电磁场论分离变量法习题课08
电磁场与电磁波第四版第八章习题解答
解：当波导内为空气填充时，其工作波长为
当波导内填充以 的介质时。其工作波长为
波导壁的表面电阻
查表得紫铜的电导率 ，于是
矩形波导中传输 波时，由导体引起的衰减为
（1）当波导内为空气填充， ，得
用分贝表示
（2）当波导内填充以 的介质时
用分贝表示
得
即
所以
8.14设计一矩形谐振腔，使在1及1.5GHz分别谐振于两个不同模式上。
解：矩形谐振腔的谐振频率为
若使在1及1.5GHz分别谐振于矩形谐振腔的 及 两个不同模式上，则它们的谐振频率分别为
则
将以上二式相减得
可得
将其代入式（2）得
所以
尺寸b可取为
于是该矩形谐振腔的尺寸为
8.15由空气填充的矩形谐振腔，其尺寸为a=25mm,b=12.5mm,d=60mm,谐振于TE102模式，若在腔内填充介质，则在同一工作频率将谐振一TE103模式，求介质的相对介电常数 应为多少？
（2）求出该最小的驻波比及相应的电压反射系数。
（3）确定距负载最近的电压最小点位置。
解：（1）因为
得
驻波比S要最小，就要求反射系数 最小，而
其最小值可由 求得
故
（2）将 代入反射系数公式，得
最小驻波比为
（3）终端反射系数
由上题的结论，电压的第一个波节点 应满足
即
解得
8.23有一段特性阻抗为 的无损耗线，当终端短路时，测的始端的阻抗为 的感抗，求该传输线的最小长度；如果该线的终端为开路，长度又为多少？
分布电感
（2）
8.17同轴线的外导体半径 ，内导体半径 ，填充介质分别为空气和 的无耗介质，试计算其特性组抗。
《工程电磁场导论》练习题及答案
《工程电磁场导论》练习题一、填空题（每空*2*分，共30分）1.根据物质的静电表现，可以把它们分成两大类：导电体和绝缘体。
2.在导电介质中（如导体、电解液等）中，电荷的运动形成的电流成为传导电流。
3.在自由空间（如真空中）电荷运动形成的电流成为运流电流。
4.电磁能量的储存者和传递者都是电磁场，导体仅起着定向导引电磁能流的作用，故通常称为导波系统。
5.天线的种类很多，在通讯、广播、雷达等领域，选用电磁辐射能力较强的细天线。
6.电源是一种把其它形式的能量转换成电能的装置，它能把电源内导电原子或分子的正负电荷分开。
7.实际上直接危及生命的不是电压，而是通过人体的电流，当通过人体的工频电流超过8mA 时，有可能发生危险，超过30mA 时将危及生命。
8.静电场中导体的特点是：在导体表面形成一定面积的电荷分布，是导体内的电场为0，每个导体都成等位体，其表面为等位面。
9.恒定电场中传导电流连续性方程∮S J.dS=0 。
10.电导是流经导电媒质的电流与导电媒质两端电压之比。
11.在理想导体表面外侧的附近介质中，磁力线平行于其表面，电力线则与其表面相垂直。
12.如果是以大地为导线或为消除电气设备的导电部分对地电压的升高而接地，称为工作接地。
13. 电荷的周围，存在的一种特殊形式的物质，称电场。
14.工程上常将电气设备的一部分和大地联接，这就叫接地。
如果是为保护工作人员及电气设备的安全而接地，成为保护接地。
二、回答下列问题1.库伦定律：答：在无限大真空中，当两个静止的小带电体之间的距离远远大于它们本身的几何尺寸时，该两带电体之间的作用力可以表示为：这一规律成为库仑定律。
2.有限差分法的基本思想是什么？答：把场域用网格进行分割，再把拉普拉斯方程用以各网格节点处的电位作为未知数的差分方程式来进行代换，将求拉普拉斯方程解的问题变为求联立差分方程组的解的问题。
3.静电场在导体中有什么特点？答：在导体表面形成一定的面积电荷分布，使导体内的电场为零，每个导体都成为等位体，其表面为等位面。
电磁场第2章-分离变量法与镜像法
2 当kx为虚数( k x 0
直角坐标中的分离变量法
)时
x x
当kx=0时 ，f(x)的解为
k x j x
f ( x) A3 x B3
f ( x ) A1e jk x x B1e jk x x
f ( x) A2 e
xx
B2 e
同理 可得g(y)和 h(z)的通解 同理，可得
ab n s, m t C 4 st n s, m t 0
n 2 m 2 4Uab ab b U b Cst sinh c 2 4 a b st
Cnm 16Uab nm 2 n 1, 2,5, 1 n 2 m 2 m 1, 2,5, sinh c a b Yan Liping - SCU 26
Dn1 1
1
理想介质
1 2 2 S n n
1 2
tan 1 E1t E 2n 1 tan 2 E1n E 2t 2
4 2011/9/26 Yan Liping - SCU 5
问题所给出的边界面与一个坐标系的坐标 面平行或相合，或分段地与坐标面平行或 相合。 全泽松，电磁场理论，电子科技大学出版 社，pp64-72
f '' ( x) k x2 f ( x)
h '' ( z ) k z2 h( z )
g '' ( y) 2 k y g ( y)
2 k x2 k y k z2 0
用 f x g y h z 除上式，得到
数学物理方法课本答案第三章分离变量法
第三章 分离变量法3。
