波动理论
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例如：
a↓，λ↑→衍射明显 水波通过窄缝时的衍射
7 波的叠加原理 波的干涉 驻波
1.波的叠加 ·若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的
位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。 这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理 ·能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。 ·当波强度过大时，如爆炸产生的冲击波，不满足线性方程，这时叠加原理不适用。 2.波的干涉
3. 波的传播速度 由媒质的性质决定与波源情况无关 ● 液体和气体中纵波传播速度 B－介质体变弹性模量 ρ－介质密度
波面 波 线
平面波
球面波
●在 固体中
G－介质切变模量 Y－介质杨氏模量
4.波长和频率 ● 一个完整波的长度,称为波长.
● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ● 周期的倒数称为频率.
· 当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 · 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。它是媒质的一种特殊的运动状态， 稳定态。
8 多普勒效应（Doppler effect）
观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。
约定：
(1)波源不动,观察者以速度相对于介质运动
上下符号分别对应光源与 接收器相向和背离的情况。 当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波长变长，这种现象叫做“红移”。 如来自星球与地面同一元素的光谱比较，发现几乎都发生红移。这就是 “大爆炸”宇宙学理论的重要依据。
冲击波(shock wave)
当波源的速度超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动产生。形成锥形波阵面——冲击波
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波.
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波.
2.波阵面和波射线
● 在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称为波阵面 （wave surface） ● 波面中最前面的那个波面称为波前（wave front） ● 波的传播方向称为波线（wave line）或波射线
·干涉现象-满足相干条件的两列波在空间任 一点相遇时,在空间某些点处,振动始终加 强,而在另一些点处,振动始终减弱或消失, 这种现象称为干涉现象
相干条件：① 频率相同；
② 振动方向相同； ③ 有固定的相位差。
水波盘中水波的干涉
两列波干涉的一般规律留待在后面光的干涉中再去分析。 下面研究一种特殊的、常见的干涉现象—— 驻波 3.驻波（standing wave）
振动状态的传播就是波动,简称波.
波
激发波动的振动系统称为波源
机械波的产生和传播
1. 机械波产生的条件
(1)要有作机械振动的物体,亦即波源.
(2)要有能够传播这种振动的介质
波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。
波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
例: 对 5MHz 的超声波 在钢中 α = 2/m, 前进 1.15m 强度衰减为百分之一. 在空气中 α = 500/m, 前进 4.6mm 强度衰减为百分之一.
超声波探伤：
● ω↑则 α ↑ (广场上有乐队,你在远处只听到大鼓声)空气中低频波可传得很远。
4 声波
● 在弹性介质中如果波源所激起的纵波的频率,在 20Hz 到 20000Hz 之间,就能引起人的听觉,在这频率范围 内的振动称为声振动,由声振动所激起的纵波称为声波 频率高于 20000Hz 的机械波叫作超声波； 频率低于 20Hz 的机械波叫作次声波
②热传导：疏部、密部有温差，发生热交换，机械能→热运动能（不可逆）； ③分子碰撞：非弹性碰撞使分子规则振动能→分子内部无规则的转、振能（不可逆）。 对平面波：
设 α = const 则： ∵I∝A2 ∴
α 称为媒质的吸收系数 与媒质的性质有关;与波的频率有关.
