《分式的基本性质》典型例题
《分式的基本性质》典型例题
《分式的基本性质》典型例题例1下列分式的变形是否正确，为什么？（1）2a ab a b =（2）acbc a b =例2写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）322) (b a ab b a =-（2）) (111232+=+++a a a a例3不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.（1）y x y x 02.05.03.02.0-+（2）y x y y x 3412.0--例4不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.（1）32211a a a a -+--（2）2332-+-+x x x例5已知不论x 取什么数时，分式53++bx ax （05≠+bx ）都是一个定值，求a 、b 应满足的关系式，并求出这个定值.例6已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？例7不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：例8不改变分式的值，使分式yx y x 4.05.03121-+的分子、分母中的多项式的系数都是整数．例9判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：（1）b b a a +=+11；（2）ba b a b a +=++122； （3）x x x x x x 2222323-=--+-；（4）b a a b b a +-=--122．例10化简下列各式：（1）323453b a b a -；（2）bb a a 821624+-； （3）()()()()62332222-+-+-+x x x x x x x x参考答案例 1 分析分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0≠M 是基本性质的生果组成部分，应特别注意.解（1）∵已知分式a b /中已隐含了0≠a ，∴用a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.（2）因为已知分式b a /中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包括了0=c ，当分式的分子、分母都乘以0=c 时，分式没意义，故（2）是错误的.例2分析（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32b a 是由2ab 乘以ab 得到的，由分式的基本性质，b a -也要乘以ab ，所以括号内应填ab b a )(-（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，22)1(12+=++a a a 除以1+a 得到右边分子1+a ，按照分式的基本性质，1)1()1(23+-=+÷+a a a a ，故括号内应填.12+-a a解：（1）322)(ba ab b a ab b a ⋅-=-（2）)1(1112232+-+=+++a a a a a a 例3分析要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.（2）中分子、分母中各项系数(512.0=)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.解：（1）法1：原式50)02.05.0(50)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y x y x -+=251510 法2：原式100)02.05.0(100)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x yx y x y x y x -+=-+=2515102503020 （2）原式y x y x y x y x 4015301260)3241(60)2151(--=⨯-⨯-= 说明在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.例4分析（1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.解：（1）32211a a a a -+--)1()1(322a a a a -+----=11232---+=a a a a （2）2332-+-+x x x )23(32-+--+=x x x 2332+-+=x x x例5分析在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.解：当0=x 时，5353=++bx ax 1=x 时，5353++=++b a bx ax ∵不论x 取什么实数，53++bx ax 是一个定值 ∴5353=++b a ，∴153155+==a a ∵b a 35=∴b a 53= 把b a 53=代入原式，得 535)5(53535353=++=++=++bx bx bx bx bx ax ∴a 、b 的关系为b a 35=；定值为53 例6解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为1S 2米，上底面积为2S 2米. 则1S G P =,214S S = ∴214PS PS G ==∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：P S P S S G 44222==(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P 4牛/2米.说明运用分式知识，有助于解决物理中问题（1）n m 25-；（2）a b -4；（3）yx x ---63；（4）b a b a 32+-+． 例7分析根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．解：（1）同时改变分子和分式的符号，得nm n m 2525-=-；（2）同时改变分母和分式的符号，得ab a b 44-=-； （3）先确定是分母的符号，再变号，得()yx x y x x y x x +=+--=---636363； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得()ba b a b a b a b a b a +--=+--=++-323232． 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成yx x y x x -=---6363或b a b a b a b a +--=++-3232； 2．对于（4）题，也可处理成ba ab b a b a +-=++-2332的形式． 例8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．解：y x y x y x y x y x y x 121510153052213031214.05.03121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+． 说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．例9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式．解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232x x -与2-x 是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：()()222222223--+-=--+-x x x x x x x x ()()121222+=-++-=x x x x （4）此题是约分变形．因此分母化成()()b a b a -+-的形式，与分子约去公因式b a -可得．说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2=a ，3=b 时，311322+≠+．（2）、（3）题同理． 例10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．解：（1）2222323151533453b a b b a a b a b a b a -=⋅⋅-=-； （2）()()()b a a b a a b b a a 2442448216222224-=+-+=+-； （3）()()()()()()()()()()132121362332222-=+----+=-+-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x ． 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式ba 242-已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．。
分式经典例题及答案
分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
2、分式有意义、无意义的条件：? ?? ?① 分式有意义的条件：分式的分母不等于0；? ?? ?② 分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
二、典型例题? ???? ?? ???A．x=-2? ?? ?? ?? ?? ???B．x=0? ?? ?? ?? ?? ???C．x=1或2? ?? ?? ?? ?? ? D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ?? ???∴{ x-1=0? ???①? ?? ?? ?? ???{ x+2≠0? ? ② ，解得x=1．? ?? ?? ???故选D．______________________________________________________________________________ _______? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???A．x=1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???B．x=-1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?C．x=±1? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，? ? 又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，?? 故选B．______________________________________________________________________________ _______A．x≠5 B．x≠-5 C．x＞5 D．x＞-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；? ???故选A．______________________________________________________________________________ _______A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x＜2 D．