滤波反投影法

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反投影重建算法

反投影重建算法
反投影重建算法（FBP）是一种计算机断层扫描成像（CT）重建图像
的方法。

该算法基于通过旋转体与X射线束的物理原理，将多个方向
的X射线透射数据进行积分，并使用反投影算法将数据重构成一张图像。

FBP算法分为两个基本部分：投影操作和反投影操作。

投影操作是一
种从图像中提取片段的技术，而反投影操作则是将这些片段重构成图像。

FBP重建算法的本质是一种频域过滤操作，其通过滤波技术提取
图像中的高频信息，并使用反投影技术将其还原为一张二维图像。

反投影重建算法的主要优点是其速度和适应性。

这种算法能够轻松地
生成高质量的图像，并且对于许多不同的应用程序都可以使用不同的
滤波模式。

目前，FBP算法被广泛应用于医学成像、工业检测和材料
科学等领域。

需要注意的是，FBP算法并不是完美的。

由于其基于体积的积分，因
此它可能受到一个“锐角偏差”问题的影响。

锐角偏差问题是指，当
图像中存在锐利的边缘或角落时，算法可能会出现伪影或失真的问题。

为了应对这个问题，一些改进算法被提出，例如金刚簇算法（来自中
国科技大学），基于块的迭代顺序最小化算法和模糊模式匹配算法等。

总之，反投影重建算法是一种实用的成像算法，对于许多不同的领域都具有广泛的适用性。

虽然这种算法具有其局限性，但是通过改进算法可以进一步提高它的可靠性和精度。

滤波反投影法

滤波反投影法：
滤波反投影法根据附件三所给接收信息，采用先修正、后投影重建图像的做法，可得到原始图像的吸收率信息。

其原理为：在得到某一角度下的投影函数（一维函数）后，对此函数做滤波处理，得一修正后的滤波函数，再对修正后的滤波函数做反投影运算，得待检测介质吸收率在正方形托盘中的每一点的分布密度函数。

图1给出了滤波反投影法重建原始图像的流程图。

图1滤波反投影法流程图
反投影法重建原始图像的步骤：
（1）在对应于投影函数的角度下对投影函数做一维Fourier变换；
（2）对（1）得到的变换结果乘以权重因子；
（3）对（2）加权后得到的结果做一维傅立叶；
（4）对（3）所得函数做直接反投影；
（5）改变投影角度，得到180个不同的投影角度，对每一角度，重复上述步骤（1）~（4）。

R-L（Ram-Lak）滤波函数：
此函数的基本条件是二维图像函数的频率是有界的，显然，此题所得附件五的所有数据满足此条件。

故频域中的滤波函数可表示为：
其函数图像如图1.
图1R-L滤波函数图像
连续的R-L卷积函数所得结果为：
离散的R-L卷积函数所得结果为：
根据上述滤波原理，在本题中，对附件五中数据的具体滤波过程可用Matlab内置的Ram-Lak命令实现。

考虑实际投影成像平面位置的扇束滤波反投影（FFBP）算法

Key words: computed tomography, filtered back projection algorithm, projection imaging plane Reconstruction quality
ICT 技术 Industrial Computed Tomography 作为一种融合了射线光电子学精密机械和计算机科学的新型非接触式测试技术以其射线扫描重建得到的被检工件切片衰减系数分布映射图像可对该切片内的结构密度特征尺寸成分变化等物理化学性质进行判读和计量［１－２］
21
J
=
∂x′′ / ∂t′′ ∂φ / ∂t′′
∂x′′ / ∂β = ∂φ / ∂β
DD′2 (D′2 + t′′2 )3
(17)
式(17)带入式(16)有
∫ f
(r,θ
)
=
2π 0
1 U2
P%′e
(t1
,
β
)d
β
18
其中
P%′e (t, β ) = P′e (t, β ) ∗ g(s) 19
P′e (t, β ) = P f (t, β )
3
D
P%e (s, β ) = Pe (s, β ) ∗ g(s)
4
Pe (s, β ) = P f (s, β ) D
5
D2 + s2
g(s) = 1 h(s)
6
2
So
γ′ γ xr
D
xr′
D′
V
V′
s′′ s1 φ
θ
(r,θ)
E
β
t1
o
t′
x
β P

基于2017数学建模的滤波反投影算法应用

Image & Multimedia Technology •图像与多媒体技术Electronic Technology & Software Engineering 电子技术与软件工程• 91【关键词】CT 重构 randon 变换滤波反投影1 CT图像重建原理的知识背景CT 系统基本过程是：平行入射的X 射线垂直于探测器平面发射，形成一个发射-接收CT 系统，每个探测器单元都看做是一个接收点，且间隔距离相等。

