数学建模 席位分配问题
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
公平的席位分配等四个数学模型例子
补例2 洗衣节水问题
因为lim n
1
1 n
n
e，所以当n趋于无穷大时，(7)式分母
趋于e AW。
当n趋于无穷大时，N
的极限存在，并有
n
A
lim
n
Nn
N0
eW
(8)
(8)式说明了当水的总量一定的时候，无论你怎样洗涤，不 管次数多少，最后的结果是不可能一点污物都不残留的。
18 8 4+3+2+2+2+4＝17
A7 13 23 10 7 28 18
4 2+2+2+4+4+4＝18
A8 17 11 27 22 14 8 4
3+2+2+2+4+4＝17
由以上表格可知该安排是合理的
作业：当7支队参加单循环赛的排球比赛时，试 合理的安排其赛程。
补例2 洗衣节水问题
问题提出： 我国淡水资源有限，节约用水势在必行。那么如何在洗衣 服中合理地用水，使得既能把衣服洗干净，又能节约用水 的问题就摆在我们的面前。一般洗衣服的过程是先将衣服 用洗涤剂浸泡，然后一次次地用水漂洗。洗衣机的运行过 程分别为加水—>漂洗—>脱水—>加水—>漂洗—>脱 水……这么一个循环过程。我们的问题是在保证一定洗涤 效果下，洗衣服分成多少次（或在洗衣机中应循环几次）， 每一次的用水量是否一致，使得总的用水量最为节省？
补例2 洗衣节水问题
进一步讨论:
如何确定洗涤的次数 n 。
先引入一个清洁度 的定义。设 是洗净衣服上的污物量与
第一次浸泡后残留在衣服上的污物量之比，即 Nn N0
数学论文席位的公平分配问题
数学建模论文席位的公平分配问题姓名：学号：18 15 20公平的委员分配问题摘要:1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。
我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。
我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数A 、B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：2、3、5人。
2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。
通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。
3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。
建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。
（无论在哪方面都一样。
）关键字：委员分配、比例法、Q值法1.1问题的重述分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。
1.2问题的分析数学中通常人们用比例的方法来分配各个楼要派出几个人来组建委员会，当比例中有小数时人们有按照惯例使得各组中小数最大的组拥有更多的人数。
然而人们是怎样分配的呢？又因为没栋楼所占比例不是整数，可以会出现不公平的现象。
为了让席位分配更加公平我们不应该采用比例法，要引用不比例法更好的Q值法对其进行求解。
教室座位选择问题(数学建模)
第十届“新秀杯”校园数学建模竞赛论文题目：教室座位选择摘要本文研究了关于西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。
我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际，合理假设，建立模型进行求解，旨在找出最适合听课的座位。
本篇论文我们通过仔细读题，确认该题属于数学规划最优解模型。
在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角，仰角两个决策指标，所以我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表示视角α和仰角β，使用了满意度函数f (β,α)来衡量不同位置同学们满意度，以得到最佳位置。
为了消除两项决策指标的量纲不同的影响，我们用变异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义│β-6│和αmax -α为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量，而满意度函数值f (β,α)函数值越小，则表示该座位越合适。
因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在普通教室和阶梯教室最小值点均在第二排处取得。
紧接着，我们又绘制了满意度函数与座位数n 的函数图像进行验证。
最后我们可以得到结论，普通教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。
问题二在问题一的基础上增加了一个决策指标L ，我们在问题一的决策指标基础上增加了一个新的决策变量L ，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g (β,α,L)最小值点的求解，我们解得：普通教室g (β,α,L)最小是在第一排取得，阶梯教室g (β,α,L)最小也是在第一排处取得。
