05-1、刚体的角动量、转动惯量共23页
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高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体、转动动能、转动惯量(共23张PPT)
I r2dm －质量连续分布
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究
大学物理中的刚体运动转动惯量和角动量的研究在大学物理中，研究刚体运动的转动惯量和角动量是非常重要的。
本文将深入探讨刚体运动中转动惯量和角动量的概念、计算公式以及其在物理学中的应用。
一、转动惯量的概念及计算公式刚体的转动惯量，简称为惯量，是描述刚体旋转运动惯性大小的物理量。
转动惯量的计算与刚体的形状和质量分布有关。
刚体的转动惯量用符号"I"表示，其计算公式为：I = ∑mr²其中，"m"是刚体上各个质点的质量，"r"是该质点到转轴的距离。
对于连续分布的质量，转动惯量的计算将采用积分的方式。
二、角动量的概念及计算公式角动量是描述物体旋转状态的物理量。
在刚体运动中，角动量的大小和方向都很重要。
角动量（L）的计算公式为：L = Iω其中，"I"是刚体的转动惯量，"ω"是刚体的角速度。
刚体的角速度定义为单位时间内转过的角度。
对于质点和刚体的角动量，其大小和方向可以通过力矩（τ）和时间（t）的计算得到。
L = τt三、转动惯量和角动量的应用1. 刚体平衡在研究刚体的平衡时，转动惯量和角动量是非常重要的参考量。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以确定平衡条件，从而解决物体受力平衡问题。
2. 陀螺原理陀螺是刚体运动转动惯量和角动量的经典应用之一。
陀螺的旋转方向不易改变，是因为陀螺具有较大的转动惯量，保持角动量守恒的特性。
3. 物体滚动在物体滚动的过程中，转动惯量和角动量的变化会影响物体的运动。
通过计算刚体的转动惯量和角动量，可以理解物体滚动的物理原理，并进行相关的问题求解。
4. 自行车行驶自行车作为一种常见的运动方式，其行驶原理也涉及到转动惯量和角动量。
通过刚体运动的转动惯量和角动量，可以分析自行车的稳定性和行驶效果，为相关问题提供解答。
总结：转动惯量和角动量是刚体运动中重要的物理概念。
它们的计算公式和理论基础为我们解决刚体运动问题提供了重要的数学工具。
转动物体的转动惯量和角动量
转动物体的转动惯量和角动量转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
转动惯量是度量物体转动惯性的物理量，而角动量则是描述物体转动状态的物理量。
一、转动惯量转动惯量是物体抵抗转动的程度，它与物体的质量分布有关。
对于刚体，它的转动惯量公式可以表示为：I = ∫r^2dm其中，I表示转动惯量，r表示离转轴的距离，dm表示物体的微小质量元。
转动惯量可以看作是质量与距离的乘积之和，因此可以用来描述物体对转动的阻力。
转动惯量的计算方法取决于物体的形状和转轴的位置。
对于简单的几何形状，可以使用公式计算转动惯量；对于复杂的形状，可以通过积分来计算转动惯量。
常见几何体的转动惯量公式如下：1. 绕轴线的旋转：I = m*r^2这是最简单的情况，质量为m的物体绕与其垂直的轴线旋转，转动惯量为质量乘以转轴与物体质心距离的平方。
2. 绕端点转动：I = 0物体绕其重心或端点旋转时，转动惯量为零。
这是因为物体的质量分布对转动没有贡献。
3. 绕质心转动：I = m*r^2质量均匀分布的物体绕其质心旋转时的转动惯量等于质量乘以物体尺寸的平方。
4. 绕长直杆的转动：I = (1/3)*m*L^2质量均匀分布的长直杆绕与其垂直的轴线旋转时，转动惯量为质量乘以杆长的平方的1/3。
以上是一些常见情况下的转动惯量计算方法，不同形状和转轴的组合会得到不同的转动惯量。
二、角动量角动量是描述物体转动状态的物理量，它是由物体的转动惯量和角速度共同决定的。
角动量的定义为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
角动量与物体的转动状态密切相关，增大转动惯量或角速度都会增大角动量。
对于一个系统，角动量的守恒定律可以表述为：Li = Lf即系统的初始角动量等于系统的最终角动量。
这个定律在转动过程中起到了重要的作用，可以帮助我们理解许多自然现象。
总结：转动物体的转动惯量和角动量是物理学中重要的概念，它们描述了物体在转动过程中的性质和运动状态。
刚体定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角动量•转动惯量一、刚体对一转轴的转动惯量1、转动惯量定义：说明：转动惯量与刚体的质量分布和转轴的位置有关。
