[亥姆霍兹定理的证明.doc]
亥姆霍兹定理
➢ 为什么讨论？ ➢ 稳态场与时变场的对比 ➢ 稳态场方程是麦克斯韦方程的特例
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
实验定律、 定义物理量
亥姆霍兹定理
F ?
F ? F A
库仑定律和电场强度
静电场的环路定理 高斯通量定理 电位函数 电位移矢量
媒质分界面上场量 的方程
分界面上的衔接条件
静电场的源 静电场的时间特性
研究思路、研究内容
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的源 ➢ 为什么讨论？ ➢ 场源的特点决定着场的性质
➢ 相对于观察者静止且量值不随时间变化的电 荷 产生静电场
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 静电场的时间特性 ➢ 静电场是稳态场，物理量仅是空间位置的函数， 与时间无关，即 • 0
边界条件 微分方程1
介质1
衔接条件 微分方程 2 介质2
以静电场为例：介绍场的研究方法
➢ 研究思路、研究内容
定解条件 (边值问题)
静电场的边值问题 唯一性定理
分析解法
镜像法和电轴法
和电路参数的关系
电容和部分电容
能量
静电场的能量
本节要点
➢ 本节的研究目的
本课程要研究哪些内容？
➢ 本节的研究内容
亥姆霍兹定理 — 研究电磁场的主线
F A
1 F(r)
(r)
dV
4 V rБайду номын сангаас r
1
A(r )
F(r) dV
4 V r r
亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的意义—研究电磁场的主线 本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问题；
亥姆霍兹定理公式
亥姆霍兹定理公式
《亥姆霍兹定理公式》是一个重要的数学定理，它有助于研究电路和电子学的基本原理。
它的公式表达式为：V=I*R，其中V表示电压，I表示电流，R表示电阻。
这个定理告诉
我们，电压和电流之间的关系是线性的，也就是说，当电流增加时，电压也会增加，反之亦然。
亥姆霍兹定理有着广泛的应用，它可以用来计算电路中的电压和电流，以及电路中每个元件的电阻。
它还可以用来分析电路的性能，从而更好地设计电路。
此外，它还可以用来计算电路中的功率，以及电路中每个元件的功率损耗。
亥姆霍兹定理的发现对电子学的发展起到了重要的作用，它为电子学的研究提供了一个简单易懂的公式，使研究者能够更好地理解电路的基本原理，从而更好地设计和控制电路。
因此，亥姆霍兹定理是电子学中一个重要的理论基础，它为电子学的发展做出了重大贡献。
《电磁场理论》1.6 亥姆霍兹定理
u0
2
4）有散、有旋场 这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分
F (r ) Fl (r ) FS (r ) u(r ) A(r )
无旋场部分 无散场部分
无旋场与无散场可以看成是两种基本的矢量场，任一矢量场 都可以分解为无旋场部分与无散场部分之和，也就是说，任一矢 量场都可以表示为一标量场的梯度与另一矢量场的旋度之和。 4 F (r ) Fl (r ) Fs (r )
2)无源有旋场
若矢量场 F (r ) 在某区域V内，处处 F 0 ，但在 某些位置或整个空间内，有 F J 0 ，则称在该 区域V内，场 F (r ) 为有旋无源场。 2 说明：式中 J 为矢量场漩涡源密度。
F 0
重要性质：
S
F (r ) dS F (r )dV 0
由散度定理
AdV
V
S
A dS
S
A ndS
设 A ( 和 为空间区域内两个任意的标量函数）
A ( ) 2
2
A n n
dS 得格林第一恒等式 ( )dV V S n
说明：
F (r ) u (r ) A(r )
1）矢量场 F 可以用一个标量函数的梯度和一个矢量 函数的旋度来表示。此标量函数由 F 的散度和 F 在 边界S上的法向分量完全确定；而矢量函数则由 F 的旋度和 F 在边界面S上的切向分量完全确定；
2）由于 [u (r )] 0, [ A(r )] 0 ，因而一个 矢量场可以表示为一个无旋场与无散场之和，即
1.6 亥姆霍兹定理和格林定理
一、矢量场的分类
1-4亥姆霍兹定理
— — Helmholtz Theorem
(1)总结了 (标量、矢量 )场的基本性质
(2)散度方程和旋度方程— — 矢场的基本微分方程
(3)闭合面通量和闭合线环流— — 矢场基本积分方程
(4)标量场性质完全可以由它的梯度来表明
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散r
＝ − ∇U＋∇ × A
两个恒等式(可逆 )
(1)标量场梯度的旋度为零
r r ∇Ur= F无旋 保守r性
∫Q F无旋 • dl ≡ 0 Q∇ × F无旋 ≡ 0
C
— — 逆定理…？
(2)矢量场旋度的散度为零
r ∇ • (∇r × A) ≡ 0 ∇ • F无散 ≡ 0 — — 逆定理 … ？
亥姆霍兹定理(公理 )
定理的本质：
S
C
Helmholtz Theorem
Fr＝
−
∇U＋∇
×
r A
微分、积分方程
Helmholtz Theorem
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无旋＋F无散 r
＝ − ∇U＋∇ × A
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
r
rr
F = 两个特殊的场分量之和＝F无散＋F无旋
矢场的基本微分方程
— — 散度方程和旋度方程
r
rr
r
{ ∇ • Fr = ∇ • (Fr无散＋Fr无旋) = ∇ • Fr无旋 = ? ∇ × F = ∇ × (F无散＋F无旋 ) = ∇ × F无散 = ?
