第三章平移与旋转知识归纳
第三章 .图形的平移与旋转
- 1 -第三章 图形的平移与旋转1.图形的平移一、基本知识点1、平移：在平面内，将一个图形沿某一个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫平移。
2、对应点、对应边、对应角。
3、平移改变了图形的位置，但不改变图形的形状和大小。
4、平移的性质：（1）平移后的图形与原图形对应点所连的线段平行或在同一条直线上且相等。
（2）平移后的图形与原图形的对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
（3）平移后的图形与原图形的对应角相等。
5、平移作图6、坐标系中的平移 二、知识巩固与拓展1、下列哪种运动不属于平移（ ）A,急刹车的汽车在地面上的运动 B,高层建筑的电梯的运动 C,小球自由落体 D,时钟分针的运动2、如图3.1.,1，△ABC 沿着BC 方向平移到△DEF 的位置，若BE=2cm ，则CF= cm.3、在平面直角坐标系中，将点P(－2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位得到P /点，则P /点的坐标 为 。
4、平移△ABC ，是A 平移到E 点处。
5、如图3.1.2，将周长为10的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD 的周长等于 。
6、如图3.1.3，将面积为4的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的2倍，那么图中的四边形ACED 的面积等于 。
7、如图3.1.4，将直角三角形ABC 沿射线BC 的方向平移得到△DEF,求图中阴影部分面积。
8、如图3.1.5，矩形ABCD 中，横向阴影部分是矩形，另一部分是平行四边形，根据图中的尺寸，求空白部分面积。
9、在如图的方格纸中： (1)、作出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1;（2）、作出将△A 1B 1C 1先向右平移6格，再向下平移2格，得到的△A 2B 2C 2 。
10、△ABC 的三个顶点坐标分别为A(0，2),B （－2，0），C（2,0).李佳把△ABC 平移后得到△A 1B 1C 1 ，并写出了三个顶点坐标A 1(0，0),B 1 (－３，－２），C 1（３，－２）． (1)你认为李佳所写的三个顶点坐标正确吗？(2)如果李佳所写的三个顶点纵坐标都正确，三个顶点的横坐标中只有一个正确，那么你能帮李佳正确写出三个顶点的坐标吗？(3)如果李佳所写的点B 1 (－３，－２）正确，你能写出△ABC 平移到△A 1B 1C 1的方法吗？A BCD E F 3.1.1图 A B C EA B CD E F 3.1.2图 BA C D EF 3.1.3图 AB CD E F 3.1.4图A BC D a ccb 3.1.5图 MN B A C- 2 -3.2图形的旋转一、基本知识1、旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
平移旋转图形知识点总结
平移旋转图形知识点总结平移和旋转是几何学中两个重要的变换操作，它们可以改变图形的位置和方向，扩展了几何学的应用领域。
在本文中，我们将对平移和旋转的基本概念、性质和应用进行总结。
一、平移的基本概念平移是指图形在平面上沿着一定方向按照一定距离移动的变换操作。
在平移过程中，图形的大小和形状保持不变，只是位置发生改变。
平移可以用向量来描述，移动向量即为图形移动的方向和距离。
1. 平移的向量表示设图形A经过平移得到图形A'，平移向量为向量→a，表示为A→A' = →a。
向量→a的方向和长度即为平移的方向和距离。
2. 平移的性质平移操作满足以下性质：（1）平移不改变图形的大小和形状；（2）平移不改变图形的面积和周长；（3）平移不改变图形的对称性。
3. 平移的表示方法平移可以通过向量、坐标和平移矩阵等多种方式来表示和描述。
在向量表示中，平移向量→a可以作为图形平移的唯一标识。
二、平移的应用平移在几何学和其他领域中有着广泛的应用，例如地图制作、计算机图形学和物理学等。
下面我们将介绍平移在几何学中的应用场景和相关问题。
1. 平移的作用（1）简化计算：通过平移操作，可以将图形移动到方便计算的位置，简化问题的解决过程；（2）构造对称图形：利用平移可以构造出一些对称图形，如平移正方形可以构造出菱形；（3）解决坐标运算：在坐标运算中，平移可以使坐标系原点发生偏移，方便计算。
2. 平移的问题在平移问题中，常见的问题包括：给定图形A和平移向量→a，求出图形A经过平移后的位置和形状；给定平移前后的图形A和A'，求出平移向量→a。
解决这些问题需要灵活运用平移的基本性质和表示方法。
三、旋转的基本概念旋转是指图形围绕一点按照一定角度转动的变换操作。
在旋转过程中，图形的大小和形状保持不变，只是方向发生改变。
旋转可以用角度来描述，旋转角度即为图形旋转的方向和角度。
1. 旋转的角度表示设图形A经过旋转得到图形A'，旋转角度为θ，表示为A→A' = θ。
数学旋转和平移知识点总结
数学旋转和平移知识点总结一、旋转的基本概念1.1 旋转的概念所谓旋转，就是通过一个固定的点，将平面上的点或者图形绕着这个点进行转动的过程。
这个固定的点被称为旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
在数学中，我们通常用一个坐标系来描述旋转的过程，通过将点或者图形绕着坐标系的原点旋转，来描述旋转的过程。
1.2 旋转的表示在数学中，我们可以通过旋转矩阵、三角函数等方式来表示旋转变换。
旋转矩阵是用来描述旋转变换的一个重要工具，它能够将点或者图形绕着旋转中心进行旋转，并将旋转后的点或者图形表示出来。
三角函数能够帮助我们计算旋转后的点的坐标，从而描述旋转的过程。
1.3 旋转的性质旋转具有一些重要的性质，例如角度不变性、共线性不变性、长度比例不变性等。
这些性质在实际问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解旋转变换。
1.4 旋转的定理在数学中，我们有着一些关于旋转的重要定理，例如旋转定理、旋转对称定理等。
这些定理能够帮助我们解决与旋转相关的各种问题，是数学中的重要内容。
1.5 旋转的应用旋转在实际生活和工程中有着广泛的应用，例如在建筑设计、机械加工、航天航空等领域。
旋转能够帮助我们更好地描述和分析各种物体的形状和结构，具有重要的工程应用价值。
二、平移的基本概念2.1 平移的概念平移是将平面上的点或者图形沿着某一方向进行平行移动的过程。
在数学中，我们通常用向量或者坐标变换来描述平移的过程，通过平移向量或者平移矩阵来表示平移变换。
2.2 平移的表示在数学中，平移变换可以通过向量加法或者矩阵相加来表示，从而描述平移的过程。
平移变换可以将点或者图形沿着某一方向进行平行移动，并得到平移后的点或者图形的位置。
2.3 平移的性质平移具有一些重要的性质，例如平移不改变长度、方向和大小等。
这些性质在实际问题中有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解平移变换。
2.4 平移的定理在数学中，我们有着一些关于平移的重要定理，例如平移定理、平移对称定理等。
三年级上册平移和旋转的知识点
三年级上册平移和旋转的知识点一、平移。
1. 平移的定义。
- 物体或图形在同一平面内沿直线运动，而本身没有发生方向上的改变，这种运动现象就是平移。
例如，在水平的传送带上，物体随着传送带直线移动；或者在电梯里，人随着电梯上下直线运动等都是平移现象。
2. 平移的特点。
- 平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同。
例如，将一个正方形沿着水平方向平移一段距离后，得到的新正方形和原来的正方形边长一样，四个角也都是直角。
- 平移后的图形与原图形对应点之间的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
比如一个三角形平移后，它原来的顶点和对应平移后的顶点连线是平行且相等的。
3. 平移的方向和距离。
- 方向：平移的方向可以是水平方向（向左或向右）、垂直方向（向上或向下）或者是斜着的方向。
