磁介质中的安培环路定律-
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真空状态下和磁介质下安培环路定理
真空状态下和磁介质下安培环路定理1.引言1.1 概述概述部分将对在本文中将要探讨的主题进行简要介绍，并提供一些背景信息。
本文将重点讨论真空状态下和磁介质下的安培环路定理。
安培环路定理是电磁学领域中一个非常重要的定律，它描述了电流在封闭回路中产生的磁场。
这一定律是由法国物理学家安培在19世纪早期提出的，并长期以来一直被广泛应用于电磁学的研究和工程实践中。
在真空状态下，安培环路定理建立了电流和磁场之间的关系。
它表明在任意闭合路径上，通过该路径的磁感应强度的积分等于该路径上所包围的电流的总和乘以真空中的磁导率。
这一定律提供了一种计算磁场分布的重要方法，并被广泛用于电磁设备的设计和电磁场分析中。
然而，当介质被引入到磁场中时，情况变得更加复杂。
磁介质是指具有一定的磁性和导磁性的材料，如铁、镍等。
磁介质的引入会改变磁场的分布，并影响安培环路定理的应用。
因此，本文还将重点讨论磁介质下的安培环路定理及其应用。
通过研究真空状态下和磁介质下的安培环路定理，我们可以更好地理解电流和磁场之间的关系，进一步揭示电磁学的基本原理和规律。
同时，掌握这些理论知识也对于解决电磁学相关问题和开发更高效的电磁设备具有重要意义。
在本文的后续章节中，我们将详细介绍安培环路定理的概念、原理和应用，并探讨真空状态下和磁介质下的安培环路定理的区别和应用场景。
最后，我们将对安培环路定理的重要性和应用前景进行总结和展望。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：在本篇文章中，我们将重点讨论真空状态下和磁介质下的安培环路定理。
首先，我们将在引言部分对文章的背景和目的进行概述。
接下来的章节中，我们将详细介绍真空状态下的安培环路定理和磁介质下的安培环路定理。
在真空状态下的安培环路定理部分，我们将解释该定理的概念和原理，并讨论其在真空中的应用。
我们将探讨如何应用安培环路定理来计算真空中的电流和磁场之间的关系，以及如何利用该定理解决相关实际问题。
3磁介质中的安培环路定理
单位: T m A-1
在均匀的磁介质
B
（非铁磁质）中
M
磁场强度与磁感
H
应强度成正比，
Is
同向。
Ic
§3.磁介质中安培环路定理 / 三、几个结论
4.结论4
磁介质（非铁磁介质）中，磁化强度 与磁场强度具有线性关系。
M
κ m
H
κ 为磁化率。 m
电介质中 P κ 0E
5.结论5
相对磁导率与磁化率之间的关系
§3.磁介质中安培环路定理 / 二、环路定理
H B M
0
H dl Ic
②. H 既与磁感应强度 B 有关，又与磁化
强度 M 有关，所以 H 又是混合物理量。
③.磁场强度的单位与 M 相同，
安培/米，A/m
④.若 H d l 0 不一定环路上各点的
H 为 0，因为 H 是环路内、外电流共同 产生的。
R
由螺线管的磁场
r
B
分布可知，管内 的场各处均匀一
H
致，管外的场为0；
I
§3.磁介质中安培环路定理 / 四、解题方法
1.介质内部
作 abcda 矩形回路，回 路内的传导电 流代数和为：
B
a
b
H
d
cI
I c n ab I 在环路上应用介质中的环路定理：
H dl
H dl H dl H dl H dl
第三节
磁介质中的 安培环路定理
一、问题的提出
在真空中的安培环路定理中：
B dl 0 I
将其应用在磁介质中时，I为所有电流的
代数和；
B dl 0 (I c I s )
如果求 B
B = Bo + B’
在均匀的磁介质
B
（非铁磁质）中
M
磁场强度与磁感
H
应强度成正比，
Is
同向。
Ic
§3.磁介质中安培环路定理 / 三、几个结论
4.结论4
磁介质（非铁磁介质）中，磁化强度 与磁场强度具有线性关系。
M
κ m
H
κ 为磁化率。 m
电介质中 P κ 0E
5.结论5
相对磁导率与磁化率之间的关系
§3.磁介质中安培环路定理 / 二、环路定理
H B M
0
H dl Ic
②. H 既与磁感应强度 B 有关，又与磁化
强度 M 有关，所以 H 又是混合物理量。
③.磁场强度的单位与 M 相同，
安培/米，A/m
④.若 H d l 0 不一定环路上各点的
H 为 0，因为 H 是环路内、外电流共同 产生的。
R
由螺线管的磁场
r
B
分布可知，管内 的场各处均匀一
H
致，管外的场为0；
I
§3.磁介质中安培环路定理 / 四、解题方法
1.介质内部
作 abcda 矩形回路，回 路内的传导电 流代数和为：
B
a
b
H
d
cI
I c n ab I 在环路上应用介质中的环路定理：
H dl
H dl H dl H dl H dl
第三节
磁介质中的 安培环路定理
一、问题的提出
在真空中的安培环路定理中：
B dl 0 I
将其应用在磁介质中时，I为所有电流的
代数和；
B dl 0 (I c I s )
如果求 B
B = Bo + B’
磁介质中的安培环路定理
L
L
B M dl I L 0 B M 定义“磁场强度” H
L
M dl I s
o
1
磁化率
实验指出： M m H
均匀的各向同性的磁介质
系数m称为“磁化率”。
H
B
解：
L
H dl I
ab H n ab I
则：H nI
B
a
d
. . .