计算机断层成像图像重建的过程是按照一定的算法将已经检测到的投影数据进行数学运算，最终得到断层图像。

Radon 变换及其逆变换：物体断层被射线扫描后需要用重建算法计算才能得到CT 图像，图像重建的基础是Radon 变换及其逆变换。

假设每条射线相互平行，对于一个二维平面进行射线检测可得到一条投影数据，该投影数据称为二维平面的一个Radon 变换；如果检测中该平面旋转180度，同时将对应的投影数据进行组合，则得到类似正弦分布形式的图像，从正弦图获取二维平面图像的变换称为Radon 反演。

用公式可分别描述为：，由于matlab 中封装有radon 函数，使用时直接调用函数：R=radon （I ，theta ）。

2 滤波反投影算法radon 函数使用的算法是滤波反投影法，反投影算法因为引入“星”状伪影而导致重建的图像失真，为了消除这个伪影，在进行反投影重建之前将数据修正，最后对修正后的投影数据进行反投影，这样就获得没有伪影的重建图像。

该方法是在空间域中把投影的数据直接反向投射到需要重建的图像中，然后将逐个的反投影图像累加起来。

滤波反投影法基本实现步骤：对数据作一维傅里叶变换→滤波函数：R-L 函数→对滤波后的数据作傅里叶逆变换→反投影求图像函数。

本文简要介绍推导傅里叶变换的过程：令为f 的二维傅里叶变换.单变量函G φ(ω)F(ω cosφ,ω sin φ )为通过φ角的F 切片，并记g φ (p)基于2017数学建模的滤波反投影算法应用文/李春梅为由合成方程确定的函数，则 (Ff φV )(ω)=F(ω cos φ,ω sin φ)，其中F 是单变量傅里叶变换算子，它建立了Radon 变换和傅里叶变换的联系.然后采用极坐标u=ω cos φ,v=ω sin φ表示傅里叶合成公式得将这个积分分解成两个积分式，通过变换、合并，最后使用投影切片定律重写这个积分形式为：f(x,y)= d ω d φ由此得到合成方程。

偏折层析的滤波反投影算法及误差分析

第26 卷第11 期2006 年11 月光学学报ACTA OP TICA SIN ICAVo l. 26 ,No. 11November , 2006文章编号: 025322239 (2006) 112165729偏折层析的滤波反投影算法及误差分析宋张斌贺安之(南京理工大学信息物理与工程系, 南京210094)摘要: 对偏折层析投影转换为相位层析投影的转换关系迚行了分析,给出明晰的数学关系,幵针对偏折层析的滤波反投影算法重建的结果迚行误差分析。

分析结果表明投影噪声对重建场的作用体现在与由偏折层析滤波反投影算法的滤波器有关的倾斜函数上。

因此提出了改迚的偏折层析滤波反投影算法,数值模拟表明,改迚算法在有效抑制倾斜现象的同时,对重建结果不会造成明显的失真。

在此基础上改迚的算法被用于真实火箭燃气射流密度场的三维重建中。

关键词: 信息光学; 偏折层析; 重建算法; 误差分析中图分类号: O438 文献标识码: AFil t e red B ac k2P r oject i o n Al gori t h m of Def lect i on To m og r ap h ya n d Er r or A n al ys isSong Y a ng Zhang Bin He Anzhi( Dep a r t me n t of I nf or m a t i on Physics & Engi neeri ng Na n ji ng U n iversit y of Scie nce & Tech nology , Na n ji ng 210094)Abs t r act : The conversion f rom deflection tomography p rojection to phase tomograp hy p rojection is analyzed , and an explicit exp ression correspondin g to the conversion is p r esented. An er ror analysis is made to the reconst r ucted fields by f iltered back2p rojection ( DFB P ) algorithm of deflection tomography. Results show that the effect of p rojection noise on the reconst ructed fields is rep resented by a slope f unction related to the filter used in deflection tomograp hic f iltered back2p rojection algorithm. So the deflection tomographic f ilter ed back2p rojection algorithm is modified. Numerical simulation shows that the modified algorithm dep resses the slope ph enomena efficiently , while no obvious distortion is int roduced to the reconst r uction. Based on the modified algor ithm , the three2dimensional reconst ruction for den sity field of the real rocket exhausted plumes is carried out .Key w or ds : information optics ; deflection tomograp hy ; reconst ruction algorithm ; error analysis1 引言光学层析技术( Optical Comp uterized Tomograp hy ,O CT)是以光波为载体, 由加载了被测场信息的多方向投影数据重建待测场物理量分布的技术。

