北师大版初中数学九年级下册教案 第二章 二次函数 回顾与思考(1)
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思
北师大版九年级数学下册《二次函数的应用》教案及教学反思教学目标1.理解二次函数的概念及特性2.掌握二次函数应用实例3.培养学生分析问题、解决问题的能力教学内容1. 二次函数的概念与特性（1）定义二次函数是指自变量的二次方作为函数的函数，它的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。
（2）基本特征•定义域：实数集•值域：当 a > 0 时，二次函数的最小值为 c - (b^2) / (4a) ；当 a < 0 时，二次函数的最大值为 c - (b^2) / (4a)。
•对称轴：x = -b / (2a)•开口方向：当 a > 0 时，二次函数开口向上，当 a < 0 时，二次函数开口向下。
•零点：f(x) = 0 时的 x 值即为二次函数的零点。
2. 二次函数的应用实例（1）求最大值或最小值当一个物理问题能够用二次函数来表达时，可以利用二次函数的特性，求出物理量的最大值或最小值。
（2）求交点二次函数和直线之间的交点可以用来解决几何问题，如交点为两柱面相切的圆的半径等。
教学方法•解释法：通过示例或铺垫讲解二次函数的定义及特性。
•运用法：通过做一些典型题目，让学生理解二次函数的不同特性。
•发散法：通过一些拓展题目，让学生探究二次函数的应用及实际问题的解决。
教学过程1. 拓展题目（10分钟）请学生观察以下二次函数图像，思考不同函数的特点。
当学生了解了不同二次函数的特性并掌握了如何求解二次函数的基本问题后，开始进入二次函数应用问题实战。
2. 例题练习（30分钟）请学生在教师指导下，完成以下例题练习： 1. 某工程公司定价方案为：一个工程的成本为 10000 元，每增加 1 万的工程量，成本额外增加 2400 元。
如果公司想最多减少亏损，最多赚多少？ 2. 在 xy 平面内，一个圆心坐标为 (2, 3)，一点坐标为 (0, 1)。
当圆与直线 y=2 x-1 相切时，圆的半径为多少？ 3. 有一个与 x 轴成 45 度角的光线通过点 P(6, 2) 射向 y 轴的一面镜子，反射之后定位在 Q(0, y) 处，求 y的值。
北师大版数学九年级下册1 二次函数教案与反思
知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平1 二次函数教学目标一、基本目标1．理解并掌握二次函数的概念，能判断一个给定的函数是否为二次函数．2．会根据二次函数的关系式计算一些函数值．3．能够表示简单变量之间的二次函数关系．二、重难点目标【教学重点】二次函数的概念．【教学难点】能根据已知条件写出二次函数的表达式．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P29～P30的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．正比例函数的表达式为y＝kx(k为常数，且k≠0)；一次函数的表达式为y＝kx＋b(k、b为常数，且k≠0)．2．一般地，若两个变量x、y之间的对应关系可以表示为y＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的形式，那么称y 是x 的二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a 、b 、c .3．下列函数中，是二次函数的有①②③.(填序号)①y ＝(x －3)2－1；②y ＝1－2x 2；③y ＝13(x ＋2)(x －2)；④y ＝(x －1)2－x 2.4．半径为R 的圆，半径增加x ，圆的面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝πx 2＋2πRx (x ≥0)．环节2 合作探究，解决问题活动1 小组讨论(师生互学)【例1】已知关于x 的函数y ＝(m ＋1)xm 2－m 是二次函数， 求m 的值．【互动探索】(引发学生思考)已知含参函数的表达式为二次函数，那么二次函数的自变量及各项系数应该满足哪些条件？【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m ＝2，m ＋1≠0，解得m ＝2.即m 的值为2.【互动总结】(学生总结，老师点评)y ＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数的前提条件是a ≠0，且自变量x 的最高次数为2，注意不要忽略二次项系数不为0这一隐含条件．【例2】一个正方形的边长是12 cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1) cm 的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.(1)写出y 与x 之间的关系式，并指出y 是x 的什么函数？(2)当小长方形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？【互动探索】(引发学生思考)画出几何示意图，用含x 的代数表示出相关线段，根据题中的数量关系列出表达式．【解答】(1)根据题意，得y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2时，y ＝－2×22－2×2＋144＝132；当x ＝4时，y ＝－2×42－2×4＋144＝104.∴相应的剩余部分的面积分别是132 cm2和104 cm2.【互动总结】(学生总结，老师点评)根据实际问题写出二次函数的表达式的一般步骤：(1)阅读并理解题意；(2)找出问题中的变量与常量，并分析它们之间的关系，若有图形，则要注结合图形进行分析；(3)设适当的未知数，用二次函数表示出变量之间的关系，从而写出二次函数表达式．活动2 巩固练习(学生独学)1．如果函数y ＝(k ＋2)xk 2－2是y 关于x 的二次函数，则k 的值为多少？解：根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得k ＝2.即k 的值为2.【教师点拨】不要忽视k ＋2≠0.2．如图，用为10米的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过10米)，围成一个矩形花圃，设矩形垂直于墙的一边长为x 米，花圃面积为S 平方米则S 关于x 的函数表达式是S ＝－2x 2＋10x .(不写自变量的取值范围)3．已知函数y ＝(m ＋1)xm 2－3m －2＋(m －1)x (m 是常数)．(1)m 为何值时，它是二次函数？(2)m 为何值时，它是一次数？解：(1)m ＝.(2)m ＝－1或m ＝3＋212或m ＝3－212. 【教师点拨】注意问题(2)要分情况讨论．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】已知关于x 的二次函数，当x ＝－1时，函数值为10；当x ＝1时，函数值为4；当x ＝2时，函数值为7，求这个二次函数的表达式．【互动探索】我们学过了一次函数以及一次函数达式的求法——待定系数法，这种方法对求二次函数的表达式同样适用吗？【解答】设所求二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝10，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－3，c ＝5.故所求二次函数的表达式为y ＝2x 2－3x ＋5.【互动总结】(学生总结，老师点评)求二次函数的表达式与求一次函数的表达式的方法相同，都是待定系数法，二次函数有三个未知数，所以求二次函数的表达式需要三个方程．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)二次函数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ 二次函数的概念⎩⎪⎨⎪⎧ 形如y ＝ax 2＋bx ＋c a 、b 、c 是常数，且a ≠0前提条件：a ≠0，自变量的最高次数是2列二次函数的关系式练习设计请完成本课时对应练习！【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
北师大版九年级数学《二次函数》回顾与思考教案
【教学目标】1.复习和巩固二次函数的基本概念和性质；2.通过回顾，检查学生对二次函数的理解程度，并帮助学生弄清关键概念和解题思路；3.培养学生的分析、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和抽象思维。
【教学重点】1.梳理二次函数的基本概念和性质；2.提供典型例题，帮助学生掌握解题思路；3.引导学生探究二次函数的应用领域。
【教学难点】1.通过合理的引导和问题导向，帮助学生运用所学知识解决实际问题；2.让学生了解二次函数在自然界和社会生活中的应用。
【教学过程】【导入】引入二次函数的概念：放映一段优秀的科普视频，引起学生对二次函数的兴趣，并回顾二次函数的定义和性质。
【讲授】1.复习与总结回顾并总结二次函数的定义、一般式、顶点式、轴对称式等表示方法，并归纳总结二次函数的性质。
2.典型例题讲解提供一些典型的二次函数问题，帮助学生巩固概念，并引导学生掌握解题思路和方法，例如：例题1：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点是(1, -2)，且经过点(-1, 4)，求a、b、c的值。
例题2：若抛物线y = ax^2 + 2ax - 3与x轴交于点A、B，交点A在点(-1, 0)的左边，且AO是x轴的中线，求a的取值范围。
3.实际应用通过介绍二次函数在自然界和社会生活中的应用，引导学生了解二次函数在实际问题中的作用。
例如：抛物线的运动轨迹、桥梁的设计、物体自由落体的运动等。
【练习】对所学知识进行巩固与运用，提供一些练习题，检查学生对二次函数的理解和应用能力。
【拓展】引导学生进一步探索，拓宽知识面，例如引导学生理解二次函数图象的平移、伸缩等变化。
【归纳总结】通过本节课的学习，学生总结本节课的重点内容和解题方法，归纳反思学习中出现的问题和不足之处。
【课堂小结】对本节课的学习内容进行总结，引导学生思考并提问，对学生的学习情况进行梳理和分析。
【作业布置】布置一些练习题作为课后作业，巩固所学知识，并提醒学生及时复习课堂内容。
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节主要是让学生回顾已学的二次函数知识，通过对已学知识的梳理，加深对二次函数的理解，并为后续的学习打下基础。
教材中包含了二次函数的图像、性质、以及解决实际问题等方面的内容。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一定程度的数学知识，对二次函数有一定的了解。
但是，部分学生可能对二次函数的图像和性质理解不深，解决实际问题的能力较弱。
