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高数函数图形的描绘ppt课件

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——函数图形的描绘PPT课件

——函数图形的描绘PPT课件

lim f (x) ；
xa
(iii)
lim f (x) ；
xa
(iv)
. lim f (x)
xa
第11页/共27页
以上四种情形可参考下列各图
a
a (图 (i))
(图 (ii)) a
a (图 (iii))
(图 (iv)) 第12页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线 y a 为 f 之 水平渐近线：
(i) lim f (x) a ； a
(ii) lim f (x) a . x
以上二种情形可参考下列各图：
a
(图 2.3.2(i))
a
(图 2.3.2(ii))
第13页/共27页
如果下列条件之一成立，则称直线
y ax b ，( a 0 )为 f 之斜渐近线：
(i)
lim f (x) (ax b) 0 ；
曲线 在(,0]为凸的； 当x 0时， y 0, 曲线 在[0,)为凹的； 注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
第4页/共27页
➢曲 线 的 拐 点 及 其 求 法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2、拐点的求法
定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
点(0 ， 0)为拐点．
其相关结论见表:
x (, 1) -1 (-1，0) 0 (0， 1) 1 (1, )
f (x) +
0
-
-
-0Βιβλιοθήκη +f (x) -
-
-
0
+
+
+
f (x)

【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料

【中学课件】函数图形的描绘-PPT文档资料

x( 2 ,0 ) 3 , 2 ) 2 ( , 3 ) 3 (
f (x)
0
不存在
(0 , )
f (x)
0 0
拐点
( 3, 26 ) 9

f ( x)
极值点
docin/sundae_meng
3
间 断 点
补充点 : ( 1 3 , 0 ), ( 1 3 , 0 );
y . 2
2、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
第一步
y f ( x ) 确 定 函 数 的 定 义 域 , 利 用 函 数 奇 偶 性 、 周 期 性 缩 小 范 围 ;
确 定 特 殊 点 : 曲 线 与 x 轴 的 交 点 , 即 : f ( x ) = 0 ; ' " f ( x ) 0 f( x ) 0 使 和 及 导 数 不 存 在 的 点 .
第二步
docin/sundae_meng
用 特 殊 点 将 函 数 的 定 义 域 划 分 成 几 个 部 f'( x )和 分 区 间 , 列 成 表 格 .确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f" ( x ) 的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 、 极 值 和 函 数 的 凹 凸 性 和 拐 点 。
4 ( x 2 ) f ( x ) 3 , 4 ( x 1 ) x , lim f ( x ) lim [ 2 2 ] x 0 x 0 x 8 (x 3 ) f (x ) . 得铅直渐近线 x0 . 4 x
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:
docin/sundae_meng
3、作图举例

函数图像PPT教学课件

函数图像PPT教学课件

例5、（1）函数y x cos x的部分图象是( B)
y
y
o
( A)
y
x
x
o
(B)
y
x o
x o
(C )
(D)
(2)已 知 函 数f ( x), g( x)的 图 象 如 下 图 ， 则 函 数f ( x) g( x)
的 图 象 可 能 是( A)
y
y
y
f (x)
2
1
o
2
x
1 1
1 o
g( x)
2
y x 2 4 | x | 3 | x |2 4 | x | 3
y
-3
-2
-1
–4 –3 –2 –1
|
|
|
|
o
1 234
|
|
|
|
- –1
x
返回
(2) y cos |logcos x| (0 );
2
y
cos |logcos
x|
cos
cos
logcos x (0 x logcos x (1 x)
B
C
(D)
A
t1
t2 t
解 : 从A地 到B地 ， 甲 用 时 间t甲
S 2v1
S 2v 2
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
乙
用
时
间t乙满
足
：t乙 2
(v1
v2 )
S
t乙
(v1
S
v2 )
t甲
t乙
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
(v1
S v2)
(v1 v2 )2 S 2v1v2 (v1 v2 )

高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)

高等数学微积分第一章函数及其图形(共44张PPT)

