高一数学下学期开学收心考试试题
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市叙州区校高一下学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集N 7U x x =∈∣，集合{}{}2,3,4,2,4,5A B ==，则()UA B ⋃=（ ）A ．{}0,1,6B ．{}1,6,7C ．{}0,1,6,7D ．{}0,1,3,5,6,7【答案】C【分析】写出{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，根据补集含义得出答案. 【详解】由题意得{}0,1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A B ⋃=，{}()0,1,6,7UA B ⋃=.故选：C.2．800°是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】由800236080︒=⨯︒+︒可进行判断. 【详解】因为800236080︒=⨯︒+︒，所以800︒与80︒的终边相同，而80︒是第一象限的角， 所以800︒是第一象限的角， 故选：A.3．命题“N m ∃∈N ”的否定是（ ）A ．N m ∃∉NB ．N m ∃∈NC ．N m ∀∉ND ．N m ∀∈N【答案】D【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】解：命题“N m ∃∈N ”为存在量词命题，其否定为：N m ∀∈N . 故选：D4．函数()ln 1f x x =-的零点是（ ） A ．1 B ．eC ．()e,0D ．4【答案】B【分析】根据零点的定义列式运算求解. 【详解】令()ln 10f x x =-=，解得e x =， 故函数()ln 1f x x =-的零点是e . 故选：B.5．函数()32cos e ex x x xf x -=+在区间[]2π,2π-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.【详解】∵()()()()332cos 2cos e e e e x x x xx x x x f x f x -----==-=-++，∴()f x 为奇函数，图象关于原点对称，C 、D 错误； 又∵若(]0,2πx ∈时，320,e e 0x x x ->+>，当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，cos 0x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x <，∴当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x >，当π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，A 错误，B 正确；故选：B.6．药物治疗作用与血液中药物浓度（简称血药浓度）有关，血药浓度C （t ）（单位mg/ml ）随时间t (单位：小时)的变化规律可近似表示为()0etC t C λ-=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始血药浓度，λ表示该药物在人体内的衰减常数.已知某病人第一次注射一种药剂1小时后测得血药浓度为31.210-⨯mg/ml ，2小时后测得血药浓度为-⨯30.810mg/ml ，为了达到预期的治疗效果，当血药浓度为-⨯30.410mg/ml 时需进行第二次注射，则第二次注射与第一次注射的时间间隔约为(lg 20.3010,lg30.4771≈≈)（ ）小时 A ．3.0 B ．3.5C ．3.7D ．4.2【答案】C【分析】先根据题意得到方程组，求出3ln 2λ=与30 1.810C -=⨯，进而得到关系式，再代入()30.410C t -=⨯，求出第二次注射与第一次注射的间隔时间t 约为多少【详解】由题意得：30230e 1.210e 0.810C C λλ----⎧=⨯⎨=⨯⎩，两式相除，得：3ln 2λ=，把3ln 2λ=代入30e 1.210C λ--=⨯，解得：30 1.810C -=⨯，所以()3ln20.0018e t C t -=⋅，令()30.410C t -=⨯得：3ln 320.0018e 0.410t --⋅=⨯，解得：2ln 3ln 2ln 3ln 2t -=-，由换底公式得：2ln 3ln 22lg 3lg 2ln 3ln 2lg 3lg 2t --==--，所以2lg3lg 220.47710.3010 3.7lg3lg 20.47710.3010t -⨯-=≈≈--故选：C7．已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．c<a<b【答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性求解即可【详解】因为0.21log 0.5log log 2a ==，而150.2110.522b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>， 所以a b c <<， 故选：A.8．已知函数()22log f x x ax =-在区间(]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0∞-B ．(][),02,-∞⋃+∞C ．()2,+∞D ．()(),01,2-∞【答案】B【分析】根据复合函数单调性的判断方法可知2x ax μ=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；分别在a<0、0a =、01a <<和1a ≥的情况下去掉绝对值符号，结合二次函数单调性可得结果.【详解】令2x ax μ=-，()2log f μμ=在()0,∞+上单调递增，()22log f x x ax =-在(]0,1上单调递增， 2x ax μ∴=-在(]0,1上单调递增且恒大于0；①当a<0时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若(),0x a ∈，20x ax -<； ∴当(]0,1x ∈时，2x ax μ=-，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；②当0a =时，22x x μ==，μ∴在(]0,1上单调递增且0μ>，满足题意；③当0a >时，若()(),0,x a ∈-∞⋃+∞，20x ax ->；若()0,x a ∈，20x ax -<；当01a <<时，(]()22,0,,,1ax x x a x ax x a μ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，则当,2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2ax x μ=-单调递减，不合题意；当1a ≥时，若(]0,1x ∈，则2ax x μ=-，则其对称轴为2ax =， ∴若2ax x μ=-在(]0,1上单调递增且0μ>，则12a≥，解得：2a ≥； 综上所述：实数a 的取值范围为(][),02,-∞⋃+∞. 故选：B.二、多选题9．已知集合()(){}20N ,2Z x A xx B x x x x -⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭∣∣，则下列表述正确的有（ ） A ．{}0,3,4A B ⋂= B ．{}1,2A =C ．A B ⊆D ．满足A C ⊆且C B ⊆的集合C 的个数为8【答案】BCD【分析】根据集合的定义确定集合,A B 中的元素，然后再判断各选项． 【详解】因为()(){}{}20021,2x A xx x x x x -⎧⎫=∈=<≤∈=⎨⎬⎩⎭N N ∣∣，(){}{}20,1,2,3,4B x x =∈=Z ，A C B ⊆⊆，所以C 中元素个数至少有1，2，至多为0,1,2,3,4，所以集合C 的个数等于{}0,3,4子集的个数，即328=． 故选：BCD ．10．已知函数()22sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则下列各选项正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．3x π=-是()f x 的一条对称轴C ．()f x 在区间,012π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()f x 向右平移23π个单位是一个奇函数.【答案】AC【分析】根据周期公式得到A 正确；代入验证知B 错误C 正确；根据平移法则得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2ππ2T ==，正确； 对选项B ：当3x π=-时，2π20π,Z 32x k k π+=≠+∈，错误； 对选项C ：当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2π2π2,323x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数单调递减，正确；对选项D ：()f x 向右平移23π得到()22sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，不是奇函数，D 错误.故选：AC11．已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥【答案】AD【分析】由基本不等式判断AD ，取1,2b a ==判断BC. 【详解】由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++⎪⎝⎭（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正确；取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；因为22a b ab +=≥2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确；故选：AD12．已知函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，关于x 的方程()0f x m -=的根，下列说法正确的有（ ） A ．当0m =时，方程有4个不等实根 B ．当01m <<时，方程有6个不等实根 C ．当1m =时，方程有4个不等实根D ．当1m >时，方程有6个不等实根 【答案】BC【分析】结合函数奇偶性以及0x ≥时解析式，作出函数图象，将关于x 的方程()0f x m -=的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.【详解】由题意函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()24,044,4x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，可作出函数()f x 的图象如图示：则关于x 的方程()0f x m -=的根，即转化为函数()f x 的图象与直线y m =的交点问题， 当0m =时，即0y =与()f x 的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A 错误； 当01m <<时，y m =与()f x 的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B 正确； 当1m =时，1y =与()f x 的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C 正确；当1m >时，y m =与()f x 的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D 错误； 故选：BC.【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.三、填空题13．若函数25(3)m y m x -=-是幂函数，则当12x =时的函数值为______． 【答案】2【分析】先求得m 的值，然后求得12x =时的函数值.【详解】由于函数25(3)m y m x -=-是幂函数， 所以31,2m m -==，则1y x -=， 所以当12x =时，2y =. 故答案为：214．已知函数()221,1,1x x f x xx -≤-⎧=⎨>-⎩，若()4f x =，则x =________【答案】2【分析】分两种情况，当1x ≤-时和当1x >-时，解方程即可. 【详解】当1x ≤-时，()214f x x =-=，可得52x =，不成立， 当1x >-时，()24f x x ==，可得2x =或2x =-（舍去），所以2x =. 故答案为：2.15．若方程2210ax x ++=至少有一个负数根，则实数a 的取值范围为________． 【答案】1a ≤【分析】当0x <时，由2210ax x ++=，可得212a x x=--，令10t x =<，()22f t t t =--，求出函数()f t 在(),0∞-上的值域，即为实数a 的取值范围. 【详解】当0x <时，由2210ax x ++=，可得222112x a x x x+=-=--， 令10t x=<，()()(]22211,1f t t t t =--=-++∈-∞，故1a ≤. 故答案为：1a ≤.16．已知函数12()log f x x a =+，g （x ）＝x 2-2x ，若11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是________． 【答案】[0，1]【解析】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2），等价于[][]1,21,3a a -++⊆-，解不等式即可得解.【详解】当11[,2]4x ∈时，[]1()1+,2f x a a ∈-+，当2[1,2]x ∈-时，[]2()1,3g x ∈-，由11[,2]4x ∀∈，2[1,2]x ∃∈-，使得f （x 1）＝g （x 2）， 则[][]1,21,3a a -++⊆-，可得：1123aa -≤-+⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤， 故答案为：01a ≤≤.【点睛】本题考查了求函数值域，考查了恒成立和存在性问题以及转化思想，有一定的计算量，属于中档题.四、解答题17．已知集合(){}2lg 65A x y x x ==-+-，{1B x x =≤或}2x ≥，{}()12C x m x m m =-≤≤∈R .(1)若A C A ⋃=，求m 的取值范围；(2)若“x B ∈R ”是“x C ∈”的充分条件，求m 的取值范围. 【答案】(1)()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(2)[]1,2【分析】（1）求出集合A ，分析可知C A ⊆，分C =∅、C ≠∅两种情况讨论，可得出关于实数m 的不等式（组），综合可得出实数m 的取值范围； （2）由题意可知B C ⊆R，求出集合B R ，可得出关于实数m 的不等式组，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：因为(){}{}{}{}222lg 6565065015A x y x x x x x x x x x x ==-+-=-+->=-+<=<<， 因为A C A ⋃=，则C A ⊆.①当12m m ->时，即当1m <-时，C A =∅⊆，合乎题意； ②当12m m -≤时，即当1m ≥-时，C ≠∅，要使得C A ⊆，则1125m m ->⎧⎨<⎩，解得522m <<，此时522m <<.综上所述，实数m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.（2）解：由题意可知B C ⊆R ，且{}12B x x =<<R ，所以1122m m -≤⎧⎨≥⎩，解得12m ≤≤.因此，实数m 的取值范围是[]1,2. 18．已知()3tan 4απ+=. （1）若α为第三象限角，求sin α. （2）求cos 4sin 2sin 2παπαα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）3sin 5α=-（2）【解析】（1）根据诱导公式,先求得tan α,结合同角三角函数关系式即可求得sin α. （2）根据诱导公式化简式子,再由齐次式求法求解即可. 【详解】（1）()3tan tan 4απα+== ∴sin 3tan cos 4ααα==,即3sin cos 4αα=联立223sin cos 4sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩ 解得3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵α为第三象限角 ∴3sin 5α=-（2）)cos cos sin 42sin cos 2sin 22sin cos παααπααααα⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭-=- ⎪⎝⎭==31434-==.【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数式化简中的应用,齐次式形式的求值,属于基础题.19．已知函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2(1)求函数()f x 的单调递增区间和其图象的对称轴方程;(2)先将函数()y f x =的图象各点的横坐标向左平移π12个单位长度，纵坐标不变得到曲线C ，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12，得到()g x 的图象，若1()2g x ≥，求x 的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈； (2)πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】(1)由条件可得函数()f x 的最小正周期，结合周期公式求ω，再由正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间和对称轴方程；(2)根据函数图象变换结论求函数()g x 的解析式，根据直线函数性质解不等式求x 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 图象的相邻两条对称轴间的距离为π.2，所以()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，2ω=，所以π()2sin(2)3f x x =-， 由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，可得π5πππ1212k x k -≤≤+，()k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π(Z)1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 由()ππ2πZ 32x k k -=+∈得π5π(Z)212k x k =+∈，所以所求对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ （2）将函数()y f x =的图象向左平移π12个单位长度得到曲线π:2sin(2)6C y x =-，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到π()sin(2)6g x x =-的图象， 由1()2g x ≥得π1sin(2)62x -≥，所以ππ5π2π22π666k x k +≤-≤+，Z k ∈，所以ππππ62k x k +≤≤+，Z k ∈，所以x 的取值范围为πππ,π(Z).62k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦20．某片森林原来面积为a ，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p %，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2018. （1）求每年砍伐的森林面积的百分比p %； （2）到2018年年末，该森林已砍伐了多少年？【答案】（1）110112⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）5年. 【分析】（1）根据每年砍伐面积的百分比%p ，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，结合指数型函数得到方程，即可求解每年砍伐的森林面积的百分比p %．（2）结合（1）的结论，构造关于m 的方程，解得．【详解】（1）由题意可得，()1011%2a p a -=，解得1101%12p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴每年砍伐的森林面积的百分比%p 为110112⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）设经过m年森林剩余面积为原来面积的2，则()1%m a p ⋅-=，()1211%22m p ⎛⎫∴-== ⎪⎝⎭， 由（1）可得，11011%2p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即11021122m ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1102m ∴=，解得5m =，故到2018年年末，该森林已砍伐了5年．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，指数式与对数式的互化，其中关键是建立数学模型，属于中档题．21．已知函数()2cos sin 29f x a x x a =---，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (1)若a<0，求()f x 的最小值()g a ；(2)若关于x 的方程()f x a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求a 的取值范围． 【答案】(1)()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩； (2)910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）化简得出()22cos 21024a a f x x a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭，令cos t x =，则[]0,1t ∈，可得出()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭，分012a <-<、12a -≥两种情况讨论，利用二次函数的基本性质可求得()g a 的表达式；（2）分析可知关于x 的方程2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令[]3cos 2,3p x =-∈，可得出16a p p =--，利用函数的单调性求出函数()16H p p p=--在[]2,3的值域，即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）解：因为函数()2222cos sin 29cos cos 210cos 21024a a f x a x x a x a x a x a ⎛⎫=---=+--=+--- ⎪⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令cos t x =，则[]0,1t ∈． 则()()2221024a a f x h t t a ⎛⎫==+--- ⎪⎝⎭． 又因为a<0，所以>02a -． 当012a <-<，即20a -<<时，则()h t 在0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()221024a a g a h a ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭； 当12a -≥，即2a ≤-时，()h t 在[]0,1上单调递减， 故()h t 在[]0,1上的最小值为()()19g a h a ==--．综上所述，()2210,2049,2a a a g a a a ⎧----<<⎪=⎨⎪--≤-⎩. （2）解：因为关于x 的方程()f x a =在[0,]2π上有解， 即关于x 的方程2cos cos 1030x a x a +--=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 所以2cos 103cos x a x -=-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解． 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1x ∈，令[]3cos 2,3p x =-∈， 则()231016p a p p p--==--， 因为函数()16H p p p =--在[]2,3上单调递增，则()910,23H p ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦， 故a 的取值范围是910,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 22．对于函数()f x ，若()f x 的图象上存在关于原点对称的点，则称()f x 为定义域上的“伪奇函数”． （1）试判断()|cos |f x x =是否为“伪奇函数”，简要说明理由；（2）若2()log (sin )1f x x m =++是定义在区间[,]33ππ-上的“伪奇函数”，求实数m 的取值范围； （3）试讨论22()4243x x f x m m +=-+-在R 上是否为“伪奇函数”？并说明理由．【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（21m <≤；（3）答案见解析. 【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解，结合三角函数的性质即可求解； （3）由题意可知，2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解， 再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ()0()22f f ππ-==， ()()022f f ππ∴-+=． ()|cos |f x x ∴=是“伪奇函数”． （2）()f x 为“伪奇函数”，()()0f x f x ∴+-=，即22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=， 即221sin 4m x -=在[,]33ππ-有解．sin [x ∈， 2211sin [,1]44m x ∴=+∈． 又sin 0m x +>在[,]33ππ-恒成立，max (sin )m x ∴>-=1m <≤． （3）当22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”时， 则()()f x f x -=-在R 上有解，可化为2444(22)860x x x x m m --+-++-=在R 上有解， 令22x x t -=+，则22,442x x t t -≥+=-，从而224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即可保证()f x 为“伪奇函数”，令22()488F t t mt m =-+-，则①当(2)0F ≤时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解，即22210m m --≤，m ≤ ②当(2)0F >时，224880t mt m -+-=在[2,)+∞有解等价于 22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩2m <，m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“伪奇函数”，否则不是．。
黑龙江省高一下学期开学考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，那么集合（ ）{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<A B = A ．B ． {}32x x -<<{}52x x -<<C ．D ． {}33x x -<<{}53x x -<<【答案】A【分析】由集合交集的定义直接运算即可得解.【详解】因为集合，，{}52A x x =-<<{}33B x x =-<<所以.{}|32B x x A -<=< 故选：A.2．设命题：，，则为（ ）p x ∀∈N x ∈Z p ⌝A ．，B ．， x ∀∈N x ∉Z x ∃∈N x ∉ZC ．，D ．， x ∀∉N x ∈Z x ∃∈N x ∈Z 【答案】B【分析】含有一个量词的命题的否定，既要否定结论，也要改变量词.【详解】命题：，，则为：，，故A ，C ，D 错误.p x ∀∈N x ∈Z p ⌝x ∃∈N x ∉Z 故选：B.3．设，，且，则的最小值为（ ）0x >0y >9xy =x y +A ．18B ．9C ．6D ．3 【答案】C【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】∵0,0x y >>∴，（当且仅当，取“=”）6x y +≥=3x y ==故选：C.4．若为第一象限角，则是（ ） α2αA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 【答案】D【解析】写出第一象限角，得到的范围，再讨论k 的取值即可.α2α【详解】因为为第一象限角， α所以， 22,2k k k Z ππαπ<<+∈所以，,24k k k Z απππ<<+∈当时，，属于第一象限角，排除B ； 0k =024απ<<当时，，属于第三象限角,排除AC ； 1k =524αππ<<所以是第一或第三象限角2α故选：D5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是 ()26log f x x x =-()f x A ．B ．C ．D ．()0,1()1,2()2,4()4,+∞【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C. (2)310f =->3(4)202f =-<【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6．sin 20cos 40cos 20sin140︒︒︒︒+=A ． BC ．D ．12-12【答案】B【详解】 sin 20cos 40cos 20sin140sin 20cos 40cos 20sin 40sin(2040)sin 60︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒故选B7．已知函数是定义在上的减函数，则当时，实数的取值范围为()f x [)0,+∞1(21)()3f a f ->a （ ） A ． B ． C ． D ． 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】根据函数为定义域上的减函数及定义域建立不等式组即可求解.【详解】因为函数是定义在上的减函数，且， ()f x [)0,+∞1(21)(3f a f ->所以， 1213021a a ⎧-<⎪⎨⎪≤-⎩解得， 1223a ≤<故选：C8．已知是偶函数，且在区间上是增函数，则的大小关系是()f x ()0,∞+()()()0.5,1,0f f f --（ ）A ．B ． ()()()0.501f f f -<<-()()()10.50f f f -<-<C ．D ．()()()00.51f f f <-<-()()()100.5f f f -<<-【答案】C【分析】利用偶函数的性质化简要比较的三个数，再根据函数在上的单调性判断出三者的()0,∞+大小关系，从而确定正确选项.【详解】∵函数为偶函数，∴，又∵在区间上是增()f x ()()()0.50.5(11),f f f f -=-=()f x ()0,∞+函数，∴，即.()()()00.51f f f <<()()()00.51f f f <-<-故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.二、多选题9．函数的图象过（ ）()log (2)(01)a f x x a =+<<A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】BCD【分析】画出函数大致图象即可判断.【详解】的图象相当于是把的图象向左平移2个单()log (2)(01)a f x x a =+<<()log 01a y x a =<<位，作出函数的大致图象如图所示，则函数的图象过第二､三､四象限. ()()log 2a f x x =+()01a <<()f x 故选：BCD.10．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的函数的是（ ）(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 3y x =||1y x =+21y x =-+1y x=-【答案】AD【分析】逐个分析各项可得结果.【详解】对于A 项，设，定义域为R ，则，所以是奇函数， 3()y f x x ==3()()f x x f x -=-=-3y x =由，在上单调递增可得在上单调递增，故选项A 正确；0α>y x α=(0,)+∞3y x =(0,)+∞对于B 项，设，定义域为R ，则，所以是偶()||1y f x x ==+()||1||1()f x x x f x -=-+=+=||1y x =+函数，故选项B 错误；对于C 项，设，定义域为R ，，所以是偶函数，2()1y f x x ==-+2()1()f x x f x -=-+=21y x =-+故选项C 错误； 对于D 项，，定义域为，，所以 1()y f x x ==-(,0)(0,)-∞+∞ 1()()f x f x x-==-是奇函数，由，在上单调递减可得在上单调递减， 1y x=-0α<y x α=(0,)+∞1y x -=(0,)+∞所以在上单调递增.故选项D 正确. 1y x=-(0,)+∞故选：AD.11．函数，的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èøy t =t A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】ABC 【分析】画出在的图像，即可根据图像得出. 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø【详解】画出在的图像如下： 1y cosx =+π,2π3x æöç÷Îç÷èø则可得当或时，与的交点个数为0；0t <2t ≥1y cosx =+y t =当或时，与的交点个数为1； 0=t 322t ≤<1y cosx =+y t =当时，与的交点个数为2. 302t <<1y cosx =+y t =故选：ABC.12．设函数，则下列结论正确的是（ ）()cos2f x x x -A ．的一个周期为()f x π-B ．的图像关于直线对称 ()y f x =π6x =-C ．的图像关于点对称 ()y f x =π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．在有3个零点()y f x =[0,2π]【答案】ABC【分析】利用辅助角公式化简，再根据三角函数的性质逐个判断即可()f x【详解】， π()cos22sin 26f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对A ，最小周期为，故也为周期，故A 正确； 2ππ2T ==π-对B ，当时，为的对称轴，故B 正确； π6x =-ππ262x -=-sin y x =对C ，当时，，又为的对称点，故C 正确； π12x =26π0x -=()0,02sin y x =对D ，则， ()0f x =()ππ2sin 202π,Z 66x x k k ⎛⎫-=⇒-=∈ ⎪⎝⎭解得，故在内有共四个零点，故D 错误 ()ππ,Z 212k x k =+∈()f x [0,2π]π7π13π19π,,,12121212x =故选：ABC.三、双空题13．函数的振幅是________，初相是________． 1π3sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】 3 π6【分析】根据振幅和初相的定义可得答案.【详解】振幅，3A =令则初相. 0x =π6ϕ=故答案为:3, π6四、填空题14．函数（，且）的图象必经过点的坐标________．1x y a =+0a >1a ≠【答案】()0,2【分析】利用指数函数的性质即可求解.【详解】令，得，0x =012y a =+=所以函数（，且）的图象必经过点.1x y a =+0a >1a ≠()0,2故答案为：.()0,215．等于________．2222sin 1sin 2sin 3sin 89︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【答案】44.5【分析】设，由平方关系得到2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒求解.2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒【详解】解：设，2222sin 1sin 2sin 3sin 89S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒因为，22222222sin 1cos 89,sin 2cos 88,sin 3cos 87,...,sin 89cos 1︒=︒︒=︒︒=︒︒=︒所以，2222cos cos 7cos c s 888o 981S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+︒两式相加得：，2189S =⨯所以，44.5S =故答案为：44.516．