× × ×
I
b
B o r H nI
c
5
均匀的各向同性的磁介质
2
例题1
一半径为R1的无限长圆柱形直导线，外面包一层半 径为R2，相对磁导率为r 的圆筒形磁介质。通过导 线的电流为I0 。求磁场强度和磁感应强度的分布。 解： 0 r R1 H dl 2π rH
L
r
r
R1
R2
I0
I 2 π r 2 π R1
R1 r R2 r R2
H dl H 2π r I
L
Ir H 2 π R12
B 0 H
0 Ir
2πR12
B 0 H
0 I
2π r
B 0 r H
0 r I
2π r
例题2
有两个半径分别为R1和R2的“无限长”同轴圆筒形 导体，在它们之间充以相对磁导率为μr 的磁介质。 当两圆筒通有相反方向的电流I时，试求磁感强度。 解： d R1 ， B 0 R1 d R2 H dl I
0
M
B
介质中的安培环路定理14.3铁磁质
例1：一无限长螺线管，通以电流I，管内充有相对磁 导率为 r的各向同性的均匀介质，若单位长度线圈 B H ，及面磁化电流密度。 匝数为n，求介质中的 和
解：由于螺线管无限长， 故管外磁场为零，管内 磁场均匀，B 和 H 与管轴线平行
j M (r 1) H (r 1)nI
j ' 0 即磁化电流和传导电流方向相同 顺磁质 r 1 故
r 1 故 j ' 0 即磁化电流和传导电流方向相反 抗磁质
例2：长直单芯电缆的芯是一根 半径为R 的金属导体，它与外壁 之间充满均匀磁介质，电流从芯 流过再沿外壁流回。求介质中磁 场强度及磁感应强度。
（2）铁磁质在没有传导电流存在时也可以有磁性
这种磁性叫做剩磁 （3）一次磁化过程损耗的能量与磁滞回线包围的面 积成正比
三、铁磁质的分类
1 按矫顽力HC分 软磁材料：磁滞回线窄而长，Br , Hc都小；
硬磁材料：磁滞回线较宽，Br , Hc较大；
B
Hc
Hc
B
Hc
H
Hc
H
作变压器的软磁材料
作永久磁铁的硬磁材料
弱磁质的磁化特点：
B
tg
H
(1) 0为一常数, B-H曲线为一直线, 斜率 tg 0
H (2) B-H曲线具有可逆性， B ; H B ; H 0 B 0
2. 铁磁质的磁化曲线 将螺绕环中充满铁磁质: 开始时I=0, H=0, B=0; 然 后增大电流 I H 测B
2 按磁滞回线形状分
B
Br
B
Bs
H
-H c
Br
o
Hc
§7.6.2 磁介质中的安培环路定理
Chapter 7.6. 磁场中的磁介质
L
(
B
0
M ) dl
I0i
( L内 )
令： H
B
0
M
称作磁场强度 ( A·m-1 )
H dl L
I0i
( L内 )
即
H
的安培环路定理。
§7.6 磁介质中的安培环路定理
即沿任一闭合路径磁场
强度的环路积分等于该 闭合路径所包围的自由 电流代数和。
M ?
js M eˆ n
js ?
·9 ·
Chapter 7.6. 磁场中的磁介质
§7.6 磁介质中的安培环路定理
1. H 的安培环路定理：
H L
dl
I0i
( L内 )
2. H、B、M 间的关系：
Mp
m r 0
B,
B
H,
Mp
mH
( The end ) · 10 ·
H dl H 2 r I I
L
H 0
0 I 2 R12
r
( r R1 )
I
I 2 r
(R1 r R2 )
BH
R32 r 2 R32 R22
0 2
I r
(R2 r R3)
0
(r R3)
I
磁介质内：
H
I
2
r
M
p
m H
·4 ·
Chapter 7.6. 磁场中的磁介质
磁介质中的高斯定理和安培环路定理.
B 0(H M ) 0(H mH) 0(1 m)H
在各B向0H同r0H性r H介质r中H10B.rH为m磁相关导对系 率磁：B导 率。0D r电H介0质rHE中
E
在真空 中 r 1, B0 0H
3.明确几点：
①. H 是 一辅助物理量，描述磁场的基本物理量仍然
是 B。H是 为消除磁化电流的影响而引入的，
B 和H 的名字张冠李戴了。
4
②. H 既与磁感应强度B 有关，又与磁化强度M 有
关，所以H 又是混合物理量。
③.磁场强度 的单 位与磁化强度相同，安培/米，A/m
④.若 H dl 0不一定环路内无电流。
或由 I s (r 1)I c
求 Is；
9
例1：长直螺线管半径为 R ，通有电流 I，线圈密度 为 n , 管内插有半径为 r ,相对磁导率为 r 磁介质， 求介质内和管内真空部分的磁感应强度 B 。
解： 由螺线管的磁场分布 可知，管内的场各处均匀
R
r
a Bb
一致，管外的场为0；
H
1.介质内
10
H dl H dl 0
bc
da
因为 cd 段处在真空中，真
a
B ab H b
空中的 M = 0；B = 0 ，
有 H dl 0
d
c d
Ic
cd H dl
H dl
Hdl cos H dl H ab I c
§12.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理
1
一、磁介质中的高斯定理
磁介质放在磁场中，磁介质受到磁场的作用要产
10.2磁介质中的安培环路定理
s
S
B
B
s
B dS ( Bo B ) dS 0
s s
磁介质中的高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量为零
3、磁场强度、磁介质中的安培环路定理
L
B dl 0 ( I 0 I s )
L
M dl I s B dl 0 I 0 0 M dl L L L L L B L ( 0 M ) dl I 0 L
求：环内的磁场强度和磁感应强度
解： H dl H 2r NI L
NI H nI 2r
r
O
B H 0 r H
例2 一无限长载流圆柱体，通有电流I ，设电流 I 均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为μ，柱 外为真空。 求：柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。
pm B0 M M pm B0
分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致， 顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。
B
B B0
B0
抗磁质及其磁化
分子的固有磁矩为零 pm 0
在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩
电子绕核的轨道运动 电子本身自旋
外磁场场作用下产生 附加磁矩
R
B, r
铁磁质的 r不一定是个常数， 它是 H 的函数
B~H r ~ H
H
B
饱和磁感应强度
剩
磁
BS . Br . b
f . HC
a
初始磁 化曲线
矫顽力
HS
.
