席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型
公平的席位分配问题
2)Q 值方法 表 6 Q 值法分配方案 宿舍 A B C 学生 人数 235 333 432 10 席的分配 比例 2.35 3.33 4.32 Q值 9204.2 9240.8 9331.2 结果 2 3 5 比例 3.525 4.995 6.480 15 席的分配 Q值1 4602.1 5544.5 4443.4 Q值2 4602.1 3696.3 4443.4 结果 4 5 6
计算出每个宿舍分到的每个席位代表的人数 eij ，将 eij 从大到小排列可得一数列
e ,其中 e 表示 e 中第 k 大的项，从数列 e 中选取前 n 项（ n 表示所要选的
k ij k ij k ij k ij
席位总数） ， 记 n p eij
k 1,2,, n中i p的项的个数 p A, B, C 得出每类数的个数
总和
1000
10.00
/
10
15.000
/
/
15
3)d’Hondt 方法 表 7 d’Hondt 法分配方案 宿舍 A B C 总和 学生人数 235 333 432 1000 10 个名额分配 2 3 5 10 15 个名额分配 3 5 7 15
4)d’Hondt+Q 值法 表 8 d’Hondt+Q 值法分配方案 i 1 2 3 4 5 6 7 获得名额 4 5 27612.5 9204.2 4602.1 2761.3 A 宿舍 Q值 席次 3 7 12 15 55444.5 18481.5 9240.8 5544.5 3696.3 B 宿舍 Q值 席次 2 5 8 11 14 93312.0 31104.0 15552.0 9331.2 6220.8 4443.4 6 C 宿舍 Q值 席次 1 4 6 9 10 13
高中宿舍席位分配数学模型
科学咨询/教育科研
本刊特稿
高中宿舍席位分配数学模型
付潇靓
(山东省枣庄市第八中学 山东枣庄 277000）
摘 要：我们在日常生活中会遇到很多分配问题，例如对 于企业、公司、学校等部门的职位分配都是需要解决的实际问 题。本文讨论了席位分配问题，在以下的分析中，会先按照按 比例分配方法进行分配，然后采用Q值法与D’hondt方法进行 分配[1]，最后再采用二者相结合的方法进行分配，从而使分配 达到相对公平的状态。
A
B
(1)如果
>
决定名额分给A宿舍或B宿舍。
> ，通过Q值法的运算
(2)如果
>>
且A宿舍的Q值比B
宿舍大，根据D’hondt方法，应将名额分给A宿舍。
根据表格内计算数据可得，N1=2，N2=4，N3=5。 （四）模型四求解
先将第一个名额分配给人最多的宿舍，C宿舍。然后根据
d'Hondt方法进行分配，直到第二个宿舍有分配名额。由模型
即有不公平的定义为：若有 是不公平的。
成立，则席位分配
此时若有
，则对A不公平，此时定义
为对A的绝对不公平度，
（N1,N2）为对A的相对不公平度；
若有
，则对B不公平,此时定义
B的绝对不公平度，
为对
（N1,N2）为对B的相对不公平度。
不妨假设A方与B方都已分配得到了N1、N2个名额，我
们可以根据相对不公平度r （N ,N ）与r （N ,N ），计算
1
2
3.当有
时，说明给B增加1个名
额，将对A不公平，此时对A的相对不公平值为r A
（N1,N2+1） ………………………………………………[2]
席位分配
数学建模实验席位分配一、论文题目席位分配问题二、摘要本文以公平性为原则，分别建立比例加惯例法模型，Q值法模型以及d’Hondt法模型来解决席位分配问题，通过对比每个系所分配到的席位来比较各种模型的公平性及合理性。
三、问题的重述某学院三个系共有学生1000名（甲系235人，乙系333人，丙系432人），现要组织学生代表会，会议共10席，请按比例分配各系人数。
1、分别用“比例加惯例”法、Q值法和d’Hondt法分配各系人数；2、如果代表席位从10人增加到15人，用以上3种方法设计表格比较分配的结果；3、给出Q值法不满足原则一的反例；4、d’Hondt方法满足原则1和2吗？如果满足，给出证明；如果不满足，给出反例；5、你能提供其它的方法吗？用你的方法分配上面的名额；6、能否提出其它所谓公平分配的理想化原则？四、模型的假设、符号约定和名词解释。
4.1模型的假设（1）.模型的公平定义是相同的(2）.分配到各系的名额数目均为正数（3）.席位分配时严格按照制定的方案4.2名词解释(1）.比例加惯例法：即按比例分配方法，如：某院系席位分配数 = 该院系人数占总人数比例*总席位（2）.通过下面的公式4-1 计算Q值来确定席位分配的方法叫做Q值法。
（ 4-1 ）（3）.d’Hondt方法:将甲,乙,丙等各系的人数用正整数n=1,2,3,…相除，将所得商数按从大到小取所要求的总席位数，即可得到各系所分配的席位数。
4.3 设3个系各有人数为P i, i=1、2、3，各系分得的席位数为n i，i=1、2、3。
五、模型的建立5.1、模型一（比例加惯例法）的建立按照各系人数在总人数中的比例来分配各系的席位数。
若计算所得的席位数含有小数时则按照四舍五入进行取整。
由席位数与总席位数之比等于系人数与各系总人数之比得： ，即可得各系所获得席位数位：5.2、模型二（Q 值法）的建立先用比例模型算出前i-1个席位的分配，再由此模型可算出第几个席位应分配给哪一方。
数学建模方法总结
1.席位分配问题(宿舍分配问题)：比例模型、Q值法、d’Hondt法。
席位分配模型中, 按比例分配法存在较大缺陷, D’Hondt 法不能解决不公平的大小问题, Q 值法不能解决“分配资格”问题。
2.人员分配：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件
3.贫困生认定工作：模糊综合评价理论, 模糊评价；聚类分析；综合评价
数学建模算法：蒙特卡罗算法，数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，线性规划、整数
规划、多元规划、二次规划等规划类算法，图论算法，动态规划、回溯搜索、分支定界
最优化理论三大经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算。
席位分配模型
公平席位分配模型摘要本文按照题目要求，首先，基于相对公平分配的原则，阐述“d’Hondt方法”原理，并建立数学模型。
其次，对“比例加惯例法”、“Q值法”及“d’Hondt 方法”这三个模型，根据分配结果进行对比分析。
可以得到，当待分配席位数较少时，采用Q值法与d’Hondt法分配席位相对比较公平，当待分配席位数较多时，采用比例加惯例法既简单又公平。
关键词：比例加惯例模型 Q值模型 d’Hondt模型公平分配正文1 问题复述为了讨论重大问题，特别是有关集体利益的问题，召开代表会议正变得越来越普遍。
当会议涉及不同集体的利益时，公平的席位分配就显得尤为重要。
常用的席位分配办法是“比例加惯例法”以及“Q值法”等。
某学校有三个宿舍共1000名学生，其中A宿舍有235人，B宿舍有333人，C宿舍有432人。
现学生们要组织一个十人委员会，已知采用d’Hondt席位分配办法分配各宿舍的委员数如下：表1 d’Hondt法宿舍 1 2 3 4 5 …分配结果A 235 117.5 78.3 58.75 (2)B 333 166.5 111 83.25 (3)C 432 216 144 108 86.4 (5)比例加惯例法：按比例分配取整数的名额后，剩下的若干名额依次分给小数部分较大者。
Q值法：按照相对不公平度最小原则，每增加一席位，分给Q值较大的一方。
d’Hondt法:将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，将所得商数从大到小取前10个（10为席位数）。
如表1所示，表中A，B，C行有横线的数分别为 2，3，5，即为3个宿舍分配的席位。
需要解决的问题是：（1）试建立模型，解释d’Hondt方法的道理；（2）若委员人数从10人增至15人，此时用比例加惯例法、Q值法和 d’Hondt 法3种方法再分配名额，试比较3种方法两次分配的结果。
2 模型假设与符号说明2.1 模型的假设假设各个宿舍之间没有人员的调动。
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
公平的席位分配问题
公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
符号设定：N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）iQ ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系）Z ：目标函数方法一，比例分配法：即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。
方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若2211n p n p >则称11221222211-=-n p np n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 12112111122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设11n p >22n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平;2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为1)1(11),1(212111112221-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B3. 11n p >122+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为1)1(11)1,(121222221121-⋅+=++-=+n p p n n p n p n p n n r A4.11n p <122+n p ,不可能上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
数学建模样题及答案
数学建模作业一学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大的。
（2） Q 值方法：m 方席位分配方案：设第i 方人数为i p ，已经占有i n 个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算2(1)i i i i p Q n n =+，i=1，2，…，m 把这一席分给Q 值大的一方。
（3） d ’Hondt 方法：将A ，B ，C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A,B,C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
（试解释其道理。
）（4） 试提出其他的方法。
数学建模作业二假定人口的增长服从这样的规律:时刻t 的人口为)(t x ,t 到t+ t 时间内人口的增长与m x -)(t x 成正比例(其中m x 为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。
