整数规划(割平面法)
割平面法——精选推荐
3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。
目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。
我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。
例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。
BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。
约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。
问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。
割平面法
31/7=4+3/7 于是，（1）式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7
⑵
将所有整数项放在等式的左边，非整数值项放 在右边，得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7
⑶
⑶式左边是一个整数值，右边是一个小于１的 数。由于是等式，所以，右边应该是一个小于 或等于０的整数值，即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中，设 b的分量bko不是 整数，将其分成整数与非负分数之和，即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数， fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分：
ako , j Nko , j fko , j
１、求出松弛问题的最优解，若全部变量为整数解， 停止计算；否则转２。
２、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质： ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束， 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束，从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想： 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束（称 Gomory约束或割平面），使问题的可行域逐步缩 小，所割去的区域仅包含问题的部分非整数解；当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时，算法结束。 •求解步骤
割平面法-经典
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也
割平面法-运筹学整数规划
第二节 分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不 符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值 的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其 下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别 求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述 下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数 条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引 得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1
《运筹学》第5章 整数规划(割平面法)
第５章整数规划（割平面法）求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4 0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i≥0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
割平面法求解整数规划问题实验报告
运筹学与最优化MATLAB 编程实验报告割平面法求解整数规划问题一、 引言：通过对MATLAB 实践设计的学习，学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。
该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上，对实际问题建立数学模型并设计程序，使用割平面法解决一个整数规划问题。
经实验，该算法可成功运行并求解出最优整数解。
二、 算法说明：割平面法有许多种类型，本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。
Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划，再选择一个不是整数的基变量，定义新的约束，增加到原来的约束中，新的约束缩小了可行域，但是保留了原问题的全部整数可行解。
算法具体设计步骤如下：1、首先，求解原整数规划对应的线性规划,*)(min x c x f =⎩⎨⎧≥≤0..x bAx t s ，设最优解为x*。
2、如果最优解的分量均为整数，则x*为原整数规划的最优解；否则任选一个x*中不为整数的分量，设其对应的基变量为x p ，定义包含这个基变量的切割约束方程con jj ij p b x r x =+∑，其中x p 为非基变量。
3、令][ij ij ij r r r -=，][con con con b b b -=，其中[]为高斯函数符号，表示不大于某数的最大整数。
将切割约束方程变换为∑∑-=-+jjij con con jj ij p x r b b x r x ][][，由于0<ij r <1，0<con b <1，所以有1<-∑jj ij con x r b ，因为自变量为整数，则∑-jj ij con x r b 也为整数，所以进一步有0≤-∑jj ij con x r b 。
4、将切割方程加入约束方程中，用对偶单纯形法求解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00..,*)(min x x r b b Ax t s x c x f j j ij con ，然后在转入步骤2进行求解，直到求出最优整数解停止迭代。