2 基础训练3.2.1 例题分析例1 解下列定解问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-==∂∂=><<∂∂=∂∂====0,20,00,0020022222t t lx x t u lx x u x uu t l x x u a t u （1） 解：分离变量，即令(,)()()u x t X x T t = （2） 代入方程（（1）中第一式），得0)()(2=+''t T a t T λ （3）0)()(=+''x X x X λ （4）其中λ为分离常数。
（2）式代入边界条件（（1）中第二式），得0)()0(='=l X X （5）相应的本证值问题为求⎩⎨⎧='==+''0)()0(0)()(l X X x X x X λ （6） 的非零解．下面针对λ的取值情况进行讨论： （1）当0λ<时，（6）式中方程的通解是()X x Ae =+ （7）其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得A B Ae+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ （8）由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。
(2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。
（3）当02>=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为x B x A x X ββsin cos )(+=代入条件（6）中边界条件，得0cos ,0==l B A β由于 0≠B ，故 0cos =l β，即),2,1,0(212 =+=n ln πβ从而得到一系列固有值与固有函数2224)12(ln n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin)( =+=n x ln B x X n n π与这些固有值相对应的方程（3）的通解为),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )( =+'++'=n tlan D t l a n C t T n nn ππ于是，所求定解问题的解可表示为x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∑∞=利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得0=n D33202)12(322)12(sin )2(2ππ+-=+-=⎰n l xdxln lx x l C l n故所求的解为x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0332πππ++⨯+-=∑∞=例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。
大学 电磁场理论 完整 课件 第14讲 柱球坐标分离变量法例题
电磁场理论讲稿第14讲柱、球坐标分离变量法例题电子信息工程学院例题①图示为一个在z 方向无限长、半径为a ，带有面电荷密度的圆柱面。
若已知1、（常数）2、求：空间的电位分布。
ηϕηη2cos 0=0ηη=)/(2m C )/(2m C解：对于整个空间，除了的圆柱面，都没有电荷分布。
因此将空间分为两个区域。
其电位分布都满足拉普拉斯方程，即有：)/(20m C ηη=a r c =)0(0)(12a r r c <≤=Φ∇)(0)(22a r r c >=Φ∇边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=)()(,)2(21r r a r cΦ=Φ=021)()(,)3(εη=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar在的边界面上，有a r c =crn i i ˆˆ-=系统在z 方向上无限长，所以无限远处，电位不趋于零，而电场趋于零。
2(4),()0c r E r →∞→cr B A r ln )(111+=Φcr B A r ln )(222+=Φ试探解由边界条件，应有：a B A A ln 221+=002εη=-a B 01=B 所以02εηaB -=但是，不确定。
