数学建模 席位分配
席位分配问题数学建模
席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。
为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。
一、问题描述假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。
每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。
具体问题包括：1. 参与者数量和席位数量2. 参与者的资格和需求3. 席位分配的规则和标准二、数学建模为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：1. 参与者集合P：表示所有的参与者。
2. 席位集合S：表示所有的席位。
3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。
4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。
5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。
根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）约束条件：1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。
2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。
3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。
4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。
三、求解方法根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。
这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。
2. 优化算法：使用优化算法如遗传算法、粒子群算法等，通过不断迭代找到最优解。
这种方法需要一定的编程知识和技能，但通常能够快速找到满意的解。
3. 启发式算法：使用启发式算法如模拟退火、蚁群算法等，通过不断尝试找到满意解。
这种方法相对简单易行，但可能无法找到最优解。
4. 数学软件求解：使用专门的数学软件如Matlab、Python等，通过编程求解上述数学模型。
数学建模对公平的席位分配问题的一点补充
对公平的席位分配问题解法的一点补充222008314011010 刘欢08数统一班为叙述简单，仍然采用书中的例子如下一．提出问题：某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。
若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。
现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。
按比例并参照惯例的席位分配。
由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。
显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。
请问：如何分配才算是公平？二．书中模型 用Q 值法求解如下设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。
但人数为整数，通常1122≠p n p n 。
这时席位分配不公平，且/p n 较大的一方吃亏。
当1122>p n p n 时，定义11221222-=(,)A p n p n r n n p n （1）为对A 的相对不公平值。
当1122<p n p n 时，定义22111211-=(,)B p n p n r n n p n （2）为对B 的相对不公平值。
要使分配方案尽可能公平，制定席位分配方案的原则是使12(,)A r n n 和12(,)B r n n 都尽可能小. 假设，A B 两方分别占有1n 和2n 席，利用相对不公平值A r 和B r 讨论，当总席位增加1席时，应该分配给A 还是B 。
不妨设1122>p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况：(1) 当221>+11p pn n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当221<+11p pn n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 21121211-1 ++=()(,)B p n r n n p n （3）(3)当221>+11p pn n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为12122111-1 ++=()(,)A p n r n n p n （4）因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5）则这1席给A 方，反之这1席给B 方.由(3)(4)可知，(5)等价于21222211<11++()()p p n n n n （6）不难证明上述的第(1)种情况221>+11p pn n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。
数学建模方法总结
1.席位分配问题(宿舍分配问题)：比例模型、Q值法、d’Hondt法。
席位分配模型中, 按比例分配法存在较大缺陷, D’Hondt 法不能解决不公平的大小问题, Q 值法不能解决“分配资格”问题。
2.人员分配：线性规划，人员分配，最大收益，LINGO软件
3.贫困生认定工作：模糊综合评价理论, 模糊评价；聚类分析；综合评价
数学建模算法：蒙特卡罗算法，数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法，线性规划、整数
规划、多元规划、二次规划等规划类算法，图论算法，动态规划、回溯搜索、分支定界
最优化理论三大经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算。