矢场的基本积分方程 — — 闭合面通量和闭合线环流
电磁场与电磁波第5讲旋度和旋度定理零恒等式亥姆霍兹定理y-文档资料
直角坐标系下证明： A ＝ 0
ˆx a C urlA x A x ˆy a y A y ˆz a z A z
A A A y x d i v A A = z x y z
A A A A A A y x z z ˆx ˆy ˆz y x C urlA ＝a － － a － a z z x y x y
S
V 0
v
A A A y x d i v A A = z x y z
3. 散度定理
i v A d V d S d A
V S
2
主要内容
1. 矢量场的旋度 2. 斯托克斯定理 3. 两个零等式 4. 亥姆霍兹定理
3
1. 矢量场的旋度
旋涡 旋涡源 环量 旋度
F 0a n d F g ; i i F 0a n d F G s s F F ga n d F F G i s
再由两个零等式:
F V ;F A i s F V A
26
二阶微分算子
27
例子： 已知一个矢量函数 :
x
x
x
最大方向旋度（大小和方向）定义为矢量的旋度
ˆ C u r l A A l i m a n
s 0 s p o i n tM
l Ad
C
s
m a x
？旋度的方向
aˆ
z
空间矢场在任一点的旋 度矢量的方向是该点取 最大方向旋度的方向， 它的模是该点取最大方 向旋度的大小。 8
（3）方向旋度
25
矢量场的散度是流量源强度的度量，而矢量场的旋度是旋 涡源强度的度量。当流量源强度和旋涡源强度均给定时， 可知该矢量场将被确定。由此，任何一个一般矢量场 F可 以分解为无旋部分 Fi 和无散部分 Fs
EM2014-Chapter-1-3-格林定理和亥姆霍兹定理
F (r ) J (r )
已知梯度场为无旋场，旋度场为无散场，因此，根据亥姆霍兹定理，任一矢 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和 。 量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。
7
上述亥姆霍兹定理是针对无限区域 而言的，如果是有限区域 有限区域，任一 ，任一 上述亥姆霍兹定理是针对无限区域而言的，如果是 矢量场仍可表示为一个无旋场与无散场之和，但必须考虑区域边界上的 边值条件。 边值条件。 如果已知矢量场在有限区域的散度和旋度，以及矢量场的边值条件， 利用亥姆霍兹定理即可求出该矢量场的空间分布。因此，矢量场的散度 及旋度特性是研究矢量场的首要问题 。 及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 根据亥姆霍兹定理，无限区域中的矢量场被其散度和旋度惟一地确 定，有限区域中的矢量场被其散度、旋度和区域边界上的边值条件惟一 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 地确定。这一结论对本课程内容的讲解非常重要。在后续章节分别研究 静电场、恒定磁场和时变电磁场时，将会把经过实验定律验证的矢量场 的散度和旋度作为基本假设 ，由此推导出描述矢量场特性 特性和计算矢量场 和计算矢量场 的散度和旋度作为基本假设，由此推导出描述矢量场 空间分布的相关公式或关系式。 空间分布的相关公式或关系式。
V
式中，S为包围V的闭合曲面，面元dS的方向为S表面的外法线方向。 以上两式称为矢量第一格林定理 ，或者，矢量格林第一恒等式 矢量格林第一恒等式，有时也称为 ，有时也称为 以上两式称为矢量第一格林定理，或者， 标量格林第一恒等式的矢量模拟 。 标量格林第一恒等式的矢量模拟。
矢量第一格林定理的证明
根据矢量恒等式
[ A ( B ) B ( A)] dS B [ ( A)] A [ ( B )] dV
