随机信号分析__2.3功率谱密度
随机信号的功率谱密度课件
出端信噪比之比。即：
F
( Si / N i )
( So / N o )
四、白序列（RND伪随机序列）
设随机序列Zn的自相关函数满足：
2 Z , RZ (k ) 0,
k 0 k 0
2 Z
或
RZ (k ) (k )
对于白序列其功率谱：
GZ ()
2 Z ,
jt
d
将上式代入信号平均功率表达式中得:
1 W lim T 2T lim 1 T 2T
T T T
f T (t , ) dt 1 2
jt F ( , ) e d ]dt T
2
T T
f T (t , )[
1 lim T 2T 1 lim T 2T 1 2
GN(), FN()
RN()
N0 N0/2
N0/2
0 (a) 功率谱密度
0 (b) 自相关函数
白噪声的自相关函数：
1 RN ( ) 2 N 0 j N0 2 e d 2 ( )
白噪声的相关系数 N ( )为:
C N ( ) RN ( ) RN () RN ( ) N ( ) C N (0) RN (0) RN () RN (0)
2/
低通限带白噪声
W , G N ( ) 0,
0 | | 0
otherwise
sin RN ( ) W cos 0
4.6 功率谱估值的经典法
谱估值的基本问题是已知随机过程X(t)或Xj某个 实现： , x
2 , x1 , x0 , x1 , x2 ,, xN 1 ,
通信原理第2章-随机信号分析
1 1 2
f ( x)dx f ( x)dx
a
2
在点 a 处取极大值: 1
2
■ a f x 左右平移
f x宽窄
a
x
37
二、正态分布函数
积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学 手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互 补误差函数表示正态分布函数。
38
三、误差函数和互补误差函数
39
40
四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差 函数的主要性质：
41
42
2.5.4 高斯白噪声
43
这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。 式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关 函数：
说明，白噪声只有在 ＝0 时才相关，而在任意
两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功 率谱和自相关函数如图。
F1 x1 ,
x1
t1
f1 x1 ,
t1
则称 f1 x1 , t1 为 (t的) 一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数 仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没 有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因 此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函 数
60
用示波器观 察一个实现 的波形，如 图所示，是 一个频率近 似为fc，包 络和相位随 机缓变的正 弦波。
Df －fc
s(t)
S( f )
O (a) 缓慢变化的包络[a(t)]
O
频率近似为 fc (b)
窄带过程的频谱和波形示意
61
Df
fc
f
t
因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
随机信号分析_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.从随机过程的第二种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:随机变量族2.从随机过程的第一种定义出发，可以将随机过程看成（）。
参考答案:样本函数族3.（）是随机试验中的基本事件参考答案:随机试验的每一种可能结果4.若随机过程X（t），它的n维概率密度 (或n维分布函数)皆为正态分布则称之为高斯过程参考答案:正确5.正态随机过程的广义平稳与严平稳等价参考答案:正确6.平稳随机过程的相关时间，描述了平稳随机过程从完全相关到不相关所需要的时间，对吗？参考答案:正确7.两个平稳随机过程的互相关函数是偶函数，对吗？参考答案:错误8.平稳随机过程的自相关函数是一个奇函数，对吗？参考答案:错误9.对于一个遍历的噪声，可以通过均方值计算其总能量参考答案:错误10.偶函数的希尔伯特变换为参考答案:奇函数11.窄带高斯随机过程包络平方的一维概率密度为：参考答案:高斯函数12.白色随机过程中的“白色”，描述的是随机过程的（）特征参考答案:频谱13.对于具有零均值的窄带高斯随机过程，以下哪个说法正确？参考答案:相位的一维概率密度为均匀分布_包络的一维概率密度为瑞利分布_包络和相位的一位概率密度是相互独立的14.一个实值函数的希尔伯特变换是将其与【图片】的卷积参考答案:正确15.对一个信号的希尔伯特变换，再做一次希尔伯特变换可以得到原信号本身。