HC . c O
.
HS
磁滞回线
S
B
B
s
B dS ( Bo B ) dS 0
s s
磁介质中的高斯定理
通过磁场中任一闭合曲面的总磁通量为零
3、磁场强度、磁介质中的安培环路定理
L
B dl 0 ( I 0 I s )
L
M dl I s B dl 0 I 0 0 M dl L L L L L B L ( 0 M ) dl I 0 L
求：环内的磁场强度和磁感应强度
解： H dl H 2r NI L
NI H nI 2r
r
O
B H 0 r H
例2 一无限长载流圆柱体，通有电流I ，设电流 I 均匀分布在整个横截面上。柱体的磁导率为μ，柱 外为真空。 求：柱内外各区域的磁场强度和磁感应强度。
pm B0 M M pm B0
分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致， 顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。
B
B B0
B0
抗磁质及其磁化
分子的固有磁矩为零 pm 0
在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩
电子绕核的轨道运动 电子本身自旋
外磁场场作用下产生 附加磁矩
R
B, r
铁磁质的 r不一定是个常数， 它是 H 的函数
B~H r ~ H
H
B
饱和磁感应强度
剩
磁
BS . Br . b
f . HC
a
初始磁 化曲线
矫顽力
HS
.
HC . c O
.
HS
磁滞回线
§7.7磁介质中的安培环路定理
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
§ 11.2 磁介质中的安培环路定理 § 7.7 磁介质中的安培环路定理
卵磷脂
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
一、磁场强度H的安培环路定理
B dl 0 ( I s
L
( L内)
0
( r R3 )
r
磁介质内： H I 2 r
I
M m H ( 1) I 0 2 r
(解毕)
R3
R2 R1
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
有磁介质时求磁场问题的一般方法：
自由电流(传导电流)I0i 分布
H dl
I 0i )
L
I 0i
r
Is：被L包围的总磁化电流； I0i：被L包围的自由电流；
B
Is＝
m M B r 0
is
L
dI s n Sdl cos is
S
dl
B, M
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
pm dN pm M lim n pm V 0 V dV
( L)
B
L
I0 dl i ) I 0 i ) B dl 0 ( I s M
L
is
L
L
( L内)
( L内)
S
dl
B, M
Chapter 7.
作者：杨茂田
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
§ 11.2 磁介质中的安培环路定理 § 7.7 磁介质中的安培环路定理
卵磷脂
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
一、磁场强度H的安培环路定理
B dl 0 ( I s
L
( L内)
0
( r R3 )
r
磁介质内： H I 2 r
I
M m H ( 1) I 0 2 r
(解毕)
R3
R2 R1
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
有磁介质时求磁场问题的一般方法：
自由电流(传导电流)I0i 分布
H dl
I 0i )
L
I 0i
r
Is：被L包围的总磁化电流； I0i：被L包围的自由电流；
B
Is＝
m M B r 0
is
L
dI s n Sdl cos is
S
dl
B, M
Chapter 7.
作者：杨茂田
§7. 7 磁介质中的安培环路定理
pm dN pm M lim n pm V 0 V dV
( L)
B
L
I0 dl i ) I 0 i ) B dl 0 ( I s M
L
is
L
L
( L内)
( L内)
S
dl
B, M
Chapter 7.
作者：杨茂田
磁介质中的安培环路定理
磁介质中的安培环路定理
安培环路定理是描述电流在一个闭合环路内的磁场强度的定量关系的定理。
在磁介质中，安培环路定理可以表述为：闭合环路内的磁通量等于环路内电流所产生的磁场强度与环路中磁化强度的代数和。
换句话说，如果我们将一个磁介质的闭合环路划分成若干小段，对每一小段进行磁场分析，然后将它们按照一定的方向按顺序排列，就形成了一个完整的安培环路。
在磁介质中，该安培环路的总磁通量等于环路内任意一个小段上的磁场强度与该小段上的磁化强度的代数和。
这个定理主要用于计算磁介质中的磁场分布及其对电路的影响。
对于任意一个闭合环路，我们都可以通过安培环路定理求得环路内的磁通量，再根据法拉第电磁感应定律计算出环路内的感应电动势，从而分析电路中的电磁现象。
总之，安培环路定理是一种描述磁介质中电流与磁场强度之间关系的基本定理，是电磁学研究中不可或缺的重要工具。
12-2磁介质中的安培环路定理磁场强度
三 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
12.7磁介质中的磁场
I
l B d l BC B d l 0 I i
B C
0 ( I总 I s )
A
B0 B
L
r
l
D
传导电流
dl 0 I 0
L内
磁化电流
l
B
r
所以
12.7磁介质中的磁场
例 有两个半径分别为 R 和 r 的“无限长”同 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 r 的 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求 I （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析 r rdR d H dl I
l
2 π dH I
B H
H
I
0rI
2π d
2π d
I
R
r
三 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
12.7磁介质中的磁场
rdR
I
B
0rI
2π d
r
d R
H dl I I 0
l
d
I
2 π dH 0 ,
H 0
R
B H 0
同理可求 d r ,
r
B0
B
r
0
dl
I
L内
0
三 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
12.7磁介质中的磁场
定义
磁场强度 H
B
0r
B
磁介质中的安培环路定理
H dl
12.7磁介质中的磁场
I
l B d l BC B d l 0 I i
B C
0 ( I总 I s )
A
B0 B
L
r
l
D
传导电流
dl 0 I 0
L内
磁化电流
l
B
r
所以
12.7磁介质中的磁场
