【恒心】高考数学(理科)一轮复习突破课件008001-直线与方程
8.1直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
对点练4.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点；
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考点探究 精准突破
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考点一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是
A．[0，π)
√B．(0，π4)∪ (34π，π)
C．(0，π4)
D．(0，π4)∪ (π2，π)
基础练
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以－ 1≤tan θ≤1，又 θ∈[0，π)，所以 0≤θ≤π4或34π≤θ<π.故y＋3＝－32(x－4)
法一：因为直线 l 的一个方向向量为 n＝(2,3)，所以直线 l 的斜率 k＝32， 故当△AOB 面积最小时，直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4)．故选 C．
法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则 A→P ＝(x＋4，y－3)，
规律方法
求直线方程的两种方法
提醒：在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条 件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时应注意分类讨论．
对点练2.(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直 线l的方程为
A．y－3＝－32(x＋4)
B．y＋3＝32(x－4)
设P(x，y)，Q(x0，y0)，所以 Q→P ＝(x－x0，y－y0)＝(1，－3)，所以x－x0
＝1，y－y0＝－3，即x0＝x－1，y0＝y＋3，则Q(x－1，y＋3)，由Q在直
线l：x＋2y＋1＝0上，故x－1＋2(y＋3)＋1＝0，化简得x＋2y＋6＝0，即
P的轨迹E为直线且与直线l平行，E上的点到l的距离d＝ |6－1| ＝ 5 ，
高考数学一轮复习 8.1 直线方程精品课件 理 新人教A版
∴倾斜角θ∈(
3 π,π).故应选D.) 4
考点二 求直线方程 求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; 1 (2)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-4 ; (3)过点A(1,-1),与已知直线l1:2x+y-6=0相交于B点且 |AB|=5. 【分析】选择适当的直线方程形式,把所需要的条 件求出即可.
【解析】 (1)解法一:设直线l在x,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), 2 ∴l的方程为y= 3x,即2x-3y=0.
x y ②若a≠0,则设l的方程为 + =1 , a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴ + =1 , a a
∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0. 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
8.1 直线方程
一、倾斜角与斜率 1.倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为 基准，x轴正向与 直线l向上方向之间所成的角α 叫做 直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，我们规定 它的倾斜角为 0° .因此,直线的倾斜角α的取值范围 为 ［0°,180°) .
2.斜率：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线 的斜率，即k= tanα .倾斜角是90°的直线没有斜率. 3.斜率公式：经过两点 P （x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2) y 2 - y11 的直线的斜率公式k= . x 2 - x1
【分析】从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围.
【解析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ=- cosα. 又α∈〔
2 3 ≤- cosα＜0. 3 3 即- 3≤tanθ＜0,注意到0≤θ＜π, 3
人教版高三数学(理)一轮总复习PPT课件：8-1 直线及其方程
π π f4－x＝f4＋x知函数
f(x)的图象关于直线 x
π π ＝4对称，所以 f(0)＝f2，所以－b＝a，则直线 ax－by＋c＝0 的
3π a 斜率为b＝－1，又倾角范围为[0，π)，故其倾斜角为 4 ，选 D.
第20页
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数学
1．求倾斜角 α 的取值范围的一般步骤 (1)求出斜率 k＝tan α的取值范围； (2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜 角 α 的取值范围．
第8页
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数学
3．(2015· 高考广东卷)平行于直线 2x＋y＋1＝0 且与圆 x2＋y2 ＝5 相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0 或 2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋ 5＝0 或 2x＋y－ 5＝0 C．2x－y＋5＝0 或 2x－y－5＝0 D．2x－y＋ 5＝0 或 2x－y点研析 题组冲关 素能提升 学科培优
课时规范训练
第1页
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数学
第2页
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数学
第 1 课时
直线及其方程
第3页
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数学
1.利用斜率的概念和两点坐标求斜率. 考纲 2.利用直线的斜率求倾斜角. 点击 3.利用直线方程四种特殊形式求直线方程和一般方程. 4.利用直线方程求直线的几何要素.
第17页
)
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数学
解析： 选 C.如图所示， 直线 y＝kx 过定点 O(0， 0)， kOA＝－2， 1 kOB＝3. 若直线 y＝kx 与线段 AB 没有公共点， 则直线 OA 逆时针旋转 (斜率增大)到 OB 都是满足条件的直线．数形结合得 故选 C.
