计量经济学多元线性回归模型

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计量经济学课程第4章(多元回归分析)

Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想：对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概率密度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概率密度
概率概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2

2，
0
HA :

2

2 0

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下：价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt

计量经济学-多元线性回归模型

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标，评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与诊断

高级计量经济学第二章多元线性回归模型

e是理论模型的随机挠动项 u是估计模型的残差项
用方程形式，残差平方和可以表示为
E S S u i 2 Y i Y ˆ i2 Y i ˆ 0 ˆjX ij2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数得到：
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间关系的联合假设。
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式为：
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达为样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的关系为线性的。
例：CD函数 Ye0X1 1X2 2eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u
即比：较：YY *= 0e+0X 1X1 11 *X +2 2 2X 2*u +u
不同数学函数的性质

3.1 多元线性回归模型及古典假定

第三章多元线性回归模型
第一节多元线性回归模型及古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示二、多元线性回归模型的古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示
1、在计量经济学中，将含有两个以上解释变量的回归模型称为多元回归模型。相应地，在此基础上进行的回归分析就叫多元回归分析。如果总体回归函数描述了一个应变量与多个解释变量之间的线性关系，由此而设定的回归模型就称为多元线性回归模型。例如：在生产理论中，C—D生产函数描述了产量与投入要素之间的关系，其形式为： Y=AKαLβ (Y为产量，K、L分别为资本和劳动投入，α,β 为参数). 利用对数变换，可将其转化为：㏑Y=㏑A+α㏑K+β㏑L 在进行回归分析时，可设定如下形式的回归模型： (㏑Y)i= α0+α(㏑K)i+β(㏑L)i+μi （3.1.1）回归模型3.1.1就是一个二元线性回归模型。
这就是多元线性回归模型的一般形式。（Yi,X2i,X3i,…,XKi ）为第 i 次观测样本，βj(j=1,2, …,k) 为模型参数，μi为随机误差项。
在多元线性回归模型中，所有解释变量会同时对应变量Y的变动发挥作用，所以，我们考察其中某个解释变量对应变量Y的影响，必须是其它解释变量保持不变来进行。模型中的回归系数βj(j=2, …,k) 就表示在其它解释变量不变的条件下，第 j 个解释变量的单位变动对应变量Y的影响。由式3.1.3，可得Y的条件期望函数：E(Y|X2i,X3i,…,XKi )= β1i+β2X2i+β3X3i+…+βKXKi
1 X 2n
X 31 X 32 X 3n
X K1
XK2

计量经济学第二章(第二部分)

其中，有k个解释变量；k+1个回归参数
3
计量经济学第二章B
同上
（2）矩阵形式： Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
（2）当 R
2

k n -1
时，
R
2
<0 ,此时，使
2
用 R 将失去意义。因此， R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平（4）判定方程的显著性，若 F F ，则拒绝原假设若 F F ，则接受原假设 H 0，即模型的线性关系 F 检验； - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时） F
不管其质量的好坏，而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学第二章B
同上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到，要使 B
存在，
必须保证(XˊX)-1存在，因此，必须满
足|XˊX|≠0 ，即XˊX为满秩矩阵，而

计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学-3多元线性回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节参数的最小二乘估计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0）和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型

5、计量经济学【多元线性回归模型】

二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量，这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）这样优良的性质，即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS）即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式：上述几种形式的矩阵表达式：将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。

计量经济学第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型

第三章、经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型一、内容提要本章将一元回归模型拓展到了多元回归模型，其基本的建模思想与建模方法与一元的情形相同。

主要内容仍然包括模型的基本假定、模型的估计、模型的检验以及模型在预测方面的应用等方面。

只不过为了多元建模的需要，在基本假设方面以及检验方面有所扩充。

本章仍重点介绍了多元线性回归模型的基本假设、估计方法以及检验程序。

与一元回归分析相比，多元回归分析的基本假设中引入了多个解释变量间不存在（完全）多重共线性这一假设；在检验部分，一方面引入了修正的可决系数，另一方面引入了对多个解释变量是否对被解释变量有显著线性影响关系的联合性F检验，并讨论了F检验与拟合优度检验的内在联系。

本章的另一个重点是将线性回归模型拓展到非线性回归模型，主要学习非线性模型如何转化为线性回归模型的常见类型与方法。

这里需要注意各回归参数的具体经济含义。

本章第三个学习重点是关于模型的约束性检验问题，包括参数的线性约束与非线性约束检验。

参数的线性约束检验包括对参数线性约束的检验、对模型增加或减少解释变量的检验以及参数的稳定性检验三方面的内容，其中参数稳定性检验又包括邹氏参数稳定性检验与邹氏预测检验两种类型的检验。