因此，在教学过程中，教师需要关注这部分学生的学习需求，通过合理的教学设计，帮助他们巩固已学的知识，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，理解二次函数的图像和性质。
2.培养学生解决实际问题的能力，提高学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力。
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的图像和性质，解决实际问题。
2.难点：对二次函数图像和性质的理解，以及运用二次函数解决实际问题的方法。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.案例分析法：教师通过分析实际问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备与本节课内容相关的课件，以便引导学生回顾和巩固二次函数的基本知识。
2.实际问题：教师准备一些与生活实际相关的数学问题，引导学生运用二次函数解决实际问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾已学的二次函数知识，如二次函数的定义、图像、性质等。
同时，教师也可以让学生举例说明二次函数在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示二次函数的图像和性质，让学生直观地感受二次函数的特点。
【北师大版】九年级数学下册：2.1 二次函数1教案
2.1 二次函数1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式；(重点)2．会利用二次函数的概念解决问题；(重点)3．列二次函数表达式解决实际问题．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6m，窗户面积为y m2，窗户宽为x m，你能写出y与x 之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的概念【类型一】二次函数的识别下列函数中是二次函数的有()①y＝x＋1x；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x ＋3)2－2x2；④y＝1x2＋x.A．4个B．3个C．2个D．1个解析：①y＝x＋1x，④y＝1x2＋x的右边不是整式，故①④不是二次函数；②y＝3(x－1)2＋2，符合二次函数的定义；③y ＝(x ＋3)2－2x 2＝－x 2＋6x ＋9，符合二次函数的定义．故选C.方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第1题【类型二】 利用二次函数的概念求字母的值当k 为何值时，函数y ＝(k －1)xk 2＋k ＋1为二次函数？解析：根据二次函数的概念，可得k 2＋k ＝2且同时满足k －1≠0即可解答．解：∵函数y ＝(k －1)xk 2＋k ＋1为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1或－2，k ≠1，∴k＝－2.方法总结：解答本题要考虑两方面：一是x 的指数等于2；二是二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型三】 二次函数相关量的计算已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3，当x ＝2时，y ＝3.则x ＝1时，y ＝________．解析：∵二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3，当x ＝2时，y ＝3，∴3＝－22＋2b ＋3，解得b ＝2. ∴这个二次函数的表达式是y ＝－x 2＋2x ＋3.将x ＝1代入得y ＝4.故答案为4.方法总结：解题的关键是先确定解析式，再代入求值．【类型四】 二次函数与一次函数的关系已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1.(1)若这个函数是一次函数，求m的值；(2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？解析：根据二次函数与一次函数的定义解答．解：(1)根据一次函数的定义，得m2－m ＝0，解得m＝0或m＝1.又∵m－1≠0，即m≠1，∴当m＝0时，这个函数是一次函数；(2)根据二次函数的定义，得m2－m≠0，解得m≠0或m≠1，∴当m≠0或m≠1时，这个函数是二次函数．方法总结：熟记二次函数与一次函数的定义，另外要注意二次函数的二次项的系数不等于零．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：从实际问题中抽象出二次函数解析式【类型一】从几何图形中抽象出二次函数解析式如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为多少？解析：根据已知由AB边长为x米可以推出BC＝12(30－x)，然后根据矩形的面积公式即可求出函数关系式．解：∵AB边长为x米，而菜园ABCD 是矩形菜园，∴BC＝12(30－x)，∴菜园的面积＝AB×BC＝12(30－x)·x，则菜园的面积y与x的函数关系式为y＝－12x2＋15x.方法总结：函数与几何知识的综合问题，关键是掌握数与形的转化．有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题【类型二】从生活实际中抽象出二次函数解析式某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．解析：(1)每件的利润为6＋2(x－1)，生产件数为95－5(x－1)，则y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]；(2)由题意可令y＝1120，求出x的实际值即可．解：(1)∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高的档次是(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；(2)由题意可得－10x2＋180x＋400＝1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，该产品的质量档次为第6档．方法总结：解决此类问题的关键是要吃透题意，确定变量，建立函数模型．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计二次函数1．二次函数的概念2．从实际问题中抽象出二次函数解析式二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义.。
九年级数学下册 第二章《二次函数》教案 北师大版
山东省枣庄市第四十二中学九年级数学第二章《二次函数》教案北师大版教学过程：一、回顾、梳理本章内容师：今天这节课我们对《二次函数》这一章进行复习，首先我们来看一下以下问题：（课件出示：）你在哪些情况下见到过抛物线的“身影”？你能用二次函数的值是解决哪些实际问题？小结一下做二次函数图像的方法．二次函数的图象有哪些性质？如何确定它的开口方向、对称轴和顶点坐标？用具体例子说明如何恰当或有效地利用二次函数的表达式，表格和图像刻画变量之间的关系．用自己的语言描述二次函数2y axbx c =++的图像与方程20ax bx c ++=的根之间的关系．师：这是课本上的“回顾与思考”给我们提出的问题，你能回答的出来吗？现在给同学们5分钟的时间同位之间互相考查一下，同时要注意指正同位的错误观点．现在开始． 学生开始活动．师：同学们进行完了吗？ 生：说完了．师：下面我们对二次函数每一部分的内容进行具体的复习．设计意图：使复习内容条理性地出现在学生面前，发挥老师的引导作用． 二、师生互动，深入复习 1、二次函数的定义师：谁来说一下二次函数的定义？ 生：一般地，形如2y axbx c =++0a b c a （、、为常数，且≠）的函数叫做x 的二次函数．师：说的非常完整，其中特别强调以下几点：①a ≠ 0②最高次数为2 ③代数式一定是整式同学们在判断一个函数是不是二次函数是一定要抓住这几点，下面请同学们快速的完成下面两道题目，一会我找同学来回答． 多媒体出示： 练习：1.2y x =-，222y x x=-，21005y x =- ，23325y x x =-+,其中是二次函数的有____个． 2.当m _______时,函数2(1)21m my m x x -=+-+是二次函数？学生完成练习.师:第一题,谁来回答一下?生:第一个和第3个是二次函数.第二个的代数式不是整式,第四个x 的最高次数不是2次． 师：同学们赞同他的意见吗？ 生：赞同．师：谁再来说一下第二题怎么做？ 生：∵该函数是二次函数 ∴m +1≠0且 =2 解得：m 1=2，m 2=-1(舍去)师：这位同学考虑的非常全面，就要这样去解．下面我们再来一起复习一下二次函数的图像及性质． 2、二次函数的图像及性质 多媒体出示下面的内容：2m m -师：下面我找几位同学来填一下空格里的内容．多媒体出示：例2：已知二次函数21322y x x =+-， （1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M 的坐标．（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与X 轴交于A 、B 两点，求C ，A ,B 的坐标．（3）x 为何值时，y 随的增大而减少，x 为何值时，y 有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？ （4）x 为何值时，y <0？x 为何值时，y >0？师安排学生独立在练习本上完成该题目，并安排三位学生分别板书第（1）问，第（2）问，以及第（3）和第（4）问． 学生板书：生1板书：解：（1）∵12＞0 ∴该抛物线的开口向上 ∵1112 2 2b a -=-=-×22134?×××××()?×14222144?××2ac b a ---==-生2 板书：解：（2）当y =0时，021322x x =+-，解得x 1=-3,x 2=1 当x =0时，y =32-所以，C （0，32-），A （-3,0），B （1,0）生3板书：解：该抛物线的大致图像是：所以，（3）x ＜-1时，y 随的增大而减少，x =-1时，y 有最小值，这个最小是-2.（4）-3＜x ＜1时，y <0；x ＞1或x ＜-3时，y >0． 师组织学生对三位同学的板书进行讲评．师：这道题目是给出抛物线的解析式来分析其他的性质，下面我们来总结一下确定抛物线的解析式的几种方法． 3、求抛物线解析式的三种方法 课件出示：1．一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为 :2y ax bx c =++（0a ≠）．2．顶点式：已知抛物线顶点坐标（h , k ），通常设抛物线解析式为:2()y a x h k =-+（0a ≠）,求出表达式后化为一般形式.3．