等边三角形2
等边三角形(2)
复习回顾
A
1、等边三角形的概念：
2、等边三角形的性质：
B
C
等边三形的三个内角都相等,并且每一个角都等于600.
3、等边三角形的判定： （1）定义法； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是600的等腰三角形是等边三角形；
如图，将两个含30°角的三角尺摆放在一起。 你能借助这个图形，找到Rt △ABC的直角 边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
想一想：如图，在Rt△ABC中，若
则∠A为几度？
1
BC= AB
2
A
另证：作AC的垂直平分线MN，连接MC
则AM=MC，∠A= ∠1
又∠A+ ∠B=900
∠1+ ∠2=900
所以∠B= ∠2
A
B
C
D 所以MB=MC=AM
所以MB=MC= 又BC= AB
AB M
N
1
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
C
逆定理
在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的 一半，那么这条直角边所对 的锐角是30°。
A
∵ AC⊥BC ， BC= 1AB
2
∴ ∠A= 30°
B
C
例1 如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁
AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m ∠A= 30°,立柱BC、DE要多长？
B D
A
另证：在BA上截取BE=BC，连接EC
30 ° 30 °
则△BCE是等边三角形，所以
∠BEC= 60°，而∠A= 30°， A
所以∠ECA= 30°，
所以AE=EC，于是有
13.3.2等边三角形(2) 课件(共19张PPT)
∴ Rt△BDE中， DB=2DE=12
E
B
∵ AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB, DC⊥AC
∴DC=DE=6
∴BD=DC+DB=18.
课后作业
教材83页习题13.3第14、15题．
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，
∴ BC = 1 AB，DE = 1 AD．
2
2
B D
∴ BC =3.7（m）．
又 AD = 1 AB，
2
A EC
∴DE = 1 AD =1.85（m） ．
2
答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m．
小试牛刀
1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面8米
4
证明： ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝
1 2
AB，∠B＝60°
∵CD是高，
∴∠CDB＝90°,∠B＝60°，
∴∠BCD＝30°，
∴BD＝ 1 BC， ∴BD＝1 AB.
2
4
课堂小结
今天我们收获了哪些知识？ （畅所欲言）
1、含30°角的直角三角形的性质是什么？ 2、需要注意什么？
实战演练
1
∴ BC = 2 AB．
B
C
合作探究
B
A 归纳总结：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：∵∠C =90°, ∠A=30°
1
C
∴ BC = 2 AB．
典例精析
例.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？
13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
不 是
是
是
（1）
（2）
（3）
不
一 定
是
是
是
（4）
（5）
（6）
典例精析
例3 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
D
E
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. B
证明：(1)∵△ACM、△CBN都是等边三角形 ∴CA＝CM，CN＝CB，∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2 即∠ACN＝∠MCB 在△ACN和△MCB中,
CA＝CM
∠ACN＝∠MCB
CN＝CB
∴△ACN≌△MCB(SAS) ∴AN＝BM
拓展提升：
已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN 都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F. (2)求证：△CEF为等边三角形．
C
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC 是等边三角形 A
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°
∵DE∥BC
∴∠ABC =∠ADE，∠ACB =∠AED
B
C
∴∠A =∠ADE =∠AED
课堂小结
特殊性
定义
底=腰
等边 三角形
特殊性 性质
特殊性 判定
边 角 轴对称性
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 ° 轴对称图形， 每条边上都具 有“三线合一” 性质
等边三角形(2)
1
BC= AB
2
A
另证：作AC的垂直平分线MN，连接MC
则AM=MC，∠A= ∠1
又∠A+ ∠B=900
∠1+ ∠2=900
所以∠B= ∠2
A
B
C
D 所以MB=MC=AM
所以MB=MC=
又BC=
1 2
AB
1 2
AB
M
N
1
所以∠B=600
2
从而∠B=300
B
C
逆定理
在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的 一半，那么这条直角边所对 的锐角是30°。
O
MB
经过本节课的学习， 你有哪些收获？
是D、E，如果AB=8cm，
则BD=___4_cm____, ∠BDE=∠A= 30°， BE=__2_cm____.