α 固< α 液< α 气 (趴在铁轨上听远处火车声)
曲线形状随 t 向前平移
2 平面简谐波 波动方程
● 前进中的波动,称为行波. ● 描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波动方程)
源自文库
设坐标原点的振动 为：
O 点运动传到 p 点需 用时
相位落 后
所以 p 点的运动方 程：
1.平面简谐波的波动表式
定义 k 为角波数 又
因此下述表达式等价：
以弹性棒中的简谐横波为例来分析： 有一行波： 质元的速度 质量为 Δm 的媒质其动能为：
1. 波的能量 单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半
代入上式得在 ΔV 体积内其势能为：
总机械能为： 2. 波动能量的推导
振动系统： 波动质元：
定义：能量密度＝单位体积内的总机械能
系统与外界无能量交换。 每个质元都与周围媒质交换能量。
两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波， 它是一种常见的重要干涉现象。 · 驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿 X 轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：
其合成波称为驻波其表达式： 利用三角函数关系求出驻波的表达式：
——不具备传播的特征
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅 随位置的不同而不同。
—马赫数(Mach number)
带电粒子在媒质中运动，其速度超 过该媒质中的光速时（这光速小于 真空中的光速 C 时)，会辐射锥形 的电磁波，这种辐射称为切仑柯夫 辐射。
超音速的子弹在空气中形成 的激波（马赫数为 2 ）
● 正常人耳的听觉范围： 20 < ν < 20000 Hz I下 < I < I上
人的耳朵对空气中 1 kHz 的声音：
声阈
------闻阈 ------痛阈
3. 声强级(sound intensity level) 由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。规定声强 I0=10-12 瓦/米 2 作为测定声强的标准
一维驻
二维驻
· 驻波的特点
①振幅：各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距 λ/2，测波节间距可得行 波波长。
波腹的位置：
波节的位置为： ②相位：相位中没有 x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段的振动。相邻段振动相位相反
· 驻波的能量
讨论：· 在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。
特点：
1. 频率范围广
特超声
超声
可听声 —穿透力特强、用于研究 大气、海洋、地壳
次声
2. 传播介质广（各种气、液、固、等离子体…) 穿透力强（与原子、电子、空穴、位错、… 均作用） 是探索物质结构三大技术之一 （声学 电磁 粒子作用）
3.与其它学科相互渗透，应用面广 超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学…… 次声武器：与人体器官（固有频率 3~17Hz）共振。口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计…... 既古老、又前沿的学科声波
1.声压(sound pressure) ● 媒质中有声波传播时的压力(压强)与无声波传播时的静压力之差称为声压。 ● 稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。 由于疏密的周期性，声压也是周期变化。 设在弹性媒质中有一平面余弦纵波，ρ 为密度, u 为声速
可 得： 其中声压振幅： 2.声强(intensity of sound) ● 声强就是声波的平均能流密度。即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。
为波的相 位 ● 波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”，所以简 谐波的传播也是媒质振动相位的传播。 设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，则有
2.行波动力学方程 将平面波的波函数对空间和时间求导，可得
于是得 到
——相速度（相速）
简谐波的波速就是相速
——波动方程。各种平面波所必须满足的线性偏微分方程 若 y1，y2 分别是它的解，则 （y1＋y2）也是它的解， 即上述波动方程遵从叠加原理。 3.波动方程推导（以一维纵波为例）
6 惠更斯原理 波的衍射,反射和折射
1.惠更斯原理---在波的传播过程中,波阵面(波前)上的每一点都可看作是发射子波的波源,在其后的任一时刻, 这些子波的包迹就成为新的波阵面. t 时刻和 t+Δt 时刻波面
平面波 利用这个原理，可通过作图法确定下一时刻的波前位置。
球面波
2.波的衍射 ·当波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象,称为波的衍射.
vS = 0 ， vR ≠ 0，
vR > 0( R 接近 S)
频率升高 vR < 0( R 远 离 S)
频率降低 (2) 观察者不动,波源以速度相对于介质运动
水波的多普勒效应（波源向左运动） 多普勒效应测速
警
超
察
声
用
多
多
普
普
勒
勒
效
测
应
速
测
仪
血
测
流
速
速
2.电磁波的多普勒效应 · 电磁波如光，也有多普勒效应，光与接收器的相对速度决定接收器接收的频率。可以用相对论(相对性原理和 光速不变原理) 证明：当光源和接收器在同一直线上运动时,其速度为 V 观察者所接收到的频率为：
取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df 质元的运动学方程为： 根据弹性模量的定义：
代入运动方程得：
结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。而且对时间偏导数系数的倒数就是波速的平方。
3 波的能量 波的强度
● 当弹性波传播到介质中的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而具有动能,同时该处的介质也将产生 形变,因而也具有势能
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。 （声学中声强就是上述定义之一例 ）
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同 4.波的吸收
波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。 造成吸收的因素：①内摩擦：机械能→热运动能 （不可逆）；
特征 ：能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半.