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例16 求V3解由上节例中可知因此根据（1.41c）式式中代人，在r#r'，即及式0处V）J_ = A_ A^o R R3 V但由上式不能确定V2j在r-/点，即7?=0点的值，为此，计算▽■募V V 5以上应用了髙斯定理将体积分转换为面积分。
如果以上体积分中不包含/点，则在体积分体积中R^O,体积分的被积函数为零，积分也为零；如果以上体积分中包含r1点，可将积分体积设为中心在点，以a为半径的球，则在该球面上半径R=a为常数，X的方向与球面的法线方向相同，因此也就是—忐去=0对于三维＜函数8(R)^S(r-r')^S(x~x' )S(y~y' )5(z—/)，有S⑻=0 穴关0卜dv C比较可知-忐去4⑻即去=—inS(R)(1.4-12)去)dV =fl▽■▽I:-7▽ 2^dV=_V亥姆霣兹定理：若矢量场f•在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为F(r) =- ▽0(r) +V X A(r) 式中V 证根据5函数的性质F(r) = JJ - r)dW(1.6-3)(1-6-4)(1- 6-5)(1.6-6) 将= 代人上式，V考虑到微分运算与积分运算的变量不同，由上式可得v^v\AV ， V利用矢量恒等式,VXVX4=W-A-V !A,上式可写为 F(r> 二—▽▽ ■i^dW) + V X V X j^d^) V V即F(r) =—▽*+▽ x A 0(r) = V •仲)=v X i^VT dr > V(1.6-3)式得证。
将(1.6-8)和(1.6-9)式中的徽分与积分运算交换次序，分别得 中⑺：O=認▽ xV =—W X vVFC^ x v ，T^VT dv ，二 a厦,V V r X F<〆) 式中(1.6-7〉(1.6-8)(1.6-9〉V- M s(1.6-10)(1.6-11)打〆).v (t , \-|)dy ，A(r) = ▽ X<1.6-10)和(1.6-11)式的体积分是无限空间区域，封闭面积分是包围无限大空间区域的无限大的曲面。
亥姆霍兹定理
各科学习都取得了较好成绩。学习成绩报告表明：他的拉丁语、希腊语、希伯来语、宗教、数学及物理学 方面的成绩良好，历史和地理学成绩优异。中学毕业考试结果表明，他的希腊语、法语、拉丁语成绩出色， 数学考试表明了他对数学原理有着超乎寻常的理解。在额外提交的一篇题为 “论自由落体定律”的论文中， 其思想和表述非同一般地准确，表明了他对物理问题的深思熟虑。在随后举行的口试中，他以优异的成绩 获得通过。１８３８年９月，亥姆霍兹以出色的成绩完成了中学学业。 还在中学阶段，亥姆霍兹就对物理学产生了浓厚的兴趣。通过物理学和化学实验的具体操作以及父亲 和其同事间常有的科学讨论的熏陶，他决定投身科学事业的愿望日益强烈。同时，一些独具创造性的实验 也一再唤起他求知的欲望。然而收入欠丰的父亲还要承担亥姆霍兹的两个妹妹和一个弟弟的教育任务，实 在无钱支持他专门从事物理学的学习，遂推荐他到弗里德里希－维廉医学院学习。这样，一方面在学医的 同时，还可以学到一些物理知识；另一方面，学习上能得到政府的资助，条件是五年的医学学习之后，必 须作为军医服务八年。于是亥姆霍兹愉快地接受了父亲的建议，踏上了学医的道路。 扎根弗里德里希－维廉医学院 １８３８年１０月，亥姆霍兹带着对知识的渴求和对自然科学的无限热爱之情，来到了位于柏林的弗 里德里希－维廉医学院，从此开始了新的生活。正是在这里，他接受了多方面的教育，加之自身的天赋和 父母的精心培养，他的智力达到了更高的水平，从而为未来的辉煌事业奠定了坚实的基础。 医学院的学习生活是紧张而有秩序的，他每周都要上４０多节课。它们包括化学、一般解剖学、内脏学、 骨科学、感觉器官解剖学、物理学、内科学、逻辑学、历史、拉丁语、法语等课程。尽管功课很忙，他还 是按父亲嘱咐的那样，每天抽时间用于音乐，演奏莫扎特和贝多芬等人的名作，晚上时常研究歌德和拜伦 的作品或做些微积分。第一学期的课程结束后，他认真研读了休谟、康德等人的著作。在他看来，自己需 要认真学习这些伟人的著作，特别是康德和休谟的著作。