2、转动惯量的计算：①质量不连续分布情况：其中：表示质点对转轴的距离。
②质量连续分布的情况：3、平行轴定理若两轴平行，距离为d，其中一轴过质心，刚体对它的转动惯量为,则刚体对一轴转动惯量为：证明：如右图示，刚体的二轴分别为z和轴，由此可知：刚体对各平行轴的不同转动惯量中，对质心轴的转动惯量最小。
4、垂直轴定理：（仅适用于厚度无穷小的薄板，厚度）即：无穷小厚度的薄板对一与它垂直的坐标轴的转动惯量，等于薄板对板面内另两互相垂直轴的转动惯量之和。
证明：如右图所示，则：∴注意：垂直轴定理适用条件：x、y、z轴过同一点，且互相垂直，z轴垂直于板面x、y轴在板面内。
例1：均质杆长l，质量为m，求对过杆一端点的转动惯量。
解：由平行轴定理：例2：求一薄板质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，它对过圆心且与盘面垂直的转轴的转动惯量I。
解法一：利用积分法求转动惯量（利用对称性）：解法二：由垂直轴定理：又∵∴二、刚体定轴转动的动力学方程——对轴的角动量定理刚体对转轴（假定为z轴）的角动量：应用质点系对Z轴的角动量定理，可得定轴转动刚体的角动量定理：其中为外力对Z轴的力矩；为刚体的角加速度在Z轴上的投影，可正可负。
三、定轴转动刚体对轴上一点的角动量以质量相等的两质点m，中间以一轻连杆组成刚体，绕Z轴转动为例，如图示：设，杆与水平方向成α角，求此刚体对轴上任一点O的角动量。
∵∴若Z轴过杆的中点，即：，则有：上式表明，定轴转动刚体对轴上任一点的角动量不一定沿转轴方向（或方向）。
四、刚体的重心1、定义：刚体处于不同方位时重力作用线都要通过的那一点叫作重心。
2、重心的位置与质心有何关系：如果刚体的形状不是特别大，保证各处的是完全相同，则刚体中各质元的力对任意一参考点o的力矩：∴一般有，且与不平行，故有：∴即：重心和质心重合。
刚体的转动
J miri
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
i
例 如图
I m1r12 m2r22 m3r32
m2
可视为 质点
r1
m1
r2 r3
m3
转轴
•质量连续分布的物体
J rdm dm d 或 ds 或 dV
线积分
面积分
体积分
（记住：棒、圆盘和圆柱体的I）
例题 5-2
例题 5-3
例题 5-4
（4）以上三式联立，可得物体下落的加速度和速度：
a m g mM 2
V 2ah 4mgh 2m M
这时滑轮转动的角速度为 V 1 4mgh
R R 2m M
例题:质量M=1.1kg，半径=0.6m的匀质圆盘，可绕通过其
中心且垂直于盘面的水平光滑固定轴转动。圆盘边缘绕有
看成质点 水平飞行
刚体作平动，其上所有点的速度、加速度相等，运动 轨迹都相同，整个刚体可当作质点来处理，满足牛顿 定律。
转动 刚体运动时，如果刚体中所有质点都绕着一直线 作圆周运动，则这刚体的运动称为转动，这条直 线称为转轴。转轴固定的转动叫定轴转动。
转轴
地球仪转动
一般情况下，刚体十分复杂，同时存在平动和 转动；可以证明，刚体的一般运动可以当作由一平 动和一绕瞬时轴的转动组合而成。
F
ds
F
cos
ds
Ft rd
Md
The total work done during a finite angular displacement
is then
W 0 M d
(5-18)
In the special case of M is a constant
《刚体绕定轴转动》课件
对于多个物体组成的系统，其转动惯量等于 各个物体转动惯量的矢量和。
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
转动惯量是惯性大小的量度
转动惯量越大，刚体越不容易改变其转动状 态。
转动惯量的平行轴定理
刚体绕某轴转动时，其转动惯量与通过质心 并与该轴平行的轴的转动惯量相同。
转动惯量的应用
在动力学中的应用
通过计算刚体的转动惯量，可 以求得刚体在力矩作用下的角
转动惯量的定义：描述刚体绕定轴转动惯性大小的物理 量。
转动惯量的单位：kg*m^2。
转动惯量的计算公式：I=∑mr^2，其中m为质量，r为 质点到转轴的距离。
转动惯量的特点：只与刚体的质量和各质点到转轴的距 离有关，与转动角速度和转动的加速度无关。
转动惯量的性质
转动惯量是标量
没有方向，只有大小。
转动惯量具有叠加性
势能的特点
与物体的质量、转动惯量和角速度 有关。
动能与势能的关系
动能与势能可以相互转化，满足能量 守恒定律。
动能与势能的转化关系可以通过动力 学方程式表示，如牛顿第二定律等。
在刚体绕定轴转动过程中，动能和势 能之间可以相互转化，但总能量保持 不变。
CHAPTER
04
刚体绕定轴转动的转动惯量
转动惯量的定义与计算
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用或外力矩的矢量和为零。
