动零点能值指定为 0 时的振动配分函数；θV为分 子的振动特征温度，其定义为
⎤ ⎥ ⎦
3.3 思 考 题
1．Stirling 公式 的适用条件是什么?
N!≈ ⎜⎛ N ⎟⎞N ⎝e⎠
2．对于由少数(例如 20 个)离域子构成的系统，我们能否用公式
∑∏ Ω =
g ni i
i ni!
计算其微观状态数?若不能用此式计算，请说应如何计算Ω。
3．什么是最可几分布?最可几分布的各能级分布数如何计算?
⎝ ∂T ⎠V ,N
⎝ ∂V ⎠T ,N
=
NkT 2 ⎜⎛ ⎝
∂ ln q' ⎟⎞ ∂T ⎠V ,N
化学物理学中的热力学和统计力学
化学物理学中的热力学和统计力学热力学和统计力学是化学物理学的两个重要分支，它们研究的是物质热力学性质和分子运动规律，是探究物质本质的的一门基础学科。
本文将从热力学和统计力学的基本概念、研究对象、热力学第一、二、三定律、热力学函数、状态方程、熵等方面进行阐述，希望可以为读者进一步了解化学物理学中的热力学和统计力学提供一些帮助。
一、热力学和统计力学的基本概念热力学和统计力学是两个不同的分支，热力学研究的是宏观尺度下的物理过程，而统计力学则是在微观尺度下对物质粒子的运动与相互作用进行研究。
热力学是以能量转换为研究对象的学科，主要研究物质的热力学性质，包括温度、压强、物态变化等；而统计力学则是以物质分子的热运动为研究对象的学科。
通过统计学的方法来推导宏观物理现象的微观动力学规律。
二、热力学和统计力学的研究对象热力学和统计力学研究的对象是相同的，都是物质。
热力学研究的是物质的宏观性质，表现为带有大量质点的物体的性质；而统计力学研究的是物质的微观性质，表现为分子或原子的性质。
热力学研究的物质状态为平衡态，而统计力学则研究物质在平衡态和非平衡态下的性质。
三、热力学第一、二、三定律热力学第一定律，也叫能量守恒定律，表明在一定条件下物体能量的总量不变。
具体来说，即使在一个系统中发生了内部的能量转化，这个系统所包含的总能量仍然保持不变。
根据热力学第一定律，热力学系统能量的变化等于系统的热量和功的合，表达式为ΔU=Q-W，其中ΔU表示系统内能的变化，Q表示系统吸收或放出的热量，W表示系统所做的功。
热力学第二定律是热力学中的熵增定律，表明在一定条件下，物体内部的热力学熵是单调不减的。
具体来说，随着热量传递，系统失去了一部分可以进行有效工作的能量，但是系统的热力学熵却不断增加。
热力学第二定律反映了物理过程的不可逆性。
热力学第三定律表明，在绝对零度时，物质的最低状态熵为零。
也就是说，热力学第三定律是热力学第二定律的推论，表明热力学第二定律中的熵增原则在绝对零度时还是成立的。
06章_统计热力学
12 什么是Sackur-Tetrode公式？有什么用处？
• 答：用来计算理想气体的平动熵。对于1 mol理 想气体因为Nk = R , 所以计算公式为：
上一内容
下一内容
回主目录
13 平动配分函数对热力学能、等容热容、平动 焓和平动Gibbs自由能有什么贡献
• 对热力学能的贡献为 1.5RT ；对等容热容的贡 献为 1.5R ；对平动焓和平动Gibbs自由能的贡 献为：
正确答案: d
上一内容 下一内容 回主目录
• 11. 热力学函数与配分函数的关系式对于定域 子体系和离域子体系都相同的是： • A. U．A．S • B. U．H．Cv • C. U．H．S • D. H．G．Cv
正确答案: B
上一内容 下一内容 回主目录
• • • • •
2mol CO2 的转动能 Ur 为： A. 2RT B. RT C. 1/2RT D. 3/2RT
答：CO2是三原子分子，设它为线形，则有3个平 动自由度，2个转动自由度和4个振动自由度，则：
假设正确，CO2是线型分子。
上一内容 下一内容 回主目录
2. CO和N2分子的质量相同， ，电子均处于非 简并的最低能态。两种分子的转动惯量相同， 但在相同温度、相同压力下，将两种分子看作 理想气体，计算所得的统计熵却不同，这是为 什么？那个熵值较大 CO的熵值较大。因为CO和N2的对称数不同，虽
上一内容
下一内容
回主目录
6.什么是等概率假定？
• 答：对于 U, V 和 N 确定的某一宏观体系，任 何一个可能出现的微观状态，都有相同的数学 概率，所以这假定又称为等概率原理。例如， 某宏观体系的总微态数为 W ，则每一种 微观状态 P 出现的数学概率都相等，即 P = 1/W 。
物理化学教材统计热力学
03 热力学函数与状态方程
热力学函数的概念与性质
热力学函数
描述系统热力学行为的物理量，如内能、熵、焓等。