x＞2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x＞0，且（x+1）2≠0，? ? ∴x＜2且x≠-1，? ? 故选B．______________________________________________________________________________ _______A．x＞0 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0? ?①{ x-1≠0??② ，解得x≥0且x≠1，故选C．______________________________________________________________________________ _______例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．? ?分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为0，则分式的值为零，故错误；? ? B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式，分式的值不变，故错误；? ? C、正确；? ? D、当x取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．? ? 故选C．______________________________________________________________________________ _______A．-7/2 B．7/2? ? C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，? ?? ?? ?故选B．______________________________________________________________________________ _______分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．______________________________________________________________________________ _______分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：? ?? ? 则x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，? ? x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0，? ? ∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。
分式的基本性质__习题精选
分式的基本性质 习题精选基础巩固题1．用式子表示分式的基本性质：________________________________________________。
2．对于分式122x x -+ （1）当________时，分式的值为0（2）当________时，分式的值为1（3）当________时，分式无意义（4）当________时，分式有意义3．填充分子，使等式成立()222(2)a a a -=++ 4．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- 5．化简：233812a b c a bc=_______。
6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a a a c ++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+- （4）()2232565a a a a a ++=+++7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？（2）22112x y x y x y x y++==---对吗？为什么？ 8．把分式x x y+（x ≠0，y ≠0）中的分子、分母的x ，y 同时扩大2倍，那么分式的值 （ ） A ．扩大2倍 B ．缩小2倍 C ．改变 D ．不改变9．下列等式正确的是 （ ）A ．22b b a a =B ．1a b a b -+=--C ．0a b a b +=+D ．0.10.330.22a b a b a b a b--=++ 10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）0.010.50.30.04x y x y -+； （2）322283a b a b --11．不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数。
（1）2211x x x y+++- （2）343223324x x x x -+---12．将下列各式约分（1）6425633224a b c a b c = （2）224488a b a b -=-强化提高题13．与分式a b a b-+--相等的是 （ ） A ．a b a b +- B ．a b a b -+ C ．a b a b +-- D a b a b--+ 14．下列等式从左到右的变形正确的是 （ ）A ．b a ＝11b a ++B b bm a am =C ．2ab b a a= D ．22b b a a =15．不改变分式的值，使21233x x x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ） A ． 22133x x x -+- B ．22133x x x +++ C ．22133x x x ++- D ．22133x x x --+ 16．将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ） A ．235x y x y -+ B ． 151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x y x y-+ 17．将分式22x x x +化简得1x x +，则x 必须满足______。
八年级数学上册 15.1.2分式的基本性质练习 (新版)新人教版
分式的基本性质知识点1：分式的基本性质 (1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a（3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()yx -知识点2：约分：（1）c ab ba 2263（2）2228mn nm知识点3：通分：（1）321ab 和c b a 2252（2）x x x -+21和x x x +-21知识点4：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317b a ---（3) 2135x a -- (4) m b a 2)(--综合练习：一、选择题1．不改变分式的值，使分式115101139x yx y-+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）A ．10B ．9C ．45D ．902．下列等式：①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc +;④m n m --=-m nm -中,成立的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④3．不改变分式2323523x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（• ） A ．2332523x x x x +++- B ．2332523x x x x -++- C ．2332523x x x x +--+ D ．2332523x x x x ---+4.下列各式中，可能取值为零的是（ ）A ．2211m m +-B ．211m m -+C ．211m m +- D ．211m m ++5．根据分式的基本性质，分式aa b --可变形为（ ）A ．a a b --B ．a a b +C ．-a a b -D ．aa b +二、填空6.当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零．7．（辨析题）分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a abab b +-中是最简分式的有__________________8．若a=23，则2223712a a a a ---+的值等于_______．9．计算222a aba b +-=_________．10．约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+-．11．通分：（1）26x ab ，29y a bc ； （2）2121a a a -++，261a -．答案：知识点1、 (1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y知识点2、（1）bc a 2 （2）n m 4知识点3、通分：（1）321ab = c b a ac 32105， c b a 2252= c b a b32104（2）x x x -+21=））（（）（1-1x 12x x x ++，x x x +-21=））（（）（1-1x 12x x x +-.知识点4、(1) 233ab y x (2) 2317b a - （3) 2135x a (4) m b a 2)(--一、选择题1．D 2．A 3．D 4．B 5．C二、填空6.-17． 434y x a +,22x xy y x y -++,2222a abab b +-8．-129．aa b -10．（1）33x x +- （2）2m m -11．（1）22318acx a b c ，22218bya b c（2）22(1)(1)(1)a a a -+-，26(1)(1)(1)a a a ++-。
初中数学精品试题：七(下)第5章 分式的基本性质