参考答案:错误16.连续型随机变量X的概率密度函数fX(x)的最大取值是1?参考答案:错误17.随机变量数学期望值是随机变量取值的中值。
参考答案:错误18.问题：①客观世界中可以设计出理想带通滤波器，②理想白噪声也是存在的。
以上说参考答案:①②均错误19.具有平稳性和遍历性的双侧随机过程经过连续时不变线性系统后，输出随机过程参考答案:平稳、遍历20.正态随机过程具有以下那些性质？参考答案:若正态过程X(t)是宽平稳的，则它也是严平稳的_正态随机过程经过线性系统后其输出仍为正态随机过程。
03预备知识：随机信号分析
随机过程基础：相关函数性质
随机信号的平均值、偏离平均值的程度 （方差）归一化的直流交流功率，统计相关 程度，都已经清晰的描述。
对于通信：
频还率差特什性么！？
随机过程基础：相关函数性质
维纳-欣钦（Wiener-khintchine）定理
P x(
)R ( )ejd
• 严格平稳过程在一定条件下（均方值有界） 必然是广义平稳、但广义平稳不一定是严平 稳过程。
随机过程基础：各态历经性
随机过程基础：各态历经性
假设x(t)是平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它 的时间均值和时间相关函数分别为
lim ax(t) 1 T/2x(t)dt T T T/2
在实际问题中，t代表时间量
随机过程是某些参数（通常是时间）的实 函数序列，通常具有统计特性。
随机过程基础：定义
Ω：全体可能组成的集合 F ：全体可观测事件组成的事件族 P：是一个在整体，而不是单个概率值，P
是F上定义的一个取值于[0，1]区间的函 数。
随机过程基础：定义
S1
S2 Sn
样本空间
x 1(t ) x 2(t )
0.3 0.2 0.1
0 -0.1 -0.2
0
10 20
30 40
50 60 70 80 90 100
2
1.5
1
1
0
0.5
-1
0
-2
-0.5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4 0
接收设备
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
随机信号的功率谱密度
随机信号的功率谱密度估计和相关函数随机信号的功率谱密度估计和相关函数1．实验目的了解估计功率谱密度的几种方法，掌握功率谱密度估计在随机信号处理中的作用。
⒉实验原理随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
功率谱密度简称为功率谱，是自相关函数的傅里叶变换。
对功率谱密度的估计又称功率谱估计。
1.线性估计法（有偏估计）：线性估计方法是有偏的谱估计方法，谱分辨率随数据长度的增加而提高。
包括自相关估计、自协方差法、周期图法。
2.非线性估计（无偏估计）：非线性估计方法大多是无偏的谱估计方法，可以获得高的谱分辨率。
包括最大似然法、最大熵法⒊实验任务与要求1. 所有功能均用matlab仿真。
2. 输入信号为：方波信号+n(t)，方波信号信号基频1KHz，幅值为1v，n(t)为白噪声。
3. 编写自相关估计法、自协方差法、周期图法、最大似然法、最大熵法的matlab 程序。
正确的运行程序。
4. 必须用图示法来表示仿真的结果。
对几种功率谱估计的方法进行比较分析，发现它们各自有什么特点？。
5. 按要求写实验报告。
4.Matlab程序如下：生成输入信号：clear;fs=1024;%设采样频率为1024n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;%因方波频率F=1000HZ所以角频率W=2000piX1n=square(W*n);%方波信号X2n=randn(1,N);%白噪声信号xn=X1n+X2n;%产生含有噪声的信号序列XNsubplot(3,1,1)plot(n,xn);xlabel('n')ylabel(‘输入信号’)%绘输入信号图（1）.周期图法：fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;N=256;%傅里叶变换的采样点数256Pxx=abs(fft(xn,Nfft).^2)/N;f=(0:length(Pxx)-1)*fs/length(Pxx);subplot(3,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),%转成DB单位xlabel('频率/HZ'),ylabel('功率谱/db'),title('周期图法');（2）.