席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型

席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型席位分配问题的D’hondt模型和相对尾数模型摘要:讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配，再对D’hondt法的合理性进行了分析，并在Q值法对绝对尾数(绝对不公平度)的处理方式基础上，提出了相对尾数模型，并讨论了其满足Young公理的1，3，4条;在模型求解上，全部由MATLAB程序来实现名额分配。

关键词:相对尾数 Balinsky & Young不可能定理 MATLAB

正文

1 问题复述

公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题，它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法，即比例加惯例法;后来出现了Q值法;1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法，并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的;因此，我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里，我们需要理解并运用比例加惯例法、Q值法、

D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配，继而提出更优的公平分配席位的方法。

2 模型假设

2.1合理假设

2.1.1 比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知;

2.1.2 各个宿舍相互独立互不影响，人数保持不变;

2.1.3 委员分配以各宿舍人数为唯一权重。

2.2 符号约定

符号意义

Q第个宿舍的Q值 ii

n第个宿舍的人数 ii

m第个宿舍分配的名额 ii

n总人数

m总名额数

p 第个宿舍的理想分配名额 ii

,个宿舍的理想分配名额总席位增加一个时第ip i

niq 第个宿舍的分配比例，即 miin

s 第个宿舍的绝对尾数值 ii

r 第个宿舍的相对尾数值 ii

,个宿舍的相对尾数值总席位增加一席时第ir i

t按比例分配后剩余名额

3 模型的建立与求解

3.1按比例加惯例模型分配

根据比例加惯例分配模型的原理，编写MATLAB程序实现(附录-程序1，2，3，附录-输入及运行结果1)，结果如表所示:

表1(比例加惯例法分配结果):

10个席位的分配 15个席位的分配

宿舍学生人数比例分配惯例分配比例分配惯例分配

的席位的结果的席位的结果

A 235 2 3 3 4

B 333 3 3 4 5

C 432 4 4 6 6

总数 1000 9 10 13 15

3.2按Q值法模型分配

2ni首先用比例分配法对名额进行初步分配，再根据表达式 i,A,B,CQ,im(m，1)ii对剩下的名额进行分配，编写MATLAB程序实现求解(附录-程序4，5，附录-输入及运行结果2):

表2(Q值法分配结果):

10个席位的分配 15个席位的分配宿舍学生人数比例分配最终分配比例分配最终分Q值 Q值名额名额名额配名额

A 235 2 9204.17 2 3 4602.08 4

B 333 3 9240.75 3 4 5544.45 5

C 432 4 9331.2 5 6 4443.43 6 总数 1000 9 10 13 15

3.3 D’hondt模型

3.3.1 模型建立

设，分别表示宿舍总人数和总分配席位数，()表示各宿舍人数，令

nnmi,1,2,3i

niaa,()，则得到一个数列，将该数列按递减顺序重新排列，得

ij,,1,2,3,1,2,...,,ijijj

()k()k()k()kaaa到，其中表示中第大的项。取中前项，则相应得到amk,,,,,,ijijijij

()k()，m,,m即为按p,1,2,3mmaip,,(k=1,2,...,m)中的元素的个

数,,,,123pij

D’hondt模型分配的结果。

3.3.2 按D’hondt模型分配

根据建立的D’hondt模型，编写MATLAB程序求出结果(附件-程序6，附录-输入及运

行结果3):

表3(D’hondt模型分配结果):

宿舍人数 10个名额的分配 15个名额的分配

A 235 2 3

B 333 3 5

C 432 5 7

总数 1000 10 15

3.4 相对尾数模型

3.4.1 模型准备

讨论一般情况:个宿舍人数分别为n,,总人数为,待分配

nnn,，，...kik,1,2, (i1)

k的席位为个,理想化的分配结果是(),满足,记pmp,mik,1,2,...,,iii,1 ni()。显然,若q全为整数,应有q=p(),当q不全为整数

ik,1,2,...,ik,1,2,...,qm,iiiiin

时,需要确定同时满足下面公理的分配方案。

pqq公理一:(),即取或之一,其中qpq,,ik,1,2,...,,,,,,,,,iiiiii,，,，qqqqq=,=q，1,表示的整数部分。 ,,,,,,,,,,iiiiii,，

公理二:,,即总席位增加时,各pmnnnpmnnn(,,,...,)(1,,,...,),，

ik,1,2,...,ikik1212

宿舍的席位数不应该减少。

公理一显然满足Balinsky & Young不可能定理 (见附录) 中的公理4(公平分摊性),公理

nn，，ii二满足其的公理1(人口单调性)和公理3(名额单调性)。

令,smmqq,,,,,,iii,,,nn，，,