6第六章 整数规划(3-4节)
max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0， 整 数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束：
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念 。
例：
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0， 整 数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域：ABCD
1 1 最优解：C点，其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解：（1）利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B ：
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
（2）构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分，但该可行域内不包含任何整数可行解，所有
割平面法
§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。
3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。
如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。
这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。
而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。
当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。
即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。
下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。
3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。
如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。
3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。
下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。
例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。
为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。
为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。
据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。
整数规划的割平面法计算流程与举例
整数规划的割平面法计算流程与举例下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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割平面法_精品文档
从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以 把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切 割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程 加入原约 束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。 显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不 是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右
求解整数规划的方法
求解整数规划的方法整数规划是一种最优化问题，其解决方案限制了决策变量必须取整数值。
整数规划的应用非常广泛，涉及到许多实际问题，如制造业生产调度、物流优化、资源分配等。
在本文中，我们将介绍几种常用的整数规划方法。
一、分支定界法分支定界法是一种常用的整数规划求解方法，它通过不断将解空间分割为子问题并求解这些子问题，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则选择一个变量将其分割为两个子问题，并分别求解这两个子问题。
4. 对每个子问题，递归地应用上述步骤，直到找到一个整数解或者确定当前子问题的上界小于当前最优解。
5. 最终，得到整数规划的最优解。
分支定界法的优点是能够保证找到最优解，但其缺点是计算复杂度较高，特别是在问题规模较大时，会导致计算时间过长。
二、整数规划的近似算法当整数规划问题规模较大时，找到精确解的计算复杂度可能变得非常高，此时可以考虑使用近似算法来求解。
近似算法的思想是通过放松整数约束条件，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并对线性规划问题进行求解。
然后，根据线性规划问题的解，对整数规划问题进行修正，得到整数规划问题的一个近似解。
三、割平面法割平面法是一种常用的整数规划求解方法，它通过添加一系列线性不等式（割平面）来逐步减小可行解空间，最终找到整数规划的最优解。
具体步骤如下：1. 初始时，将整数规划问题转化为一个线性规划问题，并求解线性规划问题的松弛解。
2. 如果松弛解满足整数约束条件，则找到一个整数解，更新当前最优解。
3. 如果松弛解不满足整数约束条件，则根据当前松弛解所对应的目标函数值，添加一系列线性不等式（割平面）来限制可行解空间。
4. 对添加了割平面约束的线性规划问题，继续求解，并更新最优解。
5. 重复以上步骤，直到找到一个整数解或者确定当前问题的上界小于当前最优解。
gomory割平面法原理及应用
gomory割平面法原理及应用标题：Gomory割平面法：原理及应用引言：在运筹学领域，Gomory割平面法是一种强大的整数规划求解方法，它通过引入一系列割平面来逐步逼近最优解。