我们又绘制了满意度函数g (β,α,L)与座位排数n 的图像进行验证，综上，我们得出普通教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。
本文最大的特色在于：通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来，作为座位的属性，给出了衡量舒适度的方法。
此种数学模型能够帮助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。
关键词：满意度函数 变异系数法 MATLAB 软件一．问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧的学习进入到自由宽松的学习氛围中，也有一部分同学依旧保持着热忱的学习热情，在大学上课前抢着去占座位。
数学建模方法总结
1.席位分配问题(宿舍分配问题)：比例模型、Q值法、d’Hondt法。
席位分配模型中, 按比例分配法存在较大缺陷, D’Hondt 法不能解决不公平的大小问题, Q 值法不能解决“分配资格”问题。
2.人员分配：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件
3.贫困生认定工作：模糊综合评价理论, 模糊评价；聚类分析；综合评价
数学建模算法：蒙特卡罗算法，数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，线性规划、整数
规划、多元规划、二次规划等规划类算法，图论算法，动态规划、回溯搜索、分支定界
最优化理论三大经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算。
数学建模论文-席位公平分配问题
数学建模论文-席位公平分配问题数学建模论文(席位公平分配问题)席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型1目录一、问题重述与分析: ................................... 3 1.1问题重述: ........................................ 3 1.2问题分析: ........................................ 3 二、模型假设 .......................................... 4 三、符号说明 .......................................... 4 四、模型建立: ........................................ 5 4.1公平的定义: ...................................... 5 4.2不公平程度的表示: ................................ 5 4.3相对不公平数的定义: .............................. 5 4.4模型一的建立:(比例分配模型) ...................... 6 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6)五、模型求解 .......................................... 8 5.1模型一求解: ...................................... 8 5.2模型二的求解: .................................... 8 六、模型分析与检验 ..................................... 9 七、模型的评价: ...................................... 11 7.1、优点: ......................................... 11 7.2、缺点: ......................................... 11 7.3、改进方向: ..................................... 11 八、模型优化 ......................................... 11 九、参考文献 (12)2一、问题重述与分析:1.1问题重述:三个系学生共200名(甲系100，乙系60，丙系40)，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
数学建模席位分配
情形2
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
情形3
说明当对A 不公平时，给B 单
位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
若A、B两方已占有席位数为
按Q值方法：
甲1 2 2 3 4 … 乙1 1 2 2 2 … 丙1 1 1 1 1 …
甲：11，乙：6，丙：4
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