E
B
D
C
5、如图，在△ABC中， ∠ACB= 90°，BA的
垂直平分线交边CB于D。若AB=10，AC=5，
则图中等于 30°的角的个数为（B） C
D
A.2
B.3
C.4
D.5
B
E
A
6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 则此三角形的三个角的度数分别是_________ _3_0_°__、___7_5_°__、___7_5_°__或__1_5_°__、__1_5_°__、___1_5_0°
2、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，AB+BC=12cm， 则AB= __8_c_m___.
B
CD
A
3、如图， Rt△ABC中， ∠A= 30°，BD平分∠ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
且BD=16cm，则BC= 24cm .
27 12.3.2 等边三角形(2)
中，如果 一个锐角 等于30 30° 等于30°， 那么它所 对的直角 边等于斜 一半。 边的一半 边的一半。
如图， 例5 如图，是屋架设计图的一部 是斜梁AB的中点，立柱BC AB的中点 BC、 分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 在直 垂直于横梁AC，AB=7.4 m，∠A=30°, 垂直于横梁AC AC， m， A=30° 角三角形 立柱BC、DE要多长？ 立柱BC DE要多长 BC、 要多长？
A
D D B C B A C
出发， 例2：如图，上午 时，一条渔船从 出发，以12 ：如图，上午9时 一条渔船从A出发 海里/时的速度向正北航行 时的速度向正北航行， 时到达 时到达B处 海里 时的速度向正北航行，11时到达 处，从A、 、 B两处望小岛 ，测得∠NAC=150， ∠NBC=300， 两处望小岛C，测得∠ 两处望小岛 若小岛周围12.3海里内有暗礁，问该渔船继续向 海里内有暗礁， 若小岛周围 海里内有暗礁 正北航行有无触礁的危险？ 正北航行有无触礁的危险？ N C D
D B A
E
6、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 、等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半， 则此三角形的三个角的度数分别是_________ 则此三角形的三个角的度数分别是 ____________________________________ ° 30° 75° 75° 15° 15° 150° 30°、 75°、 75°或15°、15°、 150
第十二章 轴对称
12.3.2 等边三角形（2） 等边三角形（
义务教育课程标准实验教科书——人教版——八年级上册
回顾: 回顾:
图形 概念
三边 相等 的三 角形 是等 边三 角形
性质
性质：三 性质： 个角都相 等，并且 每个角都 等于60 等于600.
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》教学设计
人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》教学设计一. 教材分析等边三角形是初中数学的重要内容，人教版八年级数学上册13.3.2《等边三角形(2)》一节，主要让学生掌握等边三角形的性质，以及等边三角形在实际生活中的应用。
本节内容是在学生已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的基本性质等知识的基础上进行讲解的，为后续学习正多边形和圆的知识打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的基本性质等知识，但对等边三角形的性质的理解可能还比较模糊，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。
此外，学生可能对等边三角形在实际生活中的应用有所了解，但需要通过课堂讲解和练习来加深理解。
三. 教学目标1.让学生掌握等边三角形的性质。
2.让学生能够应用等边三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.等边三角形的性质。
2.等边三角形在实际生活中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，以激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。
2.准备等边三角形的模型或图片。
3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习三角形的基本概念、三角形的分类、三角形的基本性质等知识，引出等边三角形的性质。
2.呈现（10分钟）用PPT展示等边三角形的性质，让学生初步了解等边三角形的性质。
3.操练（15分钟）让学生分组合作，用准备好的等边三角形模型或图片，进行观察和操作，验证等边三角形的性质。
4.巩固（10分钟）用PPT呈现一些有关等边三角形的练习题，让学生独立完成，巩固对等边三角形性质的理解。
5.拓展（10分钟）让学生举例说明等边三角形在实际生活中的应用，分享给其他同学。
6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，教师进行补充和讲解。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关等边三角形的练习题，让学生回家做。