检验都是以F检验为主要检验工具，以受约束模型与无约束模型是否有显著差异为检验基点。

参数的非线性约束检验主要包括最大似然比检验、沃尔德检验与拉格朗日乘数检验。

它们仍以估计无约束模型与受约束模型为基础，但以最大似然原χ分布为检验统计量理进行估计，且都适用于大样本情形，都以约束条件个数为自由度的2的分布特征。

非线性约束检验中的拉格朗日乘数检验在后面的章节中多次使用。

二、典型例题分析例1．某地区通过一个样本容量为722的调查数据得到劳动力受教育的一个回归方程为36.0.+=-10+094medufedu.0sibsedu210131.0R2=0.214式中，edu为劳动力受教育年数，sibs为该劳动力家庭中兄弟姐妹的个数，medu与fedu分别为母亲与父亲受到教育的年数。

计量经济学多元线性回归

Yˆi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X Ki
i=1,2…n
• 根据最小二乘原理，参数估计值应
该是右列
方程组的解
ˆ
0
Q
0
ˆ1
Q
0
ˆ
2
Q
0
ˆ k
Q
0
n
n
其
Q ei2 (Yi Yˆi )2
i 1
i 1
中n
2
(Yi (ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ))
可以证明，随机误差项u的方差的无偏估计量为：
ˆ 2
e
2 i
e e
n k 1 n k 1
2、极大似然估计
• 对于多元线性回归模型
易知 Yi ~ N (Xiβ , 2 )
• Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率
L(βˆ , 2 ) Y1,Y2 ,,Yn )
1
e
1 2
2
(Yi
(
ˆ0
ˆ1
i1
• 于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：
((ˆˆ00(ˆ0ˆˆ11XX1ˆ1i1i X1ˆiˆ22i XXˆ222ii
X 2i ˆk ˆk X ki ˆk X ki
X ki) ) X 1i )X 2i
Yi Yi Yi
X 1i X 2i
(ˆ0 ˆ1 X 1i ˆ2 X 2i ˆk X ki ) X ki Yi X ki
ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。
样本回归函数的矩阵表达:
Yˆ Xβˆ
其中：
ˆ0
βˆ
ˆ1
ˆ k

多元线性回归模型计量经济学

。
多重共线性诊断
通过计算自变量之间的相关系数、条件指数等方法诊断是否
存在多重共线性问题。
异方差性检验
通过计算异方差性统计量、图形化方法等检验误差项是否存
在异方差性。
03
多元线性回归模型的应用
经济数据的收集与整理
原始数据收集
通过调查、统计、实验等方式获取原始数据，确保数据的真实性和准确性。
数据清洗和整理
在实际应用中，多元线性回归模型可能无法处理非线性关系和复杂的数据结构，需要进一步探索其他模型和方法。
随着大数据和人工智能技术的发展，多元线性回归模型的应用场景将更加广泛和复杂，需要进一步探索如何利用新技术提高模型的预测能力和解释能力。
07
参考文献
参考文献
期刊论文
学术期刊是学术研究的重要载体，提供了大量关于多元线性回归模型计量经济学的最新研究成果。
学位论文
学位论文是学术研究的重要组成部分，特别是硕士和博士论文，对多元线性回归模型计量经济学进行了深入的研究和探讨会议论文集中反映了多元线性回归模型计量经济学领域的最新进展和研究成果。
THANKS
感谢观看
模型定义
多元线性回归模型是一种用于描述因变量与一个或多个自变量之间线性关系的统计模型。
假设条件
假设误差项独立同分布，且误差项的均值为0，方差恒定；自变量与误差项不相关；自变量之间不存在完全的多重共线性。
模型参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计模型参数，是一种常用的参数估
计方法。
05
案例分析
案例选择与数据来源
案例选择
选择房地产市场作为案例，研究房价与影响房价的因素之间的关系。

高级计量经济学第二章多元线性回归模型

高级计量经济学第二章多元线性回归模型
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood）广义矩法（Generalized Method of Moments）
模型设定与设定误差虚拟变量的使用建立多元回归模型时应注意的问题
斜率(dY/dX)
β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 β1+2β2X β1+β2Z
弹性(dY/dX)(X/Y)
β1X/Y β1 β1X β1/Y
-β1/(XY) -β1/X
(β1+2β2X)X/Y (β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K；该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式为：
F q ,N k 1E ER U S S E R N S S U S K R q S R 1 U 2 R R U 2 R R 2R N qK
最大似未知的总体分布，样本数据提供了有关概率分布参数的信息，估计方法建立在样本来自哪个概率分布的可能性最大基础之上。
对估计系数的统计检验
利用前述的估计量方差矩阵可以得到每个估计参数的标准差sj，估计参数与该标准差的比值为相应的t统计值。
利用t统计表（或相应的软件）可以得到与模型自由度相对应的显著性水平，据此可以判断结果在统计意义上的可靠性。
对模型参数的联合检验
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间关系的联合假设。