休谟的著作曾使他爱不释手，以致有一天晚上他 一气之下连读了几本休谟的著作，其中的认识论问题深深地打动着他，并对他日后的哲学思想的形成产生 了重大影响。 第二学期，他特别被缪勒（Johannes Muller）的生理学课程所吸引。另一件对他来说特别有意义的事情 是，他被学院图书馆指定为助理馆员，馆内丰富的资料给他提供了充足的精神食粮。正如他于１８３９年 ３月给父母的信中所说：“助理馆员的工作每周要花去我两个小时，但这是从馆藏的大量旧文献中发现有价 值的东西的最好方式”。 （ 〔１〕 ，ｐ．１９）正是在这期间，他自学了欧拉（Euler） 、伯努利（D.Bernoulli） 、 达兰贝尔（d Alembert ） 、拉格朗日（Lagrange）和其它科学家的重要著作，从而大大提高了自己的数学物 理水平。 １８３９年夏季学期的课程依然十分紧张，其内容包括动物化学、植物学、自然史、生理学、化学、 历史、拉丁语、法语等课程。但亥姆霍兹仍然挤出时间欣赏希腊著名文学作品。１８４０年冬季学期一开 始，在充分准备基础上，亥姆霍兹顺利通过了解剖学实验考试。此后便开始了自己独立的科学研究和博士 论文工作。 １８４０年冬季—１８４１年夏季， 亥姆霍兹致力于拓宽自己的知识， 特别是数学和力学知识。 １ ８ ４ １ 年 底 ， 他 开 始 考 虑 生 理 学 问 题 并 与 缪 勒 的 学 生 布 吕 克 （ Brü cke,E. ） 、杜布瓦－莱蒙 （du Bois-Reymond,E）等人密切交往，并很快成为这个团体中的一员。他们之间的交流、讨论使彼此受益 匪浅。正如亥姆霍兹在回忆这段宝贵时光时所说的那样：“与这些杰出人物的交往能改变人的价值观，这种 智力交流是人生最有意义的经历”（ 〔１〕 ，ｐ．２２） 。这个团体的目标在于把心理学与物理学结合起来， 从而把心理学建立在牢固的物理学基础上。在这个小组的所有成员中，亥姆霍兹所表现出的数学才能远非 他人所能及。他那深厚的数学基础已经预示了一个杰出的数学家在生理学、物理学等领域中的光辉未来。 老师缪勒极力反对当时流行的关于生命本质的各种形而上学学说，主张一切科学概念都建立在严格的 经验基础之上，倡导生理学研究中应用归纳方法、反对演绎方法。正是在这种影响下，亥姆霍兹利用自己 节省下来的生活津贴买到的一个小显微镜和几本物理、化学教科书为条件开始了自己的生理学方面的博士 论文。 １８４２年８月， 他向缪勒提交了有关神经生理学内容的博士论文。 缪勒认为论文的选题意义重大， 但要使理论无懈可击还必须做另外一些动物实验。９月底他到夏特里（Charité )医院做实习外科医生，这是 一件费时而又繁忙的工作，但亥姆霍兹认为这是非常有趣和有益的工作。与此同时，他还挤时间 十九世纪下半叶的德国已成为世界科学中心，其科学界真可谓群星灿烂、人才辈出。亥姆霍兹正是这 个科学家群体中的一颗光彩照人的巨星。 他既有渊博的知识， 又具有融实验家和理论家为一体的非凡天才， 在其所涉猎的许多领域中都作出了杰出的贡献。为此，医学、生理学、化学、物理学、数学、哲学、美学 等学科都为拥有亥姆霍兹而倍感光荣。 他的科学贡献之大，仅从亥姆霍兹微分方程、亥姆霍兹方程、亥姆霍兹双电层、亥姆霍兹流动、亥姆 霍兹自由能、亥霍姆兹线圈、亥姆霍兹共鸣器、杨－亥姆霍兹三色学说，以及他的学生维恩（ W.Wien） 、 赫兹（H.Hertz） 、罗兰（H.Rowland） 、迈克耳逊（A.A.Michelson）等人就足见一斑。而他的科学和哲学思 想又是如此地丰富而深刻，以致现代西方哲学中的新康德主义、维也纳学派、弗洛伊德精神分析哲学等流 派都从他那里获得了使自身得以产生和发展的营养，并把他作为自己的主要拥护者和最出色的见证人。就 连马克思主义经典作家恩格斯、列宁也都曾对其科学和哲学思想作了认真研究，这是只有爱因斯坦等极少 数杰出人物才享有的殊荣。因此，认真研究亥姆霍兹的科学与哲学，对于我们全面而深刻地理解现代科学 与现代西方哲学的产生与发展有着极为重要的意义。 鉴于亥姆霍兹的科学与哲学思想之丰富而深刻，因此，本文将着力于他的科学生涯及其贡献的一般方面。 