角动量守恒定律的应用
天体运动
行星绕太阳的公转、卫星绕地球的轨道运动等都 遵循角动量守恒定律。
陀螺仪
利用角动量守恒定律，陀螺仪可以保持自身的旋 转轴指向一个固定的方向。
机械系统
在机械系统中，通过合理设计，可以利用角动量 守恒定律来优化系统的运动性能。
飞机的飞行控制
飞行员通过操作杆施加力矩，改 变机翼的攻角，实现飞机的升降
高二物理竞赛第3章第3讲定轴转动刚体的角动量转动惯量PPT(课件)
i
i
转动惯量
IZ mi Ri2 i
LZ ( mi Ri2 ) IZ i
转动惯量的计算： I mi Ri2 m R2dm i
平行轴定理
Iz Izc md 2
正交轴定理
Iz Ix Iy
l
1 12
ml
2
细圆棒 轴通过中心
l
1 3
ml
2
细圆棒 轴通过一端
I 1 mR2 2
圆盘 轴垂直盘面通过中心
2 23
故细棒摆下角时的角速度为： 3g sin
重力的功 : A E mg l sin
l
p
பைடு நூலகம்
2
法二: 细棒摆动（即转
动）时，重力对0轴的
o
力矩为: 求:物体的加速度和定滑轮的角加速度，以及两边绳子中的张力。
一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。 刚体对定轴的角动量定理
l 若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ，在t=0时，使圆柱体获得一个绕轴旋转的角速度ω。
一、刚体定轴转动的角动量定理
能包括所有的动能和势能.
对质点系而言角动量定理为： 由系统角动量守恒(设向外为正方向)
注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。 处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似 例 计算钟摆的转动惯量。 （1）分别隔离 和
dL dt
M外
2 质点系角动量守恒定律
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
处理刚体定轴转动问题与圆周运动角量描述类似
角量相同（角位移、角速度、角加速度）
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn
第五章 刚体的转动
y P(t+dt) P(t) d
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
0
x
2. 角速度和角加速度 d d d 2 2
dt
dt dt
3. 线量与角量的关系
y
s r
a t r
v 方向垂直 于
v r a n r 2
和 r 组成的平面
0
v r △θ
△s
x
v r
转 轴
转动的轴线可变也可不 变，若轴线固定不动， 则称定轴转动。作定轴 转动的刚体上的各点， 在运动中都绕同一转轴 作不同半径的圆周运动。 而且，刚体上各点在相 同时间内转过相同的角 度。
刚体的一般运动 可以当作由一平动和一绕瞬时轴的转动组合而成
绕轴转动 车轮绕 轴转动
转轴平动
转轴 轮轴平动
平动和转动（转轴位置变）
M
T
T m mg v0
对物体有： 对滑轮有：
T - mg = m a
①
-TR = J = M R2 /2 ② ③ ④
角量和线量的关系： a = R 运动学关系： v = v0 + at = 0
设一刚体绕定轴转动，某质元受内力 f i内 和 外力 Fi外 作用
矢量式：
m i
ri
法向式：
切向式： 以 遍乘切向式两端： 转轴
将遍乘
后的切向式求和得：
m i
刚体所受的合外力矩
ri
定义：
M J
J mi ri
2
刚体的转动惯量 转动定律
其中M为刚体所受的合外力矩
说明：（1）M, J, 均对同一轴而言，且具有瞬时性； （2）改变刚体转动状态的是力矩； （3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。
大学物理-刚体绕定轴转动的角动量
M J
p mivi
角动量
L J
角动量定理 M d(J)
dt
质点的运动规律与刚体的定轴转动规律的比较（续）
质点的运动
动量守恒 力的功 动能
Fi 0时
mivi 恒量
Aab
b
F
dr
a
Ek
1 2
mv
2
动能定理
A
1 2
mv
2 2
1 2
mv12
重力势能
Ep mgh
机械能守恒
A外 A非保内 0时
进动特性的技术应用
翻转
外力
C
外力
进动
C
炮弹飞行姿态的控制：炮弹在飞行时，空气阻力对炮弹质心 的力矩会使炮弹在空中翻转；若在炮筒内壁上刻出了螺旋线 （称之为来复线），当炮弹由于发射药的爆炸所产生的强大 推力推出炮筒时，炮弹还同时绕自己的对称轴高速旋转。由 于这种自转作用，它在飞行过程中受到的空气阻力将不能使 它翻转，而只能使它绕着质心前进的方向进动。