相关函数法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%输入信号m=-100:100[r,lag]=xcorr(xn,100,'biased')%求XN的自相关函数R，biased为有偏估计lag为R 的序列号subplot(3,1,2)hndl=stem(m,r);%绘制离散图，分布点从-100—+100set(hndl,'Marker','.')set(hndl,'MarkerSize',2);ylabel('自相关函数R(m)')%利用间接法计算功率谱k=0:1000;%取1000个点w=(pi/500)*k;M=k/500;X=r*(exp(-j*pi/500).^(m'*k));%对R求傅里叶变换magX=abs(X);subplot(3,1,3)plot(M,10*log10(magX));xlabel('功率谱的改进直接法估计')（3）.自协方差法：clear all;fs=1000;n=0:1/fs:3;P=2000*pi;y=square(P*n);xn=y+randn(size(n));%绘制信号波形subplot(211)plot(n,xn)xlabel('时间（s）')ylabel('幅度')title('y+randn(size(n))')ymax_xn=max(xn)+0.2;ymin_xn=min(xn)-0.2;axis([0 0.3 ymin_xn ymax_xn]) %使用协方差法估计序列功率谱p=floor(length(xn)/3)+1;nfft=1024;[xpsd,f]=pcov(xn,p,nfft,fs,'half'); %绘制功率谱估计pmax=max(xpsd);xpsd=xpsd/pmax;xpsd=10*log10(xpsd+0.000001); subplot(2,1,2)plot(f,xpsd)title('基于协方差的功率谱估计') ylabel('功率谱估计（db）') xlabel('频率（HZ）')grid on;ymin=min(xpsd)-2;ymax=max(xpsd)+2;axis([0 fs/2 ymin ymax])（4）.最大熵法fs=4000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);Nfft=256;%分段长度256[Pxx,f]=pmem(xn,14,Nfft,fs);%调用最大熵函数pmem，滤波器阶数14 subplot(2,1,2),plot(f,10*log10(Pxx)),title(' 最大熵法，滤波器14'),xlabel('频率HZ'),ylabel('功率谱db');（5）.最大似然法：fs=1000;n=0:1/fs:1;N=length(n);W=2000*pi;x1n=square(W*n);x2n=randn(1,N);xn=x1n+x2n;subplot(3,1,1)plot(n,xn);%估计自相关函数m=-500:500;[r,lag]=xcorr(xn,500,'biased');R=[r(501) r(502) r(503) r(504);r(500) r(501) r(502) r(503);r(499) r(500) r(501) r(502);r(498) r(499) r(500) r(501)]; [V,D]=eig(R);V3=[V(1,3),V(2,3),V(3,3),V(4,3)].'; V3=[V(1,4),V(2,4),V(3,4),V(4,4)].'; p=0:3;wm=[0:0.002*pi:2*pi];B=[(exp(-j)).^(wm'*p)];A=B;%最小方差功率谱估计z=A*inv(R)*A';Z=diag(z');pmv=1./Z;subplot(2,1,2)plot(wm/pi,pmv);title('基于最大似然的功率谱估计') ylabel('功率谱幅度（db）') xlabel('角度频率w/pi')5.设计思想随机信号的功率谱密度用来描述信号的能量特征随频率的变化关系。
2.3.2功率谱密度的性质
如果X(n)为连续随机序列，则
随机序列X (n)的统计均值(数学期望)定义为:
mX (n) E[X (n)] xf X (x, n)dx
X (n)的函数g(X (n))的统计均值可由下式求出:
E[g(X (n))] g(x) f X (x, n)dx
如果X(n)为离散随机序列，则上面的公式变为：
RXY (m) E[X (n)Y (n m)] CXY (m) E[{X (n) mX }{Y (n m) mY }]
28
相关序列的性质
1、自相关和自协方差序列为偶函数，而互相 关和互协方差序列是非奇非偶的。
RX (m) RX (m) RXY (m) RYX (m)
CX (m) CX (m) CXY (m) CYX (m)
声
若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数， 在频带之外为零，那么称N(t)为理想限带白噪声。
17
一、低通白噪声
低通白噪声的功率谱密度集 中在低频端，且分布均匀。
