物理习题课讲义1

⇐ 1 + A2 (1 − cos x ) ≥ 0 成立 10.平面极坐标系下曲线运动 � � r = r ( t ) er ( t )
2
dr ⎧ vr = ⎪ � � � ⎪ dt v = vr er + vθ eθ : ⎨ ⎪v = r dθ θ ⎪ dt ⎩
2 ⎧ d 2r ⎛ dθ ⎞ −r⎜ ⎪a = ⎟ � � � ⎪ r dt 2 ⎝ dt ⎠ a = ar er + aθ eθ : ⎨ d 2θ dr dθ ⎪ a = r +2 θ 2 ⎪ dt dt dt ⎩
2 2 2
=
1 1 + A2 sin 2 t
a⊥ = ̇̇ y cos ϕ =
A cos t
1 + A2 sin 2 t
3/ 2 3/ 2
2 2 ̇2 + y ̇ 2 (1 + A sin t ) v2 x ρ= = = a⊥ a⊥ A cos t
Байду номын сангаас
(1 + A =
2
sin 2 x )
A cos x
(2)周期性轨道，只考虑初始半个周期内的外凸壁面情况 不脱落条件 g cos ϕ ≥ a⊥
θ0 附件，运动员由于抛射角 θ0 掌握不准产生
△θ0，为使空心入篮，调整 v，△v 最小，求θ0. 解：如图建立坐标系， x A 篮筐位置， ϕ1 篮筐仰角，则 θ = ϕ1 + ϕ2 1 ⎧ x = ( v cos ϕ2 ) t − ( g sin ϕ1 ) t 2 ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ y = ( v sin ϕ ) t − 1 ( g cos ϕ ) t 2 2 1 ⎪ ⎩ 2 令 y = 0 ⇒ t = 2v cos ϕ2 / g sin ϕ1 ⇒ v 2 =
L3 sin α = L1 =
(2)设所有竖直运动时间总和为 t1 ，所有水平运动时间总和为 t2 ，则 竖直上的运动可以等效为自由落体，故总时间不变 t1 = T1 水平运动的总路程是固定的，速度最大则时间最短，即(1)中情况时间最短
( t2 )min = T2
所以 Tmin = T1 + T2 = T3 每一段水平运动的速度尽可能小则总时间最大，即每段走无限小折线，此时对于 每一个小段中，可近似处理为匀速运动，则
2
ar =
d 2r ⎛ dθ ⎞ 2 −r⎜ ⎟ = 0 − rω （与图示反向） 2 dt ⎝ dt ⎠ d 2θ dr dθ +2 = 0 + 2aω 2 2 dt dt dt
2
aθ = r
a⊥ = − ar sin ϕ + aθ cos ϕ = rω
r a2 + r 2
+ 2aω
2
a a2 + r 2
gxA cos 2 ϕ1 sin ( 2θ − ϕ1 ) − sin ϕ1
根据题意最佳抛射角处 v 应取极值，故 2θ 0 − ϕ1 = π / 2 ⇒ θ 0 = ϕ1 / 2 + π / 4 例 5 （方向固定的斜交分解）灯泡碎片 8.圆周运动 � � r = − Re心 � � v = ω Re切 ⎧a切 = β R：改变速度大小 � � 2 � ⎪ a = β Re切 + ω Re心 ⎨ v2 2 ⎪a心 = ω R = ：改变速度方向 ⎩ R
例 8 阿基米德螺线 r = aθ ，求 ρ = ρ ( r ) . 解：设 θ = ωt ，则 r = aωt ，有
vr = dr / dt = aω ⎫ 2 2 2 2 ⎬ ⇒ v = vr + vθ = a + r ω vθ = rdθ / dt = rω ⎭
cos ϕ =
v vr a r = ,sin ϕ = θ = v v a2 + r 2 a2 + r 2
9.平面光滑曲线运动的圆分解 � ds � v = e// dt � d 2 s � 1 ⎛ ds ⎞ � dv � v 2 � a = 2 e// + ⎜ ⎟ e⊥ = e// + e⊥ dt ρ ⎝ dt ⎠ dt ρ 注：曲线的无限小段可以用无限小直线段进行代 替，但是曲线各点处的运动应当用圆弧运动来代 替，因为直线运动没有速度方向的改变，而圆弧 运动则包含了速度方向改变的信息。 例 6 运动轨迹 y = A cos x ，求 (1) ρ = ρ ( x ) ； (2)若 y = A cos x 为一轨道，在 x=0 处给小球以极小的速度（可忽略）滑下，试讨 论小球是否离开壁面； 解：(1)假设运动 ̇ =1 x=0 ⎧x = t ⎧x ⎧ ̇̇ ⇒⎨ ⇒⎨ ⎨ ̇ = − A sin t ⎩ ̇̇ y = − A cos t ⎩ y = A cos t ⎩ y 如图 1.6， cos ϕ = ̇ x ̇ +y ̇ x
-15 26 ⎧ ⎪空间：核子10 m → 哈勃半径10 m 空时物理量级 ⎨ Z0 粒子寿命10-25 s → 宇宙年龄1018 s ⎪ ⎩时间：
绝对时空观（牛顿《自然哲学的数学原理》 ） ： “绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变” “绝对的、纯粹的数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝而与任何外在情况无 关” 2.参考物、参考空间、参考系 ⎧参考物在体结构上静态延展而成的空间 参考空间 ⎨ 3 维（欧氏）平直空间 ⎩经典力学： 参考系：参考空间+参考时间（4 维） ⎧空间坐标系：直角，圆柱，球极坐标系… 空时坐标系 ⎨ ⎩时间坐标（单向） 例 1 空间坐标系
( 2a =
3/ 2
2
+ r 2 )ω 2
a2 + r 2
a2 + r 2 ) ( v2 a2 + r 2 2 2 2 曲率半径 ρ = = ( a + r )ω = a⊥ ( 2a 2 + r 2 ) ω 2 2a 2 + r 2
11.运动轨道
⎧ ⎧ dy v y ⎪x = x (t ) ⎪vx = dx / dt ⇒ y = y ( x) ， ⎨ ⇒ = ⇒ y = y ( x) ⎨ dx vx ⎪ ⎪ ⎩v y = dy / dt ⎩ y = y (t ) ⎧ ⎧v = dr / dt dr v ⎪r = r ( t ) ⇒ r = r (θ ) ， ⎨ r ⇒ = r r ⇒ r = r (θ ) ⎨ dθ vθ ⎪ ⎩vθ = rdθ / dt ⎩θ = θ ( t ) 例 9 抛物包络线 原点 O 处固定速率 v0 ，不同抛掷角 θ （图 1.11） 。试求所有可 能抛物线的包络线方程.。此抛物线也称安全抛物线，安全是指物体不可能达到
加速度各部分物理意义：
d 2r ⎛ dθ ⎞ ：径向方向线运动产生； r ⎜ ⎟ 圆弧运动向心加速度； 2 dt ⎝ dt ⎠ r d 2θ dr dθ ：转动角加速贡献； 2 ：径向方向线运动和周向角运动共同作用； 2 dt dt dt
2
例 7 人拉船，跨过滑轮，人拉的速度和加速度分别为 v0 , a0 ，求船的速度 v 与加 速度 a .