滤波反投影法迭代方程

滤波反投影法是一种用于图像重建的算法，其迭代方程通常由以下步骤组成：
1. 对当前投影图像进行滤波操作，以去除噪声和伪影。

2. 将滤波后的投影图像进行反投影，得到重建图像的更新值。

3. 将更新值与前一次迭代的重建图像进行叠加，得到新的重建图像。

4. 重复步骤1-3，直到达到预设的迭代次数或满足收敛条件。

具体来说，滤波反投影法的迭代方程可以表示为：
$I^{k+1} = I^k + \lambda \left( \text{滤波后的投影图像} - \text{反投影图像} \right)$
其中，$I^{k+1}$表示第$k+1$次迭代的重建图像，$I^k$表示第$k$次迭代的重建图像，$\lambda$是控制迭代的步长，$\text{滤波后的投影图像}$是滤波后的投影图像，$\text{反投影图像}$是反投影得到的图像。

需要注意的是，具体的迭代方程可能会因不同的滤波器和反投影方法而有所不同。

滤波反投影

平行束滤波反投影1100500121 赵伟伦准备知识:一维Fourier 变换：dt et f f f F t i ⎰+∞∞--⋅==πωω2)()(~)( 一维逆Fourier 变换： ωωπωd e f f F x f t i ⎰+∞∞--⋅==21)(~)~()( 且有：)~(~),(11f F F f f F F f --⋅=⋅=重要的性质：（卷积特性）)(~)(~)*(ωωgf g f F ⋅=； )(~)(~)(ωωgf g f F *=⋅ 二维Fourier 变换： dX e x x f f f F x x i R ),(),(22121221212),(),(~)(⋅-⎰==ωωπωω；逆二维Fourier 变换： Ω==⋅-⎰d e f f F x x f x x i R ),(),(221122121212),(~)~(),(ωωπωω；中心切片定理：),)(ˆ()(2ϕωωfF f F r =Φ, 其中),(ˆϕr f 是),(21x x f 的Radon 变换：解释：一个二元函数的Radon 变换关于r 的一维Fourier 变换与这个二元函数的二维Fourier 变换形式相等。

滤波反投影：思路：)(),(121f F F x x f ⋅=-()()[][]ϕϕωωϕωϕωϕωωϕωϕωϕωωωϕωωϕωϕωωϕωϕωωωϕωωωππωωππωωππωωππωωπd r f F r d fF F d d e fF x x r d d e fF d d e f F d d e f d d e f F X r x x r r r r i r x x i r x x i rx x i x x i R Φ⋅=-Φ⋅=-∞+∞-⋅∞+∞-⋅∞+⋅∞+⋅*⇔=⋅⇔⇔Φ⋅=Φ=⇔⇔⇔⇔⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)(H ),(ˆfourier fourier ),()(H ),)(ˆ(]),)(ˆ([),),(),(),(),)(ˆ(),)(ˆ()(~)(1),(1202121),(),(20),(),(2200),(),(2200221),(),(222121212121212121212变化变化等于函数点乘后的个函数的卷积的并根据卷积的性质：两设旋转角为为坐标映射到探测器上，设为用极坐标方式表示出来（把，可知），（由于中心切片定理)(),(~),(r H r f r G *=ϕϕ)(r H 是滤波器总结：ϕϕϕωωϕωππωπd r H r fd def F X f X r X r r i r Φ⋅=Φ⋅=+∞∞-⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=)(*),(ˆ),)(ˆ()(020 解释为：投影数据),(ˆϕr f 先进行滤波)(*),(ˆr H r f ϕ 在对滤波数据进行投影ϕϕπd r H r f X r Φ⋅=⎰)(*),(ˆ0简单例子：（大圆与小圆）通过已得到的正投影‘round.dat’经过滤波后，反投影后的图像。

基于滤波反投影算法的CT系统成像研究

基于滤波反投影算法的CT系统成像研究摘要：CT系统的安装会使得旋转中心发生偏离，从而影响成像质量，因此需要借助于已知结构的样品来标定CT系统的参数，并且利用标定的参数对未知结构的样品进行图像重建。

首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，通过成像图像可知，滤波反投影算法更优；旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，依次进行旋转、平移、裁剪和残影去除操作，来校正投影图像，从而得到较高质量的图像。

关键词：CT成像原理（影像医学与核医学）；滤波反投影法；图像重建；吸收率引言CT(Computed Tomography)是用X线束从多个方向对人体检查部位具有一定厚度的层面进行扫描，由探测器而不用胶片接收透过该层面的X线，转变为可见光后，由光电转换器转变为电信号，再经模拟/数字转换器转为数字，输人计算机处理。