解：=r(x m -x),r 为比例系数，x(0)=x 0 解为：x(t)= x m -( x m - x 0),如下图粗线，当t →∞时，它与Logistic 模型相似。
数学建模作业三一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。
同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。
若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？要求写出分析过程。
解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量①x(t)=2(100+t)-1.5(100+t)-2X(t=30)=171.24② x(t)=(100+t)-2 X(t=30)=29.59数学建模作业四商业集团公司在123,,A A A 三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单位质量的货物，而其零售商店分布在地区,1,,5i B i ，它们需要的货物量分别是25，10，20，30，15个单位质量。
公平席位分配
公平的名额分配摘要：公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。
多年以来，我们都在努力寻找“真正的公平”，就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名为d’Hondt方法，并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原则，对两种基本方法进行深入剖析。
对于10个名额（席位）的分配，我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到2：3：4，然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍，这就是常用且简单的比例加惯例分配法。
当然若按照Q值方法，就必须舍弃所谓惯例，建立新的衡量指标——不公平度，按此指标计算，则多的一个名额应给C宿舍。
十个名额如此，十五个亦然。
d’Hondt法，对于名额（席位）不多的情况更易实施：只需将A,B,C三宿舍人数依次除以自然数列，商数按名额取大值即可，直观简单。
最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。
模型简化后，可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，则说明分配合理，反之，则是不合理。
关键词：比例惯例不公平度Q值方差。
一、问题的重述我们身边时时刻刻都能遇到分配问题，大到一个国家的政策，小到你我家庭中的琐事，任何一个处理不好，都可能引发意想不到的恶果。
因此，公平分配就显得尤为重要。
现在我们已知某校学生要组织一个一定人数的委员会，各宿舍人数给定，总人数亦可知道。
摆在我们面前有三种分配方案，我们需要做的是找到一种方案，这个方案一方面满足委员会的要求，另一方面也让个宿舍成员满意。
怎样做才既能让委员会发挥已有的作用，又不失公平。
这是个问题。
二、模型假设与符号说明假设：1、学校近期没有学生转入或转走现象2、此A,B,C三宿舍人员不再变动（即没有搬入，搬出或互换）。
3、此委员会需三个宿舍共同参与，且此三宿舍均想参与委员会管理。
4、此委员会中无职位差别。
符号表示：n0i比例法得到的整数部分Pi参与分配各方的人数N分配名额总数P参与分配总人数di模型衡量指标m参与分配的单位数量m’初次分配后待定名额ni各方最终分配名额[qiqi向左取整]-[qiqi向右取整]+Z目标函数z0变量名、z01三、问题分析与模型建立有了以上的假设，我们可按下面的思路得到分配方案的结果模型一：第一步：按各宿舍占总人数比例，计算得到固定名额部分第二步：将比例法所得各数取小数部分比较大小，剩余待定名额大者得。
席位分配
1引言席位分配是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学管理和对策论等领域具有广泛的应用价值。
处理的方法最早的有尾数最大法；然后是Q值法；1974年引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个所用的比例分配方法存在较大缺陷分配为１１，７，３名额。
其结果是，单位增加一个先进名额后，丙部门反而减少了一个名额。
公理的席位分配方法是不存在的。
后又有一些新的算法，如：新值法，最大熵法，0-1规划法，法，值法最小极差法和最大概率法等。
但有时我们遇到大会上遇到少数情况，某个部门的人数较少，按上述方法分不到席位。
本文讨论的是“少数原则”下解决席位分配问题，在解决“少数原则”情况下较方便。
正文问题：2.1问题：在一次民族代表会中，有一个民族的人口在该国占有极少比例，但大会必须考虑政策给一个席位的分配资格。
如果我们遇到同样的问题该如何处理呢？下面我们给出少数分配的原则，并讨论在该特殊问题下的分配问题。
少数原则：在席位分配中，各部门都有分配资格，当席位数n大于单位（部门）数i时至少分配一个席位。
2.2问题的一般表述一个单位由m个部门组成，其中第i个部门的人数为ai (1)i m≤≤，学校总人数为a。
如果该单位需要召开一个由n个代表参加的代表大会,且每个部门尽可能分配一个名额，组织者必须把n个席位尽可能公平的分配到个部门中去。
记每个部门最后应分配到的席位数为ni ，试问ni是多少？模型假设要解决这样的问题首先必须舍弃原有的公平分配体系，让更多的部门拥有席位分配的资格,建立相对公平的指标。
建立数量指标首先我们必须讨论总席位数n和总部门数i之间的关系1）当n〈i时，由于不可能保证每个部门都可一分到席位，这时我们尽可能的让更多的部门分到席位，可以由D’Hondt法（备注2）中的ai/1来做比较，由值的大小来决定分配与否（由值的大小由大到小按顺序来排，依次给予一个席位直到分配完）2）当n=i时，由少数原则，每个部门必须分到，刚好每个部门分配一个3）当n〉i时，每个部门至少可以分到一个名额。
数学建模习题及答案
5.设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以精确加工，即圆盘之间及圆盘与板材之间均可相切。
若 ,则 , 是平衡点; 的平衡点为 . 的平衡点为 ,其中 ,此时的差分方程变为
.
由 可得平衡点 .
在平衡点 处,由于 ,因此, 不稳定.
在在平衡点 处,因 ,所以
(i) 当 时,平衡点 不稳定;
(ii) 当 时,平衡点 不稳定.
第
1.判断下列数学模型是否为线性规划模型。（a,b,c为常数，x,y为变量）
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）单位重量价格 ，其简图如下：
显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品便宜，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
3.对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上相同，所以重量w与身长 的立方成正比，即 ， 为比例系数。
常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待。如果只假定鱼的横截面积是相似的，则横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是 ， 为比例系数。
数学建模_宿舍人员分配的问题(答案)
（一）摘要：我们遇到人员分配的问题，我们很自然就会想到人多一方分的多，人少一方分的少。
但粗略的分配到底是否公平，我们必须好好考虑一下，本题就是讨论人员分配的公平性问题。
依据题中给出的信息、条件，讨论一下到底怎么分配是公平的，本题是关于10个名额的分配问题，分别使用了比例模型、Q值法、d’Hondt 法。
然后，将名额增至15人后代回上述模型进行检验，发现结论相差不大。
得出应将三个模型综合考虑较为合理。
即：先用比例法确定基础，然后用d’Hondt法分配，再用Q值法调整。
而且我们通过d’Hondt法得出自己的一种方法，即调整其除数以获取合理的分配方案。
一、问题的重述有这样一个关于选学生委员的问题。
学校有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。
再进一步讨论验证：如果人数增至15人，用之前使用的方法还公不公平。
二、问题分析首先建立一个比例加惯例模型，然后因为A,B,C宿舍的人数都不是整百，是无规律不成比例的，所以在题（2）中用Q值法进一步讨论分析，最后用d’Hondt 进行比较。
三、模型假设（1）各个宿舍相互独立互不影响，且始终人数保持不变(无搬入搬出现象)；（2）分配时严格遵循制定的方案；（3）几个委员无等级差别四、模型的建立与求解(1)模型Ⅰ：比例加惯例方案由题意可知，取整数的名额后，A宿舍2人，B宿舍3人，C宿舍4人。
由于小数部分，A是0.35，B是0.33，C是0.32，则剩下的一个名额应该分配给A 宿舍，故而最后的结果是3，3，4。
由Q值法，先由比例计算结果将整数部分的9个名额分配完毕，有n A=2，n B =3，n C =4，然后可用Q 值法分配第10个名额。
利用公式()m i n n p Q i i i i ,,2,1,12=+=计算，Q A =2352/(2*3)=9204.2，Q B =3332/(3*4)=9240.8，Q C =4322/(4*5)=9331.2，Q C 最大，于是这一名额应分给C 宿舍。
席位公平分配