已知，且，则________． ()1sin 535α︒-=27090α-︒<<-︒()sin 37α︒+=【答案】##【分析】设,,则,，从而将所求式子转化成求的53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-cos β值，利用的范围确定的符号.αcos β【详解】设,,那么,从而.53βα︒=-37γα︒=+90βγ︒+=90γβ︒=-于是.因为,()sin sin 90cos γββ︒=-=27090α︒︒-<<-所以.由,得. 143323β︒︒<<1sin 05β=>143180β︒︒<<所以cos β===所以. ()sin 37sin αγ︒+==故答案为：五、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且角α的终边与单位圆交点为P ，，且β是第一象限角，求：和的cos 0.6β=sin()αβ-tan()αβ+值.【答案】 ，sin()αβ-=2tan()11αβ+=-【分析】先利用题给条件求得，，，再利sin αα==tan 2α=-4sin 5β=4tan 3β=用两角差的正弦公式和两角和的正切公式即可求得和的值.sin()αβ-tan()αβ+【详解】角α的终边与单位圆交点为P ，则 sin αα==tan 2α=-由，且β是第一象限角，可得， cos 0.6β=4sin 5β=4tan 3β=则 4sin()sin cos cos sin 0.65αβαβαβ-=-== ()42tan tan 23tan()41tan tan 11123αβαβαβ-+++===----⨯18．已知．求值：tan 2α=(1)； sin cos sin cos αααα+-(2)．2cos 2sin cos 1ααα--【答案】(1)3；(2) 85-【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.【详解】（1）∵，tan 2α=∴； sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---（2）. 22222cos 2sin cos 12tan cos 2sin cos 1111co 1s sin ta 4n 1558αααααααααα-----=-=-=-=-++19．已知，． 0πx <<1sin cos 5x x +=(1)求的值；sin cos x x -(2)若，试比较与的大小． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-tan x tan θ【答案】(1) 7sin cos 5x x -=(2)tan tan x θ> 【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值； 242sin cos 25x x =-sin cos x x -（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.tan x tan θ【详解】（1）对于，两边平方得， 1sin cos 5x x +=221sin cos 2sin cos 25x x x x ++=所以，∵，∴，，所以， 242sin cos 25x x =-0πx <<sin 0x >cos 0x <sin cos 0x x ->∴，∴； 249(sin cos )12sin cos 25x x x x --==7sin cos 5x x -=（2）联立，解得，所以， 1sin cos 57sin cos 5x x x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 53cos 5x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4tan 3x =-因为，且，所以分子分母同除以有：，解得． sin cos 1sin cos 3θθθθ+=-cos 0θ≠cos θtan 11tan 13θθ+=-tan 2θ=-∴.tan tan x θ>20．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域； x （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)21．已知函数．2()sin cos cos 2f x x x x x =+(1)求的单调递减区间；()f x (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围． ()()g x f x a =-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦a 【答案】(1)； 2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 31,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）先由倍角公式及辅助角公式得，再由正弦函数的单调性求解即()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可；（2）将题设转化为在上有两个解，确定在上的单调性，即可求出实数()a f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围．a【详解】（1）21cos211()sin cos cos22cos22cos2222xf x x x x x x x x x-=+=++=++，1sin262xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭令，解得，则的单调递减区间为3222,262k x k kπππππ+≤+≤+∈Z2,63k x k kππππ+≤≤+∈Z()f x；2,,63k k kππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（2）函数在上有两个零点，可转化为在上有两个解，当()()g x f x a=-0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，0,6xπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单增，当时，，2,662xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭,62xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦72,626xπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦单减，()1sin262f x xπ⎛⎫=++⎪⎝⎭又，，，要使在上有()10sin162fπ=+=13sin6222fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭71sin0262fππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭()a f x=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦两个解，则.31,2a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭22．已知函数.1()1xf xx-=+（1）证明函数在上为减函数；()f x(1,)-+∞（2）求函数的定义域，并求其奇偶性；ln(tan)y f x=（3）若存在，使得不等式能成立，试求实数a的取值范围.(,42ππ(tan)tan0f x a x+≤【答案】（1）证明见解析；（2），奇函数；（3）.,,44k k k Zππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭(,3-∞-【解析】（1）利用单调性定义证明即可.（2）根据条件可得，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，再根据tan1tan1xx<⎧⎨>-⎩奇偶性定义可判断函数的奇偶性.（3）令，考虑在上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求实数的tant x=11tatt-+<+()1,+∞a取值范围.【详解】（1），，，11x∀>-21x∀>-12x x<又，()()()122212121211()()11112x xx xf x f xx x x x----=-+-=+++因为，，，故，，，11x >-21x >-12x x <110x +>210x +>120x x -<故即，所以函数在上为减函数.12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (1,)-+∞（2）的满足的不等关系有：即， ((ln t )n )a y f x =x 1tan 01tan x x->+()()1tan tan 10x x +-<故，解得， tan 1tan 1x x <⎧⎨>-⎩,44k x k k Z ππππ-+<<+∈故函数的定义域为，，该定义域关于原点对称. ,44k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭Z k ∈令()((ln ta )n )F x f x =又 ()()()tan tan tan()tan tan 11ln ln ln 11x x x x xF x f -+--===--+，()()()tan ln x f F x =-=-故为奇函数. ln (tan )y f x =（3）令，因为，故. tan t x =(,)42x ππ∈1u >故在上不等式能成立即为 (,)42ππ(tan )tan 0f x a x +≤存在，使得，所以在上能成立， 1t >101t at t-+≤+()11t a t t -≤+()1,+∞令，则且， 1s t =-0s >()21121323t s t t s s s s-==+++++由基本不等式有2s s+≥s 所以时等号成立， ()131t t t -≤=-+1t 故的最大值为a 的取值范围为. ()11t y t t -=+3-(,3-∞-【点睛】本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题.。
高一数学下学期开学收心考2月试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年春季学期2021级高一开学收心考试数学试卷一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1．与角23π终边一样的角是〔〕 A ．113πB ．()223k k Z ππ-∈C ．()223k k Z ππ+∈D ．()()2213k k Z ππ++∈ 2．在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为〔〕A ．1B ．2C ．3D ．43．假设cos 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩，那么θ是〔〕4．设()lg f x x =，那么()10f f ⎡⎤=⎣⎦〔〕A ．0B ．1C ．5．函数()25f x x =-的零点所在的区间为() A ．()1,2B ．()23，C ．()34，D ．()45，6．集合{}(){}2|,|log 1 M x y N x y x ====-，那么M N ⋂=〔〕 A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,1,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．[]0,1D ．()[),02,-∞⋃+∞ 7．一个几何体的三视图如下列图，那么该几何体的侧面积为()A ．．．4D ．88．tan 2α=-，2παπ<<，那么sin cos αα+=〔〕A ．15B ．15-C ．5D ．5- 9．设实数,,a b c 满足：21log 32a -=，2323b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln 3c =，那么,,a b c 的关系〔〕A ．a c b <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<10．在正三棱柱111ABC A B C -中，假设1AB BB =，D 是1CC 的中点，那么1CA 与BD 所成角的大小是〔〕A ．30B ．45C ．60D ．9011．正四棱锥的顶点都在同一球面上，假设该棱锥的高为4，底面边长为2，那么该球的外表积为〔〕A ．274πB ．814πC ．9πD ．16π12．假设实数x ，y 满足21x y =-，那么+2y x 的取值范围为〔〕 A ．)3+⎡∞⎣，B ．3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，C ．3+3⎡⎫∞⎪⎢⎪⎣⎭，D ．3,3⎡⎤-⎣⎦ 二．填空题：本大题一一共4小题；每一小题5分，一共20分．13．的值是_______. 14．函数()2x f x =在[]1,3-上的最小值是__________．15．幂函数y=f 〔x 〕的图象过点〔2，〕，那么f 〔9〕=3． 16．函数()()11,1 221,1x x f x a x x ⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩为R 上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是___．三．解答题：本大题一一共6小题，一共70分．17〔10分〕．计算：〔1〕74log 2327log lg25lg473+++〔2〕()()()()()3sin 2sin cos 23cos 2cos ·sin sin παπαπαπααππααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-⋅-⋅⎛⎫-+ ⎪⎝⎭------ 18〔12分〕．角α的终边经过点〔2，-1〕，求sin α，cos ,tan αα的值19〔12分〕．函数()b f x ax x =+〔其中,a b 为常数〕的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.〔1〕判断并证明函数()f x 的奇偶性； 〔2〕证明函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.20．〔12分〕如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，E F 、分别是AC PB 、的中点.〔1〕求证：//EF 平面PCD ；〔2〕求证：平面⊥PBD 平面PAC .21〔12分〕．直线:43100l x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. 〔1〕求圆C 的方程；〔2〕假设直线AB 过点()1,0M ，且与圆C 交于,A B 两点〔A 在x 轴上方，B 在x 轴下方〕，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分ANB ∠？假设存在，求出点N 的坐标；假设不存在，请说明理由.22〔12分〕．二次函数()y f x =的图象经过原点，函数()1f x +是偶函数，方程()10f x +=有两相等实根.〔1〕求()y f x =的解析式；〔2〕假设对任意1,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立，务实数m 的取值范围；2021年春季学期2021级高一开学收心考试数学参考答案1.C2.B3.D4.A5.B6.A7.D解:由题意可得：()21log 3220,123a ==∈，23213b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，2ln 03c =<， 10.D 解:如下列图，取AC 的中点E ，连结,BE DE ，ABC 为等边三角形，那么BE AC ⊥，由正棱柱的性质可得平面11ACC A ⊥平面ABC ，利用面面垂直的性质定理可得：BE ⊥平面11ACC A ，1BE A C ∴⊥，正方形11ACC A 中，11,,CD C D AE CE DE AC ==∴⊥，又DE BE E ⋂=，由线面垂直的判断定理可得：1A C⊥平面BDE ，那么1A C BD ⊥，即1CA 与BD 所成角的大小是90.11.B 【解析】如图，正四棱锥P ABCD -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE AF ，，由球 的性质可知PAF 为直角三角形且AE PF ⊥，根据平面几何中的射影定理可得：2PA PF PE =⋅，解：由题意可得,+2y x 表示右半个圆x 2+y 2=1上的点(x ,y )与原点(0,−2)连线的斜率， 设k =+2y x，故此圆的切线方程为y =kx −2，再根据圆心(0,0)到切线的间隔等于半径,可得r =221k -+=1，平方得k 2=3求得k =±3,故+2y x 的取值范围是)3+⎡∞⎣， 13.解:sin150°•cos240°＝sin30°•〔﹣cos60°〕•〔〕，14.12解:()2x f x =在[]13-，上单调递增∴最小值为()11122f --== 1．解：由题意令y=f 〔x 〕=x a ，由于图象过点〔2，〕，得=2a ，a=∴y=f 〔x 〕=∴f 〔9〕=3． 16.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭解：当1x <时，一次函数单调递减，那么：20,2a a -<∴<，且当1x =时，应满足：()1121112a ⎛⎫-⨯+≥- ⎪⎝⎭，解得：12a ≥，实数a 的取值范围是122a ≤< 17．解析:〔每一小题5分〕〔1〕原式=143log 3lg2542-+⨯+=1152244-++= 〔2〕原式=cos sin cos sin cos cos αααααα--=--18〔每对一个给3分〕解：sin ,cos y x r rαα==由，知 ()225sin 521α===+-，25cos 5α==sin 1tan cos 2ααα==- 19〔第1问5分，第2问7分〕．〔1〕解：∵函数()b f x ax x =+的图象经过()51,2,2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭两点∴25222a b b a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,{ 1.a b ==∴()1f x x x =+. 判断：函数()1f x x x =+是奇函数 证明：函数()f x 的定义域{}0x x ≠，∵对于任意0x ≠，()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，∴函数()1f x x x =+是奇函数. 〔2〕证明：任取121x x ≤<，那么 ∵121x x ≤<，∴1212120,10,0x x x x x x -->， ∴()()12f x f x <.∴()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.20〔每小问6分〕解：〔1〕如图,连结BD ，那么E 是BD 的中点，又F 是PB 的中点，∴PD EF //.又∵⊄EF平面PCD ，⊂PD 面PCD ∴//EF 平面PCD . 〔2〕∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵⊥PA 平面ABC ，∴BD PA ⊥, 又A AC PA = ，∴⊥BD 面PAC .又⊂BD 平面PBD ，故平面PBD ⊥平面PAC .21．解：〔1〕设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，那么410205a a +=⇒=或者5a =-. 当圆心为()5,0-时，圆心在直线l 的左下方，所以0a =.所以圆22:4C x y +=.〔2〕当直线AB x ⊥轴时，x 轴平分ANB ∠. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，(),0N t ，()11,A x y ,()22,B x y ，由()224,1x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=.∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+. 假设x 轴平分ANB ∠，那么12120AN BN y y k k x t x t=-⇒+=--. ()()1212110k x k x x t x t--⇒+=--()()12122120x x t x x t ⇒-+++=， 即()()222224212011k k t t k k -+-+=++，解得4t =. 所以存在定点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.22〔12分〕解析：〔1〕设()()20f x ax bx c a =++≠.由题意，得()00f c ==. ∴()2f x ax bx =+，()()212f x ax a b x b a +=++++∵()1f x +是偶函数，∴202a b a +-=即20a b +=.① ∵()10f x +=有两相等实根，∴0a ≠且240b a ∆=-=②由①②，解得1,2ab ==-，∴()22f x x x =-. 〔2〕假设对任意12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立， 只须()2222log 4log m x x ≥-+在12,8x -⎡⎤∈⎣⎦恒成立. 令()()2222log 4log x x x ϕ=-+，12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，那么()()max 22x φφ==.假设对任意12,8x -⎡⎤∈⎣⎦，()22log 0f x m +≥恒成立，只须满足()max 2m x ϕ≥=. ∴2m ≥.。
高一数学下学期开学考试试题含解析 3
智才艺州攀枝花市创界学校历城第二二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.设211z i=++〔i 是虚数单位〕，那么z =〔〕A.2 D.【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么将复数表示成一般形式，然后利用复数的模长公式可求得结果.【详解】()()()212112111i z i i i i -=+=+=-++-，因此，z == 应选：C.【点睛】此题考察复数模长的计算，涉及复数的四那么运算法那么的应用，考察计算才能，属于根底题. 2.“幸福感指数〞是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.那么这组数据的75%分位数是〔〕 A.7 B.7.5C.8D.8.5【答案】C 【解析】 【分析】先计算75%分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列， 因为75%107.5⨯=，所以这10个人的75%分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.应选：C【点睛】此题主要考察分位数的概念和计算，属于根底题. 3.向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c λ=-，假设()//2c a b+，那么λ=〔〕A.2-B.1-C.12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据向量坐标运算求得2a b +，由平行关系构造方程可求得结果. 【详解】()1,2a =，()2,2b =-()24,2a b ∴+=()//2c a b +24λ∴=-，解得：2λ=-应选：A【点睛】此题考察根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确假设两向量平行，那么12210x y x y -=.4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么以下对立的两个事件是〔〕 A.“至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞 B.恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞 C.“至少1名男生〞与“全是男生〞 D.“至少1名男生〞与“全是女生〞 【答案】D 【解析】从3名男生和2名女生中任选2名学生参加演讲比赛， “至少1名男生〞与“至少有1名是女生〞不互斥； “恰好有1名男生〞与“恰好2名女生〞是互斥不对立事件； “至少1名男生〞与“全是男生〞不互斥； “至少1名男生〞与“全是女生〞是对立事件； 应选D5.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ，一只蚂蚁欲从圆锥的底面圆周上的点A 出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A .那么蚂蚁爬行的最短路程长为〔〕A.8cmB. C.10cm D.5πcm【答案】B 【解析】 【分析】采用数形结合，根据圆锥的展开图，结合弧长公式，可得结果. 【详解】由题可知：蚂蚁沿圆锥侧面爬行一周回到点A ，爬行的最短路程长为1AA如图 作1OCAA ⊥，由圆锥的母线长为5cm ，底面半径为53cm ， 所以1510233lAA ππ===cm 由l OA α=，所以23πα=即123AOA πα∠==，所以3AOC π∠=故sin AC OA AOC =∠=所以12A A C A ==cm应选：B【点睛】此题考察圆锥的展开图，还考察了弧长公式，考验空间想象才能以及思维才能，属中档题. 6.如图，电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相HY 的，灯亮的概率为〔〕 A.316B.34C.1316D.14【答案】C 【解析】 【分析】灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，根据概率公式得到结果． 【详解】由题意知，此题是一个互相HY 事件同时发生的概率，灯泡不亮包括四个开关都开，或者下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件是互相HY 的，∴灯泡不亮的概率是111111111322222222216111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，灯亮和灯不亮是两个对立事件，∴灯亮的概率是31311616-=， 应选：C ．【点睛】此题结合物理的电路考察了有关概率的知识，考察对立事件的概率和项和对立事件的概率，此题解题的关键是看出事件之间的关系，灯亮的情况比较多，需要从反面来考虑，属于中档题． 7.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，那么ED =〔〕A.1233AD AB - B.2133AD AB + C.2133AD AB - D.1233AD AB + 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进展分解后可得结果．【详解】画出图形，如以下列图．选取,?AB AD 为基底，那么()211333AE AO AC AB AD ===+，∴()121333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-．应选C ．【点睛】应用平面向量根本定理应注意的问题〔1〕只要两个向量不一共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决详细问题时，合理选择基底会给解题带来方便．〔2〕利用向量表示未知向量，本质就是利用平行四边形法那么或者三角形法那么进展向量的加减运算或者数乘运算．8.ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，M 在边AB 上，且13AM AB =，2b =，CM =，2sin sin sin 2A B cB b-=，那么ABC S ∆=〔〕C. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换以及特殊角的三角函数求出C 的值，根据平面向量的线性表示求出CM ，再利用模长和三角形的面积公式，计算求值.【详解】解：ABC ∆中，2sin sin sin 2A B cB b-=，∴2sin sin sin sin 2sin A B C B B-=， ∴2sin cos 2sin sin C B A B =-， ∴()2sin cos 2sin cos cos sin sin C B B C B C B =+-，∴1cos 2C =， 又()0,C π∈，∴60C =︒；又13AM AB =， ∴()1133CMCA AM CA AB CA CB CA =+=+=+-2133CA CB =+，∴32CM CA CB =+，∴222944CMCA CB CA CB =++⋅；∴228164a a =++，解得2a=或者6a =-〔不合题意，舍去〕，∴ABC ∆的面积为122sin 602ABC S ∆=⨯⨯︒= 应选：B.【点睛】此题考察理解三角形中的正弦、余弦定理和面积公式、平面向量根本定理应用问题，属于根底题. 二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．在每一小题给出的四个选项里面，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9.如图是我国2021年1月至12月石油进口量统计图〔其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比〕，那么以下说法错误的选项是〔〕A.2021年下半年我国原油进口总量高于2021年上半年B.2021年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C.2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量D.2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量有增有减 【答案】D 【解析】 【分析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.【详解】由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2021年我国原油进口总量高于2021年我国原油进口总量，C 正确；2021年1月至5月的同比数据均为正数，故2021年1月—5月各月与2021年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 应选：D【点睛】此题主要考察统计图表的识别和判断，考察学生抽象概括才能和推理论证才能，属于根底题. 10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据以下条件解三角形，其中有两解的是〔〕A.10,45,70b A C ==︒=︒B.45,48,60b c B ===︒C.14,16,45ab A ===︒ D.7,5,80ab A ===︒【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的断定方法，逐项断定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；对于选项B 中：因为csin sin 115B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解；对于选项C 中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 应选：BC .【点睛】此题主要考察了三角形解得个数的断定，其中解答中熟记三角形解得个数的断定方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于根底题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点,,E F G 分别棱楼111,,AB AA C D 的中点，以下结论中正确的选项是〔〕A.四面体11ACB D 的体积等于312a B.1BD ⊥平面1ACBC.11//B D 平面EFGD.异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可知C 不正确；根据线面垂直的断定定理可知B 正确；根据空间向量夹角的坐标公式可知D 正确；用正方体体积减去四个正三棱锥的体积可知A 不正确．【详解】解：延长EF 分别与11B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ，11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以C 不正确；1⊥BD AC ，11BD B C ⊥，且AC 与1B C 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故B 正确；以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为2，故D 正确；四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故A不正确． 应选：BD 【点睛】12.点O 在ABC ∆所在的平面内,那么以下说法正确的有() A.假设0OA OB OC++=,那么点O 为ABC ∆的重心B.假设0AC AB BC BA OA OB AC AB BC BA ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,那么点O 为ABC ∆的垂心 C.假设()()0OA OB AB OB OC BC +⋅=+⋅=,那么点O 为ABC ∆的外心D.假设OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅,那么点O 为ABC ∆的内心【答案】AC 【解析】 【分析】 逐项进展分析即可.【详解】解：选项A ，设D 为BC 的中点，由于()2OA OB OC OD =-+=-，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，所以O 为ABC ∆的重心；选项B ，向量,||||AC ABAC AB 分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC '和AB '，那么它们的差是向量B C ''，那么当0||||AC AB OA AC AB ⎛⎫⋅-=⎪⎝⎭，即OA B C ''⊥时，点O 在BAC ∠的平分线上，同理由0||||BC BA OB BC BA ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，知点O 在ABC ∠的平分线上，故O 为ABC ∆的内心；选项C ，OA OB +是以,OA OB 为邻边的平行四边形的一条对角线，而AB ｜｜是该平行四边形的另一条对角线，()0AB OA OB ⋅+=表示这个平行四边形是菱形，即||||OA OB =，同理有||||OB OC =，于是O为ABC ∆的外心； 选项D ，由OA OBOB OC ⋅=⋅得0OA OB OB OC ⋅-⋅=，∴()0OB OA OC ⋅-=，即0OB CA ⋅=，∴OBCA ⊥．同理可证,OA CB OC AB ⊥⊥，∴OB CA ⊥，OA CB ⊥，OC AB ⊥，即点O 是ABC ∆的垂心；应选：AC ．【点睛】此题主要考察平面向量在三角形中的应用，考察向量的数量积，考察三角形的“五心〞，属于中档题．三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进展问卷调查，假设从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为． 【答案】9 【解析】130⨯=10，故答案为10. 考点：本试题主要是考察了分层抽样的方法的运用．点评：对于抽样方法，常考察的是分层抽样，在整个抽样过程中，每一个个体被抽到的概率为n:N,即为样本容量与总体的比值，这一点是解题的核心，属于根底题． 14.假设复数z 满足23i,z z +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的一共轭复数，那么z 在复平面内对应的点位于第_____象限. 【答案】四 【解析】 【分析】利用待定系数法求出复数z ，再进展断定. 【详解】设za bi =+，那么z a bi =-，代入可得3i =3i ab +-，由复数相等的定义可得1,1a b ==-，即1z i =-，故z 在复平面内对应的在第四象限.【点睛】此题主要考察一共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.15.圆台的上、下底面都是球O 的截面，假设圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，那么球O 的外表积为__________． 【答案】80π 【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可．【详解】设球半径为R ，球心O 到上外表间隔为x ，那么球心到下外表间隔为6-x,结合勾股定理，建立等式()222224+6x x +=-，解得4x =，所以半径222220R x =+=因此外表积2480SR ππ==【点睛】本道题考察了球外表积计算方法，难度中等． 16.O 是ABC ∆外接圆的圆心，假设4560OA OB OC++=，那么cosC =__________．【解析】设ABC ∆的外接圆的半径为R ，因为4560OA OB OC++=，所以456OA OB OC +=-，那么2222162540cos 36R R R AOB R ++∠=，即8cos 1AOB ∠=-，即28(2cos 1)1C -=-，解得cos C =. 四、解答题：此题一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17.复数()()2zm 5m 6m 2i =-++-〔m R ∈〕．〔1〕假设复数z 为纯虚数，务实数m 的值；〔2〕假设复数z 在复平面内对应的点在第二象限，务实数m 的取值范围． 【答案】〔1〕3m =〔2〕〔2，3〕 【解析】 【分析】〔1〕由纯虚数的概念列方程组求解即可；〔2〕由复数的几何意义得2560{20m m m -+<->，解不等式即可得解. 【详解】〔1〕因为复数z 为纯虚数，所以2560{20m m m -+=-≠， 解之得，3m =．