SN ()
P
S
N
(
)
0
为其它
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
18
SN ()
白噪声的平均功率 W RN (0) P
W 1 arctan
2
1 [ ( )] 1 2 2 2 2
W 1
2
4
2
3
2 2
2
d
1
2
1 2
1
d
3
例2.3.2
已知随机电报信号的自
相关函数 RX
( )
1 4
(1
1 4
e2
随机信号分析 第4章随机信号功率谱密度(1)
为在(0， )内均匀分布的随机变量 X (t )的平均功率W。 2 ，求
解：E[ X 2 (t )] E[a 2 cos 2( w0t )] a2 a2 E[ cos(2 w0t 2 )] 2 2 a2 a2 2 2 cos(2 w0t 2 )d 2 2 0 a2 a2 sin(2 w0t ) 2
e
| |
2
2 w2
例2.已知随机过程的自相关 函数为 1 R( ) (1 cos w0 )，求其功率谱密度。 2
1 解：G ( w) (1 cos w0 )e jw d 2 1 ( w) [e jw0 e jw0 ]e jw d 4 ( w)
-1
1
w 2 sin ( ) 1 2 2 (1 ) cos w d 0 w ( )2 2
2
例1：已知随机电报信号的 自相关函数 1 1 2 | | R( ) (1 e )；求其功率谱密度。 4 4
1 1 2 | | jw 解：G ( w) (1 e )e d 4 4 1 2 | | jw ( w) e e d 2 16 1 ( w) 2 4 42 w2
xT (t )e
jwt
dt xT (t )e jwt dt
T
T
X T ( w)e jwt dw
1 将式xT (t ) X T ( w)e jwt dw代入到 2 2 1 T W lim | x(t ) | dt 中得： T 2T T
2
[ ( w w0 ) ( w w0 )]
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
随机信号号的分析—功率谱密度（可编辑）
随机信号号的分析?功率谱密度2.3 平稳随机过程2.3.4 平稳随机过程的功率谱密度功率谱密度的定义令: 是实平稳随机过程,为其实现,因为功率信号,所以也为功率信号,因为任意的确定功率信号,它的功率谱密度可表示成,2.3-1式中,是的截短函数之频谱函数。
图2-3-1 功率信号及其截短函数而对于功率型的平稳随机过程而言,它的每一实现也将是功率信号,而每一实现的功率谱也可以由式2-3-1表示。
但是,随机过程中的每一实现是不能预知的,因此,某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。
过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均。
设的功率谱密度为,的某一实现之截短函数为,且,其中:,于是有则称为的功率谱密度。
功率密度谱和互谱密度前面给出的一些数字特征如均值,方差和相关函数等,描述的是连续随机信号在时间域上的特征,那么,随机信号在频域的数字特征是什么?如何计算的?它与时域特征有什么关系?1、功率密度谱设Xt为平稳的连续随机信号,它的任一个样本函数xt是一个功率信号,其平均功率可以定义为: (9.2.20)? 依据帕斯瓦尔定理,设表示的傅立叶变换,则上式可表示为9.2.21? 式中称为样本功率密度或样本功率谱。
由于随机信号的每一个样本实现是不能预知的,所以必须用所有样本功率密度的统计平均值来描述平稳的连续随机信号Xt的频域特征,即随机信号在频域的数字特征可定义如下。
定义10? 平稳的连续随机信号Xt的功率密度谱定义为样本功率密度的统计平均,即(9.2.22)维纳?欣钦(Wiener-Khinchine)定理若Xt为平稳随机信号,当自相关函数为绝对可积时,自相关函数和功率谱密度为一傅里叶变换对,即( )。
(9.2.23)9.2.242、互谱密度同理,在频域描述两个随机信号Xt和 Yt相互关联程度的数字特征,可以定义为互谱功率密度简称互谱密度。
而且,互相关函数与互谱密度是一傅里叶变换对( ),其中(9.2.25) 9.2.262FSK信号的功率谱密度的特点2FSK信号的功率谱密度也由连续谱和离散谱组成。
2.3.2 功率谱密度的性质
实随机过程X(t) Y(t)的互谱密度的性质 实随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度的性质 X(t)和
1 XY (ω) = SYX (ω) = SYX (ω) = SXY (ω) 、S
1 SXY (ω) = lim E[ XT (ω)YT (ω)] T →∞ 2 T 1 SYX (ω) = lim E[YT (ω) XT (ω)] T →∞ 2 T
7
16 例 : 平稳过程 X (t )的功率谱密度为 S X (ω ) = 4 ω + 13ω 2 + 36 求其自相关函数和均方 值.