数字矩阵中的每个数字经数字/模拟转换器转为由黑到白不等灰度的小方块，称之为像素，并按原有矩阵顺序排列，即构成CT图像。

所以，CT图像是由一定数目像素组成的灰阶图像，是数字图像，是重建的断层图像。

首先根据直接反投影算法和滤波反投影算法对收集到的数据中的接收信息分别进行图像重建，将图像重建[4-6]的两种结果进行对比，得出效果较好的模型；然后，旋转中心可能发生偏移以及CT系统具有初始角度，通过旋转、平移、裁剪和残影去除等操作来校正投影图像，最后对图像进行标准化调整，从而提高了成像质量。

1 模型的准备与建立1.1 CT成像的数学基础Rand变换如图1所示，直线g是xOy平面内任意一条直线，t是原点到直线g的距离，φ为原点到直线g的垂线与x轴的夹角。

对于xOy平面内任意一条直线可以由(t,φ)唯一确定。

二维平面中函数f(x,y)沿着直线的积分等于其Rand变换。

中心切片定理中心切片定理是CT图像重建算法的基础，在非衍射源情况下，含义是图像在某个视角下平行投影的一维Fourier变换等同于该图像二维Fourier变换的一个中心切片。

滤波反投影

滤波反投影法重建CT 图像实验指导书一、实验目的1．了解傅立叶变换法、直接反投影法重建CT 图像的原理；2．掌握滤波反投影法重建CT 图像的原理和基本方法。

二、实验器材装有MATLAB 程序的PC 机，滤波反投影法图像重建演示软件，投影数据。

三、实验原理CT 图像重建问题实际上就是如何从投影数据中解算出成像平面上各像素点的衰减系数。

图像重建的算法有多种，如反投影法、傅立叶变换法、迭代法、滤波反投影法等。

在介绍算法前，有必要先介绍从投影重建图像的重要依据，即中心切片定理。

1．中心切片定理密度函数(,)f x y 在某一方向上的投影函数()g R θ的一维傅立叶变换函数()g θρ是原密度函数(,)f x y 的二维傅立叶变换函数(,)F ρθ在(,)ρθ平面上沿同一方向且过原点的直线上的值。

图1 中心切片定理2．傅立叶变换法如果在不同角度下取得足够多的投影函数数据，并作傅立叶变换，根据中心切片定理，变换后的数据将充满整个(,)u v 平面。

一旦频域函数(,)F u v 或(,)F ρβ的全部值都得到后，将其做傅立叶反变换，就能得到原始的密度函数(,)f x y ，即所要重建的图像。

上述图像重建算法称为傅立叶变换法，图2给出了傅立叶变换重建方法的流程图。

图中指出，对于每次测得的投影数据先作一维傅立叶变换。

根据中心切片定理，可将此变换结果看成二维频率域中同样角度下过原点的直线上的值。

在不同投影角下所得的一维变换函数可在频域中构成完整的二维傅立叶变换函数，将此二维变换函数做一次逆变换，就得到了所要求的空间域中的密度函数。

为了在二维逆变换中采用快速傅立叶变换算法，通常在逆变换前要将极坐标形式的频域函数变换成直角坐标形式的数据。

图2 傅立叶变换重建图像的过程采用傅立叶变换法重建图像时，投影函数的一维傅立叶变换在频域中为极坐标形式，把极坐标形式的数据通过插补运算转换为直角坐标形式的数据时，计算工作量较大。

ct成像fbp算法公式

ct成像fbp算法公式
CT成像中的FBP（Filtered Back Projection）算法公式如下：
\[f(x, y) = \int \left[\int \hat{F}(u, v) e^{i2\pi(ux+vy)} \, du\right]
e^{i2\pi(w(x,y)-1)x} \, dv\]
其中，$f(x, y)$是图像的原始值。

$u, v$是频域坐标，$x, y$
是图像空间坐标。

$\hat{F}(u, v)$是滤波后的投影数据。

FBP算法的主要步骤如下：
1. 对原始投影数据进行滤波：在频域中乘以一个合适的滤波函数$H(u, v)$，滤波后的投影数据为$\hat{F}(u, v)$。

2. 对滤波后的投影数据进行反投影：对每个图像空间中的像素点$(x, y)$，通过在频域中的相位偏移因子进行反投影。

3. 对反投影结果进行重建：将反投影结果进行加权叠加或者整合，得到最终的重建图像$f(x, y)$。

需要注意的是，在实际应用中，为了提高计算效率和减少伪影，通常会对FBP算法进行优化，如使用快速傅里叶变换（FFT）算法来加速频域计算，以及采用多级金字塔等方法来降低计算量。

CT反投影滤波重建算法设计

地理与生物信息学院2012 / 2013 学年第二学期实验报告课程名称：医学图像处理和成像技术实验名称：CT反投影滤波重建算法设计班级学号: B10090405学生姓名: 陈洁指导教师: 戴修斌日期：2013 年 5 月一、实验题目：CT反投影滤波重建算法设计二、实验内容：1.显示图像；2.获得仿真投影数据；3.基于获得的仿真投影数据重建图像。