〔2〕因为复数z 在复平面内对应的点在第二象限，所以2560{ 20m m m -+<->， 解之得23{ 2m m <<>，得23m <<． 所以实数m 的取值范围为〔2，3〕．【点睛】此题主要考察了复数的概念及复数的几何意义，属于根底题.18.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：〔1〕直线DE 平面A 1C 1F ；〔2〕平面B 1DE⊥平面A 1C 1F.【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析【解析】试题分析：〔1〕利用线面平行断定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；〔2〕利用面面垂直断定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要屡次利用线面垂直性质定理与断定定理.试题解析：证明：〔1〕在直三棱柱111ABC A B C -中，11A C AC ，在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE AC ，于是11DE AC ，又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F ，所以直线DE//平面11AC F .〔2〕在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA A B C ⊥平面 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA AC ⊥，又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面， 所以11A C ⊥平面11ABB A .因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.又因为1111111111111,,B D A F AC AC F A F AC F AC A F A ⊥⊂⊂⋂=，平面平面，所以111B D AC F ⊥平面.因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE平面11.A C F ⊥平面 【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：〔1〕证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；〔2〕证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；〔3〕证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；〔4〕证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.19.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，cos cos )cos 0(C A A B +=． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设1a c +=，求b 的取值范围．【答案】〔1〕3B π=；〔2〕1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】〔1〕根据三角形角的关系，代入化简三角函数式，即可求得tan B ，进而得角B 的大小；〔2〕根据余弦定理，由根本不等式即可求得12b ≥，再结合三角形边关系求得b 的取值范围. 【详解】〔1〕∵cos cos )cos 0(C A A B +-=，∴cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=，即cos cos sinsin cos cos cos 0A B A B A B A B -++=， ∵sin 0A ≠，∴tan B= ∴3B π=． 〔2〕由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得22222()3132a c b a c ac a c ac +⎛⎫=+-=+-≥-⨯ ⎪⎝⎭2111324⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当12a c==时取等号，∴12b≥，又1b a c<+=，∴b的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】此题考察了三角恒等变形的应用，由余弦定理及根本不等式求边的范围，属于中档题.20.对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组频数频率[10,15) 10[15,20) 24 n[20,25) m p[25,30] 2合计M 1(1)求出表中M，p及图中a的值；(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数．【答案】见解析【解析】(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60.(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是＝1.因为n ＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈1，估计这次学生参加社区效劳人数的中位数是1.样本平均人数是1×0.25＋1×0.6＋2×0.1＋2×0.05＝15，估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是15.考点：中位数、众数、平均数.21.某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量x ，〔1020x ≤≤，单位：公斤〕，其频率分布直方图如下列图，该海鲜每天进货1次，商店每销售1公斤可获利50元；假设供大于求，剩余的削价处理，每处理1公斤亏损10元；假设供不应求，可从其它商店调拨，销售1公斤可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14公斤，商店的日利润为y 元. 〔1〕求商店日利润y 关于需求量x 的函数表达式；〔2〕假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.①求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；②估计日利润在区间[]580760，内的概率. 【答案】(1)30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩ 【解析】【分析】〔1〕根据不同的需求量，整理出函数解析式；〔2〕①利用频率分布直方图估计平均数的方法，结合利润函数得到平均利润；②根据利润区间，换算出需求量所在区间，从而找到对应的概率.【详解】〔1〕商店的日利润y 关于需求量x 的函数表达式为：化简得：30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩〔2〕①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间[)10,12的频率是20.080.16⨯=； 海鲜需求量在区间[)12,14的频率是20.120.24⨯=； 海鲜需求量在区间[)14,16的频率是20.150.30⨯=；海鲜需求量在区间[)16,18的频率是20.100.20⨯=； 海鲜需求量在区间[]18,20的频率是20.050.10⨯=；这5050天商店销售该海鲜日利润y 的平均数为：()()()(116014100.16136014100.24153020140.301730⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+)()20140.20193020140.1083.2153.621915885698.8⨯⨯+⨯+⨯⨯=++++=〔元〕 ②由于14x =时，30142806014140700⨯+=⨯-=显然30280,142060140,1014x x y x x +≤≤⎧=⎨-≤<⎩在区间[]10,20上单调递增， 58060140y x ==-，得12x =；76030280y x ==+，得16x =；日利润y 在区间[]580,760内的概率即求海鲜需求量x 在区间[]12,16的频率：【点睛】此题考察利用频率分布直方图估计平均数的问题，关键在于可以纯熟掌握统计中用样本估计总体的方法，平均数的估计方法为每组区间的中点值与每组区间对应的频率的乘积的总和.22.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．〔1〕证明：DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕2．【解析】【分析】〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的断定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EF BB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，根据〔1〕可知，DE ⊥平面1BCB ，那么D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得d =1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =，结合线面垂直的断定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BCB --的余弦值． 【详解】解：〔1〕取BC 中点F ，连接AF 、EF ， ∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ，∴1BB AF ⊥， 而BC⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ，∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EF DA ，EF DA =， ∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥．∴DE ⊥平面11BCC B ．〔2〕设1AB AC ==，12AA a =，那么BC =2AF =，BD DC ==，∴DF ==∴122BDC S BC DF =⋅=△，1112BCB S BB BC =⋅=，D 到平面1BCB 间隔2DE =，设1B 到面BCD 间隔为d ，由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即1133d =，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ===，解得2a =．因为AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ， 所以AF BC ⊥，又EF⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥， 所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC所以EFD ∠为二面角1D BCB --的平面角，而2DA AF ==，可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒，那么cos cos452EFD ∠=︒=，所以二面角1D BC B --的余弦值为2． 【点睛】此题考察线面垂直的断定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求间隔、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考察推理证明才能和计算才能.。
湖北省新高考联考2023-2024学年高一下学期2月收心考试数学试卷(含答案)
湖北省新高考联考2023-2024学年高一下学期2月收心考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知集合{A x y ==,集合(){}2lg 1B y y x ==+,则A B =( ) A.()0,3B.(]1,3-C.[]0,3D.[)0,+∞2．比较202412023a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,b =12023log2024=的大小( )A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c a b >>3．下列四个函数中以 π 为最小正周期且为奇函数的是( )A.()sin f x =()cos f x x = C.()cos f x x = D.()()tan f x x =-4．已知πsin 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭4π3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )125．已知函数()f x 的部分图象如图所示,则函数()f x 的解析式可能是( )A.()()44xxf x -=-()44x xf x x --=C.()()244log x x f x -=-()()244log x x f x x -=+6．中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知:在室温25C ︒下,某种绿茶用85C ︒的水泡制,经过x min 后茶水的温度为C y ︒,且()0.9085250,x y k x k =⋅+≥∈R ,当茶水温度降至70C ︒时,此时茶水泡制时间大约为( )(结果保留整数,参考数据:ln 20.6931≈,ln3 1.0986≈,ln0.90850.0960≈-). A.2minB.3minC.4minD.5min7．下列选项中是“[]1,2x ∃∈,2260x mx -+>”成立的一个必要不充分条件的是( )A.8m ≤B.8m >C.m ≤8<8．已知()f x 是定义在R 上的函数在()0,+∞上单调递减,且()20f =,函数()2y f x =+的图象关于点()2,0-对称,则不等式()()110x f x +-≥的解集为( ) A.(][),13,-∞-+∞ B.[]1,3- C.[][)1,13,-+∞ D.(][),13,-∞+∞二、多项选择题9．下列说法正确的是( )A.已知集合ππ,42k M x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z 合ππ,24k N x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ,则MNB.终边落在y 轴上的角的集合可表示为{}90π,k k αα=︒+∈ZC.若sin cos 0x x ->,则π5π2π2π,44x x k x k k ⎧⎫∈+<<+∈⎨⎬⎩⎭ZD.在ABC △中,若sin 2sin 2A B =,则ABC △为等腰三角形 10．已知正实数x ,y 满足21x y +=,则( )A.xy ≤≥29y x xy +≥ D.221x y +<11．已知()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列说法正确的有( )A.()f x 图象对称中心为ππ,062k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k ∈ZB.(f xC.()f x 的单调递增区间为5ππππ,122122k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭,k ∈ZD.若()1f x ≥,则5ππππ,12242k k x ⎛⎤∈-+-+ ⎥⎝⎦,k ∈Z12．一般地,若函数()f x 的定义域为[],a b ,值域为[],ka kb ,则称[],a b 为函数()f x 的“k 倍伴随区间”,另函数()f x 的定义域为[],a b ,值域也为[],a b ,则称[],a b 为()f x 的“伴随区间”,下列结论正确的是( )A.若[]2,b 为函数()246f x x x =-+的“伴随区间”,则3b =B.函数()21f x x=+存在“伴随区间” C.若函数()f x m =1,04⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.二次函数()212f x x x =-+存在“3倍伴随区间”三、填空题13．已知幂函数()()215m f x m m x +=+-在()0,+∞上单调递减,则m =______. 14．已知扇形的圆心角为2,其所对弦长也为2,该扇形的面积为______.15．若函数()2cos 2sin f x x x =+π,3θ⎤-⎥⎦上的值域为1,24⎡+⎢⎣,则θ的取值范围为______.16．已知函数()24,510,5x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩,若实数a ,b ,c ,d ,e 满足a b c d e <<<<,且()()()()()f a f b f c f d f e ====,则()()()()()af a bf b cf c df d ef e ++++的取值范围为______.5412log 323110.255log 11log 27-⨯+-⋅ （2）已知11222a a--=,求()331222a a a a --⎛⎫++- ⎪⎝⎭18．已知函数()()()()3sin πcos πsin π25πsin πcos πsin 22f θθθθθθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求11π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;（2）若()2f θ=,求23sin 2sin cos 1θθθ-+的值.19．某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备,经估算该设备每年可为甜品店提供12万元的总收入,已知使用x 年()*x ∈N 所需的总维护费用为22x x +万元. （1）该甜品店第几年开始盈利?（2）若干年后,该甜品店计划以2万的价格卖出设备,有以下两种方案: ①当年平均盈利最大时卖出; ②当盈利总额达到最大时卖出; 试问哪一方案较为划算?说明理由.20．已知函数()()π0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭,函数()f x 图象关于1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,且函数()f x 图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4.（1）求 ω, ϕ的值;（2）求函数()f x 的单调增区间;（3）若方程()0f x m -=在80,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有两个根,求m 的取值范围.21．已知函数())22log 16f x a =+定义域为[)1,+∞.（1）求a 的取值范围;（2）当51,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,函数()442x g x -=()f x 的图象上方,求a 的取值范围.22．定义在D 上的函数()f x ,如果满足:对任意x D ∈,存在常数M >()f x M ≤恒成立,则称()f x 是D 上的有界函数,其中M 称为()f x 的上界.（1）若()421x x f x a =+⋅+在(],0-∞上是以2为上界的有界函数,求a 的取值范围;（2）已知()112xf x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,m 为正整数,是否存在整数k ,使得对*n ∀∈N ,不等式()2m kf n m ≤≤+恒成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由.参考答案1．答案：C解析：令2230x x -++≥解得13x -≤≤,[]1,3A ∴=-,211x +≥,()2lg 10x ∴+≥即[)0,B =+∞,[]0,3A B ∴=. 2．答案：B解析：01a <<,1b >,0c <,b a c ∴>>. 3．答案：D解析：()sin f x =()cos f x x =与()cos f x x =是偶函数,()()tan f x x =-周期为π且为奇函数,故选D. 4．答案：C解析：4ππ3ππcos cos sin 3626ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦5．答案：C解析：由图象可知()f x 为奇函数,且在0x =处无定义,又因为当0x >且0x →时,()0f x <,故选C. 6．答案：B解析：当0x =时,0.90852585k ⋅︒+=,则60k =, 令600.90852570x y =⋅+=,0.9085x ∴=3ln 0.9085ln ln 32ln 24x ==-,解得3x ≈. 7．答案：A解析：[]1,2x ∃∈,2260x mx -+>,即[]1,2x ∃∈,22632x m x x x +⎛⎫<=+ ⎪⎝⎭,max 32m x x ⎡⎤⎛⎫∴<+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即8m <,则“8m <”的必要不充分条件为“8m ≤”. 8．答案：D解析：由函数()2y f x =+的图象关于()2,0-对称可得()f x 图象关于()0,0对称,所以()f x 为R 上的奇函数,则()f x 函数图象大致如图1所示.要解()()110x f x +-≥即()()110x f x +--≥⎡⎤⎣⎦,即()()110x f x +-≤ 即10x +≥时()10f x -≤或者10x +≤时()10f x -≥ 又()1y f x =-图象大致如图2,结合图2可知,上述不等式解集为:{}13x x x ≤≥或. 9．答案：AC解析：集合M 表示终边落在直线y x =±上角的集合,集合N 表示终边落在直线y x =±及坐标轴上角的集合,因此A 正确;B 选项出现角度与弧度混用错误;C 选项sin cos 0x x ->即sin cos x x >,由正,余弦函数图象可知正确;D 选项若sin 2sin 2A B =,则ABC △为等腰三角形或直角三角形,故D 错误.10．答案：ACD解析：由基本不等式得2x y +≥1≤,所以xy ≤确;2211x y =++≤+=()1122255y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭29y ≥即29y x xy +≥,故C 正确;()2222212541x y y y y y +=-+=-+,其中10,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以221x y +<,故D 正确.11．答案：BD解析：令π23x +=∈Z ,则ππ64k x =-+,k ∈Z 即()f x 图象对称中心为ππ,064k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,k ∈Z ;故A 错误;()f x 最小正周期为:π2T =,故B 正确;()f x 无单调增区间,故C 错误;()1f x ≥,即πtan 23x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭5πππ1224k x +<≤∈Z ,故D 正确. 12．答案：AD解析：A.()246f x x x =-+在[]2,x b ∈上单调递增,()f b b ∴=即246b b b -+=,2b ∴=(舍)或3b =,∴选项A 正确; B.()21f x x=+在(),0-∞和()0,+∞上单调递减,若存在“伴随区间”[],a b 则()f a b =,()f b a =即21b a +=.21a b+=由此可得2a =或1a =-.[]1,2x ∈-与()f x 定义域为()(),00,-∞+∞不符合“伴随区间”定义,故B 错误;C.()f x m =[)1,x ∈-+∞单调递减,假设存在“伴随区间”[][),1,a b ⊆-+∞则m a =且m b -=,()()11m b b a b a ∴===-=+-+,=1=1=因此11m am b⎧=-⎪⎨=-⎪⎩1m x ∴=在[)1,-+∞内有两个不同根令t =0t ≥,21t x =+,21x t =-,211m t t =--+1,04m ⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦;D.因为[]4,0x ∈-时,[]12,0y ∈-,所以D 正确. 13．答案：3-解析：因为()()215m f x m m x +=+-为幂函数,所以251m m +-=;解得3m =-或2m =,又因为()f x 在()0,+∞上递减,所以10m +<,故3m =-.2121sin1sin1sin 1⨯=. 15．答案：π4π,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：()21sin 2sin f x x x =-+sin x =,π,3x θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦则221y t t =-++,因为1,24y⎡∈+⎢⎣,当x =sin x ==y =又2y =+1=,结合sin t =θ≤≤16．答案：()0,56解析：()f x 图象大致如图所示:令()()()()()f a f b f c f d f e k =====则04k <<,由图象 易知:4a d +=,4b c +=,610e <<()()()()() af a bf b cf c df d ef e ++++ ()()b c k a d k ek =++++ ()()()8810e k e e =+=+- 2280e e =-++,610e << 所以所求范围为()0,56. 17．答案：（1）6 （2）解析：（1）原式31249log 2762=-+⨯+-=.（2）21112224a a a a --⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭,16a a -∴+=221111222248a a a a --⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 11220a a -+>,1122a a-∴+=原式()()11112212a a a a a a ---⎛⎫=+-++- ⎪⎝⎭)()6162=--=18．答案：（1）解析：（1）()()()()()sin cos cos tan cos cos cos f θθθθθθθθ---==- 1111ππtan πtan 333f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）tan 2θ=原式22222sin 2sin cos cos sin cos θθθθθθ-+=+224tan 2tan 1tan 1θθθ-+=+=19．答案：（1）见解析 （2）见解析解析：（1）设该甜品店x 年后所得总利润为y 则()22122211021y x x x x x =-+-=-+- 若开始盈利即0y >,210210x x ∴-+->,37x <<,∴第四年开始盈利.（2）方案①:设年平均利润为()W x 则()2110y w x x x x ⎛⎫==-++ ⎪⎝⎭ ()w x 在(x ∈上单调递增)x ∈+∞上为单调递减.又*x N ∈,45<<,4x ∴=时,()4w =5x =时()5w =方案②:()22102154y x x x =-+-=--+,max 4y = 即5x =时总利润最大为4万元,故选择方案一或方案二是一样的,最终都是在5x =即第5年总利润达到最大值4万元,加上卖设备的2万元,一共6万元利润. 20．答案：（1） （2）解析：（1）()f x 图象上相邻的最高点与最低点的距离为4.且A =(22162T ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,T ∴=4=,π2w ∴=, 又()f x 图象关于1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称,1ππ32k ϕ∴-⨯+=,k ∈Z ,ππ6k ϕ∴=+,k ∈Z ,又π2ϕ<,ϕ∴=（2）()ππ26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ππππ2π2π2262k x k -+≤+≤+,k ∈Z 解得424433k x k -+≤≤+,k ∈Z ,()f x ∴的单调增区间为424,433k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k ∈Z .（3）80,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,πππ3π,2662x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦, sin y x =在ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增,在π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减m ≤<21．答案：（1）见解析（2）624,,422a ⎛⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2160a +>对[)1,x ∀∈+∞恒成立即2min 16a -<,1x ≥则0≥,2160a ∴-<即44a -<<.（2）()()g x f x >对51,4x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ()()min max g x f x ∴>()116x g x -=51,4⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()min 504g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ())22log 16f x a =+是单调增函数51,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 ()22max 533log 42f x f a ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2233log 02a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭即a ><又44a -<<,624,,42a ⎛⎛⎫∴∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22．答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）令2x t =,(],0x ∈-∞,则(0,1t ∈()2f x ≤在(],0x ∈-∞上恒成212at ++≤在(]0,1t ∈上恒成立,2212t at ∴-≤++≤即3t a t t --≤≤-+y t =-+]0,1上单调递减,min 0y ∴=, 3y t t=--在(]0,1上单调递增,max 4y ∴=-, 综上:40a -≤≤.（2）假设存在k 满足题意,1122n m k m ⎡⎤⎛⎫≤⋅+-≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,*n ∈N 当n 为偶数时,112n m k m ⎡⎤⎛⎫≤⋅+≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112n m k +≤≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭()425m k m ∴≤≤+ 当n 为奇数时,112n m k m ⎡⎤⎛⎫≤⋅-≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2112n m k +≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭22m km ∴≤≤+ 若k 存在,则(4225m k m ≤≤+)220m m +-≥ 即m ≤1m =,即2k ≤≤2k =.。
山东省高一下学期开学考试数学试题
高一下学期收心考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，，则（ ） {}1,2,3,4,5U ={}3,4A ={}2,4B =()U A B = ðAB.C.D.{}2,3,4{}1,3,4,5{}1,3,5{}1,2,3,4,5【答案】B 【解析】【分析】先求出，进而求出. {}1,3,5U B =ð()U A B ⋃ð【详解】，故 {}1,3,5U B =ð()U A B = ð{}1,3,4,5故选：B2. 函数的定义域为（ ）()1y x =-A. B.C.D.()0,1[)0,1(]0,1[]0,1【答案】B 【解析】【分析】根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，进x 而可求得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得.()1y x =-010x x ≥⎧⎨->⎩01x ≤<因此，函数的定义域为.()1y x =-[)0,1故选：B.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 3. 已知命题，，那么命题p 的否定是（ ） :p x R ∃∈210x x -+<A. ， B. ， x R ∃∈210x x -+<x R ∃∈210x x -+≥C. ， D. ，x R ∀∈210x x -+≥x R ∀∈210x x -+<【答案】C 【解析】【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可p 得到命题的否定.【详解】解：命题，的否定是：，. :p x R ∃∈210x x -+<x R ∀∈210x x -+≥故选：C4. 已知，，，则（ ） 0.33a =0.413b -⎛⎫= ⎪⎝⎭4log 0.3c =A.B.C.D.b ac >>a c b >>c b a >>c a b >>【答案】A 【解析】【分析】根据指对数函数的性质判断a 、b 、c 的大小. 【详解】由，0.40.0.4434log 0.3log 131303a c b -=<=<<=⎛⎫== ⎪⎝⎭所以. b a c >>故选：A5. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其0.23(53)()=1e t I K t --+中K 为最大确诊病例数．当I ()=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为（ ）*t *t （ln19≈3） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69【答案】C 【解析】【分析】将代入函数结合求得即可得解.t t *=()()0.23531t KI t e--=+()0.95I t K *=t*【详解】，所以，则()()0.23531t K I t e --=+ ()()0.23530.951t KI t K e**--==+()0.235319t e *-=，所以，，解得. ()0.2353ln193t *-=≈353660.23t *≈+≈故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 6. 高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整[]y x =[]x x 数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如[]1.71=[]1.22-=-{}x x {}[]x x x =-，．若函数（，且）有且仅有 个{}1.70.7={}1.20.8-={}1logay x x =-+0a >1a ≠3不同的零点，则实数的取值范围是（ ） a A. B.C. D.(]2,3[)2,3(]3,4[)3,4【答案】D 【解析】【分析】将函数的零点问题转化为的图象与函数的图象有且仅有个log ay x ={}1y x =-3交点的问题，根据高斯函数的定义，求出的解析式，作出其图象，数形结合即可{}1y x =-得参数的取值范围．【详解】函数有且仅有3个零点， {}1log a y x x =-+即的图象与函数的图象有且仅有个交点．log ay x ={}1y x =-3而，{}[]1,012,12113,234,34x x x x y x x x x x x x -<<⎧⎪-≤<⎪⎪=-=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⋅⋅⋅⎪⎩画出函数的图象， {}1y x =-易知当时，与的图象最多有1个交点，故，01a <<log a y x ={}1y x =-1a >作出函数的大致图象，结合题意可得，解得：，log ay x =log 31log 41a a≤⎧⎨>⎩34a ≤<所以实数的取值范围是， a [)3,4故选：D ．7. 已知且，函数，满足时，恒有0a >1a ≠()()233,1log ,1aa x a x f x x x ⎧--+<=⎨≥⎩12x x ≠成立，那么实数a 的取值范围（ ）()()12120f x f x x x ->-A. B.C.D.()1,251,3⎛⎤ ⎥⎝⎦()1,+∞5,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】由题可知函数在区间R 上为增函数，则f (x )在x ＝1左右两侧均为增函数，()f x 且左侧在x ＝1出函数值小于或等于右侧在x ＝1出函数值. 【详解】由题可知函数在区间R 上为增函数，()f x 则，解可得.()2012330a a a a ⎧-⎪⎨⎪--≤⎩＞＞＋524a ≤：＜故选：D.8. 函数的图象关于原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同()y f x =()y f x =学发现可以推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),a b 为奇函数，则的对称中()y f x a b =+-()1202120221220222023x x x x f x x x x x +++=++⋅⋅⋅++++++心为（ ） A.B.C.D.