交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1,0)、 (x 2,0),通常设解析式为:12()()y a x x x x =--（0a ≠）求出表达式后化为一般形式.师一边提问、一边解释、一边课件出示答案．师：正所谓“学以致用”，我们也不能只是纸上谈兵，同学们在练习本上做一做以下题目，实践一下． 课件出示：练习：根据下列条件，求二次函数的解析式． (1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；(3)图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 ． 师安排三位学生到黑板上板书．生1板书：解：设该抛物线的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），由题意可知：0=c-2=a +b +c 3=4a +2b +c a =72× × 1× (1,0)解得： b =-112c =0 ∴y =72x 2-112x 生2板书：解：设该抛物线的解析式为2(2)3y a x =-+，由题意可知： 1=a (3-2)2+3解得 a =-2∴ y =-2(x -2)2+3生3板书：解：设该抛物线的解析式为(12)y ax x =-，即212y ax ax =-，由题意可知：2(12)4a a-=3解得a =-112∴设该抛物线的解析式为y =-112x 2+x 师：现在我们一起来看看这几位同学做的对不对． 生：都正确．师：特别是第三题，这一题和其他两道题目的解法有所不同，为了利用“最高点的纵坐标是3”这个条件，这位同学是先设出解析式，然后用公式表示出最大值并令其等于3，从而解出a 的值．这种方法用的非常灵活，同学们还有没有其他的做法？生：我是看题目说“图象经过(0，0)， (12，0) ，”那么该抛物线的对称轴就是直线x =6,那么它的顶点坐标是（6,3），我再设定点式进行求解．师：这种做法更直接，同学们也已根据条件进行灵活的选用． 4、a ，b ，c 符号的确定师：下面我们来看一下抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的a ，b ，c 符号有关的问题.以提问后课件出示答案的形式引导学生复习一下内容： （1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定 开口向上←→a >0 开口向下←→a <0（2）c 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定. 交点在x 轴上方←→c >0 交点在x 轴下方←→c <0 经过坐标原点←→c =0（3）b 的符号：由对称轴的位置确定 对称轴在y 轴左侧←→a 、b 同号 对称轴在y 轴右侧←→a 、b 异号 对称轴是y 轴 ←→b =0（4）24b ac -的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定 与x 轴有两个交点←→24b ac ->0与x 轴有一个交点←→24b ac -=0 与x 轴无交点←→24b ac -<0师：特别要注意的是这些关系的推导都是相互的．下面我们再来实战一下． 课件出示题目：１、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a <0,b >0,c >0 B 、a <0,b >0,c <0 C 、a <0,b <0,c >0 D 、a <0,b <0,c <0 2、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A 、a >0,b >0,c =0 B 、a <0,b >0,c =0 C 、a <0,b <0,c <0 D 、a >0,b <0,c =03、二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的图象如图 所示，则a 、b 、c 、 △的符号为（ ） A 、a >0,b=0,c >0,△>0 B 、a <0,b >0,c <0,△=0 C 、a >0,b =0,c <0,△>0 D 、a <0,b =0,c <0,△<04.二次函数2y ax bx c =++中，如果a >0，b <0，c <0，那么这个二次函数图象的顶点必在第 象限．师：同学们做完了吗？谁来说一下你的答案和想法．生1：第一题选B ．因为该抛物线开口向下，所以a <0；其对称轴在y 轴的右侧，所以a 、b 异号，即b >0；又因为它与y 轴交与负半轴上，所以c <0．生2：第二题选A ．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴在y 轴的左侧，所以a 、b 同号，即b >0；又因为它与坐标轴轴交原点上，所以c =0．生3：第三题选C ．因为该抛物线开口向上，所以a ＞0；其对称轴是y 轴， b =0；又因为它与坐标轴轴交负半轴上，所以c ＜0；它与x 轴有两个交点，所以△<0．生4：根据已知条件画出它的大致图像可以看出，这个二次函数图象的顶点必在第四象限． 师：这一位同学的解题思路体现的正是数形结合思想． 5、抛物线的平移师：接下来我们再来复习一下有关“抛物线的平移”的问题．谁来说一下该类题目的解题思路．生：有关抛物线的平移问题，必须将抛物线的解析式写成顶点式，然后遵循“左加右减，上加下减”的原则，而且左右平移变化的是二次项，上下平移变化的是常数项． 师：概括的非常好．下面我们就来实践一下： 课件出示：（1）二次函数22y x =的图象向 平移 个单位可得到22y x =-3的图象； 二次函数22y x =的图象向 平移 个单位可得到22(3)y x =-的图象．（2）二次函数22y x =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象．（3）由二次函数2y x =的图象经过如何平移可以得到函数256y x x =-+的图象. 师：同学们做完了没有？谁来说一下？生1：二次函数22y x =的图象向下平移3个单位可得到22y x =-3的图象；二次函数22y x =的图象向右平移3个单位可得到22(3)y x =-的图象．生2：二次函数22y x =的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象．生3：256y x x =-+化成顶点式是251()24y x =--，可以看出它是由2y x =先向右平移52个单位，再向下平移14个单位得到的． 师：这一类的题目还有两种变式考查，其一是给出平移后的解析式，求原来的解析式；其二是图像不变，移动坐标系，同学们思考一下这两类题目应该怎样解决？ 生：我认为这两类题目的解法是一样的，就是“倒过来”．师：精辟！就是这样的，比如“二次函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数22(1)2y x =++的图象，求原来的解析式”，那就将22(1)2y x =++的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位就行了，得到的答案是…… 生：22y x =6、二次函数与一元二次方程的关系师：最后还有一个重头戏，那就是二次函数与一元二次方程的关系．同学们来看这个表格大家能把他填写完整吗？判别式（师：二次函数20ax bx c ++=的图象和x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程20ax bx c ++=的解．我们再来看一下下面各题，同学们现在练习本上作答，一会儿找同学来说． 课件出示：(1)如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根,则m = ,此时抛物线22y x x m =-+与x 轴有 个交点.(2)已知抛物线28y x x c =-+的顶点在 x 轴上,则c = .(3)一元二次方程 23100x x +-=的两个根是1252,3x x =-=，那么二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是 ． 学生独立练习． 师：谁来回答一下？生1：因为关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个相等的实数根，所以2(2)4=0m --，解得=1m ，此时抛物线22y x x m =-+与x 轴有1个交点.生2：已知抛物线28y x x c =-+的顶点在 x 轴上，就说明改抛物线与x 轴只有一个交点，所以2(8)4=0c --，解得c =16.生3：一元二次方程23100x x +-=的解，就是对应的二次函数2310y x x =+-的图象和x 轴交点的横坐标，所以二次函数2310y x x =+-与x 轴的交点坐标是 （-2,0），（53，0）． 师：二次函数有关的知识点特别的多，但没想到的是同学们掌握的这么扎实，下面我们来做一道综合性的题目，同学们有没有信心？ 生：有．7、二次函数的综合运用师：好，那同学们来尝试一下吧！课件出示：已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同,顶点在直线x =1上,且顶点到x 轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式. 学生在练习本上尝试解答．师：同学们做完了没有？都得到了几个答案？ 生1：1个． 生2：2个． 生3：4个．师：那我们请得到4个答案的同学到黑板前来讲一下．同学们欢迎！生：我是这样想的已知抛物线2y ax bx c =++与抛物线237y x x =--+的形状相同,说明这两个抛物线的a 值得绝对值是一样的，所以1a =±．又因为顶点在直线x =1上,且顶点到x 轴的距离为5,所以顶点为(1,5)或(1,-5)，组合起来，抛物线的解析式有以下四种情况：2(1)5y x =-+，2(1)5y x =--，2(1)5y x =--+，2(1)5y x =---．师：考虑的已经非常全面了，其他同学还有什么需要补充的吗？ 生：最后得到的解析式是不是需要化成一般形式？师：这个问题提的非常有必要，在一般情况下我们不管是用什么形式求解的抛物线的解析式，最后都要化成一般形式．设计意图：结合具体的例子回顾本章的内容，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升． 三、课堂小结．师：复习到这儿，同学们能不能把本章的知识网络结构简单的呈现一下． 小组讨论并拿出自己的作品．师利用实物投影仪投出学生的作品： 其中的两份作品： （1）（2）二次函数最值问题 与一元二次方程的关系 2x- 2ax c+师：同学们对本章的知识点概括的很全面，下面我们再来实践一下吧．设计意图：通过规范的语言，归纳新知识的框架，回顾本章学习的主要内容． 四、巩固练习(一)课件演示题组一：1．在同一个直角坐标系中作出二次函数212y x =-，21(1)2y x =-+，21(1)32y x =-+-的图象，并简要说明它们之间的关系．设计意图：概念题组；这组题目是在学习概念、性质的基础上，知识的重现及知识的应用，通过学习讨论得以充分巩固．2．如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落在篮框内，已知篮框的中心离地面的距离为3.05米． (1)球在空中运行的最大高度为多少米?(2)如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少? 设计意图：考查学生用二次函数解决简单的实际问题，并能灵活应用题中自变量和因变量各自的不同含义有效地解决实际问。