如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
如果把 y看作自变量，x 看作因变量，按照函数的定义就得到一个新的函数，这个新函数称为函数y=f(x)的反函数，记作 x=j(y)。
解: 要使函数有意义，必须x 0，且x2-4³0。
如果A，B互相包含，即A B且B A，则称A与B相等，记为A=B。
1
O
x
3．对数函数
指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为
y=logax(a>0，a 1)． 对数函数的定义域是区间(0，+ )．
单调性：
若a>1，则logax单调增加； 若0<a<1，则logax单调减少．
性质见书P34
y y=ax
1
O
y=logxax
a>1
4．三角函数
U(a)。 设>0，则称区间(a-, a+)为点a 的邻域，记作U(a, )，
即 U(a, ) ={x|a-<x<a+} ={x| |x-a|<}。
其中点 a 称为邻域的中心, 称为邻域的半径。
O a-
a+ x
去心邻域:
U
(a,)
={x
|0<|
x-a
|<}。
O a- a a+ x
左（右）邻域、M领域的概念见书中第七页。
bx
[a, b]={x|axb}称为闭区间。
[a， b]
Oa
bx
[a, b)={x|ax<b}及 (a, b]={x|a<xb}称为
半开区间。 [a， b)
Oa
bx
(a， b]
Oa
bx

高三数学总复习函数的图像ppt

高三数学总复习函数的图像ppt

1．列表描点法是作函数图象的最基本的方法，要作 函数图象一般首先要明确函数图象的位置和形状；
(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；
(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸 缩变换等；
(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y＝ 1－x2的图象．
2．利用函数的图象可研究函数的性质，可判断方程 解的个数，可通过解方程，根据函数的图象观察对应不等 式的解等．
x，x≥1， 故 y＝10|lgx|＝1x，0<x<1.
根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象， 如下图(1)所示．
(2)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y＝12， x－x≥ 1，1， x<1. 可见其图象是由两条射线组成，如上图(2)所示．
【例1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝l－gxlgx(x≥(01<)x<1) .图象如下图(1)． (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
(x≥0) (x<0)
.图象如下图(3)．
本题先将函数化简，转化为作基本函数的图象的问 题．作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同时 也可利用图象变换得出.
系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题 结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
4．图象对称性的证明 证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一
点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上．
①若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象 关于 x＝a＋2 b成轴对称图形，若 f(a＋x)＝－f(b－x)，x∈R，则 y＝f(x)的图象关于点(a＋2 b，0)成中心对称图形．

高中数学函数的图像ppt课件

高中数学函数的图像ppt课件
34
真题透析 例 (2010 年高考湖南卷)函数 y＝ax2＋bx 与 y ＝ logb x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图
a
像可能是( )
35
【解析】 从对数的底数入手进行讨论，再 结合各个选项的图像从抛物线对称轴的取值 范围进行判断，故选D. 【答案】 D 【名师点评】 (1)本题易出现以下错误：① 忽视 y＝ logb x 中底数的绝对值，误认为 a，b
(2)图像的左右平移，只体现出x的变化，与x 的系数无关；图像的上下平移，只与y的变化 有关．
19
识图 对于给定函数的图像，可从图像上下左右分布范 围，变化趋势，特殊点的坐标等方面进行判断， 必要时可借助解方程、解(证)不等式等手段进行 判断，未必非要写出函数的解析式进行判断．
20
例2
(2010年高考山东卷)函数y＝2x－x2的图像
过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y＝
12f(x)的大致图像是(
)
38
解析：选A.先从起始点排除B，D，再用验证 法，当点P为OA的中点时，截面面积大于大圆 面积的一半，即可判定A正确．
39
x＋1，x∈[－1，0 2．已知 f(x)＝x2＋1，x∈[0，1] ，则下 列函数的图像错误的是( )
11
5．已知下列曲线： 以下编号为①②③④的四个方程 ① x－ y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0； ④|x|－y＝0. 请按曲线 A、B、C、D 的顺序，依次写出与 之对应的方程的编号________．
答案：④②①③
12
考点探究•挑战高考
考点突破
作图 1．熟悉基本初等函数的图像． 2．会通过函数的性质确定图像的形状：如奇偶 性→对称性；函数值的正负→x轴上方下方；渐 近线→变化趋势；过哪些特殊点、定点；极值、 最值等．