16 RX (τ ) = FT [ S X (ω )] = FT [ 4 ] 2 ω + 13ω + 36
1 1
16 5 16 5 RX (τ ) = FT [ 2 2 ] ω +4 ω +9
RX (∞) ≠ 0, 且 振 形 , 也 引 δ 函 解 呈 荡 式 可 入 数 决
1 S X (ω ) = FT [ R X (τ )] = FT [ (1 + cos ω 0τ )] 2 1 1 = FT [ ] + FT [ cos ω 0τ ] 2 2 1 1 = 2πδ (ω ) + π [δ (ω + ω0 ) + δ (ω ω0 )] 2 2
αt
9 S XY (ω ) = 3 + jω
9e 3τ 方法一 RYX (τ ) = RXY (τ ) = 0
τ ≤0 τ >0
14
例 : 设两个随机过程X (t )和Y (t )联合平稳, 其互相关函数为 9e 3τ RXY (τ ) = 0
τ ≥0 求互谱密度S XY (ω )和SYX (ω ). τ <0
随机信号分析基础第四章习题
A2RX ( ) B2RY ( ) ABRXY ( ) ABRYX ( )
由维纳辛钦定理可得： GW () A2GX () B2GY () ABGXY () ABGYX ()
4.5 功率谱估值的经典方法 1. 平滑法
将全部数据用来计算出—个周期图，然后在频域将其平滑
G (i )
1 2L 1
iL
Gˆ N
j i L
(
j)
窗口根据实际情况选择
4.5 功率谱估值的经典方法
谱估值的一些实际问题
1.数据采样率 2.每段数据的长度L 3.数据总长度 4.数据预处理 a.把无用的直流分量和周期分量(比如市电干扰)去掉 b.处理前还应去掉信号中的“趋势项”，比如电生理记录
rect( )
2a
a2 2
a
a
a2 ( 0 )2 a2 ( 0 )2
sin2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX () GX ()
性质4： GX ' ( ) 2GX ( )
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)
1
c os0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
第4章 随机信号的功率谱密度.ppt
➢ 二、互谱密度的性质 1. GXY (ω ) GYX ( ω ) GYX (ω )。
2. Re GXY ( ) 和 Re G YX( ) 是 的偶函数； Im GXY ( ) 和 Im G YX( ) 是 的奇函数。
因为任一复函数 f ( )满足：
| E[lim
T
XT (, i ) |2 ]
2T
| E[lim
T
xT (t , i ) |2 ]
2T
GX ( ) 称为随机过程的功率谱密度函数。由此可得随机过程的
平均功率：
P 1
2
GX ( )d
1
lim T 2T
T T
E[
xT ( t , i
1
[ lim
T 2T
T T
RX
(t,
t
)dt
]e j d
令：RX
(
)
lim
T
1 2T
T
T RX ( t , t )dt
RX ( ) 可看成非平稳过程自相关函数的时间平均。
➢ 若 X( t )为平稳过程，则 RX ( t , t ) RX ( ) ，故有
三、带限白噪声定义：
一个均值为零，功率谱密度为
GN (
)
N0 2
,
( 0 , 0 )
的平稳过程，称为带限白噪声。 其中ω0为有限值。
对应于带限白噪声的自相关函数为：
RN ( )
其中，Sa (
0
21)GsiNn(0)e 0
j d 。
由
XT (, i )
第二章 随机 信号分析
2.1 概率、随机变量、概率分布
Probability, stochastic variable , probability distribution
2.2 随机变量的数字特征
Digital stencil of stochastic variable
一、随机过程(Random processes) 概念
事物变化
确知过程 随机过程
如 y=sint
如 噪声y=n(t)
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定义1: 随机过程就是一个全部可能实现构成的总体，每个实现都是一个确定时
间函数，而随机性就表现在出现哪一个实现是不确定的.