席位公平分配的“绝对+优化”摘 要: 为了使席位分配达到更高的公平度.本文采用了“绝对+优化”选择法.不是像以往那样直接地用Q 值法或d’Hondt 法进行分配.而是在分配之前又做了一次“深加工”,即将所有的组数随机的分为两组选出最优的,进行分配,再在选出的两组中每组再分成两组选出最优的再分配依次进行直到分配结束,整个过程都是在优选中完成的.充分的展示了优化组合的合理性、公平性.关键词: 公平度;优化组合;绝对值;深加工;最优 0 引言席位分配的公平与否历来受到人们的普遍关注,特别是在政治学、管理、对策论和能源利用等领域具有广泛的应用.1974 年,M.L.Balinski 和H. P. Young 引入了席位分配问题的公理化体系,认为合理的分配方法f 应该包含五条公理:人口单调性公理、无偏性公理、席位单调性公理、公平分摊性公理和接近份额性公理[]1.其中席位单调性和公平分摊性由于在美国众议院引起诸多悖论而广受关注.我们知道,不存在绝对公平的分配方案,于是,人们便致力于研究席位分配的相对公平问题,寻找不同公平原则下的分配方法,如比例+惯例法、Q 值法、x 2拟合法、0 -1规划法、最大熵法、最小极差法、最大概率法等[]9-2.究竟如何分配才算是最为公平的呢?本文为此提出了一种新方法——“绝对+优化”.1 席位公平分配问题的数学模型1.1 席位分配问题的描述假设m 方,第i 方的人数为i n (i=1,2,3…,m),共有n=Σm i 1=i n 人,从中选出k 个代表,第i 方的席位为w i (i=1,2,3…,m),如何寻找一组非负整数,,21w w …m w ,使k=Σmi 1=w i,并尽可能公平.理想的公平分配方案是按人数比例分配,即第i 方应分配w i =(i n /n)k 个席位,但在实际中此数往往不是整数,这是如果按四舍五入或上下取整的方法可能导致分配更不公平.1.2 绝对+优化记t=[m/2],将m 按t:m-t 随机的组合为1组,2组,共有w=c m i 种情况,当m=2时,直接按Q 值法进行分配,当m>2时,直接按Q 值法不满足平均分配的公理一,记Δ=∣(n a 1-[k n a 1/n][n/k]-(n a 2-[k n a 2/n][n/k]∣( n a 1 ,n a 2为第a 次组合时1组,2组的总人数,a=1,2,…w).当Δ=0时为最优组合,当Δ>0时,从所有组合中选取最大的为最优组合,然后按Q 值法进行分配,再在选出的两组中再组合、分配,直到结束.1.3 理论证明(a):当Δ=0时,显然知两组的相对不公平度为零.(b):当Δ>0时,则有[k n a 1/n]+ [k n a 2/n]=k-1,即余下一位未分配,令x 1=n i 1-[k n i 1/n][n/k], x 2=n i 2[k n i 2/n][n/k],不妨设x 1< x 2 ,则x 2/( x 1+ x 2)所占的比例越大,对1组来说失去这一席位的不公平度越小,如1组2组的比例分别为(0.1,0.9),(0.4,0.6)显然按第一种情况分配更公平.2 实例分析例1: 某学校共1000名学生,235人住在A 单元,333人住在B 单元 ,432人住在C 单元,学生们要组织一个15人的委员会,请给出具体的分配方案?当增加为20时的分配结果?2.1模型求解有题知种情况分别是:,之差的绝对值为：知为最优组合.按组合比例法对其分配如下：,总的分配结果:直接按Q值法求得的结果为:,d’Hondt法分配结果:当为20名委员时:为:知为最优组合.分配结果: Q值法分配结果:d’Hondt法分配结果:表1 三种方法的分配结果比较表2A B C表示其值越大表示分配时越不公平,显然可以看出优化法还是比较公平的,虽然和Q 值法较接近,但当数据和组数较多时优化法显然要优于Q法.经过下面的较量,优化法的优越性,公平性,合理性能的到更好的展示.3模型的优越性较量此过程将证明为什么先组合再分配是最优的,若所有的都等于z时则最公平,但这种结果是在极少的情况下才会出现的,那么对于一般的情况而言,只有充分接近Z时分配才是最公平的,即越小越公平.那么也就是说将连续化做成图形其波动越小越公平.例2当n =1500,i=16,k=50时,各单位人数如表3所示.有表3中的数据可得表4,表5,表6,表7,图1.图1:系列1、系列2、系列3、系列4纵轴分别表示,总单元数分别分为16组、8组、4组、2组的人数与席位数之比.从图中可以清晰地看出分的组数越少曲线越平缓.当分两组时曲线近似接近直线,也即是说两者之间的不公平性非常的小,席位分配的也就越合理,越公平.从而证明了优化组合分配的优越性,公平性.5 结束语本模型打破了原有的老路,利用了优化组合的思想,使每一次分配都达到了最优,最公平.若将其应用到能源的分配、资金投资、人员安排上将会达到物尽其用,人尽其才的效果.参考文献[1] 吴建国.数学建模案例精编.北京:中国水利水电出版社,2005.[2] 林健良.席位公平分配的最小极差法的改良.华南理工大学学报:自然科学版,2002,30(3):22-23.[3] 万中,罗汉.席位分配问题的数学模型[J].湖南大学学报:自然学版,2001,28(6):5-9.[4] 郭文旌，周幼英，胡奇英.带有初始风险证券的最优组合投资[J].系统工程学报,2003,18(5):391-396.[5] 岳林.关于Q值法的一种新定义[J].系统工程,1995,13(4):70-72.。
数学建模-席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表
题
会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配？
若增加为21席，又如何分配？
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
i 1,2，, m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
2
2
1
0
三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显 然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折 衷方案对最大和最小党都不利
二．份额分配法(Quota Method) 一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于
著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。 美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，
找衡量公平分配的数量指标
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
数学模型第三版)课后习题答案
《数学模型》作业解答）1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；（3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较.解：先考虑N=10的分配方案，,432 ,333 ,235321===p p p ∑==31.1000i ip方法一（按比例分配） ,35.23111==∑=i ipNp q ,33.33122==∑=i ipNp q 32.43133==∑=i ipNp q分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：4 ,3 ,2321===n n n第10个席位：计算Q 值为,17.92043223521=⨯=Q ,75.92404333322=⨯=Q 2.93315443223=⨯=Q3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n方法三（d ’Hondt 方法）此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.iin p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i ii n p尽量接近.再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.考虑t 到t t ∆+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得⎰⎰+=ntdn wkn r k vdt 0)(2π)22 2n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n vk w n v rk t ππ+=∴第二章(2)（2008年10月9日）15．速度为v 的风吹在迎风面积为s 的风车上，空气密度是ρ ，用量纲分析方法确定风车第一章作业解答第 3 页 共 57 页获得的功率P 与v 、S 、ρ的关系.解: 设P 、v 、S 、ρ的关系为0),,,(=ρs v P f ， 其量纲表达式为: [P]=32-TML , [v ]=1-LT,[s ]=2L ,[ρ]=3-ML ,这里T M L ,,是基本量纲.量纲矩阵为：A=)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---ρ()()()()()()(001310013212s v P T M L齐次线性方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=-++030032221414321y y y y y y y y 它的基本解为)1,1,3,1(-=y 由量纲i P 定理得1131ρπs v P -=， 113ρλs v P =∴ ， 其中λ是无量纲常数.16．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,g 的关系为(f v ,ρ,μ,g )=0.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[g ]=LM 0T -2,其中L ，M ，T 是基本量纲.量纲矩阵为A=)()()()()()()(210101101131g v T M L μρ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+=+02y -y - y -0y y 0y y -3y -y 431324321 的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲i P 定理 得g v μρπ13--=. 3ρμλgv =∴，其中λ是无量纲常数. 16*．雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ、特征尺寸γ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式.解：设v ,ρ,μ,γ，g 的关系为0),,,,(=g v f μργ.其量纲表达式为[v ]=LM 0T -1，[ρ]=L -3MT 0，[μ]=MLT -2（LT -1L -1）-1L -2=MLL -2T -2T=L -1MT -1，[γ]=LM 0T 0 ，[g ]=LM 0T -2其中L ，M ，T 是基本量纲. 量纲矩阵为A=)()()()()()()()(21010110011311g v T M L μργ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----- 齐次线性方程组Ay=0 即⎪⎩⎪⎨⎧=---=+=+--+020035414354321y y y y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧---=--=)21,1,1,23,0()21,0,0,21,1(21y y 得到两个相互独立的无量纲量⎩⎨⎧==-----2/112/322/12/11g g v μργπγπ 即 1212/12/31,--==πμργπγg g v . 由0),(21=Φππ , 得 )(121-=πϕπ ∴ )(12/12/3-=μργϕγυg g , 其中ϕ是未定函数.20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t ,摆长l , 质量m ,重力加速度g ，阻力系数k 的关系为0),,,,(=k g m l t f其量纲表达式为：112120000000)(]][[][,][,][,][,][-----======LT MLT v f k T LM g MT L m T LM l T M L t 10-=MT L ， 其中L ，M ，T 是基本量纲.第一章作业解答第 5 页 共 57 页量纲矩阵为A=)()()()()()()()(12001101000110k g m l t T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=+02005415342y y y y y y y 的基本解为⎪⎩⎪⎨⎧--=-=)1,21,1,21,0()0,21,0,21,1(21Y Y 得到两个相互独立的无量纲量∴g lt =1π, )(21πϕπ=, 2/12/12mgkl =π ∴)(2/12/1mgkl g l t ϕ=，其中ϕ是未定函数 . 