三、实验要求：1.Shepp-Logan头模型：画出Shepp-Logan头模型，简称S-L模型，头模型尺寸设定为128×128；2.仿真投影数据的获得：从头模型中获得投影数据，投影数据格式为180×185，即[0，179°]范围内角度每隔1°取样，每个角度下有185个探测器；3.卷积反投影重建算法的实现：基于获得的仿真投影数据重建图像，使用R-L卷积函数，重建尺寸为128×128。

四、实验过程：实验1. Shepp-Logan头模型①算法实现流程：I. S-L头模型由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成，象征一个脑断层图像。

Shepp-Logan头模型中的椭圆参数：II. 使用循环语句给像素赋值：for i=1:10for x….for y…..判断点(x, y)是否在第i个椭圆内;如是,则将第i个椭圆折射指数赋给点(x, y);endendendIII. 显示仿真头模型：使用imshow(f,[])函数显示出图像。

②实验代码：clear all;p=[0 0 0.92 0.69 pi/2 10 -0.0184 0.874 0.6624 pi/2 20.22 0 0.31 0.11 72/180*pi 0-0.22 0 0.41 0.16 108/180*pi 40 0.35 0.25 0.21 pi/2 50 0.1 0.046 0.046 0 60 -0.1 0.046 0.046 0 7-0.08 -0.605 0.046 0.023 0 80 -0.605 0.023 0.023 0 80.06 -0.605 0.046 0.023 pi/2 8];N=256;x=linspace(-1,1,N);y=linspace(-1,1,N);f=zeros(N,N);for i=1:Nfor j=1:Nfor k=1:10A=p(k,3);B=p(k,4);x0=p(k,1);y0=p(k,2);x1=(x(i)-x0)*cos(p(k,5))+(y(j)-y0)*sin(p(k,5));y1=-(x(i)-x0)*sin(p(k,5))+(y(j)-y0)*cos(p(k,5));if((x1*x1)/(A*A)+(y1*y1)/(B*B)<=1) %判断条件f(i,j)=p(k,6);endendendendf=rot90(f);imshow(f,[])③运行结果：实验2. 获得仿真投影数据：①算法实现流程：I. θ∈ [00, 10, ..., 1790]， s ∈[-92, -91, ..., 91，92]；II. 对于第i 个椭圆求出对应θ和s 的仿真投影数据：其中，(x 0, y 0)为中心坐标，A 为长轴，B 为短轴，a 为旋转角度，ρ为折射指数。

文档CT图像滤波反投影重建算法的研究

西北工业大学学位论文知识产权声明书本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。

学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。

本人允许论文被查阅和借阅。

学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。

同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作者单位为西北工业大学。

保密论文待解密后适用本声明。

学位论文作者签名：：《！！！塑Ｌ指导教师签名。

＞况订年弓月多Ｄ日聊年岁月歹口日西北工业大学学位论文原创性声明秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。

本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。

学位论文作者签名网年；月如日西北〕＝业大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论本章首先概述了图像重建和ＣＴ技术的基本概念及图像重建方法的分类，然后介绍了ＣＴ的发展及国内外研究现状，最后阐明了本文的研究目的与意义、主要工作和内容安排。

１．１图像重建与ＣＴ技术概述由物体的二维截面或断面向该平面内的各个方向作投影，可获得一系列一维投影函数。

由这些一维投影函数来重建该二维截面则称为图像重建。

该技术是随着计算机技术的进步而发展起来并获得广泛应用的图像处理技术，其最典型的应用是医学上的计算机断层成像术（ｃｏｍｐｕｔｅｄＴ０ｍｏ鲫ｈｙ或ｃｃ胁ｐｕｔｅｒｉｚｅｄ．Ｉｂｍｏ肿ｐｂｙ），简称为ｃＴ技术。

它用于获取人体头颅、心肺、腹部等内部器官的二维断层图像（故亦称断层摄影技术），对于ｘ射线放射诊断是一个重大突破，具有深远的实际意义，因而受到普遍的重视。

滤波反投影程序设计报告

《滤波反投影程序设计报告》课程名称：生物医学图像处理2院系：生物医学工程姓名：学号：完成日期： 2017年4月23日一、设计目的用Matlab实现平行束滤波反投影算法，比较不同滤波函数的效果。

二、实验原理（一）图像重建模型——shepp Logan头模型是图像重建标准体模，由10个位置、大小、方向、密度各异的椭圆组成，代表一个脑部断层。

（二）重建理论推导中心切片定理是从投影图像重建图像的理论基础，表述为：某断层图像f(x,y)在视角为θ时得到的平行投影的一维傅里叶变换等于f(x,y)二维傅里叶变换F（w1,w2）过原点的一个垂直切片，且切片与轴w1相交成θ角。