北师大版初中九年级数学下册第二章集体备课教案教学设计含教学反思
第二章二次函数1 二次函数【知识与技能】使学生理解二次函数的概念，掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法，并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围. 【过程与方法】复习旧知识，通过实际问题的引入，经历二次函数概念的探索过程，提高学生解决问题的能力.【情感态度】通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，发展学生的数学思维，增强学好数学的愿望与信心.【教学重点】对二次函数概念的理解.【教学难点】由实际问题确定函数解析式.一、情景导入，初步认知1.什么叫函数？它有几种表示方法？2.什么叫一次函数？（y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有的条件？k值对函数性质有什么影响？【教学说明】复习这些问题是为引入一元二次函数做铺垫，帮助学生加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a 进行比较.二、思考探究，获取新知问题1某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.①哪些是变量？哪些是自变量？哪些是因变量？②如果设多种x棵树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？③如果果园橙子的总产量为y，请你写出y与x之间的关系式.问题2教材29页的“做一做”设年利率为x，本息和为y.请你写出y与 x之间的关系式.教师提问：以上两个例子所列出的函数有什么特点，学生观察并讨论. 【教学说明】通过具体事例，让学生列出关系式，启发学生观察、思考、对比一次函数，归纳出二次函数的定义.【归纳结论】我们把形如y=ax2 +bx + c (其中a，b，c是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.三、运用新知，深化理解下列关系式中，一定属于二次函数的是（x为自变量）（）解析：紧抓二次函数的概念.答案：A2.m取哪些值时，函数y=(m2-m)x2 + mx + (m+1)是以x为自变量的二次函数？分析：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，须满足的条件是m2-m≠0.解：若函数 y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数，则m2-m≠0.解得m≠0，且m≠1.因此，当m≠0，且m≠1时，函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数.3.(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm) 之间的函数关系.分析：（1)根据正方体表面积公式可得.(2)面积与半径有关，所以根据周长表示出半径就可求出面积.解：(1)S=6a2(a>0);2x（2）（0）y=x>4【教学说明】学习完二次函数的概念后，让学生在实践中感悟什么样的函数是二次函数，将理论知识应用到实践操作中.四、师生互动，课堂小结叙述二次函数的定义.二次函数定义：形如y=ax2+bx+c(a、b、c 是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次项的系数，b叫做一次项的系数，叫作常数项.1.布置作业：教材“习题2.1”中第3、题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课通过简单的实际问题，学生会很容易列出函数关系式，也很容易分辨出哪个是二次函数. 通过复习类比，大部分同学对于二次函数的理解都比较好，会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！第1课时二次函数y=ax2的图象与性质【知识与技能】1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.【过程与方法】经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.【情感态度】培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.【教学重点】会画y=ax2的图象，理解其性质.【教学难点】结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.一、情景导入，初步认知(k≠0)图象是什么形状？有哪些一次函数y=kx+b和反比例函数xy=k性质呢？那么二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.二、思考探究，获取新知(1)试着画出y=x2的图象【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.(2)探究y=x2的性质【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.拋物线顶点概念：拋物线与它的对称轴的交点叫做拋物线的顶点.在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？【归纳结论】1.抛物线y=ax2（a≠0)的对称轴是狔轴，顶点是原点；a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；a<0时，抛物线y=ax2的开口向下.顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大．三、运用新知，深化理解1.已知函数()27=-是二次函数且开口向下，则m=_____.2my m x-解析：它是二次函数，所以m2-7=2，得m=±3，且开口向下，所以m- 2<0，得m<2. 即:m=-3 答案：-3.2.已知拋物线y=ax2经过点A（-2，-8).(1)求此拋物线的函数解析式；(2)判断点B（-1，-4)是否在此拋物线上.分析：（1)把a的值求出即可；(2)把B的坐标代入，等式成立则在此抛物线上，否则不在.解：（1)把（-2，-8 )代入y=ax2中得：a=-2.∴解析式为：y=-2x2（2）把（-1，-4)代入y=-2x2中得-2×（-1）2=-2≠-4，∴等式不成立•点B（-1，-4)不在此拋物线上.【教学说明】学生独立完成以后，让他们发表自己的看法，教师更正、强调.四、师生互动，课堂小结1.拋物线y= ax2(a≠0)的对称轴是y轴，顶点是原点；2.a>0时，拋物线y = ax2的开口向上，顶点是拋物线的最低点a越大，拋物线的开口越小；3.a<0时，拋物线y = ax2的开口向下，顶点是拋物线的最高点a越大，拋物线的开口越大．1.布置作业：教材“习题2.2”中第1、2题.2.成练习册中本课时的练习.本节课的教学过程的设计符合新课程标准和课程改革的要求，通过教学情景创设和优化课堂教学设计，体现了在活动中学习数学，在活动中“做数学”，并利用教具使教学内容形象、直观并具有亲和力，极大地调动了学生的学习积极性和热情，培养了学生学习数学的兴趣.教学过程始终坚持让学生自己去动脑、动手、动口，在分析、练习基础上掌握知识.整个教学过程都较好地落实了“学生的主体地位和教师的主导作用”，让学生体会到学习成功的乐趣.第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生能利用描点法正确作出函数y=x2+2与y=x2-2的图象.2.理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系.【过程与方法】让学生经历二次函数y=ax2+c性质探究及性质应用的过程.【情感态度】培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.【教学重点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系【教学难点】理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系一、情景导入，初步认知1.二次函数y=x2的图象是，它的开口向，顶点坐标是；对称轴是，在对称轴的左侧y 随x的增大而，在对称轴的右侧y随工的增大而，函数y=x2在x= 时，取最值，其最值是 .2.二次函数y=x2十2的图象与二次函数y=x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同？【教学说明】巩固旧知，引出新知识.二、思考探究，获取新知问题1对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究？问题2你能在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=x2+2的图象吗？【教学说明】先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数图象.观察所画图象，有什么异同？它们的开口方向、对称轴、顶点坐标是什么？【归纳结论】函数y=x2+2的图象上的点都是由函数y=x2的图象上的相应点向上移动了两个单位.完成下表：三、运用新知，深化理解1.（1）函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向平移单位得到；（2）y=4x2-11的图象向平移个单位得到.2.将函数y=-3x2+4的图象向平移个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向平移个单位得到可y=2x2的图象；将y=x2-7的图象向平移个单位可得到y=x2+2的图象.3.拋物线y=-3x2+5的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧y随x的增大而，当x= 时，取得最值，这个值等于 .4.拋物线y=7x2-3的开口向，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而，当x = 时，取得最值，这个值等于 .5.拋物线y =ax2+c与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0，1)，则其表达式为 .解：1.（1）上 5 （2）下 112.下 4 上 7 上 93.下 y轴（0，5）增大减小 0 大 54.