所以得21,A A )0()(11a r A r c <≤=Φ)(ln )(0022a r r a A r c c>-=Φεη解：不确定，但他们的关系为：21,A A aaA A ln 0021εη-=由电位分布可得到电场的分布为：)0(0)(1a r r E c <≤=020ˆ()()cr c ca E r i r a r ηε=>边界条件：有限)(,0)1(1r r cΦ=2(2),()0c r E r →∞→)()(,)3(21r r a r cΦ=Φ=ϕεη2cos )()(,)4(0021=∂Φ∂-∂Φ∂=c c c r r r r ar试探解的形式为：ϕ2cos )()(22cc r B Ar r +=Φ cos ηηϕ=02为了满足边界条件（1）、（2）应选择由边界条件（3）、（4）空间电位分布为：)0(2cos )(211a r r A r c c <≤=Φϕ)(2cos )(22a r r Br c c>=Φϕ3020014,4εηεηaB a A ==)0(2cos 4)(2001a r r a r c c <≤=Φϕεη )(2cos 4)(20302a r r a r c c>=Φϕεη 电场分布为：)0()2sin ˆ2cos ˆ(2)(01a r i i r a r E c r c c<≤+-=ϕϕεηϕ )()2sin ˆ2cos ˆ(2)(3302a r i i r a r E c r c >+=ϕϕεηϕ一个半径为R ，带有面电荷密度η的球面，若已知θηηcos 0=1、（常数）0ηη=)/(2m C )/(2m C 2、求空间电位分布。
第三章静电场5—分离变量法
第三章静电场（5）分离变量法陈德智2011年3月分离变量法之要点•求解区域边界与坐标面平行。
（矩形，圆形，球形等，共11种坐标系可解）•微分方程和部分边界条件皆为齐次。
（便于叠加）•将方程分解为若干只与某个坐标相关的函数的乘积，求解本征值问题。
•利用边界条件和本征函数的正交性确定系数。
分离变量法举例1：栅极的静电场设栅网与极板均为无限大，栅网只有平行的格线组成，栅格宽度为a。
栅网平面上的电位呈周期性分布，可用Fourier级数表示。
2nπ分离变量法举例1：栅极的静电场电位分布212(1)cos()nxannx n y U U ed aππϕ∞−==−+∑分离变量法举例2：尖角/凹陷处的静电场接地的两平面导体形成一定夹角α ，在远处有一些电荷或带电体，分析夹角附近的场分布。
构建模型：设远处有一同心圆弧形导体，电位为U。
（这样假设是为了解题方便；远处的场不是关心的所在）0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ<0πααρ−→如果0100(sin cos )ρφραραα=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当απ=1πααρ−→如果010004(sin cos )4y U U ρφφφρπρπ=−+=−E e e e01004(sin cos )U πααρφρπφπφραραα−⎛⎞=−+⎜⎟⎝⎠E e e 0ρ→当πααρ−→∞απ>如果尖劈局部电场分布（右图电力线按反方向绘制）尖劈电场分布的ANSYS有限元计算结果采用ANSYS计算尖劈电场分布的两种有限元网格分离变量法学过数学物理方程的人会有这样的经验，使用分离变量法求解边值问题是相当麻烦的。
可是，当你看到那么复杂的电磁场问题，通过一步步的推导，得出了美妙的结果，会产生一种发自内心的愉悦。
要知道，这些问题的解决，曾经想破了无数最聪明的脑袋，是数学物理史上了不起的成就，——而现在，它属于你了。
其次，虽然过程有些繁琐，但是不难，因为解题的步骤都大同小异。
电磁场课件5 分离变量法、有限差分法、有限元法
(1)
右式 ＝ 代入式（1）
0
mn
a
0
nπ a E n sin ( x )dx E n m n a 2
2
2 aU 0 a a E n Fn ' sh( n π ) mπ 2 2 4U 0 Fn ' m n 1,3,5,... n πsh n π
代入通解
4U 0 1 nπ nπ ( x, y ) sin( x )sh( y ) π n 1 nsh nπ a a ncos （自然边界条件），得 当 ， n 1 时，A0 B 0 0， A1 E
当 ， n 1 时，A0 B o An 0
1 ( , ) E cos
2 2 0
1 2 2
0
1 2 0
0 a
a
0， 1 根据对称性
Ex E cos
自然边界条件
( , ) ( , ) 及 ( , ) 0 2
2）分离变量,设
x x x x
若 k 0，
2 n
双曲函数 ( x, y ) 1 ( x ) 2 ( y ) ( An cos k n x Bn sin k n x )(C n chk n y Dn shk n y )
( An chk n x B n shk n x )(C n cos k n y D n sin k n y )
Bn ' Dn 'sin kn a Fn 'sin kn a 0
kn
n n ( x , y ) Fn ' sin( x ) sh y a a n 1
电磁场第二章8-9
q q 1 ( r ) ( ) 4 1 r1 r2
P (r )
2 ( r )
1 S 2 S
q q 1 q 1 1 ( ) (q q ) q 4 1 r r 4 2 r 1 2 1
q
q
r
上页
1 1
q
2 2
r
2-8 分离变量法
泛定方程：
2
0
2
定解条件： ( r ) u( rs )
S
n
u( rs )
S
• 其它边界条件：周期性条件；界面的衔接条件；自然条件； • 界面的衔接条件：