等边三角形(2)含有30度角的直角三角形的性质
A
60°
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
证明：延长BC至D，使CD=BC，连结AD.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°。 1 求证：BC= AB。 2
在△ABC与△ADC中 BC＝DC ∠ACB=∠ACD AC=AC ∴ △ABC≌△ADC（SAS） ∴AB=AD ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
证明： ∵△ABC为等边三角形 ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60° 在△ADC和△BEA中 AC=BA B ∠C=∠BAE DC=EA ∴△ADC≌△BEA ∴∠CAD=∠ABE,∠ BAF+∠CAD=60° ∴∠ABE+∠BAF=60° ∴∠BFQ=60° 又∵ BQ⊥AD ∴∠BQF=90° ∴∠FBQ=30°∴BF=2PQ
1 ∴ BC AB 2
C
证明方法：截半法
归纳新知
含30 °角的直角三角形性质：
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
30°
1 ∴ BC= AB 2
B
C
判 断
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
操
• 探究1
作
探
究
用直尺量一量含30°角的直角三角板的最短 直角边(即300 角所对的直角边)与斜边，记录 下数据，你有什么发现？
等边三角形2
1
14.3.2等边三角形
2021/4/9
2
你发现了什么？
这就是今天我们要学的
2021/4/9
3
2021/4/9
4
你知道什么是等边三角形？
定义：三边都相等的三角形叫做等边 三角形
等边三角形是特殊的等腰三A角形， 也叫正三角形。
想一想，你会画一个边长
为2cm的等边三角形吗？ B
C
2# 13.
2021/4/9
15
小小探索家:
80分
3. 已 知 在 等 边 △ ABC 中 ， 如 果 P 是
△ABC所在平面上的一点，且△PAB、
△ PBC 、 △ PCA 都 是 等 腰 三
· 角形，那么这样的点P的位置共有几个？ 试一一画出。 P1
A
B
C
2#13.
幻灯 2021/4/9
16
50分 4.若三角形的三边a,b,c,满足(a-b)2+ (b-C)2 + (c-a)2= 0，则它的形状是（ ）。
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C ∴
角形是等边三角形A .
AB=BC=AC ∴△ABC是等边三角形
等腰三角形
等边三角形
B
C
3 . 有一个角是60°的等腰
三角202形1/4/9 是等边三角形.
∵ ∠B=600 AB=BC ∴△ABC是等边三 角形
9
2021/4/9
10
例1：课外活动小组在一次测量活动中,测
A 直角三角形 B 等腰三角形
C 等腰直角三角形 D 等边三角形
请思考：若a,b,c,满足(a-b) (b-c) (c-a) = 0, 你能判断△ABC的形状吗？
等边三角形2教案
课堂小结
布置作业
课后小结
教学方法与手段
多媒体
教学环节
教学内容
二次备课
教
学
过
程
一、学前准备
1、等腰三角形的顶角为60°，则它的底角为°，它是三角形。
2、下列说法不正确的是( )
A、三条边都相等的三角形是等边三角形
B、三个角都相等的三角形是等边三角形
C、有一个角为60°的三角形是等边三角形图（1）
D、等边三角形是特殊的等腰三角形
归纳：
直角三角形中30°角所对的等于斜边的．
三、自主学习
例题：如图（3）是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=8 m，∠A=30°，立柱BC、DE需要多长？
图（3）
四、课堂练习
1、 如图(4)，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，那么BC=
课题：
等边三角形（2）
主备人
zzl
使用时间：
教
学
目
标
知识与技能：
1、证明直角三角形中有一个角为30°的性质
2、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
能力与方法：
提高分析问题的能力
情感态度价值观：
感受探索的乐趣
教学重点及落实：
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点及突破：
含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2、一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山顶共走了4000米，那么这座山的高度是米。
3、 如图(5)，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB= 4，则BC=，∠BCD=，BD=。
等边三角形2gao
胆
自
=
测
2、如图２, ∠Ｃ＝９０°，Ｄ是ＣＡ的延长线上一点， 1 ∠BDC=15 °，且AD＝AB，则BC AD 2
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｄ
畅谈收获
这节课—
通过本节课 的学习，你学到 了哪些知识？在 合作学习中你感 受到了什么？你 还有那些疑惑？
我学会了… 我发现生活中… 我感受到了… 我感到最高兴的是… 我想我将…
第二课时
执教人：王红
(1).等边三角形的性质.