本文将深入探讨Gomory割平面法的原理和应用，解释其工作原理以及在实际问题中的应用场景。
对于理解和应用这一方法，本文将从简到繁、由浅入深地进行解释。
一、Gomory割平面法原理1.1 整数规划问题简介在介绍Gomory割平面法之前，我们首先了解整数规划问题。
整数规划是线性规划的一种扩展形式，其中变量被限制为取整数值。
我们将探讨整数规划问题的基本概念、约束条件以及目标函数。
1.2 割平面的引入割平面是指在整数规划问题中，通过添加一系列附加约束来限制解的空间。
这些约束通常是线性的，并且通过改进松弛线性规划问题的解来逼近整数解。
1.3 Gomory割平面法的基本思想Gomory割平面法通过将松弛线性规划问题求解为一个整数规划问题，然后应用割平面的思想逐步逼近最优整数解。
本节将详细介绍Gomory割平面法的基本思想和具体步骤。
二、Gomory割平面法应用案例在本节中，我们将通过一个实际案例来展示Gomory割平面法的应用。
假设我们有一个生产计划问题，需要确定如何分配资源以最大化利润并满足资源的限制条件。
我们将逐步应用Gomory割平面法来解决这个问题，并解释每一步的具体操作。
三、Gomory割平面法的优缺点在实际应用中，我们需要综合考虑Gomory割平面法的优点和局限性。
本节将讨论Gomory割平面法的优缺点，并帮助读者在实践中做出合理的选择。
四、总结与回顾通过本文的学习，我们了解了Gomory割平面法的原理和应用。
这种方法通过引入割平面，可以逐步逼近整数规划问题的最优解。
我们探讨了Gomory割平面法的基本思想、具体步骤以及应用案例，希望读者能够对该方法有更深入、全面的理解和应用。
观点和理解：Gomory割平面法作为整数规划领域中的重要方法，具有以下观点和理解：1. Gomory割平面法通过引入割平面，可以在保证最优解的情况下进一步限制解的空间，提高整数规划问题的求解效率。
割平面法求解整数规划技巧
割平面法求解整数规划技巧割平面法是一种经典的求解整数规划问题的方法，它可以通过不断添加约束来逼近整数解，并最终找到最优解。
下面将介绍一些割平面法求解整数规划问题的技巧。
1. 初始化问题：割平面法的第一步是用线性松弛来求解相应的线性规划问题。
线性松弛问题忽略了约束条件中的整数要求，将其转化为一个线性函数的最优化问题。
通过求解线性松弛问题，可以获得一个最优解，并作为整数规划问题的一个可行解。
2. 添加割平面约束：如果线性松弛问题的最优解不是整数解，割平面法会添加一个新的约束条件来限制解的空间。
这个新的约束条件可以通过不等式来表示，例如 x1 + x2 ≤ 3。
通过添加这个不等式，割平面法将整数规划问题的可行区域缩小，从而更有可能得到一个整数解。
3. 求解线性松弛更新问题：添加割平面约束后，需要重新求解线性松弛问题，得到新的最优解。
如果新的最优解是整数解，则整数规划问题得到解决。
如果新的最优解不是整数解，则继续添加割平面约束，并重复这个步骤，直到找到整数解为止。
4. 割平面生成技巧：割平面法的关键在于如何选择适当的割平面约束。
以下是一些常用的割平面生成技巧：- Gomory割割平面：Gomory割是一种经典的割平面约束生成方法。
它利用线性规划的单纯形表达式中的非整数系数生成新的约束。
对于每个非整数系数cij，可以将其转化为一个新的不等式约束 cij xj ≤∑(cij - xi), 其中 xi 表示已经确定的整数变量的取值。
- 0-1割平面：0-1割平面方式适用于含有0-1变量（即只能取0或1值）的整数规划问题。
它可以通过适当选择0-1变量的线性组合来生成割平面约束。
- 最小割边集生成割平面：对于某些特殊问题，可以使用图论中的最小割边集生成割平面约束。
这种方法适用于有图结构的整数规划问题，通过找到图中的最小割边集，可以生成割平面约束来缩小解的空间。
5. 割平面法的终止条件：割平面法在每次迭代中都会找到一个更好的整数解并更新线性松弛问题。
gomory割平面法
gomory割平面法一、概述Gomory割平面法是一种用于解决整数规划问题的算法。
它的基本思想是将线性规划问题转化为整数规划问题，通过不断添加割平面来逐步逼近整数解。
二、线性规划与整数规划1. 线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是指目标函数和约束条件均为线性函数的最优化问题。
它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$其中，$c$、$x$、$b$均为向量，$A$为矩阵。
2. 整数规划整数规划（Integer Programming，IP）是指在线性规划的基础上，要求$x$取值必须为整数的最优化问题。
它可以表示为：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x\in Z^n_+ \end{aligned} $$其中，$Z^n_+$表示$n$维非负整数集合。
三、Gomory割平面法的基本思想1. 割平面法概述割平面法是一种用于求解整数规划问题的算法。
它的基本思想是通过添加割平面来逐步逼近整数解。
割平面法的核心是确定割平面的方法。
2. Gomory割平面法Gomory割平面法是一种经典的割平面法，由Ralph Gomory于1958年提出。
其基本思想是通过将松弛线性规划问题转化为整数规划问题，并不断添加新的约束条件（即割平面），来逼近整数解。
Gomory割平面法的具体步骤如下：（1）将线性规划问题转化为松弛线性规划问题，即将$x$取值限制为非负整数变量改为非负实数变量，得到如下形式：$$ \begin{aligned} &\max_{x} c^T x \\ &s.t. \quad Ax \leq b, x \geq 0 \end{aligned} $$（2）求解松弛线性规划问题，得到最优解$x^*$。
第章 整数规划(割平面法)
割平面法求解整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0，且为整数解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0，且为整数利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：表1最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4≥0，所以必有：1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数，于是有：1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E(3.5，2)成为可行域的一个极点。