上 y轴（0，-3）减小增大 0 小 -35.y=3x2+1【教学说明】以上5题，是对本节课的知识点的复习巩固，让学生自主完成，教师做强调.四.师生互动，课堂小结本节课你有何收获？本节课你有何疑问1.布置作业：教材“习题2.3”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.函数的教学，尤其二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中，除了让学生多动手画图象，加深学生对函数图象的了解，加深他们对函数性质的了解外，更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去.要利用一切可以利用的材料来帮助学生理解所学的知识.本节中通过表格上函数值的变化让学生猜想函数图象的位置变化，给学生留下较深刻的印象，普遍能较好的掌握图象的平移规律.第3课时 二次函数y=a （x-h ）2的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2的性质.一、情景导入，初步认知我们已经了解到，函数y=ax 2+c 的图象, 可以由函数y=ax 2的图象上下平移所得，那么函数2122y x =-（）的图象，是否也可以由函数212y x = 平移而得到呢？ y=a(x-h)2的图象是如何得到的呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21+12y x =（），21-12y x =（）并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察并归纳，它们的图象有什么规律？【归纳结论】由抛物线212y x =向左、向右平移一个单位得到的抛物线分别是21+12y x =（），21-12y x =（） 【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.函数y=ax 2与y=a(x —2)（a <0）函数在同一坐标系里的图象大致是 .解析：根据a 的正负性确定它们的性质.答案：D2.二次函数y=2(x —1)2的图象可由y=2x 2的图象（ ）得到A.向左平移1个单位长度B.向左平移2个单位长度C.向右平移1个单位长度D.向右平移2个单位长度解析：左右平移是A的值发生改变.答案：C【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2. 4”中第1题（2)、(6)2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第4课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象与性质【知识与技能】会画出y=a(x-h)2+k这类函数的图象，掌握这类函数的性质.【过程与方法】学生能通过图象的观察，对比分析发现规律，从而归纳性质.【情感态度】锻炼学生的观察、分析、归纳能力.【教学重点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.【教学难点】掌握y=a(x-h)2+k 的性质.一、情景导入，初步认知上一节课，我们已经了解到，函数y=a(x-h)2的图象，可以由函数y=ax 2的图象左右平移所得，那么y=a(x-2)2+2的图象，是否也可以由函数y=ax 2平移得到呢？y=a(x-h)2+k 的图象是如何得到的呢？画图试一试， 你能从中发现什么规律？【教学说明】小组代表阐述本组的观点，全班交流，并提出本组的疑难问题，小组互助讨论.教师在学生发言的基础上补充并展示.二、思考探究，获取新知探究1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.212y x =，21-12y x =（），21-1-22y x =（），并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.观察三个图象之间的关系.【归纳结论】由抛物线212y x =向右平移一个单位可得到抛物线21-12y x =（），再向下平移2个单位可得到21-1-22y x =（）. 探究2:请依据探究1中的发现，说说拋物线y=a(x-h)2+h 是由拋物线y=ax 2通过怎样的平移得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.【归纳结论】 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+h 中k 的值；左右平移，只影响h 的值.在y=a(x-h)2+h 中：（1）当a >0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下；（2）对称轴是直线x=h ；（3）顶点坐标为（h ，k ）.【教学说明】通过作图，训练学生动手操作的能力.通过观察、讨论、交流，培养学生的观察能力、思维能力、归纳能力等.三、运用新知，深化理解1.拋物线y=-3(x-2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为（ ）A.开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,4)B.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2，4)C.开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）D.开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,-4）解析：根据y=a(x-h)2+k 的性质可得出结果.答案：D2.把拋物线212y x 向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位，得拋物线为（ ）解析：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x-h)2+k 中k的值；左右平移，只影响h的值.答案：B【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知.四、师生互动，课堂小结1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.2.平移的方法.1.布置作业：教材“习题2.4”中第1题的(1)、(3)、(4)、(5)小题和第3题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课主要是通过让学生自主学习，动手操作获取经验，并从中获得知识，本节课教师主要处于引导地位，让学生充当学习的主人，较好地体现了学生学习的主动性.第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【知识与技能】1.使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.2.使学生掌握用图象法或配方法确定拋物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生通过绘画观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，理解二次函数y=ax2+bx+c的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质.【情感态度】通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生运用数学的意识.【教学重点】通过配方确定拋物线的对称轴、顶点坐标.【教学难点】理解二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质.一、情景导入，初步认知由前面的知识，我们知道函数y=2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2x2+2的图象；函数y=2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x-3)2的图象，那么函数y=2x2的图象，如何平移，才能得到函数y=2(x-3)2+2的图象呢？函数y=2(x-3)2+2具有哪些性质？【教学说明】通过这些练习题，使学生对以前的知识加以复习巩固，以便这节课的应用. 这几个问题可找层次较低的学生回答，由其它同学给予评价.二、思考探究，获取新知探究：你能确定y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴、顶点坐标吗？具有哪些性质？学生讨论得到：通过配方把二次函数y=ax 2+bx+c 转化成y=a （x-h ）2+c 的形式，确定拋物线y=-2x 2+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解：y=-2x 2+4x+6=-2(x 2—2x)+6=-2(x 2-2x+1-1)+6=-[2(x-1)2—2]+6=-2(x —1)2+8因此，拋物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1，8). 你能从上图中总结出二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的性质吗？【归纳结论】 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）【教学说明】让学生仔细观察所画图形，相互交流得出结论.三、运用新知，深化理解1.函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是（ ）A.（1，-4）B.（-1，2）C.（1，2）D.（0，3）解析：方法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.方法二：将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x- h)2+k 的形式，顶点坐标即为（h ，k ），y = x 2 - 2x + 3=（x-1）2+2，所以顶点坐标为（1，2).答案：C.2.抛物线2144y x x =-+-的对称轴是（ ）A. x=-2B. x=2C. x=-4D. x=4解析：直接利用公式.答案：B3.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A. ab ＞0，c ＞0B. ab ＜0，c ＜0C. ab ＜0，c ＞0D. ab ＜0，c ＜0解析：由图象知，抛物线开口向下，∴a ＜0，抛物线对称轴在y 轴右侧，∴2b a- ＞0，又∵a ＜0，∴b ＞0，∴ab ＜0，抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ）点，由图知，该点在x 轴上方，∴c ＞0. 答案选C.4.