(t) xi(t) ，i=1,2,……n……
（2） （3）
=1
f (=x)dx
b a
f
= F(b)-F(a)
(x)dx
=b P{a≤X<b}
f (x)dx
a
f (x)dx
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2.2 随机变量的数字特征 Digital stencil of stochastic variable
一、数学期望(Mean)
1.离散随机变量
k
E X xi P(xi)
① | | 1
② 相关性:若
，则X，Y线性不相关
0 ③ 独立（Independent）与相关（Correlation） ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱY
统计独立 不相关
不相关 统计独立
一定 不一定
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四、几种典型的概率分布 (Several representative probability distribution)
电子科技大学随机信号分析课件 第3章 平稳性与功率谱密度
6
（2）二维概率密度函数与两时刻的绝对值无 关，只与相对差有关。
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1 , x2 ; )
F ( x1 , x2 ; t1 , t2 ) F ( x1 , x2 ; t1 t , t2 t )
令t t2
F ( x1 , x2 ; t1 t2 ,0)
( E X (t ) X (t ) ) R( )
2、若X(t)是实广义平稳随机信号，则有 （1）相关函数是偶函数 R( ) R( ) （2）相关函数在原点处大于零，并达到最大 值。 R( ) R(0)
18
证明：任何正函数的统计平均为非负数，构造 一个随机信号 X (t ) X (t ) 2 0 E E X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t ) 0
14
例 广义平稳随机信号X(t)通过如图所示的乘 法调制器得到随机信号Y(t)，图中 是确定量， 是在 均匀分布的随机相位， 与X(t)是 π, π 统计独立的。试讨论随机信号Y(t)的平稳性。
X (t )
Y (t )
cos(t )
解：
Y (t ) X (t ) cos(t )
x m x
1
2
m f ( x1 , x2 ; t , t )dx1dx2
且 C ( ) R( ) m2
17
自相关函数性质 1、共轭对称性 R( ) R( )
R( ) E X (t ) X (t ) E ( X (t ) X (t ))
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证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
RYX
(
)e
j
d
（令
）
RYX
(
)e
j
d
SY*X ()
RYX
(
)e
j (
)[ SXY ()] Re[ SXY ()]
Re[ SYX ()] Re[ SYX ()]
A RYX (t,t ) SYX () 例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，
其互相关函数 RXY ( ) 为:
RXY
(
)
9e 3 0
0 0
求互谱密度SXY ()，SYX () 。
谢谢观看！ 2020
3.随机信号的频域特征是什么？
回顾：傅立叶变换存在条件
一个确定信号在满足狄利赫利条件，且 绝对可积的情况下，即：
x(t) dt
它的频谱密度 X () 存在。
傅立叶变换
X () x(t)e jtdt
x(t) 1 X ()e jtd
2
回顾：傅立叶变换
信号能谱密度 X () 2 存在的条件是它具 有有限的能量。
T
1 2T
E[
X
* Y
(T
,
)
X
X
(T , )]
PYX
1
2
SYX ()d
且
PXY PYX
二、互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 F 功率谱密度 互相关函数 F 互谱密度
定义：对于两个实随机过程X(t)、Y(t)， 其互谱密度 SXY ()与互相关函数RXY (t, t )之间
的关系为
证明：
SXY ()
RXY
(
)e
j
d
RXY ( )[cos j sin( )]d
Re[ SXY ()] RXY ( ) cos d
RXY
(
)
cos
d（令
）
Re[ SXY ()]
同理可证 Re[ SYX ()] Re[ SYX ()]
性质3：Im[ SXY ()] Im[ SXY ()]
S XY ()
A
RXY
(t,t
)
e
j
d
即
A RXY (t,t ) S XY ()
若X(t)、Y(t)各自平稳且联合平稳，则有
RXY ( ) SXY ()
即
S XY ()
RXY
(
)e
j
d
RXY
(
)
1
2
S
XY
(
)e
j
d
结论：对于两个联合平稳(至少是广义联合平 稳)的实随机过程，它们的互谱密度与其互相 关函数互为傅里叶变换。
性质1：SX ()是非负实函数。
SX () 0
S
X
()
E[lim T
1 2T
XT () 2 ]
性质2：如果X (t)是实平稳随机过程，SX ()
是偶函数。
SX () SX ()
2.3.3联合平稳随机过程的互功率谱密度
lim
T
E[
PXY
(T
)]
PXY
lim E[ 1 T 2T
即：
x(t) 2 dt
信号的平均功率：
P lim 1 T x(t) 2 dt T 2T T
1.随机过程样本的功率谱密度
随机过程 X (t)的一个样本曲线 xT (t) ，
从中截取2T长的一段，称为截段函数。
xT
(t
)
x(t 0
)
t T t T
x(t)
-T
0T
t
2.3.2功率谱密度的性质
Im[ SYX ()] Im[ SYX ()]
证明：类似性质2证明。
性质4：若X(t)与Y(t)正交，则有
SYX () 0 S XY () 0
证明：若X(t)与Y(t)正交，则
RXY (t1, t2 ) RYX (t1, t2 ) 0
所以 SXY () SYX () 0
性质5：若X(t)与Y(t)不相关，X(t)、Y(t) 分别具有常数均值 mX 和 mY ，则