05-1、刚体的角动量、转动惯量共23页

dmdx m/L
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
求：JO
L
Jo R2dm x2dm 2Lx2dx
L3 1 mL2
2
求：JB JB
12 12
R2dm
(Lx)2dm 2
L/2 (L/2x)2dx L3 1mL2
L/2
33
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L z L iz ( m iR i2 )
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
令 J m iRi2 称为刚体对Z轴的转动惯量
则刚体对Z轴的角动量 Lz J
二）转动惯量的计算 对质量连续分布的刚体则应无限分割
R m i
M
n
J
lim n i1
miRi2
2）刚体运动的两种基本形式
A平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒
r 保持平行的运动
mj
ij
r r mmj immjimmjimmmj mi mjmjmij i
mi
对（1）式求导：
j
mi
Or v 选 点jj取 O ，参r iv则考 i： ia r ijj rij(a1 i)c
结论：刚体平动时，其上各点具有相同的速度、 加速度、及相同的轨迹。只要找到一点的运动 规律，刚体的运动规律便全知道了。事实上这 一点已经知道-----质心运动已告诉了我们。也就 是说质心运动定理是反映物体平动规律。 B）刚体的定轴转动 刚体的各质元在运动中都绕一固定轴作圆周运 动，称为刚体作定轴转动。
miRi2
R2dm M
例1）求质量为m,长为L的均匀细棒对下面三种
转轴的转动惯量：
转轴通过棒的中心o并与棒垂直
转轴通过棒的一端B并与棒垂直
转轴通过棒上距质心为h的一点A 并与棒垂直
B A h O质 dm
X
x dx
已知：L、m
求：JO、JB、JA 解：以棒中心为原点建立坐标OX、将棒分
割 成许多质元dm.
v0t
1at2 2
2022(0) v2v022a(ss0)
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§4--1 刚体的角动量 转动惯量
Angular Momentum. Moment of Inertia
一） 刚体的角动量及其沿定轴的分量
刚体可以看作无数多质点的集合，刚体是一个质点系,刚
体的角动量
Z
应该等于各质元角动量的矢量和。
Li
vi
设有一以角速度绕OZ 轴旋转的均匀细棒，t
R2dm M
注意： dm为质元质量，R为质元到转轴之间
的垂直距离。
回顾:质点对一参考点的角动量 L i rmv
角动量在转轴上的分量:
对一个质点系:
L J
R3 R2
m 3
R1m1
m2
z
J miRi2
Jzm 1R 12m 2R 2 2m 3R 3 2
R m i
M
对质量连续的刚体:
n
J
lim n i1
mh2
或：
JB
Jc
m(L)2 2
JAJc mh2
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和
通过质心轴C并与A轴平行的转
动惯量JJAc有如J下C关系m：d2
A
m为刚体的质量、
d
C
M
d为轴A与轴C之间的垂直距离
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环及薄 圆盘，质量均为m，试分别求出对通过质心并
与环面或盘面垂直的转轴的转动惯量。
Ri
O
ri
m
i
时刻正好位于幕平面内， 现将棒分割成许多质元
m 先1,研 究m 2 一 个 质m i元 m mni
对 L Oi点的 m 角ir 动i 量v i
Li L Ri
L vj
j rj
mj
Z
ri
O
vi
mi
先研究一个质元 m i
对 OLv点L iii之的 大角 r小i动m i量r iv i
Li mirivi
故棒的总角动量
n
L大小：
L mirivi
i1
方向如图，可见角动量不一定与Z轴方向相同。
Li L Ri
Z
Liz
vi
但我们感兴趣的是研究定 轴转动，即要研究角动量
在Z轴的分量 L iz
ri m i
O
Liz L miicrivoicsos
miRi(iRi)
mj
miRi2 故：
2
R4 4
2
m
R2
R4 4
1 mR 2 2
讨论：决定转动惯量的因素
1）：刚体的质量； 2）：刚体的质量分布；
（如例2中的圆 环 与圆盘的不同）；
3）：刚体转轴的位置。 （如例1中长细棒对不 同的轴的转动惯量）
B A h O质
X
Stop Here!
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
L
求JA 注意：
JA
R2dm L/2 (hx)2dx L/2
L3 h2L 1 mL2 mh2
12
12
JBJO1 3m2 L 1 1m 22 L m (L 2)2
JAJO(1 1m 22 Lm2)h 1 1m 22L mh2
B
A
h O质
dm
dmdx
X
x dx m/L
L
注意：
JB JO (质 ) 心 1 3m 2 L 1 1m 22 L m (L 2)2 JAJO (质)心 (1 1m 22 L m2)h 1 1m 22L
vvrv
avn avt
vv
r rv
加r 速 v z
v
rr v
r
a v d d v tv d (ω v d t r v ) d d ω tv r v ω v d d r v t βr减r速rω rvr转动平面
匀角加速转动公式 匀变速直线运动公式
0 t
0
t
1t2
2
v v0 at
s
s0
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O X
R
Y r R2Z2
其体积：
dV r2d Z(R 2Z2)dZ
其质量： dm dV (R 2Z2)dZ
其转动惯量：d J1r2d m 1(R2Z2)2d Z
O’
O
C）刚体的一 般运动
蔡斯勒斯定理：刚体的任一位移总可以表示为 一个随固定点的平动加上绕固定点的转动。
刚体的定轴转动
1. 各点运动的特点
在自己的转动平面内作圆周运动
2. 描述的物理量
r
r
任一质点圆周运动的线量和角量的关系
z v
r
O1
r
1
m1
x
2 m2
O2
x
r an r 2 v at r
R
R
解：1）细圆环 dmdl
dl
JC R2dm R2dl R
L
R2 dlR22Rm2R
2）薄圆盘 L
dr dr
r
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
2）薄圆盘
dr
r dr
2r
ds2rdr
dm d s2 rdr
d Jr2dm 2r3dr
JCm d
J R2r3dr 0