把拋物线y=-2x 2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）A. y=-2(x-1)2+6B. y=-2(x-1)2-6C. y=-2(x+1)2+6D. y=-2(x+1)2-6解析：二次函数图象的变化.抛物线y=-2x 2+4x+1=-2(x-1)2+3的图象向左平移2个单位得到y=-2(x+1)2+3，再向上平移3个单位得到y=-2(x+1)2+ 6.答案 选C.【教学说明】应用所学，加深理解，巩固新知四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是2b x a=-,顶点坐标是24(24b ac b a a --，）.1.布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.本节课的重点是用配方法确定拋物线的顶点和对称轴.为了学生能在较复杂的题中顺利应用配方法，教师首先出示了几个较简单的练习由学生完成，并来讨论做题思路.这样这个重点和难点也就得到了自然地突破.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识.【过程与方法】会用待定系数法求二次函数的表达式.【情感态度】逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题1如何求一次函数的解析式？至少需要几个点的坐标？问题2 你能求二次函数的解析式吗？如果要求二次函数的解析式需要几个点的坐标？【教学说明】通过类比的思想，猜想求二次函数的解析式需要坐标点的个数.二、思考探究，获取新知问题已知二次函数的图象的顶点坐标为(1，-3)，且与y轴交于点（0,1），求该二次函数的表达式.分析：根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y=a(x-h) 2+k，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值.【归纳结论】这种求二次函数表达式的方法称为顶点式.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数y=x2+bx+c的顶点坐标为〖JP〗（1，-3），则二次函数对应的表达式为（）A.y=x2-2x+2B.y=x2-2x-2C.y=-x2-2x+1D.y=x2-2x+1答案：B2.已知二次函数的图象经过点（1，10），顶点坐标为（-1，-2），求这个二次函数的表达式.分析：根据二次函数的顶点坐标设二次函数的表达式为y=a（x+1）2-2，再把（1，10）代入，求出a的值，即可得出二次函数的表达式.解：设二次函数的表达式为：y=a（x+1）2-2，把（1，10）代入表达式得10=4a-2，解得a=3，则二次函数的表达式为：y=3（x+1）2-2=3x2+6x+1.3.已知二次函数图象的顶点坐标是(2，-4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求二次函数的表达式.分析：根据顶点坐标公式可列出两个方程.解法1：设所求的函数表达式为y=a(x-h)2+k，依题意，得y=a(x-2)2-4因为二次函数图象与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以二次函数图象过点(0，4)，于是a(0-2)2-4＝4，解得a＝2.所以，所求二次函数的表达式为y＝2(x-2)2-4，即y＝2x2-8x ＋4.【教学说明】凡是能用“顶点式”确定的,一定可用“一般式”确定，进一步明确两种表达式只是形式的不同而没有本质的区别;在做题时,不仅会使用已知条件,同时要养成挖掘和运用隐含条件的习惯.四、师生互动，课堂小结二次函数y=ax2+bx+c可化成y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）.如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式.1.布置作业：教材“习题2.6”中第1题.2.完成练习册中本课时的练习.本课时从确定二次函数的表达式需要几个条件这个问题展开讨论，类比确定一次函数表达式的方法，引导学生思考、归纳确定二次函数表达式的方法.3 确定二次函数的表达式【知识与技能】学会运用待定系数法求二次函数表达式，熟练应用已知图象上三个点确定二次函数表达式.【过程与方法】进一步讨论确定二次函数表达式的方法，总结、归纳确定二次函数表达式的条件.【情感态度】培养学生合作学习、大胆创新的意识.【教学重点】求二次函数的解析式.【教学难点】求二次函数的解析式.一、情景导入，初步认知问题已知二次函数y=ax2+bx+c图象上的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？【教学说明】采用启发性教学模式引导学生思考.二、思考探究，获取新知问题1.已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2），求这个二次函数的表达式分析：可设函数关系式为y=ax2+bx+c，根据二次函数的图象经过三个已知点，可得出一个关于a,b,c的三元一次方程组，从而可以求出a,b,c的值.【归纳结论】求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.这种方法称为待定系数法.2.若二次函数的图象经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，求此二次函数的表达式.分析：由于已知二次函数的图象与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x-1），然后把（0，1）代入求出a的值即可解：设二次函数表达式为y=a（x+1）（x-1），把（0，1）代入得a×1×（-1）=1，解得a=-1，所以二次函数表达式为y=-（x+1）（x-1），即y=-x2+1.三、运用新知，深化理解1.已知二次函数的图象过点A（2，0），B（-1，0），与y轴交于点C，且OC=2.则二次函数的表达式为A.y=x2-x-2B.y=-x2+x+2C.y=x2-2-2或y=-x2+x+2D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2答案：C2.已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点B(0，5)，另外二次函数的图象经过点(1，8)，求二次函数的表达式.分析：应用待定系数法求出a，b，c的值.解:依题意：二次函数的表达式为y=-x2+4x+53.已知二次函数图象的对称轴是直线x=2，且经过(3，1)和(0，-5)两点，求二次函数的表达式.分析：可设二次函数表达式为y=ax2+bx+c，已知两点的坐标，可列两个方程，再根据对称轴x=2，列出一个方程，则可求出a,b,c的值.因已知对称轴，故也可直接设二次函数表达式为y=a（x-2）2+k，再代入两点，即可求出a、b、c的值.解法1：设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c，因为二次函数的图象过点（0，5），可求得c=-5，又由于二次函数的图象过点（3，1)，且对称轴是直线x=2，可以得解法2:设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k，由于二次函数的图象经过（3，1）和（0，-5）两点，可以得到所以，所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2+3，即y=-2x2+8x-5.四、师生互动，课堂小结求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是确定a、b、c的值.由已知条件可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数a,b,c.1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.4二次函数的应用第1课时利用二次函数解决面积问题和抛物线形问题【知识与技能】经历探究解决图形的最大面积问题与抛物线形问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验.【过程与方法】经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型和数学应用的价值，通过观察、比较、推理、交流等过程，获得一些研究问题与合作交流的方法与经验.【情感态度】通过动手实践及同学之间的合作与交流，让学生积累经验，发展学习动力.【教学重点】。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容，也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习，使学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对二次函数的兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法：通过二次函数图象的展示，使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质和图象的课件，以便进行直观展示。
2.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如抛物线跳跃游戏，引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考：抛物线的形状是由什么因素决定的？2.呈现（15分钟）利用课件展示二次函数的定义和性质，让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时，通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选择一个二次函数，分析其图象特征，并总结出二次函数的性质。
然后，进行小组间的分享和交流。
4.巩固（10分钟）针对刚才的学习内容，进行一些相关的练习题，检查学生对二次函数知识的掌握程度。
初三数学下册(北师大版)《2. 2 二次函数的图象与性质(1)》【教案匹配版】最新中小学课程
)
A. = 2 和 = − 2 有共同的顶点和对称轴
B. = 2 和 = − 2 开口方向相反
C. = 2 和 = − 2 都是关于轴成轴对称
D. 点A（-3，9）在 = 2 ，也在 = − 2
1.二次函数y=x²的图象顶
（0，0）
点是___________，对称
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
1.解析式
一次函数：
y=kx+b
（k,b为常数， k≠0）
反比例函数：
y=
（k为常数，k≠0）
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
2.图象
一次函数的图象是一条直线，
反比例函数的图象是双曲线.