奇特的少年时代 １８２１年８月３１日，赫尔曼· 冯· 亥姆霍兹（Hermann Von Helmholtz）诞生于德国柏林附近的波茨坦 （Potsdam） 。 父亲Ａ．Ｆ．Ｊ．亥姆霍兹（August Ferdinand Julius Helmholtz）是波茨坦一所中学的教师。他兴趣广 泛， 对于绘画、 美学、 哲学、 语言学都有相当研究。 他常与朋友在一起谈论哲学问题， 著名哲学家Ｊ． Ｇ． 费 希特的儿子Ｉ．Ｈ．费希特就是他的挚友和家中常客。无论是作为一位教师还是一位父亲，他都尽心尽责 地履行着自己的义务。 母亲Ｆ． Ｃ． 彭妮 （Fraü lein CaralinePenne） 是汉诺威一位军官的女儿。 她性情温和、 天资聪颖，对每件事情的判断都十分朴实、清晰而富有启发，似乎有着一种透过现象而直视本质的直觉。 她把自己全部的精力都奉献给了持家和教育四个孩子这一平凡而伟大的事业。双亲的优良品格在亥姆霍兹 身上都得到了继承和发扬。 幼时的亥姆霍兹是一个体弱多病的孩子，每次生病都加重着父母的忧虑，然而庆幸的是每次他都得到 了良好的恢复。有一次，一位亲戚对他的父亲说：“你不要为儿子还没学到什么东西而忧伤，我肯定八岁前 不让他学什么将对他是有益的。洪堡（ A.von Humboldt）不是在八岁前还不知道什么吗，而现在他被国王 任命为科学院院长，有着阁下头衔和一大笔年薪。我预见你儿子也会这样的。”（ 〔１〕 ，ｐ．６） 。说不清 这是一种安慰，还是真的预见，这种奇迹果真在亥姆霍兹身上实现了。 由于体弱多病，他老是被限制在家里，时常是在床上看画册、玩积木游戏，对于这些他近乎达到了入 迷的地步。也正是通过这些，父母对他进行了精心的早期教育，以致他在小学时，在几何学课上所表现出 的超常的几何知识令老师们都感到吃惊，７岁入小学时，他身体仍不健壮，后经体育锻炼逐渐好转。 １８３２年，亥姆霍兹升入中学一年级。在班上他已能很轻松地跟上课程，对此他的老师也很满意。 尽管他的写字和家庭数学作业做的都不太令人满意，但他的自学能力，以及他对于自己感兴趣的问题所倾 注的热情和所具有的丰富的想象力，都受到了高度评价。也许是幼时多病所致，他的记忆力十分不好。对 他来说，单词、语法和成语的记忆是较难对付的，历史课更是他所不能及的，背诵散文对他来说简直是一 种折磨。然而奇怪的是，欣赏文学大师的诗作他并不感到困难，这也许是因为他那敏锐的审美鉴赏力的缘 故吧。在家时，父亲总是竭尽全力去唤起孩子们对于诗歌、艺术和音乐的美感，并把他们塑造成虔诚的爱 国者。 中学阶段的最初三年，亥姆霍兹主要学习语法和美学。二年级时他的课程又增加了数学和物理学。有 时他不在班上读西塞罗和维吉尔〔 （＊）ｂ〕 ，而在老师视力所不及的桌子下研究望远镜所涉及的光学问题 或学习一些光学原理，这些知识在他此后发明检眼镜时起了重要作用。 十五岁时，亥姆霍兹还是一个性情温和、沉默寡言的孩子。这时他的智力已得到了突飞猛进的发展，
亥姆霍兹定理
curl A A
ˆ ˆ ˆAx y ˆAy z ˆ ˆAz ) A x y z (x x A y z x y z Az Ay Ax Az Ay Ax ˆ ˆ ˆ x z Ax Ay Az y z y z x x y
A矢量的模：
2 2 A Ax Ay Az2
A矢量的单位矢量：
Ay Ax Az A ˆ ˆ ˆ ˆ A x y z A A A A ˆ cos a y ˆ cos z ˆ cos x
两个矢量的对应分量相加或相减：
ˆ( Ax Bx ) y ˆ ( Ay By ) z ˆ( Az Bz ) A B x
轾 轾 骣 骣 骣 y 抖骣 x鼢 z 抖骣 y鼢 x 珑 珑 犏 犏 ˆ ˆ + y + z 鼢 鼢 珑 珑 3鼢 3 3鼢 3 珑 珑 犏 犏 桫 桫 桫 桫 z桫 r3 抖 z r x r 抖 x r y r 臌 臌
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
因
z 3 yz 3 5 y r r y 3 yz 3 5 z r r
(或旋涡量), 记为
A dl