《计量经济学》第五章最新完整知识

第五章多元线性回归模型在第四章中，我们讨论只有一个解释变量影响被解释变量的情况，但在实际生活中，往往是多个解释变量同时影响着被解释变量。

需要我们建立多元线性回归模型。

一、多元线性模型及其假定多元线性回归模型的一般形式是i iK K i i i x x x y εβββ++++= 2211令列向量x 是变量x k ，k =1，2，的n 个观测值，并用这些数据组成一个n ×K 数据矩阵X ，在多数情况下，X 的第一列假定为一列1，则β1就是模型中的常数项。

最后，令y 是n 个观测值y 1, y 2, …, y n 组成的列向量，现在可将模型写为：εββ++=K K x x y 11构成多元线性回归模型的一组基本假设为假定1. εβ+=X y我们主要兴趣在于对参数向量β进行估计和推断。

假定2. ,0][][][][21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n E E E E εεεε 假定3. n I E 2][σεε='假定4. 0]|[=X E ε我们假定X 中不包含ε的任何信息，由于)],|(,[],[X E X Cov X Cov εε= （1）所以假定4暗示着0],[=εX Cov 。

（1）式成立是因为，对于任何的双变量X ，Y ，有E(XY)=E(XE(Y|X))，而且])')|()([(])')((),(EY X Y E EX X E EY Y EX X E Y X Cov --=--=))|(,(X Y E X Cov =这也暗示 βX X y E =]|[假定5 X 是秩为K 的n ×K 随机矩阵这意味着X 列满秩，X 的各列是线性无关的。

在需要作假设检验和统计推断时，我们总是假定：假定6 ],0[~2I N σε 二、最小二乘回归 1、最小二乘向量系数采用最小二乘法寻找未知参数β的估计量βˆ，它要求β的估计βˆ满足下面的条件 22min ˆ)ˆ(ββββX y X y S -=-∆ （2）其中()()∑∑==-'-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∆-nj Kj j ij i X y X y x y X y 1212ββββ，min 是对所有的m 维向量β取极小值。

计量经济学-多元线性回归模型

e e ˆ n k 1 n k 12e i2 3-21
*二、最大或然估计
对于多元线性回归模型
Yi 0 1 X 1i 2 X 2 i k X ki i
易知
Yi ~ N ( X i β , 2 )
Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率 ˆ, L (β 2 ) P (Y1 , Y2 , , Yn )
解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即
$ ,, 可得到(k+1) 个待估参数的估计值 j , j 012,, k 。
3-14
正规方程组的矩阵形式
n X 1i X ki
X X

1i 2 1i

X X X
ki
X
ki
X 1i
ˆ 0 1 1 ˆ X 11 X 12 1i ki 1 2 ˆ X ki k X k1 X k 2
ˆ 1 ˆ ˆ 2 β ˆ k
在离差形式下，参数的最小二乘估计结果为
ˆ β ( x x) 1 x Y
ˆ ˆ ˆ 0 Y 1 X 1 k X k
3-20
随机误差项的方差2的无偏估计
可以证明:随机误差项的方差的无偏估计量为：
第三章

多元线性回归模型
多元线性回归模型多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测回归模型的其他形式回归模型的参数约束
3-1
§3.1 多元线性回归模型
一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假定

计量经济学(2012B)(第二章多元线性回归)详解

2 2i
n
n
2 i
i ( yi ˆ1x1i ˆ2 x2i )
i 1
i 1
n
i yi
n
(
y
ˆ x
ˆ x
) y
i1
i
1 1i
2 2i
i
i 1
n
y 2
(ˆ
n
x
y
ˆ
n
x
y )
i1
i
1 i1 1i i
2 i1 2 i i
TSS ESS
2.5 单个回归参数的置信区间与显著性检验
一、置信区间
H (4)
的拒绝域为：
0
F F (2, n 3)
(5) 推断：若
F F (2, n 3)
，则拒绝 H ， 0
认为回归参数整体显著；
H 若 F F (2, n 3)
，则接受
，
0
认为回归参数整体上不显著。
回归结果的综合表示
yˆi 0.0905 0.426x1i 0.0084x2i
Sˆj : 或 t:
模型的估计效果. (5) 拟合优度与F 检验中的 F 统计量的关系是什么?这两个
量在评价二元线性回归模型的估计效果上有何区别? (6) 试比较一元线性回归与二元线性回归的回归误差,哪
个拟合的效果更好?
应用：
（1）预测当累计饲料投入为 20磅时，鸡的平均
重量是多少？ yˆ 5.2415 f
（磅）
（2）对于二元线性回归方程，求饲料投入的边际生产率？
(0.1527) (0.0439)
(0.5928) (9.6989)
(0.0027) (3.1550)
R2 0.9855, R2 0.9831 ， F 408.9551