1 2
1 2 1 2 n n
分离变量法：把待求函数分离成三个函数的乘积， 每个函数仅与一个坐标变量有关。把三维偏微分方 程变为三个常微分方程。 使用条件：边界和正交坐标系的坐标曲面对应。如 平面、球面、柱面等。
2-9
镜 像 法
唯一性定理：当电位满足泊松方程或拉普拉斯方程，在边 界上满足三类边界条件之一时，电位的解是唯一的。
两问题的等效条件：研究域内源的分布不变；边界上电位的边界
条件不变。
把电荷分布未知的问题化简为已知电荷分布的问题。 该等效电荷叫镜像电荷。该方法叫镜像法。
1 导电平面上方点电荷的电场
2 无限大介质平面上点电荷的电场
Y ( y ) Ce
j ky y
y
d V
0
De
j ky y
Y ( y ) C sin k y y D cos k y y
0
沿X方向指数 衰减，Y方向 周期变化。
x
k x jk
解为：
X ( x ) Ae
电磁场理论与微波技术 第8章 微波传输线
所以 ▽× = -jωμH
③
4．全电流定律▽×H = Jc + ∂D/∂t ，现无传导电流，Jc = 0 ， 以及D = εE ，E正比于ejωt ，
所以 ▽×H = jωεE
④
第8章 微波传输线
Maxwell方程组变成：
▽•E = 0
①
▽•B = 0
②
▽×E = -jωμH ③
▽×H = jωεE ④
第8章 微波传输线 图 8―1―1
第8章 微波传输线
在微波的低频段，可以用平行双线来传输微波能量和信号；而 当频率提高到其波长和两根导线间的距离可以相比时，电磁能量会 通过导线向空间辐射出去，损耗随之增加，频率愈高，损耗愈大， 因此在微波的高频段，平行双线不能用来作为传输线。
为了避免辐射损耗，可以将传输线做成封闭形式，像同轴线 那样电磁能量被限制在内外导体之间，从而消除了辐射损耗。因 此，同轴线传输线所传输的电磁波频率范围可以提高，是目前常 用的微波传输线。但随频率的继续提高，同轴线的横截面尺寸必 须相应减小，才能保证它只传输TEM模，这样会导致同轴线的导 体损耗增加，尤其内导体引起损耗更大，传输功率容量降低。因 此同轴线又不能传输更高频率的电磁波，一般只适用于厘米波 段。
= ω2 με
（即以后的波数k = 2π/λε：k = ω√με，2πf / v = 2π/λε，v=λεf）
左边 = 右边：
即：▽2 E + k2 E = 0
其中k2
2．同样对▽×H式两边再取▽×：得 ：▽2 H + k2 H = 0
第8章 微波传输线
（三）直角坐标系下的场量：
E = ax Ex + ay Ey + az Ez H = ax Hx + ay Hy + az Hz ▽2 E = ax▽2Ex + ay▽2Ey + az▽2Ez ▽2 H = ax▽2Hx + ay▽2Hy + az▽2Hz
电磁场与电磁波习题及答案
11 麦克斯韦I 方程组.的微分形式 是：J . H =J JD,\ E = _。
「|_B =0,七出=：2静电场的基本方程积分形式为：性£虏=03理想导体（设为媒质 2）与空气（设为媒质 1）分界 面上，电磁场的边界条件为：4线性且各向同性媒质的 本构关系方程是：5电流连续性方程的微分形式为：。
6电位满足的泊松方程为；在两种完纯介质分界面上 电位满足的边界 。
7应用镜像法和其它间接方法解静 态场边值问题的理论依据是。
8.电场强度E Aj 单位是,电位移D t 勺单位是。
9.静电场的两个基本方程的微分 形式为“黑E =0 Q D = P ； 10.—个直流电流回路除 受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到安 培力作用1 .在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A,并令冒=%，的依据是（c.V 值=0）2 . “某处的电位 中=0,则该处的电场强度 E=0的说法是（错误的）。
3 .自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a ,线间距为D ,则传输线单位长度的电容为4 .点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ 1/r2）。
5 . N 个导体组成的系统的能量 W =1£ q * ,其中e i 2 t i i 是（除i 个导体外的其他导体）产生的电位。
6 .为了描述电荷分布在空间流动的状态， 定义体积电流密度J,其国际单位为（a/m2 ）7 .应用高斯定理求解静电场要求电场具有（对称性）分布。
8 .如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（不一 定为零 ）。
9 .真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度dB 随该点到电流元距离变化的规律为（ 1/r2 ）。
10.半径为a 的球形电荷分布产生的电场的能量储存于（整个空间）。