pA pB
pA A
Bp B
s
s
O
x
结论：静止流体中任意两等高点的压强相等，即压强差为零。 若整个流体沿水平方向加速运动？ 加速运动为a，压强差为？
2. 高度相差为 h 的两点的压强差（不可压缩的流体）
选取研究对象，受力分析：（侧面？）
沿 y 方向：
p C
Y C s
pB s pC s mg may
已知：p0=1.013×105 Pa ， 0 1.29kg / m3
解 由等温气压公式
p
p e(0g / p0 ) y 0
0g 1.25104 m1
p0
p1 1.0 105 e1.251043.6103 0.64 105 Pa
定轴转动刚体的转动定律度力矩角动量转动惯量
该力对转轴的力矩为零。 M r F
大小：M Fr sin
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。
d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
5
L Li (riΔmivi) (Δmiri2 )ω
令：I (Δmiri2 )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
注意：
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时 刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相 对于哪个轴或哪个点。
解：绕细杆质心的转动惯量为： IC
绕杆的一端转动惯量为 I 1 ml2
1 ml2
12
m
l
2
1
ml
2
大小：M Fr sin
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为0；
b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。
d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算
Iz Ix Iy
z
定理证明：
对于质量平面分布的刚体， 绕 x 轴的转动惯量为：
o
yy
Ix y2dm
x
dm
绕 y 轴的转动惯量为：
I y x2dm
x
绕 z 轴的转动惯量为：
19
z
Iz z2dm (x 2 y2 )dm
y2dm x 2dm I x I y 证毕
o
yy
x z dm
5
L Li (riΔmivi) (Δmiri2 )ω
令：I (Δmiri2 )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
注意：
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时 刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相 对于哪个轴或哪个点。
解：绕细杆质心的转动惯量为： IC
绕杆的一端转动惯量为 I 1 ml2
1 ml2
12
m
l
2
1
ml
2
刚体的角动量
对上式积分得到角动量定理旳积分形式
t2 t1
M z dt
J2
J1
该式表达：动量旳增量等于力矩对定轴转动刚体
旳时间累积效应
10
三、刚体对转轴旳角动量守恒定律
M zdt dLz dJ
假如 Mz = 0, 则 dLz d( J ) 0 Lz J 恒量
刚体对转轴旳角动量守恒定律 当定轴转动旳 刚体所受外力对转轴旳合力矩为零时,刚体对同一 转轴旳角动量不随时间变化。
满足百分比关系旳最大应力，σE
称百分比极限（ P）。点E 旳应力E是发生弹性形变旳
σP
最大应力，称弹性极限。当
B
EC P
应力 >E时，发生塑性形变。
点C 相应旳应力为 C，若
把外力撤除，固体旳应力与
o o′
ε
应变旳关系沿O C变化，留下一定旳剩余形变OO。
当应力到达点 B 相应旳应力 B时，固体就断裂， B称强度极限。
(1 2
m1R2
m2R2 )1
1 2
m1 R 22
2
1 2
m1R2 m2
1 2
m1R
2
R2
1
1 2
m1 1 2
m2 m1
1
2.31rad
s 1
19
质点直线运动或刚体平动 位移 速度 加速度
匀速直线运动 匀变速直线运动
刚体旳定轴转动 角位移 角速度 角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动
20
dt
d dt
(J)
试验表白, 此式更具普遍性。
由上式得到
Mz
d dt
( J)
dLz dt
刚体对转轴旳角动量定理 作定轴转动旳刚体
刚体的角动量PPT课件
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