chap3-6函数图形的描绘 共22页

chap3-6函数图形的描绘 共22页
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第三步 确 定 在 这 些 部 分 区 间 内 f'(x)和 f"(x)的 符 号 ， 并 由 此 确 定 函 数 的 增 减 性 与 极 值 及 曲 线 的 凹 凸 与 拐 点 （ 可 列 表 进 行 讨 论 ） ；
第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
那么yaxb就是y f(x)的一条斜渐 . 近
斜渐近线求法:
limf(x) a, li[m f(x)a]x b.
x x
x
那y么 a xb就是y 曲 f(x)线 的一条.斜
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注意: 如果
(1) lim f (x) 不存在; x x
(2 )lif m (x )a存 ,但 在 li[m f(x ) a]不 x ,存
0
0
f(x) f (x)

极大值
32
27

拐点
( 1 , 16 ) 3 27

极小值
0

y
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
3
3
1
x
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yx3x2x1
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四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察.
x x
x
可以断 y定 f(x)不存在斜.渐近线
例1 求f(x)2(x2)x (3)的渐. 近线 x1
解 D :(,1 ) (1 ,) .
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limf(x), x1

高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘

高数 第三节 曲线的凹凸性和函数图形的描绘

y 2 e
(1 2 x 2 )
1
( 1 ,1 e ) 2
1 2
(
1 ,1 e 2 2
1
)
o
x
机动
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结束
备用题 求笛卡儿叶形线 x 3 y 3 3a x y 的渐近线 . 解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
3a t2 3a t , y x t 1 3 3 1 t 1 t 当x 时t 1, 因 y 3a t2 3a t 1 lim lim t 1 1 t 3 x x 3 1 t 3a t2 3a t 3 at (1 t ) lim y ( x) lim lim (1t )(1t t 2 ) 3 3 x t 1 1 t t 1 1 t a 所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
机动
x1x x1 x1x2x2x2 xx x2 x 1 2 2
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定义2 . 设函数
在区间 I 上连续 ,
(1) 若曲线弧位于其上每一点处切线的上方， 则称f(x)图形是凹的; (2) 若曲线弧位于其上每一点处切线的下方， y y 则称f(x)图形是凸的 . y 连续曲线上有切线的凹凸分界点
2) 求拐点可疑点坐标
令 y 0 得 x1 0 , x2 2 , 对应 y1 1 , y2 11 3 27 2 3 3) 列表判别
x ( , 0) y y 凹
0 0 1
(0 , 2 ) 3

( 2 , ) 3 0
2 3 11 27
凸
凹
( , 0) 及 ( 2 , ) 上向上凹, 在 (0 , 2 ) 上 故该曲线在 3 3 点 ( 0 , 1 ) 及 ( 2 , 11 ) 均为拐点. 向上凸 , 3 27

《函数图形的描绘》课件

《函数图形的描绘》课件
Chapter
手工绘制法
适用范围
适用于初步学习函数图形的描绘，以 及没有计算机辅助的情况下进行绘制 。
缺点
精度和效率较低，容易出错，不适合 绘制复杂的函数图形。
01
02
工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等绘图工具 。
03
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当 的坐标系，接着使用绘图工具在坐标 纸上绘制出函数的图形。
步骤
首先确定函数表达式，然后选择适当的坐 标系和绘图参数，接着使用计算机软件或 编程语言编写代码来绘制函数图形。
函数图形的绘制工具
手绘工具
直尺、圆规、铅笔、橡皮等。
计算机软件
如GeoGebra、Desmos、Graphviz等数学软件，以及Python、Matlab等编程 语言的绘图库。
03
函数图形的性质分析
选择坐标系
根据函数关系式的特点选择合 适的坐标系，如直角坐标系、 极坐标系等。
描点
根据函数关系式在坐标轴上描 出对应的点。
确定函数关系式
首先需要确定要描绘的函数关 系式。
绘制坐标轴
在选定的坐标系中绘制坐标轴 ，标明刻度和单位。
连线
将描出的点用平滑的曲线连接 起来，形成函数图形。
02
函数图形的绘制方法
分析图像的单调性、过定点、定义域和值域等性质。
详细描述
使用图形软件或数学软件绘制出这些函数的图像。
结合函数表达式，深入理解指数和对数函数的性质和特 点。
THANKS
感谢观看
函数图形描绘的重要性
01
02
03
直观理解数学概念
通过函数图形的描绘，可 以直观地理解数学概念， 加深对数学知识的理解。