1 k∈－2，3.
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2024届新高考一轮总复习人教版 第八章 第1节 直线的方程 课件(36张)
[课标解读] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公 式． 2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一 般式).
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准，x 轴_正__向___与直线 l_向__上__的__方__向___ 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角． (2)规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为__0_°__． (3)范围：直线 l 倾斜角的取值范围是__[0_，__π_)__．
2．直线 y＝0 的倾斜角是( ) A．0° C．90°
B．45° D．不存在
解析：直线 y＝0 的斜率为 0，所以倾斜角是 0°.
答案：A
3．(选择性必修第一册 P55 练习 T3 改编)若过点 M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率
等于 1，则 m 的值为( ) A．1 C．1 或 3
B．4 D．1 或 4
2．斜率公式 条件
直线 l 的倾斜角为 αα≠π2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2
直线 Ax＋By＋C＝0(B≠0)
公式 斜率 k＝__ta_n__α__
y2－y1 斜率 k＝_x_2－__x_1_
斜率 k＝_－__AB___
3.直线方程的 5 种形式
名称 几何条件
2．直线 l 经过 A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围 是______________.
解析：直线
l
的斜率
1＋m2 k＝ 3－2 ＝1＋m2≥1，所以
高考数学一轮总复习 第8章 解析几何 第1节 直线的倾斜
(1)求过点 A(1,3)，斜率是直线 y＝－4x 的斜率的13的直线方程． (2)求经过点 A(－5,2)，且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程．
解析
解析：①当 m＝2 时，直线 l 的方程为 x＝2； ②当 m≠2 时，直线 l 的方程为3y－－11＝mx－－22， 即 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为 m＝2 时，代入方程 2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为 x＝2， 所以直线 l 的方程为 2x－(m－2)y＋m－6＝0. 答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
1．直线 x＝π3的倾斜角等于
A．0
B．π3
C．π2
解析：直线 x＝π3，知倾斜角为π2.
答案：C
D．π
()
2．(易错题)(2015·绥化一模)直线 xsin α＋y＋2＝0 的倾斜角的
取值范围是
()
A．[0，π) C．0，π4
B．0，π4∪34π，π D．0，π4∪π2，π
第八章 解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
向上方向 平行或重合
[0，π)
y2－y1 x2－x1
tan α
名称 点斜式 斜截式
方程 _y－__y_0_＝__k_(_x_－__x_0)_
_y＝__k_x_＋__b__
适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线
名称
方程
适用范围
两点式 截距式
2．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方 程为________． 解析：①若直线过原点，则 k＝－43， 所以 y＝－43x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点．设xa＋ay＝1，即 x＋y＝a. 则 a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为 x＋y＋1＝0. 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0
高考数学一轮总复习第七章解析几何第1讲直线的方程课件理
方法二，设直线(zhíxiàn) l 的方程为 y－2＝k(x＋1)， 即 kx－y＋k＋2＝0，直线(zhíxiàn) l 与线段 AB 有公共点， 则点 A，B 在直线(zhíxiàn) l 的两侧(或在直线(zhíxiàn)上)，
即(－k＋5)(4k＋2)≤0，解得 k≤－12或 k≥5.
中点 M 的坐标为(x，y)，则x＝
2 y1＋y2
，
y＝
2
.
第七页，共36页。
1.(教材改编题)直线 x＋ 3y＋m＝0(m∈k)的倾斜角为( C )
A.30°
B.60°
C.150° D.120°
2.(教材改编题)已知直线 l 过点 P(－2,5)，且斜率为－34，则
直线(zhíxiàn) l 的方A程)为(
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点 的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的直线都 (A，B不同时为零) 适用
第五页，共36页。
4.过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线(zhíxiàn)方程 (1)若x1＝x2，且y1≠y2时，则直线(zhíxiàn)垂直于x轴，方程为
联立3a＋4b＝1 和 a＝2b，解得 a＝11，b＝121，即得直线方程.
