平口单峰函数(野猪)
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构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”
一、新增此方法的的简单推广(16天津卷)。
二:引理证明bug 修正。
下面这些问题相信长期混群的人都不陌生,提问频率颇高。大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。然后,没有人对最佳逼近直线给过论证,只是一句话带过。本文将给出一种极其简洁的做法及解释。 1.1
()4
2,(,),x x f x a b a b R +=++∈,
若对任意的[0,1]x ∈,1
|()|2
f x ≤都成立,则b=_____。 2.设函数4
()|
|f x ax x
=-,若对任意的正实数a,总存在0[1,4]x ∈,使得0()f x m ≥,则实数m 的取值范围是______。
3.设函数()|,,f x ax b a b R =-∈,若对任意实数a,b,总存在实数0[0,4]x ∈,使得
0()f x m ≥成立,则实数m 的取值范围为_______。
4.已知函数2
()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为M ,
(,,0)a b R c ∈>为常数,且存在实数,a b 使得M 的最小值为2,则a+b+c=_______。
5.已知2
()(4)3f x x a x a =+-+-对任意[0,4]a ∈,均存在0[0,2]x ∈,使得0|()|f x t ≥成立,则t 的取值范围是______。 6.设函数2
()|
|f x ax b x
=--,若对于任意实数a,b ,总存在0[1,2]x ∈,使得0()f x m ≥成立,则实数m 的取值范围是_______。
7.设函数2
()||f x x ax b =++,若对于任意实数a,b ,总存在0[0,4]x ∈,使得0()f x m ≥成立,则实数m 的取值范围是_______。 8.已知函数1()||f x x ax b x =+
--,当1
[,2]2
x ∈时,设()f x 的最大值为(,)M a b ,则(,)M a b 的最小值为______。
9.首相系数为1的二次函数2
()f x x px q =++中,找出使得2
max ||,1x 1x px q ++-≤≤ 取最小值时的函数表达式。
10.(09湖北压轴)在R 上定义运算bc b q c p q p 4))((3
1
+---
=⊗⊗:(b 、c 为常数).记c x x f 2)(21-=,b x x f 2)(2-=,R x ∈.令)()()(21x f x f x f ⊗=.
(Ⅲ)记()()(11)g x f x x '=-≤≤的最大值为M.若M ≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求
k 的最大值.
11. ()ln(1)f x x ax b =+++,[0,1]x ∈,对于任意的,a b ,求|()|f x 最大值的最小值。 从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感,现将解决方案整理如下。
弱弱的引理:若()f x 为[,]m n 上的连续单峰函数,且()()f m f n =,0x 为极值点,则
当k,b 变化时,()|()|g x f x kx b =--的最大值的最小值为
0|()()|
2
f n f x -.当且仅当
0()()
k 0,2
f n f x b +==
时取得。
这个引理的图像感受十分明显,但考虑到我也不是一个随便的人,还是弱弱的写点废话证明一下。
不妨以00(,),(,)m x x n ↓↑为例.如图 下用反证法证明,km b kn b ++均等于0()()
2
f n f x +.
(1)若两者其一小于
0()()2f n f x +,不妨设0()()
2f n f x kn b ++<,
此时0()()
()()2
f n f x f n kn b --+>.矛盾.
(2)若00()()()()
,22
f n f x f n f x km b kn b +++≥+>
, 或00()()()(),22f n f x f n f x km b kn b +++>+≥
。则有00()()
2f n f x kx b ++> 此时000()()
()2
f n f x kx f x -->.矛盾.
所以0()()
2
f n f x km b kn b ++=+=,引理得证。
有个这个平口单峰函数,如8题这种“天然”平的那不是直接秒了? 例1、题目8.已知函数1()||f x x ax b x =+
--,
当1
[,2]2
x ∈时,设()f x 的最大值为(,)M a b ,则(,)M a b 的最小值为______。
惊喜的发现1x x +
在1
[,2]2
x ∈上已经是“平口单峰”函数,极值点为1,好幸运。 所以(,)M a b 的最小值为1
2
2
1224
+-=.(是不是很快很暴力)
BUT ,尴尬的是,除了8以外,其余各题除一次函数以外的部分都不是“平口单峰”函数.
下面以7来分析分析.
例2、题目7.设函数2
()||f x x ax b =++,若对于任意实数a,b ,总存在0[0,4]x ∈,使得
0()f x m ≥成立,则实数m 的取值范围是_______。