例如，汽车在笔直的公路上向左行驶是水平方向的平移；火箭垂直升空是垂直方向的平移；而一个物体沿着与水平方向成45度角的方向移动就是斜方向的平移。
- 距离：平移的距离是指图形上每个点平移的长度。
可以通过数方格的方法来确定平移的距离，在方格纸上，一个方格的边长可以作为一个单位长度。
例如，一个图形从方格纸的左上角平移到右上角，经过了5个方格，那么平移的距离就是5个单位长度。
二、旋转。
1. 旋转的定义。
- 物体绕着一个点或一个轴做圆周运动的现象就是旋转。
像风车绕着中心轴转动、时钟的指针绕着中心点转动等都是旋转现象。
2. 旋转的特点。
- 旋转后的图形与原图形的形状和大小不变。
例如，一个圆形的表盘不管指针怎么旋转，表盘的形状和大小都不会改变。
- 图形的旋转是由旋转中心、旋转方向和旋转角度决定的。
3. 旋转中心、旋转方向和旋转角度。
- 旋转中心：是物体旋转时所绕着的那个点或轴。
例如，风车的旋转中心就是风车叶片中间固定的那个点；地球的自转是以地轴为旋转中心的。
- 旋转方向：分为顺时针方向和逆时针方向。
顺时针方向是指和时钟指针转动方向相同的方向，逆时针方向则是与时钟指针转动方向相反的方向。
八年级数学下册第三章图形的平移与旋转知识总结北师大版
第三章图形的平移与旋转一、平移定义和规律1平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.关键：a. 平移不改变图形的形状和大小(也不会改变图形的方向，但改变图形的位置)。
b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离。
2平移的规律（性质）：经过平移,对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等、对应角相等。
注意：平移后，原图形与平移后的图形全等。
3简单的平移作图：平移作图要注意：①方向；②距离。
整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动。
二、旋转的定义和规律1旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角.关键：a。
旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）。
b。
图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角。
2旋转的规律（性质）：经过旋转,图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.(旋转前后两个图形的对应线段相等、对应角相等。
）注意:旋转后,原图形与旋转后的图形全等.3简单的旋转作图：旋转作图要注意：①旋转方向;②旋转角度。
整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动。
三、中心对称1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．中心对称的基本性质：（1)．成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
（2)．成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
3．中心对称图形的有关概念:中心对称图形、对称中心把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形.这个点就是它的对称中心。
图形的平移和旋转知识点总结
图形的平移和旋转【图形的平移】(1)平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换．②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据．③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．（3）简单的平移作图平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移的方向；③平移的距离．例1．如图，△ABC 绕C 点旋转后，顶点A 的对应点为点D ，试确定顶点B•对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C 点旋转，A 点的对应点是D 点，那么旋转角就是∠ACD ，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB ′=ACD ，•又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB ′，就可确定B ′的位置，如图所示． 解：（1）连结CD（2）以CB 为一边作∠BCE ，使得∠BCE=∠ACD （3）在射线CE 上截取CB ′=CB 则B ′即为所求的B 的对应点． （4）连结DB ′则△DB ′C 就是△ABC 绕C 点旋转后的图形．例2．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且DE=14，△ABF 是△ADE 的旋转图形． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？ （3）AF 的长度是多少？（4）如果连结EF ，那么△AEF 是怎样的三角形？分析：由△ABF 是△ADE 的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF•的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE 的长度，由勾股定理很容易得到．•△ABF 与△ADE 是完全重合的，所以它是直角三角形． 解：（1）旋转中心是A 点． （2）∵△ABF 是由△ADE 旋转而成的 ∴B 是D 的对应点 ∴∠DAB=90°就是旋转角 （3）∵AD=1，DE=14∴=4∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点∴AF=4（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE ∴△EAF是等腰直角三角形．【图形的旋转】（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做旋转中心。
第三章 图形的平移与旋转
第三章图形的平移与旋转1.通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.3.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.4.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.5.通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转,探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得的图形中,对应点到旋转中心的距离相等,任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;对应线段相等,对应角相等.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段经过对称中心,且被对称中心平分.7.认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.8.运用图形的平移、旋转、轴对称进行图案设计.1.经历有关平移与旋转的观察、操作、欣赏和设计的过程,进一步积累数学活动经验,增强动手实践能力,发展空间观念.2.经历借助图形思考问题的过程,初步建立几何直观.3.通过具体实例认识平移与旋转,探索它们的基本性质,会进行简单的平移、旋转画图.4.在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系.5.在直角坐标系中,探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化.6.