图1在(3)式中加入松弛变量x5，得：-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i 0，且为整数，i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
整数规划问题的求解策略探讨
整数规划问题的求解策略探讨整数规划问题是指在约束条件下，目标函数为整数线性函数的优化问题。
在实际应用中，整数规划问题广泛存在于生产调度、资源分配、网络设计等领域。
由于整数规划问题的复杂性，其求解过程需要采用合适的策略和方法。
本文将探讨整数规划问题的求解策略，包括分枝定界法、割平面法、启发式算法等，并分析它们的优缺点及适用场景。
一、分枝定界法分枝定界法是求解整数规划问题最常用的方法之一。
其基本思想是通过不断地将问题分解为子问题，并对每个子问题进行求解，直到找到最优解为止。
在分枝定界法中，通常采用深度优先搜索或广度优先搜索的方式遍历搜索空间，通过对搜索树的分支进行限界，剪去一些不必要的分支，从而提高求解效率。
分枝定界法的优点在于能够确保找到最优解，尤其适用于规模较小的整数规划问题。
然而，对于规模较大的问题，分枝定界法的计算复杂度会随着搜索空间的增大而急剧增加，导致求解时间过长。
因此，在实际应用中，需要结合问题的特点和求解需求来选择是否采用分枝定界法。
二、割平面法割平面法是另一种常用的整数规划求解方法。
该方法通过引入额外的线性约束（割平面）来逐步逼近整数规划问题的最优解。
割平面法的核心思想是通过不断添加线性不等式约束，将整数规划问题的凸包逼近到凸壳，从而逐步缩小搜索空间，最终找到最优解。
割平面法的优点在于能够有效地提高求解效率，尤其适用于存在大量连续约束的整数规划问题。
然而，割平面法的实现过程较为复杂，需要对问题的线性松弛模型进行求解，并不断生成有效的割平面。
因此，对于一些特定结构的整数规划问题，割平面法可能并不是最优的求解策略。
三、启发式算法除了传统的分枝定界法和割平面法外，启发式算法也被广泛应用于整数规划问题的求解中。
启发式算法是一类基于经验和规则的启发式搜索方法，通过模拟生物进化、群体智能等自然现象，寻找最优解或近似最优解。
常见的启发式算法包括遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法等。
这些算法在求解整数规划问题时，能够有效地避免陷入局部最优解，提高求解速度和质量。
割平面法
第四章 整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规 纯 划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限 制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约 束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整 数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。 割平面法的基本步骤： 步骤1 不考虑变量的整数限制，求解相应的线性规划问题，如 果该问题无解，或最优解已是整数解，则停止计算，否则转下一步。 步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”，去掉不含整数 解的一部分可行域，即增加适当的线性约束，然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2
…
3/4 7/4
…
1 0 0
…
0 1 0
…
-1/4 3/4 -1/2
…
1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下 ：
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3
整数规划问题(割平面-分枝定界算例)
x1 3.25;
x2 2.5
分枝定界法思路
第二步：分枝与定界 在x1=3.25；x2=2.5 中，任选一变量的解X2=2.5 ， 可将其分为 x2≤2；x2≥3（去掉小数部分），则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x1 , x2 0
(3.5, 2); z 14.5
X1可分为x1≤3；x1≥4，则有：
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 3 1 x1 , x2 0 (3, 2); z 13
逻辑变量在建立数学模型中的作用
y1 y2 ... ym
中m-k不起作用
（2）割平面法思路
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 且取整数 1 2
第一步：将约束条件决策变量的系数化为整数，用单纯形法求 解出最终单纯形表 找一个分数部
（3）分支定界法
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0束，求解。
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0 1 2
max Z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 x 0.5 x 4.5 1 2 s.t. x2 2 x 4 1 x1 , x2 0
(4, 1);
割平面算法简介
割平面法在纯整数规划中的应用1、摘要：割平面法是整数规划问题中常用的一种重要方法。
割平面法解整数规划问题的基本思路是：首先根据单纯形法，画出单纯形表格,利用迭代法求出不考虑整数约束条件时的松弛问题的最优解，如果得到的解是整数则即为问题的整数解，运算停止。
但是在大多数情况下得到的解不完全是整数，其中会出现非整数的形式，也就是这个松弛问题的最优解中存在某个或者某几个基变量为非整数的形式，这就需要进一步的运算：从最优表格中提取出关于非整数基变量的约束等式，再从这个约束等式出发构造出一个割平面方程添加到原来的约束条件中去，再进行单纯形表格的迭代运算，求出最优解，如果得到的最优解是整数则即为所要求的问题的最优解，运算停止。
如果得到的解仍然不完全是整数，就需要继续进行运算，重复以上步骤，一直求解出满足条件的最优解则运算停止。
这就是割平面法的整数求解的一般步骤。