(2) 等边三角形的判定:
• • • • •
1、动手操作动脑思考 （1）画一个等边三角形 （2）剪下这个等边三角形 （3）对折这个等边三角形(你发现了什么?) （4）沿折线剪开(你发现了什么?)
2、从角和边探究这个直角三角形的性质。 谈谈你的猜想及依据。
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=30° 1 求证：BC= 2 AB
A
30°
B
C
D
归纳新知
含30 °直角三角形性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
几何语言 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A= 30°
30°
1 ∴ BC= AB 2
B
C
1、RT△ABC中，CD是斜边AB边上的高， C ∠A =30°,
B
D A
(1)图中有几个含30°角的三角形
(2)如果BD=5cm你还能得到那些线段 的长？
自纠
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。 3）直角三角形中最小的直角边是斜边的一半。 4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
12.3.2 等边三角形(二)
12．3．2 等边三角形（二）
教学目标
1．掌握等边三角形的性质和判定方法． 2.培养分析问题、解决问题的能力．
教学重点：等边三角形的性质和判定方法．
教学难点：等边三角形性质的应用
教学过程
错误！未找到引用源。
创设情境，提出问题
回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识
1．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．
2．等边三角形每一个角相等，都等于60°
3．三个角都相等的三角形是等边三角形．
4．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
其中1、2是等边三角形的性质；3、4的等边三角形的判断方法．
错误！未找到引用源。
例题与练习
1．△ABC是等边三角形，以下三种方法分别得到的△ADE都是等边三角形吗，为什么?
①在边AB、AC上分别截取AD=AE．
②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上．
③过边AB上D点作DE∥BC，交边AC于E点．
2．已知：如右图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，，并且PB＝PQ＝QC＝AP＝AQ.求∠BAC的大小．
分析：由已知显然可知三角形APQ是等边三角形，每个角都是60°．又知△APB与△
AQC都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得∠PAB＝30°．
1．P56页练习1、2
错误！未找到引用源。
课堂小结：1.等腰三角形和性质；等腰三角形的条件错误！未找到引用源。
布置作业： 1．P58页习题12．3第ll题．
2.已知等边△ABC，求平面内一点P，满足A，B，C，P四点中的任意三点连线都构成等
腰三角形．这样的点有多少个?。
人教版数学八年级上册13.3.2等边三角形(第2课时)教学设计
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，让每个小组针对等边三角形的性质、判定方法进行讨论，共同总结规律。
2.互动交流：各小组展示讨论成果，其他小组进行补充、质疑，形成全面、深入的理解。
3.提出问题：引导学生思考，如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形会有哪些性质？如何判定一个三角形是等边三角形？
（二）讲授新知
1.等边三角形的定义：在学生观察、思考的基础上，给出等边三角形的定义：三条边都相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形的性质：引导学生通过实际操作、观察、讨论等途径，发现并总结等边三角形的性质，如：三个角相等，均为60度；三条中线、高、角平分线重合等。
2.作业量要适中，避免学生负担过重。
3.鼓励学生主动思考，培养解决问题的能力。
4.家长要关注学生的学习进度，协助教师督促学生完成作业。
5.教师要及时批改作业，了解方法：通过例题讲解，让学生掌握等边三角形的判定方法，并能熟练运用。
（5）巩固练习：设计不同难度的题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
（6）课堂小结：总结本节课所学内容，强调等边三角形的性质和判定方法。
（7）作业布置：布置适量的作业，巩固所学知识，提高学生的运用能力。
3.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，提高教学的有效性。
1.激发学生对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯和积极的学习态度。
2.培养学生的空间观念，提高对几何图形的审美意识和鉴赏能力。
3.增强学生解决问题的自信心，培养勇于探索、敢于创新的精神。
等边三角形的性质2
等边三角形的性质（二）学案广州市白云区嘉禾中学初二数学备课组学习目标：1、掌握等边三角形的性质；2、会用等边三角形的性质解决相关的问题。