了解中心对称、中心对称图形的概念,探索它的基本性质.1.在研究平移与旋转的过程中,进一步发展空间观念.2.认识并欣赏平移、旋转在自然界和现实生活中的应用,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.在前面的学习中学生已对诸如翻折、平移、旋转、轴对称等知识有了一定的认识与理解,只是平移和旋转的知识没有正式出现罢了,但这些变换的意识学生已经有了.学生学习了本章知识后对平移与旋转以及轴对称这三种常用的全等变换有了系统的认识,但学生把握这些全等变换的能力有待提升,特别是对组合图案的形成过程的分析是学生把握不好的地方,应加强训练.立足于学生已有的生活经验和初步的数学活动经验,首先从观察生活中的平移、旋转现象开始,直观的认识平移、旋转,并在此基础上,分析生活中的平移现象和旋转现象各自的规律,得到平移和旋转的基本性质;然后利用平移和旋转的基本性质进行简单的平移作图、旋转作图,通过分析简单平面图形的平移、旋转等变化关系,进一步体会平移、旋转的应用价值和丰富内涵;最后,通过简单的图案设计,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动中.具体地,教科书设计了4节内容:第1节“图形的平移”,立足于学生小学阶段的学习基础和已有的生活经验,通过分析各种平移现象的共性,直观地认识平移,探索平面图形平移的基本性质,利用平移的基本特征研究简单的平移画图.在此基础上,进一步研究沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系,探索依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系.第2节“图形的旋转”,通过具体活动认识平面图形的旋转,探索平面图形旋转的基本性质,利用旋转的基本特征研究简单的旋转画图.第3节“中心对称”,认识中心对称,探索成中心对称的基本性质,利用中心对称的基本特征研究中心对称的画图,认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.第4节“简单的图案设计”,将图形的平移、旋转、轴对称融合在图案的欣赏和设计活动之中.应当指出的是,本章不同于变换几何中的平移、旋转变换,而是先通过观察具体的平移、旋转现象,分析、归纳并概括出平移、旋转的整体规律和基本性质,然后在平移和旋转的图案设计、欣赏、简单应用中,进一步深化对图形的三种基本变换的理解和认识.【重点】1.平移的定义.2.平移的性质及应用.3.简单的平移作图.4.旋转的定义.5.旋转的性质及应用.6.简单的旋转作图.7.中心对称和中心对称图形.【难点】1.平移作图.2.旋转作图.3.中心对称和中心对称图形的区别和联系.4.利用平移、旋转、轴对称进行简单的图案设计.1.着眼于发展学生的空间观念.使学生具备良好的空间观念是义务教育阶段数学教育的一个重要目标,培养学生的空间观念必须使学生经历、体验图形运动变化的过程,本章所研究的平移、旋转及中心对称是反映空间观念的重要内容.为此,教科书设计了一系列的实验、探索活动,如“探索平移基本性质的实验活动”“探索旋转基本性质的实验活动”“探索中心对称基本性质的实验活动”及“图形平移与坐标变化的关系的探索活动”“简单的图案设计活动”等.在这些活动中,学生将会想象物体与物体之间的位置关系,描述图形的运动和变化,依据语言的描述画出图形等,所有这些都是空间观念的重要表现.因此,教师应想方设法鼓励学生积极参与这些活动,通过观察、操作、归纳、猜想、交流等获得结论,并运用自己的语言描述探索过程和所得到的结论,发展空间观念.需要指出的是,培养空间观念是一种个人体验,需要大量的实践活动,以被动听讲和练习为主的方式,是难以形成空间观念的.学生要有充分的时间和空间观察、动手操作,对周围环境和实物产生直接感知,这些都不仅需要自主探索、亲身实践,更离不开大家一起动手、共同参与.观察、操作、归纳、类比、猜想、直观思考等对形成空间观念具有重要作用,只有在学生共同探讨、合作解决问题的过程中才能不断生成和发展,并得到提升.2.重视学生的观察、操作、探索和交流活动.教师创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,让学生经历观察、操作、探索和交流的过程,能有效地激发学生的思考,有助于真正落实学生在学习活动中的主体地位,有助于学生理解和掌握基本知识和基本技能,同时也有助于学生感悟数学思想,积累数学活动经验.本章有许多内容需要学生对图形进行观察、操作、探索和交流,教学时不宜用教师的课堂讲解和演示代替学生的动手操作、主动探究与讨论交流.例如,有关平移、旋转的性质,教科书都设计了相应的实验过程,力图让学生通过动手操作,配合直观的观察和理性的思考探索相关的结论.教学时可以让学生分组进行,每组选用的图形形状可以不同,每次变化的方式也可以不同.学生的这些实验结果为接下来进行的抽象概括提供了很好的素材.在此基础上,全班交流,概括出图形变化(平移、旋转)的基本性质.在这一过程中,学生的手、眼、脑等多种感官都能得到较为充分的运用,既有助于学生理解和掌握相关知识的内涵,也可以使学生在做的过程和思考的过程中积累一定的数学活动经验,并逐步感悟其中所蕴含的数学思想.3.创造性地利用与图形平移、旋转有关的资源进行教学.在教学中,教师应根据学生实际、教学实际和当地实际,充分挖掘和利用现实生活中大量存在的平移、旋转及中心对称现象,尤其是具有地方特色的素材(如北方地区的雪橇、辘轳,农村地区的水车、石碾、风车,城市里的缆车、电梯等),并引导学生对其中的一些共同特征加以分析、总结.4.合理运用现代信息技术,注重教学手段的多样化.本章主要研究图形的变化,对图形的动态展示的要求更为强烈.因此,在条件允许的情况下,教学中都应合理运用现代信息技术,注重信息技术与本章内容的整合,以便有效地改变教与学的方式,提高课堂教学的效率.需要说明的是,现代信息技术真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到的甚至达不到的效果,它不应、也不可能完全替代常规的教学手段.例如,教师可以在学生动手实践的基础上,借助计算机、多媒体向学生展示更加丰富的几何图形的运动变化过程,这样不仅为学生理解和掌握相关知识提供形象的支持,有利于增强学生的空间观念,同时也可以让学生获得视觉上的愉悦,增强好奇心,激发学习兴趣.但不能用计算机、多媒体的演示完全取代学生的动手操作活动.5.关注学生情感态度的发展.教师要把落实情感态度的目标作为自己的责任和义务,努力把情感态度目标有机地融合在本章教学过程之中.例如,在设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:如何引导学生积极参与教学过程?如何组织学生观察、操作、探索、归纳?如何使学生愿意学、喜欢学,对本章内容感兴趣?如何让学生体验成功的喜悦,从而增强学好本章内容的自信心?如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?如何培养学生良好的学习习惯?1图形的平移3课时2图形的旋转2课时3中心对称1课时4简单的图案设计1课时回顾与思考1课时1图形的平移1.通过具体实例认识平移,理解平移的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.2.通过“变化的鱼”探究横向(或纵向)平移一次,其坐标变化的规律,认识图形变换与坐标之间的内在联系.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.经历沿x轴、y轴方向和综合方向平移时位置和数量的关系,通过观察、分析以及抽象、概括等过程,发现平移时坐标变化的特点.通过收集自己身边“平移”的实例,感受“生活处处有数学”,激发学生学习数学的兴趣;通过欣赏生活中图形平移的现象与学生自己设计的平移图案,使学生感受数学的美.【重点】探索和理解平移的基本性质.【难点】坐标变换和图形平移的关系.第课时1.认识平移,说出平移的定义,理解平移的基本内涵.2.理解并能说出平移的性质,即一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.1.经历观察、分析、操作、欣赏以及抽象、概括等过程,探索图形平移的基本性质.2.感悟平移前后图形的变化,从点、线、角、位置、大小等不同角度说出平移前后图形的变化关系.