考虑物理模拟的比例模型，设g 和k 不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t ,'t ；l ,'l ;m ,'m . 又)(2/12/1gm l k g l t '''='ϕ 当无量纲量l l m m '='时， 就有 ll l g g l t t '=⋅'='. 《数学模型》作业解答第三章1（2008年10月14日）1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．⎩⎨⎧==---22/112/112/12/1ππk g m l g tl解：设购买单位重量货物的费用为k ,其它假设及符号约定同课本．01 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：kr rT c T c T C ++=2)(212221r c Tc dT dC+-= 令0=dTdC， 解得 r c c T 21*2= 由rT Q = ， 得212c rc rT Q ==** 与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果没有变．02 对于允许缺货模型，每天平均费用为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=kQ Q rT r c r Q c c T Q T C 23221)(221),(2223322221222T kQ rT Q c r c rT Q c T c T C--+--=∂∂Tk rT Q c c rT Qc Q C ++-=∂∂332 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00Q CTC， 得到驻点：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+-+=-+=**323222233232132233221)(22c c krc c c r k c c c c c r c Q c c k c c c rc c T与不考虑购货费的结果比较，Ｔ、Ｑ的最优结果减少．2．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，第一章作业解答第 7 页 共 57 页r k >．在每个生产周期Ｔ内，开始的一段时间()00T t <<一边生产一边销售，后来的一段时间)(0T t T <<只销售不生产，画出贮存量)(t g 的图形.设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期，讨论r k >>和r k ≈的情况.解：由题意可得贮存量)(t g 的图形如下：贮存费为 ∑⎰=→∆⋅-==∆i Ti i t TT r k c dt t g c t g c 1022022)()()(limξ又 )()(00T T r T r k -=- ∴ T k r T =0 , ∴ 贮存费变为 kT T r k r c 2)(2⋅-= 于是不允许缺货的情况下，生产销售的总费用（单位时间内）为kTr k r c T c kT T r k r c T c T C 2)(2)()(21221-+=-+=k r k r c T c dT dC 2)(221-+-=. 0=dTdC令, 得)(221r k r c kc T -=*易得函数处在*T T C )(取得最小值，即最优周期为： )(221r k r c kc T -=*rc c ，Tr k 212≈>>*时当 . 相当于不考虑生产的情况. ∞→≈*，T r k 时当 . 此时产量与销量相抵消，无法形成贮存量.第三章2（2008年10月16日）3．在3.3节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度λ与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型.解：考虑灭火速度λ与火势b 有关，可知火势b 越大，灭火速度λ将减小，我们作如下假设: 1)(+=b kb λ， 分母∞→→+λ时是防止中的011b b 而加的. 总费用函数()xc b kx b x t c b kx b t c t c x C 3122121211)1()(2)1(2+--++--++=βββββββ最优解为 []k b k c b b b c kbc x ββ)1(2)1()1(223221+++++=5．在考虑最优价格问题时设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设t q t q β+=0)(，为增长率β.又设单位时间的销售量为)(为价格p bp a x -=.今将销售期分为T t TTt <<<<220和两段，每段的价格固定，记作21,p p .求21,p p 的最优值，使销售期内的总利润最大.如果要求销售期T 内的总售量为0Q ，再求21,p p 的最优值. 解：按分段价格，单位时间内的销售量为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-=T t T bp a T t bp a x 2,20,21又 t q t q β+=0)(.于是总利润为[][]⎰⎰--+--=22221121)()()()(),(TTT dt bp a t q p dt bp a t q p p p=22)(022)(20222011T Tt t q t p bp a T t t q t p bp a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ββ=)8322)(()822)((20222011T t q T p bp a T T q T p bp a ββ---+--- )(2)822(12011bp a T T T q T p b p -+---=∂∂β第一章作业解答第 9 页 共 57 页)(2)8322(22022bp a T T t q T p b p -+---=∂∂β 0,021=∂∂=∂∂p p 令, 得到最优价格为: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)43(21)4(210201T q b a b p T q b a b p ββ 在销售期T 内的总销量为⎰⎰+-=-+-=20221210)(2)()(T TT p p bTaT dt bp a dt bp a Q 于是得到如下极值问题：)8322)(()822)((),(max 2022201121T t q T p bp a T T q T p bp a p p ββ---+---=t s . 021)(2Q p p bTaT =+-利用拉格朗日乘数法，解得：⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=880201TbT Q b a p T bT Q b a p ββ 即为21,p p 的最优值.第三章3（2008年10月21日）6. 某厂每天需要角钢100吨，不允许缺货.目前每30天定购一次，每次定购的费用为2500元.每天每吨角钢的贮存费为0.18元.假设当贮存量降到零时订货立即到达.问是否应改变订货策略？改变后能节约多少费用？解：已知：每天角钢的需要量r=100(吨);每次订货费1c ＝2500（元）; 每天每吨角钢的贮存费2c ＝0.18（元）.又现在的订货周期T 0＝30（天）根据不允许缺货的贮存模型：kr rT c T c T C ++=2121)( 得：k T TT C 10092500)(++=令0=dTdC， 解得：35092500*==T 由实际意义知：当350*=T （即订货周期为350）时，总费用将最小. 又k T C 10035095025003)(*+⨯+⨯=＝300＋100k k T C 100309302500)(0+⨯+==353．33＋100k )(0T C －)(*T C ＝（353.33＋100k ）－（300＋100k ）32＝53．33.故应改变订货策略.改变后的订货策略（周期）为T *=350，能节约费用约53．33元.《数学模型》作业解答第四章（2008年10月28日）1. 某厂生产甲、乙两种产品,一件甲产品用A 原料1千克, B 原料5千克；一件乙产品用A 原料2千克,B 原料4千克.现有A 原料20千克, B 原料70千克.甲、乙产品每件售价分别为20元和30元.问如何安排生产使收入最大？ 解：设安排生产甲产品x 件,乙产品y 件，相应的利润为S 则此问题的数学模型为：max S=20x+30ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,0,7045202这是一个整线性规划问题，现用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：x+2y=20, 2l :5x+4y ＝702l以及x=0,y=0组成的凸四边形区域.925002+-=TdT dC第一章作业解答第 11 页 共 57 页直线l ：20x+30y=c 在可行域内平行移动.易知：当l 过1l 与2l 的交点时， x S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+7045202y x y x 解得⎩⎨⎧==510y x此时 max S ＝2053010⨯+⨯＝350（元）2. 某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱的体积、重量以及可获利润如下表：已知这两种货物托运所受限制是体积不超过24立方米，重量不超过13百斤.试问这两种货物各托运多少箱，使得所获利润最大，并求出最大利润.解:设甲货物、乙货物的托运箱数分别为1x ,2x ,所获利润为z .则问题的数学模型可表示为211020 max x x z +=⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≤+≤+Z y x x x x x x x st ,,0,13522445212121这是一个整线性规划问题. 用图解法求解. 可行域为：由直线2445:211=+x x l1352:212=+x x l 及0,021==x x 组成直线 c x x l =+211020:在此凸四边形区域内平行移动.2ll1x1l2x易知：当l 过l 1与l2的交点时，z 取最大值由⎩⎨⎧=+=+135224452121x x x x 解得 ⎩⎨⎧==1421x x90110420max =⨯+⨯=z .3．某微波炉生产企业计划在下季度生产甲、乙两种型号的微波炉.已知每台甲型、乙型微波炉的销售利润分别为3和2个单位.而生产一台甲型、乙型微波炉所耗原料分别为2和3个单位,所需工时分别为4和2个单位.若允许使用原料为100个单位,工时为120个单位,且甲型、乙型微波炉产量分别不低于6台和12台.试建立一个数学模型,确定生产甲型、乙型微波炉的台数,使获利润最大．并求出最大利润.解：设安排生产甲型微波炉x 件,乙型微波炉y 件,相应的利润为S. 