y
y
0
一次函数图象
x
0
反比例函数图象
x
二次函数的解析式：
y=ax²+bx+c （a,b,c为常数，a ≠0）
【讲授新课】
想一想，动手画一画：
能否用描点法，画出二次函数y=x²的图象呢？
y=x²的图像
描点法：列表→描点→连线
1.列表：选择适当的x值，并计算相应的y值.
…
5 25
( , )
2 4
y=x²
顶点：抛物线的对
称轴与抛物线的交
点是抛物线的顶点.
y=x²
归纳：
1.一条抛物线
2.开口向上
3.关于y轴（直线x=0）对称
4.有顶点（0，0），
九年级下册数学北师大版教案 第二章 1二次函数
1二次函数1．探索并归纳二次函数的定义．2．能够用二次函数表示简单的变量之间的关系．3．从实际情境中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，并通过合作、交流体验学习的乐趣．重点能表示简单变量之间的二次函数关系．难点经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程．一、情境导入问题1：现有一根12 m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2：很多同学都喜欢打篮球，投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？师：这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决，今天我们学习二次函数．二、探究新知1．课件出示：某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．处理方式：先引导学生填写下表，再回答．x/棵12345678910111213y/个2.课件出示：设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式．(不考虑利息税)处理方式：先让学生自主独立尝试写出y与x之间的函数表达式．在独立自主探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨．然后展示答案，教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导：(1)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，利率是一个变量；(2)利息＝本金×利率×期数(时间)．3．从以上两个问题中，你发现这两个函数关系式有什么共同特征？你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？归纳总结：一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数(quadratic funcion)．其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项．三、举例分析例1 已知函数y＝(m＋2)xm2－2＋2x－1是二次函数，求m的值．处理方式：先给学生两分钟时间独立思考尝试解答，然后指名学生板演，学生评析，老师纠正并对二次项系数重点强调．例2正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于点Q，如果BP ＝x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y.四、练习巩固1．下列函数关系中，可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型的是()A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D．圆的周长与圆的半径之间的关系2．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q＝RI2.若某段导线电阻为0.5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q＝______.3．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价、减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式．五、课堂小结1．一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c 是常数，a≠0)的形式，则称y是x的二次函数．其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项．2．已知函数y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数)，当a，b，c满足什么条件时，(1)它是二次函数？(2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？六、课外作业1．教材第30页“随堂练习”第1、2题．2．教材第30～31页习题2.1第1～4题．本节课从学生非常熟悉的矩形的面积的研究出发，再结合两个生活中的实际问题，通过建立函数模型，归纳函数表达式的特点从而给出二次函数的定义，再针对二次函数的定义和能用二次函数表示变量之间的关系进行了巩固应用本节课通过丰富的现实背景，使学生感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．。
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》说课稿一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节的内容，主要是对二次函数的知识进行回顾和思考。
教材中通过一些例题和练习题，让学生巩固二次函数的基本知识，并且通过对二次函数图像的分析，让学生深入理解二次函数的性质。
教材还引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了一段时间的二次函数知识，对于二次函数的基本概念、图像和性质有一定的了解。
但是，学生对于二次函数在实际生活中的应用可能还不够清晰。
因此，在教学这一节内容时，需要帮助学生巩固二次函数的基本知识，并且引导学生思考二次函数的实际应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生回顾和巩固二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.过程与方法：通过例题和练习题，培养学生的解题能力和数学思维能力。
3.情感态度与价值观：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.重点：二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
2.难点：二次函数在实际生活中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我会采用讲授法、问答法和实践法。
同时，我会利用多媒体课件和板书，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.回顾二次函数的基本知识：通过PPT展示和板书，回顾二次函数的定义、图像和性质。
3.例题讲解：通过一个典型例题，讲解二次函数的解题方法，培养学生解题能力。
4.练习题：让学生自主完成练习题，巩固二次函数的知识。
5.实际应用：引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用意识。
6.小结：对本节课的内容进行总结，强调二次函数的基本知识和实际应用。
7.作业布置：布置一些有关二次函数的练习题，让学生进一步巩固知识。
七. 说板书设计板书设计如下：1.二次函数的定义2.二次函数的图像3.二次函数的性质4.二次函数的解题方法5.二次函数在实际生活中的应用八. 说教学评价教学评价主要通过学生的练习题和课堂表现来进行。
北师大初中数学九下《20第二章二次函数》word教案(1)
第二章二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像，掌握了二次函数y=ax2和y=ax2+c的一般性质。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质的探索过程，在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律，积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作，乐于和同伴交流意见，形成不同的意见，积极参加探索解决问题的活动，在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析知识与技能1．能够作出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象，并能够理解它与y=ax2的图象的关系，理解a,h和k对二次函数图像的影响。
2．能正确说出y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1．经历探索二次函数y=a(x-h)2+k的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1．在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2．进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点：理解y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2的图象的关系，理解a、h和k对二次函数图像的影响。
教学重点：y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k与y=ax2的图象的关系，y=a(x-h)2+k的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节：复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
第一环节复习引入活动内容：提出问题，让学生讨论交流活动目的：首先提出问题，让学生进入问题情境，并引导、启发学生和以前作过的二次函数的图象联系，使学生学会用类比的方法探究未知的知识。
实际教学效果：学生已经掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象，能够类比猜想二次函数y=3（x－1）2+2的图象是一条抛物线。
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计
北师大版九年级数学下册：2《二次函数——回顾与思考》教学设计一. 教材分析《二次函数——回顾与思考》这一节内容，主要是对九年级学生已经学过的二次函数知识进行回顾和思考。
教材通过一系列的问题，引导学生对二次函数的图像和性质进行深入的理解和掌握。
同时，教材还通过一些实际问题，让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。
在这一节内容中，学生需要对二次函数的图像和性质有清晰的认识，能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
但是，学生对于二次函数的图像和性质的理解可能还不够深入，对于如何运用二次函数解决实际问题可能还不够熟练。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过回顾和思考，加深对二次函数的理解，提高运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.激发学生对数学的兴趣和学习的积极性。