数学建模代表名额分配
p2 (n1 + 1) 1 rB (n1 + 1, n2 ) = p1n2
p1 (n2 + 1) 1 rA (n1 , n2 + 1) = p2 n1
2 p2 p12 p2 ( n1 + 1) p1 ( n2 + 1) < < n2 ( n2 + 1) n1 ( n1 + 1) p1n2 p2 n1
数学模型
数学建模就是应用数学理论，根据实际问题的内在 规律，做出必要的简化假设，得到一个数学结构。
代表名额的分配 利益的合理分配
代表名额的分配
美国宪法第一条第二款指出：“众议院议员 名额。。。。。。。将根据各州的人口比例分配”。 假设众议院名额数为 N ， 共有 s 个州， 各州的人口数 pi , i = 1, 2, , N ， 分配合理？
现在的问题是当名额再增加一个时，又如何分配？ 若p1 / n1 = p2 / n2 , 则可以直接利用相对不公平度
若再增加一个名额 若 p1 / n1 > p2 / n2 , 对 A 不公平， i） 若 p1 /(n1 + 1) > p2 / n2 , 名额显然应该分配给 A
p2 (n1 + 1) 1 ii) 若 p1 /(n1 + 1) < p2 / n2 , rB (n1 + 1, n2 ) = p n 1 2 p1 (n2 + 1) iii) 若 p1 / n1 > p2 /( n2 + 1), rA (n1 , n2 + 1) = p n 1 2 1 rB ( n1 + 1, n2 ) < rA ( n1 , n2 + 1) 则这时应该把名额分配给 A
数学建模席位分配
情形2
说明当对A 不公平时，给A 单 位增加1席，对B 又不公平。
计算对B 的相对不公平值
情形3
说明当对A 不公平时，给B 单
位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
则这一席位给A 单位，否则给B 单位。
结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位， 反之，应分配给 B 单位。
若A、B两方已占有席位数为
按Q值方法：
甲1 2 2 3 4 … 乙1 1 2 2 2 … 丙1 1 1 1 1 …
甲：11，乙：6，丙：4
练习 学校共1000学生，235人住在A楼，333人住 在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人 委员会，试用惯例分配方法， d’Hondt方法和 Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
记
则增加的一个席位应分配给Q值 较大的一方。 这样的分配席位的方法称为Q值方法。 4 推广 有m 方分配席位的情况 设 方人数为 ，已占有 个席位， 当总席位增加1 席时，计算
则1 席应分给Q值最大的一方。从
开始，即每方
至少应得到以1 席，（如果有一方1 席也分不到，则把 它排除在外。）
5 举例
甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个 席位，如何分配？
丙
40
4
40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度
甲 103 10
103/10=10.3
中
乙 63 6
63/6=10.5
差
丙 34 4
34/4=8.5
好
系别 人数 席位数 每席位代表的人数
甲 103 11 103/11=9.36
乙 63 7
63/7=9
数学建模论文 - 席位公平分配问题1
数学建模论文（席位公平分配问题）席位公平分配问题摘要本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。
我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。
首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。
其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。
同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。
最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。
关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型目录一、问题重述与分析： (3)1.1问题重述： (3)1.2问题分析： (3)二、模型假设 (4)三、符号说明 (4)四、模型建立： (5)4.1公平的定义： (5)4.2不公平程度的表示： (5)4.3相对不公平数的定义： (5)4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)五、模型求解 (8)5.1模型一求解： (8)5.2模型二的求解： (8)六、模型分析与检验 (9)七、模型的评价： (11)7.1、优点： (11)7.2、缺点： (11)7.3、改进方向： (11)八、模型优化 (11)九、参考文献 (12)一、问题重述与分析：1.1问题重述：三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
因此存在席位公平分配问题，以下针对各系自身人数对所获席位数目的影响建立相关模型，解得最优的席位公平分配方案。
【数学建模】公平席位的分配问题
【数学建模】公平席位的分配问题基础案列某展会，AB双⽅根据⼈数分配席位：衡量公平的数量指标： p1/n1=p2/n2。
此时对AB均公平。
p1/n1>p2/n2。
此时对A不公平，因为对A放来说，每个席位相对应的⼈数⽐率更⼤。
绝对不公平度定义： p1/n1-p2/n2 = 对A的绝对不公平度问题：/*情况1*/p1=150, n1=10, p1 /n1=15 p2=100, n2=10, p2 /n2=10/*情况2*/ p1=1050, n1=10, p1 /n1=105 p2=1000, n2=10, p2 /n2=100两者对A的不公平度相同，但是很明显后者对A的不公平成都已经⼤⼤降低。
相对不公平度定义：说明：由定义知对某⽅的不公平值越⼩，某⽅在席位分配中越有利，因此可以⽤使不公平值尽量⼩的分配⽅案来减少分配中的不公平使⽤不公平值的⼤⼩确定分配⽅案： 设A, B已分别有n1 , n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B 不妨设分配开始时 p1 /n1> p2 /n2 ，即对A不公平。