记
则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1 席时，计算
则1 席应分给Q值最大的一方。从
开始，即每方
至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
最新 数学建模教学的实践与思考——以《席位的公平分配问题》为例-精品
数学建模教学的实践与思考——以《席位的公平分配问题》为例摘要：考虑到常规教学对建模的关注不足，开设自由选课、每周一节的校本课程，提供现实生活中的情境（或问题），引导学生提出问题，并建立数学模型来解决。
“席位的公平分配问题”是一个有趣、实用又开放的问题。
对此，分“介绍背景，提出问题”“数学模型的初步假设”“数学模型的基本建立”“数学模型的求解与分析”“数学模型的改进”五个环节，用四个课时完成教学。
数学建模的教学价值主要表现为将思考和表达的机会还给学生，提高学生的元认知能力，发展学生的符号意识。
关键词：数学建模席位的公平分配教学设计数学建模就是用数学方法解决实际问题：先用数字、符号、公式和图表等将问题表示出来，再经过数学或的处理，得出供人们进行分析、决策、预报或控制的定量结果。
其过程可以大致分为观察实际情境、发现和提出问题、抽象成数学模型、得到数学结果、实际检验结果、确认或返回等环节。
数学建模的教学可以开拓学生的数学视野，让学生体会数学内部、数学与其他学科、数学与生活之间的联系，提高学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，进而增强学生学习数学的兴趣，培养学生从数学的角度提出问题的能力、综合运用数学知识解决实际问题的能力。
这符合课程标准的理念。
考虑到常规教学必须重视学生基础知识的掌握和解题（应试）能力的培养，导致对数学建模的关注不足，笔者针对具有一定知识基础而没有太大应试压力的初二学生开设了自由选课、每周一节的校本课程：《数学建模与实践》。
课上，笔者提供现实生活中的情境（或问题），引导学生提出问题，并建立数学模型来解决。
下面，以《席位的公平分配问题》的教学设计与实施为例，谈谈如何有效地进行数学建模的教学。
一、教学设计与实施（一）教学思考席位分配在社会生活中经常遇到，如代表名额的分配和物质资料的分配等。
它是指将一定数量的某种事物（如席位）分配给一定数量的另一种事物（如人群）。
基于公平原则，其基本方法是按比例分配。
数学建模与数学实验课后习题答案
P594•学校共1002名学生，237人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432 人住在C 宿舍。
学生要组织一个10人的委员会，使用Q 值法分配各 宿舍的委员数。
解:设P 表示人数，N 表示要分配的总席位数。
i 表示各个宿舍（分别取 A,B,C ）， p i 表 示i 宿舍现有住宿人数， n i 表示i 宿舍分配到的委员席位。
首先，我们先按比例分配委员席位。
23710 A 宿舍为:n A ==2.365 1002 333"0 B 宿舍为：n B =3.323 1002 432X0 C 宿舍为：n C =4.3111002现已分完9人，剩1人用Q 值法分配。
经比较可得，最后一席位应分给 A 宿舍。
所以，总的席位分配应为： A 宿舍3个席位，B 宿舍3个席位，C 宿舍4个席位。
QA23722 3= 9361.5 Q B33323 4 = 9240.7 Q C4322 4 5=9331.2商人们怎样安全过河傻麴删舫紬削＜ I 11山名畝臥蹄峨颂禮训鋤嫌邂 韻靖甘讹岸讎鞍輯毗匍趾曲展 縣確牡GH 錚俩軸飙奸比臥鋪謎 smm 彌鯉械即第紘麵觎岸締熾 x^M 曲颁M 删牘HX …佛讪卜过樹蘇 卜允棘髒合 岡仇卅毘冋如;冋冋1卯;砰=口 於广歎煙船上觸人敦% V O J U;xMmm朗“…他1曲策D 咿川| thPl,2卜允隸策集合 刼為和啊母紳轉 多步贱 就匚叫=1入“山使曲并按 腿翻律由汩3』和騒側），模型求解 -穷举法〜编程上机 ■图解法S={(x ?jOI x=o, j-0,1,2,3;X =3? J =0,1,2,3； X =»*=1,2}J规格化方法，易于推广考虑4名商人各带一随从的情况状态$=（xy¥）~ 16个格点 允许状态〜U ）个。
点 , 允许决策〜移动1或2格； k 奇）左下移；&偶，右上移. 右，…，必I 给出安全渡河方案评注和思考［廿rfn片,rfl12 3xmm賤縣臓由上题可求：4个商人，4个随从安全过河的方案。
分配位置的数学模型
分配位置建立数量指标讨论A，B两方公平分配席位的情况。
设两方人数分别是p1和p2,占有席位是n1,n2,则两方每个席位代表的人数分别是p1/n1和p2/n2。
显然当p1/n1=p2/n2的时候分配才公平！但是因为人数和席位都是整数，所以通常他们不相等，这时就不公平！而且p i/n i 数值较大的一方吃亏，或者说对一方不公平！不妨设p1/n1>p2/n2不公平程度可用数值p1/n1-p2/n2衡量。
如设p1=120,p2=100,n1=n2=10,则p1/n1-p2/n2=2，它衡量的是不公平的绝对程度，常常无法区分两种程度明显不同的不公平情况！为了更好的改进上面的方法我们可以使用相对标准。
若p1/n1>p2/n2，则定义R A(n1,n2)=( p1/n1-p2/n2)/ (p2/n2)为A相对不公平度。