例 有两个半径分别为 R 和 r 的“无限长”同 轴圆筒形导体，在它们之间充以相对磁导率为 r 的 磁介质.当两圆筒通有相反方向的电流 时，试 求 I （1）磁介质中任意点 P 的磁感应强度的 大小;（2）圆柱体外面一点 Q 的 磁感强度. I 解 对称性分析 r rdR d H dl I
l
2 π dH I
B H
H
I
0rI
2π d
2π d
I
R
r
三 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
12.7磁介质中的磁场
rdR
I
B
0rI
2π d
r
d R
H dl I I 0
l
d
I
2 π dH 0 ,
H 0
R
B H 0
同理可求 d r ,
r
B0
B
r
0
dl
I
L内
0
三 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
12.7磁介质中的磁场
定义
磁场强度 H
B
0r
B
磁介质中的安培环路定理
H dl
12-2 磁介质中的安培环路定理
§12-2 磁介质中的安培环路定理
一、 安培环路定理
在磁介质中,安培环路定理应写为 式中, Io内和 I´内分别是闭合路径l所包围的传导电 流和磁化电流的代数和。 由于:
l
I ) ( I B dl 内 o o 内
l
M dl I
l
内
(
B
o
M ) dl I o内
a
H
P
•
B b
c
L H dr ab H dr Hl
环路定理
d
l
nlI
B H 0 r nI
H nI
dI d r 1 H j M d r M dr dr
I I o·a · c ·b
I c I b
a
上页
下页
解 由安培环路定理:
H dl I
l
o内
I
o内
2r I H dl H· I 及 B= H H
l
o内
r<a:
I 2 r 2 Ir a H= 2 2 a 2r o Ir B o H 2 2a
在国际单位制中,磁场强度的单位为安/米(A/m)。
上页 下页
例1 一根长直同轴线由半径 a的长导 线和套在它外面的内半径为b、外半 径为c的同轴导体圆筒组成。中间充 满磁导率为的各向同性均匀非铁磁 绝缘材料,如图所示。由圆筒向下流 回,设电流在截面上都是均匀分布的。 求同轴线内外的磁场强度H和磁感应 强度B的分布。
2r
I r I o· · a r· c b
r c:H
一、 安培环路定理
在磁介质中,安培环路定理应写为 式中, Io内和 I´内分别是闭合路径l所包围的传导电 流和磁化电流的代数和。 由于:
l
I ) ( I B dl 内 o o 内
l
M dl I
l
内
(
B
o
M ) dl I o内
a
H
P
•
B b
c
L H dr ab H dr Hl
环路定理
d
l
nlI
B H 0 r nI
H nI
dI d r 1 H j M d r M dr dr
I I o·a · c ·b
I c I b
a
上页
下页
解 由安培环路定理:
H dl I
l
o内
I
o内
2r I H dl H· I 及 B= H H
l
o内
r<a:
I 2 r 2 Ir a H= 2 2 a 2r o Ir B o H 2 2a
在国际单位制中,磁场强度的单位为安/米(A/m)。
上页 下页
例1 一根长直同轴线由半径 a的长导 线和套在它外面的内半径为b、外半 径为c的同轴导体圆筒组成。中间充 满磁导率为的各向同性均匀非铁磁 绝缘材料,如图所示。由圆筒向下流 回,设电流在截面上都是均匀分布的。 求同轴线内外的磁场强度H和磁感应 强度B的分布。
2r
I r I o· · a r· c b
r c:H
磁介质中的安培环路定理
产生磁场：
I
Bdl o I o I
有磁介质
B
C
的总场 传导电流 分布电流
分子磁矩 m I 'π r 2
A LD
n（单位体积分子磁矩数）
I n π r2LI ' nmL
M m nm
V
I ML BC M dl
I'
r
Cr
l M dl l B dl 0 ( I l M dl )
第二节 磁介质中的安培环路定理 磁场强度
一、有介质时的高斯定理
介质中的磁感应强度：
B B外 B
无论是什么电流激发的磁场，其磁力线均是无头
无尾的闭合曲线。
∴ 通过磁场中任意闭合曲面的磁通量为零。
即： BdS 0
二、有介质时的安培环路定理
在有介质的空间，传导电流与磁化电流共同
例：长直螺线管ห้องสมุดไป่ตู้充满均匀磁介质r单位长度上
的匝数为n，通有电流I 。求管内的磁感应强度。
解：管外磁场为零，取图示的回路
L H dl Ii
L
ab H n ab I
B
I
...
则：H nI
B or H nI
B
a
b
× × × ×M
d c nˆ
相对磁导率 r 1 磁 导 率 0r
1 顺磁质
r 1 抗磁质
1 铁磁质
（非常数）
各向同性磁介质
B 0r H H
H和 B的区别： B是描述磁场作为物质与其它物质交换动量的物理量；
H是描述磁场能量传输的物理量；
磁介质中安培环路定理
5）求出Fx Fx dF sin
b I2
力的方向向右
(1)Fx
dF sin
0
0I1I2 sin Rd 0 2R sin
0I1I2
2
(2)Fx
2
dF sin
0
2 0I1I2 sin Rd 0 2R sin
0I1I2
AB C
dFA
3106 N / cm
___________,
dFB
_____0_______,
dl
dl
dFC _3__1_0__6_N__/_c_m.
dl
(0 4 107 )
IA
IB
IC
dFA I ABAdl
BA
BAB
BCA
0IB 2d
0IC 2 2d
dd
dFA 30I 2 dl 4d
4) r>c
I I I 0
B0
例7 一无限长圆柱形铜导体（磁导率0），半径为R， 通有均匀分布的电流I，导体外充满相对磁导率r的磁
介质。今有一矩形平面S（长1m，宽2R），位置如右 图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量.
解：
r
R
:
B1
0 Ir 2R 2
r
R
:
B2
0r I 2r
2R R 2R
0I 0I 30 I
H dl
I I 3I
例4 如图，电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R的薄 球壳外表面上，若球壳以恒角速度 0绕Z轴转动，则 沿着Z轴从-到+ 磁感应强度的线积分
q00
B dl ___2___
B dl
B dl
L
b I2
力的方向向右
(1)Fx
dF sin
0
0I1I2 sin Rd 0 2R sin
0I1I2
2
(2)Fx
2
dF sin
0
2 0I1I2 sin Rd 0 2R sin
0I1I2
AB C
dFA
3106 N / cm
___________,
dFB
_____0_______,
dl
dl
dFC _3__1_0__6_N__/_c_m.
dl
(0 4 107 )
IA
IB
IC
dFA I ABAdl
BA
BAB
BCA
0IB 2d
0IC 2 2d
dd
dFA 30I 2 dl 4d
4) r>c
I I I 0
B0
例7 一无限长圆柱形铜导体（磁导率0），半径为R， 通有均匀分布的电流I，导体外充满相对磁导率r的磁
介质。今有一矩形平面S（长1m，宽2R），位置如右 图中画斜线部分所示，求通过该矩形平面的磁通量.