通过探究,归纳平移的定义、特征、性质,积累数学活动经验,进一步发展空间观念,增强空间想象力.【重点】1.认识平移在现实生活中的广泛应用.2.探索和理解平移的基本性质.【难点】平移基本性质的探索和理解.【教师准备】实际生活中的平移图片.【学生准备】复习翻折、平移、旋转、轴对称等知识.导入一:1.同学们,你们小时候去过游乐园吗?在游乐园中你们玩过哪些游乐项目?在玩这些游乐项目时你们想过什么?你们想过它里面蕴含着数学知识吗?2.找一找这些项目中,哪些项目的运动形式是一样的,观看游乐园内的一些项目,引出第三章内容,并进行初步分类,引出本节课研究内容:板书课题——图形的平移.[设计意图]由学生喜闻乐见的游乐场引入课题,容易激发学生的学习兴趣.导入二:请你判断: 小明跟着妈妈乘观光电梯上楼,一会儿,小明兴奋地大叫起来:“妈妈!妈妈!你看我长高了!我比对面的大楼还要高!”小明说的对吗?为什么?[设计意图]较好地发挥了“情景导入”的作用,却又找不到足够的理由说服持有不同观点的同学.此情此景,在好奇心的驱动之下,学生欲罢不能,很容易就产生了继续学习、探索新知识的欲望.导入三:请大家仔细观察如图所示的图案,你觉得漂亮吗?这个图案的特点是由一个“基本图案”通过平移得到的,你能找到这个“基本图案”吗?这节内容我们就来研究一种几何变换——平移.一、平移的定义[过渡语](针对导入三)刚才我们看到的美丽图案,它是由12个完全一样的图形组成的,这个图案可以看成是由一个基本图形按照一定方式移动得到的.这样的图形运动称作什么呢?这就是我们本课时要研究的——图形的平移.思路一(1)我们再来感受一下平移.上面我们提到的游乐场中的滑梯等,你们在上面玩耍的时候,哪些方面是不变的?哪些方面是变化的?(2)什么是平移呢?引导学生探讨并在班内交流,达成共识后,得出平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.[设计意图]引导学生通过观察,发现图形间的变化规律,得出平移的定义.思路二教师通过多媒体展示(展示画面)现实生活中平移的具体实例:(1)箱子在传送带上移动的过程.(2)手扶电梯上人移动的过程.教师提问:①你能发现传送带上的箱子、手扶电梯上的人在移动前后什么没有改变,什么发生了改变吗?②在传送带上,如果箱子的某一部分向前移动了80 cm,那么箱子的其他部位向什么方向移动?移动了多少距离?学生自由发言,各抒己见.平移前后两个图形的形状和大小没有改变,位置发生了改变.根据上述分析,你能说明什么样的图形运动称为平移吗?平移的定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.平移三要素: 基本图形,平移方向,平移距离.[设计意图]数学来源于实际生活,使学生感受到生活中处处有数学.利用课本上的两个实例,进一步感受平移的实质,渗透平移的三要素,即“基本图形、平移方向、平移距离”.如图所示,△ABC经过平移得到△A'B'C'.我们把点A与点A'叫做对应点,线段AB与线段A'B'叫做对应线段,∠A与∠A'叫做对应角.此时:点B的对应点是点B' ;点C的对应点是点C' ;线段AC的对应线段是线段A'C' ;线段BC的对应线段是线段B'C' ;∠B的对应角是∠B' ;∠C的对应角是∠C' .△ABC平移的方向就是由点B到点B'的方向,平移的距离就是线段BB'的长度.二、平移的性质[过渡语]一个图形和它经过平移所得到的图形中,对应点所连的线段有什么关系,对应线段和对应角有什么关系?同学们通过刚才的观察,总结出一个结论,即:“图形的位置改变了,但形状和大小没有改变”.现在我们一起来探索:平移前后对应点、对应线段以及对应角之间在做怎样的变化.教师提出问题:想一想,将左图的四边形硬纸片按某一方向平移一定的距离,右图画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形EFGH.问题:(1)在上图中,线段AE,BF,CG,DH有怎样的关系?(2)图中每对对应线段之间有怎样的关系?(3)图中有哪些相等的线段、相等的角?学生分成四人一组,共同探讨平移的性质.讨论分析:①变换前后对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.平移变换是图形的每一个点的变换,一个图形沿某个方向移动一定距离,那么每一个点也沿着这个方向移动相同距离,所以对应点所连线段平行(或在一条直线上)且相等.②变换前后的图形全等.平移变换是由一个图形沿着某个方向移动一定距离,所以平移前后的图形是全等的.③变换前后对应角相等.④变换前后对应线段平行(或在一条直线上)且相等.学生归纳总结,教师板书平移的性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等;对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.[设计意图]这个活动是探索平移的性质,对学生有点难度,通过设置问题的回答,使学生直接观察得出性质.操作性强又富有挑战性的数学活动,激发了学生学习的兴趣,对平移的基本内涵和基本性质这两个重点,学生能掌握得更好.三、例题讲解[过渡语]刚才我们了解了平移的相关概念和平移的基本性质,我们能用学到的知识解答一些问题吗?(1)指出平移的方向和平移的距离;(2)画出平移后的三角形;(3)请在图(2)中找出平行且相等的线段,以及相等的角(找出对应角即可).解:(1)如图(2)所示,连接AD,平移的方向是点A到点D的方向,平移的距离是线段AD的长度.(2)如图(2)所示,分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等,连接DE,DF,EF,△DEF就是△ABC平移后的图形.(3)图中平行且相等的线段有:AB与DE,BC与EF,AC与DF,AD与BE,AD与CF,BE与CF;相等的角有:∠BAC与∠EDF, ∠ABC与∠DEF, ∠ACB与∠DFE.[设计意图]让学生进一步体会确定平移的两个要素:平移的方向和平移的距离,加深对平移性质的理解和应用.[知识拓展]平移作图.平移作图是平移基本性质的应用,利用平移可以得到许多美丽的图案.在具体作图时,应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连.(1)定:确定平移的方向和距离;(2)找:找出表示图形的关键点;(3)移:过关键点作平行且相等的线段,得到关键点的对应点;(4)连:按原图形顺序连接对应点.说明:平移作图实际上是平移基本性质的实际应用.注意:(1)平移作图的方法是由平移的性质而来,但必须注意两个条件,一是平移的方向,二是平移的距离.(2)平移的作图要抓住以下几个特征:①平移前后对应点连线平行(或共线)且相等.②对应线段平行(或共线)且相等.③对应角相等.1.平移是运动的一种形式,是图形变换的一种.2.图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向;二是图形平移的距离.这两个要素是图形平移的依据.3.图形的平移是指图形整体的平移.经过平移后的图形与原图形相比,只改变了位置,而不改变图形的形状和大小,这个特征是得出图形平移的基本性质的依据.1.下列运动属于平移的是()A.急刹车时汽车在地面上的滑动B.冷水加热中,小气泡上升为大气泡C.随风飘动的风筝在空中的运动D.随手抛出的彩球的运动解析:A中汽车向前滑动,方向和大小都没有改变,属于平移;B中气泡大小发生了变化,不属于平移;C中风筝在空气中运动方向不断变化,不属于平移;D中彩球运动方向不能确定.故选A.2.如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,下列图形中可由三角形OBC平移得到的是 ()A.三角形OCDB.三角形OABC.三角形FAOD.以上都不对解析:根据平移的定义与特征知,平移后图形的形状、大小不改变,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等,三角形OBC是等边三角形,与其他五个三角形的形状、大小相同,关键是看其他三角形的对应边是否符合平移的特征.故选C.3.如图所示的四个小三角形都是等边三角形,边长都为1 cm,能通过平移三角形ABC得到三角形FAE 和三角形ECD吗?若能,请指出平移的方向和平移的距离.