三、海水的电导率为 4S/m,相对介电常数为 81,求频 率为1MHz 时，位幅与导幅比值？三、解：设电场随时间作正弦变化，表示为：E = e x E m cos t则位移电流密度为：J d =— = -ex ：-. ■ 0 r E m Sin t；t其振幅彳1为：J dm = 网 5E m = 4.5X10- E m 传导电 流的振幅值为： J cm -二- E m = 4E m 因此：Jm =1.125/0J -cm四、自由空间中，有一半径为a 、带电荷量q 的导体球。
电磁场理论习题
《电磁场理论》题库《电磁场理论》综合练习题1一、 填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为μ，则磁感应强度B 和磁场H 满足的方程为：。
2．设线性各向同性的均匀媒质中，02=∇φ称为方程。
3．时变电磁场中，数学表达式H E S ⨯=称为。
4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。
5．矢量场)(r A 穿过闭合曲面S 的通量的表达式为：。
6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。
7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。
8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。
9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。
10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。
二、 简述题（每题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为t B E ∂∂-=⨯∇ ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。
12．试简述唯一性定理，并说明其意义。
13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。
14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？三、计算题（每题10分，共30分）15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数y x e xz e y B ˆˆ2+-= 是否是某区域的磁通量密度？（2）如果是，求相应的电流分布。
16．矢量z y x e e e A ˆ3ˆˆ2-+= ，z y x e e e B ˆˆ3ˆ5--= ，求 （1）B A + （2）B A ⋅17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为（1） 试写出其时间表达式；（2） 说明电磁波的传播方向；四、应用题（每题10分，共30分）18．均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。
试求（1） 球内任一点的电场强度（2） 球外任一点的电位移矢量。
19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示），（1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。
谢处方《电磁场与电磁波》(第4版)章节习题-第3章 静态电磁场及其边值问题的解【圣才出品】
第3章 静态电磁场及其边值问题的解一、判断题1．为了简化空间电位分布的表达式，总可以将电位参考点选择在无穷远处。
（）【答案】×2．焦耳定律只适用于传导电流，不适应于运流电流。
（）【答案】√3．绝缘介质与导体分界面上，在静电情况下导体外的电力线总是垂直于导体表面的。
（）【答案】√4．位移电流的假说就是变化的磁场产生电场的假说。
（）【答案】×5．任意两个带电导体之间都存在电容，对电容有影响的因素包括导体几何形状，导体上的电荷量、两导体相对位置和空间介质。
（）【答案】×6．恒定电场中理想导体内的电场强度为零。
（）【答案】√7．空间体积中有电流时，该空间内表面上便有面电流。
（）【答案】×8．应用分离变量法求解电、磁场问题时，要求整个场域内媒质必须是均匀、线性的。
（）【答案】×9．一个点电荷Q放在球形高斯面中心处。
如果此电荷被移开原来的球心，但仍在球内，则通过这个球面的电通量将会改变。
（）【答案】×台10．在线性磁介质中，由的关系可知，电感系数不仅与导线的几何尺寸、材料L Iψ=特性有关，还与通过线圈的电流有关。
（ ）【答案】×二、填空题1．镜像法是在所求场的区域之外，用_______来代替场问题的边界。
假想电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场必须要满足_______。
【答案】一些假想电荷；原问题的边界条件。
2．磁介质中恒定磁场的基本方程为：_______。