()1011,2022-()1011,2022()1012,2023-()1012,2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意设函数的对称中心为点，进而结合为()y f x =(),a b ()y f x a b =+-奇函数得，再解方程即可得答案.404620220240b a -=⎧⎨+=⎩【详解】解：由题设函数的对称中心为点，则， ()y f x =(),a b ()y f x a b =+-所以，即， ()()0f x a b f x a b -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()20f x a f x a b ++--+=因为()1202120221220222023x x x x f x x x x x +++=++⋅⋅⋅++++++，111120231220222023x x x x ⎛⎫=-++⋅⋅⋅++ ⎪++++⎝⎭所以()111120231220222023x a x a x a x f x a a ⎛⎫=-++⋅⋅⋅++ ⎪-++--+++-++-++⎝⎭，，()111120231220222023f x a x a x a x a x a ⎛⎫+=-++⋅⋅⋅++ ⎪++++++++⎝⎭所以()()2f x a a b f x ++--+1111404621220222023b x a x a x a x a ⎛⎫=--++⋅⋅⋅++ ⎪++++++++⎝⎭11111220222023x a x a x a x a ⎛⎫-++⋅⋅⋅++ ⎪-++-++-++-++⎝⎭1111404621202322022b x a x a x a x a ⎛=--++++++-++++-++⎝11112202212023x a x a x a x a ⎫⋅⋅⋅++++⎪-++++-++++⎭()()()()2202422024404621202322022a a b x a x a x a x a ⎡++=--++⎢++-++++-++⎢⎣恒成立，()()()()2202422024022********a a x a x a x a x a ⎤++⋅⋅⋅++=⎥-++++-++++⎥⎦所以，解得，404620220240b a -=⎧⎨+=⎩10122023a b =-⎧⎨=⎩所以函数的对称中心为点 ()y f x =()1012,2023-故选：C二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 下列结论正确的是（ ） A.B.2=±23x =C. D.3log 92=()222log 6log 4log 641-=-=【答案】BC 【解析】【分析】根式的运算及根式与指数互化判断A 、B ；应用对数的运算性质判断C 、D.【详解】A ，故错误；B ，故正确；C ：2=23x =，故正确；D ：，故错误. 2333log 9log 32log 32===222263log 6log 4log log 42-==故选：BC.10. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列选项互为互斥事件的是（ ） A. 至少有一个白球和全是白球 B. 至少有一个白球和全是红球 C. 恰有一个白球和恰有2个白球 D. 至少有一个白球和至少有一个红球【答案】BC 【解析】【分析】需要区分互斥事件与对立事件的区别，再结合发生事件的特点逐一判断即可． 【详解】互斥事件不一定是对立事件，可类比为集合中互无交集的几个子集，而对立事件一定是互斥事件且满足两事件概率之和为1；对A ：至少有一个白球包括：一个红球一个白球和两个白球两种情况，全是白球指的是：两个白球，显然两个事件不是互斥事件，不符合题意；对B ：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，显然至少有1个白球和全是红球是互斥事件和对立事件，符合题意；对C ：恰有1个白球和恰有两个白球显然是互斥事件，但不是对立事件，事件还包括：恰有两个红球，符合题意；对D ：至少一个白球包括：一红一白和两个白球，至少一个红球包括：一红一白和两个红球，两事件不互斥，不符合题意； 故选：BC11. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若，则 0a b <<2ab b >B. 若，则0a b >>b aa b>C. 若对，恒成立，则实数m 的最大值为2 (0,)∀∈+∞x 1x m x+≥D. 若，， ，则的最小值为4 0a >0b >1a b +=11a b+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的性质可以说明A 正确；利用中间值验证B 错误；利用基本不等式1加上恒成立可以说明C 正确；巧用“”可以说明D 正确.1【详解】，，左右两边同时乘以得，故A 正确；a b < 0b <b 2ab b >，故B 错误； 01,1,a b a ba b b a b a>>∴><∴> ，，，要使恒成立，则，故实数(0,)x ∈+∞ 12x x +≥=1x m x +≥1(min m x x ≤+m 的最大值为2，故C 正确；，，，故0a > 0b >1111a b a b a b ∴++=()(+)22224b a a b =++≥+=+=的最小值为4，故D 正确. 11a b+故选：ACD12. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（ ）A. 对于圆O ，其“太极函数”有1个B. 函数是圆O 的一个“太极函数”()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩C. 函数不是圆O 的“太极函数”()33f x x x =-D. 函数是圆O 的一个“太极函数”())ln f x x =+【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数，当时，()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩0x ≥，当时，，故()()2f x x x f x -=-+=-0x <()()2f x x x f x +-==-为奇函数，故根据对称性可知函数为圆()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩O 的一个“太极函数”，故正确；对于C 选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O 的R ()()33f x x x f x -=-+=-一个“太极函数”，故错误； 对于D 选项， 函数定义域为，R，故为奇函()))()lnln ln x x f x f x =-==--=--数，故函数是圆O 的一个“太极函数”，故正确.())ln f x x =+故选：BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数且的图象恒过定点A ，则A 坐标为______．()(110x f x a a -=+>)1a ≠【答案】 ()1,2【解析】【分析】令，函数值是一个定值，与参数a 无关，即可得到定点. 10x -=【详解】令，则，，10x -=1x =()11112f a -=+=所以函数图象恒过定点为. ()1,2故答案为：()1,214. 求方程的解所在区间是________. 3log 3x x +=【答案】 ()2,3【解析】【分析】令，利用零点存在定理即得.()3log 3f x x x =+-【详解】构造函数，函数在上单调递增， ()3log 3f x x x =+-()0,∞+∵, ()()3320,3log (33310,230)log 21()f f f f <=+->⋅==<-∴函数在存在零点. ()f x ()2,3故答案为：.()2,315. 某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______． 【答案】2【解析】【分析】先由数据的平均数公式求得，再根据方差的公式计算． a 【详解】解：由题可知样本的平均值为1，，解得， ∴1(0123)15a ++++=1a =-样本的方差为．∴222221[(11)(01)(11)(21)(31)]25--+-+-+-+-=故答案为2.【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题． 16. 已知函数a ，，使在上的值域()f x m =+()b a b <()f x [],a b 为，则实数m 的取值范围是______． [],a b 【答案】 9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】【分析】由题设，将问题转化为与在上有两个交点，进而构y x m =-y =2x ≥-造，研究其在上有两个零点的情况下的取值范22()(21)2g x x m x m =-++-[2,)-+∞m 围即可.【详解】由题设，为增函数且定义域为，要使在上的值域为()f x [2,)-+∞()f x [,]a b [,]a b ，∴，易知：，()()2f a m a f b m b b a ⎧=+=⎪⎪=+=⎨⎪>≥-⎪⎩a mb m=-=-∴与在上有两个交点，即在y x m =-y =2x ≥-22(21)20x m x m -++-=上有两个根且恒成立即，[2,)-+∞0x m -≥2m ≤-∴对于，有， 22()(21)2g x x m x m =-++-()()()()222Δ214202122222210m m m g m m ⎧=+-->⎪⎪+>-⎨⎪-≥+++≥⎪⎩可得， 924m -<≤－故答案为：9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知集合，．{}22A x a x a =-≤≤+106x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭（1）当时，求集合B 与；1a =A B （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． x A ∈x B ∈【答案】（1），；{}16B x x =<<{}13A B x x ⋂=<≤（2）. ()3,4【解析】【分析】（1）解分式不等式求集合B ，再由集合的交运算求. A B （2）由题设可知，结合已知列不等式求参数a 的范围. A B Ü【小问1详解】 由，则或，得．106x B xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭1060x x -<⎧⎨->⎩1060x x ->⎧⎨-<⎩{}16B x x =<<当时，集合， 1a ={}{}2213A x a x a x x =-≤≤+=-≤≤所以； {}13A B x x ⋂=<≤【小问2详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，又，x A ∈x B ∈A B Ü{}22A x a x a =-≤≤+所以，解得，即实数a 的取值范围是．2126a a ->⎧⎨+<⎩34a <<()3,418. 已知函数．()()()22log 2log 2f x x x =+--（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； ()f x ()f x （2）解关于x 的不等式． ()()2log 1f x x ≥-【答案】（1），奇函数()2,2-（2） [)0,1【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质可求得定义域；根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；()f x （2）将化为，再利用函数的单调性得到()()2log 1f x x ≥-()222log log 12x x x +⎛⎫≥- ⎪-⎝⎭，解不等式结合函数的定义域可得答案. 212xx x+≥--【小问1详解】 由，得函数的定义域为，定义域关于原点对称，2020x x +>⎧⎨->⎩()f x ()2,2-又, ()()()()22log 2log 2f x x x f x -=--+=-所以函数奇函数； ()f x 【小问2详解】因为， ()()()2222log 2log 2log 2x f x x x x +⎛⎫=+--= ⎪-⎝⎭所以不等式可化为， ()()2log 1f x x ≥-()222log log 12x x x +⎛⎫≥-⎪-⎝⎭因为在是增函数，所以有， 2log y x =()0,∞+212xx x+≥--又，所以，解得，又，20x ->240x x -≤04x ≤≤1022x x ->⎧⎨-<<⎩因此不等式的解集为． ()()2log 1f x x ≥-[)0,119. 已知函数.()223f x x ax =--（1）若，求不等式的解集；1a =()0f x ≥（2）已知在上单调递增，求的取值范围； ()f x [)3,+∞a （3）求在上的最小值. ()f x []1,2-【答案】（1）(,1][3,)-∞-+∞ （2）(,3]-∞（3） ()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩【解析】【分析】（1）当时，得到函数，结合一元二次不等式的解法，即1a =()223f x x x =--可求解不等式的解集；()0f x ≥（2）结合二次函数的图象与性质，即可求解；（3）根据二次函数的图象与性质，分、和，三种情况讨论，即可1a <-12a -≤≤2a >求解.【小问1详解】解：当时，函数，1a =()223f x x x =--不等式，即，解得或， ()0f x ≥223(1)(3)0x x x x --=+-≥1x ≤-3x ≥即不等式的解集为. ()0f x ≥(,1][3,)-∞-+∞ 【小问2详解】解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，()223f x x ax =--()f x x a =要使得在上单调递增，则满足， ()f x [)3,+∞3a ≤所以的取值范围为. a (,3]-∞【小问3详解】解：由函数，可得的图象开口向上，且对称轴为，()223f x x ax =--()f x x a =当时，函数在上单调递增，所以最小值为； 1a <-()f x []1,2-()f x ()122f a -=-当时，函数在递减，在上递增， 12a -≤≤()f x []1,a -[],2a 所以最小值为；()f x ()23f a a =--当时，函数在上单调递减，所以最小值为，2a >()f x []1,2-()f x ()214f a =-综上可得，在上的最小值为. ()f x []1,2-()2min22,13,1214,2a a f x a a a a -<-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩20. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A 、B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 6273819295857464537678869566977888827689B 地区： 7383625191465373648293 48 95 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度的平均值及分散程度（不要求算出具体值，给出结论即可）：（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）0.44【解析】【分析】（Ⅰ）根据调查数据和茎叶图的定义，可做出茎叶图，通过图中的数据的分散程度，可得结论；（Ⅱ）事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，分为两种情况：第一种情况是：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为不满意”；第二种情况是“A地区用户满意度等级为非常满意”，同时“B地区用户满意度等级为满意”，分别求出其概率，再运用概率的加法公式可得值；【详解】（Ⅰ）两地区用户满意度评分的如下通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散． （Ⅱ）记表示事件：“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”；1A C 表示事件：“A 地区用户满意度等级为非常满意”； 2A C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为不满意”； 1B C 表示事件：“B 地区用户满意度等级为满意”．2B C 则与独立，与独立，与互斥，．1A C 1B C 2A C 2B C 1B C 2B C 1122B A B A C C C C C = 1122()()B A B A P C P C C C C = 1122()()B A B A P C C P C C =+．1122()()()()B A B A P C P C P C P C =+由所给数据得，，，发生的概率分别为，，，． 1A C 2A C 1B C 2B C 1620420920820故，，， 1()A P C 16=202()=A P C 4201()=B P C 9202()B P C 8=20故． 1684()=+0.44202020920P C ⨯⨯=【点睛】本题考查茎叶图和特征数，求互斥事件和独立事件的概率，关键在于将事件分成相互独立互斥事件，分别求其概率，再运用概率的加法公式，属于中档题． 21. 已知函数（a ＞0且）是偶函数，函数()()log 1xa f x a bx =++1,ab ≠∈R （a ＞0且）． ()x g x a =1a ≠（1）求b 的值； （2）若函数有零点，求a 的取值范围； 1()()2h x f x x a =--（3）当a ＝2时，若，使得恒成12(0,),x x ∀∞∃∈+∈R ()()()112220g x mg x f x +->立，求实数m 的取值范围．【答案】（1） 12b =-（2）(1,)+∞（3） [0,)+∞【解析】【分析】（1）根据f （x ）为偶函数，由f （－x ）＝－f （x ），即对恒成立求解；()()log 1log 12x x a a a a bx -+-+=x ∀∈R （2）由有零点，转化为有解，令()()log 1xa h x a x a =+--1log 1a xa a⎛⎫+= ⎪⎝⎭，转化为函数y ＝p （x ）图象与直线y ＝a 有交点求解； 1()log 1e xp x a⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3）根据，使得成立，由12(0,),x x ∞∀∈+∃∈R ()()()11222g x mg x f x +>求解.()()()112min min 22g x mg x f x ⎡⎤⎡⎤+>⎣⎦⎣⎦【小问1详解】解：因为f （x ）为偶函数，所以，都有f （－x ）＝－f （x ）， x ∀∈R 即对恒成立，()()log 1log 1xx a a abx a bx -+-=++x ∀∈R 对恒成立()()log 1log 12x x a a a a bx -+-+=x ∀∈R ，对恒成立，()11log log 1log 2x x a a a x x a a x bx a a ⎛⎫+-+==-= ⎪⎝⎭x ∀∈R 所以． 12b =-【小问2详解】因为有零点()()log 1xa h x a x a =+--即有解，即有解． ()log 1xa a x a +-=1log 1a xa a⎛⎫+= ⎪⎝⎭令，则函数y ＝p （x ）图象与直线y ＝a 有交点， 1()log 1a xp x a ⎛⎫=+⎪⎝⎭当0＜a ＜1时，无解； 11111,()log 10,log 1a a x x x p x a a aa⎛⎫⎛⎫+>=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当a ＞1时，在上单调递减，且， 11x u a =+(,)-∞+∞111xu a =+>所以在上单调递减，值域为． 1()log 1a xp x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(,)-∞+∞()p x (0,)+∞由有解，可得a ＞0，此时a ＞1， 1log 1a xa a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭综上可知，a 的取值范围是； (1,)+∞【小问3详解】， ()21()log 212x f x x =+-当时，， 2x ∈R ()()()222222222222212log 21log log 222x x x x x f x x -⎛⎫+=+-==+ ⎪⎝⎭由（2）知，当且仅当时取等号，所以的最小值为1， 22222x x -+≥20x =()22f x 因为，使得成立， 12(0,),x x ∞∀∈+∃∈R ()()()11222g x mg x f x +>所有， ()()()112min min 221g x mg x f x ⎡⎤⎡⎤+>=⎣⎦⎣⎦即对任意的恒成立， 112221x x m +>1>0x 设，12,1xt t =>所以当t ＞1时，恒成立， 21t mt +>即，对t ＞1恒成立， 1m t t>-设函数在单调递减， 1()h t t t=-(1,)+∞所以，()(1)0h t h <=所以m ≥0，即实数m 的取值范围为． [0,)+∞22. “春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额13013051305212060⎡⎤⎢-⨯=⨯⎥=⎣⎦-元，其中表示不大于x 的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支[]x 付额元． 860860540175060⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦（1）小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由；（2）已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？【答案】（1）一次支付好，理由见解析（2）购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【解析】【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案；（2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【小问1详解】 分两次支付：支付额为元; 2506502505650540230600407906060⎡⎤⎡⎤-⨯+-⨯-=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦一次支付：支付额为元, 900900540274560⎡⎤-⨯-⨯=⎢⎥⎣⎦因为，所以一次支付好； 745790<【小问2详解】 设购买件，平均价格为y 元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购()*x x N ∈买19件，当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 114x ≤≤当时，，， 114x ≤≤130530530602x x y x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯=-⨯ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭*n N ∈当时，，； 2x n =53027.52y n n=-⨯=*n N ∈当时，，． 21x n =+()555303027.5212221y n n n =-⨯=-+>++*n N ∈所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 114x ≤≤当时，能享受每满400元再减40元的优惠15x 19≤≤ 1305403054030602x x y x x x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-⨯-=-⨯- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭当时，， 2x n =540203027.522y n n n n=-⨯-=-当，时，;8n =16x =min 25y =当时，， 21x n =+()540575303021212221y n n n n =-⨯-=--+++y 随着n 的增大而增大，所以当，时，．7n =15x =min 25y =综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件。
高一数学下学期收心考试试题 2
智才艺州攀枝花市创界学校柳江二零二零—二零二壹高一数学下学期收心考试试题注意：1．请把答案填写上在答题卡上，否那么答题无效.2．选择题，请需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的信息涂黑。
非选择题，请用0.5mm 黑色签字笔在答题卡上规定的正确位置答题.第I 卷〔选择题，一共60分)一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕1．假设点(3,4)P -在角α的终边上，那么sin α=〔〕A ．45-B ．45 C ．35D ．352．sin 0θ<，tan 0θ>，那么θ是〔〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．将三进制数()32120转化为十进制数，以下选项里面正确的选项是〔〕 A ．68B ．69C ．70D ．714．某校有男生450人，女生500人，现用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为95的样本，那么抽出的男生人数是〔〕 A ．45B ．50C ．55D ．605．某班有学生60人，现将所有学生按照0，1，2，…，59随机编号，假设采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，且编号为2，32，47的学生在样本中，那么样本中还有一个学生的编号为〔〕 A ．26B ．23C ．17D ．136．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，那么甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为〔〕A ．13B ．23C ．14D ．347．扇形的圆心角为2，周长为8，那么扇形的面积为〔〕 A ．2B ．4C ．8D ．168．执行如下列图的程序框图，那么输出的n =() A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．用秦九韶算法求多项式5432()531f x x x x x x =-++-+当2x =时的值时，3v =()A ．3-B ．5-C ．9-D ．21-10．下表是某单位1~4月份用水量〔单位：百吨〕的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 3.05y x =+，那么表中a 的值是〔〕 A ．5.55B ．6C ．6.2D ．6.511．两同心圆的半径之比为1:3，假设在大圆内任取一点M ，那么点M 在小圆内的概率为() A ．13B ．16C ．18D ．1912．同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是〔〕 A ．“至少有1枚正面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞 B ．“至少有1枚正面朝上〞与“至少有1枚反面朝上〞 C ．“恰有1枚正面朝上〞与“2枚都是正面朝上〞 D ．“至少有1枚反面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞第II 卷〔非选择题，一共90分)二．填空题〔一共20分，每一小题5分〕13．72和168的最大公约数是______. 14．1sin cos 5θθ-=，那么sin cos θθ的值是__________. 15．2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值等于______. 16．从编号为1，2，3，4的张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，那么第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________. 三．解答题〔一共70分〕 17．〔10分〕求以下各式的值： (1)()()sin1395cos1110cos 1020sin750-︒︒+-︒︒；(2)1112sin cos tan 465πππ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭． 18〔12分〕．3sin 5θ=，02πθ<<. 〔1〕求tan θ的值； 〔2〕求2sin cos sin 2cos θθθθ-+的值.19．〔12分〕某赛季，甲、乙两名篮球运发动都参加了7 甲：15,17,14,23,22,24,32；乙：12,13,11,23,27,31,30. (2)20．〔12分〕某校某班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，分数在110～120的学生有14人.(1)求总人数N 和分数在120～125的人数n ；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？21．〔12分〕随着我国经济的开展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款〔年底余额〕如下表：〔1〕求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+；〔2〕用所求回归方程预测该地区2021年()7t =的人民币储蓄存款.〔附：()()()1122211====---==--∑∑∑∑nniii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx =-a y bx ，其中x ，y 为样本平均值〕22．〔12分〕从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12,B B 的盒子中，随机取出2个球.〔1〕用球的标号列出所有可能的取出结果； 〔2〕求取出的2个球都是红球的概率.参考答案1．B2．C3．B4．A5．C6．B7．B设该扇形的半径为r ，弧长为l ，那么2lr =，且28l r +=，所以有42l r =⎧⎨=⎩， 所以，该扇形的面积为142S lr ==. 8．C 9．C 由题意得，()()()()()51131f x x x x x x =-++-+，那么当2x =时，有1253v =-=-，23215v =-⨯+=-，35219v =-⨯+=-.应选C.10．C 由样本中心点(),x y 满足线性回归方程求解即可.解：由图表数据可得1234542x +++==，4571644a ay ++++==，又用水量y 与月份x 之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是 3.05y x =+，那么1653.0542a +=+，那么a 6.2=，11．D 设小圆的半径为r ，那么大圆的半径为3r ， 所以小圆的面积为：21S r π=，大圆的面积为：()22239S r r ππ=⋅=.所以点M 在小圆内的概率为：2122199S r P S r ππ===. 12．C在A 中，“至少有1枚正面朝上〞与“2枚都是反面朝上〞不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上〞不发生时，“2枚都是反面朝上〞一定发生，故A 中的两个事件是对立事件；在B 中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上〞与“至少有1枚反面朝上〞能同时发生，故B 中的两个事件不是互斥事件；在C 中，“恰有1枚正面朝上〞与“2枚都是正面朝上〞不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C 中的两个事件是互斥而不对立事件；在D 中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上〞“2枚都是反面朝上〞能同时发生，故D 中的两个事件不是互斥事件. 13．2414．1225 由1sin cos 5θθ-=，平方可得221cos 2sin cos 12sin cos 25sin θθθθθθ+-=-=. 解得12sin cos 25θθ=.15．23cos 424sin πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos 33πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故答案为23.16．解：〔1〕原式111sin 45cos30cos 60sin 30224=︒︒+︒︒=⨯==；〔2〕原式221sin 2cos 2tan(40)sin cos 065652πππππππ⎛⎫⎛⎫=-++++=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．〔1〕02πθ<<，4cos 5θ∴===，因此，sin 353tan cos 544θθθ==⋅=；〔2〕原式2sin cos 31212tan 1142cos cos 42sin 2cos 311tan 2211112cos cos 44θθθθθθθθθθ-⨯--=====⨯=+++. 19．(1)甲中位数是22，乙中位数是23；(2)21x =甲，21x =乙，22367S =甲，24667S =乙，甲运发动的成绩更稳定． 〔1〔2比较甲、乙两名运发动的成绩即可. 【详解】〔132,24,23,22,17,15,14.31,30,27,23,13,12,11.∴2223.〔2〕1(15171423222432)217x ==甲＋＋＋＋＋＋， 1(12131123273130)217x ==乙＋＋＋＋＋＋，22221236[(2115)(2117)(2132)]77S =⋯=甲－＋－＋＋－， 22221466[(2112)(2113)(2130)]77S =⋯=乙－＋－＋－， ∴22S S <甲乙， ∴甲运发动的成绩更稳定．【点睛】此题考察中位数、平均数、方差的定义及应用，属于根底题. 20．〔1〕40,4Nn ==；〔2〕众数107.5，中位数110.解：〔1〕分数在110~120内的学生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，所以该班总人数14400.35N==. 分数在120~125内的学生的频率为()210.010.040.050.040.030.0150.10P =-+++++⨯=，分数在120~125内的人数400.104⨯=.〔2〕由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为105110107.52+=. 设中位数为a ，∵0.0150.0450.0550.50⨯+⨯+⨯=， ∴110a =.∴众数和中位数分别是10，110. 21．〔1〕 1.2 3.6y t =+〔2〕12〔1〕根据题意得：1234535t ++++==，5678107.25++++==y ，5115263748510120==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑i ii t y，22222211234555==++++=∑nii t，152211201081.255455==--===--∑∑ni ii i i t y nt yb t t，7.2 1.23 3.6=-=-⨯=a y bt ，所以y 关于t 的线性回归方程 1.2 3.6y t =+〔2〕当t =7时，y=×7+=12〔千亿元〕． 22．解：〔1〕随机取出2个球的可能的结果有：11213112223212132312,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A A A A A A B B ；〔2〕取出的2个球都是红球的结果有121323,,A A A A A A ， 那么取出的2个球都是红球的概率310P =. .。
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题(含答案解析)