第二十页，共36页。
答案(dáàn)：(1)4x－3y＝0 或 x＋y－7＝0 (2)x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0 (3)x＋2y－11＝0
第二十一页，共36页。
考点(kǎo直di线ǎn方) 程3 (fāngchéng)的综合应用
第二十三页，共36页。
当且仅当2a＝1b＝12，即 a＝4，b＝2 时，S△AOB 取最小值 4. 此时直线 l 的方程为4x＋2y＝1，即 x＋2y－4＝0. (2)由2a＋1b＝1，得 ab－a－2b＝0，即(a－2)(b－1)＝2. |PA|·|PB|＝ 2－a2＋1－02· 2－02＋1－b2 ＝ [2－a2＋1]·[1－b2＋4] ≥ 2a－2·4b－1＝4. 当且仅当 a－2＝1，b－1＝2，即 a＝3，b＝3 时，
高三数学一轮复习 第8篇 第1节 直线与方程课件 理
已知条件 斜率 k 与点 (x0,y0)
斜率 k 与截距 b
两点(x1,y1)、 (x2,y2) (其中 x1≠x2、y1 ≠y2)
截距 a 与 b
方程 y-y0=k(x-x0)
y=kx+b
适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
不含直线 x=x1(x1=x2)和直线 y=y1(y1=y2)
(2)点线距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离
d= Ax0 By0 C . A2 B2
(3)线线距离
两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d= C1 C2 . A2 B2
精选ppt
11
质疑探究4:应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意 什么? (提示:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行线之间的距 离公式时,应使两平行线方程中x、y的系数分别对应相等)
精选ppt
2
编写意图 直线是解析几何的重要内容,虽然在高考中一般不单独命 题考,但直线与圆、直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容.本 节围绕高考命题的规律进行设点选题,重点突出求直线的倾斜角、斜 率、直线方程、点到直线的距离及其应用,突出方程思想、转化与化 归思想、数形结合思想的应用.
精选ppt
精选ppt
5
②过两点的直线的斜率公式.经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直
线的斜率公式为 k= y2 y1 . x2 x1
质疑探究1:任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? (提示:每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在 斜率.倾斜角为90°的直线斜率不存在) 质疑探究2:直线的倾斜角θ越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?
高三数学一轮复习 第8章 第1课时 直线及其方程课件 文
在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数 k＝tan α的单调
性．
当 α 取值在0，2π内，由 0 增大到π2α≠π2时，k 由 0 增大到＋∞；当 α 取 值在π2，π，由2πα≠π2增大到 π(α≠π)时，k 由－∞趋近于 0.解决此类问
D.0，π3
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
选 D.利用数形结合思想及圆的几何性质求解． 法一：如图，过点 P 作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B.由题意知|OP|＝2，
OA＝1，则 sin α＝21，所以 α＝30°，∠BPA＝60°.故直线 l 的倾斜角的
考点一 直线的倾斜角与斜率
1．若直线 l：y＝kx－ 3与直线 2x＋3y－6＝0 的交点位于第一象限，则直
线 l 的倾斜角的取值范围是( )
π
A.
6
，π3
π
B.
6
，π2
π
C.
3
，π2
π
D.
3
，π2
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
考点突破 题型透析
考点一 直线的倾斜角与斜率
{注意点}
直线的倾斜角的范围不是 k＝tan α的单调区间
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意的直线都存在斜率．
(2)直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应
α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180°
k0
k＞0
不存在
k＜0Leabharlann 点突破 题型透析高三总复习.数学（文）
第八章 平面解析几何 第1课时 直线及其方程
2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】
(2)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( D )
A.k1＜k2＜k3
B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
D.k1＜k3＜k2
解析 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角， 且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2. 直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
π 6.直线 x＝－2 与直线 3x－y＋1＝0 的夹角为__6______.