学习重点：等边三角形的性质及应用。
一、复习引入：请描述等边三角形的性质：1、等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。
2、等边三角形三条边都相等3、等边三角形三个角都相等，并且每一个角都等于__________°二、基础练习：1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是2．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD=DE=AD=AE=EC，则∠BAC的度数是如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．三、提升练习：19．如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）求∠BFD的度数．8.如右图所示，已知△ABC为等边三角形，点D为B C延长线上的一点，CE 平分∠ACD，C E=BD，求证：AD=AE。
四、拓展练习：如图：P是等边三角形ABC内的一点，连接PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ ，观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明。
20、（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．20．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．五、小结：六、作业学评：。
13.3.2等边三角形2
可得 ∴BC＝
1B×C7＝.4＝12 3A.B7m,
DE＝ 1
2
AD
又∴答D:立EA＝柱D＝B12CA122的DA＝B长是12×3.37.m7＝,D1E.8的5长m是1.85m.
B
D
记住哟
A EC
这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.
例题欣赏 1
例2.已知:等腰三角形的底角为150,腰长为2a. 求:腰上的高.
B 在Rt△ABC中
∵∠A＝30°
300 A
∴AB＝2BC
C
这又是一个判定两条线段成倍分关系
的根据之一.
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A = 30°，AB =10，则BC 的长为 5 ．
C
B
课堂练习
练习2 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是 高，∠A =30°，AB =4．则BD = 1 .
２.如图：已知 在△ABC
中，∠A=300，C=900，
BD平分∠ABC. 求证：AD=2DC
Ａ
Ｄ
Ｃ
试一试
成功者的摇篮
1.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别 是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得 A落在EF上(如图(2)), 折痕交AE于点G,那么∠ADG 等于多少度?你能证明你的结论吗?
B
CB
C
E
F
EA
F
GAΒιβλιοθήκη (1) DAD
(2)
试一试
成功者的摇篮
答:∠ADG等于150. 证明:∵DF=DC/2(中点定义),
A1D=AD=CD(正方形各边都相等),
∴DF=A1D/2(等量代换).
最新版初中数学教案《等边三角形的性质与判定 2》精品教案(2022年创作)
等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定1．掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．(重点)2．能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．(难点)一、情境导入观察下面图形：师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？生：等边三角形．师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．二、合作探究探究点一：等边三角形的性质 【类型一】 利用等边三角形的性质求角度如图，△ABC 是等边三角形，E 是AC 上一点，D 是BC 延长线上一点，连接BE ，DE ，假设∠ABE ＝40°，BE ＝DE ，求∠CED 的度数．解析：因为△ABC 三个内角为60°，∠ABE ＝40°，求出∠EBC 的度数，因为BE ＝DE ，所以得到∠EBC ＝∠D ，求出∠D 的度数，利用外角性质即可求出∠CED 的度数．解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵∠ABE ＝40°，∴∠EBC ＝∠ABC －∠ABE ＝60°－40°＝20°.∵BE ＝DE ，∴∠D ＝∠EBC ＝20°，∴∠CED ＝∠ACB －∠D ＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．【类型二】 利用等边三角形的性质证明线段相等如图：等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M ，求证：BM ＝EM .