小学数学比和比例问题知识汇总

小学数学学问总结之比和比例应用题

【求比的问题】

例1 两个同样容器中各装满盐水。第一个容器中盐与水的比是2∶3，第二个容器中盐与水的比是3∶4，把这两个容器中的盐水混合起来，则混合溶液中盐与水的比是____。

（无锡市小学数学竞赛试题）

则混合溶液中，盐与水的比是：

某电子产品去年按定价的80％出售，能获利20％，由于今年买入价降

（1994年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

即：

【比例问题】

例1 甲、乙两包糖的重量比是4∶1，假如从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7∶5 那么两包糖重量的总和是____克。

（1989年全国小学数学奥林匹克初赛试题）

例2 甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一局部纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。第二次将乙容器中的一局部混合液倒入甲容器。这样甲容器中纯酒精含量为62.5％，乙容器中纯酒精含量为25％，那么，第二次从乙容器倒入甲容器的混合液是____升。

（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

讲析：因为如今乙容器中纯酒精含量为25％，所以，乙容器中酒精与水的比为25％∶（1-25％）=1∶3

第一次从甲容器中倒5升纯酒精到乙容器，才使得乙容器中纯酒精与水的比恰好是5∶15=1∶3

又甲容器中纯酒精含量为62.5％，则甲容器中酒精与水的比为62.5％∶（1-62.5％）=5∶3

第二次倒后，要使甲容器中纯酒精与水的比为5∶3，不妨把从甲容器中倒入乙容器的混合液中纯酒精作1份，水作3份。那么甲容器中剩下的纯酒精便是11-5=6（升）

6升算作4份，这样可恰好配成5∶3。

而第二次从乙容器倒入甲容器的混合液共为1＋3=4（份），所以也应是6升。

（1）比的意义

两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比拟，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不能是零。

依据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值（2）比的性质

比的前项和后项同时乘上或者除以一样的数（0除外），比值不变，这叫做比的根本性质。（3）求比值和化简比

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

依据比的根本性质可以把比化成最简洁的整数比。它的结果必需是一个最简比，即前、后项是互质的数。

（4）比例尺

图上间隔：实际间隔 =比例尺

要求会求比例尺；已知图上间隔和比例尺务实际间隔；已知实际间隔和比例尺求图上间隔。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际间隔。（5）按比例安排

在农业消费和日常生活中，经常须要把一个数量依据肯定的比来进展安排。这种安排的方法通常叫做按比例安排。

方法：首先求出各局部占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2 比例的意义和性质

（1）比例的意义

表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

（2）比例的性质

在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的根本性质。

（3）解比例

依据比例的根本性质，假如已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。

3 正比例和反比例

（1）成正比例的量

两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）肯定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(肯定）

（2）成反比例的量

两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(肯定)

二正反比例问题

【含义】两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的比的比值肯定（即商肯定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等学问的综合运用。

两种相关联的量，一种量改变，另一种量也随着改变，假如这两种量中相对应的两个数的积肯定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等学问的综合运用。

【数量关系】推断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。很多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比拟简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。

例1 修一条马路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条马路总长是多少米？

例2 张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？

关键：做题效率肯定，做题数量与做题时间成正比例关系

例3 孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，假如每天看36页，几天就可以看完？

三按比例安排问题

【含义】所谓按比例安排，就是把一个数依据肯定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各局部占总数量的份数，另一种是干脆给出份数。

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部重量的比；从问题看，求几个部重量各是多少。

总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部重量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各局部占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再依据求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部重量的值。

例1 学校把植树560棵的任务按人数安排给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

例2 用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？

例3 从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

例4 某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

四列方程

例1 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人？