若p1/n1<p2/n2，则定义R B(n1,n2)=-( p1/n1-p2/n2)/ (p1/n1)为B相对不公平度。
建立衡量分配不公平程度的数量指标r A,.r B后，制定席位分配方案的原则是尽量小！确定分配方案假如A，B两方已占有n1和n2席，利用相对不公平r1和r2讨论，当总席位增加1席位时，应该分配给A还是B。
不失一般性可设p1/n1>p2/n2，即对A不公平。
再分配一个时，关于p i/n i的不等式可能有以下三种情况：1．P1/（n1+1）>p2/n2，这说明A增加一席，任然对A不公平，所以这一席位显然应分给A。
2．P1/（n1+1）<p2/n2，说明当A增加一席时将变成对B不公平，计算出B的相对不公平度为r B(n1+1,n2)=p2(n1+1)/p1n2-13．P1/n1>p2/(n2+1)，即B增加一席将对A不公平，计算A的相对不公平度为r A(n1,n2+1)=p1(n2+1)/p2n1-1因为分配位子是使相对不公平度尽可能的小，所以如果r B(n1+1,n2)< r A(n1,n2+1)则位置应该分给A，反之给B 上述条件也可等价于P22/n2(n2+1)<p12/n1(n1+1) （*）则当（*）成立的时候把位子给A，反之给B。
数学建模论文：席位分配问题例题
席位分配问题例题：有一个学校要召开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。
如何分配最为恰当？问题：（1）问20席该如何分配，如果有三名学生转系该怎样分配？（2）若增加21席又如何分配？问题的分析：一、20席分配情况：系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20如果有三名学生转系，分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20二、21席位分配情况：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
要怎样才能公平呢？模型的建立：假设由两个单位公平分配席位的情况，设单位人数席位数单位A p1 n1单位B p2 n2要公平，应该有p1/n1 = p2/n2，但这一般不成立。
注意到等式不成立时有若p1/n1 >p2/n2 ，则说明单位A吃亏(即对单位A不公平)若p1/n1 <p2/n2 ，则说明单位B 吃亏(即对单位B不公平)因此可以考虑用算式p=|p1/n1-p2/n2|来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：某两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =120，p2=100，算得p=2另两个单位的人数和席位为n1 =n2 =10 ，p1 =1020，p2=1000, 算得p=2虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
数学建模---席位
第十八次全国人名代表大会人大代表席位分配方案分析修改专业：信息与计算科学学号：201014413姓名：张艺伟摘要2012年11月8日（星期四）上午9时，第十八次全国人民代表大会在人民大会堂正式召开。
人民代表大会制度是我国的根本政体，是我国立国利民之本，它的召开在全国人民心目中都具有举足轻重的地位。
在议政的同时，人大会议中各省人大代表名额的分配原则也是人们广泛关注的焦点。
根据查询数据和相关法律（省、自治区、直辖市根据人口总数计算名额数，即城乡居民每67万人中选取一名人大代表）的分析，我发现现实生活中的席位分配似乎有些不公平。
以河南，山东两省为例。
根据数据查询可知河南省目前人数1.0489万人，山东省现有人口9579.3065人，比河南总人口少0.091万人，但河南省只有人大代表席位159个，山东省拥有人带代表名额162个，比河南省多3个名额。
这个数据的差别让我对全国人民代表大会代表席位分配方法产生了兴趣，以下将对其进行更加全面的资料与数据分析，并给出自己的一点意见与建议。
问题重述探讨全国人民代表大会的席位分配问题。
根据《中华人民共和国宪法》和《中华人民共和国人民代表大会和地方各级人民代表大会选举法》的有关规定，第十届全国人民代表大会第五次会议关于全国人民代表大会代表名额和选举问题的相关规定有：一．全国人民代表大会名额不超过3000人。
二．省、自治区、直辖市根据人口总数计算名额数，即城乡居民每67万人中选取一名人大代表。
三．省、自治区、直辖市拥有基本名额数8名。
四．第十二届全国人民代表大会代表中，少数民族代表应占代表总名额的12%左右，人口特别少的少数民族至少应占有1名名额。
五．香港特别行政区应选全国人民代表大会代表36名。
澳门特别行政区应选全国人民代表大会代表12名。
台湾省暂时选举全国人民代表大会代表13名，由在各省、自治区、直辖市和中国人民解放军的台湾省级同胞中选出。
六．中国人民解放军应选全国人民代表大会代表256名。
公平分配席位数学建模
公平分配席位数学建模
公平分配席位数学建模是指基于数学模型，通过分析选民分布、政党得票率等因素，确定选举中各政党应该获得的议席数，从而实现选举结果的公正和公平。
在公平分配席位数学建模中，主要运用了几种方法，包括杜哈美—贝勒多尼定理、圆整法、最大余数法、谢泼德方法等。