热力学函数的性质
封闭系统中，热力学函数的改变量只与系统与外界的 能量交换有关，与具体变化过程无关。
热力学基本方程
描述系统热力学函数之间关系的方程，如热力学第一、 第二定律等。
热容与熵的概念
热容
平衡。
05 热力学过程与平衡常数
热力学过程及其计算方法
热力学过程
是指系统状态随时间的变化过程，包括等温、等压、等 容等过程。
计算方法
通过热力学基本定律和相关公式，计算过程中系统吸收 或释放的热量、功量等物理量。
平衡常数的概念与计算
平衡常数
是指在一定条件下，可逆反应达到平衡状态时，反应 物和生成物的浓度比值。
02 分子运动论与热力学定律
分子运动论的基本概念
分子运动论
分子运动论是研究物质分子运动 规律的理论，它通过分析分子运 动的速度、方向、频率等参数， 揭示物质宏观性质和微观结构之
间的关系。
分子模型
分子模型是描述分子形状和结构 的工具，常见的分子模型包括球 棒模型、比例模型等，它们可以 直观地展示分子的几何形状和内
热力学第三定律
热力学第三定律指出，绝对零度是不可能达到的，即绝对 零度是不可能达到的。
分子运动论中的热力学基本关系式
理想气体状态方程
理想气体状态方程是描述理想气体状 态变化规律的公式，它表示气体的压 力、体积和温度之间的关系。
热容公式
热容公式是描述物质在加热或冷却过 程中吸收或释放热量时温度变化规律 的公式，它表示物质的比热容、熵等 热力学参数之间的关系。
统计分布描述了大量粒子系统中，粒子在各 种可能状态下的分布情况。
统计热力学
i
(ni + g i − 1)! ≈ g in (g >> n ) 离域子系统： WD = ∏ ∏ n! i i n!×( g i − 1)! i i i
i
（6）最概然分布与平衡分布 热力学概率最大的分布称为最概然分布 最概然分布。 最概然分布 对于热力学系统N≥10２４，N，V，E确定的系统达平衡时(即系 统的热力学态)，粒子的分布方式几乎将不随时间而变化，这种分 布称为平衡分布 平衡分布。 平衡分布 当系统的N→∞时，最概然分布可以代表平衡分布，从而最概 然分布的微观状态数可以代替系统的总微观状态数。这就是摘取 摘取 最大项原理。 最大项原理。
第四章 统计热力学基础 1．统计热力学基本概念 ． （1）统计热力学系统的分类 ①独立子系和相依子系（非独立子系） 统计热力学将组成系统的分子、原子及离子等统称为粒子 粒子或 粒子 简称子。 子 按照粒子间有无不可忽略的相互作用，系统可分为独立子系 独立子系 （或近独立子系 近独立子系）——子间无相互作用；相依子系 相依子系（非独立子 近独立子系 相依子系 系）——子间有不可忽略的相互作用。 ②定域子系和离域子系 按照粒子的运动是否遍及系统的全体积，系统可分为定域子 定域子 系——子的运动是定域化的（不遍及系统的全体积）；离域子系 离域子系 非定域子系） （非定域子系）——子的运动是非定域化的（遍及系统的全体 积）。
而
q=qtqrqvqeqn
表明粒子的配分函数q可以用各独立运动的配分函数之积表示。 这称为配分函数的因子分解性质。配分函数的析因子性质非常有 用。通常可写成 lnq=lnqt+lnqr+lnqv+lnqe+lnqn （3）能量零点的选择对配分函数q值的影响 若某独立运动形式是基态能级的能量值为ε0，能级i的能量值 为εi，则以基态作为能量零点时能级i的能量值ε0 i应为 ε0i=εi－ε0 若规定基态能级的能量值为零时的配分函数以q0，则上述各能 级的能量为,则由配分函数的定义可得：
物理化学第七章统计热力学基础
热力学第二定律的实质是揭示了热量 传递和机械能转化之间的方向性。
VS
它指出，热量传递和机械能转化的过 程是有方向的，即热量只能自发地从 高温物体传向低温物体，而机械能只 能通过消耗其他形式的能量才能转化 为内能。
热力学第二定律的应用
在能源利用领域，热力学第二定律指导我们合理利用能源，提高能源利用效率。
优势
统计热力学从微观角度出发，通过统计方法描述微观粒子的运动状态和相互作用，能够 更深入地揭示热现象的本质和内在规律。
局限性
统计热力学涉及到大量的微观粒子，计算较为复杂，需要借助计算机模拟等技术手段。
统计热力学与宏观热力学的关系
统计热力学和宏观热力学是相互补充的 关系，宏观热力学提供整体的、宏观的 视角，而统计热力学提供更微观、更具 体的视角。
03
热力学第一定律
热力学第一定律的表述
热力学第一定律的表述为
能量不能无中生出，也不能消失，只能从一种形式转化为另一种 形式。
也可以表述为