【答案】，；，.d 0S B S =⎰v v Ñ0B ∇⋅=v d 0CH l ⋅=⎰v v ÑH J ∇⨯=v v 3．位移电流假说的实质是_______。
【答案】变化的电场可以产生磁场4．位移电流和真实电流（如传导电流和运流电流）的区别在于_______。
【答案】位移电流不对应任何带电质点的运动，只是电场随时间的变化率5．已知磁感应强度为，则m 的值为_______。
《电磁场理论》练习题与参考答案（最新版）
《电磁场理论》练习题与参考答案（最新版）第1~2章矢量分析宏观电磁现象的基本规律1. 设：直角坐标系中，标量场zx yz xy u ++=的梯度为A，则M （1，1，1）处A= ，=??A 0 。
2. 已知矢量场xz e xy e z y e A z y x ?4?)(?2+++= ，则在M （1，1，1）处=??A 9 。
3. 亥姆霍兹定理指出，若唯一地确定一个矢量场（场量为A），则必须同时给定该场矢量的旋度及散度。
4. 任一矢量场在无限大空间不可能既是无源场又是无旋场，但在局部空间可以有以及。
5. 写出线性和各项同性介质中场量D 、E 、B 、H、J 所满足的方程（结构方程）：。
6. 电流连续性方程的微分和积分形式分别为和。
7. 设理想导体的表面A 的电场强度为E 、磁场强度为B，则（a ）E 、B皆与A 垂直。
（b ）E 与A 垂直，B与A 平行。
（c ）E 与A 平行，B与A 垂直。
（d ）E 、B 皆与A 平行。
答案：B8. 两种不同的理想介质的交界面上，（A ）1212 , E E H H == （B ）1212 , n n n n E E H H == (C)1212 , t t t t E E H H == (D) 1212 , t t n n E E H H == 答案：C9. 设自由真空区域电场强度(V/m) )sin(?0βz ωt E eE y -=，其中0E 、ω、β为常数。
则空间位移电流密度d J（A/m 2）为：222x y z e e e ++AA ??E J HB E Dσ=μ=ε= , ,t q S d J S ??-=?? t J ?ρ?-=?? 0A ??=0A ??=（a ）)cos(?0βz ωt E ey - （b ）)cos(?0βz ωt ωE e y -（c ）)cos(?00βz ωt E ωey -ε （d ）)cos(?0βz ωt βE e y -- 答案：C 10. 已知无限大空间的相对介电常数为4=εr ，电场强度(V/m) 2cos ?0dxeE x πρ=，其中0ρ、d 为常数。
电磁场理论习题解读
电磁场理论习题解读思考与练习⼀1．证明⽮量3?2??z y x e e e -+=A 和z y x e e e ++=B 相互垂直。
2. 已知⽮量 1.55.8z y e ?e ?+=A 和4936z y e ?.e ?+-=B ，求两⽮量的夹⾓。
3. 如果0=++z z y y x x B A B A B A ，证明⽮量A 和B 处处垂直。
4. 导出正交曲线坐标系中相邻两点弧长的⼀般表达式。
5．根据算符?的与⽮量性，推导下列公式：()()()()B A B A A B A B B A ??++??+=??)(()()A A A A A 2??-?=21 []H E E H H E -=6．设u 是空间坐标z ,y ,x 的函数，证明：u du df u f ?=?)(， ()du d u u A A ??=??， ()dud u u A A ??=??，()[]0=z ,y ,x A 。
7．设222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-='-=r r 为源点x '到场点x 的距离，R 的⽅向规定为从源点指向场点。
证明下列结果，R R R R =?'-=?， 311R R R R-=?'-=?，03=??R R ，033=??'-=??RR R R )0(≠R （最后⼀式在0=R 点不成⽴）。
8. 求[])sin(0r k E 及[])sin(0r k E ，其中0E a ,为常⽮量。
9. 应⽤⾼斯定理证明 =??v sd dV f s f ，应⽤斯克斯（Stokes ）定理证明??=??s Ldl dS ??。
10.证明Gauss 积分公式[]+???=??s Vdv d ψφψφψφ2s 。
11.导出在任意正交曲线坐标系中()321q ,q ,q F ??、()[]321q ,q ,q F 、()3212q ,q ,q f ?的表达式。
电磁场论分离变量法习题课08
r
r
式中球谐函数
1 , Pnm cos cos m Ynm 2 , Pnm cos sin m Ynm
缔合勒让德多项式：
Pnm cos 1 cos 2
勒让德多项式：
n
m 2
d Pn cos
E0
图 3.8-3 均匀电场中的电介质球附近的电场
z r
P
【例3】均匀电场中 的导体球。
a
O
y
e→∞
F1
e
x
E0
E0
图 3.8-4 均匀场放一导体球后的电场分布