解：
r
R
:
B1
0 Ir 2R 2
r
R
:
B2
0r I 2r
2R R 2R
0I 0I 30 I
H dl
I I 3I
例4 如图，电荷q (>0)均匀地分布在一个半径为R的薄 球壳外表面上，若球壳以恒角速度 0绕Z轴转动，则 沿着Z轴从-到+ 磁感应强度的线积分
q00
B dl ___2___
B dl
B dl
L
二磁介质中的安培环路定理传导电流磁化电流
第 15 章
磁介质
(Magnetism medium)
(4)
1
§15-1 磁介质的分类
1.磁介质的种类
在考虑物质与磁场的相互影响时,我们把所有的物 质都称为磁介质。
电场中，电介质极化后，在均匀电介质表面出现 极化电荷，于是电介质中的电场为
与此类似E，磁Eo场中E， 磁E介ro 质磁化后，在均匀磁介
en
M
a
b
l
图15-6
M dl Mab Jab I内 (15-5) l Jab 闭合路径l所包围的磁化电流的代数和
可见，磁化强度的环流(磁化强度沿闭合路径l的线 积分)等于该闭合路径l所包围的磁化电流的代数和。
11
§15 -3 磁介质中的磁场 磁场强度 一.磁介质中的磁场
顺磁质分子的固有磁矩pm虽不为零,但由于分子 的热运动,分子磁矩取每一个方向的概率是一样的, 因
此对一块顺磁质来说,分子磁矩的矢量和为零,故也不
显磁性。
4
电子进动与附加磁矩
在外磁场Bo作用下, 分子中的电子受到洛仑兹 力的作用,除了绕核运动和自旋外,还要附加一个以外 磁场方向为轴线的转动,从而形成进动。
图15-5
JLS=| pmi| =磁介质中分子磁矩的矢量和
按磁化强度的定义 ，有
M
pmi J
V
(15-3)
即磁化电流面密度J 等于磁化强度M的大小 。
10
一般情况下, J=M可 写成下面的矢量式:
J M en (15-4)
取如图15-6所示的 矩形闭合路径l, 则磁化 强度的环流为
B=Bo+B =rBo (15-1)
传导 磁化 电流 电流
二.磁介质中的安培环路定理
磁介质
(Magnetism medium)
(4)
1
§15-1 磁介质的分类
1.磁介质的种类
在考虑物质与磁场的相互影响时,我们把所有的物 质都称为磁介质。
电场中，电介质极化后，在均匀电介质表面出现 极化电荷，于是电介质中的电场为
与此类似E，磁Eo场中E， 磁E介ro 质磁化后，在均匀磁介
en
M
a
b
l
图15-6
M dl Mab Jab I内 (15-5) l Jab 闭合路径l所包围的磁化电流的代数和
可见，磁化强度的环流(磁化强度沿闭合路径l的线 积分)等于该闭合路径l所包围的磁化电流的代数和。
11
§15 -3 磁介质中的磁场 磁场强度 一.磁介质中的磁场
顺磁质分子的固有磁矩pm虽不为零,但由于分子 的热运动,分子磁矩取每一个方向的概率是一样的, 因
此对一块顺磁质来说,分子磁矩的矢量和为零,故也不
显磁性。
4
电子进动与附加磁矩
在外磁场Bo作用下, 分子中的电子受到洛仑兹 力的作用,除了绕核运动和自旋外,还要附加一个以外 磁场方向为轴线的转动,从而形成进动。
图15-5
JLS=| pmi| =磁介质中分子磁矩的矢量和
按磁化强度的定义 ，有
M
pmi J
V
(15-3)
即磁化电流面密度J 等于磁化强度M的大小 。
10
一般情况下, J=M可 写成下面的矢量式:
J M en (15-4)
取如图15-6所示的 矩形闭合路径l, 则磁化 强度的环流为
B=Bo+B =rBo (15-1)
传导 磁化 电流 电流
二.磁介质中的安培环路定理
12-2 磁介质中的安培环路定理
0
即
H 0
或
B0
例2 在均匀密绕的螺绕环内充满均匀的顺磁介质， 已知螺绕环中的传导电流为 I ，单位长度内匝数 n ， 环的横截面半径比环的平均半径小得多，磁介质的 相对磁导率和磁导率分别为 和 r 。求环内的磁 场强度和磁感应强度。
解：在环内任取一点， 过该点作一和环同心、 半径为 r 的圆形回路。
B H M o
通常写成
B 0 ( H M )
M mH
实验证明： 各向同性磁介质
m
只与介质的性质有关称为磁介质的磁化率
M mH
代入
如果介质是均匀介质 如果介质是不均匀的 位置的函数
m m
是常数 是空间
B 0 ( H M )
r
H d l NI
式中 N为螺绕环上线圈的总匝数。由对称性可 知，在所取圆形回路上各点的磁感应强度的大小相 等，方向都沿切线。
H d l NI
H 2r NI
NI H nI 2r
r
当环内是真空时 B0 0 H 当环内充满均匀介质时 B H 0 r H B r B0
12-2 磁场强度
磁介质中的安培环路定理
一.有磁介质时的安培环路定理 无磁介质时的磁场安培环路定理
L
B0 dl 0
（L内）
I
穿过回路 的总电流
0
有磁介质时的磁场安培环路定理
B dl 0 ( I i I S )
L
穿过回路 的总电流
注意！这里 B 是导线中的传导电流激发的磁场和
r 1 r 1 r >>1
顺磁质 抗磁质 铁磁质
即
H 0
或
B0
例2 在均匀密绕的螺绕环内充满均匀的顺磁介质， 已知螺绕环中的传导电流为 I ，单位长度内匝数 n ， 环的横截面半径比环的平均半径小得多，磁介质的 相对磁导率和磁导率分别为 和 r 。求环内的磁 场强度和磁感应强度。
解：在环内任取一点， 过该点作一和环同心、 半径为 r 的圆形回路。
B H M o
通常写成
B 0 ( H M )
M mH
实验证明： 各向同性磁介质
m
只与介质的性质有关称为磁介质的磁化率
M mH
代入