Cutting plane method which is used in an integer programming problem is a kind of important method. Cutting plane method solution in integer programming problem is the basic train of thought: first according to the simplex method, draw the simplex form, using iterative algorithm to find the integer constraint conditions do not consider the relaxation of the optimal solution of the problem, given the solution is for the problem that is the integer solutions, stop operations. But in most cases thesolution doesn't get completely integer, which could not be the integer form, also is the relaxation of the optimum solution of the existence of a or certain base the variable is not the integer form, this needs further operation: the optimal form from the extract about the base variables the constraint equation integer variables, and again from the constraint equation is constructed on a cutting plane equation added to the original conditions to, and then to simplex form iterative operation, to work out the optimal solution, if we get the optimal solution is required for the integer is the problem of optimal solution, stop operations. If the solution have still not quite integer, it needs to continue operations, repeat the above steps, has been worked out to meet the conditions of the optimal solution is to stop operations. This is cutting plane method of solving the integral general steps.1、整数规划的简要介绍整数规划是指在一类问题中要求其解的全部或者一部分变量为整数的数学规划。
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割平面法
求解整数规划问题：
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2?14
4x1+2x2?18
x1,x2?0，且为整数
解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。
从而有：Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
x1,x2?0，且为整数
利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1：
表1
最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4
根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)
将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即：(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2
把整数及带有整数系数的变量移到方程左边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得：x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)
由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。
又因为x3,x4?0，所以必有：
1/2-(1/2x3+1/2x4)<1
由于(2)式右端必为整数，于是有：
1/2-(1/2x3+1/2x4)?0 (3)
或
x3+x4?1 (4)
这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有：
2x1+2x2?11 (5)
从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部
分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。
图1
在(3)式中加入松弛变量x5，得：
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)
将(6)式增添到问题的约束条件中，得到新的整数规划问题：
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2
x i?0，且为整数，i=1,2,…,5
该问题的求解可以在表1中加入(6)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表2：
表2
由此得最优解为：x1=7/2, x2=2, z=58/4
该最优解仍不满足整数约束条件，因而需进行第二次切割。
为此，从表2中抄下非整数解x1的约束方程为：
x1+x4-1/2x5 = 7/2
按整数、分数归并原则写成：
x1+x4-x5-3 = 1/2-1/2x5?0 (7)
这就是一个新的割平面方程，用基变量来表示，得：
x1+x2?5 (8)
在(7)中加入松弛变量x6，得：
-1/2x5+x6=-1/2 (9)
将(9)式增添到前一个问题的约束条件中去，得到又一个新的整数规划问题，对它求解可以在表2中加入(7)式，然后运用对偶单纯形法求出最优解。
具体计算过程见表3：
表3
由此得最优解为：x1=4, x2=1,z=14。
该最优解符合整数条件，因此也是原整数规划问题的最优解。
从图1中可以看出，由(8)式表示的割平面约束，不仅割去线性规划可行域中剩下的不含整数解域，而且使最优整数解x1=4, x2=1（即图2中的G点），成为新的线性规划可行域的一个极点。
图2。