能量“一堆堆”地传播
定义：平均能量密度（对时间平均)
3.波的强度 能流 P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 Δt 时间内通过垂直于波速截面 ΔS 的能量: w—能量密度
所以能流为：
能流随时间周期性变化，总为正值 在一个周期内能流的平均值称为平均能流
定义声强级 L 为：
单位:分贝(dB)
例: 树叶沙沙响:10 dB. 耳 语 : 20 dB.
正常谈话: 60 dB. 繁忙街道: 70 dB. 摇滚乐: 120 dB. 聚焦超声波: 210 dB.
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级 ● 超声波
胎儿的超声像 （计算机处理过的假彩色图）
蝙蝠超声波定位 (10 万赫兹)
振动曲线
波形曲线
图形
研究 某质点位移随时间变化规律
对象 物理 由振动曲线可知 意义 周期 T. 振幅 A 初相φ0
某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律
由波形曲线可知该时刻各质点 位移,波长 λ，振幅 A
某时刻 方向参看下一时刻
只有 t=0 时刻波形才能提供初相 某质点 方向参看前一质点
特征 对确定质点曲线形状一定
a↓，λ↑→衍射明显 水波通过窄缝时的衍射
7 波的叠加原理 波的干涉 驻波
1.波的叠加 ·若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的
位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。 这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与叠加的事实称为波的叠加原理 ·能分辨不同的声音正是这个原因；叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。 ·当波强度过大时，如爆炸产生的冲击波，不满足线性方程，这时叠加原理不适用。 2.波的干涉
3. 波的传播速度 由媒质的性质决定与波源情况无关 ● 液体和气体中纵波传播速度 B－介质体变弹性模量 ρ－介质密度
波面 波 线
平面波
球面波
●在 固体中
G－介质切变模量 Y－介质杨氏模量
4.波长和频率 ● 一个完整波的长度,称为波长.
● 波传过一个波长的时间,叫作波的周期 ● 周期的倒数称为频率.
· 当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。动能集中在波腹。 · 能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播。它是媒质的一种特殊的运动状态， 稳定态。
8 多普勒效应（Doppler effect）
观察者接受到的频率有赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。
约定：
(1)波源不动,观察者以速度相对于介质运动
上下符号分别对应光源与 接收器相向和背离的情况。 当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波长变长，这种现象叫做“红移”。 如来自星球与地面同一元素的光谱比较，发现几乎都发生红移。这就是 “大爆炸”宇宙学理论的重要依据。
冲击波(shock wave)
当波源的速度超过波的速度时，波源前方不可能有任何波动产生。形成锥形波阵面——冲击波
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互垂直,这种波称为横波.
◆ 质点的振动方向和波的传播方向相互平行,这种波称为纵波.
2.波阵面和波射线
● 在波动过程中,振动相位相同的点连成的面称为波阵面 （wave surface） ● 波面中最前面的那个波面称为波前（wave front） ● 波的传播方向称为波线（wave line）或波射线
·干涉现象-满足相干条件的两列波在空间任 一点相遇时,在空间某些点处,振动始终加 强,而在另一些点处,振动始终减弱或消失, 这种现象称为干涉现象
相干条件：① 频率相同；
② 振动方向相同； ③ 有固定的相位差。
水波盘中水波的干涉
两列波干涉的一般规律留待在后面光的干涉中再去分析。 下面研究一种特殊的、常见的干涉现象—— 驻波 3.驻波（standing wave）
振动状态的传播就是波动,简称波.
波
激发波动的振动系统称为波源
机械波的产生和传播
1. 机械波产生的条件
(1)要有作机械振动的物体,亦即波源.
(2)要有能够传播这种振动的介质
波源处质点的振动通过弹性介质中的弹性力，将振动传播开去，从而形成机械波。
波动（或行波)是振动状态的传播，是能量的传播，而不是质点的传播。
例: 对 5MHz 的超声波 在钢中 α = 2/m, 前进 1.15m 强度衰减为百分之一. 在空气中 α = 500/m, 前进 4.6mm 强度衰减为百分之一.