则此问题的数学模型为：max S=3x +2ys.t. ⎪⎩⎪⎨⎧∈≥≥≤+≤+Z y x y x y x y x ,,12,61202410032这是一个整线性规划问题 用图解法进行求解可行域为：由直线1l ：2x+3y=100, 2l :4x+2y ＝120 及x=6,y=12组成的凸四边形区域.直线l ：3x+2y=c 在此凸四边形区域内平行移动. 易知：当l 过1l 与2l 的交点时, S 取最大值.由⎩⎨⎧=+=+1202410032y x y x 解得第一章作业解答第 13 页 共 57 页⎩⎨⎧==2020y x .max S ＝320220⨯+⨯＝100.《数学模型》作业解答第五章1（2008年11月12日）1.对于5.1节传染病的SIR 模型，证明： （1）若处最大先增加，在则σσ1)(,10=s t i s ，然后减少并趋于零；)(t s 单调减少至.∞s （2）.)()(,10∞s t s t i s 单调减少至单调减少并趋于零，则若σ解：传染病的SIR 模型（14）可写成⎪⎩⎪⎨⎧-=-=i s dtds s i dt diλσμ)1(.)(lim 0.(t) .)( .0,t 存在而单调减少知由∞∞→=∴≥-=s t s s t s dtdsi s dt ds λ.)(∞s t s 单调减少至故（1）.s s(t) .s(t) .100≤∴单调减少由若σs;)(,0 .01,10单调增加时当t i dtdis s s ∴-σσ.)(,0.01,1单调减少时当t i dtdis s ∴-σσ .0)(lim.0)18(t ==∞→∞t i i 即式知又由书上.)( .0,1m i t i dtdis 达到最大值时当∴==σ（2）().0 0.1-s,1,10 dtdit s s σσσ从而则若 ()().0.0lim ==∴∞∞→i t i t i t 即单调减少且4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a Aab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得第一章作业解答第 15 页 共 57 页()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxray dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即 第五章2（2008年11月14日）6. 模仿5.4节建立的二室模型来建立一室模型（只有中心室），在快速静脉注射、恒速静脉滴注（持续时间为τ）和口服或肌肉注射3种给药方式下求解血药浓度，并画出血药浓度曲线的图形.解: 设给药速率为(),0t f ()()()()().,,0/t VC t x t f t kx t x k ==+则排除速率为常数(1)快速静脉注射: 设给药量为,0D 则()()().,0,0000t k e VDt C V D C t f -===解得 (2)恒速静脉滴注(持续时间为τ): 设滴注速率为()(),00,000==C k t f k ，则解得()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤-=----τττ t e e Vkk t e Vkk t C t k kt kt,10 ,10(3) 口服或肌肉注射: ()()，解得）式节（见134.5010010tk eD k t f -=()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=---010101001 ,,01k k te VkD k k e e k k V D k t C kt t k kt 3种情况下的血药浓度曲线如下：第一章作业解答第 17 页 共 57 页第五章3（2008年11月18日）8. 在5.5节香烟过滤嘴模型中,(1) 设3.0,/50,08.0,02.0,20,80,80021=======a s mm b mm l mm l mg M νβ求./21Q Q Q 和(2) 若有一支不带过滤嘴的香烟,参数同上,比较全部吸完和只吸到1l 处的情况下，进入人体毒物量的区别.解)(857563.229102.07.050103.01508002.07.0502008.0/01/2毫克≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯-⨯---e e e e ba vaw Q v bl a vl β()10/10==l M w 其中，()()97628571.0502002.008.0212===⨯----ee Q Q vl b β(2) 对于一支不带过滤嘴的香烟,全部吸完的毒物量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-vbl a e b a v aw Q '103‘ 只吸到1l 处就扔掉的情况下的毒物量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--vbl a v ble e b a v aw Q 1'21'04 .256531719.1110096.0032.0012.004.0508002.03.0508002.05010002.03.05010002.043111'1'≈--=--=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--e e e e e e e e e e e e e e e e Q Q v abl v bl v abl v bl v bl a v bl v bl a vbl 44.235,84.29543≈≈ ＱQ4．在5.3节正规战争模型（3）中，设乙方与甲方战斗有效系数之比为.4=ba初始兵力00y x 与相同.(1) 问乙方取胜时的剩余兵力是多少,乙方取胜的时间如何确定.(2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援,重新建立模型,讨论如何判断双方的胜负.解:用()()t y t x ,表示甲、乙交战双方时刻t 的士兵人数,则正规战争模型可近似表示为:()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=000,01 ,yy x x bx dtdyay dt dx现求(1)的解: (1)的系数矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=00b a A ab ab b aA E ±=∴=-==-1,22 .0λλλλλ第一章作业解答第 19 页 共 57 页⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1212,21，对应的特征向量分别为λλ ()()()tab t ab eC e C t y t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴1212121的通解为.再由初始条件，得()()2 220000 tab tab e y x ey x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=又由().1aybx dx dy =可得其解为 ()3 ,202022 bx ay k k bx ay -==-而(1) ()().231000202011y a b y a bx ay a k t y t x =-=-===时，当即乙方取胜时的剩余兵力数为.230y 又令().0222,01100001=-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=t ab t ab e y x e y x t x ）得由（注意到000020022,1x y y x ey x t ab -+==得. .43ln ,3121bt et ab =∴=∴ (2) 若甲方在战斗开始后有后备部队以不变的速率r 增援.则()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=+-=000,)0(4 yy x x bx dtdyr ay dt dx().,4rdy aydy bxdx bxr ay dy dx -=-+-=即得由 相轨线为,222k bx ry ay =-- .222220.020k a r bx a r y a bx ry ay k =--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=或 此相轨线比书图11中的轨线上移了.a r 乙方取胜的条件为.,0222020a r x a b a r y k +⎪⎭⎫ ⎝⎛- 亦即《数学模型》作业解答第六章（2008年11月20日）1.在6.1节捕鱼模型中，如果渔场鱼量的自然增长仍服从Logistic 规律，而单位时间捕捞量为常数h ．(1)分别就4/rN h >，4/rN h <，4/rN h =这3种情况讨论渔场鱼量方程的平衡点及其稳定状况．(2)如何获得最大持续产量，其结果与6.1节的产量模型有何不同．解：设时刻t 的渔场中鱼的数量为()t x ，则由题设条件知：()t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h Nxrx x F --=)1()( (1).讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性： 由()0=x F ，得0)1(=--h Nxrx ． 即()102=+-h rx x Nr )4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， (1)的解为：2412,1N rNhN x -±=①当4/rN h >，0<∆，(1)无实根，此时无平衡点；第一章作业解答第 21 页 共 57 页②当4/rN h =，0=∆，(1)有两个相等的实根，平衡点为20N x =. Nrxr N rx N x r x F 2)1()('-=--=，0)(0'=x F 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rNN x rx x F --= ，即0 dt dx ．∴0x 不稳定； ③当4/rN h <，0>∆时，得到两个平衡点：2411N rNhN x --=， 2412N rNh N x -+=易知：21N x <， 22N x > ，0)(1'>x F ，0)(2'<x F ∴平衡点1x 不稳定，平衡点2x 稳定.(2)最大持续产量的数学模型为⎩⎨⎧=0)(..max x F t s h 即 )1(max Nxrx h -=，易得 2*0N x = 此时 4rN h =， 但2*0N x =这个平衡点不稳定．这是与6.1节的产量模型不同之处．要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2Nx >，且尽量接近2N ，但不能等于2N ．2.与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：()xNrx t x ln '=．其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为Ex h =．