报告高数函数图形的描绘.ppt
合集下载
——函数图形的描绘PPT课件
lim f (x) ；
xa
(iii)
lim f (x) ；
xa
(iv)
. lim f (x)
xa
第11页/共27页
以上四种情形可参考下列各图
a
a (图 (i))
(图 (ii)) a
a (图 (iii))
(图 (iv)) 第12页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线 y a 为 f 之 水平渐近线：
(i) lim f (x) a ； a
(ii) lim f (x) a . x
以上二种情形可参考下列各图：
a
(图 2.3.2(i))
a
(图 2.3.2(ii))
第13页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线
y ax b ，( a 0 )为 f 之斜渐近线：
(i)
lim f (x) (ax b) 0 ；
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
第4页/共27页
➢曲 线 的 拐 点 及 其 求 法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
点(0 ， 0)为拐点．
其相关结论见表:
x (, 1) -1 (-1，0) 0 (0， 1) 1 (1, )
f (x) +
0
-
-
-0Βιβλιοθήκη +f (x) -
-
-
0
+
+
+
f (x)
高数函数图形的描绘ppt课件
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
3/30/2020
6
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
3/30/2020
16
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
3/30/2020
17
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
3/30/2020
12
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料
x( 2 ,0 ) 3 , 2 ) 2 ( , 3 ) 3 (
f (x)
0
不存在
(0 , )
f (x)
0 0
拐点
( 3, 26 ) 9
f ( x)
极值点
docin/sundae_meng
3
间 断 点
补充点 : ( 1 3 , 0 ), ( 1 3 , 0 );
y . 2
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步
y f ( x ) 确 定 函 数 的 定 义 域 , 利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
确 定 特 殊 点 : 曲 线 与 x 轴 的 交 点 , 即 : f ( x ) = 0 ; ' " f ( x ) 0 f( x ) 0 使 和 及 导 数 不 存 在 的 点 .
第二步
docin/sundae_meng
用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 f'( x )和 分 区 间 , 列 成 表 格 .确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f" ( x ) 的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
4 ( x 2 ) f ( x ) 3 , 4 ( x 1 ) x , lim f ( x ) lim [ 2 2 ] x 0 x 0 x 8 (x 3 ) f (x ) . 得铅直渐近线 x0 . 4 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
docin/sundae_meng
3、作图举例
高中数学函数的图像ppt课件
34
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．
函数图形的描绘
2. 斜渐近线 若
(或 x )
( k x b) ( k x b)
斜渐近线 y k x b .
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
f ( x) b 即 k lim [ ] x x x
1 令 f ( x ) ＝ 0， 得可疑点： x 2
lim f ( x ) lim e
x x x2
0
得水平渐近线 y 0 ，
曲线 y f ( x ) 不存在其它渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间，极值点和拐点:
x
f ( x ) f ( x )
1 1 1 (, ) ( ,0) 2 2 2
第六节 函数图形的描绘
第六节 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 二、函数图形的描绘
三、内容小结
返回
一、 曲线的渐近线 定义 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 或为“纵坐标差”
y
C M
y f ( x)
解:
定义域： (,0) (0,)
f ( x ) 4( x 2) , 3 x f ( x ) 8( x 3) . 4 x
令 f ( x ) 0, 得驻点 x 2, 令 f ( x ) 0, 得点 x 3.
4( x 1) lim f ( x ) lim [ 2] 2 得水平渐近线 y 2 ， 2 x x x
y kxb
L
PN
例如, 双曲线 有渐近线
o
x y 0 a b
chap3-6函数图形的描绘 共22页
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx3x2x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
limf(x), x1
第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)
极大值
32
27
拐点
( 1 , 16 ) 3 27
极小值
0
y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yx3x2x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
limf(x), x1
高等数学课件D3_6函数图形的描绘
例
描绘
y
1 3
x3
x2
2
的图形.
解: 1) 定义域为(, ),无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0, 得 x 0, 2
令 y 0, 得 x 1
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y 0
0
x 0 (0, 1) 1 (1, )y 0 Nhomakorabeay
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
思考与练习
y
y
x 1 3
4)
y
2 3
2
2
(极大)
0
4 3
(拐点)
2 3
(极小)
例
描绘函数 y
1
e
x2 2
的图形.