（5）
12
第12页/共59页
m2 gh
1 2
(m1
m2 )v 2
1 2
J 2
式中v是当m2下落了高度 h 时两个物体的运动速率,
是此时滑轮的角速度。
因为
J 1 Mr 2 2
,
v r
, 所以得
m2 gh
1 2 (m1
m2
1 2
M )v 2
由此解得
dAi Firi sini d Mzid
式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩。
在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的
总功为
n
式中 Mzi 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力
i 1
矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外 力矩Mz 。
1
第1页/共59页
如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为
(2) 闸瓦对飞轮施加的 摩擦力矩所作的功。
d
闸瓦
解：为了求得飞轮从制 飞轮
动到停止所转过的角度
和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩
和飞轮的角加速度。
6
第6页/共59页
闸瓦对飞轮施加的摩擦力的
大小等于摩擦系数与正压力的乘
积
d
闸瓦
方向如图所示。摩擦力相对z 轴的力矩就是摩擦力矩, 所以 飞轮
支
架
则转轴将保持该方向不变
而不会受基座改向的影响
33
第33页/共59页
例1: 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端
有
刚体的角动量 转动动能 转动惯量
I 1 mr 2 2
6、圆筒（转轴沿几何轴）
I
1 2
m(r12
r22 )
7、圆柱体（转轴通过中心与圆柱体垂直）
I 1 mr 2 1 ml 2
4
12
8、圆柱体（转轴沿几何轴）
I 1 mr 2 2
9、薄球壳（转轴沿直径）
I 2 mr 2 3
10、球体（转轴沿直径）
I 2 mr 2 5
两轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
如： JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
ml 2 12
mh2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
h
A
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
“平行轴定理”
圆盘对P 轴 的转动惯量
J P JC mh 2
PR Om
JP
1 2
mR2
mR2
JB
ml 2 12
mh2
h
A
B
6、圆筒（转轴沿几何轴）
I
1 2
m(r12
r22 )
7、圆柱体（转轴通过中心与圆柱体垂直）
I 1 mr 2 1 ml 2
4
12
8、圆柱体（转轴沿几何轴）
I 1 mr 2 2
9、薄球壳（转轴沿直径）
I 2 mr 2 3
10、球体（转轴沿直径）
I 2 mr 2 5
两轴间的距离平方的乘积： J J C md 2
如： JC
1 2
mR2
J
JC
J JC mR 2
m
1 mR2 mR2
R
2
刚体绕质心轴的转动惯量最小
三、垂直轴定理
定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于
平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转
动惯量之和：J z J x J y
ml 2 12
mh2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转
轴，转动惯量并不相同。
h
A
B
Ox
l
dx
转动惯量的计算
例题4-4 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘的半径为R，质量为m，密度均匀。
R r dr
解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、
宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的
“平行轴定理”
圆盘对P 轴 的转动惯量
J P JC mh 2
PR Om
JP
1 2
mR2
mR2
JB
ml 2 12
mh2
h
A
B
《刚体力学》课件
刚体的转动
总结词
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。
详细描述