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x ．解：()t x 变化规律的数学模型为()Ex xNrx dt t dx -=ln 记 Ex xNrx x F -=ln)( ① 令()0=x F ，得0ln =-Ex xNrx ∴r ENe x -=0，01=x ．∴平衡点为1,0x x . 又 ()E r xNr x F --=ln'，()()∞=<-=1'0',0x F r x F ． ∴ 平衡点o x 是稳定的，而平衡点1x 不稳定.②最大持续产量的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧≠=-=.0,0ln ..max x Ex x N rx t s Ex h 由前面的结果可得 rE ENeh -=r Er Ee r EN Ne dE dh ---=，令.0=dEdh 得最大产量的捕捞强度r E m =．从而得到最大持续产量e rN h m /=，此时渔场鱼量水平eNx =*0． 3．设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规律为：)1()(Nxrx dt t dx -= 其中r 为固有增长率,`N 为环境容许的最大鱼量. 而单位时间捕捞量为常数h .10．求渔场鱼量的平衡点,并讨论其稳定性;20．试确定捕捞强度m E ,使渔场单位时间内具有最大持续产量m Q ,求此时渔场鱼量水平*0x . 解：10．)(t x 变化规律的数学模型为h Nxrx dt t dx --=)1()( 记h N x rx x f --=)1()(,令 0)1(=--h N x rx ，即02=+-h rx x Nr ----（1）)4(42Nhr r N rh r -=-=∆ ， （1）的解为：2412,1N rNhN x -±=① 当0 ∆时，（1）无实根，此时无平衡点；Ex()x f第一章作业解答第 23 页 共 57 页② 当0=∆时，（1）有两个相等的实根，平衡点为20Nx =. Nrx r N rx N x r x f 2)1()('-=--= ，0)(0'=x f 不能断定其稳定性. 但0x x ∀ 及0x x 均有04)1()( rN N x rx x f --= ，即0 dt dx∴0x 不稳定； ③ 当0 ∆时，得到两个平衡点：2411rNhN N x --=， 2412rNh N N x -+=易知 21N x， 22N x ∴0)('1 x f ， 0)('2 x f ∴平衡点1x 不稳定 ，平衡点2x 稳定.20．最大持续产量的数学模型为： ⎩⎨⎧=0)(..max x f t s h即 )1(max N x rx h -=， 易得 2*0N x = 此时 4rN h =，但2*0N x =这个平衡点不稳定. 要获得最大持续产量，应使渔场鱼量2N x ,且尽量接近2N ,但不能等于2N.《数学模型》第七章作业（2008年12月4日）1．对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.《数学模型》作业解答第七章（2008年12月4日）2． 对于7.1节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第1+k 时段的价格1+k y 由第1+k 和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定，如果仍设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与7.1节的结果进行比较.（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 确定.试分析稳定平衡的条件是否还会放宽.解：（1）由题设条件可得需求函数、供应函数分别为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++)()2(111k k k k k y h x x x f y 在),(000y x P 点附近用直线来近似曲线h f ,，得到⎪⎩⎪⎨⎧>-=->-+-=-+++)2( 0, )()1( 0),2(0010101 ββααy y x x x x x y y k k k k k 由（2）得 )3( )(0102 y y x x k k -=-++β第一章作业解答第 25 页 共 57 页（1）代入（3）得 )2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ 0012222 x x x x x k k k αβαβαβ+=++∴++对应齐次方程的特征方程为 02 2=++αβαβλλ特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=当8≥αβ时，则有特征根在单位圆外，设8<αβ，则248)()4(2222,1αβαβαβαβλ=+-+= 212,1<⇔<∴αβλ 即平衡稳定的条件为2 <αβ与207P 的结果一致.（2）此时需求函数、供应函数在),(000y x P 处附近的直线近似表达式分别为：⎪⎩⎪⎨⎧>-+=->-+-=--+++)5( 0 , )2()4( 0),2(01010101 ββααy y y x x x x x y y k k k k k k 由（5）得，)( ) y y y β(y )x (x k k k 62010203 -+-=-+++ 将（4）代入（6），得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=-++++)2()2()(20101203x x x x x x x x k k k k k ααβ 001234424 x x x x x x k k k k αβαβαβαβ+=+++∴+++对应齐次方程的特征方程为(7) 024 23=+++αβαβλαβλλ 代数方程（7）无正实根，且42 ,αβαβ---, αβ不是（7）的根.设（7）的三个非零根分别为321,,λλλ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==++-=++424321133221321αβλλλαβλλλλλλαβλλλ 对（7）作变换：,12αβμλ-= 则 ,03=++q p μμ其中 )6128(41 ),122(412233322αββαβαβααβ+-=-=q p 用卡丹公式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--+++-=+--+++-=+--+++-=33233223332233223323321)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2)3()2(2p q q w p q q w p q q w p q q w pq q p q q μμμ 其中,231i w +-=求出321,,μμμ，从而得到321,,λλλ，于是得到所有特征根1<λ的条件.2．已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x .试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和)2(11-++=k k k y y g x . 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)(00 ααx x y y k k --=- ----------------------（1）0,)2(0101 ββy y y x x k k k -+=--+ --------------------（2） 从上述两式中消去k y 可得第一章作业解答第 27 页 共 57 页,2,1,)1(22012=+=++++k x x x x k k k αβαβαβ， -----------（3） 上述（3）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（3）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ 8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ----= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．3． 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+.试建立关于商品数量的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件. 解：已知商品的需求函数和供应函数分别为)2(11kk k x x f y +=++和)(1k k y g x =+. 设曲线f 和g 相交于点),(000y x P ，在点0P 附近可以用直线来近似表示曲线f 和g ：0,)2(0101 ααx x x y y kk k -+-=-++ --------------------（1） 0,)(001 ββy y x x k k -=-+ --- ----------------（2）由（2）得 )(0102y y x x k k -=-++β --------------------（3） （1）代入（3），可得)2(0102x x x x x kk k -+-=-++αβ∴ ,2,1,2220012=+=++++k x x x x x k k k αβαβαβ， --------------（4） 上述（4）式是我们所建立的差分方程模型，且为二阶常系数线性非齐次差分方程. 为了寻求0P 点稳定平衡条件，我们考虑（4）对应的齐次差分方程的特征方程：022=++αβαβλλ容易算出其特征根为48)(22,1αβαβαβλ-±-=---------------（4） 当αβ≥8时，显然有448)(22αβαβαβαβλ-≤---= -----------（5） 从而2λ 2，2λ在单位圆外．下面设8 αβ，由(5)式可以算出 22,1αβλ=要使特征根均在单位圆内，即 2,1λ1 ，必须 2 αβ．故0P 点稳定平衡条件为 2 αβ．《数学模型》作业解答第八章（2008年12月9日）1． 证明8.1节层次分析模型中定义的n 阶一致阵A 有下列性质： （1） A 的秩为1，唯一非零特征根为n ； （2） A 的任一列向量都是对应于n 的特征向量. 证明： （1）由一致阵的定义知：A 满足ik jk ij a a a =⋅，n k j i ,,2,1,, =于是对于任意两列j i ,，有ij jkika a a =，()n k ,,2,1 =.即i 列与j 列对应分量成比例. 从而对A 作初等行变换可得：第一章作业解答第 29 页 共 57∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−00000011211 n b b b A 初等行变换B 这里0≠B .()1=∴B 秩，从而秩()1=A再根据初等行变换与初等矩阵的关系知：存在一个可逆阵P ，使B PA =，于是∆⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==--0000001121111 n c c c BP PAP C 易知C 的特征根为0,,0,11 c （只有一个非零特征根）.