四. 教学重难点1.重点：理解二次函数的图像和性质，能够运用二次函数解决实际问题。
2.难点：对于一些复杂实际的题目，如何正确运用二次函数的性质进行解答。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，引导学生对二次函数的图像和性质进行深入的理解。
2.问题驱动法：教师通过提出问题，引导学生进行思考和讨论，提高学生解决问题的能力。
3.实例教学法：教师通过给出实际问题，让学生学会如何运用二次函数解决实际问题。
六. 教学准备1.教师准备相关的教学材料，包括PPT、教案、例题等。
2.学生准备二次函数的基本知识，包括二次函数的定义、图像和性质。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾已经学过的二次函数知识，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT或者黑板，呈现一些二次函数的图像和性质，让学生进行观察和思考。
3.操练（20分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用二次函数的知识进行解答，提高学生解决问题的能力。
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数回顾与思考》是对二次函数知识的回顾与深化。
本章内容主要包括二次函数的图像与性质、二次函数的应用等。
通过对二次函数的学习，使学生能够熟练掌握二次函数的基本性质，能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过二次函数的基本知识，对二次函数的图像与性质有一定的了解。
但是，部分学生对二次函数的性质理解不深刻，不能很好地运用二次函数解决实际问题。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学。
三. 教学目标1.理解二次函数的图像与性质，能够熟练运用二次函数解决实际问题。
2.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习习惯。
四. 教学重难点1.二次函数的图像与性质。
2.二次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数的性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图像，帮助学生理解二次函数的性质。
3.结合实际问题，让学生运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.二次函数的相关教具。
3.实际问题素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已学的二次函数知识，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示二次函数的图像，引导学生观察、分析二次函数的性质。
3.操练（10分钟）教师给出几个实际问题，让学生运用二次函数进行解决。
教师引导学生进行分析、解答，并进行讲解。
4.巩固（10分钟）教师给出一些关于二次函数的练习题，让学生进行巩固练习。
教师进行个别辅导，帮助学生解决问题。
5.拓展（10分钟）教师引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，让学生进行拓展性学习。
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案
2024北师大版数学九年级下册2.1《二次函数》教案一. 教材分析《二次函数》是北师大版数学九年级下册第2.1节的内容。
本节课主要让学生了解二次函数的定义、性质及图像，培养学生利用二次函数解决实际问题的能力。
教材通过引入二次函数的概念，让学生从图像和解析式两个方面理解二次函数的性质，为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的性质，具备了一定的函数思维。
但在二次函数方面，学生可能对函数图像的解读、对称性、顶点坐标的求解等方面存在困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.了解二次函数的定义，理解二次函数的图像特征，掌握二次函数的性质。
2.能够从实际问题中识别二次函数模型，运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力、数学表达能力及合作交流能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其图像特征。
2.二次函数的性质，包括对称性、顶点坐标、开口方向等。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
2.利用数形结合的方法，让学生直观地理解二次函数的图像特征。
3.采用合作交流的学习方式，培养学生的主体参与意识。
4.运用启发式教学，激发学生的思维，引导学生发现和总结二次函数的性质。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引入二次函数的概念。
2.制作二次函数图像的课件，用于展示二次函数的图像特征。
3.准备一些关于二次函数性质的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个实际问题，引导学生从实际问题中抽象出二次函数模型。
例如：抛物线与x轴的交点问题。
2.呈现（15分钟）展示二次函数图像的课件，让学生直观地了解二次函数的图像特征，如顶点、开口方向等。
同时，引导学生观察图像，发现二次函数的性质。
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章《二次函数回顾与思考》精品教案一. 教材分析《二次函数回顾与思考》这一章节是对之前学习的二次函数知识的巩固和拓展。
教材首先通过复习二次函数的基本形式和性质，帮助学生回忆和巩固已学知识。
然后，通过引入一些新的问题和案例，引导学生思考和探索二次函数在实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
整个章节内容丰富，既有理论知识的复习，也有实际问题的解决，能够激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学素养。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本形式和性质，对二次函数有一定的了解。
但是，由于二次函数的概念和性质较为抽象，部分学生可能对一些细节知识点理解不深，容易混淆。
此外，学生在应用二次函数解决实际问题时，可能会遇到一些困难，需要进一步的引导和指导。
三. 教学目标1.知识与技能：通过本章的学习，使学生能够熟练掌握二次函数的基本形式和性质，能够运用二次函数解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过复习和探索，使学生能够深入理解二次函数的概念和性质，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：通过解决实际问题，使学生能够体验到数学的价值，增强学生学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的基本形式和性质。
2.难点：如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法本章采用讲授法、案例教学法和问题驱动法相结合的教学方法。
通过教师的讲解和案例的分析，引导学生复习和巩固二次函数的基本知识，然后通过问题驱动，引导学生思考和探索二次函数在实际问题中的应用。
同时，教师还应鼓励学生积极参与讨论和交流，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要对二次函数的知识有深入的了解，能够清晰地讲解和分析二次函数的概念和性质。
同时，教师还需要准备一些实际问题案例，用于引导学生思考和探索。
2.学生准备：学生需要预习二次函数的相关知识，对二次函数有一定的了解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾二次函数的基本形式和性质，激发学生的学习兴趣。
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第二章 二次函数
《回顾与思考》（1）
一、教学目标
1．能用表格、关系式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系；
2．能作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，能根据二次函数的表达式，确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标。
二、教学重点和难点
重点：根据图象对二次函数的性质进行分析 难点：根据图象对二次函数的性质进行分析 三、教学过程 （一）知识梳理
1.二次函数
2、2
、2
、2
、2
的性质
2.二次函数y=ax 2
+bx+c 中a ，b ，c ，△与图象的关系
3. 二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程02=++c bx ax 的关系
⑴一般式：___________________.已知___________________，通常选择一般式； ⑵顶点式：___________________.已知___________________，通常选择顶点式； ⑶交点式：___________________.已知___________________，通常选择顶点式；
（二）知识训练：二次函数的图象和性质练习
1.抛物线y =x 2的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,图象过第象限；
2.已知y = - nx2(n＞0) , 则图象 ( )（填“可能”或“不可能”）过点A（-2，3）。
3.抛物线y =x 2+3的开口向 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,是由抛物线
y=x2向平移个单位得到的；
4.抛物线 y=2 (x-0.5)2+1 的开口向 ,对称轴 , 顶点坐标是
5.若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。
6.若无论x取何实数，二次函数y=ax2+bx+c的值总为负，那么a、c应满足的条件是（）
A.a>0且b2-4ac≥0
B.a>0且b2-4ac>0
7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：
a 0 ,
b 0,
c 0 ,∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0
8.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）
9.已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)当x为何值时，y<0。
(3)求它的解析式和顶点坐标；
10.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过
点（3，-6）。
求a、b、c。
A B x
y
O
C 11.已知抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴正、负半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C 。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。