这些方法都能够根据选民分布和政党得票率等因素，计算出每个政党应该获得的议席数，并且保证在分配过程中不会出现偏差和不公平现象。
公平分配席位数学建模不仅在政治选举中有着广泛的应用，还可以用于企业、学校等组织内部的决策和分配问题。
通过数学建模，可以实现公正合理的决策和资源分配，提高组织的效率和公信力。
总之，公平分配席位数学建模是一种重要的数学工具，可以帮助我们实现公正公平的选举和决策，具有广泛的应用前景和社会价值。
- 1 -。
ch1-§4 数学建模教学插件1.1： 初等模型：代表席位公平分配问题 --3.2
§1. 代表席位分配模型一、问题：代表大会的召开，如何分配各单位的代表各方是最公平，最合理？ 例1．分配席位为整数某学校200学生：甲方：100名，乙方：60名，丙方40名，学生代表设20席，公平又简单的办法：按人数比例分配。
1、模型1（比例模型）： 代表名额分配：ii ip n p ⨯=⨯∑∑各单位学生人数代表席位学生总数甲方：()1002002050%2010⨯=⨯=席 乙方：()602002030%206⨯=⨯=席 乙方：()402002020%204⨯=⨯=席 2、模型2（惯例模型）分配席位为小数时——剩余席位分配结余最大的单位： 如：学生总数200人（丙方有6名学生转入甲、乙方各3人）即 甲：103人 乙：63人 丙：34人代表总数仍为20人，则：仍按上述方案分配就出现小数。
按惯例将席位整数19席分配完毕之后，剩余一席按照惯例分配给比例余数最大的丙席，于是分配结果似乎合理，是否合理看下例。
但若总数变化时所出3．惯例模型的问题----增加一席代表后的分配情况 增加一席代表后的分配结果：若学生总人数200，分布同2（甲103，乙6，丙34）学生代表人数21人（避免出现表决提案成平面）分配办法：仍按比例和惯例分配：分配结果：使人吃惊，总席为增加1席，丙方反而减少1席，显然“不公平”。
为此，要寻找更加“公平”的分配办法：问题：寻求更好的分配模型，使得分配结果更合理，于是，要解决此问题必须要弄清楚，该问题中什麽是“合理”？或者说我们应在该问题中如何去理解和定义“合理”的 概念。
即有以下的分析。
二．建模分析：席位分配模型——Q 值分配方案1、公平的定义：定义1：设：A 方人数 1p 人，若分配给 1n 个席位，则每席代表人数11p n B 方人数 2p 人，若分配给 2n 个席位，则每席代表人数22p n 则公平的定义为：若：有1212p p n n =成立，则席位分配是公平的，否则是不公平的。
公平席位分配问题 数学建模
公平席位分配问题数学建模数学建模,公平席位问题所在系别:地球科学与资源系专业班级:10级土管6班姓名:刘强1一、摘要本文就是席位分配公平与否的问题。
需要联系生活想象。
它就是在达到所有系最公平的条件下寻求最好的方法，通过对各个合理的计算和研究，总结找出最佳方案。
首先用比例分配法求出本题的答案，然而考虑到实际的多重因素下，在假设一组数据进行检验，然后便发现了问题，即:很多时候根本没有公平的分配方法，我需要另寻其他方法。
找到了以下关于分配的方法:Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt 接着我(汉丁顿)方法、Q值方法、d’Hondt(汉丁顿)方法+Q值法。
将对这些方法进行逐一分析与检验，使得得出一套最佳的合理方案。
即:使得各系席位分配最公平。
关键词:公平分配、最佳方案、最公平二、问题的重述某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位,三、问题的提出与分析分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。
它涉及的内容十分广泛。
此题一个自然的问题是如何分配席位名额才是公平的呢,反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
即:mi / xi当各系每席位代表的人数相等时，则就是最公平的分配方法。
此题公平的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲、乙、丙三系分别占有10、6、4个席位。
但是比例分配在实际生活中的应用并不广泛，原因是当所得结果并非整数时，就难以解决了。
此时就需要另寻其他方法了。
Hamilton (哈密顿)方法、d’Hondt(汉丁顿)方法、Q值方法均是求如何分配所总结的方法。
那么什么方法使得能够更大的获得公平呢,四、符号的约定• N 表示总席位数• s 表示系数• ni(i=1.2.3……s) 表示第i个系• mi(i=1.2.3……s) 表示各系中的人数• xi(i=1.2.3……s) 表示各系所获得的席位数?、采用比例分配法xi=(mi/N)*总席数20个席位的分配结果如下表人数系别ni 所占比例分配方案席位数xi mi甲 100 100/200 (50/100)*20=10 102乙 60 60/200 (30/100)*20=6 6丙 40 40/200 (20/100)*20=4 4• 但是我发现实际生活中结果是整数的情况少之又少，• 所以对此我们假设下面这种情况作为参考。
公平席位分配问题
200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3
6.3
3.4
20
按惯例席位分配 10