l
二、旋度
1. 环量密度
D S® 0
A ×dl ò lim
l
DS
把封闭曲线收小, 使它包围的面积ΔS趋近于零, 取极限 意义：环量的面密度 注意：该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关
电磁场与电磁波
第一章 矢量分析
2. 旋度
矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大 时, 该面元矢量的方向 [ A dl ]max ˆ lim l Curl A n S 0 S
高等电磁理论
1、 试证明亥姆霍兹定理。
亥姆霍兹定理指出，在由闭合面S 所包围的体积V 中的任一矢量场F ，由它 的散度、旋度和边界条件（即限定空间体积V 的闭合面S 上的矢量场分布）唯一确定，并可写成一个无旋场1F 和一个无散场2F 之和。
下面证明亥姆霍兹定理。
在图1-1所示三维直角坐标系中有一闭合面S ，V 是闭合面S 所包围的有限空间。
P 、Q 为有限空间V 中任意的点，各自坐标分别为(',',')x y z 、(,,)x y z ，或者记为'r 、r 。
P 点指向Q 点的矢量记为'R r r =-。
'r ry图1-1利用δ函数的抽样性质，有限空间V 中任意一点r 处的矢量场()F r 可以写为：方程1-1右端的积分空间为闭合面S 所包围的有限体积V ，积分变量是'r ，此时r 可视为常量并且只有当它位于V 内时方程1-1才成立。
'r r -1.1。
'dV r r -其中积分变量为'r ，而拉普拉斯算子2∇是作用在r 上，所以交换拉普拉斯算子与积分的运算顺序不影响结果，交换两者运算顺序有：'dVr r-根据矢量恒等式：2()()x x x∇=∇∇⋅-∇⨯∇⨯4''dV dVr r r rπ--⎰⎰⎰令：'dVr r-1)''r dVr r=∇⨯-⎰⎰⎰2()()F r A r=∇⨯可以重新写为：在方程1-8中，矢量场1()F r是标量()rφ的负梯度为无旋场，矢量场2()F r是矢量()A r的旋度为无散场，这就将矢量场()F r表示为了一个无旋场与一个无散场的和。
下面对()rφ和()A r做进一步处理。
在方程1-6-1中，由于求散度运算“∇⋅”作用于变量r，积分运算中积分变量是'r，所以交换两运算的顺序不影响结果。
'r r⎥⎥-)'''r r r r r r ⎥=∇∇⎥---考虑到求散度运算“∇⋅”只作用于变量r ，而(')F r 是关于'r 的函数，所以对(')F r 求散度的结果为零。
格林公式、亥姆霍兹定理
rr ( f ) d S
S
S
(
r f
)
erz
d
S
( f y fx ) d S S x y
Ñ l ( fx d x f y d y)
( f y fx ) d x d y S x y
这就是格林环量公式。
大理大学工程学院 罗凌霄编写
4
亥姆霍兹定理
亥uv姆霍兹定理：在空间有限区域 V 内的任一个矢量 场F ，由它的散度、旋uv 度和边界条件唯一地确定，并 可表uv 示成一uv个无旋场（F1 ）和一个无发散源场 （ F 2 A）之和。即
uv uv uv
uv
F F1 F 2 A
uv
r uv
大理大学工程学院 罗凌霄编写
7
《矢量与场论》 课程结束
大理大学工程学院 罗凌霄编写
8
格林公式和 亥姆霍兹定理
大理大学工程学院 罗凌霄编写
1
格林闭曲面通量公式
由高斯散度定理得:
r
ÑS d S V () dV V ( 2) dV
（a）
因为
r
蜒 S d S
S
ern
dS
?S
n
dS
所以公式也可以写成
大理大学工程学院 罗凌霄编写
5
如果矢量场 uFv在远处以足够快的速度减弱至零，即
R
uv 时，F(x,
y, z)
1 R1
, 其中
0,
则在包围整个空间的面上，上述的两个面积分等于零，
于是Biblioteka uv x,y,
如何理解亥姆霍兹定理
如何理解亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理（Helmholtz theorem）是一个基本的数学定理，它与向量场的分解和表示有关。