解析 由于直线 x＝－2 的倾斜角为π2， 直线 3x－y＋1＝0 即直线 y＝ 3x＋1，
其倾斜角为π3，故夹角为π6.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例 1 (1)直线 l 过点 P(1，0)，且与以 A(2，1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点， 则直线 l 斜率的取值范围为_(_－__∞__，__－___3_]_∪__[_1_，__＋__∞__)_. 解析 设 PA 与 PB 的倾斜角分别为 α，β，直线 PA 的斜率是 kAP＝1，直线 PB 的斜率是 kBP＝－ 3， 当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增 至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞). 当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
适用条件 与x轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直的直线 不过原点且与两坐标轴均不垂
直的直线 所有直线
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0
π 0<α<2
π 2
高三一轮总复习高效讲义第8章第1节 直线的方程课件
点，则直线 l 斜率的取值范围为______________．
解析：(1)直线 2x cos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α．
因为 α∈π6 ，π3 ，
所以12
≤cos
α≤
3 2
，因此 k＝2cos
α∈[1，
3
]．
设直线的倾斜角为 θ，则有 tan θ∈[1， 3 ]．
又 θ∈[0，π)，所以 θ∈π4 ，π3 ，即倾斜角的取值范围是π4 ，π3 ．
因为 tan α＝3，所以 tan 2α＝12－tatnanα2α ＝－34 ．
又直线经过点 A(－1，－3)，由直线的点斜式方程得所求直线方程为 y＋3＝－34 (x ＋1)，即 3x＋4y＋15＝0．
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1． 又过点(3，4)，由点斜式得 y－4＝±(x－3)， 即所求直线的方程为 x－y＋1＝0 或 x＋y－7＝0．
当直线 l 由 PC 变化到 PB 的位置时，它的倾斜角由 90°增至 120°，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．
故斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)．
法二 设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，即 kx－y－k＝0． ∵A，B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴(2k－1－k)(－ 3 －k)≤0， 即(k－1)(k＋ 3 )≥0，解得 k≥1 或 k≤－ 3 ． 即直线 l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 答案：(1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)
则线段 AC 的中点为点 Nc＋2 2，321－25c ， 易知点 N 在直线 x－3y＝0 上，则c＋2 2 －32－4 5c ＝0，解得 c＝4， 所以点 C 的坐标为4，－1 ． 直线 BC 的斜率为 k＝－41－－00 ＝－14 ，因此直线 BC 的方程为 y＝－14 x，即 x＋4y ＝0．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.1 直线的方程
方法一 由本例方法一知 A2－1k，0，B(0,1－2k)(k＜0). 所以|MA|·|MB|＝ k12＋1· 4＋4k2 ＝2×1＋|k|k2＝2－k＋－1k≥4. 当且仅当－k＝－1k， 即k＝－1时取等号.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二 由本例方法二知 A(a,0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，2a＋1b＝1. 所以|MA|·|MB|＝|M→A|·|M→B| ＝－M→A·M→B ＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0， 故直线 l 的方程为 y－3＝32(x＋4).
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A， B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
方法一 设直线l的方程为
倾斜角为θ＋45°， 故 kOA＝tan(θ－45°)＝1t＋antθa－n θttaann4455°°＝21－ ＋12＝13， kOC＝tan(θ＋45°)＝1t－antθa＋n θttaann4455°°＝21＋ －12＝－3.
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程： (1)直线过点 A(－1，－3)，且斜率为－14；
k>0
90° 不存在
90°<α<180° k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线； 遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
常用结论
2.“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也 可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况 是否满足题意. 3.直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A).
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第一节 直线与方程课件
第二十六页，共五十六页。
研透高考(ɡāo kǎo)·深化提能 [全析考法]
考法一 求直线方程
[例 1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形 ABCD 的顶点 A，
C 的坐标分别为 A(－4,7)，C(6，－5)，BC 边所在直线过点
P(8，－1)．求：
(1)AD 边所在直线的方程； [解] kBC＝－56－－－8 1＝2，
(2)范围：直线 l 倾斜角的范围是 [0，π) ．
2．直线的斜率公式
(1)定义式：若直线 l 的倾斜角 α≠π2，则斜率 k＝ tan α .
(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，
则
l 的斜率 12/8/2021
k＝
y2－y1 x2－x1
.
第四页，共五十六页。
与直线 l2：x＋(a＋1)y＋4＝0 平行”的
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
()
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当 a＝1 时，直线 l1：x＋2y－1＝0 与直线 l2：x＋2y＋ 4＝0 的斜率都是－12，截距不相等，∴两条直线平行，故前者 是后者的充分条件；当两条直线平行时，得a1＝a＋2 1≠－41，
以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．
()
(3)不经过原点的直线都可以用xa＋by＝1 表示．
()
答案：(1)× (2)√ (3)×
12/8/2021
第二十四页，共五十六页。
二、填空题 1．过点 M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方
程为____________________________． 答案：4x＋3y＝0 或 x＋y＋1＝0 2．(2019·开封模拟)过点 A(－1，－3)，斜率是直线 y＝3x 斜 率的－14的直线方程为____________． 答案：3x＋4y＋15＝0
2025年高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】
【练一练】
1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若直线的斜率为 ,则其倾斜角为 .( )
×
（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
×
（3）经过定点 的直线都可以用方程 .( )
×
2.（人A选择性必修第一册 习题 变条件）若过点 ， 的直线的斜率等于1，则 的值为( )
（2）倾斜角及斜率取值范围的两种求法①数形结合法:作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；②函数图象法:根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可.