例题：已知x －3y ＝0，且xy ≠0，求x 2－y 2x 2－xy ＋y 2的值．变式1：已知：y x －x y ＝5，求分式3x 2＋xy －3y 22x 2－xy －2y 2的值．变式2：阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a ，b ，c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设xa －b ＝y b －c ＝z c －a ＝k ，则x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝0，∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：已知y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z ，其中x ＋y ＋z≠0，求x ＋y －z x ＋y ＋z的值．变式3：先阅读(1)小题的解题过程，再解答第(2)小题．(1)已知a 2－3a ＋1＝0，求a 2＋1a2的值． 解：由a 2－3a ＋1＝0，知a≠0.所以等式两边同除以a ，得a －3＋1a ＝0，即a ＋1a＝3. 所以a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝7. 二、问鼎巅峰一、精题精练(2)已知y 2＋3y －1＝0，求y 4＋1y 4的值．在分式中，常出现给出一个或几个条件，然后进行分式求值计算，我们简称其为有条件的分式求值问题，解这类问题，既要依据条件逼近目标，又要能根据目标变换条件，常用方法有整体代入法，设参辅助法等.例题：解：∵x －3y ＝0，即x ＝3y ，∴原式＝（3y ）2－y 2（3y ）2－3y 2＋y 2＝9y 2－y 29y 2－3y 2＋y 2＝87变式1解：∵y x －x y＝5，∴y 2-x 2＝5xy ，即x 2-y 2＝-5xy 原式＝3（x 2－y 2）＋xy 2（x 2－y 2）－xy＝＝1411 变式2：解：设y ＋z x ＝z ＋x y ＝x ＋y z＝k ，则y ＋z ＝kx ，z ＋x ＝ky ，x ＋y ＝kz ， 所以y ＋z ＋z ＋x ＋x ＋y ＝k (x ＋y ＋z )，即2(x ＋y ＋z )＝k (x ＋y ＋z )，因为x ＋y ＋z ≠0，所以解得k ＝2，那么x ＋y ＝2z ，所以x ＋y －z x ＋y ＋z ＝2z －z 2z ＋z ＝13变式3：解：由y 2＋3y －1＝0，知y≠0，所以等式两边同除以y ，得y ＋3－1y ＝0，即y －1y＝－3， 所以y 4＋1y 4＝(y 2)2＋1（y 2）2＝(y 2＋1y 2)2－2＝[(y －1y )2＋2]2－2 ＝[(－3)2＋2]2－2＝121－2＝119四、参考答案三、回味展望。
知识点077--分式的基本性质(解答题)
三．解答题〔共34小题〕1．填写出未知的分子或分母：〔1〕,〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕观察分母的变化,根据分式的基本性质,则分子分母应同乘以x﹣y；〔2〕观察分子的变化,根据分式的基本性质,则分子分母是同除以y+1．解答：解：根据分式的基本性质,则〔1〕分子分母应同乘以x﹣y,故分母3x〔x﹣y〕=3x2﹣3xy；〔2〕分子分母是同除以y+1,分母变为y+1．点评：此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化,再进一步根据分式的基本性质进行填空．分式的基本性质：分式的分子、分母同除以〔或除以〕一个不等于0的式子,分式的值不变．2．已知：,求证x+y+z=0．考点：分式的基本性质.专题：证明题.分析：设恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式,再进行证明．解答：解：设=k,则x=ka﹣kb,y=kb﹣kc,z=kc﹣ka,x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0,∴x+y+z=0．点评：设出恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式是解答本题的关键．3．〔1〕你能利用分式的基本性质,使分式的分子不含"﹣〞号吗〔不能改变分式的值〕？试一试,做一做,然后与同伴交流．〔2〕不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含"﹣〞号：①；②．〔3〕你能不改变分式的值,使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据分式的分子、分母和分式本身任意两处都乘以﹣1,分式的值不变解答．解答：解：〔1〕能．==；〔2〕①==；②=；〔3〕①==；②==．点评：本题主要考查分式的分子、分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处,分式的值不变,熟练掌握这一性质对今后的解题大有帮助．4．不改变分式的值,使下列分式的分子和分母都不含"﹣〞号．〔1〕；〔2〕；〔3〕．考点：分式的基本性质.分析：根据分式的基本性质作答．①分数值除以﹣1,分母除以﹣1,②③分子分母同时除以﹣1．解答：解：〔1〕=；〔2〕=；〔3〕=﹣．点评：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．5．〔1〕=；〔2〕=；〔3〕=；〔4〕=．考点：分式的基本性质.分析：根据分式的基本性质作答．〔1〕同时×n．〔2〕同时÷4ac．〔3〕同时×x．〔4〕同时÷〔x+y〕．解答：解：〔1〕bn+n；〔2〕3b；〔3〕2x2；〔4〕x+y．点评：解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．6．利用分式的基本性质不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项的系数都变为整数．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以最小公倍数12,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以最小公倍数50,分式的值不变．解答：解：〔1〕原式=；〔2〕原式=．点评：本题主要考查分式的基本性质的应用,分式的基本性质是分式约分和通分的依据,需要熟练掌握．7．根据分式的基本性质,对于分式,当分式的分子和分母都乘以10时,分式的值不变,但原分式可变形为了．这样,分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法,把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数,但不能改变分式的值．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以分母的最小公倍数6,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数10,分式的值不变．解答：解：〔1〕分子分母都乘以6,得===；〔2〕分子分母都乘以10,得===．点评：本题主要考查分式的基本性质,分式的基本性质是约分和通分的依据,需要熟练掌握并灵活运用．8．已知,求分式的值．考点：分式的基本性质.分析：先将整理变形,转化为,再将分式化简,求出分式的值．解答：解：由整理变形,转化为,分式=．故答案为．点评：解决本题的关键是将式子整理变形,对分式进行化简．9．若,求的值=3．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：将通分变形,转化为x﹣y=﹣3xy,再把它整体代入原式约分求值．解答：解：∵,∴x﹣y=﹣3xy,再把它整体代入原式：==3．故答案为3．点评：正确对已知的式子进行变形,用已知的式子把未知的式子表示出来,是代数式求值的一种基本思路．10．不改变分式的值,把分式中的分子、分母的各项系数化为整数,并使次数最高项的系数为正数．考点：分式的基本性质.分析：由于要求分式的分子、分母的最高次项的系数为正数,而对分式本身的符号未做规定,所以根据分式的符号法则使分式中分子、分母与分式本身改变两次符号就行了,所以〔1〕分子、分母同时变号,〔2〕分母与分式本身同时变号．解答：解：=．点评：本题运用了分式的基本性质,分子、分母的各项系数化为整数的方法是分子分母上同时乘以分母的公倍数12,同时本题又考查了分子,分母,分式本身符号之间的关系．11．已知+=3,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：由+=3,得y+x=3xy,代入所求的式子化简即可．解答：解：∵+=3,∴y+x=3xy,∴===．点评：运用整体代入法是解答本题的关键．12．已知x2﹣4xy+4y2=0,那么分式的值等于多少？考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件x2﹣4xy+4y2=0,求出x与y的关系,再代入所求的分式中进行解答．解答：解：∵x2﹣4xy+4y2=0,∴〔x﹣2y〕2=0,∴x=2y,∴==．故分式的值等于．点评：根据已知条件x2﹣4xy+4y2=0,求出x与y的关系是解答本题的关键．13．已知,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：可以设=k,则x=3k,y=4k,z=5k,把这三个式子代入所要求的式子,进行化简就可以求出式子的值．解答：解：设=k〔k≠0〕,则x=3k,y=4k,z=5k,∴．点评：利用这个题目中的设法,把三个未知数的问题转化为一个未知数的问题,是解题的关键．14．已知分式的值是a,如果用m,n的相反数代入这个分式所得的值是b,问a与b的关系是否能确定？若能确定,求出它们的关系,若不能确定,请说明理由．考点：分式的基本性质.分析：把分式中的m、n分别换成﹣m、﹣n化简后比较即可．解答：解：互为相反数．∵b==,∴a+b=+=0,∴ab互为相反数．答：a与b的关系能确定,它们互为相反数．点评：本题只要把分式中的m、n换成它们的相反数化简整理即可．15．阅读下列解题过程,然后解题：题目：已知〔a、b、c互不相等〕,求x+y+z的值．解：设,则x=k〔a﹣b〕,y=k〔b﹣c〕,z=k〔c﹣a〕,∴x+y+z=k〔a﹣b+b﹣c+c﹣a〕=k•0=0,∴x+y+z=0．依照上述方法解答下列问题：已知：,其中x+y+z≠0,求的值．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据提示,先设比值为k,再利用等式列出三元一次方程组,即可求出k的值是2,然后把x+y=2z代入所求代数式．解答：解：设===k,则：,〔1〕+〔2〕+〔3〕得：2x+2y+2z=k〔x+y+z〕,∵x+y+z≠0,∴k=2,∴原式===．点评：本题主要考查分式的基本性质,重点是设"k〞法．16．已知：,求代数式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：设t=,则x、y、z可以用同一个字母来表示,然后将其代入代数式,然后将代数式化简即可．解答：解：设t=,则x=2t ①y=3t ②z=4t ③将①②③代入代数式,得==,所以,代数式的值是．点评：本题体现了转化思想,将未知数x、y、z转化为含有相同字母的量,然后代入所求代数式,只要将代数式化简即可．17．不改变分式本身的符号和分式的值,使下列各组里第二个分式的分母和第一个分式的分母相同．〔1〕,；〔2〕,．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可；〔2〕根据分式的性质把第二个分式的分母提取一负号即可．解答：解：〔1〕=；〔2〕．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子、分母与本身的符号,任意改变其中的两个,分式的值不变；若只改变其中的一个,分式的值会改变的．18．已知a,b,c,d都不等于0,并且,根据分式的基本性质、等式的基本性质与运算法则,探究下面各组中的两个分式之间有什么关系？然后选择其中一组进行具体说明．〔1〕和；〔2〕和；〔3〕和〔a≠b,c≠d〕．〔提示：可以先用具体数字试验,再对发现的规律进行证明．〕考点：分式的基本性质；等式的性质.专题：计算题.分析：先利用具体的数计算,然后发现各组中的两个分式相等；再对〔2〕进行证明：等式两边加上1,通分即可．解答：解：例如：取a=1,b=2,c=3,d=6,有,则〔1〕；〔2〕；〔3〕观察发现各组中的两个分式相等．现选择第〔2〕组进行说明证明．已知a,b,c,d都不等于0,并且,所以有：,所以有：=．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以〔或除以〕一个不为0数〔或式〕,分式的值不变．也考查了等式的基本性质．19．