解析：要证BM ＝EM ，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE 为等腰三角形即可．证明：连接BD ，∵在等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，∠ACB ＝60°.∵CE ＝CD ，∴∠CDE ＝∠E .∵∠ACB ＝∠CDE ＋∠E ，∴∠E ＝30°，∴∠DBC ＝∠E ＝30°，∴BD ＝ED ，△BDE 为等腰三角形．又∵DM ⊥BC ，∴BM ＝EM .方法总结：此题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一〞的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．【类型三】 等边三角形的性质与全等三角形的综合运用△ABC 为正三角形，点M 是BC 边上任意一点，点N 是CA 边上任意一点，且BM ＝CN ，BN 与AM 相交于Q 点，∠BQM 等于多少度？解析：先根据条件利用SAS 判定△ABM ≌△BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠BQM ＝∠ABC ＝60°.解：∵△ABC 为正三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC .在△AMB 和△BNC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABC ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△AMB ≌△BNC (SAS)，∴∠BAM ＝∠CBN ，∴∠BQM ＝∠ABQ ＋∠BAM ＝∠ABQ ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．探究点二：等边三角形的判定 【类型一】 等边三角形的判定等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．解析：先证△ABP ≌△ACQ 得AP ＝AQ ，再证∠PAQ ＝60°，从而得出△APQ 是等边三角形． 解：△APQ 为等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC .在△ABP 与△ACQ 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠ABP ＝∠ACQ ，BP ＝CQ ，∴△ABP ≌△ACQ (SAS)，∴AP ＝AQ ，∠BAP ＝∠CAQ .∵∠BAC ＝∠BAP ＋∠PAC ＝60°，∴∠PAQ ＝∠CAQ ＋∠PAC ＝60°，∴△APQ 是等边三角形．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.【类型二】 等边三角形的性质和判定的综合运用图①、图②中，点C 为线段AB 上一点，△ACM 与△CBN 都是等边三角形．(1)如图①，线段AN 与线段BM 是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN 与MC 交于点E ，BM 与CN 交于点F ，探究△CEF 的形状，并证明你的结论．解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN ，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN 与线段BM 相等．(2)先求∠MCN ＝60°，通过证明△ACE ≌△MCF 得出CE ＝CF ，根据等边三角形的判定得出△CEF 的形状．解：(1)AN ＝BM .理由：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，∴AC ＝MC ，CN ＝CB ，∠ACM＝∠BCN ＝60°.∴∠MCN ＝60°，∠ACN ＝∠MCB .在△ACN 和△MCB 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝MC ，∠ACN ＝∠MCB ，NC ＝BC ，∴△ACN ≌△MCB (SAS)．∴AN ＝BM .(2)△CEF 是等边三角形．证明：∵△ACN ≌△MCB ，∴∠CAE ＝∠CMB .在△ACE 和△MCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠CMF ，AC ＝MC ，∠ACE ＝∠FCM ，∴△ACE ≌△MCF (ASA)，∴CE ＝CF .∴△CEF 是等边三角形．方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了根底，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．三、板书设计等边三角形的性质和判定1．等边三角形的定义；2．等边三角形的性质；3．等边三角形的判定方法．本节课让学生在认识等腰三角形的根底上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质和判定．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步开展空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识．