解析:三角形FAE与三角形ABC都是等边三角形,则有AF=BA=BC=AE=FE=AC,满足平移后图形的大小和形状不变.平移的方向为点A到点F的方向,平移的距离为AF的长度(1 cm).同理可得△ABC与△ECD 的关系.解:能.三角形ABC平移到三角形FAE的平移方向为点A到点F的方向,平移的距离为1 cm;三角形ABC平移到三角形ECD的平移方向为点A到点E的方向,平移的距离为1 cm.4.如图所示,图形ABCD平移到图形EFGH,试根据该图,回答下列问题.(1)在图中,线段AE与BF,CG与DH有怎样的位置关系?(2)图中线段AB与EF,AD与EH有怎样的位置关系?(3)说出图中相等的角(说出对应角即可).解析:AE,BF,CG,DH是对应点所连的线段,AB与EF,AD与EH是对应线段,由平移的特征可知它们的位置关系是平行.对应角相等.解:(1)平行.(2)平行.(3)∠BAD=∠FEH,∠ADC=∠EHG,∠DCB=∠HGF,∠ABC=∠EFG.5.经过平移,三角形ABC的边AB移到了A'B',作出平移后的三角形A'B'C'.解析:本题已知原图形和平移后的一条线段,就相当于已知原图形和平移的方向、平移的距离,所以根据平移前后两三角形全等可以作出平移后的三角形,具体的作法有很多种.解法1:如图(1)所示,分别过点A',B',作出与AC,BC平行且相等的线段A'C',B'C',两条线段相交于点C',三角形A'B'C'即为所求.解法2:如图(2)所示,分别以A',B'为圆心,以线段AC,BC的长为半径画弧,交于点C',连接A'C',B'C'即得△A'B'C'.解法3:如图(3)所示,连接AA',过点C按照射线AA'的方向作射线CC',使CC'∥AA'并截取CC'=AA',则连接A'C',B'C'所得的三角形A'B'C'即为所求作的三角形.第1课时一、平移的定义二、平移的性质三、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第67页习题3.1的1,2题.【选做题】教材第68页习题3.1的3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.两个全等的图形可看做其中一个是由另一个平移得到的B.由平移得到的两个图形对应点连线互相平行(或共线)C.由平移得到的两个等腰三角形周长一定相等,但面积未必相等D.边长相等的两个正方形一定可以通过平移得到2.如图所示,下列每组图形中的两个三角形不是通过平移得到的是()3.下列现象:①电风扇的转动;②打气筒打气时,活塞的运动;③钟摆的摆动;④传送带上瓶装饮料的移动.其中属于平移的是.【能力提升】4.如图所示,一张白色正方形纸片的边长是10 cm,被两张宽为2 cm的阴影纸条分为四个白色的长方形部分,请你利用平移的知识求出图中白色部分的面积.5.如图所示,AD∥BC,∠ABC=80°,∠BCD=50°,利用平移的知识讨论BC与AD+AB的数量关系.6.如图所示,将Rt△ABC沿直角边AB的方向向右平移2个单位长度得到△DEF,如果BG=CG,AB=4,∠ABC=90°,且△ABC的面积为6,求图中阴影部分的面积.7.如图所示,△ABC沿射线MN方向平移一定距离后成为△A'B'C'.找出图中相等的线段以及全等的三角形.8.A,B两点间有一条传输速度为每分钟5米的传送带,由A点向B点传送货物.一只蚂蚁不小心爬到了传送带上,它以每分钟1.5米的速度从A点爬向B点,3分钟后,蚂蚁爬到了B点,你能求出A,B两点间的距离吗? 【拓展探究】9.如图所示,∠BAC=30°,∠B'A'C'=45°,且AB∥A'B',直线AC与直线A'C'相交于点O,求∠COC''的度数.10.如图所示,有一条光滑曲线,画出将它沿数轴向左平移2个单位长度后的图形.。
图形的平移和旋转知识点复习
第三章图形的平移与旋转知识点一：平移及平移作图1、平移的概念及性质：(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。
（2）平移的特点：①图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离。
②平移不改变图形的形状、大小，方向，只改变图形的位置。
(3) 平移的基本性质：经过平移，对应点所连的线段，对应线段，对应角。
2、平移作图：方法一：根据性质：对应点连接的线段平行且相等，做出平行线段，找到对应点，再将各点连接；方法二：根据性质：对应线段平行且相等，直接做出平移后的图形。
平移三要素：（1）（2）（3）。
例1:下图中的图形A向右平移了格得到图形A′。
A A′二、巩固练习1.经过平移,图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离,下面说法正确的是（）A 不同的点移动的距离不同B 既可能相同也可能不同C 不同的点移动的距离相同D 无法确定2.如图，若线段是由线段平移而得到的，则线段、关系是.4.分别画出将□向下平移4格，向左平移8格后得到的图形。
4.如图，经过平移，△的顶点A移到了点D，请作出平移后的三角形。
作法：1.分别过点B、C沿方向作线段、，使它们与平行且相等2.顺次连结D、E、F则△即为所求。
5.如图，已知△，画出△沿方向平移4后的△A′B′C′．知识点二：旋转及旋转作图1.旋转的概念及性质旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点称为，转动的角称为。
旋转不改变图形的大小和形状。
2．旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形；（4）图形的旋转由和决定。
3.旋转作图两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点。
作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；②顺次连接各点得到旋转后的图形。
(完整版)图形的平移与旋转知识点
第三章图形的平移与旋转复习要点专点一：图形的平移1．平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移是由移动的方向和距离决定的。
2.平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小：即平移前后的线段相等，平移前后的三角形或多边形全等。
（2）平移后的图形与原来图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
（3）平移后两图形的对应点所连的线段平行且相等。
专点二：图形的旋转1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿着某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的角度，这样的图形运动成为旋转，这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。
2.旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小：即旋转前后的图形是一组全等形。
（2）旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。
（3）经过旋转，图形上的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度。
（4）任意一对对应点与旋转中心的距离相等。
考点三、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点四、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）2、关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）3、关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）专点五：利用轴对称、旋转和平移作图1.平移作图的一般步骤：（1）确定平移的方向和距离；（2）确定构成图形的关键点（线段两个端点，三角形三个顶点，n边形n 个顶点）；（3）按照平移的方向和距离平移各个关键点；（4）顺次连接各个关键点的对应点，所得的图形就是平移后的图形。