如下图所示。

公式表述为：F（wcos,wsin）=P(w,) ①将在-坐标系中表达的F（w1,w2）引入新的极坐标系中，新坐标系与原坐标系原点重合，有w1=wcos,w2=wsin.面元换算为dw1dw2=wdwd.有 f(x,y)=== +②注意到在其傅里叶变换存在如下关系：P(w,将上式代入②式，有f(x,y)=③令③式内积分等于g(xcos+ysin),则有g(xcos+ysin)=t=xcosθ+ysinθdw实际上，g(xcos+ysin)就是投射角度为时的滤波投影，在t-s坐标系中表达时，转化为g（t,）=h(t)*p(t,),h(t)是传递函数H（w）=|w|的傅里叶逆变换，p(t,)是P（w,）的傅里叶逆变换。

所以③式可写成f(x,y)=θ④在图中注意到Xr=rcos()=xcos是从原点出发的通过点（r,）的射线方程，④式可写为：f(x,y)=④⑤两式表明：f(x,y)在（x,y）处的重建，等于通过该点的所有角度下滤波投影的累加所得到的像素值，而Xr=rcos()=xcos的变化代表了所有平行投影射线。

（三）Radon变换一个无限薄的切片内相对线性衰减系数的分布是由它的所有线积分的集合唯一决定，揭示了函数和投影之间的关系，若函数为f(x,y),则不同角度下的投影可写为P(t,)=⑥（四）滤波函数由于直接反投影法把取自有限空间的投影均匀回抹到了射线所及的无限空间的各个像素上，使得原来像素值为0的点不为0，从而产生星状伪迹，滤波反投影算法用人为设计的一维滤波函数对所得投影数据进行卷积，而后进行反投影和累加时，由于正负抵消，可一定程度上消除星状伪迹。

滤波反投影算法与低剂量迭代算法在肺结节CT筛查中的差异

滤波反投影算法与低剂量迭代算法在肺结节CT筛查中的差异木拉提•木合买提，玉苏甫•肉孜，夏迎洪,任永芳新疆维吾尔自治区人民医院放射影像中心新疆乌鲁木齐830001$摘要】目的分析滤波反投影算法与低剂量迭代算法在肺结节CT筛查中的差异(方法釆用回顾性分析,选取本院85例行CT筛查的肺结节患者临床资料，均行滤波反投影算法扫描，其中20例患者另行低剂量迭代算法重建图像，比较这两种重建方法的肺结节信噪比、对比信噪比、肺组织信噪比和小结构可见性、密度分辨率、空间分辨率评分等差异。

结果相比滤波反投影算法，低剂量迭代算法boc1~3级的对比信噪比、肺组织信噪比、肺结节信噪比均明显下降(P<0.05)，而boc4~7级的对比信噪比、肺组织信噪比、肺结节信噪比与滤波反投影算法比较,差异均无统计学意义(P>0.05)。

低剂量迭代算法bocl~4级小结构可见性评分与滤波反投影算法比较,差异均无统计学意义(P>0.05)；boc5~7级小结构可见性评分均低于滤波反投影算法评分(P<0.05)。