高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘

高等数学 上、下册3_6 函数图形的描绘

2πe
2πe
（4）因为lim
1
x2
e2
0，所以y 0为曲线的渐近线.
x 2π
（5）将在区间[0,)上的讨论列表如下：
x
0
(0,1)
1
(1,+)
y
0

y




0

y
1 极大
1 拐点
2π
2πe
（6）在[0, ) 上作图，并利用对称性得函数在 (, )上的图形.这条曲线称为概率曲线（图 3-11）.
3
3
33
在 ( , 1 ) 内 ， y 0 ， 曲 线 为 凸 的 ， 在 ( 1 , ) 内 ， y 0 ，
3
3
曲 线 为 凹 的 .当 x 1 时 ， y 16 .故 (1 , 16 ) 为 拐 点 .
3
27 3 27
（ 4） limf(x).曲 线 没 有 渐 近 线 . x
33
3
y 0 曲 线 上 升 .在 ( 1 ,1) 内 ， y 0 曲 线 下 降 .当 x 1 时 ， y
3
3
取极大值，当x 1时，y 取极小值.
(3) y 6 x 2 ，当 x 1 时 ，y 0.x 1 将 ( , 1 ), ( 1 , ) .
（ 5） yx3x2x1(x1)2(x1).当 x1时 ， y0.当 x0时 ， y1.曲 线 与 x轴 交 于 点 (1,0)及 (1,0)， 与 y轴 交 于 点 (0,1).极 大 值 yx10.
（6）将以下结果列表如下：
x (, 1) 1 ( 1 , 1) 1 (1 ,1) 1 (1,+) 3 3 33 3 3
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的点 ;
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 .
3/30/2020
6
例3. 描绘
的图形.
解: 1) 定义域为
无对称性及周期性.
2) y x2 2x, y 2x 2,
y
令 y 0,
令 y 0,
1 O 1 2 3 x
3) x (,0) 0 (0,1) 1 (1, 2) 2 (2, )
,
渐近线
y 1
.
提示:
y 2 ex2 (1 2 x2 )
y
1
1
( 1 ,1 e 2 )
2
O
(
1
,1
1
e2 )
2
x
3/30/2020
16
作业
P76 14 (2); P169 2 ; 5
3/30/2020
17
第七节
备用题 求笛卡儿叶形线 x3 y3 3axy 的渐近线 .
解: 令 y = t x , 代入原方程得曲线的参数方程 :
2π
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
3) 判别曲线形态
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
3/30/2020
12
x 0 (0, 1) 1 (1, )
y 0
y
0
y
1 2π
1 2πe
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
lim y 0
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
3/30/2020
1
一、 曲线的渐近线
定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点
时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线C 的渐近线 .
y
y f (x)
或为“纵坐标差” C M
y kxb
例如, 双曲线
y 1 x 5 为斜渐近线 44
5) 求特殊点 x 0 2 y 9 1 44
y (x 3)2 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
y
(x
2 1)3
3/30/2020
10
6）绘图
x (, 1) 1 (1,1)
y
2
(极大)
铅直渐近线 x 1
斜渐近线
y1x5 44
特殊点
x0 y 9
lim( 1 2) , x 1为铅直渐近线. x1 x 1
3/30/2020
3
2. 斜渐近线 ( P76 题14)
若
(kx b)
(或 x )
(kx b)
lim x [ f (x) k b ] 0
x
x
x
斜渐近线 y kx b. k lim [ f (x) b ]
x x x k lim f (x)
所以笛卡儿叶形线有斜渐近线 y x a
笛卡儿 叶形线
3/30/2020
18
叶形线
y
0
0
y
0
y
2
4 3
2 3
x 1 3 (极大)
4)
y2
3
2
(拐点)
(极小)
3/30/2020
7
例4. 描绘方程