封闭系统中，热和功的总和是守恒的，即Q+W=ΔU。其中Q表示传 给系统的热量，W表示系统对外做的功，ΔU表示系统内能的变化。
热力学第一定律的实质
热力学第一定律实质是能量守恒定律在封闭系统中的具体表现。 它表明了在能量转化和传递过程中，能量的总量保持不变，即能 量守恒。
掌握理想气体和实际气 体的统计描述，理解气 体定律的微观解释。
了解相变和化学反应的 统计热力学基础，理解 热力学第二定律和熵的 概念。
02
统计热力学基础概念
统计热力学简介
统计热力学是研究热力学系统 在平衡态和近平衡态时微观粒 子运动状态和宏观性质之间关 系的学科。
它基于微观粒子的运动状态和 相互作用，通过统计方法来描 述系统的宏观性质，揭示了微 观结构和宏观性质之间的联系 。
统计热力学
统计热力学
统计热力学，从粒子的微观性质及结构数据出发，以粒子遵循的力学定律为理论基础;用统计的方法推求大量粒子运动的统计平均结果，以得出平衡系统各种宏观性质的值。
相关资料：
统计热力学从粒子的微观性质及结构数据出发，以粒子遵循的力学定律为理论基础;用统计的方法推求大量粒子运动的统计平均结果，以得出平衡系统各种宏观性质的值。
研究方法：统计力学的方法,应用几率规律和力学定律求出大量粒子运动的统计规律。
优点：揭示了体系宏观现象的微观本质，可以从分子或原子的光谱数据直接计算体系平衡态的热力学性质。
缺点:受对物质微观结构和运动规律认识程度的限制。
统计系统的分类与术语:
①粒子(子):组成系统的分子，原子，离子等的统称。
①独立子系统:粒子间相互作用可忽略的系统。
如理想气体，完美晶体。
①相依子系统:粒子间相互作用不能忽略的系统。
如真实气体，液体。
①定域子系统(可辨粒子系统):粒子有固定的平衡位置，运动是定域的;如固体。
①离域子系统(全同粒子系统):粒子处于混乱的运动中，无法分别，粒子彼此是等同的。
如:气体，液体。
统计热力学
分 子 配 分 函 数
配 理 分 气 函 反 数 应 求 的 算 K
系 综 原 理
应 用 电 化 学
热 统 力 计 动 学 热 力 原 力 学 理 学
§6.1
引言
一、统计热力学的研究对象和方法 二、统计系统的分类 三、分布和微观状态数
j (定 ) N !
i
gi i ni !
n
n
离域子系统一种分布的微观状态数：
j
i
引言
gi i ni !
B-分布律 配分函数
i=1,2,…k
配分函数求算 平衡常数
12
例 有七个独立的可区别的粒子，分布在简并度为1， 3和2的1 ,2和3三个能级中，数目分别为3, 3,1， 问这种分布拥有多少微观状态？
解：根据题意N= 7
i
g ni !
ni i
j (离 )
i
g ni !
ni i
四、等概率假定(等可几假设)
五、最概然分布(最可几分布)
引言 B-分布律 配分函数 配分函数求算 平衡常数
2
一、统计热力学的研究对象和方法
研究对象同热力学，大量分子的集合体，即宏观物体 热力学研究方法： (唯象方法) 依据几个经验定律，通过逻辑推理的方法导出 平衡系统的宏观性质和变化规律。 特点：其结论有高度的可靠性，且不依赖人们 对微观结构的认识。(知其然不知其所以然——这 正是热力学的优点，也是其局限性) 统计热力学研究方法: (统计平均的方法) 从分析微观粒子的运动状态入手，用统计平均的 方法，确立微观粒子的运动状态和宏观性质之间的联 系。统计热力学是沟通宏观学科和微观学科的桥梁。
引言 B-分布律 配分函数 配分函数求算 平衡常数
统计热力学的发展及应用
统计热力学的发展及应用一、前言统计热力学是热力学的一个重要分支，它是通过微观粒子的运动状态和相互作用来研究宏观物理现象的一种方法。
自从19世纪末以来，随着人们对物质结构和性质认识的不断深入，统计热力学得到了迅速发展，并在许多领域得到了广泛应用。
二、统计热力学的发展历程1. 统计力学的起源统计力学最早可以追溯到卡诺在1824年提出的“热机理论”，他认为热量是由于气体分子不规则运动所引起。
后来，在19世纪60年代，克劳修斯进一步发展了卡诺的理论，并提出了“能量平均定理”，即气体分子内能量平均值等于其温度乘以玻尔兹曼常数。
这为后来统计力学的建立奠定了基础。
2. 统计热力学的建立在19世纪末和20世纪初期，众多科学家对气体分子运动规律进行了深入探究。
玻尔兹曼提出了著名的“玻尔兹曼方程”，描述了气体分子的运动规律，并通过对气体分子运动状态进行统计，得到了一系列重要的热力学量。
同时，吉布斯也提出了“统计平衡原理”，即系统最终会达到能量最大、熵最大的状态。
这些理论奠定了统计热力学的基础。
3. 统计热力学的发展随着人们对物质结构和性质认识的不断深入，统计热力学得到了迅速发展。