超声波探伤：
● ω↑则 α ↑ (广场上有乐队,你在远处只听到大鼓声)空气中低频波可传得很远。
4 声波
● 在弹性介质中如果波源所激起的纵波的频率,在 20Hz 到 20000Hz 之间,就能引起人的听觉,在这频率范围 内的振动称为声振动,由声振动所激起的纵波称为声波 频率高于 20000Hz 的机械波叫作超声波； 频率低于 20Hz 的机械波叫作次声波
②热传导：疏部、密部有温差，发生热交换，机械能→热运动能（不可逆）； ③分子碰撞：非弹性碰撞使分子规则振动能→分子内部无规则的转、振能（不可逆）。 对平面波：
设 α = const 则： ∵I∝A2 ∴
α 称为媒质的吸收系数 与媒质的性质有关;与波的频率有关.
α 固< α 液< α 气 (趴在铁轨上听远处火车声)
曲线形状随 t 向前平移
2 平面简谐波 波动方程
● 前进中的波动,称为行波. ● 描述介质中各质点的位移随时间变化的数学函数式称为行波的波动表式(或波动方程)
源自文库
设坐标原点的振动 为：
O 点运动传到 p 点需 用时
相位落 后
所以 p 点的运动方 程：
1.平面简谐波的波动表式
定义 k 为角波数 又
因此下述表达式等价：
以弹性棒中的简谐横波为例来分析： 有一行波： 质元的速度 质量为 Δm 的媒质其动能为：
1. 波的能量 单位体积媒质中弹性势能等于弹性模量与应变平方乘积的一半
代入上式得在 ΔV 体积内其势能为：
总机械能为： 2. 波动能量的推导
振动系统： 波动质元：
定义：能量密度＝单位体积内的总机械能
系统与外界无能量交换。 每个质元都与周围媒质交换能量。
两列相干的行波沿相反方向传播而叠加时，就形成驻波， 它是一种常见的重要干涉现象。 · 驻波的表达式
设有两列相干波，分别沿 X 轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：
其合成波称为驻波其表达式： 利用三角函数关系求出驻波的表达式：
——不具备传播的特征
它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅 随位置的不同而不同。
—马赫数(Mach number)
带电粒子在媒质中运动，其速度超 过该媒质中的光速时（这光速小于 真空中的光速 C 时)，会辐射锥形 的电磁波，这种辐射称为切仑柯夫 辐射。
超音速的子弹在空气中形成 的激波（马赫数为 2 ）
● 正常人耳的听觉范围： 20 < ν < 20000 Hz I下 < I < I上
人的耳朵对空气中 1 kHz 的声音：
声阈
------闻阈 ------痛阈
3. 声强级(sound intensity level) 由于可闻声强的数量级相差悬殊，通常用声强级来描述声强的强弱。规定声强 I0=10-12 瓦/米 2 作为测定声强的标准
一维驻
二维驻
· 驻波的特点
①振幅：各处不等大，出现了波腹（振幅最大处）和波节（振幅最小处）。相邻波节间距 λ/2，测波节间距可得行 波波长。
波腹的位置：
波节的位置为： ②相位：相位中没有 x 坐标，故没有了相位的传播。驻波是分段的振动。相邻段振动相位相反
· 驻波的能量
讨论：· 在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中在波节。
特点：
1. 频率范围广
特超声
超声
可听声 —穿透力特强、用于研究 大气、海洋、地壳
次声
2. 传播介质广（各种气、液、固、等离子体…) 穿透力强（与原子、电子、空穴、位错、… 均作用） 是探索物质结构三大技术之一 （声学 电磁 粒子作用）
3.与其它学科相互渗透，应用面广 超声学、次声学、语言声学、生理声学、噪声学…… 次声武器：与人体器官（固有频率 3~17Hz）共振。口语操纵机器人、声纹测定、声纳、噪声温度计…... 既古老、又前沿的学科声波
1.声压(sound pressure) ● 媒质中有声波传播时的压力(压强)与无声波传播时的静压力之差称为声压。 ● 稀疏区声压为负，稠密区声压为正值。 由于疏密的周期性，声压也是周期变化。 设在弹性媒质中有一平面余弦纵波，ρ 为密度, u 为声速