4 2 v0 − 2v0 gy − g 2 x 2 > 0 ， θ 两个解，过点 ( x, y ) 有两条抛物线，包络线内部； 4 2 v0 − 2v0 gy − g 2 x 2 = 0 ， θ 一个解，包络线上的点； 4 2 v0 − 2v0 gy − g 2 x 2 < 0 ， θ 无实解，包络线外的点；
此包络线所围的区域外，抛物线即包络线本身属于抛物线类型的曲线。 解：对称性，讨论Ⅰ，Ⅳ象限即可 ⎧ gx 2 ⎧ x = ( v0 cos θ ) t y = x tan θ − 1 + tan 2 θ ) ⎪ ⎪ 2 ( 2v0 ⎨ 1 2⇒⎨ ⎪ y = ( v0 sin θ ) t − gt ⎪−π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 ⎩ 2 ⎩ ⎡ v 2 ± v 4 − 2v 2 gy − g 2 x 2 0 0 ⇒ θ = arctan ⎢ 0 gx ⎢ ⎣ 讨论： � � �
Tmax : T3 = ( dL1 + dL2 ) : dL3 = ( 3 + 4 ) : 5 = 7 : 5
所以 Tmax : Tmin = 7 : 5
7.平面曲线运动的运动学分解（平行四边形法则） ⎧ ⎧水平竖直方向分解 ⎪方向固定的正交分解 ⎨ ⎩非水平竖直方向分解 ⎪ ⎪ ⎨方向固定的斜交分解 ⎪方向可移动的正交分解 ⎪ ⎪ ⎩ 例 3 （水平竖直分解） 水平面上的斜抛运动 （猎 人阴差阳错击中猴） 例 4 （非水平竖直分解）空心入篮：运动员投 篮，篮球不碰篮筐直接入篮，投射角θ，出手速 度 v，但是（θ，v）不唯一，存在最佳抛射角θ0：
笛卡尔直角坐标系 {O : xyz} 圆柱坐标系 {O : rϕ z} ： ⎧ x = r cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin ϕ , 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π , −∞ < z < +∞ ⎪z = z ⎩ 球坐标系 {O : rθϕ} ⎧ x = r sin θ cos ϕ ⎪ ⎨ y = r sin θ sin ϕ , 0 ≤ r < +∞, 0 ≤ ϕ < 2π , 0 ≤ θ ≤ π ⎪ z = r cos θ ⎩
解： dl = dx cos θ ⇒
v dx dl 1 = ⋅ ⇒v= 0 dt dt cos θ cos θ
ar = −
d 2l vθ2 + dt 2 l
⎫ d 2l = a0 ⎪ 2 dt 2 2 ⎪ v0 a0 v0 sin 3 θ ⎪ vθ = v0 tan θ ⎬ ⇒ ar = a0 + ⇒a= + tan 3 θ 2 h cos θ cos θ h l = h / sin θ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ −
� � dv d 2 x � d 2 y � d 2 z � 加速度 a = = i + 2 j+ 2 k dt dt 2 dt dt 6.直线运动 � 匀速： a = 0, v = const , x = x0 + vt 1 2 � 匀加速： a = const , v = v0 + at , x = x0 + v0 t + at 2 , v 2 − v0 = 2a ( x − x0 ) 2 � 变加速： a = a ( t ) 例 2 如图 1.2，某竖直平面内有一固定光滑直角三角形 ABC，小球从 A 沿斜边静 止出发自由滑到 C 所需时间恰好等于 A-B-C 时 间， 忽略转弯速度损失与时间， 求： (1) L1 : L2 : L3 ； (2) 小球在三角形框架内可以任意走竖直水平折 线轨迹从 A 到 C，存在时间最大值和最小值，求 二者之比 Tmax : Tmin ； 解：(1)利用匀加速公式 1 2 ⎫ gT1 ⎪ 2 ⎪ T1 +T2 =T3 3 L3 cos α = L2 = ( gT1 ) T1 ⎬ ⇒ sin α = ⇒ L1 : L2 : L3 = 3 : 4 : 5 5 ⎪ 1 2 ⎪ L3 = ( g sin α ) T3 2 ⎭