在20世纪初期，德拜和胡克等科学家提出了“配分函数”的概念，并用它来描述系统的状态。
此后，人们陆续提出了各种各样的配分函数，并将其应用于不同领域中，如固体物理、化学反应、生物物理等。
三、统计热力学的应用1. 固体物理在固体物理中，统计热力学被广泛应用于描述晶格振动和电子结构等现象。
通过配分函数和自由能等热力学量的计算，可以得到材料的各种性质，如比热、导电性、光学性质等。
2. 化学反应在化学反应中，统计热力学可以用来描述化学平衡和反应速率等现象。
通过计算配分函数和化学势等热力学量，可以得到反应的热力学数据，并预测反应的方向和速率。
3. 生物物理在生物物理中，统计热力学可以用来描述蛋白质、核酸等生物大分子的结构和性质。
通过计算配分函数和自由能等热力学量，可以得到生物大分子的稳定状态和折叠状态，并预测其功能。
《统计热力学基础》课件
分布函数的定义
分布函数是描述系统微观状态分布的函数，它表示在某一时刻， 系统中的粒子在各个状态上的概率分布情况。
微观状态数的概念
微观状态数是描述系统内部可能的状态数量的一个概念，它与系统 的宏观状态和微观状态有关。
分布函数的应用
通过分析分布函数，可以了解系统的微观结构和性质，从而更好地 理解系统的宏观行为和变化规律。
02
概率分布
概率分布用于描述粒子集合中不同微观状态的概率分布情况。最常见的
概率分布有玻尔兹曼分布和麦克斯韦-玻尔兹通过概率分布可以计算各种物理量的平均值，如粒子的平均速度和平均
动能。同时，涨落描述了粒子集合中物理量的偏离平均值的情况。
统计热力学的发展历程
早期发展
经典统计热力学
统计热力学的重要性
在科学研究和工程应用中，统计热力学提供了理解和预测物质性质、能量转换 和热力学过程的基础理论框架。它对于化学工程、材料科学、环境科学等领域 具有重要意义。
统计热力学的基本概念
01
微观状态和宏观状态
微观状态是指单个粒子的状态，如位置和速度；宏观状态是指大量粒子
集合的整体状态，如温度、压力和体积。
05
02
详细描述
热力学的第二定律指出，在一个封闭系统中 ，自发过程总是向着熵增加的方向进行，即 熵总是向着增加的方向变化。
04
详细描述
根据热力学的第二定律，热机的效率 不可能达到百分之百，因为总会有一 些能量以热的形式散失到环境中。
06
详细描述
热力学的第二定律还排除了第二类永动机的存 在，即不能从单一热源吸收热量并将其完全转 化为机械功而不产生其他影响。
熵的概念和性质
1 2
熵的定义
统计热力学课件
统计热力学课件1. 引言统计热力学是热力学的一个分支领域，它通过统计方法来研究物质的宏观性质。
统计热力学在物理学、化学等领域都有着广泛的应用。
本课件将介绍统计热力学的基本概念和主要内容。
2. 统计热力学基本概念2.1 系综统计热力学的基本概念之一是系综（Ensemble）。
系综是指一个包含一组相同物理性质的系统的集合。
常见的系综有微正则系综、正则系综、巨正则系综等。
2.2 平衡态在统计热力学中，平衡态是指系统的宏观性质不随时间改变或在长时间内保持不变的状态。
平衡态的性质可以通过统计平均值来描述。
2.3 统计力学统计力学是统计热力学的基本方法，它通过建立系统与外界的相互作用关系，研究宏观性质与微观粒子运动规律之间的关系。
统计力学的核心是概率论和统计学的应用。
3. 统计热力学的主要内容3.1 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布是统计热力学中最基本的分布函数之一，它描述了自由粒子在一定温度下的分布状态。
3.2 能量与熵能量和熵是统计热力学中两个重要的物理量。
能量是系统状态的核心属性，熵则是系统的无序程度。
统计热力学通过研究能量和熵的关系来揭示物质的宏观行为。
3.3 统计平均值统计平均值是描述系统平衡态性质的基本指标，例如内能、熵等。
通过对系统微观状态进行统计，可以得到系统宏观性质的平均值，从而揭示系统的宏观行为。
3.4 相变与临界现象相变和临界现象是统计热力学的一个重要研究内容。
相变是指物质在一定条件下从一个相向另一个相的转变。
临界现象则是相变过程中出现的特殊现象，例如临界点和临界指数等。
4. 应用领域4.1 物理学在物理学领域，统计热力学被广泛应用于凝聚态物理、磁学、高能物理等研究中。
例如，统计热力学可以用来解释物质的相变行为、电磁波的统计行为等。
4.2 化学在化学领域，统计热力学可以用来研究化学平衡、化学反应速率等问题。
例如，通过统计方法可以计算出化学反应的平衡常数和反应速率常数。