考点二 直线的方程（师生共研）
例1.（1）（多选）过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是( )
1.直线 的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析：选B.设直线的倾斜角为 ，则有 .因为 ，所以 ，又 ，所以 或 ，故选B.
√
2.直线 过点 ，且与以 ， 为端点的线段有公共点，则直线 的斜率 的取值范围为____________________.
A. B. 或 C. D. 或
解析：选C.直线的斜率为 .因为直线倾斜角的取值范围为 ，所以所求直线的倾斜角为 ，故选C.
√
1.直线的倾斜角 <m></m> 和斜率 <m></m> 之间的对应关系
0
0
不存在
2.识记几种特殊位置的直线方程
（1） 轴： .
必备知识 自主排查
核心考点 师生共研
必备知识 自主排查
01
1.直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角①定义：当直线 与 轴相交时，以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.②规定：当直线 与 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为___.③范围：直线的倾斜角 的取值范围为______________.
高考数学(理)一轮复习考点突破学案：《直线与方程》
第1讲 直线与方程[最新考纲]1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理知 识 梳 理1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；②规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率①定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式 过两点 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．辨 析 感 悟1．对直线的倾斜角与斜率的理解(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.(×)(3)(教材习题改编)若三点A (2,3)，B (a,1)，C (0,2)共线，则a 的值为－2.(√) 2．对直线的方程的认识(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．(√)(6)直线l 过点P (1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为x ＋y －3＝0.(×) [感悟·提升]1．直线的倾斜角与斜率的关系 斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)． 2．三个防范 一是根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围，如(2)；二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论，如(4)；三是在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论，如(6).考点一 直线的倾斜角和斜率【例1】 (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )． A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )． A.13B ．－13C ．－32D.23解析 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.故选B.(2)依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.答案 (1)B (2)B规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．【训练1】 经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α的范围． 解 法一 如图所示，k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l 倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.法二 由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝kx ，即kx －y －1＝0.∵A ，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线l 上． ∴(k ＋2－1)(2k －1－1)≤0，即2(k ＋1)(k －1)≤0. ∴－1≤k ≤1.∴直线l 的倾斜角α的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.考点二 求直线的方程【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14.(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且 |AB |＝5.解 (1)法一 设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即l 过点(0,0)和(3,2)， ∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0.若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a＝1， ∵l 过点(3,2)，∴3a ＋2a＝1，∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0，综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意，所求直线的斜率k 存在且k ≠0， 设直线方程为y －2＝k (x －3)，令y ＝0，得x ＝3－2k，令x ＝0，得y ＝2－3k ，由已知3－2k＝2－3k ，解得k ＝－1或k ＝23，∴直线l 的方程为y －2＝－(x －3)或y －2＝23(x －3)，即x ＋y －5＝0或2x －3y ＝0. (2)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－14×3＝－34.又直线经过点A (－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0，求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5， 即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k x －1，得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行) 则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2.由已知⎝⎛⎭⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况． 【训练2】 △ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x－3y ＋6＝0.(3)BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由点斜式得直线DE 的方程为y－2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用【例3】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如右图所示， 求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．审题路线 根据截距式设所求直线l 的方程⇒把点P 代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S △ABO ⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l 的方程． 