刚体的转动是指刚体绕着某一定点（称为转动中心）的旋转运动。在转动过程中，刚体上任意一点绕着转动中心 作圆周运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到转动中心的距离相等。转动刚体的角速度、角加速度等都是标 量，其方向与转动方向相关。转动刚体的速度和加速度都是矢量，其方向垂直于转动平面。
《刚体力学》ppt课件
目录
• 刚体运动学 • 刚体动力学 • 刚体的平衡 • 刚体的转动惯量 • 刚体的角动量
01
刚体运动学
刚体的平动
总结词
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。
详细描述
刚体的平动是指刚体在空间中的移动，其上任意两点在同一直线上，且该直线与该刚体的转动轴平行 。平动刚体的运动轨迹是一条直线或一个平面图形，其上任意两点的相对位置保持不变。平动刚体的 速度和加速度都是矢量，其方向与平动刚体的移动方向一致。
描述了刚体绕质心转动的动量表现，是刚体动力学中的一个重要概念。
详细描述
动量矩是描述刚体绕质心转动的动量表现的一个物理量。在刚体动力学中，动量 矩是一个非常重要的概念，它与力矩、角速度和时间等物理量密切相关。根据动 量矩的定义，刚体的动量矩等于刚体的质量与角速度的乘积。
刚体的动能
总结词
描述了刚体运动过程中能量的表现形式 ，是刚体动力学中的一个重要概念。
刚体的定点运动
总结词
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。
详细描述
刚体的定点运动是指刚体绕着通过定点（称为动点） 且垂直于定直线（称为转动轴）的轴线的旋转运动。 在定点运动过程中，刚体上任意一点绕着动点作圆周 运动，且该圆周运动的半径与刚体上该点到动点的距 离相等。定点运动的角速度、角加速度等都是标量， 其方向垂直于转动平面。定点运动的刚体上任意一点 的线速度和角速度都与该点到转动轴的距离成正比。
刚体的转动
r r r L = r × mv = 恒矢量
r r r M = r ×F = 0
(1) F = 0 (2) F // r
(如有心力 如有心力) 如有心力
R O θ •A •B
如图所示,一半径为 例1.如图所示 一半径为 的光滑圆环置于 如图所示 一半径为R的光滑圆环置于 竖直平面内, 有一质量为m的小球穿在圆 竖直平面内 有一质量为 的小球穿在圆 环上, 并可在圆环上滑动. 环上 并可在圆环上滑动 小球开始静止 于圆环上的A点 该点通过环心 该点通过环心O的水平 于圆环上的 点(该点通过环心 的水平 面上), 然后从点A开始下滑 开始下滑.设小球与圆 面上 然后从点 开始下滑 设小球与圆 环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 求小球滑到点B时 环间的摩擦略去不计 求小球滑到点 时 对环心O的角动量和角速度 的角动量和角速度. 对环心 的角动量和角速度
2 质点系对轴的角动量定理
质元 i 对 z 轴的角动量 Li =∆mi vi ri =∆mi ri2ω (方向沿 轴) 方向沿z轴 方向沿 所有质元对z轴的角动量为 所有质元对 轴的角动量为
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结束
z
O
ri • ∆ mi
L = ∑Li = ∑∆m r ω = Iω
2 i i
vi
其中
I = ∑∆mi ri2 称为转动惯量
L = Lxi + Ly j + Lz k
1、力矩 、 若外力F 作用在平面内某点P 若外力 作用在平面内某点
2.5.2 质点的角动量定理
O d
F 使物体产生转动,转点为 使物体产生转动 转点为O 转点为 OP = r , 力臂为 F对O点的 力臂为d. 对 点的 力矩为: 力矩为 M = Fd = Fr sinϕ 力矩的矢量表示: 力矩的矢量表示:
转动惯量
二、刚体的转动动能
1
n
a (b c ) b (c a )
n n 1 1 1 T mi v i v i mi v i ( ri ) mi ( ri v i ) J 2 i 1 2 i 1 2 2 i 1 1 2 2 2 ( I xx x I yy y I zz z 2 I yz y z 2 I zx z x 2 I xy x y ) 2
2
2
2
讨论
1.
I 表征刚体转动惯量的大 小， 与刚体形状、质量分布 、 转轴位置及方向有关， 故有9个惯量系数（组元）。
2.
I
与参考点选择有关，但与坐标系选择无关 .
坐标系不同 惯量张量的组元不同 但
矩阵的等价变换 矩阵等价，不是相等
I
不变
行列式值不变
在(中心)惯量主轴坐标系中 (中心)主转动惯量为： , I1 I 0 0 0 I2 0 0 0 I 3
瞬轴为惯量主轴, 参考点为惯量主轴上的任一点时, J 与 平行.