4.3 生物学统计热力学在生物学领域的应用越来越广泛。
统计热力学
e − Ei / kT e − Ei / kT Pi ( E i ) = = Q e − Ei / kT ∑
i
波耳兹曼因子： 波耳兹曼因子 e-Ei/kT 正则配分函数： ＝ 正则配分函数： Q＝∑i e-Ei/kT
5
4. 热力学函数的求算 U： U = ∑i PiEi = ∑i Ei (1/Q)e-Ei/kT ：
i
∂ ln q U = NkT ∂T N ,V
2
F = NkT ln ( qe / N )
7
• q 的分解： 的分解： • 分子的各种运动可以近似认为是各自独立的 故可以分解 分子的各种运动可以近似认为是各自独立的, 故可以分解: ∈i = ∈n + ∈e + ∈t + ∈r + ∈v • q = Σexp(-∈i/kT )= Σexp[- (∈n + ∈e + ∈t + ∈r + ∈v)/kT] ∈ ∈ • =[∑exp(-∈n/kT)] [∑exp(-∈e/kT)][∑exp(-∈t/kT)] ∈ ∈ ∈ [∑exp(-∈r/kT)] [∑exp(-∈v/kT] ∈ ∈ •
1 ∂ ln 1 − e−x 2 = N kT ∂T N ,V
xe−x = N kT ⋅ 1 − e−
x
(x
= Θ
v
/ T = hν / k T
)
U v ,m
xe − x = RT ⋅ 1 − e−x
高温时，x<<1, Uv,m≈RT
∑
对应于这一宏观状 态的所有微观状态
Pi A i
系综是大量与被研究体系相同的体系的集合。 系综是大量与被研究体系相同的体系的集合。 这些体系在宏观状态上完全相同 宏观状态上完全相同， 这些体系在宏观状态上完全相同，但在同一时 刻其微观状态则不同 微观状态则不同。 刻其微观状态则不同。 系综中的体系在数量上非常多， 系综中的体系在数量上非常多，可以认为涵盖 所有的微观状态（ 了体系所有的微观状态 对应于某一宏观状态） 了体系所有的微观状态（对应于某一宏观状态） 问题的关键是求出任一微观状态的出现几率 问题的关键是求出任一微观状态的出现几率Pi 几率
统计热力学基础
实际上：
微观构造与运动形态 影响 物质旳宏观性质
物质旳形成过程与时间 影响 物质旳宏观性质
对大量粒子旳微观力学性质（P646表）进行统计
处理得到由大量粒子构成旳宏观体系旳平衡性质
——统计热力学
微观
微观到宏观
宏观
量子 力学
统计力学
统计力学有两个基本出发点：
化学热力学 化学动力学
一是：宏观物质由大量旳粒子构成；
x
在某一数值附近。
▲ 相空间（τ空间）
px
N个粒子有N个子相空间，由N个子相空间构成
旳空间称为相空间（τ空间），有2Nf 维。
3.粒子微观状态旳量子力学描述
◆ 量子态
粒子旳多种运动是量子化旳，运动状态由波
函数描述，体系旳微观状态由体系旳波函数描
述，即，一种微观状i态t 相r v应e 一n 套量子态。不计
离域粒子体系：粒子能够在整个空间运动，且 没有拟定旳平衡点。如理想气体为离域独立子 体系，而实际气体为离域相倚子体系。 3. 玻色子体系和费米子体系（P658) 玻色子：不受泡利原理限制旳量子气体（光 子及含电子、中子和质子旳总数为偶数旳分子 或原子） 费米子：受泡利原理限制旳量子气体
三、几种常用术语（P648） 1.自由度、广义坐标与广义动量 ▲自由度：拟定体系中粒子位置旳独立参量
发展间史：气体分子运动学说为起点
1875年，克劳修斯提出：气体分子均方速度、 平均自由程和分子碰撞数等主要概念； 1860年，麦克斯韦导出分子速度分布定律； 1868年，玻尔兹曼将重力场引入分子速度分布 定律，得到熵旳统计意义，形成麦克斯韦-玻尔 兹曼统计法，这是建立在经典力学基础上旳，亦 称经典统计；主要用于分子间无相互作用旳体系 ——如低压气体，稀溶液旳溶质等；
热力学与统计物理学第四章 统计热力学
10
【书102页例4-3】
一维线性谐振子的哈密 顿量H p2 1 m 2q2 ,求能量为 E的等能面所围
2m 2 的相体积和态密度。
解：将等能线 H E写成标准的椭圆方程的 形式：
p2 a2
q2 b2
1,
a 2mE 2 ,
b
2E
m 2
则相体积就是椭圆的面 积
H
N i1
2pmi2 V(qi)
9
能量等于 E的等能面所围的相体(E积 )定义为
(E) dq1dqrdp1dpr HE
能量层E EE之间的相体积用以式 下计 公算： (EE)(E) d(E) E dE
2. 态密度
对粒子的动量和坐标的测量有一定的精度限制，在一个相格 内，粒子坐标和动量无法区分，认为是一个粒子的同一个状 态。现规定大小为 h r 的相体积元代表一个粒子的一个微观 态，则态密度定义为