七年级数学平移和旋转的变换复习知识点总结
平移和旋转都是二维的几何变换，是数学中重要的内容之一、它们在生活和科学中有着广泛的应用，比如地图的绘制、机器人的运动轨迹规划等。
在初中数学中，我们将学习平移和旋转的基本概念、性质以及应用。
一、平移的概念和性质1.平移的定义：平移是指将一个点或者图形沿着同一方向和距离移动，移动后仍保持原来的大小、形状和朝向。
2.平移的性质：(1)平移是保形变换，即平移前后图形的形状保持不变。
(2)平移是保角变换，即平移前后图形的角度保持不变。
(3)平移是可逆变换，即平移后再反向平移能够还原原来的图形。
(4)平移可以通过向量来描述，平移向量的大小和方向与移动的距离和方向一致。
二、旋转的概念和性质1.旋转的定义：旋转是指将一个点或者图形绕着一些点旋转一定的角度，旋转之后保持原来的大小和形状。
2.旋转的性质：(1)旋转是保形变换，即旋转前后图形的形状保持不变。
(2)旋转不改变图形的大小。
(3)旋转是可逆变换，即旋转后再反向旋转能够还原原来的图形。
(4)旋转可以通过角度来描述，顺时针和逆时针旋转用正负号表示。
1.平移的变换公式：对于平移向量为(a,b)，将点P(x,y)平移得到点P'(x',y')，变换公式为：x'=x+ay'=y+b2.旋转的变换公式：对于以点O为中心逆时针旋转角度θ，将点P 到点P'，变换公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ四、平移和旋转的性质和作用1.平移的性质和作用：(1)平移不改变图形的形状和大小，只改变了图形的位置。
(2)平移可以用来解决位置和位置之间的关系问题，比如寻找相对位置、计算坐标等。
2.旋转的性质和作用：(1)旋转不改变图形的形状和大小，只改变了图形的方向和朝向。
(2)旋转可以用来解决角度和角度之间的关系问题，比如确定旋转中心、计算旋转角度等。
(3)旋转也可以用来解决图形的对称性问题，比如寻找对称图形、判断对称轴等。
平移和旋转知识点总结
平移和旋转知识点总结一、平移的基本概念平移是指物体沿着某一方向按照一定距离进行移动的操作。
在平面上，平移是指将图形在水平方向和垂直方向上进行平移，将图形中的每一个点沿着相同的距离进行移动。
在三维空间中，平移是指将物体在三个坐标轴方向上进行移动，即沿着 x 轴、y 轴和 z 轴进行平移。
在进行平移变换时，可以使用矩阵的乘法来进行描述。
对于二维坐标系中的点 (x, y)，如果要将其进行平移变换，可以使用以下的矩阵表示：```1 0 tx0 1 ty0 0 1```其中 tx 和 ty 分别表示在 x 方向和 y 方向上的平移距离。
对于三维空间中的点 (x, y, z)，平移变换可以使用以下的矩阵表示：```1 0 0 tx0 1 0 ty0 0 1 tz0 0 0 1```其中 tx、ty 和 tz 分别表示在 x 轴、y 轴和 z 轴方向上的平移距离。
二、平移的性质1. 平移变换具有可加性，即两个或多个平移变换的效果可以合并为一个平移变换。
设 T1 和 T2 分别表示两个平移变换，对于任意的点 P，有 T2(T1(P)) = T3(P)，其中 T3 为合并后的平移变换。
2. 平移变换的逆变换也是一个平移变换。
即如果对一个点进行一次平移变换 T，再对其进行逆变换 T^-1，则得到的结果还是一个平移变换，并且可以合并为一个恒等变换。
即 T^-1(T(P)) = P。
3. 平移变换不改变点之间的相互位置关系。
对于图形中的任意两点 A 和 B，它们之间的距离和方向在进行平移变换后不会发生改变，只是位置发生了移动。
三、平移的应用1. 平移变换在计算机图形学中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，平移变换可以用来实现图形在屏幕上的移动、拖拽等操作。
在图形处理软件中，也可以使用平移变换来进行图形的平移操作。
2. 在工程和建筑设计中，平移变换可以用来描述物体在平面或空间中的移动和位置调整。
例如在建筑设计中，可以使用平移变换来进行建筑结构的调整和优化。
平移旋转的知识点总结
平移旋转的知识点总结平移的概念平移是指将图形沿着某个方向保持大小和形状不变地移动一定的距离。
在平移过程中，图形内部的每一个点都以相同的距离和方向移动，从而保持了图形的整体形状和大小不变。
平移的特点：1. 平移是一种刚性变换，即图形的大小和形状在平移过程中都不发生改变。
2. 平移可以沿着任意方向进行，只要给定了平移的距离和方向，就可以完成平移操作。
3. 平移可以作用在点、线、面甚至是三维空间中的物体上，因此具有广泛的应用范围。
平移的表示方法：在几何学中，平移可以用向量来表示。
如果我们将平移的距离和方向表示为一个向量t，那么对于平面上的任意一个点P(x, y)，经过平移后的新坐标P'(x', y')可以表示为：P' = P + t这个公式表示了任意点P经过平移后的新位置P'，其坐标是原始坐标P加上平移向量t。
旋转的概念旋转是指将图形围绕某个点或者某个轴旋转一定的角度。
在旋转过程中，图形内部的每一个点都以相同的角度绕旋转中心旋转，从而改变了图形的方向，但是保持了图形的大小和整体形状不变。
旋转的特点：1. 旋转同样是一种刚性变换，即图形的大小和形状在旋转过程中都不发生改变。
2. 旋转可以围绕点、线、面甚至是三维空间中的物体进行，因此具有广泛的应用范围。
3. 旋转角度可以是正数、负数、甚至是小数，可以顺时针或者逆时针进行旋转。
旋转的表示方法：在几何学中，旋转可以用矩阵来表示。
如果我们将旋转的角度表示为θ，旋转中心为C(x0, y0)，那么对于平面上的任意一个点P(x, y)，经过旋转后的新坐标P'(x', y')可以表示为：[x'] [cosθ -sinθ][x - x0] [x0 + (x - x0)cosθ - (y - y0)sinθ][y'] = [sinθ cosθ][y - y0] = [y0 + (x - x0)sinθ + (y - y0)cosθ]这个矩阵公式表示了任意点P(x, y)经过旋转后的新位置P'(x', y')，其中cosθ和sinθ是旋转角度θ的余弦和正弦值。
旋转和平移知识点总结
旋转和平移知识点总结一、旋转1.1 定义在数学中，旋转是指以某一点为中心，按一定的角度和方向将图形绕该点旋转的过程。
常见的旋转包括顺时针旋转和逆时针旋转，以及以原点为中心的旋转和以其他点为中心的旋转。
1.2 性质（1）旋转是等距变换，旋转前后图形的每个点到中心的距离保持不变。
（2）旋转是保角变换，旋转前后图形上的两个点和中心组成的角度保持不变。
（3）根据旋转的不同角度和方向，可以将图形旋转成不同的位置和姿态。
1.3 公式以原点为中心的逆时针旋转公式：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ以任意点（a，b）为中心的逆时针旋转公式：x' = (x-a) * cosθ - (y-b) * sinθ + ay' = (x-a) * sinθ + (y-b) * cosθ + b1.4 实际应用旋转在计算机图形学、几何建模、航空航天、地理信息系统等领域都有广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，旋转可以用来实现图形的变换和动画效果；在航空航天领域，旋转可以用来控制飞机和卫星的姿态；在地理信息系统中，旋转可以用来实现地图的旋转和放大缩小等功能。
二、平移2.1 定义平移是指保持图形大小、形状和方向不变的情况下，将图形沿着某一方向移动一定的距离的过程。
平移可以分为水平平移和垂直平移，分别是在x轴和y轴方向上进行平移。
2.2 性质（1）平移是等距变换，平移前后图形上的任意两点之间的距离保持不变。
（2）平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。
2.3 公式水平平移公式：x' = x + ay' = y垂直平移公式：x' = xy' = y + b2.4 实际应用平移在地图导航、工程设计、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
例如，地图软件中的平移功能可以让用户在地图上任意移动视角；在工程设计中，平移可以用来调整建筑物或设备的位置；在计算机图形学中，平移可以用来实现图形的移动和拼接。
初中数学图形的平移与旋转的知识点总结