2π
解: 1) 定义域为 (, ), 图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0得 x 0; 令 y 0 得 x 1
【中学课件】函数图形的描绘
f ( x)
0 不存在
f (x)
0
f (x)
拐点
极值点
3 (3, 2h6tt)p:///sundae_meng 9
间 断 点
补充点: (1 3,0), (1 3,0);
A (1,2), 作图
B (1,6), C (2,1). y
得特殊点 x 1 . 3
补充点: A (1,0),
B (0,1), C (3 , 5). 28
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
/sundae_meng
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1
3
3 33
3
f (x)
0
第五步 描出与方程 f '( x) 0 和 f "( x) 0 的根对 应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
/sundae_meng
3、作图举例
例1
作函数
f
(
x)
4(
x x2
1)
2
的图形.
解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
有铅直渐近线两条: x 2, x 3.
/sundae_meng
水平渐近线 (平行于 x 轴的渐近线)
如果 lim f ( x) b 或 lim f ( x) b (b 为常数)
x
x
那么 y b 就是 y f ( x) 的一条水平渐近线.
1
x
例3 作函数 f ( x) x3 x2 x 1 的图形.
解 D : (,), 无奇偶性及周期性.
f ( x) (3x 1)(x 1), f ( x) 2(3x 1).
《函数图形的描绘》课件
Chapter
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。
高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘
2πe
2πe
（4）因为lim
1
x2
e2
0，所以y 0为曲线的渐近线.
x 2π
（5）将在区间[0,)上的讨论列表如下：
x
0
(0,1)
1
(1,+)
y
0
y
0
y
1 极大
1 拐点
2π
2πe
（6）在[0, ) 上作图，并利用对称性得函数在 (, )上的图形.这条曲线称为概率曲线（图 3-11）.
3
3
33
在 ( , 1 ) 内 ， y 0 ， 曲 线 为 凸 的 ， 在 ( 1 , ) 内 ， y 0 ，
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
33
3
y 0 曲 线 上 升 .在 ( 1 ,1) 内 ， y 0 曲 线 下 降 .当 x 1 时 ， y
3
3
取极大值，当x 1时，y 取极小值.
(3) y 6 x 2 ，当 x 1 时 ，y 0.x 1 将 ( , 1 ), ( 1 , ) .
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
（6）将以下结果列表如下：
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1 (1 ,1) 1 (1,+) 3 3 33 3 3
函数的表示方法及图像画法ppt课件
图 象 可 将 函 数 y=f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 15横1 坐标变为原来的 ,纵坐标不变.得到.
(4) 函 数 y=f(a+x) 与 y=f(a-x) 的 图 象 关
于15 x=0 .对称,y=f(a+x)与y=(b-x)的图象关
于 15 x b a 2
.对称.
完整最新ppt
王伟 张城 赵磊 班级 平均分
98 90 68 88.2
87 76 65 78.3
91 88 73 85.4
92 75 72 80.3
88 86 75 75.7
95 80 82 82.6
请你对这三位同学在高一学年度的数学学
习情况做一个分析。
完整最新ppt
9
（3）列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系
一次函数 ｙ=k x + b（k,b为常数，且k ≠0）
k>0
y ox
k<0
k>0
y
k>0,b>0
y
ox
y
o
x k>0,b<0
ox
k<0 y
k<0,b>0
ox
y
k<0,b<0
ox
性质 应用
k>0时,在Ⅰ, Ⅲ象限; k<0时,在Ⅱ, Ⅳ象限.
k>0,b>0时在Ⅰ, Ⅱ,Ⅲ象限; k>0,b<0时在Ⅰ, Ⅲ, Ⅳ 象限 k<0, b>0时,在Ⅰ,Ⅱ, Ⅳ象限.
b
23
对称点的坐标关系：
(1)关于x轴对称的
两点其横坐标相同,
纵(2坐)关标于互y为轴相对反称数的（a，b）P y
高中数学函数的图象优秀课件
第3页
返回导航
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换： y＝f(x)―aa＜＞―00―，，―左右―移移―|aa―个 |个―单单―位位→y＝ f(x－a) ； y＝f(x)―bb＜＞―00―，，―下上―移移―|bb―个 |个―单单―位位→y＝ f(x)＋b .