对于孤立系统而言，所有可能的微观态以等概率出现。一般 来说，很多微观态对应于一个宏观态，热力学概率大意味着这 个宏观态出现的概率就大。——等概率原理是统计力学中的唯 一假设。
4
以同时投四个硬币为例，来说明热力学概率与通常意义下 的概率的关系。
5
通常的概率等于一种宏观态的微观态数 k 与所有
宏观态所具有的微观态数之和Ω的比：
的空间；
(2)相点： μ空间中的一个点代表粒子的一个可能的 运动状态；
(3)等能面：把μ空间具有相同能量的粒子状态连接 起来所构成的曲面；
8
(4) 相体积：等能面在相空间所围成的一块体积； (5) 相格：用 hr q1 qr p1 pr的体积元把μ空间等分，
每个体元能容纳许多代表点，且各点q和p 相等； (6) 态密度：某一能量E处单位能量间隔中的状态数。 • 相体积和态密度的计算 1. 相体积 2. 一个有r个自由度的粒子的哈密顿量写作
统计热力学
这就是定域体系的自由能公式，式中Q称为分子配分函数。
❖ 总结
定域体系有三个重要公式：
1、总微观状态数
γν ι
Ω Ν! ι
D
i νι!
2、最可几分布
FkT lnQN
3、热力学函数
*
ni N
g ie i g ie i
i
基本粒子：如电子、中子、光子等。 复合粒子：如原子、分子等。 复合粒子构成体系：如一升气体，一摩尔晶体等。 （2）统计体系分类 按照体系内粒子之间相互作用的强弱可把体系分为近独立 粒子体系和相依粒子体系。 按照体系内粒子是否可区分，也可把体系分为定域粒子体 系和离域粒子体系。
（3）微观态和宏观态 体系的微观态是指在某一瞬间，体系中全体
N个全同粒子构成体系，总自由度为Nf （f 为一个粒 子自由度），需要2 Nf 维相空间。
Γ空间：描述N个粒子构成体系，整个气体运动状态的 相空间，也叫做气体相空间。 Γ空间中的一个相点 代表体系的一个微观运动状态。
测不准原理：△q× △p≈ h
相胞：hf
❖ §1.2 粒子微观运动状态的描述 一、自由粒子
ni !
2、最可几分布
ni* e i e(i)/kT gi
3、热力学函数
Sk
i
[ni*lnngi*i ni*]
❖ §2.3 费米-狄拉克统计
由质子、中子、电子以及由奇数个这些基本粒子组成的复合粒子构成的体系 服从费米-狄拉克统计。这个统计分布的特点是每一状态最多容纳一个粒子。
一、微观状态数
D D
如果每个容器最多容纳物体数目不受限制，有多少种排列方式（N≤M）？
N个可区分的物体，排列在M个不同容器中，物体的数目不受限制，可能的方式 数有多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
统计热力学统计热力学是宏观热力学与量子化学相关联的桥梁。
通过系统粒子的微观性质（分子质量、分子几何构型、分子内及分子间作用力等），利用分子的配分函数计算系统的宏观性质。
由于热力学是对大量粒子组成的宏观系统而言，这决定统计热力学也是研究大量粒子组成的宏观系统，对这种大样本系统，最合适的研究方法就是统计平均方法。
微观运动状态有多种描述方法：经典力学方法是用粒子的空间位置（三维坐标）和表示能量的动量（三维动量）描述；量子力学用代表能量的能级和波函数描述。
由于统计热力学研究的是热力学平衡系统，不考虑粒子在空间的速率分布，只考虑粒子的能量分布。
这样，宏观状态和微观状态的关联就转化为一种能级分布（宏观状态）与多少微观状态相对应的问题，即几率问题。
Boltzmann 给出了宏观性质—熵(S )与微观性质—热力学几率(Ω)之间的定量关系：ln S k =Ω。
热力学平衡系统熵值最大，但是通过概率理论计算一个平衡系统的Ω无法做到，也没有必要。
因为在一个热力学平衡系统中，存在一个微观状态数最大的分布（最概然分布），摘取最大项法及其原理可以证明，最概然分布即是平衡分布，可以用最概然分布代替一切分布。
因此，有了数学上完全容许的ln Ω≈ln W D,max ，所以，S =k ln W D,max 。
这样，求所有分布的微观状态数—热力学几率的问题转化为求一种分布—最概然分布的微观状态数的问题。
波尔兹曼分布就是一种最概然分布，该分布公式中包含重要概念—配分函数。
用波尔兹曼分布求任何宏观状态函数时，最后都转化为宏观状态函数与配分函数之间的定量关系。
配分函数与分子的能量有关，而分子的能量又与分子运动形式有关。
因此，必须讨论分子运动形式及能量公式，各种运动形式的配分函数及分子的全配分函数的计算。