不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数,同时不改变分式的值,可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题,可同乘以2,3,4的最小公倍数12即可；〔2〕要将分式的分子和分母的各项系数都化为整数,同时不改变分式的值,可将分式的分子和分母同乘以一个相同的数．观察该题,可同乘以10即可．解答：解：〔1〕原式=；〔2〕原式=．点评：本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘〔或除以〕一个不等于0的整式,分式的值不变．20．材料一：19世纪俄国伟大作家托尔斯泰的一句名言是这么说的"一个人就好像一个分数,他的实际才能好比分子,而他对自己的估计好比分母．分母越大,则分数的值越小．〞材料二：一天小聪向班长反映一个问题：成绩不好的X凯同学失学了．班长说："唉,分母变小了,分数值增大了〞．请你针对上述两个材料就"分子与分母〞这个话题,结合你身边的实例,谈谈你对分母变大,分数值变小的理解．考点：分式的基本性质.专题：开放型.分析：根据分子不变,分母越大,则分数的值越小对两个材料中"分子与分母〞这个话题进行理解．解答：解：材料一：一个人实际才能为n,自己对自己才能的估计为m．因为n为固定值,他自己对自己的估计越大,那么这个分数得出的数值就越小．在分子不变的情况下,分母越大,分数值越小．人越高估自己,就是越自负,即使才能再高,也会因为分母大而使自己的总体分数下降．简单的说就是人不要把自己的能力估得太高．一个人对自己的估计越高,就越容易产生自满的心理,就越不容易取得进步,做出成绩．材料二：人数变少了,减少了得分中较小的数字,但平均分增大了．点评：本题考查了分式的基本性质在实际生活中的应用,趣味性较强,但难度不大．21．如果把分式中的a、b都扩大2倍,那么分式的值扩大2倍．考点：分式的基本性质.分析：根据要求对分式变形,然后根据分式的基本性质进行约分,观察分式的前后变化．解答：解：如果把分式中的a、b都扩大2倍,则==,则原分式的值扩大了2倍．故答案为扩大2倍．点评：此题考查了分式的基本性质．22．已知a+=5,求的值．考点：分式的基本性质.专题：常规题型.分析：把已知条件两边同时乘方,再根据完全平方公式展开,求出a2+的值,然后根据分式的基本性质,分子分母都除以a2,整体代入进行计算即可求解．解答：解：∵a+=5,∴〔a+〕2=25,即a2+2+=25,∴a2+=23,=a2+1+=23+1=24．故答案为：24．点评：本题考查了分式的基本性质以与完全平方公式,整体思想的利用是解题的关键．23．〔2009•##〕附加题：若a=,b=,试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小．观察a、b的特征,以与你比较大小的过程,直接写出你发现的一个一般结论．考点：分式的基本性质；有理数大小比较.专题：压轴题；分类讨论.分析：本题中观察a,b可得出的结论是一个分式,如果分式的分子和分母都加1后,得到的新的分式比原来的分式大．进而我们可推断出如果分式的分子和分母都加一个任意的正数后,得到的新的分式比原来的大．解答：解：若m、n是任意正整数,且m＞n,则．若m、n是任意正实数,且m＞n,则．若m、n、r是任意正整数,且m＞n；或m、n是任意正整数,r是任意正实数,且m＞n,则．若m、n是任意正实数,r是任意正整数,且m＞n；或m、n、r是任意正实数,且m＞n,则．点评：本题主要考查了分式的基本性质以与有理数的大小的比较．24．〔2008•##州〕请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式：x2﹣4xy+4y2,x2﹣4y2,x﹣2y．考点：分式的基本性质.专题：开放型.分析：根据分式的定义和概念进行作答．解答：解：〔4分〕=〔6分〕=．〔8分〕点评：本题是一道开放型题目,但所求的结果一定要符合题目的限制条件．25．已知：=2,求的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件求出〔a﹣b〕与ab的关系,再代入所求的分式进行求值．解答：解：∵=2,∴b﹣a=2ab,故a﹣b=﹣2ab,∴====5．点评：根据已知条件求出〔a﹣b〕与ab的关系,再进行整体代入是解答本题的关键．26．已知,求分式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：由已知可知x﹣y=﹣3xy,然后代入所求的式子,进行约分就可求出结果．解答：解：∵∴y﹣x=3xy∴x﹣y=﹣3xy∴====．点评：正确对已知式子进行化简,约分．正确进行变形是关键．27．问题探索：〔1〕已知一个正分数〔m＞n＞0〕,如果分子、分母同时增加1,分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．〔2〕若正分数〔m＞n＞0〕中分子和分母同时增加2,3…k〔整数k＞0〕,情况如何？〔3〕请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积,但按采光标准,窗户面积与地板面积的比应不小于10%,并且这个比值越大,住宅的采光条件越好,问同时增加相等的窗户面积和地板面积,住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．考点：分式的基本性质；分式的化简求值.专题：阅读型.分析：〔1〕使用作差法,对两个分式求差,有﹣=,由差的符号来判断两个分式的大小．〔2〕由〔1〕的结论,将1换为k,易得答案,〔3〕由〔2〕的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大；结合实际情况判断,可得结论．解答：解：〔1〕＜〔m＞n＞0〕证明：∵﹣=,又∵m＞n＞0,∴＜0,∴＜．〔2〕根据〔1〕的方法,将1换为k,有＜〔m＞n＞0,k＞0〕．〔3〕设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y,增加面积为a,由〔2〕的结论,可得一个真分数,分子分母增大相同的数,则这个分数整体增大；则可得：＞,所以住宅的采光条件变好了．点评：本题考查分式的性质与运算,涉与分式比较大小的方法〔做差法〕,并要求学生对得到的结论灵活运用．28．已知=3,求分式的值．〔提示：分式的分子与分母同除以a,b〕．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据分式的基本性质,分式的分子分母都除以ab,分式的值不变,再把换成3计算即可．解答：解：分式的分子分母都除以ab,得==,∵=3,∴=﹣3,所以原式==．点评：本题利用分式的基本性质,分子分母都除以ab,巧妙运用已知条件是解本题的关键,也是解本题的突破口．29．已知,求和的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：首先求得a=2b,c=2d,然后代入计算．解答：解：∵∴a=2b,c=2d∴==∴=．点评：本题的关键是求得a,b的关系．30．已知y=3xy+x,求代数式的值．考点：分式的基本性质.专题：计算题.分析：根据已知条件y=3xy+x,求出x﹣y与xy的关系,再将所求分式的分子、分母整理成x﹣y与xy和的形式,进行整体代入求解．解答：解：因为y=3xy+x,所以x﹣y=﹣3xy,当x﹣y=﹣3xy时,．点评：运用整体代入法时解答本题的关键．本题首先根据已知条件得到x﹣y=﹣3xy,再把要求的代数式化简成含有x ﹣y的式子,然后整体代入,使代数式中只含有xy,约分后得解．31．根据分式的基本性质,对于分式,当分式的分子和分母都乘以10时,分式的值不变,但原分式可变形为了．这样,分式的分子、分母中各项的系数都化为整数了．请你根据这个方法,把下列分式的分子、分母中各项的系数都化为整数,但不能改变分式的值．〔1〕；〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕根据分式的基本性质,分子分母都乘以分母的最小公倍数6,分式的值不变；〔2〕根据分式的基本性质,分式的分子分母都乘以分母的最小公倍数10,分式的值不变．解答：解：〔1〕分子分母都乘以6,得===；〔2〕分子分母都乘以10,得===．点评：本题主要考查分式的基本性质,分式的基本性质是约分和通分的依据,需要熟练掌握并灵活运用．32．填写出未知的分子或分母：〔1〕,〔2〕．考点：分式的基本性质.分析：〔1〕观察分母的变化,根据分式的基本性质,则分子分母应同乘以x﹣y；〔2〕观察分子的变化,根据分式的基本性质,则分子分母是同除以y+1．解答：解：根据分式的基本性质,则〔1〕分子分母应同乘以x﹣y,故分母3x〔x﹣y〕=3x2﹣3xy；〔2〕分子分母是同除以y+1,分母变为y+1．点评：此类题应当首先观察已知的分子或分母的变化,再进一步根据分式的基本性质进行填空．分式的基本性质：分式的分子、分母同除以〔或除以〕一个不等于0的式子,分式的值不变．33．已知：,求证x+y+z=0．考点：分式的基本性质.专题：证明题.分析：设恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式,再进行证明．解答：解：设=k,则x=ka﹣kb,y=kb﹣kc,z=kc﹣ka,x+y+z=ka﹣kb+kb﹣kc+kc﹣ka=0,∴x+y+z=0．点评：设出恒等式等于一个常数,求出x,y,z与这个常数的关系式是解答本题的关键．34．〔1〕你能利用分式的基本性质,使分式的分子不含"﹣〞号吗〔不能改变分式的值〕？试一试,做一做,然后与同伴交流．〔2〕不改变分式的值,使分式的分子和分母都不含"﹣〞号：①；②．〔3〕你能不改变分式的值,使分式中a和x的系数都为正数吗？①；②．考点：分式的基本性质.专题：阅读型.分析：根据分式的分子、分母和分式本身任意两处都乘以﹣1,分式的值不变解答．解答：解：〔1〕能．==；〔2〕①==；②=；〔3〕①==；②==．点评：本题主要考查分式的分子、分母和分式本身三处的符号任意改变其中的两处,分式的值不变,熟练掌握这一性质对今后的解题大有帮助．。
15.1.2分式基本性质考点与练习
15.1.1 分式的基本性质 考点闯关 考点1：分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 用式子表示为：,(0),A AC A A C C B BC B B C÷==≠÷其中,,A B C 是整式。
1．下列各式从左至右的变形不正确的是（ ）A ．2233y y -=-B ．66y y x x -=-C ．22xy y x y x =D ．a a c b b c+=+ 2．若把分式5y x y+中的x 、y 都扩大5倍，那么分式的值（ ） A ．扩大5倍 B ．不变 C ．缩小5倍 D ．缩小52倍 3．不改变分式的值，把1312x y x y -+的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为______． 4.已知113x y-=，求5352x xy y x xy y +---的值 考点2：分式的约分（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分；找公因式的方法：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；②当分子、分母都是多项式时，将能因式分解的先因式分解。