可 得： 其中声压振幅： 2.声强(intensity of sound) ● 声强就是声波的平均能流密度。即单位时间内通过垂直于传播方向单位面积的声波能量。
为波的相 位 ● 波在某点的相位反映该点媒质的“运动状态”，所以简 谐波的传播也是媒质振动相位的传播。 设 t 时刻 x 处的相位经 dt 传到（x +dx）处，则有
2.行波动力学方程 将平面波的波函数对空间和时间求导，可得
于是得 到
——相速度（相速）
简谐波的波速就是相速
——波动方程。各种平面波所必须满足的线性偏微分方程 若 y1，y2 分别是它的解，则 （y1＋y2）也是它的解， 即上述波动方程遵从叠加原理。 3.波动方程推导（以一维纵波为例）
6 惠更斯原理 波的衍射,反射和折射
1.惠更斯原理---在波的传播过程中,波阵面(波前)上的每一点都可看作是发射子波的波源,在其后的任一时刻, 这些子波的包迹就成为新的波阵面. t 时刻和 t+Δt 时刻波面
平面波 利用这个原理，可通过作图法确定下一时刻的波前位置。
球面波
2.波的衍射 ·当波在传播过程中遇到障碍物时,其传播方向绕过障碍物发生偏折的现象,称为波的衍射.
vS = 0 ， vR ≠ 0，
vR > 0( R 接近 S)
频率升高 vR < 0( R 远 离 S)
频率降低 (2) 观察者不动,波源以速度相对于介质运动
水波的多普勒效应（波源向左运动） 多普勒效应测速
警
超
察
声
用
多
多
普
普
勒
勒
效
测
应
速
测
仪
血
测
流
速
速
2.电磁波的多普勒效应 · 电磁波如光，也有多普勒效应，光与接收器的相对速度决定接收器接收的频率。可以用相对论(相对性原理和 光速不变原理) 证明：当光源和接收器在同一直线上运动时,其速度为 V 观察者所接收到的频率为：
取棒中任一小质元原长 dx，质量为 dm=ρSdx 受其它部分的弹性力为 f 和 f+df 质元的运动学方程为： 根据弹性模量的定义：
代入运动方程得：
结论：任何物理量只要满足上述方程，则它一定按波的形式传播。而且对时间偏导数系数的倒数就是波速的平方。
3 波的能量 波的强度
● 当弹性波传播到介质中的某处时,该处原来不动的质点开始振动,因而具有动能,同时该处的介质也将产生 形变,因而也具有势能
通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流称为平均能流密度，通常称为能流密度或波的强度。 （声学中声强就是上述定义之一例 ）
能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。
能流密度是矢量，其方向与波速方向相同 4.波的吸收
波通过媒质时，一部分能量要被媒质吸收。 造成吸收的因素：①内摩擦：机械能→热运动能 （不可逆）；
特征 ：能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半.
能量“一堆堆”地传播
定义：平均能量密度（对时间平均)
3.波的强度 能流 P—单位时间内垂直通过某一截面的能量称为波通过该截面的能流，或叫能通量。 设波速为 u，在 Δt 时间内通过垂直于波速截面 ΔS 的能量: w—能量密度
所以能流为：
能流随时间周期性变化，总为正值 在一个周期内能流的平均值称为平均能流
定义声强级 L 为：
单位:分贝(dB)
例: 树叶沙沙响:10 dB. 耳 语 : 20 dB.
正常谈话: 60 dB. 繁忙街道: 70 dB. 摇滚乐: 120 dB. 聚焦超声波: 210 dB.
每条曲线描绘的是相同响度下不同频率的声强级 ● 超声波
胎儿的超声像 （计算机处理过的假彩色图）
蝙蝠超声波定位 (10 万赫兹)
振动曲线
波形曲线
图形
研究 某质点位移随时间变化规律
对象 物理 由振动曲线可知 意义 周期 T. 振幅 A 初相φ0
某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律
由波形曲线可知该时刻各质点 位移,波长 λ，振幅 A
某时刻 方向参看下一时刻
只有 t=0 时刻波形才能提供初相 某质点 方向参看前一质点
特征 对确定质点曲线形状一定