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
1 2 Φ 1 Φ r 2 sin 0 2 r r r r sin
勒让德多项式：
1 d cos 1 Pn cos n 2 n! d cos n
n 2
n
n 0
Pn(cos) 1
1 2
3 4
5
3 1 2 cos 2 2 5 3 3 cos cos 2 2 35 15 3 4 2 cos cos 8 4 8 63 35 15 5 3 cos cos cos 8 4 8
通解为：
Φ r , An r n
n 0
Bn P cos n 1 n r
若具有球对称性，F与 , 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ A r
解为： Φ
C1 ln tan C2 2
电磁场理论基础-第三章分离变量法
分离变量法解形式判断
若特征根为零，其解应为线性函数。
沿某坐标有重复零点的，表现为周期性，其解应选三角函数 无限远处趋于零，表现为衰减性，其解应选指数函数形式。 起于一点，止于另一点，边界条件是非周期性的，其解应选
双曲函数。 边界关于原点对称，选正弦（三角函数，双曲函数）；关
于坐标轴对称，选余弦（三角函数，双曲函数）
当 k x 实数时， k y 为纯虚数
X ( x ) A s in h ( k x ) B c o s h ( k x ) Y (y ) C s in (k y ) D c o s (k y )
通常 k 可为一系列特定值 kn(n1,2,...) 所以此时通解为
( x ,y ) ( A n s i n h ( k n x ) B n c o s h ( k n x ) ) ( C n s i n ( k n y ) D n c o s ( k n y ) ) n 1
n a
x sin
m a
x
a
n
m
fn 0 sin n 1
a
x sin
a
x
0
， nm
f
m
a sin 2 m
0
a
xdx ,
nm
0
a
f m 2
， nm , nm
左边=右边，得
Dm
m
4U0
sinhm
, b
a
m 1 ,3 ,5 ,
因此电位函数
x,yn1 ,3,5ns4U i0 n nhbsinn a xsin na hy
20XX年复习资料
大学复习资料
专 业： 班 级： 科目老师： 日 期：
3.6 分离变量法
分离变量法习题课.ppt
Rm (r)<3>C* 0 (ln r ln r2 )
Cm (r m r22mr m )
Wuhan University
4
Rm (r) C0 (ln r ln r2 )
( ) 一A、m 正co交s m曲线 坐Bm标sin系m中的分离变Cm量(r m r22mr m )
[ n ]2
n
因为 a Rn () b bn
④
u(,)
n
Cn
n1
sin
n
(
)
由式<3>，得：
f
()
n
Cna
n1
sin
n
(
)
#
n
Cn a a
u(x,0) 3sin ut (x,0) 0
x
,
0
x
u(0,t) u( ,t) 0;
u(x,t) (An cos nat Bn sin nat)sin nx
n1
u(x,0) 3sin x An sin nx 3sin x
sin
x
sin
y
<1>
sin z
ut (x, y, z;0) 0 u(0, y, z;t) u(1,
y,
z;
t
)
<3> 0 <4>
Z Z 0
<10> u(x,0, z;t) u(x,1, z;t) 0 <5>
其中( )
电磁场论分离变量法习题课07
er Q
n2
O R1
Φ2
R3 R2
Φ1
图 3.8-1 带电导体球壳中的导体球
z r 【例3】一半径为a，电 容率为ε2的介质球体， 放在均匀外电场E0中， 球外充满电容率为ε1的 另一种均匀介质，如图。 求球内外的电势分布。
设介质球外电势为Φ1 ， 球内为Φ2
∞
若具有球对称性，Φ与θ ,ϕ 无关,只取 n= 0 项： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
B Φ = A+ r
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2 r sin θ dθ dθ
若电荷呈轴对称分布，则拉普拉斯方程变为：
通解为： 若讨论的问题仅与θ 有关,则拉普拉斯方程变为：
∞
解为： Φ = C
θ + C2 1 ln tan 2
1 d dΦ =0 sin θ 2m(cosθ ) = 1−cos2 θ n
勒让德多项式：
(
)
n
m 2
解的物理意义： （1）球外电势由两部分叠加： 匀强电场产生的电势＋极化电荷产生的电势
ε2 −ε1 E0a3 cosθ Φ(r,θ ) = −E0r cosθ + r2 ε2 + 2ε1 ε2 −ε1 E0a3 cosθ ΦP = ε2 + 2ε1 r2 P cosθ 电偶极子产生的电势 Φ= e 4πε0r2 ε2 −ε1 与球心处 P = 4πε0 E0a3 的电偶极子产生的电势等效 e ε2 + 2ε1
设两种介质中势函数分别为
R2
R3 R1