（2）最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.5．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 6．约分：322369a b c a b = ；24424x x x ++=+ . 7．将下列各式约分；22318(1)24a b a b c； 25(3)(2)2(3)a a ----； 2222(3)21a a a --+.8.先化简，再求值：222(1),4x y x y +- 其中35,;2x y ==2223(2),96x xy x xy y --+ 其中32,.43x y ==-题型3：最简公分母与分式的通分通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母通分的关键是准确找出各分式的最简公分母最简公分母的确定方法⑴当各分母的系数都是整数时，取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；⑵所有分式的分母中凡出现的以字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；⑶相同字母（或式子）的幂的因式取指数最高的；⑷当分母是多项式时，一般应将能分解因式的多项式分解因式。
八年级数学分式的基本性质练习3
16. 1. 2分式基本性质（1）-浴知识领航：分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式A AC A A-：- C的值不变.用式子表示疋：（C ■ 0）BBC B B-C约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分•约分的依据是分式的基本性质.e线聚焦【例】约分:3 2 , 、2⑵, （3）X -（".4y（y-x）（x y） -z分析：第（1）小题分子、分母的最高公因式是7a2b‘，分子或分母的系数是负数时，一般应把负号提到分式的前面；第（2）小题分子分母的最高公因式是2（x-y）2，要会把互为相= (x-y)2, ( y - x)2n = (x - y)2n ,n 为整数2•下列各分式正确的是”b b2a2b2 A. 2 B.a a ab C.2 -2a 1 3x - 4y 12D.8xy -6x2 2x(1) ~35a b c21a b d反数因式进行变形，如（y-x）2n 1(y —x) --（x-y）2n」，n为整数；第（3）小题分子、分母是多项式时，应先分解因式，再约分•4 3 -35a b c21a2b4d -7a2b3 5a2c2 37a b 3bd5a2c3bd(2)32x(x _y)4y(y-x)22x(x -y)4y(x-y)222(x-y) x(x-y) x(x-y)22(x-y) 2y 2y(3)2 2x -(y-z) (x y z)(x y z)2 2(x y) -z (x y z)(x y -z)x「y zx y z♦仔细读题, 1•对于分式-定要选择最佳答案哟! 1x-1，永远成立的是（A.x「1 x 1 B.1x -1 -1C.x—12x -1 (x-1)D.1 1x — 1 x -32 23•若4x =5y(y =0),则x；y的值等于y4.化简分式-丘二1的结果是1-x5.将分式的分子与分母中各项系数化为整数综合运用♦认真解答，一定要细心哟！6.把下列各式约分：m 2 -2m 1 1 -m 2则m,n 的关系是什么?&有四块小场地：一块边长为 宽为b 米的长方形.另有一块大长方形场地， 为2 (a+b )米，试用最简单的式子表示出大长方形场地的周长.八拓广创新♦试一试，你一定能成功哟!z ，求x y y z zx 的值.4 x 2 y 2 z 23a 一b7.已知：分式7的值是1 - xym ，如果分式中 x,y 用它们的相反数代入，那么所得的值为 n9.已知—5，求分式的值.y2x 7xy -2y2^3(a-b)2 (b-a)4 .一块边长为 b 米的正方形，两块长 a 为米， 它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长a 米的正方形， x10.已知-2。
分式的基本性质练习及答案
分式的基本性质练习及答案分式的基本性质练及答案一、判断正误并改正:① y6a2-b2(－a－b)2/3 = y(6a2-b2)/(a-b)② (x+ax)/(x+2)(x-3)(x+y)+(x-y)/y+ay = -1/(2+x) = (x-y)/(x+y)(x-y)2二、认真选一选1.下列约分正确的是: C。
a/(b-a) = 2/(2b-a)2.下列变形不正确的是: D。
(6x+3)/(2x+1) ≠ -a-2/(a+2x+2) ≠ (2x+1)/(a(b+1))3.等式成立的条件是: A。
a ≠ 1 且b ≠ 14.如果把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值不变。
5.不改变分式的值，使1-2x的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为: B。
(-2x+1)/(x2-3x+3)6.下面化简正确的是: B。
(2a+1)/(x2+y2-2x+2y(a-1)) = -17.下列约分正确的有: A。
(2+xy)/(x12+1)(a+m) =1/2xy+2+ab+mb/(3x3)三、解答题:1.约分：① (m2-4x)/(4-1-36yz2) = (m-2x)/(2m+1-x6yz)② (a-4)/(a+48-2m) = (2x-y)/(10-15y)③ (2m-m)/(2a-4m-16) = -1/2④ (2x-y)/(10-15y) = (2x-y)/(5-3y)(5+y)⑤ (a-1)/(x-y)(x-y)2 = a-1/[(x-y)2(x+y)]⑥ -(x-y)/(x-y)(x+y)2 = (y-x)/(x-y)(x+y)22.先化简,再求值:① a2-8a+16/a2+ab = (a-4)/(a+b) = (5-4)/(5+2) = 1/7② a2-16a+2ab+b2/2 = [(a-8)2-60]/2 = (52-60)/2 = -43.已知 $a+2b=2$，求 $2a+ab+b^2$ 的值。
八年级数学上册分式的基本性质课时练习(含解析)
分式的基本性质一、选择题1、下列说法正确的是（ ）A.2y x 与23x y x+的最简公分母是5x 2B. 313a b 与316ab 的最简公分母是3ab C. 313a b 与316ab的最简公分母是3a 3b 3 D. 2y x 与23x y x +的最简公分母是6x 2【答案】D【解析】试题分析：根据最简公分母的定义求出结果.解：A 选项：2y x 与23x y x+的最简公分母是6x 2，故A 选项错误；B 选项：313a b 与316ab的最简公分母是6a 3b 3，故B 选项错误；C 选项：313a b 与316ab的最简公分母是6a 3b 3，故C 选项错误；D 选项：2y x 与23x y x +的最简公分母是6x 2，故D 选项正确.故应选D.考点：最简公分母2、下列分式是最简分式的（ ）A.223a a b B.23a a a - C.22a b a b ++ D. 222a ab a b --【答案】C【解析】试题分析：根据最简分式的定义进行判断.解：A 选项：223a a b 的分子、分母中有公因式a ，故A 选项不符合题意；B 选项：23a a a-的分子、分母中有公因式a ，故B 选项不符合题意；C 选项：22a b a b++的分子、分母没有公因式，所以是最简分式，故C 选项符合题意；D 选项：222a ab a b--的分子、分母中有公因式a-b ，故D 选项不符合题意.故应选C.考点：最简分式3、分式221x y -与1x y+的最简公分母为（ ）A. x-yB. x+yC. x 2-y 2D. (x 2-y 2)(x+y)【答案】C【解析】试题分析：先对可以分解因式的分母分解因式，再根据求最简公分母的方法求解即可.解：∵()()22x y x y x y -=+-∴分式221x y -与1x y+的最简公分母为x 2-y 2故应选C.考点：最简公分母4、如果把分式3x y x y+中的x 和y 都扩大为2倍，则分式的值（ ）A. 扩大为4倍 B. 扩大为8倍 C. 不变 D. 缩小为2倍【答案】B【解析】试题分析：根据分式的基本性质对分式进行变形，根据变形结果进行判断.解：如果x 和y 都扩大为2倍，则有()()()()333322821682222x y x y x y x y x y x y x y x y ⋅⋅===++++，所以分式的值扩大为原来的8倍.故应选B.考点：分式的基本性质5、已知2334b a b =-，则a b=（ ）A. 6 B. 119 C. 215 D. 27-【答案】B【解析】试题分析：根据比例的性质，可得8b=9a﹣3b，根据等式的性质，可得答案．解：由比例的性质，得8b=9a﹣3b．由等式的性质，得11b=9a ，119a b =故应选：B ．考点：分式的基本性质.6、不改变分式的值，将分式20.020.23x x a b-+中各项系数均化为整数，结果为 （ ）A. 2223x x a b -+ B.25010150x x a b -+ C. 2502103x x a b -+ D. 2210150x x a b-+【答案】B【解析】试题分析：利用分式的基本性质把分式的分子、分母都乘以100即可得到结果.解：()()2220.021000.02500.230.2310010150x x x x x x a b a b a b-⨯--==++⨯+，故应应选B.考点：分式的基本性质7、不改变分式的值，将下列各分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果不正确的为（ ）A. 113223113223a b a b a ba b ++=-- B. 1.30.813820.7207x y x y x y x y --=-- C. 134624172748x y x y x yx y --=++ D. 135320.55x y x y x x --=【答案】D【解析】试题分析：根据分式的基本性质进行变形得到结果，根据得到的结果判断正误.解：A 选项，分子、分母同乘以6，正确；B 选项，分子、分母同乘以10，正确；C 选项，分子、分母同乘以8，正确；D 选项，分子、分母同乘以2，即得13620.5x y x y x x--=，错误.故应选D.考点：分式的基本性质8、根据分式的基本性质，分式a a b--可变形为（ ）A. a a b -- B. a a b + C. a a b -- D. a a b -+ 【答案】C【解析】试题分析：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．依次分析各选项即可作出判断.解：.故应选C.考点：分式的基本性质二、填空题9、分式312x ；()216x x y -的最简公分母是_ ．【答案】6x 3(x-y)【解析】试题分析：根据确定最简公分母的方法求出结果.解：分式312x ；()216x x y -的最简公分母是6x 3(x-y)考点：最简公分母10、不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号.（1）5x y-=-_____________；（2）2a b--=-_____________.【答案】(1) 5x y ；(2) 2a b-【解析】试题分析：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．依次分析各选项即可作出判断.解：(1)55x x y y-=-；(2) 22a a b b--=--.故答案是(1) 5x y ；(2) 2a b-.考点：分式的基本性质11、把分式32223a b a b -+的分子、分母中的各项系数都化为整数，且保持分式的值不变，则结果为_________________.【答案】12946a ba b-+【解析】试题分析：根据分式的基本性质把分子、分母同时乘以6，可得结果.解：33262129222246633a b a b a b a b a b a b ⎛⎫-⨯- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫++⨯ ⎪⎝⎭.故答案是12946a b a b-+.考点：分式的基本性质. 12、若23b a =，则a b a b -=+ ．【答案】15【解析】试题分析：根据23b a =，可设a=3k ，b=2k ，然后再利用代入法求出分式的值.解：因为23b a =，设a=3k ，b=2k ，3213255a b k k k a b k k k --===++.故答案是15.考点：分式的基本性质三、解答题13、化简：2223712a a a a ---+．【答案】14a a +-【解析】试题分析：首先把分式的分子、分母分别分解因式，然后再约去公因式.解：2223712a a a a ---+()()()()3134a a a a -+=--14a a +=-.考点：约分14、约分：22211m m m-+-．【答案】11mm -+【解析】试题分析：首先把分式的分子、分母分别分解因式，然后再约去公因式.解：22211m m m -+-()()()2111m m m -=-+11m m -=+.考点：约分15、先化简，再求值．（1）22969m m m -++，其中m=5．【答案】14【解析】试题分析：首先根据分式的基本性质把分式化简，然后再把字母的值代入化简后的分式中求值.解：22969m m m -++()()()2333m m m +-=+33m m -=+，当m=5时，原式33m m -=+5353-=+14=考点：分式的化简求值.。