的图形.
解: 1) y (x 3)2 , 定义域为 4(x 1)
2) 求关键点. 原方程两边对 x 求导得
2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
①
y x 3 2y 2(x 1)
2 1
44
1 (1,3) 3 (3, )
无
0
定 义
(极小)
y
y (x 3)2
4(x 1)
2 1
O12 3 5 x
y
1 4
x
5 4
x 1
3/30/2020
11
例5. 描绘函数
的图形.
解: 1) 定义域为
图形对称于 y 轴.
2) 求关键点
y
1 2π
x
e
x2 2
,
y
1
e
x2 2
(1
x
2
)
①两边对 x 求导得 2 4 y 8y 4xy 0
y 1 4 y 2(x 1)
令 y 0 得 x 1, 3 ;
3/30/2020
8
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1
y
0
y
y
2
(1,1)
1 (1,3) 3
无
0
定
义
0
(3, )
(极大)
(极小)
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y (x 3)2 , 4(x 1)
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
,
y
(
x
2 1)3
3/30/2020
9
又因
lim y 1 , 即 k 1
x x 4
4
b lim ( y 1 x) lim [(x 3)2 1 x] x 4 x 4(x 1) 4
lim 5x 9 5 x 4(x 1) 4
x
3at 1 t3
,
3at2 y 1t3 ,
当x 时t 1, 因
t 1
lim y lim 3a t 2 3a t 1 x x t1 1 t 3 1 t 3
lim y
x
(x)
lim 3a t 2
t 1 1 t 3
3at 1 t3
lim
t 1
3 at(1t) (1t)(1t t
2
)
a
(C) 仅有铅直渐近线；
(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.
提示:
lim
x
1 1
e e
x x
2 2
1;
lim 1 x01
e e
x x
2 2
3/30/2020
15
2. 曲线 y 1 ex2 的凹区间是
( 1 , 1 )
22
,
凸区间是
( ,
1 )
2
及
(
1 , )
2
,
拐点为
(
1
1
,1e 2 )
2
L PN
有渐近线
x y0 ab
O
x
y
但抛物线
无渐近线 .
Ox
3/30/2020
2
1. 水平与铅直渐近线
若
则曲线
有水平渐近线 y b.
(或 x )
若
则曲线
有铅直渐近线 x x0 .
(或 x x0 )
y
例1. 求曲线
的渐近线 .
解: lim ( 1 2) 2 x x 1
2
x
O1
y 2 为水平渐近线;
x
y 0 为水平渐近线
5) 作图
y
1 2π
A
y0 O
y
1
x2
e2
2π
B
1
x
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内容小结
1. 曲线渐近线的求法
水平渐近线 ; 垂直渐近线;
斜渐近线
2. 函数图形的描绘
按作图步骤进行
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思考与练习
1.
曲线
y
1 1
ex2 ex2
(A) 没有渐近线；
(D )
(B) 仅有水平渐近线；
x x
(或 x )
lim [ f (x) k b ] 0
x x
x
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
的渐近线.
y
解:Biblioteka yx3,(x 3)(x 1)
lim y ,
x 3
(或 x 1)
3 O1 x
y x2
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
又因
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x
3
b
lim [
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
y x 2为曲线的斜渐近线 .
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二、函数图形的描绘
步骤 :
1. 确定函数 期性 ;
的定义域 , 并考察其对称性及周
2. 求
并求出 及
为 0 和不存在
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