安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为（）A ．12⎛- ⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛- ⎝⎭D ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（）A ．154B ．415C ．158D ．1203．已知实数0x y >>，且111216x y +=+-，则x y -的最小值是（）A ．21B ．25C ．29D ．334．已知函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则a 的取值范围是（）A ．()1B ．)1,2C ．(D ．312⎛⎫⎪⎝⎭5．函数sin 4xx xy e +=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．已知函数()4f x x x =+，()2xg x a =+，若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，则实数a 的取值范围是（）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)3,∞-+D ．[)1,+∞8．设函数11lg(2),2(),10,2x x x f x x -+->⎧⎪=⎨≤⎪⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的范围是A ．(1,10]B ．1(,10]10C ．(1,)+∞D ．(0,10]二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角B ．将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30-︒C ．终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．在一个半径为3cm 的圆上画一个圆心角为30︒的扇形，则该扇形面积为23πcm 210．已知幂函数223()(1)mm f x m m x +-=--，对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若,a b R ∈且()()0f a f b +<，则下列结论可能成立的有（）A ．0a b +>且0ab <B ．0a b +<且0ab <C ．0a b +<且0ab >D ．以上都可能11．下列说法中正确的是（）A ．已知函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，则a 的取值范围是()1,2B ．在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于y 轴对称C ．在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称D ．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-内有1010个零点，则函数()f x 的零点个数为202112．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（）A ．11x y+的最小值是4B ．11y x -+最小值为-1C ．22xy +的最小值是2D ．(1)x y +的最大值是94三、填空题13．已知函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义在()0,∞+上的增函数，则a 的取值范围是______.14．函数tan 216y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象的对称中心的坐标为___________.15．若函数()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则a 的取值范围是________.16．关于函数()()4sin 23f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中正确的是_______.（填序号）①()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；②()y f x =的图象关于直线6x π=对称；③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =的表达式可改写为()4cos(2)6f x x π=-.四、解答题17．已知集合()()}0{1|A x x a x a =--+≤，{}2|20B x x x =+-<．(1)若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；(2)设命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->，若命题p 为假命题，求实数m 的取值范围．18．已知α是第四象限角．(1)若cos α=()()π3πcos sin 222sin πcos 2παααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++-的值；(2)若25sin 5sin cos 10ααα++=，求tan α的值．19．已知函数()12sin .26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()1求()f x 的最小正周期及其单调递增区间；()2若[],x ππ∈-，求()f x 的值域．20．已知函数()3131-=+x x f x ．(1)证明函数()f x 为奇函数；(2)解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．21．某生物病毒研究机构用打点滴的方式治疗“新冠”，国际上常用普姆克实验系数（单位：pmk ）表示治愈效果，系数越大表示效果越好．元旦时在实验用小白鼠体内注射一些实验药品，这批治愈药品发挥的作用越来越大，二月底测得治愈效果的普姆克系数为24pmk ，三月底测得治愈效果的普姆克系数为36pmk ，治愈效果的普姆克系数y （单位：pmk ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份．（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4711≈）22．已知函数22()log log 24x xf x =⋅．(1)求函数f （x ）的值域；(2)若12()()f x f x m ==，且2140x x >>，求实数m 的取值范围．参考答案：1．D【分析】由题意得5π6ππ23QOx ∠=+=，从而得到π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合诱导公式求出答案.【详解】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，所以5π6ππ23QOx ∠=+=，所以π55cos ,πsin 66Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中25coscos cos 6611π6πππ⎛⎫=-=- ⎭=-⎪⎝，25s s 1in sin in 66ππ611ππ⎛⎫=-= ⎭=⎪⎝，即Q 点的坐标为：221⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．故选：D ．2．A【分析】根据扇形面积公式得到面积为120步，设出扇形圆心角，根据212S R α=求出扇形圆心角.【详解】因为直径16步，故半径为8R =步，3081202S ⨯==（平方步），设扇形的圆心角为α，则212S R α=，即1151206424αα=⨯⇒=．故选：A 3．A【分析】根据基本不等式即可求解.【详解】∵0x y >>，等式111216x y +=+-恒成立，∴()()111321621x y x y x y ⎛⎫-+=++-+ ⎪+-⎝⎭，由于0x y >>，所以10,20y x ->+>∵()11212122242112x y x y x y y x ⎛⎫+-+++-=++≥+ ⎪+--+⎝⎭，当且仅当21x y +=-时，即10,11x y ==-时取等号．∴()1346x y -+≥，∴21x y -≥，故x y -的最小值为21．故选：A 4．A【分析】令()2()215t x x a x =--+，根据对数函数的性质可得11(1)0a t a ->⎧⎨->⎩，从而得解.【详解】令()2()215t x x a x =--+，为开口向上的抛物线，对称轴为1x a =-函数()()2lg 215f x x a x ⎡⎤=--+⎣⎦在区间()1,+∞上有最小值，则()2215t x a x =--+在()1,+∞上先减后增，所以22211(1)(1)2(1)5(1)50a t a a a a ->⎧⎨-=---+=--+>⎩，解得21a <<.故选：A.5．A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e +=的定义域为R ，且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ；当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →，结合选项，可得A 选项符合题意.故选：A.6．C【分析】对于A ，求出函数的对称轴，可知不存在Z k ∉使得对称轴为直线π12x =-，A 错误；对于B ，求出函数的对称中心，可知不存在Z k ∉使其一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，由()f x 求出6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C 正确；对于D ，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出整体π23u x =-的范围，验证cos y u =不是单调递增，D 错误.【详解】由π2=π,Z 3x k k -∈解得ππ,Z 62k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为ππ,Z 62k x k =+∈，由πππ6212k +=-解得1Z 2k =-∉，故A 错误；由ππ2=π+,Z 32x k k -∈解得5ππ,Z 122k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由5πππ1226k +=解得1Z 2k =-∉，故B 错误；πcos 2cos2663y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而()()cos 2cos 2cos 2x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦，所以6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确；令π23u x =-，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，此时cos y u =在ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不是单调递增函数，故D 错误.故选：C.7．C【分析】根据题意得到()()min max f x g x ≤，根据函数单调性得到()min 5f x =，()max 8g x a =+，得到不等式，求出实数a 的取值范围是[)3,∞-+.【详解】若11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，[]22,3x ∃∈，使得()()12f x g x ≤，故只需()()min max f x g x ≤，其中()4f x x x =+在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()()min 5114f x f ==+=，()2x g x a =+在[]2,3x ∈上单调递增，故()()max 38g x g a ==+，所以58a ≤+，解得：3a ≥-，实数a 的取值范围是[)3,∞-+.故选：C 8．A【分析】把f （x ）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．【详解】作出函数f （x ）=()1122102x Ig x x x -⎧+-⎪⎨≤⎪⎩，＞，的图象如图，f （x ）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，由图可知，b 的取值范围是（1，10]．故选A ．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．9．BC【分析】A 选项，根据sin ,cos αα同号，确定角所在象限；B 选项，顺时针转动了30°，故B 正确；C 选项，根据终边在第一、三象限的角平分线上，确定角的集合；D 选项，由扇形面积公式进行求解.【详解】A 选项，若sin cos 0αα⋅>，则α为第一象限角或第三象限角，故A 错误；B 选项，将表的分针拨快5分钟，顺时针转动30°，故分针转过的角度是30-︒，故B 正确；C 选项，终边经过点()(),0a a a ≠的角的终边在直线y x =上，故角的集合是ππ,Z 4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，C 正确；D 选项，扇形面积为22211π3π3cm 2264S R α==⨯⨯=，故D 错误．故选：BC ．10．BC【分析】先求出幂函数的解析式，3()f x x =，根据奇函数和增函数解不等式，即可得到0a b +<.【详解】因为223()(1)mm f x m m x +-=--为幂函数，所以211m m --=，解得：m =2或m =-1.因为任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，不妨设12x x >，则有12())0(f x f x ->，所以()y f x =为增函数，所以m =2，此时3()f x x =因为()33()()f x x x f x -=-=-=-，所以3()f x x =为奇函数.因为,a b R ∈且()()0f a f b +<，所以()()f a f b <-.因为()y f x =为增函数，所以a b <-，所以0a b +<.故BC 正确.故选：BC 11．CD【分析】分别由复合函数的单调性、底数互为倒数的对数函数的图象、互为反函数的两个函数的图象及奇函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，令log a y u =，()0,u ∈+∞，2u ax =-，∵函数()log 2a y ax =-（0a >且1a ≠）在()0,1上是减函数，∴2u ax =-在()0,1单调递减，由复合函数的单调性知，log a y u =在()0,u ∈+∞单调递增，且当1x =时，210u a =-⨯≥，∴201a a -≥⎧⎨>⎩解得12a <≤，∴a 的取值范围是(]1,2，故选项A 错误；对于B ，∵函数2log y x =与12log y x =的底数2与12互为倒数，∴在同一直角坐标系中，函数2log y x =与12log y x =的图象关于x 轴对称，故选项B 错误；对于C ，∵指数函数2x y =与对数2log y x =的底数相同，∴函数2x y =与2log y x =互为反函数，∴在同一直角坐标系中，函数2x y =与2log y x =的图象关于直线y x =对称，故选项C 正确；对于D ，∵奇函数()f x 定义域为R ，∴()()00f f -=-，即()00f =，0是函数()f x 的一个零点；又∵奇函数的图象关于原点对称，()f x 在(),0∞-内有1010个零点，∴()f x 在()0,∞+有1010个零点，∴()f x 的零点个数为1010110102021++=，故选项D 正确.故选：CD 12．CD【分析】A 利用“1”代换求最值，B 因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，代入11y x -+中化简构造基本不等式验证即可，C 先把式子变形，再运用基本不等式，D 先构造()+13x y +=，再运用基本不等式.【详解】A.因为正数,x y 满足2x y +=，即12x y+=所以11121x y x x y y ⎛⎫+⎛⎫+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11122222y x x y =+++≥+=，当且仅当22y x x y=，即1x y ==时等号成立，故选项A 不正确.B.因为2x y +=，所以2y x =-，且02x <<，所以111(2)2111y x x x x x -=--=+-+++()113311x x =++-≥=-+，当且仅当111x x =+⇒+0x =或2x =-，不满足故取不到最小值1-，故B 选项不正确.C.()2222x y x y xy +=+-()()2222222x y x y x y ++⎛⎫≥+-== ⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，故选项C 正确.D.因为2x y +=，所以()+13x y +=，则()219124x y x y ++⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当312x y =+=时等号成立，故选项D 正确.故选：CD.13．[)2,3【分析】由已知，要想保证函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，需满足分段函数两部分在各自区间上单调递增，然后再满足连续单增，即比较当1x =时，左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值，列式即可完成求解.【详解】由已知，函数()()3,01,1a a x x f x x x ⎧-<<=⎨≥⎩是定义为在()0,∞+上的增函数，则(3)y a x =-在()0,1上为单调递增函数，a y x =在[)1,+∞上为单调递增函数，且(3)11a a -⨯≤，所以30031a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得23a ≤<，所以a 的取值范围是[)2,3.故答案为：[)2,314．,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【分析】利用正切函数的对称中心求解即可.【详解】令26x π-＝2k π(Z k ∈)，得412k x ππ=+(Z k ∈)，∴对称中心的坐标为(,1)()412k k Z π+∈π．故答案为：,1124k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(Z k ∈)15．24(0,](1,)33⋃【分析】令2()2t x x ax =-，分1a >和01a <<两种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：令2()2t x x ax =-，则()0t x >，当1a >时，log a y x =是增函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，故113021a t a ⎧≤⎪⎪⎪⎛⎫>⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即1193041a a a ⎧≤⎪⎪⎪->⎨⎪>⎪⎪⎩，解得413a <<；当01a <<时，log a y x =是减函数，由()()2log 2a f x x ax =-在区间31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为减函数，则2()2t x x ax =-在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上为增函数，故()1321001a t a ⎧≥⎪⎪≥⎨⎪<<⎪⎩，即1322001a a a ⎧≥⎪⎪-≥⎨⎪<<⎪⎩，解得203a <≤，综上，a 的取值范围是.24(0,](1,33⋃.故答案为：24(0,](1,)33⋃16．③④【解析】根据周期公式可得①不正确.【详解】()y f x =是以π为最小正周期的周期函数,故①不正确；因为2()4sin(2)4sin 26633f ππππ=⨯+=4≠±,所以②不正确；因为()4sin[2()4sin 00663f πππ-=⨯-+==,所以③正确；因为()4sin 24sin[(2)]326f x x x πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭4cos(2)6x π=-,所以④正确.故答案为:③④【点睛】本题考查了三角函数的周期，考查了三角函数的对称轴，考查了三角函数的对称中心，考查了诱导公式，属于基础题.17．(1)()1,1-(2)[]1,2-【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简A 、B ，再由已知可得集合A 真包含于集合B 即可得到不等式组，解得即可；（2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m 的不等式组求解．【详解】（1）解：（1）由()()10x a x a --+≤，即1a x a -≤≤，所以()()}10|}1{{|A x x a x a x a x a =--+≤≤≤=-，由220x x +-<，即()()120x x -+<，解得2<<1x -所以{}{}2|20|21B x x x x x =+-<=-<<，∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以集合A 真包含于集合B ，∴121a a ->-⎧⎨<⎩，解得11a -<<，即()1,1a ∈-；（2）解：因为命题()22:,218p x B x m x m m ∃∈+++->为假命题，所以()22:,218p x B x m x m m ⌝∀∈+++-≤为真命题，设()()22218g x x m x m m =+++--，则()()2010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩即()()()()2222221280121180m m m m m m ⎧-++⨯-+--≤⎪⎨++⨯+--≤⎪⎩，解得1632m m -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，所以12m -≤≤，即[]1,2m Î-．18．(1)15-(2)12-或13-【分析】（1）先由余弦值求出正切值，再结合诱导公式，化弦为切，代入求值即可；（2）变形得到22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，求出tan α的值.【详解】（1）∵α是第四象限角，cos α=sin α=∴sin tan 2cos ααα==-，∴()()π3πcos sin sin cos tan 11222sin πcos 2π2sin cos 2tan 15αααααααααα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===-++--+-+．（2）∵21sin sin cos 5ααα+=-，∴22222sin sin cos tan tan 1sin cos tan 15αααααααα++==-++，∴1tan 2α=-或1tan 3α=-．19．（1）4T π=，424,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）⎡⎤⎣⎦【分析】()1由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；()2由x的范围求得相位的范围，进而得到1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即可求解函数的值域．【详解】（1）由题意，知()1πf x 2sin x 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2πT 4π12==．又由π1ππ2kπx 2kπ2262-≤+≤+，得4π2π4kπx 4kπ33-≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为4π2π4kπ,4kπ33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）因为πx π-≤≤，所以π1πx 222-≤≤，则π1π2πx 3263-≤+≤，所以1πsin x 1226⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π2sin x 226⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 2≤≤．所以()f x的值域为.⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记()y Asin ωx φ=+型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．(1)证明见解析(2)12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明，（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可转化成自变量的大小关系，解不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()11311331311313xxx x xx f x f x ------====-+++，所以函数()f x 是奇函数；（2）由()3131221313131x x x x x f x -+-===-+++，由于31x y =+为定义域内的单调递增函数且310x y =+>，所以131x y =+单调递减，因此函数()f x 是定义域为R 的增函数，而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--，再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，所以312t t -<-，解得21t <-，故不等式的解集为12t t ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．21．(1)选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求；该函数模型的解析式为32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，112x ≤≤，*N x ∈；(2)六月份.【分析】（1）根据两函数特征选择模型(0,1)=>>x y ka k a ，并用待定系数法求解出解析式；（2）先求出元旦治愈效果的普姆克系数，从而列出不等式，结合*N x ∈，解出6x ≥，得到答案.【详解】（1）函数(0,1)=>>x y ka k a 与12(0,0)y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数(0,1)=>>x y ka k a 的值增加的越来越快，而函数12y px k =+的值增加的越来越慢，由于这批治愈药品发挥的作用越来越大，因此选择模型(0,1)=>>x y ka k a 符合要求．根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，∴232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32332k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故该函数模型的解析式为323()32x y =⋅，112x ≤≤，*N x ∈；（2）当0x =时，323y =，元旦治愈效果的普姆克系数是32pmk 3，由32332()10323x ⋅>⨯，得3()102x >，∴32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，∵*N x ∈，∴6x ≥，即治愈效果的普姆克系数是元旦治愈效果的普姆克系数10倍以上的最小月份是六月份．22．(1)1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(2)3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】(1)利用对数运算将函数化简，再使用换元法即可求得函数值域;(2)用换元法得到两根的关系，再根据方程有两根0∆>，以及韦达定理，即可求得参数范围.【详解】（1）因为()f x 定义域为()0,x ∈+∞，则()22222()(log 1)(log 2)log 3log 2f x x x x x =--=-+设2log x t R =∈，令22311()32()244g t t t t =-+=--≥-，所以()f x 值域为1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭（2）设211log x t =，222log x t =因为2140x x >>所以2221log log 4x x >即2221log log 2x x >+，即212t t >+，所以212t t ->则2()32g t t t m =-+=的两根为12,t t 整理得2320t t m -+-=因为2(3)41(2)0m ∆=--⨯⨯->解得14m >-再由韦达定理可得:12123·2t t t t m+=⎧⎨=-⎩则21t t -=2=解得34m >综上，3,4m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭。
广西南宁市第三中学高一下学期开学收心考网考数学试题(解析版)
广西南宁市第三中学高一下学期开学收心考网考数学试题一、单选题1．已知集合{|0}M x x =>，{|12}N x x =-<，则()R C M N ⋂等于（ ） A ．(1,)-+∞ B ．(0,1)C ．(1,0]-D ．(1,1)-【答案】C【解析】先求得M 的补集，然后求补集与N 的交集. 【详解】依题意可知(,0]R C M =-∞，所以()(]1,0R C M N ⋂=-，故选C. 【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题. 2．sin(600)-︒的值是（ ）A ．12B ．12-C．2D． 【答案】C【解析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒=， 故选C ． 【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3．已知角α的终边经过点()3,4P -，则cos α的值等于（ ） A ．35B ．35C ．45D ．45-【答案】A【解析】由三角函数的定义可求出cos α的值. 【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，故选A.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.4．已知函数()23,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 （ ） A ．13- B ．13CD．【答案】B 【解析】根据自变量对应解析式代入求值,再根据求得函数值对应解析式代入求结果. 【详解】因为2111log 1,(1)223f f ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭, 所以11(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选:B 【点睛】本题考查求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式,从内到外依次求值,属于基础题.5．半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的弧长为（ ） A ．2πcm B ．23πcm C ．43πcm D ．53πcm 【答案】A【解析】圆心角化为弧度单位，根据弧长公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，圆心角为120°的扇形的弧长为23=2()3cm ππ⨯. 故选:A. 【点睛】本题考查弧长公式，属于基础题.6．已知函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()31f x log x a =++，则()8f -等于（ ） A ．3a -- B ．3a +C ．2-D ．2【答案】C【解析】先根据奇函数的性质得到a=0,再根据奇函数的性质求解. 【详解】由题得3(0)log 10f a a =+==，由题得()38(8)log 922f f a a -=-=--=--=-. 故选：C 【点睛】本题主要考查奇函数的性质的应用，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.7．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<【答案】B【解析】由奇函数的性质，可以判断出函数()f x 的单调性，再根据对数函数的图象可以得到32log 2,0,log 3-之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，所以()f x 是定义在R 上减函数，因为32log 20log 3>>-，所以32(log 2)(0)(log 3)f f f <<-，故本题选B. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象. 8．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】B【解析】根据sin y x =关于点(),0,()k k Z π∈对称,sin y x =关于直线()2x k k Z ππ=+∈对称来解题.【详解】 解：令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-, 所以对称点为1,026k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确； 令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选：B 【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据sin y x =关于点(),0,()k k Z π∈对称,关于直线()2x k k Z ππ=+∈对称.9．要得到函数sin 2y x =的图象，只需将函数sin(2)3y x π=+的图象（ ）A ．向左平移3π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向右平移6π个单位长度【答案】D【解析】把sin(2)3y x π=+变为sin 2()6y x π=+就可以看出怎么平移.【详解】 ∵sin(2)sin 2()36y x x ππ=+=+，∴把函数sin(2)3y x π=+的图象向右移6π个单位就可得到函数sin 2y x =的图象. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()31x f x =-，则当0x <时，()f x =（ ）A ．31x ---B ．31x -+C ．31x --+D ．31x --【答案】C【解析】根据函数奇偶性的性质，将0x <转化为0x ->即可求出函数的解析式. 【详解】若0x <，则0x ->， 当0x >时，()31xf x =-，()31x f x -∴-=-，函数()f x 是奇函数，()()31x f x f x -∴=--=-+，所以C 选项是正确的. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，利用函数奇偶性的性质将条件进行转化是解决本题的关键，属基础题.11．函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()f x 的图象，则只要将()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】先根据图象确定A 的值，进而根据三角函数结果的点求出求ϕ与ω的值，确定函数()f x 的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果． 【详解】由题意，函数()()sin 0,2f x A x A πωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得11,43124A T πππ==-=，即T π=，所以2ω=，再根据五点法作图，可得2122ππϕ⨯+=，求得3πϕ=，故()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，可得sin[2()]sin(2)1232y x x πππ=++=+cos2x =的图象，则只要将()cos2g x x =的图象向右平移12π个单位长度可得()f x 的图象，故选：D ． 【点睛】本题主要考查了三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．在直角坐标系中,如果相异两点()(),,,A a b B a b --都在函数y=f(x)的图象上,那么称,A B 为函数()y f x =的一对关于原点成中心对称的点(,A B 与,B A 为同一对).函数()7cos ,0{2log ,0x x f x x x π≤=>的图象上关于原点成中心对称的点有( )A ．1对B ．3对C ．5对D ．7对【答案】C【解析】函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是y cos,02x x π=≤与()7y log ,0x x =--<图象交点个数，利用数形结合可得结果.【详解】因为7y log ,0x x =>关于原点对称的函数解析式为()7y log ,0x x =--<,所以函数()7,02log ,0cos x x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩的图象上关于原点成中心对称的点的组数， 就是y cos,02x x π=≤与为()7y log ,0x x =--<图象交点个数，同一坐标系内，画出y cos,02x x π=≤与()7y log ,0x x =--<图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有5个，7,02log ,0cos x x x x π⎧≤⎪⎨⎪>⎩的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题 13．函数恒过定点__________．【答案】【解析】试题分析：定点．【考点】函数的定点．14．用“二分法”求方程3250x x --=在区间[]2,4内的实根，取区间中点为03x =，那么下一个有根区间是__________________ 【答案】[]2,3.【解析】构造函数()325f x x x =--，利用零点存在定理，判断出下一个有根的区间.【详解】令()325f x x x =--，()()()21,316,451f f f =-==，()()230f f ⋅<，所以下一个有根的区间是[]2,3. 故答案为：[]2,3【点睛】本小题主要考查零点存在性定理和二分法的运用，属于基础题.15．已知(2)1(1)()(1)xa x xf xa x-+<⎧=⎨≥⎩满足对任意121212()(),0f x f xx xx x-≠>-都有成立，那么a的取值范围是_______【答案】3[,2)2【解析】由对任意()()121212,0f x f xx xx x-≠>-都有成立可知，函数()y f x=在定义域上为增函数，所以：20121aaa a->⎧⎪>⎨⎪≥-+⎩，解得322a≤<答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.16．函数11()2sin[()]12f x xxπ=+--在[3,5]x∈-上的所有零点之和等于______.【答案】8【解析】分析：通过化简函数表达式，画出函数图像，分析图像根据各个对称点的关系求得零点的和。
河北省高一数学下学期开学考试试题(含解析)
故可得 ，
那么
.