第4页
返回导航
数学
(2)伸缩变换：
返回导航
数学
[方法引航] 1常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、 指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝x＋mx m＞0的函数是图象 变换的基础； 2掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧，可以帮 助我们简化作图过程.
第15页
返回导航
1．作函数 y＝sin|x|的图象
第16页
返回导航
y＝f(x) y＝ f(ωx) ； y＝f(x)
第5页
返回导航
数学
＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝ －f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x) ； y＝f(x)―关―于―原―点―对―称→y＝ －f(－x) ．
第6页
返回导航
数学
第29页
返回导航
数学
2．函数 y＝xa 与 y＝logax 的图象在同一坐标系中的图象可能为 ()
第30页
返回导航
数学
解析：选 D.函数 y＝xa(x≥0)与 y＝logax(x＞0)，选项 A 中没有幂 函数图象，不符合；对于选项 B，y＝xa(x≥0)中 a＞1，y＝logax(x ＞0)中 0＜a＜1，不符合；对于选项 C，y＝xa(x≥0)中，0＜a＜1， y＝logax(x＞0)中 a＞1，不符合，对于选项 D，y＝xa(x≥0)中 0＜a ＜1，y＝logax(x＞0)中，0＜a＜1，符合，故选 D.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
演示课件
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
1)
,
y
(
x
2 1)3
演示课件
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
演示课件
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(
x
2 1)3
演示课件
6）绘图
x (, 1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无
0
定 义
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
笛卡儿 叶形线
演示课件
叶形线
演示课件
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3 ,
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
演示课件
思考与练习
D 1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim 1 x01
e e
x x
2 2
演示课件
演示课件
2 3
(极小)
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
①两边对 x 求导得 2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
演示课件
例2. 求曲线
的渐近线.
y
解:
y
x3
,
(x 3)(x 1)
lim y ,
x 3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 )
22
,
凸区间是
( ,
1 )
2
及
(
1 , )
2
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
演示课件
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
令 y 0 得 x 1, 3 ;
演示课件
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1
y
0
y
y
2
(1,1)
1 (1,3) 3
无
0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
演示课件
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
例如, 双曲线
L PN
演示课件
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
斜渐近线 y k x b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
x x
(或 x )
lim [ f (x) k b ] 0
演示课件
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y y
x 1 3
4)
y2
3
2
0
2
4 3
(极大)
(拐点)
y 0
y
y
1 2π
0
1
2πe
(极大)
(拐点)
演示课件
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
演示课件
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
有渐近线
x y0 ab
O
x
y
但抛物线
无渐近线 .
Ox
演示课件
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或 x x0 )
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x
O1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
演示课件
二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
1)
,
y
(
x
2 1)3
演示课件
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
演示课件
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(
x
2 1)3
演示课件
6）绘图
x (, 1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无
0
定 义
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
笛卡儿 叶形线
演示课件
叶形线
演示课件
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3 ,
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
演示课件
思考与练习
D 1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(
)
(A) 没有渐近线；
(B) 仅有水平渐近线；
(C) 仅有铅直渐近线； (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim 1 x01
e e
x x
2 2
演示课件
演示课件
2 3
(极小)
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
①两边对 x 求导得 2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
演示课件
例2. 求曲线
的渐近线.
y
解:
y
x3
,
(x 3)(x 1)
lim y ,
x 3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 )
22
,
凸区间是
( ,
1 )
2
及
(
1 , )
2
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
演示课件
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
令 y 0 得 x 1, 3 ;
演示课件
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1
y
0
y
y
2
(1,1)
1 (1,3) 3
无
0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
演示课件
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
例如, 双曲线
L PN
演示课件
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
斜渐近线 y k x b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
x x
(或 x )
lim [ f (x) k b ] 0
演示课件
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
y
0
0
y y
x 1 3
4)
y2
3
2
0
2
4 3
(极大)
(拐点)
y 0
y
y
1 2π
0
1
2πe
(极大)
(拐点)
演示课件
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
演示课件
内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
有渐近线
x y0 ab
O
x
y
但抛物线
无渐近线 .
Ox
演示课件
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或 x x0 )
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x
O1
y 2 为水平渐近线;
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1