两种重建方法在密度分辨率和空间分辨率评分上的比较，差异均无统计学意义(P>0.05)。

结论在64排螺旋CT肺结节筛查中，低剂量迭代算法薄层重建图像中boc4级可能为最优水平，其图像质量与滤波反投影算法图像较接近，同时可明显减少辐射剂量。

$关键词】肺结节;体层摄影术,X线计算机;滤波反投影算法;低剂量迭代算法中图分类号:R563；R814.42文献标识码:A文章编号：1006-9011(2020)11DO1OD4Difference between filtered back projection algorithm and low dost iterative algorithm in CT screeeing of pulmonary nodulesMUHEMATI Mulati,ROUZI Yusufiu,XIA Yinghong,REN YongfangDepartmeni f Radiology,Uygur Autonomous Region,People*s Hospital f Xinjiang,Urumqi830001,P.R.China,Abstract]Objective To analyze the dberenco between filtered back projection afoCthm and low dose iterative alaorithm in CT screening of pulmonara nodules.Methods A mWospecPve study was carried out to collect the clinical data of85patients with puemonaeynodueessceeened byCTon ouehospoiae,aeoAihem weeescanned byAoeieeback peojecioon aegoeoihm,and20oAihem were reconstructed by low dose iterative alforithm.The dberences of signal-to-noisc ratio,contrast signal-to-noise ratio,signal/o-noise ratio of lung tissue and small structure visibility,density resolution and spatial resolution score between the two methods were compared.Reselts Compared with the filter back projection alforithm,the contrast signal-to-noisc ratio,lung tissue signal-to-noise ratio and lung nodule signal-to-noisc ratio of iDose1〜3alforithm decreased significantly(P<0.05),while the contrast signal-to-noisc ratio,lung tissue signal-to-noisc ratio and lung nodule signal-to-noisc ratio of iDose4〜7alforithm had no significant dberenco(P>0.05).There was no significant dberenco(P>0.05)between the low-dose iterative alforithm iDose1〜4small sWucture visibility score and the filter back projection alforithm(P<0.05),and the iDose5〜7small sWucture visibility score was lower than the filter back projection alforithm(P<0.05).There was no significant dDferenco be t ween the two recon-sWuction methods in density resolution and spatial resolution score(P>0.05).Conclusion In64slice spiral CT pu—onara nodule screening,iDose4may be the optimal level in the thin-Tyer reconstruction image of iow dose iterative algorithm,and its image quality is close to that of filter back projection alforithm,and radiation dose can be significantly reduced.,Key words]Pu—onara nodules;Tomography,X-ray computed;Filtered back projection alforithm；Low-dose iterative alfo-eoihmCT扫描是临床常用于诊断肺部疾病的影像学手段,而如何减少辐射剂量，评估辐射剂量减少后的图像质量仍是目前临床研究亟需解决的问题。

基于滤波反投影算法的CT系统参数标定及成像研究

基于滤波反投影算法的CT系统参数标定及成像研究摘要本文主要针对CT系统的参数标定以及成像进行研究，在大致介绍CT设备及其成像原理的基础上，对题目所给问题进行分析计算解答，并采用基于滤波反投影重建算法的逆Radon 变换等算法对数据进行处理分析，得出结果，经过误差分析后，与CT系统自身特点相结合，结果比较理想。

问题一:根据X射线与标定模板的特殊位置如图（4）和图（8），两位之间角度90o，分析特殊位置图形，然后用MATLAB软件可画出CT系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次的图，找到与特殊位置图形描述相近的图形，发现两特殊位置旋转次数差为90次，由此确定X射线的180个方向，探测器单元之间的距离=椭圆的长轴长/长轴长投影在探测器上单元的数量，由于旋转中心的位置和椭圆中心的位置相对不变，所以根据x和y的偏移量来确CT系统旋转中心在正方形托盘的位置。

问题二：建立CT系统滤波反投影重建算法，用iradon函数对附件2接收信息数据逆变换，即可得到出未知介质的吸收率，未知介质的几何形状，位置等信息。

问题三：由题意可知，该题同问题二相似，只是要求求另一种未知介质的相关信息，所以此题所用数学方法和问题二相同。

问题四：题目所给标定模型存在一定的规律性，并且容易受外界环境的影响，因此计算得到的CT系统参数存在误差。

所以我们自行设计了新的模板来改进标定精度和稳定性。

关键词：特殊位置、滤波反投影重建算法、逆Radon变换一、问题重述CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。

一种典型的二维CT系统是平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。

X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。

对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。

滤波反投影图像重建算法分析及MATLAB现实

图像重建是CT技术的一个研究热点。

重建算法的现实是对算法研究的一个重要环节。

由Math Works公司推出的MATLAB工具软件具有强大的数学计算和图像处理功能，并为算法提供了
一个方便有效的研究和实现的平台。

本文在图像重建分析的基础上，运用MATLAB实现了基于扇
束的滤波反投影重建算法的计算机模拟。

引言
图像重建技术在诸多领域中发挥着重要作用，在重建算法的研究
和实现过程中，存在着是一系列极其复杂的图像处理问题和数学计算
图５　１２８×１２８的Ｓｈｅｅｐ　
Ｌｏｇａｎ头模型图像
图６　扇束射角增量为０．３°投影值
2. 选取滤波函数，并离散化处理，如：R-L滤波函数，则离散化形式为：
（式1-8）其中：
（式1-9）
图７　重建效果图
总结
本文在分析基于扇束滤波反投影算法的基础上，详细介绍了该算法“模拟产生投影数据——修正投影——加权滤波——反投影重建”整个计算机现实过程，并充分利用Matlab强大的图像处理功能，无需大量的编程，现实了图像重建算法的计算机模拟。