mi ri ( ri )
i 1 n n
1 1 T J I ( I 1 2 I 2 2 I 3 2) x y z 2 2 2 1
y
2d xdm 0
垂直轴定理 :
C
d
积分平面与转轴垂直
2
Iz
(x
2 y )dm I y 源自I x ( 薄片)平行四、惯量张量与惯量椭球
由： T 2
绕瞬轴的转动惯量
I , 令：x
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L
求JA 注意：
JA
R2dm L/2 (hx)2dx L/2
L3 h2L 1 mL2 mh2
12
12
JBJO1 3m2 L 1 1m 22 L m (L 2)2
JAJO(1 1m 22 Lm2)h 1 1m 22L mh2
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
注意：
JB JO (质 ) 心 1 3m 2 L 1 1m 22 L m (L 2)2 JAJO (质)心 (1 1m 22 L m2)h 1 1m 22L
Li mirivi
故棒的总角动量
n
L大小：
L mirivi
i1
方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。
Li L Ri
Z
Liz
vi
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究角动量
在Z轴的分量 L iz
ri m i
O
Liz L miicrivoicsos
miRi(iRi)
mj
miRi2 故：
v0t
1at2 2
2022(0) v2v022a(ss0)
§4--1 刚体的角动量 转动惯量
Angular Momentum. Moment of Inertia
一） 刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚
体的角动量
Z
应该等于各质元角动量的矢量和。
Li
vi
设有一以角速度绕OZ 轴旋转的均匀细棒，t
mh2
或：
JB
Jc
m(L)2 2
JAJc mh2
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和
通过质心轴C并与A轴平行的转
动惯量JJAc有如J下C关系m：d2
A
m为刚体的质量、
d
C
M
d为轴A与轴C之间的垂直距离
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄 圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并
与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
L z L iz ( m iR i2 )
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
二）转动惯量的计算 对质量连续分布的刚体则应无限分割
R m i
M
n
J
lim n i1
miRi2
R
R
解：1）细圆环 dmdl
dl
JC R2dm R2dl R
L
R2 dlR22Rm2R
2）薄圆盘 L
dr dr
r
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
2）薄圆盘
dr
r dr
ห้องสมุดไป่ตู้
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
JCm d
J R2r3dr 0
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2Z2
其体积：
dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：d J1r2d m 1(R2Z2)2d Z
R2dm M
注意： dm为质元质量，R为质元到转轴之间
的垂直距离。
回顾:质点对一参考点的角动量 L i rmv
角动量在转轴上的分量:
对一个质点系:
L J
R3 R2
m 3
R1m1
m2
z
J miRi2
Jzm 1R 12m 2R 2 2m 3R 3 2
R m i
M
对质量连续的刚体:
n
J
lim n i1
2
R4 4
2
m
R2
R4 4
1 mR 2 2
讨论：决定转动惯量的因素
1）：刚体的质量； 2）：刚体的质量分布；
（如例2中的圆 环 与圆盘的不同）；
3）：刚体转轴的位置。 （如例1中长细棒对不 同的轴的转动惯量）
B A h O质
X
Stop Here!
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
dmdx m/L
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
求：JO
L
Jo R2dm x2dm 2Lx2dx
L3 1 mL2
2
求：JB JB
12 12
R2dm
(Lx)2dm 2
L/2 (L/2x)2dx L3 1mL2
L/2
33
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
miRi2
R2dm M
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B A h O质 dm
X
x dx
已知：L、m
求：JO、JB、JA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.
O’
O
C）刚体的一 般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。
刚体的定轴转动
1. 各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2. 描述的物理量
r
r
任一质点圆周运动的线量和角量的关系
z v
r
O1
r
1
m1
x
2 m2
O2
x
r an r 2 v at r
2）刚体运动的两种基本形式
A平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒
r 保持平行的运动
mj
ij
r r mmj immjimmjimmmj mi mjmjmij i
mi
对（1）式求导：
j
mi
Or v 选 点jj取 O ，参r iv则考 i： ia r ijj rij(a1 i)c
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动 规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这 一点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就 是说质心运动定理是反映物体平动规律。 B）刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动，称为刚体作定轴转动。
vvrv
avn avt
vv
r rv
加r 速 v z
v
rr v
r
a v d d v tv d (ω v d t r v ) d d ω tv r v ω v d d r v t βr减r速rω rvr转动平面
匀角加速转动公式 匀变速直线运动公式
0 t
0
t
1t2
2
v v0 at
s
s0
Ri
O
ri
m
i
时刻正好位于幕平面内， 现将棒分割成许多质元
m 先1,研 究m 2 一 个 质m i元 m mni