故答案为： .
【点睛】此题考查利用累加法求数列的通项公式，以及用裂项求和法求数列的前 项和，属中档题.
14.三棱锥 中， ， ， ， ， ，那么三棱锥 的体积是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用勾股定理，可证明 平面 ，结合棱锥体积公式即可求解.
【详解】因为 ，
20.不等式 的解集为 或 .
〔1〕求 ；〔2〕解关于 的不等式
【答案】〔1〕a＝1，b＝2；〔2〕①当c＞2时，解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，解集为∅．
【解析】
【分析】
〔1〕根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；
四､解答题
17.直线 经过点 〔－2，5〕，且斜率为
〔1〕求直线 的方程；
〔2〕假设直线 与 平行，且点 到直线 的距离为3，求直线 的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－14＝0；(2) 3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
【解析】
【分析】
〔1〕代入点斜式方程求直线 的方程；〔2〕根据〔1〕设 的方程为 ，将点到直线的距离转化为平行线的距离求 .
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】
通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论.
【详解】圆 可化为 ,
所以圆心为 ,半径 为2,
圆心 到直线 的距离为: ,
所以 ,
所以圆 上到直线 的距离为 的点共有3个.
应选:C
【点睛】此题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于根底题.
高一数学下学期开学考试试题含解析 2
卜人入州八九几市潮王学校第十八二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕本卷须知：①本套试卷一共4页，答题卡2页.考试时间是是120分钟，总分值是150分； .第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}|12A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，那么AB =〔〕A.{}0,1B.{}1,0,1-C.{}0,1,2D.1,0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为集合{}|12A x x =-<<,{}2,0,1,2B =-,故{}0,1A B =.应选：A【点睛】此题主要考察了交集的根本运算,属于根底题. 2.tan 690=〔〕B.-D.【答案】B 【解析】 【分析】将大角化小角，那么69072030=-，然后根据正切的诱导公式以及特殊角的正切值，可得结果.【详解】由69072030=-，所以()tan 690tan 72030=-那么3tan 690tan 303=-=-应选：B【点睛】此题考察正切的诱导公式，识记特殊角的三角函数值，以及三角函数中正弦、余弦、正切的诱导公式，属根底题. 3.过()1,2A -，()2,8B 两点的直线斜率为〔〕A-10 B.17C.5D.2【答案】D 【解析】 【分析】根据两点的斜率公式计算即可.【详解】过()1,2A -,()2,8B 两点的直线斜率()82221k -==--.应选：D【点睛】此题主要考察了两点间的斜率公式,属于根底题.4.设函数()122,01log ,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，那么()()1f f -=〔〕A.-1B.1C.2D.3【答案】A 【解析】 【分析】根据自变量的范围代入对应区间的解析式求解即可. 【详解】()()()()()1121241log 41f f f f ---===-=-.应选：A【点睛】此题主要考察了分段函数以及指对数的运算,属于根底题.5.弧长为50〔单位：m 〕的弧所对圆心角为300︒，那么弧所在圆半径R 〔单位：m 〕为〔〕 A.10πB.30πC.10πD.30π【答案】B 【解析】 【分析】根据弧度制的定义求解即可. 【详解】圆心角对应的弧度数为30051803ππ︒=︒,根据弧度制的定义有505303R R ππ=⇒=. 应选：B【点睛】此题主要考察了弧度制的定义与运用,属于根底题.6.将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后，所得图象对应的函数是〔〕A.cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C.cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数平移“左加右减〞求解即可.【详解】将()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位后,所得图象对应的函数是()cos 2cos 2463f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.应选：C【点睛】此题主要考察了求三角函数图像平移后的解析式,属于根底题. 7.函数()sin lg f x x x =-的零点个数为〔〕A.0B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如下列图：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，一共有3个交点.当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点.应选：D .【点睛】此题考察了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键. 8.假设角α的终边过点()sin30,cos30︒-︒，那么sin α等于〔〕A.12C.12-D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简点()sin30,cos30︒-︒,再根据sin α的定义求解即可.【详解】由题角α的终边过点1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,故2sin α--=. 应选：D【点睛】此题主要考察了三角函数值的求解以及正弦函数的定义,属于根底题. 9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为〔〕 A.16B.12C.23D.13【答案】D 【解析】三视图复原是四棱锥，AC AD ⊥，PD ⊥面ABCD,PD=AD=BC=AC=1,所以体积11(11)133V=⨯⨯=，选D.10.函数()sin 2(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，假设()f x 的最小正周期为π，那么ω=〔〕A.1B.2C.12D.14【答案】A 【解析】 【分析】根据最小正周期的公式求解即可. 【详解】由题,212ππωω=⇒=. 应选：A【点睛】此题主要考察了正弦型函数的最小正周期,属于根底题. 11.圆C ：()2221x y +-=，点P 是直线l ：1x y -=上动点，过P 引C 的切线，切点分别为A ，B ，那么AB的最小值为〔〕A.2B.2【答案】D 【解析】 【分析】画图分析,由2sin AB AC ACP =⋅∠可知当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值,再求出点C 到l的间隔,进而求得sin ACP ∠得出AB 即可.【详解】如图,因为,PA PB与圆C相切,故,AC AP BC BP⊥⊥.故ACP BCP ≅,故,AC BC ACP BCP =∠=∠.所以AB CP ⊥.故2sin AB AC ACP =⋅∠,故当sin ACP ∠取最小值时AB 取最小.因为ACP ∠为锐角,故此时ACP ∠取最小值,cos AC ACPPC∠=取最大值.故此时PC 取最小值.即当PC 与l ：1x y -=垂直时AB取最小值.此时PC ==.2AP ==.故2sin 23AB AC ACP =⋅∠==.应选：D【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解线段长度的最值问题,需要根据题意表达出AB的解析式,分析可得当AB取最小值时的情况计算即可.属于中档题.12.函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭〔0>ω〕，假设63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，那么ω的值是〔〕 A.383 B.143C.143或者383D.143或者283【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到148,3k k Z ω=+∈且12ω<，确定0k =时满足条件，得到答案. 【详解】63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么6324πππ+=，故32432k πππωπ+=+，即148,3k k Z ω=+∈. 且2366ππππω-=<，故12ω<，故当0k =时满足条件，143ω=. 应选：B .【点睛】此题考察了根据三角函数的最值点求参数，意在考察学生的计算才能.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.把答案填写上在答题卡相对应位置上. 13.()0,απ∈，且1cos 3α=-，那么tan ______.【答案】【解析】 【分析】根据诱导公式化简()tanπα-,再根据1cos 3α=-求出sin α继而代入计算即可. 【详解】因为()0,απ∈,故sin 3α==.故sintan tanc2232213os故答案为：【点睛】此题主要考察了同角三角函数公式的运用以及正切的诱导公式,属于根底题.14.正方体的棱长均为2，其顶点都在球O的球面上，那么球O的外表积为______.【答案】12π【解析】【分析】根据正方体的体对角线等于外接球的直径求解球的直径,再求外表积即可.【详解】因为正方体的体对角线等于外接球的直径,且正方体的棱长均为2,故球O的直径2R==所以R.故球O的外表积2412S Rππ==.故答案为：12π【点睛】此题主要考察了正方体外接球的计算,属于根底题.15.函数()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭〔其中0A>，2πϕ<〕的图象如下列图，那么()f x在[]0,9上的最大值与最小值的和为______.【答案】2【解析】【分析】将(()0,,2,0代入()sin6f x A xπϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭计算可得,Aϕ,再求得()f x在[]0,9上的最大值与最小值即可.【详解】因为图像过()2,0,故sin03Aπϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,即sin03πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭,又2πϕ<,故3πϕ=-.又图像过(0,,故sin23A Aπ⎛⎫-=⇒=⎪⎝⎭.故()2sin63f x xππ⎛⎫=-⎪⎝⎭.故当[]0,9x ∈时,7,6336x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.故()2sin 63f x x ππ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以()f x 在[]0,9上的最大值与最小值的和为2.故答案为：2【点睛】此题主要考察了根据三角函数图像求解析式的问题,同时也考察了三角函数在区间上的最值问题,属于中档题.16.直线l ：y ax =与圆C ：222220x y ax y +--+=交于A 、B 两点，假设ABC 是正三角形，那么a 的值是______.【答案】【解析】 【分析】根据正三角形的性质可知,当ABC 是正三角形时,圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒,再利用点到线的间隔公式求解即可. 【详解】圆C ：222220x y ax y +--+=即()()22211x a y a -+-=-,其中210a ->.因为ABC 是正三角形,故圆心到直线l 的间隔d 与半径r 满足sin 60dr=︒.又d =,r =,2=.()()2241312a a =⇒-=+,解得27a =,满足210a ->.故a =故答案为：【点睛】此题主要考察了根据直线与圆的位置关系求解参数的问题.需要根据题意建立线段长度与半径之间的关系,继而列式求解参数.属于中档题.三、解答题：本大题一一共4小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.点()3,0P和圆C ：222210xy x y +--+=.〔1〕写出圆C 的HY 方程，并指出圆心C 的坐标和半径r ； 〔2〕设Q 为C 上的点，求PQ 的最小值.【答案】〔1〕()()22111x y -+-=，圆心C 坐标()1,1，半径r 为1.〔21.【解析】 【分析】(1)将圆C 的方程配方化简为HY 方程,再得出圆心与半径即可. (2)根据圆的性质可知min PQ CP r =-,再求解即可.【详解】解：〔1〕由题可知圆C 的HY 方程为()()22111x y -+-=,圆心C 坐标()1,1,半径r 为1.〔2〕由题知min PQ CP r =-,而CP ==所以min PQ 1.【点睛】此题主要考察了圆的HY 方程以及定点到圆上点的间隔的最小值问题.属于根底题.18.()1tan2πα+=，求以下各式的值. 〔1〕cos()cos 24cos sin()ππαααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+-；〔2〕2sin sin cos ααα+.【答案】〔1〕17-〔2〕35【解析】 【分析】(1)利用诱导公式可得1tan 2α=,再利用诱导公式以及同角三角函数的关系化简原式代入1tan 2α=计算即可.(2)根据2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+再分子分母同时除以2cos α,代入1tan 2α=计算即可.【详解】解：〔1〕由得1tan 2α=,cos()cos cos sin 24cos sin()4cos sin ππαααααααα⎛⎫--+ ⎪-+⎝⎭=+--111tan 1214tan 742αα-+-+===---. 〔2〕2222sin sin cos sin sin cos cos sin αααααααα++=+2211tan tan 34211tan 514ααα++===++. 【点睛】此题主要考察了诱导公式以及同角三角函数的关系求解化简的问题.属于根底题. 19.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，3AB =，2PA =，PD =60PAB ∠=︒.〔1〕证明：AD ⊥面PAB ；〔2〕求二面角P CD A --的大小. 【答案】〔1〕证明见解析〔2〕30. 【解析】 【分析】(1)根据勾股定理证明AD PA ⊥,再结合AD AB ⊥证明即可.(2)过点P 作PHAB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,再证明PEH ∠是二面角P CD A --的平面角,再计算得tan PH PEH HE ∠==即可求出PEH ∠的大小.【详解】解：〔1〕证明：在PAD △中,由题设,2PA =,3AD =,PD =可得222PA AD PD +=,所以AD PA ⊥,在正方形ABCD 中,AD AB ⊥, 又PA AB A =,又因为,AB PA ⊂平面PAB ，∴AD ⊥平面PAB .〔2〕过点P 作PH AB ⊥于H ,过H 作HE CD ⊥于E ,连结PE ,∵AD ⊥平面PAB ,PH ⊂平面PAB ,∴AD PH ⊥,又AB AD A ⋂=,∴PH ⊥平面ABCD ,又CD ⊂平面ABCD ,∴PH CD ⊥, 又HEPH H =,∴CD ⊥平面PHE ,PE ⊂平面PHE ,∴CD PE ⊥,∴PEH ∠是二面角P CD A --的平面角.由题可得,sin 60PHPA =⋅︒=3HE AD ==,Rt PHE 中,tan PH PEH HE ∠==,∴30PEH∠=︒,故二面角P CD A --的大小为30.[Failedtodownloadimage:://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs/QBM/2020/4/30/2452887117914112/2453859651313664/EXPLANATION/5ee163ab191742ff9ebf6fa427e52c26.png]【点睛】此题主要考察了线面垂直的证明以及二面角的求法,需要根据题意找到二面角的平面角,再计算其三角函数求解.属于中档题. 20.直线l ：y x b =+与圆C ：22231x y 交于不同的两点M ，N .〔1〕求b 的取值范围；〔2〕假设MN =0b >，求过点M ，N 且与y 轴相切的圆的方程.【答案】〔1〕11b <<+2〕()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【解析】 【分析】(1)根据圆心到直线的间隔小于半径,列出对应的不等式求解即可. (2)根据垂径定理求解可得2b =,再联立直线l 与圆的方程,求得()1,3M ,()2,4N ,再设所求圆的方程,再代入()1,3M,()2,4N 求解即可.【详解】解：〔1〕圆心C 到直线l 的间隔d==∵直线l 与圆C 交于不同的两点M ,N ,1<,解得11b -<<〔2〕假设MN =那么221+=⎝⎭,解得2b =或者0b =〔舍〕,直线l 方程为：20x y -+=,()()2220231x y x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,解得13x y =⎧⎨=⎩或者24x y =⎧⎨=⎩, 不妨设()1,3M,()2,4N ,由题可设所求圆方程为()()222x a y b a -+-=,∴()()()()2222221324a b a a b a⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,解得50a b =⎧⎨=⎩或者14a b =⎧⎨=⎩. 故所求圆方程为()22525x y -+=或者()()22141x y -+-=.【点睛】此题主要考察了垂径定理的运用以及圆方程的求解,需要根据题意联立直线与圆的方程求所过点的坐标,再设所求圆的方程,代入坐标进展计算.属于中档题.21.函数()sin 3f x A x πφ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，0A >，02πφ<<，()y f x =的局部图象如下列图，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为()1,A .点R 的坐标为()1,0，34PRQ π∠=. 〔1〕求()f x 的最小正周期以及解析式； 〔2〕求()f x 增区间.【答案】〔1〕6，()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕()62,61k k -+，k Z ∈.【解析】 【分析】(1)根据周期的公式求解周期,再根据P 的坐标为()1,A 计算可得sin()13πφ+=,进而求得6πφ=.再过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,根据三角函数的周期与34PRQ π∠=可求得3A =即可得解析式.(2)由(1)得()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再代入计算222362k x k ππππππ-<+<+即可.【详解】解：〔1〕由题意得：()f x 的最小正周期263T ππ==,因为()1,P A 在()sin()3f x A x πφ=+的图像上,所以sin()13πφ+=, 所以2 ()32k k Z ππφπ+=+∈,即2 ()6k k Z πφπ=+∈,又因为02πφ<<,因此,6πφ=.过Q 作QD x ⊥轴,垂足为D ,由周期为6可知,3RD =,由于34PRQπ∠=,所以4DRQ π∠=,于是3QDRD ==,所以3A =,∴()3sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.〔2〕∵sin y x =的增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭,k Z ∈, 由222362k x k ππππππ-<+<+,k Z ∈,得6261k x k -<<+,k Z ∈,∴()f x 的增区间为()62,61k k -+,k Z ∈.【点睛】此题主要考察了三角函数的图像性质运用,需要根据题意三角函数的性质代点进展计算求解,属于中档题.22.函数()2()2x xaf x a R =-∈为偶函数. 〔1〕求a 的值； 〔2〕设4()()23x g x f x m m =-⋅+，假设函数()g x 有且只有一个零点，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕1a =-〔2〕(){}1,3+∞-【解析】 【分析】(1)根据偶函数满足对任意实数x ,都有()()f x f x -=化简计算即可.(2)化简可得方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根,再换元根据零点存在性定理列式求解即可.【详解】解：〔1〕由得：对任意实数x ,都有()()f x f x -=,∴2222xxx xa a ---=-, ∴()1140x a a +-+⋅=,1a =-.〔2〕由题知方程1422023xxx m m +-⋅+=有且只有一个实数根, 令20x t =>,那么关于t 的方程24(1)10(*)3m t mt ---=有且只有一个正根.假设1m =,那么34t =-,不符合题意,舍去；假设1m ≠,那么方程()*两根异号或者有两个相等的正根.令函数24()(1)13g t m t mt =---显然()g t 过点()0,1-, 方程()*两根异号等价于10m ->,即1m；方程()*有两个相等的正根等价于()10043021m mm ⎧⎪⎪-<⎪⎪∆=⎨⎪⎪⎪>⎪-⎩,解得3m =-,综上所述,实数a 的取值范围为(){}1,3+∞-.【点睛】此题主要考察了根据偶函数求解参数值的问题,同时也考察了关于指数函数的二次复合函数的零点问题,属于中档题.。
河南省信阳市2022-2023学年高一下学期阶段性测试(开学考)数学试题(解析版)
所以 的取值范围为 ；
小问2详解】
由（1）知， 且 ， 为减函数，
要使函数 在 上为增函数，
根据复合函数的单调性可知， ，且
则 ，解得 ，
所以存在 使得函数 在 上为增函数，并且在此区间的最小值为 .
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）若当 时，关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围.
2022—2023学年（下）高一年级阶段性测试（开学考）
数学（答案在最后）
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
又 ， ， ， ，
则 ．
故答案为： .
16.已知函数 ，若 有三个零点，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先计算出 的零点，再根据 零点的个数求得 的值.
【详解】依题意 ， 的开口向下，对称轴为 ， ，
由 解得 ， ，
由于 有三个零点，
所以 ，解得 （负根舍去）.
故答案为：
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】取特值并根据充分条件和必要条件的定义可得答案.