又A ～C ，A ∴与C 有相同的特征根，从而A 的非零特征根为11c ，又 对于任意矩阵有()n a a a A Tr nn n =+++=+++==+++111221121 λλλ.故A 的唯一非零特征根为n .（2）对于A 的任一列向量()Tnk k k a a a ,,,21 ，()n k ,,2,1 =有()()T nk k k nk k k n j nkn j k n j k n j jk nj n j jk j n j jk j Tnk k k a a a n na na na a a a a a a a a a a a a A ,,,,,,2121112111121121 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑======A ∴的任一列向量()T nk k k a a a ,,,21 都是对应于n 的特征向量.7. 右下图是5位网球选手循环赛的结果，作为竞赛图，它是双向连通的吗？找出几条完全路径，用适当方法排出5位选手的名次.解：这个5阶竞赛图是一个5阶有向Hamilton 图.其一个有向Hamilton 圈为332541→→→→→.所以此竞赛图是双向连通的.32154→→→→13542→→→→42135→→→→→→→41325→等都是完全路径.此竞赛图的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0011110100000010110001010A令()Te 1,1,1,1,1=，各级得分向量为()()T Ae S 3,2,1,2,21==， ()()()TAS S 5,4,2,3,412==， ()()()T AS S 9,7,4,6,723== ， ()()()TAS S 17,13,7,11,1334==由此得名次为5，1（4），2，3 （选手1和4名次相同）.注：给5位网球选手排名次也可由计算A 的最大特征根λ和对应特征向量S 得到：8393.1=λ，()T S 2769.0,2137.0,1162.0,1794.0,2137.0= 数学模型作业（12月16日）解答1.基于省时、收入、岸间商业、当地商业、建筑就业等五项因素，拟用层次分析法在建桥梁、修隧道、设渡轮这三个方案中选一个，画出目标为“越海方案的最优经济效益”的层次结构图.解：目标层准则层方案层第一章作业解答第 31 页 共 57 页2.简述层次分析法的基本步骤. 问对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题要分成哪3个层次？具体内容分别是什么？答：层次分析法的基本步骤为：（1）．建立层次结构模型；（2）．构造成对比较阵；（3）．计算权向量并做一致性检验；（4）．计算组合权向量并做组合一致性检验． 对于一个即将毕业的大学生选择工作岗位的决策问题，用层次分析法一般可分解为目标层、准则层和方案层这3个层次. 目标层是选择工作岗位，方案层是工作岗位1、工作岗位2、工作岗位3等，准则层一般为贡献、收入、发展、声誉、关系、位置等.3．用层次分析法时，一般可将决策问题分解成哪3个层次？试给出一致性指标的定义以及n 阶正负反阵A 为一致阵的充要条件.答：用层次分析法时，一般可将决策问题分解为目标层、准则层和方案层这3个层次； 一致性指标的定义为：1--=n nCI λ．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为：A 的最大特征根λ=n ．第九章（2008年12月18日）1．在1.9节传送带效率模型中,设工人数n 固定不变.若想提高传送带效率D,一种简单的方法是增加一个周期内通过工作台的钩子数m ，比如增加一倍，其它条件不变．另一种方法是在原来放置一只钩子的地方放置两只钩子，其它条件不变，于是每个工人在任何时刻可以同时触到两只钩子，只要其中一只是空的，他就可以挂上产品，这种办法用的钩子数量与第一种办法一样．试推导这种情况下传送带效率的公式，从数量关系上说明这种办法比第一种办法好．解：两种情况的钩子数均为m 2．第一种办法是m 2个位置，单钩放置m 2个钩子；第二种办法是m 个位置，成对放置m 2个钩子．① 由1.9节的传送带效率公式，第一种办法的效率公式为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=nm n m D 21112 当mn2较小，1 n 时，有()m n m n n m n m D 41181211122--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≈E D -=1 ， mnE 4≈② 下面推导第二种办法的传送带效率公式：对于m 个位置，每个位置放置的两只钩子称为一个钩对，考虑一个周期内通过的m 个钩对．任一只钩对被一名工人接触到的概率是m1； 任一只钩对不被一名工人接触到的概率是m11-；记mq m p 11,1-==．由工人生产的独立性及事件的互不相容性．得，任一钩对为空的概率为n q ，其空钩的数为m 2；任一钩对上只挂上１件产品的概率为1-n npq ，其空钩数为m ．所以一个周期内通过的m 2个钩子中，空钩的平均数为 ()1122--+=⋅+⋅n n n n npq q m npq m q m 于是带走产品的平均数是 ()122-+-n n npq q m m ， 未带走产品的平均数是 ()()122-+--n n npq q m m n ）∴此时传送带效率公式为()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=--1111112222'n n n n m m n m n m n n p q q m m D ③ 近似效率公式：由于 ()()()321621121111m n n n m n n m n m n----+-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛- ()()2112211111mn n m n m n --+--≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-- ∴ ()()26211'm n n D ---≈当1 n 时，并令'1'D E -=，则 226'mn E ≈ ④ 两种办法的比较：第一章作业解答第 33 页 共 57 页由上知：m n E 4≈，226'mn E ≈ ∴ m n E E 32/'=，当n m 时，132 mn， ∴ E E '． 所以第二种办法比第一种办法好．《数学模型》作业解答第九章（2008年12月23日）一报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖.已知每100份报纸报童全部卖出可获利7元.如果当天卖不掉，第二天削价可以全部卖出，但报童每100份报纸要赔4元.报童每天售出的报纸数r 是一随机变量，其概率分布如下表：试问报童每天订购多少份报纸最佳(订购量必须是100的倍数)？ 解：设每天订购n 百份纸，则收益函数为⎩⎨⎧≤--+=n r n nr r n r r f 7))(4(7)( 收益的期望值为G(n) =∑=-n r r P n r 0)()411(+∑∞+=1)(7n r r P n现分别求出 n =5,4,3,2,1,0时的收益期望值. G(0)=0；G(1)=4-×0.05+7×0.1+7×（0.25+0.35+0.15+0.1）=6.45; G(2)= (05.08⨯-25.0141.03⨯+⨯+))1.015.035.0(14++⨯+8.11=; G(3)=(05.012⨯-35.02125.0101.01⨯+⨯+⨯-))1.015.0(21+⨯+4.14= G(4)=(05.016⨯-15.02835.01725.061.05⨯+⨯+⨯+⨯-)1.028⨯+15.13=G(5)=05.020⨯-1.03515.02435.01325.021.09⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 25.10= 当报童每天订300份时，收益的期望值最大.数模复习资料第一章。
数学建模-席位分配问题
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）
甲：11，乙：6，丙：4 14
模型分析
►存在公平的分配方法么？
1）比例加惯例法（H法）——悖论 2）Q值法——存在不合理 3）其它方法：D’hondt方法 理想化原则——不存在完全“合理”的分配 方法
15
练习
系 人数Pi 比例分配 A 9215 92.15 B 159 1.59
C 158 1.58 D 157 1.57 E 156 1.56 F 155 1.55 总和 10000 100
13
1032 Q1 2(2 1) 1768.2
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
1032 Q1 3(3 1) 888.4
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
甲 1 4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 乙 1 5 8 12 14 18 丙 1 9 15 21
20个席位的分配结果
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 100 100/200 (50/100)•20=10
乙
60
丙
40
60/200 40/200
(30/100)•20=6 (20/100)•20=4
席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
“DHOndtQ值法”席位分配模型（精）
江汉石油学院学报２００１年３月第２３卷第１期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｓｎｇｈａｎｐｅｔｒｏｌｅｕｍＩｎｓｔｉｔｕｔｅＭａｒ．２００１Ｖ０１．２３Ｎｏ．１“Ｄ’Ｈｏｎｄｔ＋Ｑ值法”席位分配模型孙玉秋（江汉石油学院理学院，湖北荆州４３４１０２）［摘要］席位分配模型中，接比例分配法存在较大缺陷．Ｄ’Ｈｏｎｄｔ涪不能解决不公平的大小闸题．Ｑ值法不能解奂。
分配资格”问题。
基于此，提出了。
分配资格”这一概念，并将Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值浩结台起来，建立了Ｄ’Ｈｏｎｄｔ＋Ｑ值法”席位分配模型。
实啻｝Ｉ表明．诙分配模型使席位舟配曼趋台理。
［关键词］席位分配；相对不公平；分配资格，数学模型［中田分类号］Ｐ１４１．４［文献标识码］Ａ［文章编号］１０００９７５２（２００１）ｏｌ一００８４—０３１比例分配法、Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值法评价１．１比例分配法的缺陷在社会经济活动中，常常会遇到席位分配问题。
比例分配法是解决这类问题的常用方法。
但是，比例分配法存在较大的缺陷。
先看一例：例ｌ某单位有３个部门，甲部门１０３人，乙部门６３人，丙部门３４人，年终该单位评选２０个先进。
按比例分配方法，甲、乙、丙各占１０．３，６．３，３．４个名额，实际分配为１０，６，４个名额。
若该单位评选２１个先进。