6
4
20
惯例席位分配方法为:比例分配出现小数时,先按整数 分配席位,余下席位按小数的大小依次分配之
为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加一 席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席位, 有
1032 1011
96.4
Q2
632 67
94.5
应该将席位分给甲
Q3
342 3 4
96.3
第２１席的分配由Q值决定为
1032
632
Q1 1112 80.4 Q2 6 7 94.5
应该将席位分给丙
342 Q3 3 4 96.3
最后的席位分配 为：
Qi
pi2 ni (ni 1)
于是增加的席位分配由Qi的最小值决定，它可 以推广到一般情况，即n个组
模型求解
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。
本问题的整数名额共分配了１９席，具体 为
甲
10.815 n1=10
乙
6.615 n2=6
丙
3.570 n3=3
第２０席的分配由Q值决定
Q1
1、 p1 p2 说明此一席给 A，对A还不公平，应给 A n1 1 n2
2、 p1 p2 说明此一席给A，对B不公平， n1 1 n2
不公平值为rB (n1
1, n2 )
(n1 1) p2 p1n2
1
3、p1 p2 说明此一席给B，还对A不公平， n1 n2 1
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存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平 的分配席位的方案？
2 建模分析
目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
rB (n1
1, n2 )
1
p1n2 p2 (n1 1)
rA (n1, n2
1)
1
p2n1 p1(n2 1)
rB (n1 1, n2) rA(n1, n2 1),
p1n2 p2n1
p2 (n1 1) p1(n2 1)
p2
p2
2
1
n2 (n2 1) n1(n1 1)
(*)
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给B单位。
甲：11，乙：6，丙：4
模型分析
►存在公平的分配方法么？
1）比例加惯例法（H法）——悖论 2）Q值法——存在不合理 3）其它方法：D’hondt方法 理想化原则——不存在完全“合理”的分配 方法
练习
系 人数Pi 比例分配 A 9215 92.15 B 159 1.59
C 158 1.58 D 157 1.57 E 156 1.56 F 155 1.55 总和 10000 100
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 100 100/200 (50/100)•20=10
乙
60
丙
40
60/200 40/200
(30/100)•20=6 (20/100)•20=4
席位数 10 6 4
现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。
系别 人数 所占比例
分配方案
席位数
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•20 =10.3
情形1 情形2
p1 p2 ， n1 1 n2
说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。
p1 p2 ， n1 1 n2
说明当对A不公平时，给A单 位增加1席，对B又不公平。
计算对B的相对不公平值
情形3
rB (n1 1, n2 )
p2
n2 p1 (n1 1) 1 p2 n2
1032 Q1 1(1 1) 5304.5,
1032 Q1 2(2 1) 1768.2
632 Q2 1(1 1) 1984.5,
632 Q2 1(1 1) 1984.5,
342 Q3 1(1 1) 578
342 Q3 1(1 1) 578
1032 Q1 2(2 1) 1768.2
甲
100
10
100/10=10
乙
60
6
60/6=10
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11
103/11=9.36
乙 63
10
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
6
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
4
Halmiton(1790)
现象1
丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）
先按整数分配 再按余数较大者
分配
由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一 个席位。
21个席位的分配结果（Halmiton方法）
若A、B两方已占有席位数为 n1, n2 ,
记
Qi
pi2 ni (ni 1)
i 1,2