如果介质是均匀介质 如果介质是不均匀的 位置的函数
m m
是常数 是空间
B 0 ( H M )
r
H d l NI
式中 N为螺绕环上线圈的总匝数。由对称性可 知，在所取圆形回路上各点的磁感应强度的大小相 等，方向都沿切线。
H d l NI
H 2r NI
NI H nI 2r
r
当环内是真空时 B0 0 H 当环内充满均匀介质时 B H 0 r H B r B0
12-2 磁场强度
磁介质中的安培环路定理
一.有磁介质时的安培环路定理 无磁介质时的磁场安培环路定理
L
B0 dl 0
（L内）
I
穿过回路 的总电流
0
有磁介质时的磁场安培环路定理
B dl 0 ( I i I S )
L
穿过回路 的总电流
注意！这里 B 是导线中的传导电流激发的磁场和
r 1 r 1 r >>1
顺磁质 抗磁质 铁磁质
物理学下磁介质中的安培环路定理
未来研究方向和挑战
复杂磁场下的安培环路定理研究
在实际应用中，磁场往往是非常复杂的，如何准确描述和 计算复杂磁场下的安培环路定理是一个重要的研究方向。
磁化电流的精确测量和控制
磁化电流是磁介质磁化程度的量度，如何精确测量和控制 磁化电流对于理解和应用安培环路定理具有重要意义。
新型磁材料的开发和应用
随着科技的发展，新型磁材料不断涌现，如何将这些新型磁材料应用 于安培环路定理中，发挥其独特优势，是一个具有挑战性的课题。
磁介质性质
磁介质具有磁化性，即在外磁场 作用下，磁介质内部会产生附加 磁场，使原磁场发生变化。
磁化现象与磁化强度
磁化现象
磁介质在外磁场作用下，其内部磁偶 极子会重新排列，产生附加磁场，这 种现象称为磁化。
磁化强度
磁化强度是描述磁介质磁化程度的物 理量，表示单位体积内磁偶极子的磁 矩矢量和。
分类及特点分析
磁感应强度B描述了磁场对磁介质的作用力大小，而磁场强度H则描述了磁场的源强 度。
边界条件对磁场分布影响分析
在两种不同磁介质的分界面上， 磁场的切向分量连续，即磁场线
与分界面平行。
磁场的法向分量在分界面两侧会 发生跃变，跃变的大小与两种磁
介质的磁导率差异有关。
边界条件对磁场分布的影响可以 通过麦克斯韦方程组中的边界条
变压器工作原理简述
变压器基本结构
由铁芯和线圈组成，通过电磁感应实 现电压变换。
工作原理
当原线圈中通入交流电时，会在铁芯 中产生交变磁场，进而在副线圈中感 应出电动势。安培环路定理可用于分 析变压器中的磁场分布和漏磁现象。
其他电磁设备设计优化方向
电磁铁
利用安培环路定理分析电磁铁 的磁场分布和吸力特性，优化
8-8 有磁介质时的安培环路定理磁场强度
磁化电流
B
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磁化电流 B
磁化面电流
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下面以顺磁质为例，讨论磁化电流的形成。
B0
一块顺磁质放到外磁场中时,它的分子的固有磁 矩要沿着磁场方向取向,如图所示。
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pm
Bo
磁化电流
考虑和这些磁矩相对应的分子电流,可以发现： 在均匀磁介质内部，各处电流的方向总是有相反 的,结果相互抵消。只有在横截面边缘处，分子 电流未被抵消,形成与横截面边缘重合的一层圆 电流。这种电流叫做磁化电流。
H
dl
H
2r1 0
dl
I
H I
2r1 B＝H I
2r1
（2）设在圆柱体内一点
到轴的垂直距离是r2，则 磁导
以r2为半径作一圆，根据
率
安培环路定理有
R1 R2
r3
r2 r1
H
d
l
H
2r2
0
dl
H
2r2＝I
r 2 2
R2
＝I
r2 2
R2
I
II
1
1
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H＝ Ir2
2R
2
L B0 dl
0 I0
（L内）
有磁介质时 B dl 0 ( I Is )
I
s
M dl
或
B
(dlB0M0 () dIlM
I
d
l
)
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定义磁场强度：
H
B
M
B
( 0
0
M ) dl
I
则 H dl I
有磁介质时的 安培环路定理
B
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磁化电流 B
磁化面电流
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下面以顺磁质为例，讨论磁化电流的形成。
B0
一块顺磁质放到外磁场中时,它的分子的固有磁 矩要沿着磁场方向取向,如图所示。
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pm
Bo
磁化电流
考虑和这些磁矩相对应的分子电流,可以发现： 在均匀磁介质内部，各处电流的方向总是有相反 的,结果相互抵消。只有在横截面边缘处，分子 电流未被抵消,形成与横截面边缘重合的一层圆 电流。这种电流叫做磁化电流。
H
dl
H
2r1 0
dl
I
H I
2r1 B＝H I
2r1
（2）设在圆柱体内一点
到轴的垂直距离是r2，则 磁导
以r2为半径作一圆，根据
率
安培环路定理有
R1 R2
r3
r2 r1
H
d
l
H
2r2
0
dl
H
2r2＝I
r 2 2
R2
＝I
r2 2
R2
I
II
1
1