解 设A (a,0)，B (0，b )，(a ＞0，b ＞0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1， ∵l 过点P (3,2)，∴3a ＋2b＝1.∴1＝3a ＋2b ≥26ab，即ab ≥24.∴S △ABO ＝12ab ≥12.当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4.△ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线l 的方程为：x 6＋y4＝1.即2x ＋3y －12＝0.规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的某函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．【训练3】 在例3的条件下，求直线l 在两轴上的截距之和最小时直线l 的方程． 解 设l 的斜率为k (k ＜0)，则l 的方程为y ＝k (x －3)＋2，令x ＝0，得B (0,2－3k )，令y＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，∴l 在两轴上的截距之和为 2－3k ＋3－2k＝5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3k ＋⎝⎛⎭⎪⎫－2k≥5＋26，当且仅当k ＝－63时，等号成立． ∴k ＝－63时，l 在两轴上截距之和最小，此时l 的方程为6x ＋3y －36－6＝0.1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”． 2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．思想方法9——分类讨论思想在求直线方程中的应用【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．若折痕所在直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程．解 (1)当k ＝0时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.(2)当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段CD 上的点为G (a,1)．所以A 与G 关于折痕所在的直线对称，有k AG ·k ＝－1，1ak ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为G (－k,1)，从而折痕所在的直线与AG 的交点坐标(线段AG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12.∴k ＝0时，y ＝12；k ≠0时，y ＝kx ＋k 22＋12.[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题需对斜率k 为0和不为0进行分类讨论，易错点是忽略斜率不存在的情况．【自主体验】1．若直线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为( )． A ．3x ＋4y ＋15＝0 B ．x ＝－3或y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0解析 若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为52－42＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时该直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0. 答案 D2．已知两点A (－1,2)，B (m,3)，则直线AB 的方程为________． 解析 当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1， 当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2. 答案 x ＝－1或y ＝1m ＋1x ＋1m ＋1＋2基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为( )． A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝60°. 答案 B2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.则直线l 的方程为( )．A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0 解析 由点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，即3x ＋4y －14＝0. 答案 A3．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( )． A ．1 B ．2 C ．－12 D ．2或－12解析 由题意可知2m 2＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－32，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝1，即2m2－3m －2＝0，解得m ＝2或－12.答案 D4．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )．A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析 由题意，令x ＝0，y ＝－cb >0；令y ＝0，x ＝－c a>0.即bc <0，ac <0，从而ab ＞0. 答案 A5．(2014·郑州模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪()1，＋∞ C ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝12，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 D 二、填空题6．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 47．(2014·温州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k3.则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案 －248．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析 设所求直线的方程为x a ＋y b＝1， ∵A (－2,2)在直线上， ∴－2a ＋2b＝1.①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1.② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 三、解答题9．(2014·临沂月考)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，当然相等．∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋1＝0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]．10．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 存在．理由如下：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4.当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. 能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·北京海淀一模)已知点A (－1,0)，B (cos α，sin α)，且|AB |＝3，则直线AB 的方程为( )．A ．y ＝3x ＋3或y ＝－3x － 3B ．y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33C ．y ＝x ＋1或y ＝－x －1D ．