计量经济学-多元线性回归分析

yi ˆ1 x1i ˆ2 x2i ˆk xki ei 其矩阵形式为
i=1,2…n
y xβˆ e
其中：
y1
y
y2
yn
x11
x
x12
x 21
x 22
xk1 xk2
x1n x2n xkn
ˆ1
βˆ
ˆ 2
ˆk
在离差形式下，参数旳最小二乘估计成果为
模型中解释变量旳数目为（k）
模型：Yt 1 2t X 2t k X kt ut
也被称为总体回归函数旳随机体现形式。它旳非随机体现式为:
E(Yi | X 2i , X 3i , X ki ) 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki
方程表达：各变量X值固定时Y旳平均响应。
0.17033
2.652155 0.0157
R-squared
0.9954 Mean dependent var
928.4909
Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood F-statistic Prob(F-statistic)
βˆ (xx)1 xY
ˆ0 Y ˆ1 X 1 ˆk X k
⃟随机误差项旳方差旳无偏估计
能够证明，随机误差项旳方差旳无偏估计量为
ˆ 2 ei2 ee
nk nk
四、参数估计量旳性质
在满足基本假设旳情况下，其构造参数旳一般
最小二乘估计、最大或然估计及矩估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。
ˆ1
Байду номын сангаас
Q0
ˆ2
Q

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验

2
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时，残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量，残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量，可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值，例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型系数的符号与经济意义不符。用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3

计量经济学复习笔记（四）：多元线性回归

计量经济学复习笔记（四）：多元线性回归⼀元线性回归的解释变量只有⼀个，但是实际的模型往往没有这么简单，影响⼀个变量的因素可能有成百上千个。

我们会希望线性回归模型中能够考虑到这些所有的因素，⾃然就不能再⽤⼀元线性回归，⽽应该将其升级为多元线性回归。

但是，有了⼀元线性回归的基础，讨论多元线性回归可以说是轻⽽易举。

另外我们没必要分别讨论⼆元、三元等具体个数变量的回归问题，因为在线性代数的帮助下，我们能够统⼀讨论对任何解释变量个数的回归问题。

1、多元线性回归模型的系数求解多元线性回归模型是⽤k 个解释变量X 1,⋯,X k 对被解释变量Y 进⾏线性拟合的模型，每⼀个解释变量X i 之前有⼀个回归系数βi ，同时还应具有常数项β0，可以视为与常数X 0=1相乘，所以多元线性回归模型为Y =β0X 0+β1X 1+β2X 2+⋯+βk X k +µ,这⾥的µ依然是随机误差项。

从线性回归模型中抽取n 个样本构成n 个观测，排列起来就是Y 1=β0X 10+β1X 11+β2X 12+⋯+βk X 1k +µ1,Y 2=β0X 20+β1X 21+β2X 22+⋯+βk X 2k +µ2,⋮Y n =β0X n 0+β1X n 1+β2X n 2+⋯+βk X nk +µn .其中X 10=X 20=⋯=X n 0=1。

⼤型⽅程组我们会使⽤矩阵表⽰，所以引⼊如下的矩阵记号。

Y =Y 1Y 2⋮Y n,β=β0β1β2⋮βk,µ=µ1µ2⋮µn.X =X 10X 11X 12⋯X 1k X 20X 21X 22⋯X 2k ⋮⋮⋮⋮X n 0X n 1X n 2⋯X nk.在这些矩阵表⽰中注意⼏点：⾸先，Y 和µ在矩阵表⽰式中都是n 维列向量，与样本容量等长，在线性回归模型中Y ,µ是随机变量，⽽在矩阵表⽰中它们是随机向量，尽管我们不在表⽰形式上加以区分，但我们应该根据上下⽂明确它们到底是什么意义；β是k +1维列向量，其长度与Y ,µ没有关系，这是因为β是依赖于变量个数的，并且加上了对应于常数项的系数（截距项）β0；最后，X 是数据矩阵，且第⼀列都是1。

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