它是由德国物理学家赫尔曼·冯·亥姆霍兹于19世纪提出的，并以他的名字命名。
亥姆霍兹定理的核心内容是：任何连续可微的矢量场都可以分解为两个无旋矢量场和一个无散矢量场的和。
也就是说，一个向量场可以表示为其旋度和散度的线性叠加。
具体地说，设V为一个三维欧氏空间中的连续可微矢量场，其定义为V(x,y,z)=(Vx(x,y,z),Vy(x,y,z),Vz(x,y,z))。
亥姆霍兹定理可以表示为：V=-∇Φ+∇×A其中，Φ是一个标量势场（也称为无旋场），A是一个矢量势场（也称为无散场），∇是向量微分算子，∇Φ表示Φ的梯度（也称为梯度场），∇×A表示A的旋度（也称为旋度场）。
亥姆霍兹定理的重要性在于它将向量场分解为两个具有特定性质的子场。
无旋场的旋度为零，意味着其闭合环路的线积分为零，因此无旋场可用来描述势能场，如重力场和电场。
无散场的散度为零，意味着其电场线是连续的，无源的，而且电通量守恒。
这些性质在物理学中有着广泛的应用，如电磁学、流体力学、热传导等。
亥姆霍兹定理的证明利用了向量微积分和高等数学的相关知识，需要深入的数学基础。
具体证明可以参考高等数学或者数学物理学的教材。
亥姆霍兹定理的一个直接应用是麦克斯韦方程组的分解。
麦克斯韦方程组是电磁学的基本方程组，描述了电场和磁场的演化规律。
根据亥姆霍兹定理，电磁场可以分解为一个有电荷和电流产生的无散电场和一个无源的无旋磁场的叠加。
这种分解方便了对电磁现象的研究和应用，为电磁学理论奠定了良好的数学基础。
热力学亥姆霍兹定理
热力学亥姆霍兹定理
嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊热力学里超有趣的亥姆霍兹定理。
你知道吗？这定理就像是热力学世界里的一把神秘钥匙，能帮咱们打开好多未知的大门。
简单来说，亥姆霍兹定理说的就是在一定的条件下，系统的自由能的减少等于系统对外所做的最大功。
是不是听起来有点晕乎？其实啊，你就想象成咱们有个能量的大口袋，里面的能量能通过做功跑出去，而跑出去多少，就和这个定理有关系。
亥姆霍兹定理有啥用？
那这个定理到底有啥用呢？用处可大啦！比如说在研究热机的时候，它能帮咱们算出到底能做多少有用的功。
还有哦，在研究化学反应的时候，也能知道能量是怎么变化的。
而且，它还能让咱们更好地理解自然界里的各种能量转换过程。
就好像是一个神奇的魔法棒，让咱们看清能量的“小把戏”。
怎么理解亥姆霍兹定理？
那要怎么理解这个定理呢？咱们可以从一些简单的例子入手。
比如说，想象一下一个气球在膨胀，这时候气球里的气体就在做功，而亥姆霍兹定理就能告诉咱们这个过程中能量的变化情况。
再比如说，电池放电的时候，通过这个定理咱们就能知道有多少能量被真正利用起来啦。
热力学亥姆霍兹定理虽然有点复杂，但是只要咱们多琢磨琢磨，多结合实际例子想想，就能慢慢掌握它的奥秘啦！。
亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理
ˆx e a x ax
ˆy e y ay
ˆz e z az
16
旋度的公式
rot A A
l
A dl ( A) d S
S
17
A dl A lim
s 0
s
S
A dl ( A) d S s s
23
哈米顿(Hamilton)算子
(7) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (8) (uc) u c, (c为常矢量，u为数性函数) (9)(uv) uv vu (10) (u A) u A u A, ( A为矢性函数) (11) (u A) u A u A (12)( A B) A ( B) ( A ) B B ( A) ( B ) A
24
哈米顿(Hamilton)算子
(13) ( A B) B ( A) A ( B) (14) ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A) A( B ) (15) (u ) 2u u (16) (u ) 0 (17) ( A) 0 (18) ( A) ( A) A