确定配分函数的计算方法后，最终建立各个宏观性质与配分函数之间的定量关系。
热力学：基础：三大定律研究对象：（大量粒子构成的）宏观平衡体系研究方法：状态函数法手段：利用可测量量p-T-V+C p,m和状态方程结果：求状态函数（U,H,S,G,等）的改变值，以确定变化过程所涉及的能量和方向。
但是，热力学本身无法确定体系的状态方程，需借助实验。
很显然，体系的宏观热力学性质取决于其微观运动状态，是大量粒子微观运动的统计平均结果。
热力学宏观性质体系的微观运动状态统计热力学统计热力学：基础：微观粒子普遍遵循的（量子）力学定律对象：大量粒子所构成的体系的微观运动状态工具：统计力学原理目的：大量粒子某一性质的微观统计平均的结果（值）与系统的热力学宏观性质相关联。
一、选择题1. 系统的微观性质和宏观性质是通过_______联系起来的(a) 热力学 (b) 化学动力学(c) 统计力学 (d) 量子力学c2. 研究统计热力学的基本方法是_________(a) 力学理论与统计学原理相结合(b) 对配分函数析因子(c) 对微观量求统计平均值(d) 求解微观粒子的运动方程(答案) c 宏观量是相应微观量的统计平均值3. 统计热力学主要研究_______(a) 平衡系统 (b) 近平衡系统(c) 非平衡系统 (d) 单个粒子的行为(答案) a 离域子系统（全同粒子系统）(气体)系统分类定域子系统（可辨粒子系统）(晶体)独立子系统（例IG按粒子间相互作用分类）相依子系统（例RG，晶体）4. 在统计热力学中，对系统的分类按其组成的粒子能否被分辨进行，按此原则：_________(a)气体和晶体皆属定域子系统(b)气体和晶体皆属离域子系统(c)气体属离域子系统而晶体属定域子系统(d) 气体属定域子系统而晶体属离域子系统(答案) c 离域子系统（全同粒子系统）(气体)系统分类定域子系统（可辨粒子系统）(晶体)独立子系统（例IG按粒子间相互作用分类）相依子系统（例RG，晶体）5. 统计系统可以分为独立粒子系统和相依粒子系统，这是按照________(a)系统内的粒子是否可以区分(b)系统内的粒子间是否有作用(c)系统内的粒子是定域的或非定域的(d)系统内粒子的能级是简并的或非简并的(答案) b6. 非理想气体是________(a)独立的全同粒子系统(b)相依的粒子系统(c)独立的可辨粒子系统(d)定域的可辨粒子系统(答案) b7. 下列各系统中属于独立粒子系统的是________(a)绝对零度的晶体(b)理想液体混合物(c)纯实际气体(d)理想气体混合物(答案) d8. 对统计系统的分类不正确的是________(a)晶体属于定域子系统(b)气体属于离域子系统(c)理想气体、绝对零度的晶体属于独立子系统(d)实际气体、液体属于相依粒子系统。
(答案) c9. 在作N 、V 、U 有确定值的粒子系统的统计分布时，令i iN n =∑，i iiU n ε=∑，这是因为所研究的系统是______(a) 系统是孤立的，粒子是独立的(b) 系统是封闭的，粒子是独立的或相依的 (c) 系统是孤立的，粒子是独立的或相依的 (d) 系统是封闭的，粒子是相依的(答案) a10. 式子i iN n =∑和i iiU n ε=∑的含义是______(a) 表示在等概率假设条件下，封闭的独立粒子平衡系统 (b) 表示在等概率假设条件下，封闭的独立粒子非平衡系统 (c) 表示封闭的独立粒子平衡系统 (d) 表示封闭的相依粒子平衡系统(答案) c11. 要使一个宏观系统的微观状态数有确定的值，必须满足的条件是_______(a) T ，V ，N 不变 (b) N ，U ，V 不变 (c) T ，N ，U 不变 (d) N ，U ，P 不变(答案) b 对于一个N ，U ，V 一定的宏观（孤立）体系，体系的微观状态数有确定值。
12. 对给定的热力学系统,任何分布应满足_______(a)iiNN =∑ (b) i i N U ε=(c) N 及V 一定 (d)iiNN =∑ 及i i N U ε=(答案) d13. 宏观状态确定的粒子系统，下面哪种说法是正确的_______(a) 只有一种确定的微观状态 (b) 微观状态总数Ω有确定值 (c) 只有一种确定的能级分布 (d) 以上说法都不正确(答案) b14. 分子的平动、转动和振动的能级间隔的大小顺序是________(a) 振动能 > 转动能 > 平动能 (b) 振动能 > 平动能 > 转动能 (c) 平动能 > 振动能 > 转动能 (d) 转动能 > 平动能 > 振动能(答案) a 转动的能级间隔2~10kTε-∆ 振动的能级间隔,~10h kTεεν∆∆= 平动的能级间隔 19~10kTε-∆，15. 