初中数学图形的平移与旋转的知识点总结知识点总结一、平移变换：1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
2.性质：（1）平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法：（1）分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；（2）分析所作的图形，找出构成图形的关健点；（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；（4）连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；（5）写出结论。
二、旋转变换：1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
说明：（1）图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；（2）旋转过程中旋转中心始终保持不动．（3）旋转过程中旋转的方向是相同的．（4）旋转过程静止时，图形上一个点的旋转角度是一样的．⑤旋转不改变图形的大小和形状．2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等．3.旋转作图的步骤和方法：（1）确定旋转中心及旋转方向、旋转角；（2）找出图形的关键点；（3）将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；（4）按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形．说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角．常见考法（1）把平移旋转结合起来证明三角形全等；（2）利用平移变换与旋转变换的性质,设计一些题目。
误区提醒（1）弄反了坐标平移的上加下减，左减右加的规律；（2）平移与旋转的性质没有掌握。
[初中数学图形的平移与旋转的知识点总结]初中美术教研组工作总结半年来，美术教研组在校领导下，全体美术教师的大力写作下，顺利完成了本学期初制定的目标，取得了较为满意的成绩。
为使今后的工作更上一层楼。
现将本学期的美术教研工作总结如下：一、基本情况概述：开学初，我们遵照校领导的要求，结合学校实际情况，以课程标准为指导，制定了切实可行的工作计划，并尽可能地按计划开展可丰富多彩的活动：监督教师搞好教学常规和常规教学，组织了听课、公开课、画展、手工、作业展评等一系列的活动。
(完整版)北师大版八年级下册3.2图形的平移与旋转讲义(无答案)
八年级数学精讲——第三章：图形的平移与旋转【基础知识】1．平移的定义与规律（1）定义：在平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，•这样的图形运动称为平移．关键：平移不改变图形的形状和大小，也不会改变图形的方向．（2）平移的规律：经过平移，对应线段、对应角分别相等，•对应点所连的线段平行且相等（或共线且相等）．（3）简单作图平移的作图主要关注要点：1．方向，2．距离．整个平移的作图，就象把整个图案的每个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每个特征点滑过的距离是一样的．2．旋转的定义与规律（1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，•这样的图形运动称为旋转．关键：旋转不改变图形的大小和形状，但改变图形的方向．（2）旋转的规律经过旋转，图形上的每一点，都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．（3）简单的旋转作图旋转作图关键有两点：①旋转方向，②旋转角度．主要分四步：边、转、截、连．旋转就象把每个特征点与旋转中心用线连住的风筝，每个点转的角度是相同的，每个点与旋转中心的距离是不会改变的，即对应点与旋转中心距离相等．3．图案的分析与设计首先找到图中的基本图案，然后分析其图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成的，我们主要遇到的变换有：轴对称、平移、旋转．在相似形一章里还会学到图形的放大与缩小等．【典例剖析】1、请你完成下列问题．图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为a，•竖直方向的边长均为b）；在图1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；（1）（2）（3）在图2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．（1）在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移一个单位，•从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影．（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S1=_____，S2=_______，S3=_______；（3）联想与探索如图4，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并说明你的猜想是正确的．2、如图，有边长为1的等边三角形ABC和顶角为120°的等腰△DBC，•以D为顶点作60°角，两边分别交AB、AC于M、N的三角形，连结MN，试说明△AMN的周长为2．3、如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边- 1 - / 8- 2 - / 8长的一半，当小正六边形由图①位置滚动到图②位置时，线段OA 绕点O 顺时针转过的角度为 度．4、如图，已知ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o ，直角EPF ∠的顶点P 是BC中点，两边PE ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF=②APE CPF ∠=∠③EPF△是等腰直角三角形④EF AP=⑤12AEPFABC S S =四边形△；当EPF ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有5、如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且68PA PB ==，，10PC =．若将PAC△绕点A 逆时针旋转后，得到P AB '△，则点P 与点P '之间的距离为 ，APB ∠=第4题 第5题变式：△ABC 是等腰直角三角形，BC 是斜边，P 为△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后与△ACP /重合，如果AP=3，那么线段P P /的长是多少？6、如图，ABC△中，90301B C AB ∠=∠==o o ，，，将ABC △绕顶点A 旋转180o ，点C 落在C '处，则CC '的长为 。
第三章 图形的平移与旋转(回顾与思考)(课件)-八年级数学下册(北师大版)
2 cm至△A′B′C′的位置，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为( C )
A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm
二、考点精讲
考点一：平移的性质 例2. 如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到 △DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求 (3)△ABC 的面积＝2×3－12 ×1×3－12 ×1×1－12 ×2×2＝6－1.5－0.5－2＝2
二、考点精讲
考点四：旋转作图
例8. 如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点).