对 L Oi点的 m 角ir 动i 量v i
Li L Ri
L vj
j rj
mj
Z
ri
O
vi
mi
先研究一个质元 m i
对 OLv点L iii之的 大角 r小i动m i量r iv i
求JA 注意：
JA
R2dm L/2 (hx)2dx L/2
L3 h2L 1 mL2 mh2
12
12
JBJO1 3m2 L 1 1m 22 L m (L 2)2
JAJO(1 1m 22 Lm2)h 1 1m 22L mh2
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
注意：
JB JO (质 ) 心 1 3m 2 L 1 1m 22 L m (L 2)2 JAJO (质)心 (1 1m 22 L m2)h 1 1m 22L
Li mirivi
故棒的总角动量
n
L大小：
L mirivi
i1
方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。
Li L Ri
Z
Liz
vi
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究角动量
在Z轴的分量 L iz
ri m i
O
Liz L miicrivoicsos
miRi(iRi)
mj
miRi2 故：
v0t
1at2 2
2022(0) v2v022a(ss0)
§4--1 刚体的角动量 转动惯量
Angular Momentum. Moment of Inertia
一） 刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚
体的角动量
Z
应该等于各质元角动量的矢量和。
Li
vi
设有一以角速度绕OZ 轴旋转的均匀细棒，t
mh2
或：
JB
Jc
m(L)2 2
JAJc mh2
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和
通过质心轴C并与A轴平行的转
动惯量JJAc有如J下C关系m：d2
A
m为刚体的质量、
d
C
M
d为轴A与轴C之间的垂直距离
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄 圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并
与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
L z L iz ( m iR i2 )
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
二）转动惯量的计算 对质量连续分布的刚体则应无限分割
R m i
M
n
J
lim n i1
miRi2
R
R
解：1）细圆环 dmdl
dl
JC R2dm R2dl R
L
R2 dlR22Rm2R
2）薄圆盘 L
dr dr
r
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
2）薄圆盘
dr
r dr
ห้องสมุดไป่ตู้
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
JCm d
J R2r3dr 0
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2Z2
其体积：
dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：d J1r2d m 1(R2Z2)2d Z
R2dm M
注意： dm为质元质量，R为质元到转轴之间
的垂直距离。
回顾:质点对一参考点的角动量 L i rmv
角动量在转轴上的分量:
对一个质点系:
L J
R3 R2
m 3
R1m1
m2
z
J miRi2
Jzm 1R 12m 2R 2 2m 3R 3 2
R m i
M
对质量连续的刚体:
n
J
lim n i1
2
R4 4
2
m
R2
R4 4
1 mR 2 2
讨论：决定转动惯量的因素
1）：刚体的质量； 2）：刚体的质量分布；
（如例2中的圆 环 与圆盘的不同）；
3）：刚体转轴的位置。 （如例1中长细棒对不 同的轴的转动惯量）
B A h O质
X
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例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
dmdx m/L
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
求：JO
L
Jo R2dm x2dm 2Lx2dx
L3 1 mL2
2
求：JB JB
12 12
R2dm
(Lx)2dm 2
L/2 (L/2x)2dx L3 1mL2
L/2
33
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
miRi2
R2dm M
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B A h O质 dm
X
x dx
已知：L、m
求：JO、JB、JA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.
O’
O
C）刚体的一 般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。
刚体的定轴转动
1. 各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2. 描述的物理量
r
r
任一质点圆周运动的线量和角量的关系
z v
r
O1
r
1
m1
x
2 m2
O2
x
r an r 2 v at r
2）刚体运动的两种基本形式
A平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒
r 保持平行的运动
mj
ij
r r mmj immjimmjimmmj mi mjmjmij i
mi
对（1）式求导：
j
mi
Or v 选 点jj取 O ，参r iv则考 i： ia r ijj rij(a1 i)c
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动 规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这 一点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就 是说质心运动定理是反映物体平动规律。 B）刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动，称为刚体作定轴转动。
vvrv
avn avt
vv
r rv
加r 速 v z
v
rr v
r
a v d d v tv d (ω v d t r v ) d d ω tv r v ω v d d r v t βr减r速rω rvr转动平面
匀角加速转动公式 匀变速直线运动公式
0 t
0
t
1t2
2
v v0 at
s
s0
Ri
O
ri
m
i
时刻正好位于幕平面内， 现将棒分割成许多质元
m 先1,研 究m 2 一 个 质m i元 m mni
对 L Oi点的 m 角ir 动i 量v i
Li L Ri
L vj
j rj
mj
Z
ri
O
vi
mi
先研究一个质元 m i
对 OLv点L iii之的 大角 r小i动m i量r iv i