y ＝2x ＋2或y ＝－2x － 2解析 |AB |＝cos α＋12＋sin 2α＝2＋2cos α＝3，所以cos α＝12，sin α＝±32，所以k AB ＝±33，即直线AB 的方程为y ＝±33(x ＋1)，所以直线AB 的方程为y ＝33x ＋33或y ＝－33x －33. 答案 B2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k PA ＝33，则直线PA的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B二、填空题3．已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．解析 直线方程可化为x2＋y ＝1，故直线与x 轴的交点为A (2,0)，与y 轴的交点为B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1，且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122＋12，由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.答案 12三、解答题4.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别 交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x ，设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n2，由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。
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解析 (1)设直线的倾斜角为 θ， 则有 tan θ＝－sin α，
直线的倾斜角和斜率
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正 切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围 π π 时，要分0，2 与2，π两种情况讨论．由正切函数 π 图象可以看出当 α∈0，2 时，斜率 k∈[0，＋∞)； π π 当 α＝ 时，斜率不存在；当 α∈2 ，π时， 2 斜率 k∈(－∞，0)．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点 M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是 45° .( ) (3)(教材习题改编)若三点 A(2,3),B(a,1),C(0,2)共线,则 a 的值为－2.(
)
2．对直线的方程的认识
(4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示．( ) (5)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方 程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( ) (6)直线 l 过点 P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线 l 的方程 为 x＋y－3＝0.( )
Hale Waihona Puke 考 点规律方法【训练 1】经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连接 A(1，－2)， B(2,1)的线段总有公共点，求直线 l 的倾斜角 α 的范围．
－2－－1 解 法一 如图所示， kPA＝ ＝－1， 1－0 1－－1 kPB＝ ＝1， 由图可观察出： 2－0 α 3π π 直线 l 倾斜角 α 的范围是 ，π∪0，4 . 4 法二 由题意知，直线 l 存在斜率．
3.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 x1+x2 x= 2 __________ 的中点 M 的坐标为(x， y)， 则 此公式为 y 1+y2 y= 2 ， __________ 线段 P1P2 的中点坐标公式．
1．对直线的倾斜角与斜率的理解
一个关系
直线的倾斜角 与斜率的关系：斜 率 k 是一个实数， 当 倾 斜 角 α≠90° 时， k＝ tan α.直线 都有斜倾角，但并 不是每条直线都存 在斜率，倾斜角为 90° 的直线无斜率， 如(1)错．
三个防范
一是根据斜率求倾斜角，要 注意倾斜角的范围，如(2)；
二是求直线方程时，若不能 断定直线是否具有斜率时，应对 斜率存在与不存在加以讨论，如 (4)；
2．直线方程的五种形式
名称 斜截式 点斜式 两点式 截距式 一般式 几何条件 方程 适用条件 纵截距、斜 y＝kx＋b ___________ 率 与 x 轴不垂直的直 线 过一点、斜 y－y0＝k(x－x0) ______________ 率 y－y1 x－x1 与两坐标轴均不垂 ＝ 过两点 y2___________ －y1 x2－x1 直的直线 不过原点且与两坐 x y ＋ ＝1 标轴均不垂直的直 纵、横截距 a b ___________ 线 Ax＋By＋C＝0 所有直线 (A2＋B2≠0)
求直线的方程
考 点
【例题 2】求适合下列条件的直线方程： (1)经过点 P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
解析 法一 设直线 l 在 x，y 轴上 法二 由题意，所求直线的斜率 k 存在且 k≠0， 的截距均为 a，若 a＝0， 设直线方程为 y－2＝k(x－3)， 即 l 过点(0,0)和(3,2)， 2 2 令 y＝0，得 x＝3－ ， k ∴l 的方程为 y＝ x，即 2x－3y＝0. 3 令 x＝0，得 y＝2－3k， x y 若 a≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1， 由已知 3－2＝2－3k， a a k 3 2 2 ∵l 过点(3,2)，∴ ＋ ＝1， 解得 k＝－1 或 k＝ ， 3 a a ∴a＝5， ∴l 的方程为 x＋y－5＝0， ∴直线 l 的方程为 y－2＝－(x－3) 2 综上可知，直线 l 的方程为 2x－3y 或 y－2＝3(x－3)，
三是在用截距式时， 应先判断 截距是否为 0 ，若不确定，则需 分类讨论，如(6).
直线的倾斜角和斜率
考 点
【例 1】 (1)直线 x sin α ＋y＋2＝0 的倾斜角的取值范围是 ( B )． π 3π π π π 0 ， ， π 0 ， 0 ， ，π A．[0，π) B. ∪ C. D. ∪ 4 4 4 4 2 (2)若直线 l 与直线 y＝ 1,x ＝ 7 分别交于点 P,Q,且线段 PQ 的中点坐 1 1 3 2 标为(1，－1),则直线 l 的斜率为 ( B )．A. B.－ C.－ D. 3 3 2 3
α
设直线 l 的斜率为 k， 则直线 l 的方程为 y＋1＝kx， 即 kx－y－1＝0.
∵A，B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0， 即 2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. 3π π ∴直线 l 的倾斜角 α 的范围是 ，π∪0，4 . 4
帮助
知识与方法回顾
知识梳理
辨析感悟
例1
探究 一直线的倾斜角和斜率
训练1
例2 训练2 例3 训练3
技能与规律探究
探究二 求直线的方程 探究三 直线方程的综合应用
经典题目再现
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 正向与直线 l____ 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角； 轴____ ②规定： 当直线 l 与 x 轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为__ 0 ； [0,π) ③范围：直线的倾斜角α 的取值范围是________. (2)直线的斜率 π ①定义： 当直线 l 的倾斜角α ≠ 时， 其倾斜角α 的正切值 tan α 2 tanα ； 叫做这条斜线的斜率， 斜率通常用小写字母 k 表示， 即 k ＝_____ ②斜率公式：经过两点 P1(x 1，y1)，P2(x 2，y2)(x 1≠x 2)的直线 y2－y1 x2－x1 的斜率公式为 k ＝____________.