(1)作点A关于点O的对称点A1； (2)连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线 段A1B1； (3)连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．
三、课堂练习
8．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移， 使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F. (1)猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论； (2)求线段BD的长．
三、课堂练习
解：(1)AC与BD互相垂直．证明如下： ∵△DCE由等边三角形ABC平移得到， ∴BC＝CD. ∵∠ACB＝∠ACD＝180°－60°－60°＝60°， ∴CF是等腰△BCD的角平分线． ∴CF垂直平分BD，即AC⊥BD.
解：∵△DCE 由△ABC 平移而成， ∴△ABC 平移的距离为：BC＝2， ∴CD＝CB＝CE＝2， ∴∠BDE＝90°，∴△BED 是直角三角形， ∵BE＝BC＋CE＝4，DE＝CE＝2， ∴BD＝ BE2－DE2 ＝2 3
第三章平移与旋转知识归纳
第三章：平移与旋转知识归纳 一、两个概念
1、 平移：平面内，将一个图形沿某个方向移动一段距离 ，这种图形运动叫做平移。
2、 旋转：平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。
这种图形运动叫做旋转。
其中定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
二、两种规律
1、 平移的规律
经过平移，对应点的连线平等且相等；对应边平行且相等；对应角相等。
2、 旋转的规律
经过旋转，对应点与旋转中心的连线相等；图形上每一个点都转动了相同的角度；旋转角相等。
三、两种作图
1、 平移作图 （先点后线）
基本步骤：（1）先移动对应点 （2）再连接对应线段
2、 旋转作图 （先线后转）
基本步骤：（1）先连接对应点与旋转中心 （2）再转动对应线段 （3）最后连接对应边画完图形 四、几点拓展
1、 旋转中心的确定
（1） 旋转中心在图形上的
旋转前后都没有移动的点即为旋转中心
3、
五、1、 2、
（1）已知：E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF。
.
（2）已知：在△ABC中，AB=AC，延长AB到D，使
CD=2CE。
（3）中
（4）
B
E
2。
平移旋转知识点总结
平移旋转知识点总结一、平移的基本概念1、平移的定义平移是指图形沿着一条直线方向移动，移动的距离和方向保持一致。
在平移过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是位置发生了改变。
可以将平移看作是图形的每个点都按照同一个方向和距离进行移动，从而得到了一个新的位置。
2、平移的表示平移可以用向量来表示，假设有一个向量V(u,v)，其中u和v表示平移的水平和垂直方向上的距离。
对于一个点P(x,y)，通过向量表示的平移操作可以表示为P'=(x+u, y+v)。
这表示点P经过向量V的平移操作后得到了新的点P'(x+u, y+v)。
3、平移的性质平移具有以下几个重要的性质：（1）平移是保形变换，即平移前后的图形形状相同；（2）平移不改变图形的大小；（3）平移不改变图形的角度；（4）平移保持了图形内的任意两点间的距离关系。
二、旋转的基本概念1、旋转的定义旋转是指图形以一个固定的点为中心，按照一定的角度转动。
在旋转过程中，图形的大小和形状都不发生变化，只是方向发生了改变。
可以将旋转看作是图形的每个点都按照同一个中心和角度进行转动，从而得到了一个新的方向。
2、旋转的表示旋转可以用矩阵来表示，假设有一个点P(x,y)，以原点为中心，顺时针旋转角度为θ的旋转操作可以表示为P'=(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。
这表示点P经过矩阵表示的旋转操作后得到了新的点P'(x',y')。
3、旋转的性质旋转具有以下几个重要的性质：（1）旋转是保形变换，旋转前后的图形形状相同；（2）旋转不改变图形的大小；（3）旋转保持了图形内的任意两点间的距禿；（4）旋转不改变图形的中心；（5）对任意两个点A和B，它们的连线在旋转前后的夹角不变。
三、平移和旋转的混合变换在实际问题中，往往需要对图形进行平移和旋转的组合变换。
对于平移和旋转的组合变换，其实际操作可以分为两步：首先进行平移，然后进行旋转。
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第三章：平移与旋转知识归纳
一、两个概念
1、 平移：平面内，将一个图形沿某个方向移动一段距离 ，这种图形运动叫做平移。
2、 旋转：平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度。
这种图形运动叫做旋转。
其中
定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角。
二、两种规律
1、 平移的规律
经过平移，对应点的连线平等且相等；对应边平行且相等；对应角相等。
2、 旋转的规律
经过旋转，对应点与旋转中心的连线相等；图形上每一个点都转动了相同的角度；旋转角相等。
三、两种作图
1、 平移作图 （先点后线）
基本步骤：（1）先移动对应点 （2）再连接对应线段 2、 旋转作图 （先线后转）
基本步骤：（1）先连接对应点与旋转中心 （2）再转动对应线段 （3）最后连接对应边画完图形 四、几点拓展
1、 旋转中心的确定
（1） 旋转中心在图形上的
旋转前后都没有移动的点即为旋转中心
（2）
旋转中心在图形外的
2、旋转角度的计算
（1）正多边形的旋转角度
正n边形绕中心旋转后与原图重合
因此：正三角形需转动120°，正三角形需转动120°，正方形需转动90°，正五边形需
转动72°，正六边形需转动60°……
（2）一般图形的旋转角度
3、平移距离的计算
五、典型的平移与旋转
1、常见的平移与旋转图形
2、 运用典型的旋转平移解题
（1） 已知：E 是正方形ABCD 的边长AD 上一点，BF 平分∠EBC ，交CD 于F ，求证BE=AE+CF 。
. （2） 已知：在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，E 为AB 的中点，求证CD=2CE 。
（3）
（4） 中
D
F
B
E。