备战中考数学基础必练分式的基本性质(含解析)
2019备战中考数学基础必练-分式的基本性质（含解析）一、单选题1.如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（）A.不变B.扩大3倍C.缩小3倍D.扩大9倍2.把分式(x0,y0)中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，那么分式的值（）A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.缩小为原来的D.不改变3.将中的a、b都扩大4倍，则分式的值（）A.不变B.扩大4倍C.扩大8倍D.扩大16倍4.下列计算正确的是()A. B. C. D.5.不改变分式的值，把它的分子和分母中的各项系数都化为整数，则所得的结果为（）A. B. C. D.6.如果把中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（）A.不变B.扩大10倍C.缩小10倍D.扩大20倍7.已知，则的值等于A.6B.C.D.8.若将分式中的a与b的值都扩大为原来的2倍，则这个分式的值将（）A.扩大为原来的2倍B.分式的值不变C.缩小为原来的D.缩小为原来的9.如果把中的x与y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值（）A.不变B.扩大为原来的5倍C.扩大为原来的10倍D.缩小为原来的10.若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（）A.扩大12倍B.缩小12倍C.不变D.缩小6倍二、填空题11.约分：=________．12.在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；________（2）= ．________13.把分式约分得________14.若a≠0，则=________15.不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数:（1）= ________;（2）= ________.16.不改变分式的值，把它的分式和分母中的各项的系数都化为整数，则所得结果为________17.已知，则的值是________三、计算题18.通分：2 x x + 3 +1= 7 2 x + 6 。
（1），（2），．19.约分：四、解答题20.在分式中，字母m，n，p的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值会如何变化．21.已知，求和的值．22.不改变分式的值，使分式的分子与分母的最高次项的系数是整数答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】分式的基本性质【解析】【解答】解：把分式中的m和n都扩大3倍，得=×．故选：C．【分析】根据分式的性质，可得答案．2.【答案】D【考点】分式的基本性质【解析】【分析】根据题目中分子、分母的x、y同时扩大2倍，得到了分子和分母同时扩大2倍，根据分式的基本性质即可判断．【解答】分子、分母的x、y同时扩大2倍，即，根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选D．【点评】此题考查了分式的基本性质．3.【答案】B【考点】分式的基本性质【解析】【分析】根据分式的分子分母都乘乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，可得答案．【解答】根据题意，可得＝4×，故选：B．【点评】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘乘以同一个不为0的整式，分式的值不变．4.【答案】A【考点】分式的基本性质【解析】【解答】A、，A符合题意；B、，B不符合题意；C、不能化简，C不符合题意；D、没有意义，D不符合题意．故答案为：A．【分析】对于A，依据分式的基本性质，分式的分子和分母同时扩大2倍即可；对于B，依据负整数指数幂的性质进行计算即可；对于C，依据分式的基本性质进行判断即可；对于D，依据零指数幂的性质a0=1，（a≠0）进行判断即可.5.【答案】B【考点】分式的基本性质【解析】【分析】分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以或除以一个不为0的数（或式)，分式的值不变．题目中的分子分母应该同时扩大10倍.故选B.【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握分式的基本性质，即可完成。
01分式的基本性质(含答案)
分式的基本性质一、选择题1.若分式21x -有意义，则x 的取值范围是 A. x ≠1 B. x ＞1 C. x=1 D. x ＜1【答案】1.A【解析】1.试题解析：∵分式有意义时，分母不等于零，∴x-1≠0，解得x≠1．故选A.2.若分式2424x x --的值为零，则x 等于（ ）． A. 2 B. 2- C. 2± D. 0【答案】2.B【解析】2.试题解析：若分式2424x x --的值为零， 则24=0{ 240.x x --≠ 解得： 2.x =-故选B.3.x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A. 21x x + B. 211x x -- C. 11x x -+ D. 211x x -+ 【答案】3.D【解析】3.A.当x=0时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；B.当x=±1时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；C.当x=−1时，分母为零，分式没有意义，故选项错误；D.无论x 为何值，分母都不为零，分式有意义，故选项正确.故选：D.4.下列判断错误．．的是（ ） A. 当23x ≠时，分式132x x +-有意义 B. 当a b ≠时，分式22ab a b-有意义 C. 当12x =-时，分式214x x +值为0 D. 当x y ≠时，分式22x y y x --有意义 【答案】4.B【解析】4.A 、当分母3x-2≠0，即当x≠23时，分式x 13x 2+-有意义．故本选项正确； B 、当分母a 2-b 2≠0，即a≠±b 时，分式22ab a b-有意义．故本选项错误； C 、当分子2x+1=0，即x ＝−12时，分式2x 14x +值为0．故本选项正确；D 、当分母y-x≠0，即x≠y 时，分式22x y y x--有意义．故本选项正确； 故选：B ．5.下列分式中是最简分式的是（ ） A. 221x x + B. 42x C. 211x x -- D. 11x x -- 【答案】5.A 【解析】5.试题分析：最简分式是指不能继续化简的分式.A 、无法化简；B 、原式=2x ；C 、原式=11x +；D 原式=－1. 6.如果把分式2x y xy+中的x 、y 都扩大5倍，那么分式的值（ ）． A. 是原来的15 B. 扩大5倍 C. 不变 D. 以上都不正确 【答案】6.A【解析】6.∵分式2x y xy+中的x ， y 都扩大5倍， ∴()555155225252x y x y x y x y xy xy+++==⨯⋅⋅⋅， 分式的值缩小为原来的15， 故选A . 7.()0.50.3530.70.6m n m n m n ++=-. A. 7m -6nB. 70m -6nC. 7m -60nD. 5m +3n【答案】7.A【解析】7.观察等式： ()0.50.3530.70.6m n m n m n ++=- 可知：分子乘以了10，因此由“分式的基本性质”可知，分母也要乘以10，而： ()100.70.676m n m n -=-.故选A.8.下列各分式中，不论x 取何值时分式均有意义的是（ ） A. 121x + B. 121x - C. 213x x - D. 2512x x ++ 【答案】8.D【解析】8.Ａ．当12x =- 时，分式无意义；B. 当12x =时，分式无意义； C.当0x = 时，分式无意义；D. 20x ≥Q ， 211x ∴+≥ ，故不论x 取何值分式有意义； 故选D.二、填空题9.当x ＝______时，分式236x x -无意义． 【答案】9.2【解析】9.根据题意得，3x-6=0，解得x=2.故答案为： 2.10.化简2244a a a --+=_________________. 【答案】10.12a -【解析】10.原式=()()2211222a a aa ---==---. 11.22222m n mn m n +=2mn【答案】11.m+n【解析】11.∵()2222222mn m n m n mn m n m n mn mn mn+++==⋅， ∴空格处应填“m n +”.12.若分式−67−x 的值为正数，则x 的取值范围_______． 【答案】12.x >7【解析】12.试题解析：由题意得：−67−x ＞0， ∵-6＜0，∴7-x ＜0，∴x ＞7．13.对于分式，当x= 时，分式无意义；当x= 时，分式的值为0．【答案】13.﹣4，4．【解析】13.试题分析：根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，分子为零分母不为零分式的值为零，可得答案．解：分式，当x=x=﹣4时，分式无意义；当x=4时，分式的值为0，故答案为：﹣4，4．14.若的值为零，则x 的值是 ．【答案】14.﹣1【解析】14.试题分析：分式的值为零，分子|x|﹣1=0且分母x 2+2x ﹣3≠0，由此求得x 的值．解：依题意得：|x|﹣1=0且x 2+2x ﹣3≠0，所以x=±1且（x+3）（x ﹣1）≠0，所以x=﹣1．故答案是：﹣1．三、解答题15.不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数化为整数．(1) 11521243x y x y -+； (2) 0.10.30.50.02x y x y +- 【答案】15.(1) 12301540x y x y -+;(2) 51525x y x y+-【解析】15.试题分析：（1）先找出各式分子与分母的分母的最小公倍数，再根据分式的基本性质进行解答即可；（2）把分子与分母同时乘以100即可得出结论．试题解析：（1）分式的分子与分母同时乘以60得， 原式=12301540x y x y -+． （2）分式的分子与分母同时乘以100得， 原式=51525x y x y+-． 16.把下列各式化为最简分式： （1）2216816a a a --+=_________； （2）()()2222x y z x y z--+-=_________． 【答案】16.（1）44a a +-，（2）x y z x y z -+++ 【解析】16.（1）2216816a a a --+=()()()244444a a a a a +-+=-- ； （2）()()2222x y z x y z --+-=()()()()x y z x y z x y z x y z x y z x y z +--+-+=+++-++ 17.已知x =√3+1,y =√3−1，求x2−2xy+y 2x 2−y 2的值。