§1.5矢量的环量、旋度
用哈密顿算符表示：
ˆx e ˆy e ˆz ) ( a x e ˆx a y e ˆy az e ˆz ) rota a ( e x y z a y a x a x a z a z a y ˆx ( ˆy ( ˆz ( )e )e )e y z z x x y
20
哈米顿(Hamilton)算子
是一个矢量性微分算子，因此它在计算时 具有矢量性和微分性双重性质 作用在一个数性或矢性函数上时， 其方式仅有三种：u， A， A
2012电磁场与电磁波06_矢量与场论5-亥姆霍兹定理和矢量场分类
South China University of Technology
❖ 下面通过例题说明算子的运算规则。 【例】证明 (uv)u vv u ❖ 证明：应用乘积函数的微分运算规则
(u v) (u cv) (u vc)
➢ 运算规则1：运算中，先把有下标c的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标c。
则矢量场Fr 称为域内V的无旋有散场。
r
由
F 0
u 0
r Fu
2u
其中，u为
r F
的标量位函数，ρ是
r F
的标量源函数（散度
源或通量源）
根据ρ的分布，由泊松方程求出u， 继而求出 。Fr
泊松方程
School of Electronics and Information Engineering
矢径的性质
a ˆR R a ˆR 1 a ˆR s1 in R
r
R
aˆR
R R
r
11RR
R R2
R3
gR rR12
(R2R)3 R
South China University of Technology
R ra ˆRs1 in Ra ˆR 1 R0
r
r
r
[f(R )R ] f(R )Rf(R ) R
❖ 应用矢量恒等式： (ku)ku（k为常数）
❖有
(uv)u vv u
❖ 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。
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【例】证明
rr r rr r • ( A B ) B • ( A ) A • ( B )
亥姆霍兹分解定理
亥姆霍兹分解定理
《亥姆霍兹分解定理》是数学中的一个重要定理，它由丹尼尔亥姆霍兹在1936年提出。
它的基本思想是将一个正整数分解为三个或更多的质数的乘积，因此也被称为分解定理。
分解定理可以被应用于各种技术领域，如密码学、计算机系统和金融系统，可以解决复杂的问题和算法。
亥姆霍兹分解定理的定义为：每个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。
质数是只能被1和它本身整除的正整数，它们只有两个正整数的因子。
因此，亥姆霍兹分解定理可以解释为：每个正整数都可以表示为质数的乘积，而这些质数的个数可以任意取得。
质因数的个数取决于将质数拆分的方式。
亥姆霍兹分解定理有着广泛的作用。
在数学上，它可以帮助我们找出正整数的其他因子，从而推导出更多有用的数学结论。
在密码学领域，其安全性是建立在质数因子分解上的。
例如，在RSA加密算法中，采用了被称为RSA算法的亥姆霍兹分解定理。
这种算法要求用户先将大整数分解为质数的乘积，然后再进行加密。
这样一来，就可以解决计算机的安全性问题，有助于防止数据加密被破解。
此外，亥姆霍兹分解定理也可以用于金融领域。
金融交易中，银行通常会使用质数的组合来确定客户的信用卡信息，使之不易被黑客获取和破解，从而保护顾客的权益。
总之，亥姆霍兹分解定理具有重要的实际意义，不仅可以推动数学学科的发展，还可以解决计算机系统、金融系统以及其他技术领域的安全性问题。
正是由于它的独特性和实用性，亥姆霍兹分解定理被誉为数学界的一项重要发现，并影响了许多技术和研究领域。