上页 下页 返回 退出
H＝ Ir2
2R
2
L B0 dl
0 I0
（L内）
有磁介质时 B dl 0 ( I Is )
I
s
M dl
或
B
(dlB0M0 () dIlM
I
d
l
)
上页 下页 返回 退出
定义磁场强度：
H
B
M
B
( 0
0
M ) dl
I
则 H dl I
有磁介质时的 安培环路定理
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第九章
稳恒磁场习题课
一 基本要求
1. 掌握毕奥—萨伐尔定律， 并会用该定律计算载流导 体的磁场
2. 掌握用安培环路定理计算磁场强度的 条件和方法 3. 掌握安培定律和洛仑兹力公式，会计 算简单形状截流导体的磁力 4. 理解磁介质中的安培环路定理，理解 磁场强度的概念
二.基本内容
1.毕奥—萨伐尔定律 真空中电流元 在径 Id l 矢 r 处的磁感应强度 Id l 0 Idl er dB er r 2 4 r 方向的确定：Idl er 由磁场叠加原理得稳恒截流导体的磁场 0 Idl er B dB 2 4 r
I
I
L4
L4
2 如图，两个完全相同的回 路 L1 和 L2 ，回路内包围有无 限长直电流 I1 和 I 2 ，但在图 (b) 中L2外又有一无限长直电流 I 3，图中 p1 和 p2是回路上两位置相同的点，请判断
L1 L2
I3
I1
p1
I2
I1
I2
p2
(a)
(b)
L1
L2
I3
p1 p1
I1
I2
p2 p2
2
2 32
载流长直螺旋管轴线上的磁场 B 0 nI
2. 描述稳恒磁场的两条基本定律
（1）磁场的高斯定理
（2）安培环路定理
L i 1
磁场是无源场 B d s 0
s
L
I1
I2
n B d l I 0 i
I3
用安培环路定理计算磁场的条件和方法 I i 正负的确定：规定回路环形方向，由 右手螺旋法则定出
四 计算 1 半径 R 1.0cm 的无限长半圆柱面，有 电流 I1 50 A方向图示，求：（ 1 ）圆 柱 轴上一点的 B ，（2）若有一无限长 载流直导线 I 2 50 A 置于该轴线上，其
单位长度受磁力为多大？ 解：（1）选图示坐标系 将圆柱面看成由许多与 轴平行的无限长直导线组成， 今取位于 （即弧长 为 内的直导线
I4
3 磁场对运动电荷，载流 导线和载流线圈的作用 （1）磁场对运动电荷的作 用力
洛仑兹力：F qV B
安培定律：dF Idl B F dF Idl B
（2）磁场对载流导线的作用力
（3）均匀磁场对载流线圈 的磁力矩
B方向：
b
x
a
Ａ，Ｂ导线处于相同的 磁场 B中，则
方向：垂直导线，与 直导线相吸
I1
A
I2
Idl
dF
BＣ导线（处于 不均匀磁场中），则
o B b x
a
x C
方向：垂直于CB向下
AC导线处于不均匀磁场中
由dF Idl B得
方向：图示
dx 因为 dl o cos 45
向，且与线圈电流成右手螺旋关系 磁力矩总是要使线圈转到它的 en 的 方向与磁场方向相一致的位置(M m B 0)
M m B 其中 m Isen， en为线圈平面法线方
4 磁介质中的安培环路定律
n H d l I H i L i 1
几种典型的电流磁场大小 长直截流导线外的磁场 0 I B (cos 1 cos 2 ) 4r0 0 I 半无限长截流直导线外的磁场 B
4r 0 I 无限长截流直导线外的磁场 B 2r 2 0 R I
圆形截流导线轴线上的磁场 B
2( R x ) I 0 圆形截流导线圆心处的磁场 B 2R
其相应的电流
圆形电流在 点的磁场
（2）圆电流
的磁矩
4.长直圆柱形铜导线半径为 , 外面这一 层相对磁导率为 的圆桶形磁介质外半 径 为 ，设导线内有均匀分布电流 通 过，铜的相对磁导率 ，求导线和 磁介质内外的磁场强度 和磁感应强度 的分布
I1
I2
(a) ( A) B dl
( B ) B dl (C ) B dl ( D ) B dl
L1 L1 L1
L1
L2
(b) B dl ，且B p1 B p2
L2
B dl ，且B p1 B p2 B dl ，且B p1 B p2 B dl ，且B p1 B p2
B
0
M
B
0 r
B
三 讨论题
1 通以电流 I 的线圈如图所 示，在图中有四条闭合曲 线，则其环流分别为
L1
B dl
0 I
0
L1
L3
L2
L2
B dl 2
I
L3
B dl B dl
2 0 I 2 0 I
I1
A
I2
dl dF
Idl
o B b x
a
x C
方向： AC
3 有一长为 ，电荷线密度 为 的带电线段 ，绕垂 直轴 在水平面内匀角速 转动，如图，设 点距轴为 ，角速度 求带电线段在 点产生的磁感强度和磁矩
解：分析 运动电荷（电 流）激发磁场的计算
（1）取图示坐标 在线段上取一电荷 元
其电流为：
其在o点的磁场大小为：
方向：图示 整个半圆柱面电流 对 O 的磁场，由叠加求 出
由于电流分布的对称， O点 矢量 B 在 x 方向分矢 量之和等于零
方向：沿oy正方向
（2）轴线上，单位长度载 流导线受力
方向：沿轴 ox 正方向
( 方向垂直纸面向里）
2.图示一通以电流 I1的无 限长直导线一侧放置一通 有电流 I 2的等腰直角三角 形线圈，且与直导线共面，已知一直角 边与导线平行，相距为b，直角边长为a， 求线圈中各导线受力 A I1 d F 解：用安培定律 I2 Idl 分别计算各导线 x o B C 受力，dF Idl B
答案：
(c)
L2
L2