【详解】当 时， 不能推出 ，
当 时， 不能推出 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
高一数学下学期开学考试试题含解析试题1
智才艺州攀枝花市创界学校官渡区第一二零二零—二零二壹高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1.假设集合{}2|60M x x x =--<，{}2|log 2N x x =<，那么M N ⋃=〔〕A.(]2,4- B.()0,3C.()2,4-D.[)2,4-【答案】C 【解析】 【分析】解不等式确定集合,M N ，再由并集定义计算． 【详解】由{}2|60{|23}M x x x x x =--<=-<<，{}2|log 2{|04}N x x x x =<=<<，∴{|24}MN x x =-<<．应选：C ．【点睛】此题考察集合的并集运算，解题关键是掌握解一元二次不等式，掌握对数函数的性质． 2.假设a ，b 是任意实数，且a >b ，那么以下不等式成立的是() A.a 2>b 2B.1b a< C.lg(a －b )>0D.11()()33a b < 【答案】D 【解析】【详解】试题分析：A 中1,2ab ==-不成立，B 中1,12a b =-=-不成立，C 中0,1a b ==-不成立，D 中由指数函数单调性可知是成立的 3.()()()1,2,2,3,3,4a b c ===.假设ka b +与c 一共线，那么实数k 的值是〔〕A.12-B.1710-C.1811-D.1-【答案】A 【解析】 【分析】 先由()()1,2,2,3,ab ==求出ka b +的坐标表示,再由ka b +与c 一共线,即可求出结果.【详解】因为()()1,2,2,3,a b ==所以()=2,23ka b k k +++,又()3,4c =,ka b +与c 一共线,所以()()242330k k +⨯-+⨯=,解得12k =-. 应选:A .【点睛】此题主要考察向量的坐标运算,熟记一共线向量定理即可,属于根底题型,难度较易. 4.假设11tan ,tan()32ααβ=+=,那么tan =β〔〕 A.17B.16C.57D.56【答案】A 【解析】试题分析：11tan()tan 123tan tan[()]111tan()tan 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，应选A. 考点：两角和与差的正切公式．5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.〞其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了〔〕A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】A 【解析】 【分析】根据题意,此人每天走的路程构成了公比12q=的等比数列,再根据求和公式列式求解即可. 【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比12q =的等比数列,设该数列为{}n a ,其前n 项和为n S那么有6161(1())2378112a S -==-,解得1192a =, 故2196a a q ==,应选:A.【点睛】此题考察了等比数列的相关知识,能读懂题识别该模型为等比数列是解题关键.6.cos 410πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，那么sin 2α=〔〕A.45B.25C.45±D.25±【答案】A 【解析】 【分析】由cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭可求得cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值,由于cos 2=sin 22παα⎛⎫+- ⎪⎝⎭即可解得所求.【详解】cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,24cos 2=2cos 1245ππαα⎛⎫⎛⎫∴++-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即4sin 25α-=-,所以4sin 25α=. 应选:A .【点睛】此题考察了二倍角的余弦公式,三角函数的诱导公式,考察了学生的计算才能,难度较易. 7.一海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处．在C 处有一座，海轮在A 处观察，其方向是南偏东70°，在B 处观察，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的间隔是()海里海里【答案】B 【解析】根据条件可知△ABC 中，AB ＝20，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝105°，所以∠C ＝45°，由正弦定理，有203045BC sin sin =︒︒，所以120BC ⨯=应选B. 8.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的函数值恒小于零，那么实数a 的取值范围是〔〕A.(,2]-∞B.(,2)-∞-C.(2,2]-D.(2,2)-【答案】C 【解析】 当20a -=即2a =时，()40f x =-<恒成立，所以2a =符合题意；当20a -≠即2a≠时，因为函数值恒小于零，所以二次函数的图像开口向下，且和x 轴没交点，所以2204(2)16(2)0a a a -<⎧⎨∆=-+-<⎩，解得22a -<<．综上所述，22a -<≤．所以选C ． 【点睛】二次项系数含字母，而题中没说是二次函数，故对二次项系数是否为零讨论．是二次函数时，应结合二次函数的图像抛物线与x 轴的位置关系解决此题．二次不等式恒成立问题，注意三个二次的运用．9.函数()3()sin 42f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，下面结论错误的选项是〔〕A.函数()f x 的最小正周期为2π B.函数()f x 在区间0,16π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C.函数()f x 的图象关于直线4x π=对称D.函数()f x 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭分别求出的周期、奇偶性、对称轴，可得A 、C 、D 都正确．【详解】对于函数3()sin 4cos 42f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，它的周期等于242ππ=，故A 正确．令4x π=，那么()cos 14f ππ==-，那么4x π=是()f x 的对称轴，故C 正确．由于()cos(4)cos 4()f x x x f x -=-==，故函数()f x 是偶函数，故D 正确．利用排除法可得B 错误； 应选：B ．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，复合三角函数的周期性、单调性的应用，属于中档题． 10.假设函数()|3sin 4cos |f x x x m =++的最大值是8，那么m =〔〕A.3B.13C.3或者3-D.3-或者13【答案】C 【解析】利用辅助角公式化简，根据正弦的值域，分类讨论函数最大值即可. 【详解】()|3sin 4cos |f x x x m =++()|5sin()|f x x m ϕ∴=++， 55sin()5x ϕ-≤+≤,∴当0m >时，max ()|5|8f x m =+=,解得3m =， 当0m <时，max ()|5|8f x m =-+=，解得3m =-， 应选：C【点睛】此题主要考察了三角函数的辅助角公式，正弦函数的值域，分类讨论，属于中档题.11.函数()a f x x 的图象过点()4,2，令*1,(1)()n a n f n f n =∈++N .记数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么2021S =〔〕11【答案】D 【解析】 【分析】由条件推导出n a =*n N ∈．由此利用裂项求和法能求出2021S ．【详解】解：由()42f =，可得42a=，解得12a =，那么12()f x x =.∴1(1)()na f n f n ===-++，【点睛】此题考察了函数的性质、数列的“裂项求和〞，考察了推理才能与计算才能，属于中档题． 12.定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+∞上是增函数，不等式()()21f ax f +≤-对于[]1,2x ∈恒成立，那么a 的取值范围是A.3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.[]0,1【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在(),0-∞上是减函数，由此可将不等式化为121ax -≤+≤；利用别离变量法可得31a xx -≤≤-，求得3x -的最大值和1x-的最小值即可得到结果. 【详解】()()f x f x =-()f x ∴为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,∞+上是增函数()f x ∴在(),0-∞上是减函数()()21f ax f +≤-21ax ∴+≤，即121ax -≤+≤121ax -≤+≤对于[]1,2x ∈恒成立31a xx∴-≤≤-在[]1,2上恒成立 312a ∴-≤≤-，即a 的取值范围为：3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦此题正确选项：A【点睛】此题考察利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是可以利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用别离变量法来处理恒成立问题.二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.向量(0,2a =-，()1,3b =，那么向量a 在b 方向上的投影为_______．【答案】-3 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求得向量的模和向量的数量积，由投影计算公式可得答案.【详解】因为(0,2a =-，()1,3b =，所以23a =，(212b =+=，(1+06a b ⋅=⨯-=-，所以向量a 在b 方向上的投影为632a b b⋅-==-， 故答案为：-3.【点睛】此题考察向量的坐标运算，向量的数量积的几何意义，属于根底题. 14.等差数列的前n 项和为n S ，且12130,0S S ><，那么使n S 获得最大值的n 为_______.【答案】6 【解析】 【分析】 由12130,0S S ><，根据等差数列的前n 项和公式，看出第七项小于0，第六项和第七项的和大于0，得到第六项大于0，这样前6项的和最大． 【详解】因为等差数列中，12130,0S S ><，所以()126713760,130S a a S a =+>=<，6770,0a a a ∴+><， 670,0a a ∴><，∴S n 到达最大值时对应的项数n 的值是6． 故答案为：6【点睛】此题主要考察了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于容易题．15.0,0,lg 2lg8lg 2,x y xy >>+=那么113x y+的最小值是. 【答案】4 【解析】lg2x＋lg8y＝x lg2＋3y lg2＝lg2，∴x ＋3y ＝1，∴113x y ⎛⎫+⎪⎝⎭＝113x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭·(x ＋3y )＝2＋33y x x y +≥4，当且仅当x ＝12，y ＝16时取等号． 16.设4()42xxf x =+，那么1231920202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________.【答案】192【解析】 【分析】 根据()(1)f x f x +-为定值，即采用分组求和方式求解.【详解】1144()(1)4242x xx xf x f x --+-=+++ 444214242442x x x x x +=+==++⋅+， 1231919202020202f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：192【点睛】此题主要考察了函数求值，分组求和，属于容易题.三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．其中第17题10分，第18-22题12分． 17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b=，39b =，11a b =，144a b =．〔1〕求{}n a 的通项公式；〔2〕设nn n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2312n n -+【解析】 【分析】 〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式； 〔2〕由〔1〕求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和．【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．〔2〕由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，那么数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-． 【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 18.设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06f π=.〔Ⅰ〕求ω；〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值. 【答案】(Ⅰ)2ω=. (Ⅱ)32-. 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =)3x πω=- 由题设知()06f π=及03ω<<可得.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-从而()))4312g x x x πππ=+-=-. 根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以1()sin cos cos 22f x x x x ωωω=-- 由题设知()06f π=， 所以63k ωπππ-=，k Z ∈. 故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<，所以2ω=.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得())3f x x π=-所以()))4312g x x x πππ=+-=- 因为3[,]44x ππ∈-， 所以2[,]1233x πππ-∈-， 当123x ππ-=-，即4πx =-时，()g x 获得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，此题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是无视设定角的范围.难度不大，能较好的考察考生的根本运算求解才能及复杂式子的变形才能等.19.向量a ，b 不一共线，且满足2a =，1b =，32c a b =-，2d a kb =+. 〔1〕假设c d ，务实数k 的值； 〔2〕假设2a b -=. ①求向量a 和b 夹角的余弦值；②当c d ⊥时，务实数k 的值．【答案】〔1〕43k=-；〔2〕①14，②44 【解析】【分析】 〔1〕两向量平行即一共线，利用一共线向量定理可求.〔2〕①利用向量夹角公式可得，②利用向量垂直定理可得.【详解】〔1〕c d ∥，且0c ≠. 令d c λ=，即2(32)a kba b λ+=-， 又a ，b 不一共线，所以232k λλ=⎧⎨=-⎩， 所以43k =-. 〔2〕①设a 与b 夹角为θ， 又，1b = ②c d ⊥，0c d ∴⋅=，又，1b =，12a b ∴⋅=. 44k ∴=.【点睛】考察向量的一共线，垂直和夹角公式.一共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，a ∥b ，存在实数λ使λa b ．夹角公式：cos =||||a b a b θ. 向量垂直：0ab a b ⊥⇔=. 20.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 所对的边，且1cos 2a cb C =+． 〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设ABC S =b =，求a c +的值．【答案】〔1〕3π；〔2〕5． 【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理可得，1sin sin sin cos 2A CBC =+，而()A B C π=-+，代入后利用两角和的正弦公式展开可求cos B ，进而可求B〔2〕由结合三角形的面积公式可求ac ，然后由余弦定理及完全平方公式计算可得.【详解】解：〔1〕由正弦定理，得1sinsin sin cos 2A C B C =+， 又因为()A B C π=-+，所以()sin sin A B C =+，可得1sin cos cos sin sin sin cos 2B C B CC B C +=+， 即1cos 2B=， 又()0,B π∈，所以3B π=．〔2〕因为ABC S =所以1sin 23ac π= 所以4ac =，由余弦定理可知222b a c ac =+-， 所以22()3131225a c b ac +=+=+=，即5a c +=．【点睛】此题主要考察了正弦定理、余弦定理及和差角公式及三角形的面积公式等在求解三角形中的应用，解题的关键是纯熟掌握根本公式，属于根底题.21.数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式；(2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .【答案】〔1〕21nb n =-；〔2〕(45)25n n T n =-+ 【解析】试题分析：〔1〕求数列{}n a 的通项公式主要利用()()111{2n n n S n a S S n -==-≥求解，分情况求解后要验证1n =是否满足2n ≥的通项公式，将求得的{}n a 代入24log 3,n n a b =+整理即可得到n b 的通项公式；〔2〕整理数列{}n n a b ⋅的通项公式得()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和试题解析：〔1〕∵2*2,nS n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. 当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41nn n a S S n n n n n -=-=+--+-=-. ∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. 又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈.〔2〕∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯① 12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯② 由①-②得：1213424242(41)2n n nT n --=+⨯+⨯++⨯--⨯ ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈.【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或者等比数列，这一思想方法往往通过通项分解〔即分组求和〕或者错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，此题中()141?2n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和22.函数2()(2)f x x m x m =+--，()()f x g x x=，且函数()2y f x =-是偶函数. 〔1〕求()g x 的解析式；〔2〕假设函数()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+恰好有三个零点，求k 的值及该函数的零点.【答案】〔1〕()64gx x x =-+；〔2〕6k =，零点为2,0,2-. 【解析】【分析】〔1〕由函数()2y f x =-是偶函数,得出()y f x =关于直线2x =-对称，求出m ，即可求出()g x 的解析式；〔2〕()()()22222log 49log 4y g x k x =++⋅-+为偶函数，恰好有三个零点，可得0x =为其零点，代入求出k 的值，令()22log 4,2tx t =+≥进而求出该函数的零点. 【详解】〔1〕函数()2y f x =-是偶函数，所以()(2)2f x f x --=-()y f x ∴=关于关于直线2x =-对称，222,6()462m m f x x x -∴-=-∴=∴=+-， ()64g x x x ∴=-+； 〔2〕设()()()22222()log 49log 4y h x g x k x ==++⋅-+ ()(),()h x h x h x -=∴为偶函数，()()()22222()log 49log 4h x g x k x =++⋅-+恰好有三个零点， 故必有一个零点为0，(0)(2)960h g k k ∴=+-=-=，6k =，令()22log 4,2t x t =+≥126()950y g t t t t=+-=+-=整理得， 2560t t -+=，解得2t =或者3t =，2t =得，0x =；3t =，即()222log 43,48,2x x x +=+=∴=±，∴所求函数的零点为2,0,2-.【点睛】此题考察函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考察计算才能，是一道较为综合的题.。
2022-2023学年上海市控江中学高一年级下册学期开学考试数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市控江中学高一下学期开学考试数学试题一、填空题1．已知全集，则_________.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A =【答案】[]7,10【分析】根据补集的定义写出补集即可.【详解】解：，则.{}{}210,27U x x A x x =<≤=<<A ={}|710x x ≤≤故答案为：.[]7,102．函数的定义域是__________.()f x =【答案】()(],22,3-∞-- 【分析】根据题意列出不等式解出即可.【详解】要使函数有意义则：，303202x x x x -≥≤⎧⎧⇒⎨⎨+≠≠-⎩⎩所以函数的定义域为，()(],22,3-∞-- 故答案为：.()(],22,3-∞-- 3．已知幂函数的图像不经过原点，则实数__________.()()22325mm f x m m x --=+-⋅m =【答案】2【分析】根据幂函数的定义及定义域直接求参数值.【详解】由已知函数为幂函数，()()22325mm f x m m x --=+-⋅得，解得或，251m m +-=2m =3m =-当时，，定义域为，函数图像不经过原点，2m =()4f x x -=()(),00,∞-+∞ 当时，，定义域为，且，函数图像经过原点，3m =-()16f x x =R ()00f =综上所述：，2m =故答案为：.24．数列中，若，且，则__________.{}n a 13a =112n n a a +=+9a =【答案】7【分析】利用等差数列通项公式可直接求得结果.【详解】由，知：数列是以为首项，为公差的等差数列，112n n a a +=+13a ={}n a 312.()9139172a ∴=+-⨯=故答案为：.75．函数在区间上为严格减函数的充要条件是_________.2()21f x x ax =--[]1,3【答案】3a ≥【分析】根据二次函数的性质，建立对称轴与所给区间的关系即可求解.【详解】因为函数在区间为严格减函数，2()21f x x ax =--[]1,3所以二次函数对称轴，3x a =≥故答案为：3a ≥6．设函数f （x ），若f （α）＝9，则α＝_____．200x x x x -≤⎧=⎨⎩，，＞【答案】﹣9或3【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.【详解】由题意可得或，09αα≤⎧⎨-=⎩209αα⎧⎨=⎩＞∴α＝﹣9或α＝3故答案为：﹣9或3【点睛】本题考查由分段函数的函数值求自变量，属简单题.7．若数列满足，前5项和为，则__________.{}n a 113n n a a +=-61275a =【答案】127【分析】分和两种情况讨论，结合等比数列的求和公式以及通项公式运算求解.10a =10a ≠【详解】设数列的前项和为，{}n a n n S ∵，则有：113n na a +=-当时，则，故，不合题意；10a =0n a =0n S =当时，则数列是以公比的等比数列，10a ≠{}n a 13q =-故，解得，515111361611812713a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦===⎛⎫-- ⎪⎝⎭13a =则；4451113327a a q ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭综上所述：.5127a =故答案为：.1278．定义在R 上的奇函数在上的图像如图所示，则不等式的解集是____.()f x [)0,∞+()0x fx ⋅ 【答案】[]3,3-【分析】根据奇函数关于原点对称得函数简图，再分类讨论解不等式即可.【详解】根据函数为奇函数，可作出函数的简图，如图所示：不等式或或，()()000x x f x f x >⎧⋅⇒⎨≥⎩ ()00x f x <⎧⎨≤⎩0x =由图可得：或或，03x <≤-<3≤0x 0x =综上：解集为：[]3,3-故答案为：.[]3,3-9．已知为正整数），且数列共有100项，则此数列中最大项为第n a =n {}n a __________项.【答案】45【分析】根据数列的通项公式，判断数列的单调性，即可判断数列的最大项.【详解】由解析式可知，n a ==时，1=*n N ∈当时，数列单调递减，且[]*1,44,N n n ∈∈{}n a 1n a <当时，数列单调递减，且，[]*45,100,N n n ∈∈{}n a 1n a >所以当时，数列取得最大值.45n ={}n a 故答案为：4510．已知函数在上严格增，则实数的取值范围是________.log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+a 【答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用分段函数单调递增列不等关系求解即可【详解】因为函数在上严格增，log ,01()(3),1ax x f x a x a x <≤⎧=⎨-->⎩()0,∞+所以，解得，即实数的取值范围是，130log 1(3)1aa a a a >⎧⎪->⎨⎪≤-⋅-⎩312a <≤a 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦11．已知函数，，与函数，，对任意()23f x a x a =⋅+1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()115xg x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________.11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =a 【答案】[]0,1【分析】根据恒能成立的思想可确定两函数值域的包含关系，结合指数函数和一次函数值域的求法，根据包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】设的值域为，的值域为，()f x A ()g x B 由对任意，总存在，使得成立知：；11,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,0x ∈-()()12f x g x =A B ⊆在上单调递减，，即；()g x []1,0-()04g x ∴≤≤[]0,4B =当时，，即，满足；0a =()0f x =0A =A B ⊆当时，在上单调递增，，0a ≠()f x 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()221332a a f x a a ∴-+≤≤+即，由得：，解得：；2213,32A a a a a ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦A B ⊆22130234a a a a ⎧-+≥⎪⎨⎪+≤⎩01a <≤综上所述：实数的取值范围为.a []0,1故答案为：.[]0,112．已知函数，若实数满足，则()35lg25xf x x x+=++-a b ､()()22314f a f b +-=为__________.【分析】由题知满足任意，都有，进而得，再根据基本不等()f x x ∈R ()()4f x f x +-=2231a b +=式求解即可.【详解】解：令，因为，()35lg5x g x x x +=+-()()()35lg 5x g x x g x x --=-+=-+所以，函数是上的奇函数，()35lg5xg x x x +=+-R 所以函数关于中心对称，()()2g x f x =-(0,0)所以，关于中心对称，()35lg25xf x x x +=++-(0,2)所以，满足任意，都有. ()f x x ∈R ()()4f x f x +-=因为，()()22314f a f b +-=所以，即.22310a b +-=2231a b +=226122a b++=≤==，时取等号，=12a=12b=±所以二、单选题13．若、为实数，则成立的一个充要条件是（）a b()0ab a b-<A．B．C．D．11a b<<11b a<<11a b<11b a<【答案】D【分析】将命题进行等价变换，即可得其充要条件.()0ab a b-<【详解】()0ab a b-<220a b ab⇔-<22a b ab⇔<⇔222222a b aba b a b<11b a⇔<故选D．【点睛】本题考查用不等式的性质等价转化不等式,要注意不等式性质成立的条件,属于基础题. 14．若函数f（x）＝log2（kx2+4kx+3）的定义域为，则取值范围是R kA．B．C．D．30,4⎛⎫⎪⎝⎭30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦(]3,0,4⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用对数函数的性质，将函数的定义域转化为kx2+4kx+3＞0恒成立即可．【详解】要使函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立．若k＝0，则不等式kx2+4kx+3＞0等价为3＞0，∴k＝0成立．若k≠0，要使kx2+4kx+3＞0恒成立，则，216430kk k>⎧⎨=-⨯<⎩即，解得．2430kk k>⎧⎨-<⎩34k<<综上：．304k ≤<故选B.【点睛】本题以对数函数的定义域为切入点，主要考查了不等式恒成立问题，其中要注意对二次项系数k 的讨论是解答本题的关键．15．等差数列中，首项为、公差不为零，前项和为，若是的3倍，则与的{}n a 1a d n n S 8S 4S 1a d 比为（ ）A ．B ．C ．D ．5:22:55:11:5【答案】A【分析】根据题意结合等差数列的前项和运算求解.n ()112n n n S na d -=+【详解】由题意可得：，则，即，843S S =11874383422a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭118281218a d a d +=+注意到，整理得.10,0a d ≠≠1:5:2a d =故选：A.16．已知非空集合满足：，已知函数，对于下列两A B ､,A B A B ⋃=⋂=∅R ()2,21,x x Af x x x B ⎧-∈=⎨-+∈⎩个命题：①存在无穷多非空集合对，使得方程无解；②存在唯一的非空集合对(),A B ()2f x =-，使得为偶函数.下列判断正确的是（ ）(),A B ()f x A ．①正确，②错误B ．①错误，②正确C ．①②都正确D ．①②都错误【答案】A【分析】根据分段函数的性质，可得答案.【详解】设，，，R a ∃∈[),A a =+∞(),B a =-∞易知当时，，当时，，x B ∈()21f x a >-+x A ∈()2f x a ≤-令，故①正确；22122a a -+≥-⎧⎨-<-⎩32a <≤当，时，显然函数为偶函数；{}0A x x =≠{}0B x x ==()f x 当，时，由，解得，故函数此时也为偶函数，故{}1A x x =≠{}1B x x ==221x x -=-+1x =()f x②错误.故选：A.三、解答题17．已知等差数列中，首项，公差，且是等比数列的前三项.{}n a 116a =0d ≠156,,a a a {}n b (1)求数列与的通项公式；{}n a {}n b (2)设数列的前项和为，且记，试比较与的大小.{}n a n n S 4log nn n T b =n S nT【答案】(1)*3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=(2)当时，；当时，；当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>【分析】（1）根据等差数列定义并利用等比数列性质可解得公差，再求出数列的前三项3d =-{}n b 可得其公比，即可写出数列与的通项公式；14q ={}n a {}n b （2）利用等差数列前项和公式和对数运算法则可得，，作差法即可n 23352n n n S -+=23n T n n =-+比较出与的大小.n S n T 【详解】（1）由题意可得，65114164,5165d d d d a a a a =+=+=+=+由等比数列性质可得，2516a a a =⋅即，解得或（舍）()()216416165d d +=⨯+3d =-0d =所以，19(1)163(1)31n n a n a d n +-=---=+=即，11253616,4,1b a b a b a ======所以数列是以为首项，公比的等比数列；{}n b 116b =14q =即，13111441164nn n n b b ---⎛⎫⎛⎫⋅=⨯= ⎪⎪⎝⎭=⎝⎭所以数列与的通项公式分别为{}n a {}n b *3319,4,N n n n a b n n -=-∈+=（2）由等差数列前项和公式可得；n ()2133522n n S n a a n n+-+==由可得，4log nn n T b =3244log log 43n n n T n b n n n -===-+所以，()()22229335292223n n S n n n n T n n n n -+---+-==+-=-由于，所以当时，，即；*N n ∈029n <<0n n S T ->n n S T >当时，，，29n >0n n S T -<n n S T <当时，，29n =0n n S T -=n nS T =综上可得，当时，，当时，，当为正整数.29n >n n S T <29n =n n S T =029,,n n n S T n <<>18．已知函数.()|2|f x x a a =-+（1）当a=2时，求不等式的解集；()6f x ≤（2）设函数.当时，，求的取值范围.()|21|g x x =-x R ∈()()3f x g x +≥a 【答案】（1）；（2）．{|13}x x -≤≤[2,)+∞【详解】试题分析：（1）当时；（2）由2a =⇒()|22|2f x x =-+⇒|22|26x -+≤⇒13x -≤≤等价于()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+⇒()()3f x g x +≥，解之得.|1|3a a -+≥2a ≥试题解析： （1）当时，.2a =()|22|2f x x =-+解不等式，得.|22|26x -+≤13x -≤≤因此，的解集为.()6f x ≤（2）当时，，x R ∈()()|2||12|f x g x x a a x +=-++-|212|x a x a ≥-+-+|1|a a =-+当时等号成立，12x =所以当时，等价于. ① x R ∈()()3f x g x +≥|1|3a a -+≥当时，①等价于，无解.1a ≤13a a -+≥当时，①等价于，解得.1a >13a a -+≥2a ≥所以的取值范围是.a [2,)+∞【解析】不等式选讲.19．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，x ()p x；当产量不小于60万箱时，，若每箱口罩售价100元，()21502p x x x =+()64001011860p x x x =+-通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.(1)求口罩销售利润y （万元）关于产量x （万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价-固定成本-生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？【答案】(1)2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y 关于产量x 的不同对应关系即可求解.x (2) 分别求出分段函数的最大值，比较大小即可求出利润的最大值.【详解】（1）当时，；060x <<2211100504005040022y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭当时，.60x ≥6400640010010118604001460y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，；2150400,060264001460,60x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，060x <<()2211504005085022y x x x =-+-=--+当时，y 取得最大值，最大值为850万元；50x =当时，，60x≥6400146014601300y x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当时，即时，y 取得最大值，最大值为1300万元.6400x x =80x =综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.20．