平口单峰函数之倍角界定法

平口单峰函数之倍角界定法

满分秘籍：二倍角最值界定

2

1

cos cos 2+=

αα，22cos 2cos 222cos 2cos 2)(2c a b a c a b a c bx ax x f ++

+≤+++=++=αααα，往往02

20=+=c

a b ，时，取得最值，这个方法通常在一些选填甚至解答压轴题中给你一种秒得很爽的感觉.

例题1：设函数()2f x x ax b =++，对于任意的实数,a b ，总存在[]004x ，Î，使得()0f x t ³成立，则实数

t 的取值范围是 ．

例题2：（2018•呼和浩特期中）设函数(),,,f x ax b a b R -?若对于任意的实数,a b 总存在实数

[]004x ，Î，使得()0f x m ³成立，则实数m 的取值范围为 ．

例题3：已知函数

()2f x x ax b

=++，

[]

01x ∈，，若

()

f x 的最大值是M ，则M 的最小值是 ．

满分秘籍：三倍角最值界定

ααααααααααααα322sin 4sin 3sin )sin 21(cos sin 2sin 2cos cos 2sin )2sin(3sin -=-+=+=+=； αααααααααααααcos 3cos 4cos sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 322-=--=-=+=；

由此得到降幂公式：4

3cos cos 3cos 43sin sin 3sin 33α

ααααα+=

-=

， 当][m m x ，-∈时，可以设])0[(cos παα，∈=m x ，当]2[m m x ，-∈时，可以设])

320[(cos παα，∈=m x ，以此类推；33|cos3+(+)cos +||cos3|+|(+)cos |+||4444a a a a b c b c αααα≤，往往0043

==+c a b ，时取得最值.

当ααααcos )3(2cos 3cos )(a c b a f +++=，且030>+>a c a ，，则0≤b 时，)()(min παf f =，当0≥b 时，)0()(max f f =α.

例题1：已知函数 ()328f x x ax bx =--，是否存在任意实数a b 、，使得()2f x ≤对任意的[]11x ∈-，

恒成立，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由．

例题2：（2019•广东模拟）已知3

4

a ≥-，0

b ≥，函数3()f x x ax b =++，11x -≤≤，设|()|f x 的最大值为M ，

且对任意的实数a ，b 恒有M K ≥成立，则实数K 的最大值为( ) A ．4

B ．2

C ．

12

D ．

14

例3：（2020•武汉3月调研）如果关于x 的不等式012

3≥+-ax x 在]11[，-恒成立，则实数a 的取值范围是

（ ）

A ．0≤a

B ．1≤a

C ．2≤a

D ．

22

33≤

a

例 4.（2019•武汉模拟）已知函数3()f x x ax b =++定义域为[12]-，，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为( )

A ．4

B ．3

C ．2

D

2

2

2

例38.（2016•天津）设函数3()(1)f x x ax b =---，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；

（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1023x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[02]，上的最大值不小于1

4

． 解：（1）函数3()(1)f x x ax b =---的导数为2()3(1)f x x a '=--， 当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在R 上递增；

当0a >时，当1x >1x <()0f x '>，当11x <<+，()0f x '<，

可得()f x 的增区间为(1-∞，，(1+)+∞，减区间为(11； （2）证明：0()0f x '=，可得203(1)x a -=，由322000000()(1)3(1)(1)(21)f x x x x b x x b =----=----，

320000(32)(22)3(32)(1)f x x x x b -=-----2200000(1)(8896)(1)(21)x x x b x x b =---+-=----， 即为001(32)()()f x f x f x -==，即有0132x x -=，即为1023x x +=； （3）法一：证明：要证()g x 在区间[02]，上的最大值不小于1

4

，只需证在[02]，上存在1x ，2x ，使得 121

()()2

f x f x -≥．当3a ≥时，()f x 在[0，2]递减，由(2)f 12a b =--，(0)1f b =--，得(0)(2)f f -1

2242

a =-≥>

，成立；

当03a <<时，3(1((1f a b a b =--=+a b =-，

3(1(1f a b a b =-+--a b =-， (2)f 12a b =--，(0)1f b =--，(2)f (0)22f a -=-，若304a <≤

时，1

(2)(0)222

f f a -=-≥成立；