在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，开展学生的自主探究能力．三角形的稳定性【知识与技能】1.通知过观察、实践、想象、推理、交流等活动，让学生了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用.2.培养实事求是的学习作风和学习习惯.【过程与方法】1.通过提问、合作讨论以及小组交流方式探究三角形的稳定性.2.实物演示，激发学习兴趣，活泼课堂气氛.3.探究质疑，总结结果.和学生共同探究三角形稳定性的实例，答复课前提出的疑惑.【情感态度】1.引导学生通过实验探究三角形的稳定性，培养其独立思考的学习习惯和动手能力.2.通过合作交流，养成学生互助合作意识，提高数学交流表达能力.【教学重点】了解三角形稳定性在生产、生活中的实际应用.【教学难点】准确使用三角形稳定性于生产生活之中.一、情境导入，初步认识课前准备：木条〔用硬纸条代替〕假设干、小钉假设干、小黑板.问题1 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，钢架桥，其中道理是什么？问题 2 盖房子时,在窗框未安装好之前.木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢? 活动挂架为什么做成四边形？【教学说明】问题设立要让学生体会三角形在生产和生活中的应用，并引导思考为什么要在这些地方用三角形，另一些地方又要用到四边形.注意接纳学生其他不同的思路.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.二、思考探究，获取新知老师演示P6探究内容，也可叫学生亲手实验，通过实际操作加深学生印象，完后请学生们交流讨论后答复得出了什么？教师根据学生们的答复进行简要归纳.【归纳结论】三角形木架形状不会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架的形状不会改变.这是因为斜钉一根木条后，四边形变成了两个三角形，由于三角形有稳定性，窗框在未安装好之前也不会变形.三、运用新知，深化理解1.如图，一扇窗户翻开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是 .2.以下列图形中哪些具有稳定性?【教学说明】本节课的内容较少，题目比较简单，在学生独立完成后，要求学生说明理由.【答案】1.三角形具有稳定性.2.〔1〕〔4〕〔6〕中的图形具有稳定性.四、师生互动，课堂小结三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本节课学习三角形稳定性，并板书课题.完成的教学目标是通过观察、实践、想象、推理、小组交流合作，使同学们了解三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用，培养同学们实事求是的学习作风和学习习惯，以及自主学习和独立思考的能力.。
等边三角形的性质与判定(2)
主备人：方小红 审核人：詹建明 班级： 姓名： 课题：等边三角形的性质与判定（2）【学习目标】：1 进一步理解等边三角形的性质与判定，并能运用等边三角形的性质与判定解决有关的问题；2理解含30°角的直角三角形的性质，并能运用这一性质解决有关的问题； 3 经历运用等边三角形的性质与判定和含30°角的直角三角形的性质解决有关问题的过程，培养学生分析与解决问题的能力。
【学习重点】：含30°角的直角三角形的性质的理解与运用。
【学习难点】：含30°角的直角三角形的性质的理解与综合运用。
【易错点】：含30°角的直角三角形的性质的正确运用。
一 课前导学1相关知识的链接（1）等边三角形三边 ，三个角都等于 ，（2）等边三角形是轴对称图形,它有 条对称轴，它的对称轴 。
2自学课本P 80～P 81的有关内容，对相关的知识进行初步的理解。
（1）如图，将两个含有30°角的三角形放在一起，你能借助这个图形，找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗？（2）猜想：____________________________________________________________________ （3）你能用所学的知识验证以上结论吗？并说一说你是怎么想到的？（4）引导与归纳①含30°角的直角三角形的性质：__________________________________________________________________________ ②几何表达式：A B CB C D∵∠C=90°∠A=30°∴BC=1／2AB3相关知识的初步运用 （1）如图，一根电线杆在离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，则这根电线杆倒下之前的高度为______米。
（2）如图，在等边△ABC 中，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，DE ⊥BC 于点E ，且CE=1。
等边三角形的性质和判定
等边三角形的性质和判定等边三角形是指三条边相等的三角形。
它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。
一、等边三角形的性质1. 边长相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a=a=a。