高效的工程计算语言，它从本质上提供了对图像的支持，使用它可以对数字图像形成的离散数据矩阵进行一次性的处理，较其他高级语言。

ct滤波反投影算法重建精度研究

CT滤波反投影算法重建精度研究摘要锥形束CT具有射线利用率高、扫描时间短、纵向分辨率高等优点，因此被广泛应用于实际。

锥形束CT重建算法中滤波反投影算法由于数学形式简单，易实现，得到了广泛应用。

但是受实际应用条件的限制，随着扫描半径的减小，锥角增大，重建质量会下降。

基于这个问题，本文主要研究内容如下：（1）首先研究了扫描半径对扇形束FBP算法重建精度的影响，实验结果表明，扫描半径越大，重建图像质量越好；接着研究了加权函数对重建精度的影响，实验结果表明常数0.5加权比一般加权误差更大。

同时将以上结论推广到锥束FDK算法。

（2）平行重排(PFDK)算法是FDK算法的一种推广，针对FDK算法随着锥角增大重建精度下降的问题，给出了一种三维加权PFDK图像重建算法，并研究了重排过程中径向插值间隔对重建图像质量的影响，分别采用三种不同插值总数（插值间隔分别是1单位，0.5单位，0.25单位）重排数据。

实验结果表明给出的三维加权PFDK算法可有效减少锥角对重建结果的影响，且当采用2倍插值总数时重建结果较好。

关键词：短扫描，滤波反投影，平行重排，三维加权算法，插值间隔Research on the Precision of Reconstruction ofCT Filter Back Projection AlgorithmAbstractThe cone beam CT has been widely used in practice because of its advantages such as high radiation efficiency, short scanning time and high resolution. The filtered back projection algorithm of cone beam CT is widely used because of its simple mathematical form and easy implementation. However, due to the limitation of practical application coditions, with the decrease of scanning radius, the cone angle increases, and the quality of reconstruction decreases. Based on this problem, the main contents of this paper are as follows: Firstly, we study the effect to reconstruction accuracy of fan-beam FBP algorithm from the scanning radius of the imaging system, the experimental results show that the reconstruction quality is better with the larger scan radius; and study the effect to reconstruction accuracy from the weighting function, and the experimental results show that the constant weighting causes lager errors than the general weighting. At the same time, the above conclusions are extended to the cone-beam FDK algorithm.The PFDK is the one algorithm of the extending FDK algorithm. Artefacts in images reconstructed by the FDK algorithm deteriorate with increasing cone angle, to solve this problem, a three-dimensional weighted PFDK algorithm for image reconstruction is presented in this paper, Simultaneously studying the effect to quality of reconstruction image from different interpolation interval in the radial direction, we compare the reconstructed results of using the total number of three different interpolation (interpolation interval are 1 unit, 0.5 units, 0.25 units respectively). The experimental results showed that the impact of the cone angle can be effectively reduced by the given algorithm, and we can get satisfactory reconstruction when using two times the total number of interpolation.Key words: short scan, filtered back-projection, parallel rearrangement, a three dimension- al weighted algorithm, interpolation interval目录第一章绪论 (1)1.1课题研究背景及意义 (1)1.2短扫描扇形束FBP重建算法的国内外研究现状 (2)1.3圆轨迹锥形束FDK重建算法的国内外研究现状 (3)1.4论文的主要工作及结构安排 (4)第二章CT成像基础知识 (6)2.1CT成像原理 (6)2.2图像重建的基本理论 (7)2.2.1 Radon变换及其逆变换 (7)2.2.2 傅里叶切片定理 (8)2.3基于滤波反投影的经典CT重建算法 (11)2.3.1 全扫描扇形束FBP重建算法介绍 (11)2.3.1.1 等角采样的重建公式 (11)2.3.1.2 等距采样的重建公式 (13)2.3.2 FDK重建算法介绍 (14)2.4图像重建算法评价 (15)2.5本章小结 (16)第三章短扫描扇形束FBP重建精度研究 (17)3.1短扫描 (17)3.2短扫描FBP重建算法的有误分析 (18)3.3扫描半径对重建精度的影响 (21)3.3.1 短扫描情况 (21)3.3.2 全扫描情况 (26)3.4加权函数对重建精度的影响 (28)3.5锥角对重建精度的影响 (29)3.6本章小结 (32)第四章三维加权PFDK重建算法研究 (33)4.1PFDK重建算法 (33)4.1.1 锥形束平行几何结构 (33)4.1.2 PFDK算法 (34)4.2三维加权PFDK重建算法的提出 (35)4.2.1 二维加权PFDK重建算法 (36)4.2.2 三维加权PFDK重建算法 (36)4.3仿真实验结果及分析 (38)4.4实际实验结果与分析 (41)4.5本章小结 (42)第五章总结与展望 (43)5.1研究主要内容及成果 (43)5.2存在的问题及以后的工作展望 (44)参考文献读硕士学位期间发表的论文致谢第一章绪论1.1 课题研究背景及意义在实际生活中，人们往往需要了解一个物体的内部构造，但由于受到各种条件的限制而无法实现。