已知数列的前项和满足：为常数，且，；{}n a n n S (1)1n n aS a a =--(a 0a ≠1)a ≠（1）求的通项公式；{}n a （2）设，若数列为等比数列，求的值；21nn nS b a =+{}n b a （3）若数列是（2）中的等比数列，数列，求数列的前项和.{}n b (1)n n c n b =-{}n c n n T【答案】（1）；（2）；（3）nn a a =131239344n n n T +-=⋅+【分析】（1）由公式求得通项公式；11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩ （2）简化数列，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出，解得参数；{}n b 2101a a +=-a （3）由（2）求出数列的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列的前项和．{}n c {}n c n 【详解】解：（1）当时，，1n =11(1)1a S a a =--，，1a a ∴=11(1)1n n a S a a --=--当时，且，2n (1)1n n a S a a =--11(1)1n n a S a a --=--两式做差化简得：1n n a a a -= 即：，1n n a a a -=数列是以为首项，为公比的等比数列，∴{}n a a a ．∴(),0,1n n a a a a a =≠≠为常数且（2），2221(1)1(1)n n n n S a a b a a a a =+=+---若数列为等比数列，{}n b 则，即．2101a a +=-13a =（3）由（2）知，3n n b =∴(1)3n n c n =- ①23031323(1)3n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-⋯ ②23413031323(2)3(1)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯⋯①②得：-234123333(1)3n n n T n +-=+++⋯+--⨯1329322n n +-⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭．∴1239344n n n T +-=+ 【点睛】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前项和，利用错位相减求n 前前项和是关键，属于中档题．n 21．已知函数，记.()()2x f x x =∈R ()()()()()(),g x f x f x h x f x f x =--=+-(1)求不等式的解集：；()()228f x f x -≤(2)设为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；t []01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-t (3)记（其中均为实数），若对于任意的，均有，()()()8222H x f x a f x b =⋅+⋅+a b ､[]0,1x ∈()1H x ≤求的值.a b ､【答案】(1)(],2-∞(2)9120⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)12,8.5a b =-=【分析】（1）利用因式分解法，结合指数函数的单调性进行求解即可；（2）利用换元法，结合指数函数的单调性、对钩函数的单调性、基本不等式进行求解即可；（3）根据二次函数的性质进行求解即可.【详解】（1）所以()()()()222822280242202402,x x x x x f x f x x -≤⇒-⋅-≤⇒-+≤⇒-≤⇒≤不等式的解集为；(],2-∞（2）设，，()()21h x t g x =⋅-[]1,2x ∈，()()()2222222122322x x x x x x x x t t ----+=--⇒-+=-令，因为函数在上单调递增，所以，22x x m -=-22x x m -=-[]1,2x ∈315,24m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦于是有，，当且仅当时取等号，即时取等号，因3t m m =+3t m m =+≥=3m m =m =为函数在单调递减，在上单调递增，3t m m =+32⎡⎢⎣154⎤⎥⎦当时，，当时，，因此，32m =72t =154m =9120t =9120t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在实数，使得成立，所以；[]01,2x ∈()()0021h x t g x =⋅-9120t ⎡⎤∈⎢⎣⎦（3），()()()822282222x x H x f x a f x b a b=⋅+⋅+=⋅+⋅+令，因为，所以，2x n =[]0,1x ∈[]1,2n ∈于是有，当时，，()282H n n an b =++[]1,2n ∈()1H n ≤所以有，()()22118221182212132421132421121211888H a b a b H a b a b a a a b b H ⎧⎧⎧⎪⎪≤⎪++≤-≤++≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤⇒++≤⇒-≤++≤⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎛⎫⎪⎪⎪-≤-+≤-+≤-≤ ⎪⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩⎩由，18221182211312132421132421a b a b a a b a b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⇒⇒-≤≤-⎨⎨-≤++≤-≤---≤⎩⎩由，22218221182212822124812112188a b a b a a a a a b b -≤++≤-≤++≤⎧⎧⎪⎪⇒⇒-≤++≤⇒-≤≤-⎨⎨-≤-+≤-≤-≤⎪⎪⎩⎩所以，12a =-因此有，即.1824217.58.58.5118218.59.5b b b b b -≤-+≤≤≤⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-≤-≤≤≤⎩⎩12,8.5a b =-=【点睛】关键点睛：利用指数函数和对钩函数的单调性，结合二次函数的性质是解题的关键.。
高一数学下学期开学考试试题含解析 5
中学2021-2021学年高一数学下学期开学考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共12小题〕中，点，，假设向量，那么实数〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.2.设，，，那么〔〕A. 或者B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：解，那么，所以，应选D.考点：1.一元二次不等式的求解；2.集合中补集与并集的运算.3.化简的结果是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量数乘的运算律进展化简即可得解.【详解】原式等于．应选：B．【点睛】此题考察向量数乘的运算，考察向量数乘的运算律，关键要将向量的数乘运算进展“合并同类项“表达了类比思想．4.函数在上的最大值是7，那么指数函数在上的最大值与最小值的和为A. 6B. 5C. 3D. 4【答案】B【解析】试题分析：根据题意，由于函数在[0,2]上的最大值是7，那么可知a>0，因此在x=2时获得最大值7，故有4a-1=7,a=2,那么可知指数函数在[0,2]上递增，那么可知最大值为4，最小值为1，故指数函数在[0,2]上的最大值与最小值的和为5,答案为B 考点：函数的最值：点评:本试题主要是考察了一次函数的单调性，以及指数函数的最值，属于根底题。
5.函数，那么的值是A. B. C. 0 D.【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的性质求解即可．【详解】函数，，．应选：C．【点睛】解决分段函数求值问题的策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法那么也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决;(3)求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原那么。
高一数学下学期开学考试试卷 试题
三中2021-2021学年高一下学期开学考数学试题(此题一共12个小题，每一小题 5分，一共60分)1．集合2{|230}A x N x x =∈+-≤，那么集合A 的真子集个数为( )A ．31B ．32C ．3D ．42．函数y =( )A ．{|1}x x ≤B ．{|0}x x ≥C ．{|10}x x x ≥≤或D ．{|01}x x ≤≤3．幂函数的图象过点1(,22，那么))2((log 4f 的值是( ) A ．41 B ．41- C ．2 D ．－ 2 4．133a -=,21log 3b =,121log 3c =,那么( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．函数1()2xf x x=-的零点所在的区间为( ) A ．(1,)+∞ B ．1(,1)2 C ．11(,)32 D ．11(,)43 6．点(tan ,cos )P αα在第三象限，那么角α在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．α是第四象限角，5tan 12α=-，那么sin α= ( ) A ．15 B ．15- C ．513 D ．513- 8．在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围是( )A ．5(,)(,)424ππππB ．(,)4ππC ．5(,)44ππD ．53(,)(,)442ππππ 9．为了得到函数sin(2)6y x π=-的图象，可以将函数cos 2y x =的图象( ) A ．向右平移6π个长度单位 B ．向右平移3π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位 10．如图，43AP AB =，用OA ，OB 表示OP ,那么OP 等于( ) A ．1423OA OB - B ．1423OA OB + C ．1433OA OB + D ．1433OA OB - 11．设O 为ABC ∆内部的一点，且230OA OB OC ++=，那么AOC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为 ( )A ．32B ．53C ．2D ．3 12．形如()0,0b y c b x c=>>-的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧〞字,故我们把其生动地称为“囧函数〞.假设函数()21x x f x a ++= (0a >且1a ≠)有最小值,那么当1,1c b ==时的“囧函数〞与函log a y x =的图象交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6(此题一共4个小题，每一小题 5分，一共20分)13．设函数2,,(),,x x a f x x x a <⎧=⎨≥⎩假设(2)4f =，那么a 的取值范围是______ __． 14．函数log (3)1a y x =--的图象恒过定点P ，那么点P 的坐标是______ __．15．等腰三角形底角的余弦值等于45，那么这个三角形顶角的正弦值为______ __． 16．(6,1)AB =，(4,)BC k =，(2,1)CD =，假设A ，C ，D 三点一共线，那么k =______ __．(第17题10分，其余每一小题均为12分，一共70分)17．设全集为R ，{|24}A x x =≤<，{|3782}B x x x =-≥-．(1)求()R A C B ；(2)假设{|13}C x a x a =-≤≤+，A C A =，务实数a 的取值范围．18．向量a ，b 的夹角为60， 且||2a =，||1b =．(1) 求a b ⋅； (2) 求||a b +．19．求函数2321()2x x y --=的单调区间和值域．20．函数21(1)2x f x x ++=+． (1)求(2)f ，()f x ；(2)证明：函数()f x 在[1,17]上为增函数；(3) 试求函数()f x 在[1,17]上的最大值和最小值．21．3sin(3)cos(2)sin()2()cos()sin()f ππαπαααπαπα---=---． (1)化简()f a ；(2)假设α是第二象限角,且1cos()23πα+=-,求()f α的值.22．函数1()sin cos 22f x x x x =-． (1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值．三中2021级高一数学开年考试参考答案一. 选择题(此题一共12个小题，每一小题 5分，一共60分)1-5CDACB 6-10BDCBC 11-12CC(此题一共4个小题，每一小题 5分，一共20分)13． 2a ≤14． (4,1)-15． 242516． 4(第17题10分，其余每一小题均为12分，一共70分)17解：(1) 全集为R ，{|24}A x x =≤<，{|3782}{|3}B x x x x x =-≥-=≥，{|3}R C B x x =<，(){|4}R A C B x x ∴=<．(2) A C A =，A C ∴⊆，由题意知，C ≠∅，313412a a a a +≥-⎧⎪∴+≥⎨⎪-≤⎩，解得13a ≤≤，∴实数a 的取值范围是[1,3]．18．解： (1) 1||||cos602112a b a b ==⨯⨯=． (2) 22||()a b a b +=+22+24+2117a a b b =⋅+=⨯+=， 所以||7a b +=．19．解：函数2321()2x x y --=的定义域为R ．令232t x x =--，对称轴为32x =，在3(,]2-∞上是减函数，在3[,)2+∞上是增函数， 而1()2ty =在R 上是减函数，所以由复合函数的单调性可知， 2321()2x x y --=在3(,]2-∞上为增函数，在3[,)2+∞上为减函数， 又232t x x =--在32x =时，min 174t =-，1()2t y ∴=在174t =-时，获得最大值174max 2y =，∴所求函数的值域为174(0,2)．20．解：(1)令1x =，那么(2)(11)1f f =+=．令1t x =+，那么1x t =-，21()1t f t t -∴=+，那么21()1x f x x -∴=+． (2)证明：任取12117x x ≤<≤，121212*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++， 又121x x ≤<，120x x ∴-<，12(1)(1)0x x ++>，12123()0(1)(1)x x x x -∴<++，12()()f x f x ∴<， ∴函数()f x 在[1,17]上为增函数．(3)由(2)可知函数()f x 在[1,17]上为增函数， ∴当1x =时，()f x 有最小值12，当17x =时，()f x 有最小值116．21．解: (1)化简得sin cos (cos )()cos (cos )sin f ααααααα-==-． (2)∵1cos()23πα+=-，1sin 3α∴=， ∵α是第二象限角，()cos 3f αα∴===-．22．函数1()sin cos 22f x x x x =-．(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值．解：11()sin cos 22cos 222f x x x x x x =-=- cos sin 2sin cos 2sin(2)666x x x πππ=-=- (1) ()f x 的最小正周期为222T πππω===． (2) 02x π≤≤，52666x πππ∴-≤-≤， 由正弦函数的性质知，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 获得最大值1． 当266x ππ-=-，即0x =时，1(0)2f =-；当5266x ππ-=，即2x π=时，1()22f π=， ()f x ∴的最小值为12-， 因此()f x 在[0,]2π上的最大值是1，最小值是12-．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高一数学下学期开学考试试题含解析
HY中学2021-2021学年高一下学期开学考试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
数学试题一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D. 与没有公一共元素【答案】B【解析】【分析】判断两个集合的元素的特征，即可推出结果．【详解】5，，，所以．应选：B．【点睛】此题考察集合的相等的条件的应用，集合的运算的关系，考察计算才能.，那么满足的的取值范围是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可．【详解】函数，的图象如图：满足，可得：或者，解得．应选：D．【点睛】此题考察分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考察计算才能．，那么是( )A. 奇函数，且在〔0,1〕上是增函数B. 奇函数，且在〔0,1〕上是减函数C. 偶函数，且在〔0,1〕上是增函数D. 偶函数，且在〔0,1〕上是减函数【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数的定义域为，解得，又，所以函数的奇函数，由，令，又由，那么，即，所以函数为单调递增函数，根据复合函数的单调性可知函数在上增函数，应选A.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.【方法点晴】此题主要考察了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性的断定、函数的单调性的断定与应用、复合函数的单调性的断定等知识点的综合考察，着重考察了学生分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能，此题的解答中确定函数的定义域是解答的一个易错点，属于根底题.4.，在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线的长度分别，那么它们的大小关系是A. B. C. D.【答案】B【解析】如图，AT>MP>OM，即c>a>b.5.，，假设与的夹角为钝角，那么的取值范围为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】可求出，根据与的夹角为钝角即可得出，且不平行，从而得出，解出的范围即可．【详解】；的夹角为钝角；，且不平行；；解得，且；的取值范围为：．应选：B．【点睛】考察向量坐标的数量积运算，向量数量积的计算公式，向量平行时的坐标关系．，那么在上的零点的个数为〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】试题分析：由以下图可得在上的零点的个数为，应选C.考点：函数的零点.y=sin2x的图象可能是A. B.C. D.【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：〔1〕由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；〔2〕由函数的单调性，判断图象的变化趋势；〔3〕由函数的奇偶性，判断图象的对称性；〔4〕由函数的周期性，判断图象的循环往复．8.是定义域为的奇函数,满足.假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考察求值问题，常利用奇偶性及周期性进展变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．，，，，假设且，那么四边形的面积为A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】B【解析】【分析】可求出，，根据且即可建立关于x，y的方程组，解出x，y，从而可求出的值，进而得出四边形ABCD的面积．【详解】，，；，且；；解得；，或者；．应选：B．【点睛】考察向量坐标的加法和数量积的运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件．，，，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由,那么,又，,解得,应选B.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、特殊角的三角函数.的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，得到，且，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律得到函数g(x)的解析式，再由正弦函数的图象的特征即函数的值域，正弦函数图像的整体性，得出结论．【详解】依题意得g(x)=sin2+2=sin+2,假设g(x1)·g(x2)=9,那么g(x1)=g(x2)=3, 那么g 〔x1〕=g〔x2〕=3，所以sin=sin=1.因为x1,x2∈[-2π,2π],所以2x1+,2x2+,设2x1++2kπ,2x2++2nπ,k,n∈Z,那么当2x1+=-,2x2+时,|x1-x2|获得最大值3π.应选：C．【点睛】此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，正弦函数的图象的特征，属于中档题．在进展函数伸缩平移时把两个函数化为同名函数是解题的关键；函数图像平移满足左加右减的原那么，这一原那么只针对x本身来说，需要将其系数提出来，再进展加减.12.如图，在中，设，的中点为的中点为的中点恰为，那么等于A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由向量的三角形法那么以及向量中点关系，结合向量的根本定理可表示出．【详解】由题意可得，，，应选：C．【点睛】此题考察平面向量根本定理，表示出是解决问题的关键，属中档题. 二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕的定义域为______．【答案】或者，【解析】【分析】由，切化弦得，即或者，然后解出答案．【详解】因为所以等价于或者所以或者，故答案为：或者，．【点睛】此题考察三角函数的定义域及其求法，考察象限角与轴线角的三角函数值的符号，是根底题．14.，向量，，假设，那么角的值是______．【答案】【解析】【分析】根据平面向量的数量积与三角恒等变换，即可求出C的值．【详解】向量，，那么，又，所以，即，所以；又，所以，所以，解得．故答案为：．【点睛】此题考察了平面向量的数量积与三角恒等变换的应用问题，是根底题．15.是定义在内的偶函数，且在上是增函数，设，，，那么的小关系是______．【答案】【解析】【分析】根据题意，分析可得在上为减函数，进而可得，，，据此分析可得答案．【详解】根据题意，是定义在内的偶函数，且在上是增函数，那么在上为减函数，那么，，，且有，那么有；故答案为：．【点睛】此题考察函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的性质，属于根底题．16.给定一组函数解析式：；；；：；；及如下图的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______．【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域，奇偶性和单调性分别进展判断即可．【详解】：的定义域为，当时，对应第6个图象；是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象；的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象；的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象：的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象；的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象；是奇函数的应用为R，那么上是增函数，对应第5个图象故7个函数解析式依次排序，故答案为：【点睛】此题主要考察幂函数图象的判断，结合函数的定义域奇偶性，单调性分别进展判断是解决此题的关键．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共分〕，集合，，假设，务实数的取值集合．【答案】或者.【解析】【分析】对集合M进展讨论，然后根据条件，即可务实数a的取值范围．【详解】当，即，时，，满足条件，当，即时，或者，假设，那么或者，即或者，此时，综上：a的取值范围是或者【点睛】此题主要考察集合关系的应用，比拟根底要注意对集合M进展分类讨论．且．当时，函数恒有意义，务实数的取值范围；是否存在这样的实数，使得函数在区间上为减函数，并且最大值为1？假如存在，试求出的值；假如不存在，请说明理由．【答案】〔1〕设是减函数，又时，有意义且的取值范围是〔2〕假设存在实数,满足题设条件，在区间上单调递减函数，且是减函数，由即但这样的实数不存在【解析】试题分析：〔1〕根据对数函数的定义，可知且，时，显然符合，时，由别离参数得，右边函数在上单调递减，故，故；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，根据复合函数单调性可知，由〔1〕知，由的最大值为，与不符，故不存在.试题解析：〔1〕当时，由函数恒有定义知恒成立，即，∴，又且，∴实数的取值范围为；〔2〕假设存在符合题设条件的实数，那么函数在区间上为减函数，且是减函数，∴，又在上恒为正，那么，故，由的最大值为，与不符，故不存在符合题设条件的实数．考点：对数函数定义域与单调性.19.如图，在中，，，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由可得，，,的值是一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，此时，，设E点坐标为，，常数．【点睛】此题考察向量在几何中的应用，此题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象．求函数的解析式；当时，方程有唯一实数根，求的取值范围．【答案】；，．【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式．由题意可得当时，函数的图象和直线只有一个交点，数形结合可得m的范围．【详解】将的图象向左平移个单位长度得到的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得的图象．，，，当时，方程有唯一实数根，函数的图象和直线只有一个交点，如下图：故方程有唯一实数根的m的取值范围为，．【点睛】此题主要考察函数的图象变换规律，正弦函数的图象，方程根的存在性以及个数判断，属于中档题．，其图象与轴相邻的两个交点的间隔为．求函数的解析式；2假设将的图象向左平移个长度单位得到函数的图象恰好经过点，求当获得最小值时，在上的单调递增区间．【答案】〔1〕；〔2〕，【解析】【分析】利用两角差的正弦公式、二倍角及辅助角公式将化简，根据正弦函数性质，求得的值，求得的解析式；2利用三角恒等变换规律，求得m的值，求得的解析式，根据正弦函数图象及性质求得函数在上的单调区间．【详解】，，，，由函数的周期，，，，2将的图象向左平移个长度单位，，函数经过，，即，，，，，当，m取最小值，此时最小值为，，令，那么，当，即时，函数单调递增，当，即时，单调递增；在上的单调递增区间，【点睛】此题考察三角恒等变换公式，正弦函数图象及性质，三角函数图象变换规律，考察转化思想，属于中档题．=)且=.(1)求的值.(2)假设函数=有零点,务实数的取值范围.(3)当时,恒成立,务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕 .【解析】试题分析：〔1〕由函数的解析式以及，求得的值；〔2〕由题意可得，函数的图象和直线有交点，那么有，即可求得的取值范围；〔3〕由题意可得当恒成立，令，那么，且，利用单调性求得，从而求得实数的取值范围.试题解析：(1)对于函数=,由,∴.(2)==.假设函数===有零点,那么函数的图象和直线有交点,∴,∴.(3)∵当恒成立,即恒成立,令,那么,且==,∵=在上单调递减,∴=,∴.点睛：此题主要考察了指数函数的性质以及换元法的运用. 解答中涉及到不等式的恒成立问题的求解，不等式的性质的应用，解答中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
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淄川中学2016-2017学年高一下学期开学收心考试数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）：
1. 已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =
（A ）{}1,3 （B ）{}3,7,9 （C ）{}3,5,9 （D ）{}3,9
2.已知直线3120mx y +-=在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m 的值为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
3.下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是( )
A ．y ＝3－x
B ．y ＝x 2＋1
C ．y ＝1x
D ．y ＝－|x ＋1|
4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0x 2，x ＜0，则f (f (－2))的值是( )
A ．4
B ．－4
C ．8
D ．－8
5.在空间，下列命题正确的是
（A ）平行直线的平行投影重合 (B)平行于同一直线的两个平面平行
（C ）垂直于同一平面两个平面平行（D ）平行于同一平面的两个平面平行
6．若幂函数()()
211m f x m m x -=--是偶函数，则实数m =
A ．1-或2
B ．2
C ．3
D ．1-
7.函数y ＝lo g a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A ．(1，2)
B ．(2，1)
C ．(－2，1)
D ．(－1，1) 8．正方体的内切球与其外接球的体积之比为
(A)1∶3 (B)1∶3 (C)1∶33 (D)1∶9
9．若三条直线123::260,40,:210l ax y l x y l x y ++=+-=-+=相交于同一点，则实数a =
A ．10
B ．10-
C ．12-
D ．12
10.右图是正方体的平面展开图．在正方体中，下列结论正确的序号是：
①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；
③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 垂直．
A ．③④
B ．②④
C ．①②
D ．①③
二、填空题：（每题4分，共20分）
11一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为． 12.8log 4
log 93＝________.
13. 已知两点()(0,1),4,3A B
，则线段AB 的垂直平分线方程是
14.函数y
.
15.54)(2+-=mx x x f 在区间[)+∞-,2上是增函数，求m 的范围 。
三、解答题：（每题12分，共60分）
16．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出
来； 17.求满足下列条件的直线方程：
（Ⅰ）求经过直线1:330l x y +-=和2:10l x y -+=的
交
点，且平行于直线230x y +-=的直线l 的方程；
（Ⅱ）已知直线1:260l x y +-=和点(1,1)A -，过点A 作直线l 与1l 相交于点B ，且5AB =，求直线l 的方程．
18.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．
（1）证明：PA ∥平面EDB ；
（2）证明：PB ⊥平面EFD ．
19.已知函数f (x )＝2x x ＋1
，x ∈[－3，－2]． (1)求证：f (x )在[－3，－2]上是增函数；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
20.已知ABC ∆的顶点1)，(5A
，AB 边上的中线CM 所在直线方程为052=--y x ，B ∠的平分线BN 所在直线方程为052=--y x ．求
（Ⅰ）顶点B 的坐标；
（Ⅱ）直线BC 的方程．
淄川中学2016-2017学年高一下学期开学收心考试数学答案
一、选择题 DCBCD DD CCA
二、填空题
12 43
260x y +-=[]3,1-m ≤-16 三、解答题
16.．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠0Δ<0，
解得a >98
. (2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23
； 当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x ＝43
. ∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43
}． 17. 解：（Ⅰ）由33010
x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得交点坐标为（0，1） 因为直线l 平行于直线230x y +-=，所以直线l 的斜率为2-
所以，直线l 的方程为12(0)y x -=--，即210x y +-=． （Ⅱ）方法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1(1)y k x +=-，即直线l 的方程为(1)y kx k =-+
因为直线l 与1l 相交于点B ，联立方程组(1)26
y kx k y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得点B 的坐标为742(,)22k k k k +-++
又5AB ==，解得34k =- 所以，直线l 的方程为3410x y ++=；
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时直线l 与1l 的交点为)1,4（，也满足题意，故直线1x =符合题设． 综上所述，直线l 的方程为3410x y ++=和1x =．
方法二：设点B 的坐标为(,)m n
因为点B 在直线1:260l x y +-=上，所以260m n +-= ①
又因为5AB =，且点(1,1)A -5= ②
联立①②，解得B 的坐标为(1,4)和(5,4)-
由此可得直线l 的方程为：3410x y ++=和1x =
18. 解析：证明：（1）连接AC 交BD 与O ，连接EO ．
∵底面ABCD 是矩形，
∴点O 是AC 的中点．
又∵E 是PC 的中点
∴在△PAC 中，EO 为中位线
∴PA ∥EO ，
而EO ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，
∴PA ∥平面EDB ．
（2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．
∵底面ABCD 是矩形，
∴DC ⊥BC ，
且PD ∩CD=D ，
∴BC ⊥平面PDC ，而DE ⊂平面PDC ，
∴BC ⊥DE ． ①
∵PD=DC ，E 是PC 的中点，
∴△PDC 是等腰三角形，DE ⊥PC ． ②
由①和②及BC ∩PC=C ，∴DE ⊥平面PBC ．
而PB ⊂平面PBC ，
∴DE ⊥PB ．
又EF ⊥PB 且DE ∩EF=E ，
∴PB ⊥平面EFD ．
19.解：(1)证明：设x 1，x 2是区间[－3，－2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1＋1－2x 2x 2＋1
＝2x 1（x 2＋1）－2x 2（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2＋1）
＝2（x 1－x 2）（x 1＋1）（x 2＋1）
. 由于－3≤x 1<x 2≤－2，
则x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)．
所以函数f (x )＝2x x ＋1
在[－3，－2]上是增函数． (2)因为f (－2)＝4，f (－3)＝3，
且f (x )在[－3，－2]上是增函数，
所以函数f (x )的最大值是4，最小值是3.
20. 解：（Ⅰ）设顶点B 的坐标为()m n ,
因为顶点B 在直线BN 上，所以052=--n m ………………2分
由顶点B 的坐标为()m n ,和顶点1)，(5A
，得线段AB 的中点M 的坐标为)1，(225++n m ．因为中点M 在直线CM 上，所以052
1252=-+-+⨯n m ，即012=--n m ……………………………………………………………4分
联立方程组⎩⎨⎧=--=--0
12052n m n m ，解得B 的坐标为(13)--,． …………6分 （Ⅱ）设顶点1)，(5A
关于直线BN 的对称点为(,)A s t ' 由于线段A A '的中点在直线BN 上，得方程
0521225=-+⨯-+t s ， 即072=--t s ………………7分
由于直线A A '与直线BN 垂直，得方程15
121-=--⨯s t ，即0112=-+t s ……………………8分
联立方程组⎩⎨⎧=-+=--0
112072t s t s ，解得293()55A '-,……………………10分 显然顶点)，(53529-'
A 在直线BC 上，又顶点
B 的坐标为(1,3)--
所以，直线BC 的方程为617450x y --=． ……………………12分。