三维平动子的平动能22/3=6/(8)t h mV ε能级的简并度为_______(a) 1 (b) 3 (c) 6 (d) 0(答案) b 简并度：某一能级所具有的微观状态数称为该能级的简并度222223()8t x y z h n n n mVε=++能级 nx ny nz g2 1 1,1t ε 1 2 1 3 三重简并1 1 216. 一个体积为V 、粒子质量为m 的离域子系统，其最低平动能级和其相邻能级的间隔是_________ (a) 22/3/(8)h mV(b) 22/33/(8)h mV (c) 22/34/(8)h mV (d) 22/39/(8)h mV(答案) b ，222222222222/3()88y x z t x y z n n n h h n n n m a b c mVε⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭，(,,1,2,)x y z n n n =17. 线型刚性转子的最低能级与相邻能级间隔是 ______(a) 228h I π (b) 2234h I π (c) 224h I π (d)2258h I π4010 5.81110Jεεε-∆=-=⨯(答案) c ，22(1)8rh J J Iεπ=+ (0,1,2)J =18. 转动特征温度定义为________(a) 2r 28IK h πΘ=(b)2r 28Ih πΘ=(c) 2r 28h I πΘ= (d) 2r 28h Ik πΘ=(答案) d19. 一简谐振子的能量为112h ν （基态能量不为零）时，振动量子数为_______ (a) 3ν= (b) 4ν= (c) 5ν= (d) 6ν=(答案) c ，v 12h ευν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,1,2)v =20. 振动特征温度定义为________(a) 22v 8IK h πΘ=(b)v h k νΘ=(c) v h νΘ= (d)v (1/2)v h νΘ=+(答案) b21. 对于近独立离域子系统，在经典极限下能级分布D 所拥有的微观状态数W D 为______(a) !!i g i D i i n W N n =∏ (b) !!in i D i i g W N n =∏(c) !!i g i D i n W N N =∏ (d) !!in i D ig W N N =∏(答案) b22. 对(U ，V ，N)一定的独立定城子系统，某能级分布D 的微观状态数W D 为______(a)/!ig ii inn ∏ (b) /!i n i i ig n ∏(c) !/!ig ii iN nn ∏ (d) !/!i n i i iN g n ∏(答案) d23. 下边关于分布的说法，哪一种是正确的_______(a) 一种分布就是一种微观状态，而且只是一种微观状态(b) 一种分布就是其中具有能量为1ε的有一组粒子1n ,具有能量为2ε的有一组粒子2n …，具有能量为i ε 的有一组粒子i n(c)具有各种能量的各组分子，其中一组表示一种分布 (d) 各种分布具有相同的出现几率(答案) b能级分布：将N 个粒子如何分布在各个能级上，称为能级分布。
对于N ,U ,V 一定的体系，有多少种能级分布是一定的,能级分布说明在各个能级上分布的粒子数。
例：80个学生在1-6楼中分布，同时满足80,205ii iN n U n ε====∑∑则 楼层 一 二 三 四 五 六i ε 1 2 3 4 5 6 （任意单位）i n 25 20 15 10 5 5 （能级）分布之一j n 20 20 20 15 5 0 （能级）分布之二24. 玻耳兹曼分布 _______(a) 是最概然分布，但不是平衡分布 (b) 是平衡分布，但不是最概然分布 (c) 即是最概然分布，又是平衡分布(d) 不是最概然分布，也不是平衡分布(答案) c25. 在已知温度T 时，某种粒子的能级2j i εε=，简并度2j i g g =，则j ε和i ε上分布的粒子数之比为________(a)/12i kT e ε (b) /212i kT e ε-(c) /2i kTe ε- (d) 2/2i kTeε-(答案) c ，i /i i kTN n g e qε-=26. 假定某原子的电子态有两个主要能级，即基态和第一激发态，能级差为211.3810J -⨯，其余能级可以忽略，基态是二重简并的。