则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。
这样的分配席位的方法称为Q值法。
4 推广 有m方分配席位的情况
设 Ai 方人数为 pi ，已占有 n个i 席位，i 1,2,, m
当总席位增加1席时，计算
Qi
pi2 ni (ni 1)
表示每个席位代表的人数，总人数一定时， 此值越大，代表的人数就越多，分配的席位 就越少。
则A吃亏,或对A是不公平的。
定义“相对不公平度”
若
p1 p2 ，则称 n1 n2
rA (n1, n2 )
p1
n1 p2 p1 n1
n2
对A的相对不公平值；
若
p1 p2 ，则称 rB (n1, n2 )
n1 n2
p2
n2 p1 p2 n2
n1
对B的相对不公平值；
3 模型构成
建立了衡量分配不公平程度的数量指标 rA , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。
若A、B两方已占有席位数为n1, n2 ,
用相对不公平值讨论当席位增加1个时， 应该给A还是B方。
不失一般性，若 p1 p2 ， 有下面三种情形。 n1 n2
n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 人数p 席位数n 每席位代 绝对不公 表的人数 平标准
A
120 10
12
12-10=2
B
100 10
10
C
1020 10
102
102-100=2
D
1000 10
100
C,D的不公平程度大为改善！
2） 相对不公平
p n p1 p2 n1 n2
7
63/7=9
丙 34
3
34/3=11.33
公平程度 中 好 差
一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数
A p1 n1 B p2 n2
p1 n1
p2 n2
当
p1 p2 n1 n2
席位分配公平
但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以 下标准来判断。1) p p2 称为“绝对不公平”标 准。
系别 人数 所占比例
分配方案
甲 103 103/200=51.5% 51.5 %•21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•21=3.570
席位数
11 7 3
现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）
p1n2 p2 (n1 1)
p1 p2 ， 说明当对A不公平时，给B单 n1 n2 1 位增加1席，对A不公平。
计算对A的相对不公平值
rA (n1, n2 1)
p1
n1 p2 (n2 1) 1 p1 n1
p2n1 p1(n2 1)
若rB(n1 1,n2) rA(n1,n2 1), 则这一席位给A单位，否则给B单位。
2.3 公平的席位分配
1 问题的提出（美国宪法 1788）
某校有200名学生，甲系100名，乙系60 名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位， 问三系各有多少个席位？
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
mq p N
m 表示某单位的席位数 p 表示某单位的人数
N 表示总人数 q 表示总席位数
20个席位的分配结果
i 1,2,, m
则1席应分给Q值最大的一方。
从 ni 1 开始，即每方至少应得到1席，
（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个
席位，如何分配？ 按Q值法： Qi
pi2 ni (ni 1)
i 1,2,3
n1 1, n2 1, n3 1
参照惯例分配 92 2 2 2 1 1 100
Q值法 92 2
2 2 1 1 100
d’Hondt方法
有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n。 做法：
用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数， 从所得的数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除的 结果），这n 个数中哪个单位有几个所 分席位就为几个。
/1 /2 /3 /4 /5 /6 /7 /8 /9 /10
A 103 61.5 34.3 25.75 20.6 17.2 14.7 12.875 11.4 10.3
B 63 31.5 21 15.75 12.6 10.5 9
C 34 17 11.3 8.5 6.8
21席 位
构造分析方法建模
►进行量化处理，需要构造度量 ►构造度量遵循原则： 1）严谨，公平，有公信力； 2）尽量简单，便于操作； 3）能准确反映各方差异。 ►扎实的数学功底及开创性思维
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
1032 Q1 3(3 1) 888.4
632 Q2 2(2 1) 661.5
342 Q3 1(1 1) 578
甲 1 4 6 7 10 11 13 16 17 19 20 乙 1 5 8 12 14 18 丙 1 9 15 21