分式的基本性质
分式的基本性质精选题23道一．选择题（共16小题） 1．若分式2x−y 3x 2y的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．缩小到原分式值的110C ．缩小到原分式值的1100D ．缩小到原分式值的110002．如果分式a 2a+b中的a ，b 都同时扩大2倍，那么该分式的值（ ）A ．不变B ．缩小2倍C ．扩大2倍D ．扩大4倍3．下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A ．a 2−0.2a a 2−0.3a 3=a 2−2a a 2−3a 3B ．−x+1x−y =x−1x−yC ．1−12aa+13=6−3a 6a+2D ．b 2−a 2a+b=a −b4．根据分式的基本性质，分式−a a−b可变形为（ ）A ．a −a−b B ．aa+bC ．−a a−bD ．−a a+b5．分式22−x可变形为（ ）A ．22+xB ．−22+xC ．2x−2D ．−2x−26．如果把分式3a−2b 6ab中的a 、b 同时扩大为原来的2倍，那么得到的分式的值（ ）A ．不变B ．缩小到原来的12C ．扩大为原来的2倍D ．扩大为原来的4倍7．如果把分式x+y xy中的x ，y 同时扩大为原来的4倍，那么该分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的4倍C ．缩小为原来的12D ．缩小为原来的148．如果把分式xyx+y中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ）A ．扩大4倍B ．扩大2倍C ．不变D ．缩小2倍9．下列变形从左到右一定正确的是（ ） A ．ab =a−2b−2B ．a b=ac bcC ．ab=a 2b 2D ．ax bx=ab10．如果把分式3n m−n中的m 和n 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A ．不变B ．扩大3倍C ．缩小3倍D ．扩大9倍11．化简2n+4−2⋅2n 2⋅2n+3，得（ ）A ．2n+1−18B ．﹣2n +1C ．78D ．7412．若分式2a a+b中的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）A ．是原来的20倍B ．是原来的10倍C ．是原来的110D ．不变13．如果把分式2x3x−2y中的x ，y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大3倍 B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大2倍14．若把分式xy x+y的x 和y 都扩大5倍，则分式的值（ ）A ．扩大到原来的5倍B ．不变C ．缩小为原来的15倍D ．扩大到原来的25倍15．下列各式中，正确的是（ ） A ．b a+2b =1a+2B ．b a=b+2a+2C ．−a+bc=−a+b cD ．a+2a−2=a 2−4(a−2)216．把分式3x−3yxy中的x 、y 的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．不变B ．扩大为原来的2倍C ．扩大为原来的4倍D ．缩小为原来的一半二．填空题（共5小题）17．若3a =4b=5c ，则分式ab−bc+aca 2+b 2+c 2= ．18．已知x 2=y 3=z4，则2x+y−z3x−2y+z= ．19．如果分式2x3x 2+5y 2的值为9，把式中的x ，y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值是 ．20．如果a b=23，那么aa+b= ．21．若2(x−1)3(x−1)=23成立，则x 的取值范围是 ．三．解答题（共2小题）22．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质，等等．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数．类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1． （1）请写出分式的基本性质 ； （2）下列分式中，属于真分式的是 ；A .x 2x−1B .x−1x+1C ．−32x−1D .x 2+1x 2−1（3）将假分式m 2+3m+1，化成整式和真分式的形式．23．（1）()3x=5xy 23y（2）x−1x−2=1−x ()。
【最新精选】分式的基本性质__习题精选
分式的基本性质 习题精选基础巩固题1．用式子表示分式的基本性质：________________________________________________。
2．对于分式122x x -+ （1）当________时，分式的值为0（2）当________时，分式的值为1（3）当________时，分式无意义（4）当________时，分式有意义3．填充分子，使等式成立()222(2)a a a -=++ 4．填充分母，使等式成立：()2223434254x x x x -+-=--- 5．化简：233812a b c a bc=_______。
6．（1）()2a b ab a b += （2）()21a a a c ++=（a ≠0） （3）()22233x x x -=-+- （4）()2232565a a a a a ++=+++ 7．（1））333()3ax by ax by ax by ax by---=-=---，对吗？为什么？（2）22112x y x y x yx y ++==---对吗？为什么？8．把分式xx y+（x≠0，y≠0）中的分子、分母的x，y同时扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍B．缩小2倍C．改变D．不改变9．下列等式正确的是（）A．22b ba a=B．1a ba b-+=--C．0a ba b+=+D．0.10.330.22a b a ba b a b--=++10．不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中各项系数都化为整数。
（1）0.010.50.30.04x yx y-+；（2）322283a ba b--11．不改变分式的值，使下列各分式的分子、分母中最高次项的系数都是整数。
（1）2211x xx y+++-（2）343223324x xx x-+---12．将下列各式约分（1）6425633224a b ca b c=（2）224488a ba b-=-强化提高题13．与分式a ba b-+--相等的是（）A．a ba b+-B．a ba b-+C．a ba b+--Da ba b--+14．下列等式从左到右的变形正确的是（）A．ba＝11ba++Bb bma am=C．2ab baa=D．22b ba a=15．不改变分式的值，使21233x x x --+-的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为 （ ）A ． 22133x x x -+-B ．22133x x x +++C ．22133x x x ++-D ．22133x x x --+ 16．将分式253x y x y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为 （ ） A ．235x y x y -+ B ． 151535x y x y -+ C ．1530610x y x y -+ D ．253x y x y-+ 17．将分式22x x x +化简得1x x +，则x 必须满足______。
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok
分式的基本性质专项练习30题(有答案)ok1.如果将分式中的x、y都扩大到原来的10倍，分式的值会扩大10倍。
2.如果将分式中的x和y都扩大3倍，分式的值不变。
3.将分子、分母中各项系数化为整数不改变分式的值。
4.正确的是A。
5.正确的是B。
6.与分式的值相等的是B。
7.与分式的值相等的是D。
8.化简为9.化简为10.若x在(0,2)之间，化简后的结果为B。
11.正确的是C。
12.不改变分式13.正确的个数为B。
14.分子和分母的系数化为整数后，正确的变形有A、C、D。
15.不改变分式的值，使分子和分母的最高次项的系数为正数。
16.略17.不改变分式的值，将分式化简为18.若，则x的取值范围是19.分子与分母的各项系数化为整数为20.(1) 分式的乘法法则，(a≠)。
(2) 分式的除法法则，(1)除以一个数等于乘以它的倒数，(2)21.设22.略23.依次填入。
24.若x：y：z=1：2：1，则25.若 $a=b$，则 $a^2=ab$。
解析：对 $a^2=ab$ 两边同时减去 $b^2$，得到 $a^2-b^2=ab-b^2$，即 $(a-b)(a+b)=b(a-b)$，由于 $a=b$，所以 $a-b=0$，分母不能为 $0$，因此原等式不成立。
26.不改变分式的值，使分子、分母都不含负号：$\frac{-3x}{2y}$。
解析：将分子、分母同时乘以 $-1$，即可得到$\frac{3x}{-2y}$，化简后为 $\frac{-3x}{2y}$。
27.已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，则$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$。
解析：将 $\frac{a+b}{b}$ 和 $\frac{c+d}{d}$ 分别化简，可得到 $\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，由已知条件可知其成立。
分式 知识点及典型例题
分式知识点及典型例题正文：分式，又称有理数，是数学中的一个重要概念，它由分子和分母组成，表示两个数的比值关系。
在分式的运算中，我们需要了解一些基本知识点，并且通过典型的例题来加深理解。
一、分式的定义和基本性质分式可以用“a/b”的形式表示，其中a为分子，b为分母。
分子和分母都可以是整数、小数或者其他分式。
分式也可以是正数、负数或者零。
分式的基本性质有：1. 当分子为0时，分式的值为0，即0/b=0。
2. 当分母为1时，分式的值等于分子本身，即a/1=a。