这时，按比例分配，甲、乙、丙各占１０．８１５，６．６１５，３．３５７个名额，按惯例３部门实际分配为１１，７，３名额。
其结果是，单位增加一个先进名额后，丙部门反而减少了一个名额。
显然，通常所用的比例分配方法存在较大缺陷。
前人在解决席位分配问题时尝试了许多方法，其中Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法和Ｑ值法是典型的方法。
１．２Ｄ’Ｈｏｎｄｔ法评价比利时人Ｄ’Ｈｏｎｄｔ［】１提出将甲、乙、丙３部门的人数Ｐｃ（ｚ一１，２，３）都用ｉ（ｉ一１，２，３，…）整除，将Ｐ．等（ｒ一１，２，３；ｉ一１，２，３，…）商从大到小排列，取排列在前的２１个数。
若这２１个数中有ｍ个是甲部门人数被整数相除所得的商，则甲部门分得ｍ个名额，乙、丙部门类推。
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席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型摘要:讨论公平席位分配的模型已有很多。
本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数(绝对不公平度)的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条;在模型求解上，全部由MATLAB程序来实现名额分配。
关键词:相对尾数 Balinsky & Young不可能定理 MATLAB正文1 问题复述公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。
处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法;后来出现了Q值法;1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的;因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。
这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。
2 模型假设2.1合理假设2.1.1 比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知;2.1.2 各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变;2.1.3 委员分配以各宿舍人数为唯一权重。
2.2 符号约定符号意义Q第个宿舍的Q值 iin第个宿舍的人数 iim第个宿舍分配的名额 iin总人数m总名额数p 第个宿舍的理想分配名额 ii,个宿舍的理想分配名额总席位增加一个时第ip iniq 第个宿舍的分配比例，即 miins 第个宿舍的绝对尾数值 iir 第个宿舍的相对尾数值 ii,个宿舍的相对尾数值总席位增加一席时第ir it按比例分配后剩余名额3 模型的建立与求解3.1按比例加惯例模型分配根据比例加惯例分配模型的原理，编写MATLAB程序实现(附录-程序1，2，3，附录-输入及运行结果1)，结果如表所示:表1(比例加惯例法分配结果):10个席位的分配 15个席位的分配宿舍学生人数比例分配惯例分配比例分配惯例分配的席位的结果的席位的结果A 235 2 3 3 4B 333 3 3 4 5C 432 4 4 6 6总数 1000 9 10 13 153.2按Q值法模型分配2ni首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式 i,A,B,CQ,im(m，1)ii对剩下的名额进行分配，编写MATLAB程序实现求解(附录-程序4，5，附录-输入及运行结果2):表2(Q值法分配结果):10个席位的分配 15个席位的分配宿舍学生人数比例分配最终分配比例分配最终分Q值 Q值名额名额名额配名额A 235 2 9204.17 2 3 4602.08 4B 333 3 9240.75 3 4 5544.45 5C 432 4 9331.2 5 6 4443.43 6 总数 1000 9 10 13 153.3 D’hondt模型3.3.1 模型建立设，分别表示宿舍总人数和总分配席位数，()表示各宿舍人数，令nnmi,1,2,3iniaa,()，则得到一个数列，将该数列按递减顺序重新排列，得ij,,1,2,3,1,2,...,,ijijj()k()k()k()kaaa到，其中表示中第大的项。
取中前项，则相应得到amk,,,,,,ijijijij()k()，m,,m即为按p,1,2,3mmaip,,(k=1,2,...,m)中的元素的个数,,,,123pijD’hondt模型分配的结果。
3.3.2 按D’hondt模型分配根据建立的D’hondt模型，编写MATLAB程序求出结果(附件-程序6，附录-输入及运行结果3):表3(D’hondt模型分配结果):宿舍人数 10个名额的分配 15个名额的分配A 235 2 3B 333 3 5C 432 5 7总数 1000 10 153.4 相对尾数模型3.4.1 模型准备讨论一般情况:个宿舍人数分别为n,,总人数为,待分配nnn,，，...kik,1,2, (i1)k的席位为个,理想化的分配结果是(),满足,记pmp,mik,1,2,...,,iii,1 ni()。
显然,若q全为整数,应有q=p(),当q不全为整数ik,1,2,...,ik,1,2,...,qm,iiiiin时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。
pqq公理一:(),即取或之一,其中qpq,,ik,1,2,...,,,,,,,,,iiiiii,，,，qqqqq=,=q，1,表示的整数部分。
,,,,,,,,,,iiiiii,，公理二:,,即总席位增加时,各pmnnnpmnnn(,,,...,)(1,,,...,),，ik,1,2,...,ikik1212宿舍的席位数不应该减少。
公理一显然满足Balinsky & Young不可能定理 (见附录) 中的公理4(公平分摊性),公理nn，，ii二满足其的公理1(人口单调性)和公理3(名额单调性)。
令,smmqq,,,,,,iii,,,nn，，,si称其为对第个宿舍的绝对尾数值。
令,称其为对第个宿舍的相对尾数值。
ii,riq,,i,3.4.2 模型建立与求解r由于人数都是整数,为使分配趋于公平,需所有的越小越好,所以趋于公平的分配方案irr应该是最大的达到最小,即所有的达到最小。
iiqqnn,nnn,，为方便起见,首先考虑只有两个宿舍的情形,即,,且,和k,2121212 ,,pr不全是整数(实际上,他们同为整数或小数)。
记,为总席位增加一席时的分配结果和相ii对尾数。
给出定理:定理:以下分配方案满足公理一,二，nn，，，，121) 若,且,则取,,即按比例加惯例rr,ss,pm1,，pm,121212,,,,nn，，，，,,法分配;nn，，，，122) 若,则取,; rr,pm1,，pm,1212,,,,nn，，，，,,nn，，，，123) 若,则取,。
rr,pm1,pm,，1212,,,,nn，，，，,,定理证明见附录。
按照定理，对三个宿舍的情形进行讨论。
设,,全部为零(实际上,如果有一个为零,rrr123即是按两个宿舍分配),可以做以下分配:1) 当时,按比例分配取整后,剩余的席位分配给绝对尾数较大的宿舍,即按rrr,,123比例加惯例法分配;2) 当时,按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两rrr,,123个席位,则分配一席给第一个宿舍,另外一席分配给第二三个宿舍中绝对尾数值较大者;3) 当时，按比例分配后，若剩余一个席位分配给第一二个宿舍中绝对尾数rrr,,123值较大者，若剩余两个席位，则分配给第一二宿舍各一席;4) 当时，按比例分配后,若剩余一个席位,则分配给第一个宿舍,若剩余两rrr,,123个席位,则分配给第二个宿舍。
一般地，对个宿舍，设r,r,…，r不全为零，且，则当rr,时，rrr,,,...k12n12ktt，1kn，，i将剩余的个席位分配给第一至第个宿舍各一席，当trrrr,,,tmm,,,tttt,，，112,,n，，i,1,kn，，iss时，个席位分配给第一至第个宿舍及和较大的宿舍各一席，t,1tmm,,,tt，1,,n，，i,1,kn，，i当()时，个席位分配给第一至第rrrr,,,t,11,,,skttmm,,,tttts,，，11,,n，，i,1,个宿舍及s，s，…中较大的宿舍各一席，当()，srrr,,1,',,,sskttt，1ts，tststs,,，，1'kn，，iss 个席位分配给第一至第个宿舍及，，…s中个较大的所sts,tmm,,,tt，1ts，,,n，，i,1,对应的宿舍各一席。
最后，编写出尾数法的MATLAB程序，实现3本题中的名额分配(附录-程序7，附录-输入及运行结果4)。
表4(尾数法分配结果):宿舍人数 10个名额的分配 15个名额的分配A 235 3 4B 333 3 5C 432 4 6总数 1000 10 154 模型检验及结果分析席位分配的尾数模型满足Young公理的1、3、4条，是以严格证明了的定理形式给出。
对按上述四种分配模型分配的结果列表比较。
表5(各方法分配结果的比较1):20个席位的分配 21个席位的分配学生宿舍人数 B Q D R B Q D RA 103 10 11 11 10 11 11 11 10B 63 6 6 6 6 7 6 7 7C 34 4 3 3 4 3 4 3 4 总数 200 20 20 20 20 21 21 21 21表6(各方法分配结果的比较2):10个席位的分配 15个席位的分配学生宿舍人数 B Q D R B Q D RA 235 3 2 2 3 4 4 3 4B 333 3 3 3 3 5 5 5 5C 432 4 5 5 4 6 6 7 6 总数 1000 10 10 10 10 15 15 15 15表格中，B表示比例加惯例法，Q表示Q值法，D表示D'hondt法，R表示相对尾数法。
“比例加惯例”法用各团体人数占团体总人数的比例乘以总席位数, 取其整数位为第一次分配, 再次分配时, 则按小数位的大小分, 大的先分配, 直到席位分完。
从表4看到，当总席位数增加时，C宿舍分得的席位却减少;Q值法利用相对不公平度建立了衡量不公平程度的数量指标, 进而将席位分给最不公平的一方。
D’hondt方法将各团体的人数用正整数相除, 其商数组成一个表, 将数从大到小取, 直到取得的商数的个数等于总席位数, 统计出每个团体被取到的商数的个数, 即为该团体分得的席位数。
5 优缺点分析及改进从对模型的检验与分析可以看到，上面讨论的三个模型都有自身的不足:比例加惯例法满足公理一，却不满足公理二;Q值法满足公理二但不满足公理一;D’hondt法也不能解决对每个宿舍成员公平的大小问题;尾数法虽然满足公理一和二，但由于两个公理本身只满足Young公理体系的部分，也不尽完美。
优点:尾数模型打破Q值法的对绝对尾数的比较方法，以相对尾数来讨论，使得模型满足了Young公理体系中更多的公理，虽不尽完善，但相比之前的四种方法是很大的改进。
并且，这种对已有方法改进的思想很有启发意义。
改进:本文中只给出了尾数法对3个宿舍的名额分配程序，对不定数量宿舍的分配没能程序实现，是可以改进的。
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