2. 角度相等：等边三角形的三个内角相等，每个角为60度。
3. 高度、中线、角平分线：等边三角形的高度、中线以及角平分线均相等。
4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为轴进行折叠，三角形的各部分完全重合。
二、等边三角形的判定1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三边长度相等，那么它就是等边三角形。
2. 角度相等判定法：如果一个三角形的三个角度均为60度，那么它就是等边三角形。
3. 边长和角度判定法：如果一个三角形的两边边长相等且夹角为60度，那么它就是等边三角形。
三、等边三角形的应用等边三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常用的形状。
例如，蜂窝状的建筑结构常使用等边三角形。
2. 制作模型：等边三角形可以用于制作模型，特别是多面体模型。
例如，立方体的六个面均为等边三角形。
3. 计算几何：等边三角形的性质可用于计算几何中的推导和证明。
例如，通过等边三角形，我们可以推导出正六边形的面积和边长与半径的关系。
四、等边三角形的例题例题1：已知△ABC中，AB=BC=AC，且∠ABC=60度，求证△ABC为等边三角形。
证明：根据等边三角形的判定法，我们需要证明△ABC的三边相等。
已知AB=BC，再根据已知∠ABC=60度，可得到∠BAC=∠BCA=60度。
由此可知，△ABC的三个角度均为60度，即满足等边三角形的定义。
因此，可以得出结论，△ABC为等边三角形。
例题2：已知△PQR是等边三角形，且PR=6cm，求PQ的长度。
解析：由于△PQR是等边三角形，则QR=PR=6cm。
根据等边三角形的定义，三条边的长度均相等。
等边三角形2课件
两个含有30°的三角尺你能拼出 一个怎样的三角形？能拼出一个 等边三角形吗？
A
B
C
D
已知：如图在Rt△ABＣ中，∠Ｃ＝９０° ∠ＢＡＣ＝３０°
求证：ＢＣ＝
1 2
AB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
证明：延长BC至Ｄ，使CD＝BC，连接AD． ∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°则∠Ｂ＝60°． ∵ ∠ACB＝90° ∴∠ACD＝90° ∵ AC＝AC ∴ △ABＣ≌△ADC（ＳＡＳ） ∴ AB=AD ∴ △ABD是等边三角形
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC， ∠A＝ 30 °
由上述定理可得： BC=1/2AB，DE=1/2AD，
∴BC=1/2×7.4=3.7(m)
B D
又AD=1/2AB,=
A
∴DE=1/2AD=1/2×3.7=1.85(m).
EC
答：立柱BC、DE分别要3.7m、1.85m.
寄语
同学们： “教”不等于“懂” “懂” 不等于“会”， “会”不等于“通”， 由“教”到“懂”需要“学”， 由“懂”到“会”需要“习”， 而由“会”到“通”则离不开 “悟”。
B
D
┏ ┏
┏
A
E
C
例题1. 如图在△ABC 中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=150,CD 是腰AB上的高，求CD的长
A
D
B
C
解：∵∠ABC=∠ACB=150 ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=300 ∴CD=1/2AC=a
例题2：Rt△ABC中 ∠ACB=900 ,∠A=300
求证：
BD
1
AB
4
证明：在Rt△ABC中, ∠A=300,
等边三角形2
二、 等边三角形的判定
1．三个边都相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
操
作
探
究
• 探究1 用直尺量一量含30°角的直角三角板的 最短直角边(即300 角所对的直角边)与斜边 ，记录下数据，你有什么发现？
操
作
探
究
• 猜一猜 在直角三角形中，30°角所对的直 角边与斜边有怎样的大小关系？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
B
C
D
B
C
D
可得： △ABD是等边三角形 ∵ AC ⊥BD ∴ BC=CD= 1 BD 2 ∵ BD=AB ∴ BC= 1 AB 2 60°
B
A
60°
C
D
在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
A
证法：
证明： 在BA上截取BE=BC，连接EC E ∵ ∠B= 60° ，BE=BC ∴ △BCE是等边三角形 ∴ ∠BEC= 60°，BE=EC ∵ ∠A= 30° B ∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30° ∴ AE=EC ∴ AE=BE=BC ∴ AB=AE+BE=2BC.
课堂小结
• 本节课你有何收获？ • 1、含有30度角的直角三角形的性质：在直 角三角形中，如果一个锐角等于300，那么 它所对的直角边等于斜边的一半。 • 2、添加辅助线不同的证明方法。
大
胆
尝
试
已知:如图,在△ABC中, ∠ACB= 900 ∠A=300,CD⊥AB于D. 求证:BD=
1 AB. 4