3. 当分子和分母互为相反数时，分式的值为-1，即（-a）/a=-1。
二、分式的运算1. 分式的加减运算分式的加减运算遵循相同分母则分子相加减的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分母化为相同的分母；（2）将两个分式的分子按照相同分母相加减；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算1/3 + 1/4 - 1/6。
解：首先将三个分式的分母化为12，得到4/12 + 3/12 - 2/12，再将分子相加减，得到5/12。
2. 分式的乘除运算分式的乘除运算遵循分子相乘除，分母相乘除的原则。
具体步骤如下：（1）将两个分式的分子相乘或相除；（2）将两个分式的分母相乘或相除；（3）将结果化简为最简形式。
例如：计算2/3 × 5/8 ÷ 4/5。
解：根据乘除法的原则，分子相乘得到10，分母相乘得到24，再将结果化简为最简形式，得到5/12。
三、分式的简化分式的简化是将分子和分母的公因式约去，使其达到最简形式。
具体步骤如下：（1）求分子和分母的最大公因数；（2）将分子和分母分别除以最大公因数。
例如：将12/18简化为最简分式。
解：求12和18的最大公因数为6，将分子和分母都除以6，得到最简分式2/3。
四、分式的应用举例1. 问题：小明爸爸买了一块布长3米，要均分给他和他妹妹，他分到几分之几的布？解：设小明分到的布的长度为x米，他妹妹分到的布的长度为y米，则由题意可得分式x/y=3/2。
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《分式的基本性质》典型例题
例1 下列分式的变形是否正确，为什么？
（1）2a ab a b = （2）ac
bc a b =
例2 写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）322) (b a ab b a =- （2）) (111232+=+++a a a a
例3 不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1）y x y x 02.05.03.02.0-+ （2）y x y y x 324112.0--
例4 不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
（1）32211a a a a -+-- （2）2
332-+-+x x x
例5 已知不论x 取什么数时，分式5
3++bx ax （05≠+bx ）都是一个定值，求a 、b 应满足的关系式，并求出这个定值.
例6 已知一个圆台的下底面是上底面的4倍，将圆台放在桌面上，桌面承受压强为P 牛顿/2米，若将圆台倒放，则桌面受到的压强为多少？
例7 不改变分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“－”号：
例8 不改变分式的值，使分式y
x y x 4.05.03121-+的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
例9 判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：
（1）b b a a +=+11； （2）b
a b a b a +=++122； （3）x x x x x x 2222323-=--+-； （4）b
a a
b b a +-=--122．
例10 化简下列各式：
（1）323453b a b a -； （2）b
b a a 821624+-； （3）()()()()62332222-+-+-+x x x x x x
x x
参考答案
例 1 分析 分式恒等变形的根据是分式的基本性质，应该严格地用基本性质去衡量，0≠M 是基本性质的生果组成部分，应特别注意.
解 （1）∵已知分式a b /中已隐含了0≠a ，∴用a 分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.
（2）因为已知分式b a /中，没限制c ，c 可以取任意数，当然也包括了0=c ，当分式的分子、分母都乘以0=c 时，分式没意义，故（2）是错误的.
例2 分析 （1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，32b a 是由2ab 乘以ab 得到的，由分式的基本性质，b a -也要乘以ab ，所以括号内应填ab b a )(-
（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，
22)1(12+=++a a a 除以1+a 得到右边分子1+a ，按照分式的基本性质，1)1()1(23+-=+÷+a a a a ，故括号内应填.12+-a a
解：（1）322)(b
a a
b b a ab b a ⋅-=- （2）)
1(1112232+-+=+++a a a a a a 例3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
（2）中分子、分母中各项系数(5
12.0=)是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.
解：（1）法1：原式50
)02.05.0(50)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y x y x -+=
251510
法2：原式100
)02.05.0(100)3.02.0(⨯-⨯+=y x y x y x y x y x y x -+=-+=
2515102503020 （2）原式y
x y x y x y x 4015301260)3
241(60)2151(--=⨯-⨯-= 说明 在将分式的分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时，要遍乘分子分母的每一项，防止漏乘.
例4 分析 （1）式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.
（2）式中分母需要变号，分子不需要变号，所以需要同时改变分母和分式本身的符号.
解：（1）32211a a a a -+--)1()1(322a a a a -+----=1
1232---+=a a a a （2）2332-+-+x x x )23(32-+--+=x x x 2
332+-+=x x x 例5 分析 在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
解：当0=x 时，5
353=++bx ax 1=x 时，5
353++=++b a bx ax ∵不论x 取什么实数，5
3++bx ax 是一个定值 ∴5
353=++b a ，∴153155+==a a ∵b a 35= ∴b a 5
3= 把b a 5
3=代入原式，得 5
35)5(53535353=++=++=++bx bx bx bx bx ax
∴a 、b 的关系为b a 35=；定值为53 例6 解：设圆台的压力为G 牛顿，下底面积为1S 2米，上底面积为2S 2米. 则1
S G P =,214S S = ∴214PS PS G ==
∴当圆台倒放时，桌面受到的压强为：
P S P S S G 442
22==(牛顿/2米) 答：桌面受到的压强为P 4牛/2米.
说明 运用分式知识，有助于解决物理中问题
（1）n m 25-； （2）a
b -4； （3）y x x ---63； （4）b a b a 32+-+． 例7 分析 根据“分式的变号法则：分子、分母、分式的符号中，同时改变其中任意两个，分式的值不变”．
解：（1）同时改变分子和分式的符号，得
n
m n m 2525-=-； （2）同时改变分母和分式的符号，得
a b a b 44-=-； （3）先确定是分母的符号，再变号，得
()y
x x y x x y x x +=+--=---636363； （4）先确定是分子的符号，然后变号，得
()b
a b a b a b a b a b a +--=+--=++-323232． 说明 1．分式中的分数线实际上起到了括号的作用．如果分式的分子或分母是多项式，要把它看成是一个整体，考虑这个整体的符号，如（3），（4）题，千万不可误解成y x x y x x -=---6363或b
a b a b a b a +--=++-3232；
2．对于（4）题，也可处理成b a a b b a b a +-=++-2332的形式． 例8 分析 此分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．
解：y x y x y x y x y x y x 1215101530522
13031214.05.03121-+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+． 说明 1．利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理，提供了便利条件．
2．操作过程中，用数30的确定是问题的关键所在．因此不仅要考虑到分子、分母，还要考虑分式，使化成整系数一次到位．
例9 分析 约分变形的前提是分子、分母有公因式．
解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．
（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式a ”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里232x x -与2-x 是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：
()()222222223--+-=--+-x x x x x x x x ()()
121222+=-++-=x x x x （4）此题是约分变形．因此分母化成()()b a b a -+-的形式，与分子约去公因式b a -可得．
说明 1．对于代数式的恒等变形形式多样，但每一种变形却是运用定义、定理，并根据法则规范操作，而绝不能随心所欲；
2．对（1）、（2）、（3）题的变形错误，实际上也可以举反例说明．如（1）题：当2=a ，3=b 时，3
11322+≠+．（2）、（3）题同理．
例10 分析 化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍然要先分解因式．
解： （1）2222323151533453b
a b b a a b a b a b a -=⋅⋅-=-； （2）()()
()b a a b a a b b a a 2442448216222224-=+-+=+-； （3）()()
()()()()()()()()13212136233222
2-=+----+=-+-+-+x x x x x x x x x x x x x x x x ． 说明 1．当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是首先要进行的．
2．约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件．
3．把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情
况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式b
a 242-已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．。