3 边长为 a 的等边三角形载流线圈， 通以电流 I ，位 于均匀磁场 B 中，若以oo'
为轴线圈受到的磁力矩如何？
M m B
o
I
o
B
1 M mB sin I ( ha ) B 2 3 2 a IB ( ) 4 2 方向：沿oo轴向下
稳恒磁场习题课
一 基本要求
1. 掌握毕奥—萨伐尔定律， 并会用该定律计算载流导 体的磁场
2. 掌握用安培环路定理计算磁场强度的 条件和方法 3. 掌握安培定律和洛仑兹力公式，会计 算简单形状截流导体的磁力 4. 理解磁介质中的安培环路定理，理解 磁场强度的概念
二.基本内容
1.毕奥—萨伐尔定律 真空中电流元 在径 Id l 矢 r 处的磁感应强度 Id l 0 Idl er dB er r 2 4 r 方向的确定：Idl er 由磁场叠加原理得稳恒截流导体的磁场 0 Idl er B dB 2 4 r
I
I
L4
L4
2 如图，两个完全相同的回 路 L1 和 L2 ，回路内包围有无 限长直电流 I1 和 I 2 ，但在图 (b) 中L2外又有一无限长直电流 I 3，图中 p1 和 p2是回路上两位置相同的点，请判断
L1 L2
I3
I1
p1
I2
I1
I2
p2
(a)
(b)
L1
L2
I3
p1 p1
I1
I2
p2 p2
2
2 32
载流长直螺旋管轴线上的磁场 B 0 nI
2. 描述稳恒磁场的两条基本定律
（1）磁场的高斯定理
（2）安培环路定理
L i 1
磁场是无源场 B d s 0
s
L
I1
I2
n B d l I 0 i
I3
用安培环路定理计算磁场的条件和方法 I i 正负的确定：规定回路环形方向，由 右手螺旋法则定出
四 计算 1 半径 R 1.0cm 的无限长半圆柱面，有 电流 I1 50 A方向图示，求：（ 1 ）圆 柱 轴上一点的 B ，（2）若有一无限长 载流直导线 I 2 50 A 置于该轴线上，其
单位长度受磁力为多大？ 解：（1）选图示坐标系 将圆柱面看成由许多与 轴平行的无限长直导线组成， 今取位于 （即弧长 为 内的直导线
I4
3 磁场对运动电荷，载流 导线和载流线圈的作用 （1）磁场对运动电荷的作 用力
洛仑兹力：F qV B
安培定律：dF Idl B F dF Idl B
（2）磁场对载流导线的作用力
（3）均匀磁场对载流线圈 的磁力矩
B方向：
b
x
a
Ａ，Ｂ导线处于相同的 磁场 B中，则
方向：垂直导线，与 直导线相吸
I1
A
I2
Idl
dF
BＣ导线（处于 不均匀磁场中），则
o B b x
a
x C
方向：垂直于CB向下
AC导线处于不均匀磁场中
由dF Idl B得
方向：图示
dx 因为 dl o cos 45
向，且与线圈电流成右手螺旋关系 磁力矩总是要使线圈转到它的 en 的 方向与磁场方向相一致的位置(M m B 0)
M m B 其中 m Isen， en为线圈平面法线方
4 磁介质中的安培环路定律
n H d l I H i L i 1
几种典型的电流磁场大小 长直截流导线外的磁场 0 I B (cos 1 cos 2 ) 4r0 0 I 半无限长截流直导线外的磁场 B
4r 0 I 无限长截流直导线外的磁场 B 2r 2 0 R I
圆形截流导线轴线上的磁场 B
2( R x ) I 0 圆形截流导线圆心处的磁场 B 2R
其相应的电流
圆形电流在 点的磁场
（2）圆电流
的磁矩
4.长直圆柱形铜导线半径为 , 外面这一 层相对磁导率为 的圆桶形磁介质外半 径 为 ，设导线内有均匀分布电流 通 过，铜的相对磁导率 ，求导线和 磁介质内外的磁场强度 和磁感应强度 的分布
I1
I2
(a) ( A) B dl
( B ) B dl (C ) B dl ( D ) B dl
L1 L1 L1
L1
L2
(b) B dl ，且B p1 B p2
L2
B dl ，且B p1 B p2 B dl ，且B p1 B p2 B dl ，且B p1 B p2
B
0
M
B
0 r
B
三 讨论题
1 通以电流 I 的线圈如图所 示，在图中有四条闭合曲 线，则其环流分别为
L1
B dl
0 I
0
L1
L3
L2
L2
B dl 2
I
L3
B dl B dl
2 0 I 2 0 I
I1
A
I2
dl dF
Idl
o B b x
a
x C
方向： AC
3 有一长为 ，电荷线密度 为 的带电线段 ，绕垂 直轴 在水平面内匀角速 转动，如图，设 点距轴为 ，角速度 求带电线段在 点产生的磁感强度和磁矩
解：分析 运动电荷（电 流）激发磁场的计算
（1）取图示坐标 在线段上取一电荷 元
其电流为：
其在o点的磁场大小为：
方向：图示 整个半圆柱面电流 对 O 的磁场，由叠加求 出
由于电流分布的对称， O点 矢量 B 在 x 方向分矢 量之和等于零
方向：沿oy正方向
（2）轴线上，单位长度载 流导线受力
方向：沿轴 ox 正方向
( 方向垂直纸面向里）
2.图示一通以电流 I1的无 限长直导线一侧放置一通 有电流 I 2的等腰直角三角 形线圈，且与直导线共面，已知一直角 边与导线平行，相距为b，直角边长为a， 求线圈中各导线受力 A I1 d F 解：用安培定律 I2 Idl 分别计算各导线 x o B C 受力，dF Idl B
答案：
(c)
L2
L2
3 边长为 a 的等边三角形载流线圈， 通以电流 I ，位 于均匀磁场 B 中，若以oo'
为轴线圈受到的磁力矩如何？
M m B
o
I
o
B
1 M mB sin I ( ha ) B 2 3 2 a IB ( ) 4 2 方向：沿oo轴向下