分情况讨论： 1. 2.，说明此以⼀席给A后，对B不公平，则计算对B的不公平度。
rB(n1+1,n2). 3.，说明此⼀席给B后,对A不公平,不公平值为，rA(n1,n2+1). 4.p1/n1<p2/n2+1，这种情况不可能出现。
上⾯的分配⽅法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。
⽤不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有则应该增加给A⼀席，否则则应该增加给B⼀席。
提炼模型： ————>引⼊公式： 于是知道增加的席位分配可以由Qk的最⼤值决定，且它可以推⼴到多个组的⼀般情况。
⽤Qk的最⼤值决定席位分配的⽅法称为Q值法。
(新)大学生建模报告汇总-席位分配_
建模报告－－－－论文作者：雷杨，吴开强，李欧洲时间：2006，5，7席位分配---------伯努利实验解决方案摘要：本文围绕席位分配这一问题采用了伯努利实验，采用了比较新型的方法和细致的算法分析，对分配过程中出现的种种情况都一一进行了分析，并依此与其它的现有方法比较。
我们认为该分配方案较简便且比较优越，很大程度上符合公平化原则关键词：伯努利实验公平化原则时间复杂度最大成功次数一问题重述：某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配方法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10，6，4个席位。
现在丙系有6名学生转入甲乙两系，各系人数如表第二列所示。
仍按比例分配时出现了小数，在将取得整数的19席分配完毕后，三系同意剩下的1席参照所谓惯例分配给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4席。
因为有20个席位的代表会议在表决提案时可能出现10 ：10的局面，会议决定下一届增加1席。
他们按照上述方法重新分配席位，计算结果见表。
显然这设第i方人数为p,i=1 , 2,…,m,总人数P＝，待分配的席位为N，记q＝Np/P原则一，i=1，2，，m,即必须取，二者之一。
原则二，i=1，2，，m,即总席位增加时不应减少。
二模型假设我们把甲乙丙三系分配席位的这个事件看为要从有20个红签180个白签（一共200=人数总和）的盒子里抽红签，对比抽得红签个数的概率大小来求得分配的名额。
三模型的建立与求解解决方案公式i=1,2，…,s(抽得红签个的概率)是分配名额是总人数是第i组的人数k是红签的个数s是小组的个数是每人被抽到的概率由于抽签的伯努利原理，二项分布的极值点在[],其中[]为向下取整函数，抽红签的个数实际上就是最大的成功次数，所以我们的分配方案取值从k=[]( k为整数时取为k-1)开始，首次计算出各个小组的k值，得出第一次要分配的人数为T=，则剩下的人为,,我们会得出以下情况：1.若T<m,我们比较k+1次对应的的大小，从大到小依次分配一个名额，由于T的取值大于m-s+1所以分配完毕。
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各宿舍分配委员模型
（参考阿）
摘要：学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住
在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会
（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法；
（3）.d ’Hondt 方法
试用上述办法分配各宿舍的委员数
关键词：比例加惯例 Q 值 d ’Hondt 法
一、问题的重述
学校有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。
再进一步讨论：如果人数增至15人，依照10个的过程检验一下。
二、问题分析
模型1中，先建立一个简单的“比例加惯例模型”简单分析。
在模型2中，再用Q 值法进一步讨论。
然后，在模型3中，用书中给出的d ’Hondt 计算后进行比较
三、模型假设
（1）各个宿舍之间是独立的，且人数始终保持不变； （2）几个委员是平等的。
四、模型的建立与求解
先考虑N=10的分配方案，
,
432 ,333 ,235321===p p p
∑
==3
1
.
1000i i p
方法一（按比例分配）
,
35.23
1
11==
∑
=i i
p N
p q
,
33.33
1
22==
∑
=i i
p N
p q
32
.43
1
33==
∑
=i i
p N
p q
分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法）
9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：
4
,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为
,
17.92043
2235
2
1=⨯=
Q
,75.92404
3333
2
2=⨯=
Q
2
.93315
4432
2
3=⨯=
Q
3
Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n
方法三（d ’Hondt 方法）
此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n
此方法的原理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C
宿舍）.i i
n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i
n p 中选较大者，可
使对所有的,i i i
n p 尽量接近.
再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
五，模型的检验、评价与推广
现在当人数为15人时，依照10人时的情况，来检验各个模型的公平性：
（1）模型Ⅰ：比例加惯例法
由上分析可得，当人数为15时，1，2模型的结果是一样的，仅3模型的分别为：3，5，7人。
六、参考文献
[1]姜启源，谢金星；《数学建模与实验》；高等教育出版社；2008年5月。